Решение задач группы С из ЕГЭ, олимпиадных задач.

Задача С6
Арифметика и алгебра.
Подготовили ученицы 10 “Г” класса
Карх Елизавета и Скачкова Анна.
Делимость, признаки делимости
• Число а делится на число b≠0, если
существует такое число с, что а=bc.
Свойства делимости
• Если a делится на b, то и число ka
делится на b.
• Если число a делится на с и число b
делится на c, то сумма и разность
чисел a и b делится на c.
Признаки делимости
• Число делится на 2 тогда и только тогда,
когда его последняя цифра четна.
• Число делится на 3 тогда и только тогда,
когда сумма всех его цифр делится на 3.
• Число делится на 4 тогда и только тогда,
когда число, составленное из последних
двух цифр его десятичной записи, идущих
в том же порядке, делится на 4.
• Число делится на 5 тогда и только тогда,
когда оно оканчивается на 0 или 5.
• Число делится на 9 тогда и только тогда,
когда сумма всех его цифр делится на 9.
• Число делится на 11 тогда и только тогда, когда
разность суммы цифр, стоящих на нечетных
местах, считая справа в десятичной записи
данного числа, и суммы цифр, стоящих на
четных местах в десятичной записи данного
числа, делится на 11 (например, число 305 792
608 делится на 11, так как (8 + 6 + 9 + 5 + 3) - (0
+ 2 + + 7 + 0) = 22 — делится на 11).
• Число делится на 7 (13) тогда и только тогда,
когда алгебраическая сумма чисел,
образующих грани по три цифры (начиная с
цифры единиц), взятых со знаком "плюс" для
нечетных граней и со знаком "минус" для
четных граней, делилась на 7 (13) (например ,
число 254 390 815 делится на 7 и не делится на
13: 815 – 390 + 254 = 679; 679 делится на 7 и не
делится на 13)
Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа,
делящихся на 11, в записи каждого из которых
использованы все числа от 0 до 9?
Рассмотрим признак делимости числа на 11.
Если разность сумм цифр стоящих на четных и нечетных местах делится
на 11, то и само число делится на 11.
Запишем число 9876543210
Сумма цифр стоящих на нечетных местах 9+7+5+3+1 = 25 

Сумма цифр стоящих на четных местах
8+6+4+2+0 = 20 
5, а должно быть 11.
Для этого нужно две цифры, стоящие на четных и нечетных местах,
разность которых равна3, поменять местами:
9876543210 → 9576843210 11
9876543210 → 9873546210 11
9876543210 → 9846573210 11
Ответ: Да, найдутся.






•



Простые и взаимно простые числа
• Натуральное число, отличное от 1,
называется простым, если у него нет
натуральных делителей, отличных от 1 и него
самого.
• Числа, отличные от 1 и не являющиеся
простыми, называются составными.
• 1 не является ни простым, ни составным
числом.
• Два числа, наибольший общий делитель
которых равен 1, называются взаимно
простыми.
• Если число a делится на числа b и c, причем
эти числа взаимны просты, то число a
делится на произведение bc.
Основная теорема арифметики и
количество делителей.
Каждое натуральное число n>1 имеет единственное
(с точностью до порядка множителей) разложение
на простые множители
n=p1α1p2α2·…·pkαk
(р1, р2, ...,рk — попарно различные простые числа,
а1,а2,..., аk — натуральные числа). Данная форма
записи называется каноническим разложением
числа n.
Количество натуральных делителей числа n,
записанного в канонической форме, равно (а1+1)·(а2
+ 1)·…·(аk +1).
Найдите все натуральные числа, которые делятся на
42 и имеют ровно 42 различных делителя, включая
единицу и само число.
Пусть число n  21  3 2  73  Q
Число делителей: 42  2  3  7 , все числа простые.
(1  1)( 2  1)( 3  1)  42  Q  1
1  1  2

2
6
5
 2  1  3  n  2  3  7  42  3  7
  1  7
 3
1  1  2

6
2
5
 2  1  7  n  2  3  7  42  3  7
  1  3
 3
1  1  3

2
6
5
 2  1  2  n  2  3  7  42  2  7
  1  7
 3
1  1  3

2
6
5
 2  1  7  n  2  3  7  42  2  3
  1  2
 3
1  1  7

6
2
5
 2  1  2  n  2  3  7  42  2  7
  1  3
 3
1  1  7

6
2
5
 2  1  3  n  2  3  7  42  2  3
  1  2
 3
Ответ:
42  25  3; 42  25  7; 42  2  35 ; 42  35  7; 42  2  75 ; 42  3  75.
Десятичная запись числа
• Всякое натуральное число N
единственным образом представимо в
виде
N=an·10n+an-1·10n-1+an-2·10n2+…+a ·102+a ·101+a
2
1
0,
где n — натуральное число или 0, аn, аn-1,
аn-2,..., а2, а1, а0 — цифры от 0 до 9,
причем цифра an≠0.
• Натуральное число M является n-значным
в том и только в том случае, когда оно
удовлетворяет неравенству 10n-1≤М≤10n.
Если пятизначное число умножить на 9, то получится
это число, написанное в обратном порядке. Какое это
число?
9  abcde  edcba
a 1
9 1bcde  edcb1
e9
9 1bcd 9  9dcb1
9(9  10d  100c  1000b  10000)  1  10b  100c  1000d  900000
8  80c  91d  899b
b0
8  80c  91d
c9
728  91d
d 8
abcde  10989
Ответ: 10989
Найдите минимальное шестизначное число, которое
уменьшается в 3 раза при перенесении последней
цифры, равной 1, на первое место
abcde1  3 1abcde
10  abcde  1  300000  3 abcde
7  abcde  299999
abcde  42857
abcde1  428571
Ответ: 428571
Сложили шесть трехзначных чисел, полученных
перестановками трех различных цифр в разном порядке.
Докажите, что получившаяся сумма делится на 37.
abc  acb  bca  bac  cab  cba 
 (c  10c  10c  c  100c  100c ) 
 (10b  b  100b  100b  b  10b) 
 (100a  100a  a  10a  10a  a ) 
 222a  222b  222c 
 222(a  b  c)
222 : 37  6  222(a  b  c) : 37
Уравнения в целых числах
(диофантовы уравнения)
Уравнение вида f(x,y...)=0, переменные в котором
считаются целочисленными, называется
уравнением в целых числах, или диофантовым
уравнением. Набор целочисленных значений
переменных, при подстановке которых в уравнение
получается верное равенство, называется
решением диофантова уравнения.
Пример.
Уравнение x2+ y2 – z2 = 0 —
диофантово уравнение (если считать,
что переменные могут принимать
целочисленные значения).
Набор (3; 4; 5) — одно из его решений.
Уравнение ax+by=c разрешимо в целых числах тогда и только
тогда, когда c:d, где d=НОД(a,b).
Пример:
Найдите частное решение уравнения
147х-25у=14
Числа 147 и -25 взаимно просты. Следовательно, уравнение
разрешимо в Z. Найдем одно частное решение.
147= (-25)·(-5)+22
-25=22·(-2)+19
22=19·1+3
19=3·6+1
1=19-3·6=19-6· (22-19·1)=7·19-6·22=
=7· (-25-22· (-2))-6· (147-(-25) ·(-5))=8·147+47· (-25)
147·8-25·47=1
Домножим левую и правую части на 14. Получим:
147·112-25·658=14
Ответ: пара чисел (112;658) образуют частное решение
уравнения 147х-25у=14
Уравнение вида
ax + by = c
называется линейным диофантовым уравнением.
Если пара чисел (х0; у0) является решением такого
уравнения, то все его решения можно получить по
формулам
b
x  x0  k 
d
a
y  y0  k 
d
где d  НОД ( a, b), а k  Z
Обычно указанную пару решений находят
подбором, подставляя вместо одной переменной
остатки от деления на коэффициент при другой. Т.е.
то, что мы сделали в предыдущем примере.
Решите в целых числах уравнение
147х-25у=14.
Частное решение этого уравнения (х0;у0)=(112;658),
которое мы нашли в предыдущем примере.
Следовательно, общее решение, где d=1:
х=112+25k
у=658+147k , kЄZ
Т.к. 112=25·4+12, а 658=147·4+70, то общее
решение уравнения может быть записано проще:
х=12+25k
y=70+147k , kЄZ