pos matricy

II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ
3
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
Институт образовательных информационных технологий
II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ
Учебное пособие
Научный редактор – доц., канд. физ. - мат. наук О.А. Кеда
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Екатеринбург
2005
4
УДК 512.643(075.8)
ББК 22.143я 73
М 33
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета;
доктор физ. - мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН
Авторы: А.Б. Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко
М 33 II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ: учебное пособие / А.Б.
Соболев, М.А. Вигура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО
УГТУ-УПИ, 2005. 41 с.
ISBN 5-321-00633-4
Данная работа входит в учебно-методический комплекс дисциплины
ЕН.Ф.01.”Математика” для студентов ММФ, СТФ,МТФ, содержит основы теории матриц и определителей и решения систем линейных уравнений, включает
подробное решение задач, задачи для самостоятельной работы, проверочные
тесты и справочный материал по теме.
Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для
студентов строительных специальностей направления 6533500 “Строительство”
всех форм обучения
Подготовлено кафедрой высшей математики
УДК 512.643(075.8)
ББК 22.143я 73
ISBN 5-321-00633-4
© ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ», 2005
5
1.
ОГЛАВЛЕНИЕ
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ...................................................................... 7
1.1. Матрицы ......................................................................................................... 7
1.2. Определители второго и третьего порядка ................................................. 8
1.3. Свойства определителей ............................................................................... 9
1.4. Определители высших порядков ............................................................... 11
1.5. Операции над матрицами и их свойства ................................................... 13
1.6. Матричные уравнения................................................................................. 15
1.7. Ранг матрицы................................................................................................ 15
1.8. Проверочный тест: определители и матрицы ............................................. 17
2.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ....................................................... 19
2.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными................................ 19
2.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными................................. 20
2.3. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Теорема
Кронекера−Капелли .............................................................................................. 21
2.4. Схема отыскания решения системы m линейных уравнений с n
неизвестными......................................................................................................... 22
2.5. Однородные системы .................................................................................. 24
2.6. Метод Гаусса решения систем m линейных уравнений с n
неизвестными......................................................................................................... 25
2.7. Проверочный тест: системы линейных уравнений.................................. 27
3.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ........................................................................................... 26
4.
ВАРИАНТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.................................. 32
5.
ОТВЕТЫ К ВАРИАНТАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ......... 37
6
1.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1. Матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица
чисел aij, i=1,2,…, m; j=1,2,…, n, расположенных в m строках и n столбцах:
⎛ a11
⎜a
A = ⎜ 21
⎜
⎜⎜ a
⎝ m1
a12
a22
am 2
… a1n ⎞
… a2 n ⎟⎟
.
⎟
⎟
… amn ⎟⎠
Числа aij называются элементами матрицы. Матрица может быть записана
так: А=( aij )= || aij ||.
Матрица размера 1×n называется матрицей-строкой и имеет вид:
А = ( a1 a2 a3 ...an ) . Матрица размера m×1 называется матрицей-столбцом и
имеет вид:
⎛ a1 ⎞
⎜
⎟
a2 ⎟
⎜
В=
⎜ ... ⎟ .
⎜⎜
⎟⎟
⎝ am ⎠
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица называется квадратной, если число строк равно
числу столбцов (m=n), при этом число n называется порядком матрицы.
Пример квадратной матрицы 3-го порядка:
⎛ a11
⎜
A = ⎜ a 21
⎜ a
⎝ 31
a12
a 22
a32
a13 ⎞
⎟
a 23 ⎟
a 3 3 ⎟⎠
(1 )
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из элементов a11, a22, a33, идущая из левого верхнего угла
этой матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной
матрицы называется диагональ, составленная из элементов a13, a22, a31, идущая
из правого верхнего угла этой матрицы в левый нижний угол.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной, например:
⎛ a11
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎝
a12
a22
0
a13 ⎞
a23 ⎟⎟ .
a33 ⎟⎠
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие
выше и ниже главной диагонали, равны нулю, называется диагональной,
т.е. aii ≠ 0,aij = 0 при i ≠ j :
⎛ a11
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎝
0
a22
0
7
0 ⎞
0 ⎟⎟ .
a33 ⎟⎠
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная диагональная матрица с единичными элементами называется единичной и обозначается буквой Е. Например, единичная
матрица 3-го порядка имеет вид:
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
E = ⎜0 1 0⎟ .
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Транспонированием квадратной матрицы называется такое преобразование, при котором ее строки становятся столбцами с теми же
номерами, а столбцы – строками.
Матрицу, транспонированную по отношению к матрице А, обозначают АТ.
Например, АТ для матрицы А (1) имеет вид:
⎛ a11
⎜
AT = ⎜ a12
⎜a
⎝ 13
a21
a22
a23
a31 ⎞
⎟
a32 ⎟
a33 ⎟⎠
( 2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица ∅ называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы A и B называются равными, если они имеют
одинаковую размерность и все их соответствующие элементы совпадают.
1.2.
Определители второго и третьего порядка
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем второго порядка квадратной матрицы
a12 ⎞
⎛a
⎟ называется число, равное
⎝ a21 a22 ⎠
a
a1 2
∆ = A = d et Α = 11
= a1 1 a 2 2
a 21 a 22
Α = ⎜ 11
− a1 2 a 2 1
(3 )
1 2
= 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = −2 .
3 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем третьего порядка квадратной матрицы
ПРИМЕР:
⎛ a11
⎜
A = ⎜ a 21
⎜a
⎝ 31
a12
a 22
a 32
a13 ⎞
⎟
a 23 ⎟ называется число, равное
a 33 ⎟⎠
a11
∆ = Α = det Α = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 =
a33
= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 −a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
(4)
Данная формула называется правилом треугольников. Элементы определителя
изображаются кружками, а соответствующие произведения отрезками или треугольниками.
8
Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в
определитель (4).
ПРИМЕР:
1 −4 2
Α = 0 3 −1 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 + ( −4 ) ⋅ ( −1 ) ⋅ ( −2 ) + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 − −2 ⋅ 3 ⋅ ( −2 ) − 1 ⋅ ( −1 ) ⋅ 1 − ( −4 ) ⋅ 0 ⋅ 5 = 20 .
−2 1 5
1.3.
Свойства определителей
С в о й с т в о 1 . Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: AT = A .
С в о й с т в о 2. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель
|A| меняет знак:
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13 (α1 )
a21
a23 (α 2 ) = − a11
a33 (α 3 )
a31
a22
a12
a32
a23 (α 2 )
a13 (α1 )
a33 (α 3 )
.
С в о й с т в о 3 . Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца),
равен нулю.
С в о й с т в о 4. Общий множитель для элементов некоторой строки (столбца)
определителя |A| можно вынести за знак определителя:
k ⋅ a1 1
k ⋅ a 21
k ⋅ a31
a1 2
a 22
a32
a1 3
a1 1
a 23 = k ⋅ a 21
a33
a31
a1 2
a 22
a32
a1 3
a 2 3 , k = co n s t
a33
Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению
определителя на это число.
С в о й с т в о 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A|
равны нулю, то и сам определитель равен нулю:
a11 a12
0
0
a31 a32
a13
0 =0 .
a33
Это свойство вытекает из предыдущего при k = 0.
С в о й с т в о 6. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A|
пропорциональны, то определитель равен нулю.
9
С в о й с т в о 7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя
представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
/
//
a11
+ a11
/
//
Α = a21
+ a21
/
//
a31
+ a31
/
a11
a12
a13
a22
/
a23 = a21
/
a33 a31
a32
a12
a13
//
a11
a12
a13
a22
//
a23 + a21
//
a33 a31
a22
a23 .
a32
a33
a32
С в о й с т в о 8 . Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя
|A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
a11 + k ⋅ a12
a21 + k ⋅ a22
a31 + k ⋅ a32
a12
a22
a32
a13 a11 a12
a23 = a21 a22
a33 a31 a32
a13
a23 .
a33
З а м е ч а н и е : п ользуясь свойством 8, можно, не меняя величину определителя, все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором Mij элемента aij определителя |A| называется
определитель, полученный из определителя |A| вычеркиванием i-й строки и j-го
столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
ПРИМЕР: Найдите минор M22 элемента a22 определителя 3-го порядa11 a12
ка A = a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
Решение: M 22 =
.
a11 a13
a31 a33
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя |A| называется минор Mij этого элемента со знаком (-1)i+j, где i – номер
строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij :
Aij = ( −1)
i+ j
⋅ M ij
.
ПРИМЕР:
1 2 3
1 3
4
= −12 , A22 = ( −1) ⋅ M 22 = −12 .
Для определителя 4 5 6 : M 22 =
7 9
7 8 9
С в о й с т в о 9. Определитель |A| численно равен сумме
произведений
элементов любой его строки на соответствующие алгебраические дополнения.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = ai1 ⋅ Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai3 Ai3 , i = 1, 2, 3 .
a31 a32 a33
ПРИМЕР:
Вычислим определитель 3-го порядка разложением по элементам первой
10
строки:
2 0 5
3 16
1 16
1 3
1 3 16 = 2 ⋅
− 0⋅
+ 5⋅
= 2 ( 30 + 16 ) + 5 ( −1) = 92 − 5 = 87.
0 10
0 −1
−1 10
0 −1 10
С в о й с т в о 10. Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки
(столбца) определителя |A| на алгебраическое дополнение соответствующих
элементов другой строки (столбца) равна нулю.
1.4.
Определители высших порядков
Определитель квадратной матрицы n-го порядка имеет вид:
det A = A =
a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
...
a n1
...
an 2
... ...
... a nn
.
Для определителей n-го порядка справедливы свойства, изложенные в
разделе 1.3.
Определители n-го порядка могут быть вычислены двумя способами.
1. Метод разложения по строке или столбцу (метод понижения порядка):
n
det A = A = ∑ aik Aik = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ...ain Ain .
k =1
ПРИМЕР:
Вычислим определитель 4-го порядка
2 −1 0
0 1 −1
A=
3 −1 3
3 1 1
1
2
методом понижения
2
6
порядка.
Решение:
Обозначим строки определителя через α1 , α 2 , α3 , α 4 , а столбцы - β1 , β 2 , β 3 , β 4 .
Приведем определитель к виду, в котором a11 = 1 , а остальные элементы первого
столбца равны нулю. Для этого поставим четвертый столбец на место первого,
при этом определитель изменит знак:
1 −1 0
2 1 −1
A =−
2 −1 3
6 1 1
2
0
.
3
3
Обратим в нули элементы первого столбца во второй, третьей и четвертой
строках с помощью преобразований α 2 − 2α1 , α3 − 2α1 , α 4 − 6α1 :
11
1 −1 0 2
3 −1 −4
0 3 −1 −4
= − 1 3 −1 =
A =−
0 1 3 −1
7 1 −9
0 7 1 −9
1
= (α 2 → α1 ) 3
7
1 3 −1
3 −1
10 −1
⎛ α 2 − 3α1 ⎞
= 0.
−1 −4 = ⎜
⎟ 0 −10 −1 =
20 −2
α 3 − 7α1 ⎠
⎝
0 −20 −2
1 −9
2. Метод приведения к треугольному виду.
Используя свойства, добьемся такой структуры определителя, при которой
все его элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Тогда определитель будет численно равен произведению элементов, стоящих на главной
диагонали.
a11 a12
0 a22
A→
... ...
0
0
... a1n
n
... a2 n
, A = ∏ aii =a11 ⋅ a22 ⋅ ...⋅ ann .
... ...
i =1
... ann
ПРИМЕР:
1 0 2 1 3
4 −1 3 2 5
Α = −3 2 −4 5 −7
2 3 19 5 8
5 −3 −5 −1 4
Вычислим определитель 5-го порядка
методом приве-
дения к треугольному виду.
Решение:
1
4
Α = −3
2
5
0
−1
2
3
−3
2
3
−4
19
−5
1
2
5
5
−1
3 (α 1 )
⎛ α 2 − 4α 1 ⎞
5 (α 2 ) ⎜
α 3 + 3α 1 ⎟⎟
⎜
=
− 7 (α 3 ) =
⎜ α 4 − 2α 1 ⎟
8 (α 4 ) ⎜
⎟
α 5 − 5α 1 ⎠
⎝
4 (α 5 )
1 0
2
1
3 (α1 )
1 0 2 1
3 (α1 )
0 −1 − 5 − 2 − 7 ( α 2 )
0 −1 − 5 − 2 − 7 ( α 2 )
= 0 2
2
8
2 (α 3 ) = (α 5 + α 4 ) = 2 ⋅ 0 1 1 4 1 (α 3 ) =
0 3 15
3
2 (α 4 )
0 3 15 3 2 (α 4 )
0 −3 −15 −6 −11 (α5 )
0 0 0 −3 − 9 (α 5 )
12
1 0 2 1
3 (α1 )
1 0 2 1
3
0 −1 − 5 − 2 − 7 ( α 2 )
0 −1 −5 −2 −7
⎛ α3 + α2 ⎞
=⎜
⎟ 2 ⋅ 0 0 −4 2 −6 (α 3 ) = (α5 − α 4 ) = 2 ⋅ 0 0 −4 2 −6 = −240 .
⎝ α 4 + 3α 2 ⎠ 0 0 0 −3 −19 α
0 0 0 −3 −19
( 4)
0 0 0 0 10
0 0 0 − 3 − 9 (α 5 )
1.5.
Операции над матрицами и их свойства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Суммой матриц A = ( aij ) и B = ( bij ) одинаковой размерности m×n называется матрица C=A+B, элементы которой равны cij = aij + bij , где
i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
С в о й с т в о 1. A+B=B+A.
С в о й с т в о 2. (A+B)+C=A+(B+C).
С в о й с т в о 3. A+∅=A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведением матрицы A на число α называется матрица C=α×A, элементы которой удовлетворяют условию: cij =α ⋅ aij , где
i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
С в о й с т в о 4. A+(–A)=∅.
С в о й с т в о 5. (αβ)A=α(βA).
С в о й с т в о 6. α(A+B)=αA+αB.
С в о й с т в о 7. (α+β)A=αA+βA.
С в о й с т в о 8. 0 ⋅ A=∅; 1 ⋅ A=A.
⎛ 2 1 −1 ⎞
⎛ −2 1 0 ⎞
⎟, B = ⎜
⎟.
⎝ 0 1 −4 ⎠
⎝ −3 2 2 ⎠
ПРИМЕР: Найдите 3А+2В, если A = ⎜
⎛ 6 3 −3 ⎞ ⎛ −4 2 0 ⎞ ⎛ 2 5 −3 ⎞
⎟+⎜
⎟=⎜
⎟ .
⎝ 0 3 −12 ⎠ ⎝ −6 4 4 ⎠ ⎝ −6 7 −8 ⎠
Решение: 3 A + 2 B = ⎜
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведением матрицы A размерности (m×n) на матрицу B размерности (n×k) называется матрица C=A×B размерности (m×k), элементы которой находятся по формуле:
n
cij = ∑ aiqbqj = ai1b1 j + ai 2b2 j + … + ain bnj , i=1,2,…,m; j=1,2,…,k,
q =1
т.е. cij равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на элементы
j–го столбца матрицы B. Число столбцов первой матрицы должно равняться
числу строк второй матрицы.
⎛4 1⎞
⎜
⎟
ПРИМЕР: Найдите А×В, если A = (1 2 3) , B = ⎜ 5 2 ⎟ .
⎜ 6 3⎟
⎝
⎠
Решение: C = A × B = (1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3) = ( 32 14 ) ,
13
размерность матрицы C (1 × 2 ) .
С в о й с т в о 9. (A×B)×C=A×(B×C).
С в о й с т в о 10. (A+B)×C=A×C+B×C.
С в о й с т в о 11. A×(B+C)=A×B+A×C.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрицы A и B называются перестановочными (коммутирующими), если A×B=B×A.
В общем случае произведение матриц не коммутативно: A×B≠B×A.
⎛1 2⎞
⎛1 2 ⎞
⎟, B = ⎜
⎟.
⎝3 4⎠
⎝1 2 ⎠
ПРИМЕР: Найдите А×В и В×А, если A = ⎜
⎛ 1 2 ⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 3 6 ⎞
⎟ ×⎜
⎟= ⎜
⎟ ,
⎝ 3 4 ⎠ ⎝1 2 ⎠ ⎝ 7 14 ⎠
Решение: A× B = ⎜
⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 7 10 ⎞
B× A = ⎜
⎟ ×⎜
⎟= ⎜
⎟
⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 7 10 ⎠
.
С в о й с т в о 12. A×E=E×A=A.
С в о й с т в о 13. A×∅=∅×A=∅.
С в о й с т в о 14. (A×B)T =BT×AT.
С в о й с т в о 15. det (A×B) = det A det B.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица A–1 называется обратной к матрице A, если
A×A–1= A–1×A=E.
Основным методом вычисления обратной матрицы A–1 является метод
присоединенной матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица AV , составленная из алгебраических дополнений
Aij соответствующих элементов aij матрицы A, называется присоединенной к
матрице A:
⎛ Α11 Α12
⎜Α
Α22
ΑV = ⎜ 21
⎜
⎜⎜ Α
⎝ n1 Αn 2
Α1n ⎞
Α2 n ⎟⎟
⎟
⎟
Αnn ⎟⎠
.
Т е о р е м а . Если матрица A невырождена, то существует, и притом
единственная, обратная матрица A–1 , равная Α −1 = 1 ( ΑV ) , где ∆=|A|, (AV)T –
T
∆
транспонированная присоединенная матрица. Доказательство
проводится непосредственной проверкой того факта, что A×A-1=E.
Для обратной матрицы выполняются следующие соотношения:
С в о й с т в о 16. (α×A)-1=(1/α)×A–1.
С в о й с т в о 17. (A×B)–1 =B–1 ×A–1.
С в о й с т в о 18. (A–1)T=(AT)–1.
14
теоремы
1.6.
Матричные уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если матрицы A, B и C известны, то равенство A×X×B=C
называется матричным уравнением относительно матрицы X.
Если |A| ≠ 0; |B| ≠ 0, т.е. матрицы A и B – невырожденные, уравнение преобразуется следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на A–1 и
A–1×A×X× B×B–1=A–1×C×B–1,
справа на B–1:
т.к. A–1×A = E и B×B–1 =E , то получаем решение: X =A–1×C×B–1.
⎛1 2⎞
⎛3 5⎞
;Β = ⎜
⎟
⎟ .
⎝3 4⎠
⎝5 9⎠
ПРИМЕР: Решите матричное уравнение A·X = B, где Α = ⎜
Решение:
Вычислим Α =
1 2
= −2 ≠ 0 , значит матрица A – невырожденная.
3 4
Построим матрицу A–1 , обратную матрице A:
Α −1 =
( )
1
ΑV
Α
T
T
1 ⎛ 4 −3 ⎞
1 ⎛ 4 −2 ⎞
=− ⎜
=− ⎜
.
⎟
2 ⎝ −2 1 ⎠
2 ⎝ −3 1 ⎟⎠
Записываем решение матричного уравнения:
1⎛ 4
Χ = Α −1Β = − ⎜
2 ⎝ −3
−2 ⎞⎛ 3 5 ⎞
1 ⎛ 4 ⋅ 3 + ( −2 ) ⋅ 5 4 ⋅ 5 + ( − 2 ) ⋅ 9 ⎞
=− ⎜
=
⎟⎜
⎟
1 ⎠⎝ 5 9 ⎠
2 ⎝ ( −3 ) ⋅ 3 + 1 ⋅ 5 ( −3 ) ⋅ 5 + 1 ⋅ 9 ⎟⎠
1 ⎛ 2 2 ⎞ ⎛ −1 −1 ⎞
=− ⎜
=
.
2 ⎝ −4 −6 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 3 ⎟⎠
1.7.
Ранг матрицы
Пусть в матрице A размерности (m×n) выбраны k строк и k столбцов, причем k ≤ min (m,n). Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и
столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель Mk этой матрицы называется минором k-го
порядка матрицы A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку r отличных от нуля миноров Mk этой матрицы: r = rang A=r(A).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисным минором матрицы A называется любой минор
порядка r(A), отличный от нуля.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы называются эквивалентными и обозначаются
A∼B, если r(A) = r(B).
Ранг матрицы A можно вычислить двумя способами.
1. Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0 , тогда M 1 ≠ 0 и r ( A) ≥ 1 . Окаймляем этот
элемент элементами ( j + 1) -го столбца и ( i + 1) -й строки, получаем минор 2-го
порядка: M 2 =
ai , j
ai , j +1
ai +1, j
ai +1, j +1
.
15
Если M 2 = 0 , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все
возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны
нулю, то r ( A) = 1 ; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r ( A) ≥ 2 .
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M 2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор,
пока не будет выполнено условие: M r ≠ 0 , а все M r +1 = 0 . Тогда ранг матрицы
будет равен r.
2. Метод элементарных преобразований
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
1) транспонирование;
2) перестановка строк (столбцов);
3) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;
4) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число;
5) отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
Т е о р е м а . Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
Определение ранга матрицы A методом элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональному виду, когда все элементы, кроме
a11 , a22 ,…, arr , равны нулю. Тогда ранг матрицы A равен числу отличных от
нуля диагональных элементов.
⎛ 2 3 5 −3 ⎞
ПРИМЕР: Вычислите ранг матрицы Α = ⎜⎜ 3 4 3 −1 ⎟⎟ методом элементарных
⎜ 5 6 −1 3 ⎟
⎝
⎠
преобразований.
Решение:
⎛ 2 3 5 −3 ⎞
⎛ 2 1 5 −3 ⎞
⎜
⎟
Α = ⎜ 3 4 3 −1 ⎟ ~ ( β 2 − β1 ) ⎜⎜ 3 1 3 −1 ⎟⎟ ~
⎜ 5 6 −1 3 ⎟
⎜ 5 1 −1 3 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
β1 β 2 β 3 β 4
⎛1 2 5 −3 ⎞ α1
⎛ 1 2 5 −3 ⎞
⎛ α 2 − α1 ⎞ ⎜
⎜
⎟
⎟
~ ( β1 ↔ β 2 ) ⎜1 3 3 −1 ⎟ α 2 ~ ⎜
⎟ ⎜ 0 1 −2 2 ⎟ ~
⎜1 5 −1 3 ⎟ α ⎝ α 3 − α1 ⎠ ⎜ 0 3 −6 6 ⎟
⎝
⎠ 3
⎝
⎠
⎛ 1 2 5 −3 ⎞ α1
⎛ 1 2 5 −3 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎛ 1 2 5 −3 ⎞
~ ⎜ 0 1 −2 2 ⎟ α 2 ~ (α 3 − α 2 ) ⎜ 0 1 −2 2 ⎟ ~ ⎜
⎟~
⎜ 0 1 −2 2 ⎟ α
⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ 0 1 −2 2 ⎠
⎝
⎠ 3
⎝
⎠
β1 β 2 β 3 β 4
⎛ β 2 − 2 β1 ⎞
⎜
⎟ ⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎛ β3 + 2β 2 ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
~ ⎜ β3 − 5β1 ⎟ ⎜
⎟ , rang A = 2.
⎟⎜
⎟~⎜
⎟~ ⎜
⎜ β + 3β ⎟ ⎝ 0 1 −2 2 ⎠ ⎝ β 4 − 2 β 2 ⎠ ⎝ 0 1 0 0 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
1⎠
⎝ 4
16
1.8. Проверочный тест: определители и матрицы
1. Определитель – это
а) матрица; б) число; в) вектор; г) прямоугольная таблица чисел;
д) неопределяемое понятие.
Ответ:
2. Матрица – это
а) прямоугольная таблица чисел; б) неопределяемое понятие;
в) отличный от нуля минор; г) диагональная таблица чисел; д) определитель.
Ответ:
3.Определитель | 2 | равен
а) 0; б) 1; в) 2; г) бесконечности; д) 10.
Ответ:
4. Определитель
2 3
равен
4 2
а) 0; б) 8; в) –8; г) 16; д) бесконечности.
Ответ:
1 2 3
5. Определитель 0 2 3 равен
0 0 3
а) 3
1 2
;
0 2
б) 6; в) 9; г) 0; д) не существует; е) +∞ ; ж) π 2 .
Ответ:
1 2 3
6. Определитель 1 2 3 равен
0 0 1
а) 0; б)
1 2
;
1 2
в) 8; г) 2; д) 1 ⋅
2 3
1 3
1 2
.
+ 2 ⋅ ( −1)
+3
0 1
0 1
0 0
Ответ:
7. Элемент a12 матрицы ⎛⎜⎜
1 4 6⎞
⎟⎟ равен
⎝8 5 7 ⎠
а) 5; б) 8; в) 4; г) –11; д) бесконечности.
Ответ:
17
⎛ 1 2 3⎞
⎜
⎟
8. Минор M 12 матрицы ⎜ 4 5 0 ⎟ равен
⎜7 8 9⎟
⎝
⎠
а) 2; б) 4; в) 36; г) 0; д) 24.
Ответ:
⎛1 4 0⎞
⎜
⎟
1 0⎞
⎟⎟ ;
9. Алгебраическое дополнение A32 матрицы ⎜ 0 2 7 ⎟ а) ⎛⎜⎜
⎝0 7⎠
⎜0 1 2⎟
⎝
⎠
1 0
в) −
; г) –7; д) 0.
0 7
⎛1 4⎞
⎜
⎟
б) ⎜ 0 2 ⎟ ;
⎜0 1⎟
⎝
⎠
Ответ:
1 8 2⎞
⎛0 1 2⎞
⎟⎟ можно умножить на матрицу а) ⎜⎜
⎟⎟ ;
10. Матрицу ⎛⎜⎜
⎝0 0 1⎠
⎝1 4 2⎠
в) ⎛⎜⎜
1 1⎞
⎟⎟ ;
⎝0 2⎠
г) (1 3) ; д) ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ .
3
⎝1⎠
Ответ:
11. Ранг матрицы ⎛⎜⎜
10 1 0 ⎞
⎟⎟ равен
⎝ 1 10 2 ⎠
а) 99;
б) 3; в) 2; г) 0; д) ∞ ; е) не существует.
Ответ:
Правильные ответы:
1. б).
2. а).
3. в).
4. в).
5. а),б).
6. а),б),д).
7. в).
8. в).
9. в),г).
10. б).
11. в).
18
⎛1⎞
⎜ ⎟
б) ⎜ 4 ⎟ ;
⎜1⎟
⎝ ⎠
2.1.
2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Рассмотрим систему линейных уравнений вида
⎧a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 ,
⎪a x + a x + … + a x = b ,
⎪ 21 1 22 2
2n n
2
⎨
…………………………………
⎪
⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm .
(1)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Решением системы линейных уравнений (1) называется
такое множество чисел { x1 , x2 ,..., xn } , при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
Система (1) может быть записана в матричном виде A ⋅ X = B , где
⎛ a11
⎜
a
( Α Β ) = ⎜⎜ ...21
⎜⎜
⎝ am1
... a1n b1 ⎞
⎟
a22 ... a2 n b2 ⎟
- расширенная матрица системы,
... ... ... ... ⎟
⎟
am 2 ... amn bm ⎟⎠
⎛ a11 a12 ... a1n ⎞
⎜
⎟
a21 a22 ... a2 n ⎟
⎜
- основная матрица системы,
Α=
⎜ ...
... ... ... ⎟
⎜⎜ a
⎟⎟
⎝ m1 am 2 ... amn ⎠
⎛ b1 ⎞
⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b
x2 ⎟
⎜
- столбец неизвестных, Β = ⎜ 2 ⎟ - столбец свободных членов.
Χ=
⎜ ... ⎟
⎜ ... ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ bm ⎠
⎝ xn ⎠
a12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Определитель матрицы A называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом ∆ .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица B не является нуль−матрицей O , и называется однородной,
если B = O .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.
19
2.2.
Системы n линейных уравнений с n неизвестными
Рассмотрим систему вида
⎧a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 ,
⎪a x + a x + … + a x = b ,
⎪ 21 1 22 2
2n n
2
⎨
⎪…………………………………
⎪⎩an1 x1 + an 2 x2 + … + ann xn = bn .
(2)
Теорема (правило Крамера). Если главный определитель системы линейных
уравнений (1) не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
x1 =
∆
∆1
∆
, x2 = 2 ,… xn = n .
∆
∆
∆
Здесь ∆i - определители, получаемые из главного определителя системы ∆ заменой i -го столбца на столбец свободных членов.
Доказательство:
⎛ a11
⎜
a
Пусть A = ⎜ 21
⎜ ...
⎜⎜
⎝ an1
... a13 ⎞
⎟
a22 ... a23 ⎟
− основная матрица системы (2),
... ... ... ⎟
⎟
an 2 ... ann ⎟⎠
а Aij − алгебраические дополнения элементов aij этой матрицы (i, j = 1, 2,..., n) .
a12
Чтобы найти неизвестное x1 , домножим первое уравнение системы на A11 ,
второе уравнение − на A21 , …, n − е уравнение − на An1 и сложим все полученные уравнения. В результате получим:
x1 ⋅ ( a11 A11 + a21 A21 + ... + an1 An1 ) +
+ x2 ⋅ ( a12 A12 + a22 A22 + ... + an 2 An 2 ) +
…………………………………….
+ xn ⋅ ( a1n A1n + a2 n A2 n + ... + ann Ann ) =
= b1 A11 + b2 A21 + ... + bn An1 .
В этом уравнении выражение
a11 A11 + a21 A21 + ... + an1 An1 =
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2 n
...
an1
... ... ...
an 2 ... ann
= ∆,
где ∆ − главный определитель системы (1), полученный разложением по элементам первой строки, а выражения
a1i A11 + a2i A21 + ... + ani An1 = 0 при i = 2,3,..., n ,
поскольку представляют собой сумму произведений элементов i −й строки на
алгебраические дополнения первой, отличной от i −й, строки.
20
В правой части уравнения имеем
b1 A11 + b2 A21 + ... + bn An1 =
b1
a12
... a1n
b2
a22
... a2 n
... ... ... ...
bn an 2 ... ann
= ∆1.
Таким образом, уравнение примет вид x1 ⋅ ∆ = ∆1 , следовательно, x1 =
∆1
. Для
∆
получения любого неизвестного xi достаточно домножить соответствующие
уравнения на A1i , A2i , ..., Ani , а затем сложить. В результате получаем
xi =
∆i
, i = 1, 2,..., n .
∆
ПРИМЕР: Решите систему:
⎧2 x + 3 y + 2 z = 9,
⎪
⎨ x + 2 y + 3 z = 14,
⎪3 x + 4 y + z = 16.
⎩
По формулам Крамера:
2 3
2
9
∆ = 1 2 −3 = −6 ≠ 0,
3 4 1
2
9
2
3
∆1 = 14 2 −3 = −12,
16 4 1
2 3
∆ 2 = 1 14 −3 = −18,
3 16 1
2
9
∆ 3 = 1 2 14 = 12.
3 4 16
Посчитаем значения неизвестных:
x=
2.3.
∆
∆1
∆
= 2 , y = 2 = 3 , z = 3 = −2 .
∆
∆
∆
Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Теорема Кронекера−Капелли
Рассмотрим систему линейных уравнений вида
⎧a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 ,
⎪a x + a x + … + a x = b ,
⎪ 21 1 22 2
2n n
2
⎨
⎪…………………………………
⎪⎩am1 x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm .
(3)
Теорема Кронекера−Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений
(3) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы
был равен рангу расширенной матрицы системы:
rang ( Α) = rang ( Α Β ) .
Если rang ( Α) ≠ rang ( Α Β ) то система заведомо не имеет решений.
21
⎧2 x + 3 y = 5,
⎩2 x + 3 y = 2.
ПРИМЕР: Решите систему ⎨
⎛ 2 3 5⎞
2 3
5 3
( A B ) = ⎜ 2 3 2 ⎟ , ∆ = 2 3 = 0 , ∆ = 2 3 ≠ 0 ⇒ rang ( A) = 1 , rang ( A B ) = 2 ,
⎝
⎠
1
по теореме Кронекера – Капелли система несовместна.
Eсли rang ( Α) = rang ( Α Β ) , то возможны два случая:
1) rang ( A ) = n (числу неизвестных) − тогда решение единственное и может быть
получено по формулам Крамера;
2) rang ( A ) < n − тогда решений бесконечно много.
2.4. Схема отыскания решения системы
m линейных уравнений с n неизвестными
Пусть rang ( Α) = rang ( Α Β ) = r и rang ( A ) < n . Тогда любой отличный от нуля
минор, составленный из коэффициентов матрицы порядка r , можно выбрать в
качестве базисного, при этом неизвестные xi , имеющие своими коэффициентами элементы базисного минора, называются базисными неизвестными, а остальные (n − r ) неизвестных − свободными. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения. Пусть, для определенности, базисный минор
располагается в первых r строках и r столбцах матрицы A системы:
a11
a12
... a1r
a21
a22 ... a2 r
...
...
ar 1
ar 2 ... arr
...
...
≠0.
Тогда x1 , x2 , ..., xr – базисные неизвестные, а xr +1 , ..., xn – свободные неизвестные.
Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:
⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1r xr = b1 − a1,r +1 xr +1 − ... − a1n xn ,
⎪
⎪a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 r xr = b2 − a2,r +1 xr +1 − ... − a2 n xn ,
⎨
⎪...........................................................................
⎪ar1 x1 + ar 2 x2 + ... + arr xr = bn − ar ,r +1 xr +1 − ... − arn xn .
⎩
(4)
Система (4) является следствием исходной системы (3) и ее решение может
быть найдено или по формулам Крамера, или матричным способом. При этом
базисные неизвестные x1 , x2 , ..., xr выражаются определенным образом через
свободные. Если свободные неизвестные принимают значения
xr +1 = c1 , xr + 2 = c2 , ..., xn = cn − r ,
то базисные неизвестные выражаются через свободные xi = xi (c1 , c2 , ..., cn −r ) ,
i = 1, 2,..., r .
Общее решение неоднородной системы Α ⋅ Χ = Β можно записать в виде матрицы–столбца:
22
⎛ x1 (c1 , c2 , ..., cn − r ) ⎞
⎜
⎟
⎜ x2 (c1 , c2 , ..., cn − r ) ⎟
⎜ ...........................
⎟
⎜
⎟
Χ = ⎜ xr (c1 , c2 , ..., cn − r ) ⎟ .
⎜
⎟
c1
⎜
⎟
⎜ ...
⎟
⎜
⎟
cn − r
⎝
⎠
Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений.
Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
X = X 0 + c1 ⋅ X 1 + c2 ⋅ X 2 + ... + cn − r ⋅ X n − r ,
где частные решения X i (i = 0, 1, 2, ..., n − r ) получены при следующих значениях
постоянных:
⎛ x1 (0, 0, ..., 0) ⎞
⎛ x1 (1, 0, ..., 0) ⎞
⎛ x1 (0, 0, ..., 1) ⎞
⎛ x1 (0, 1, ..., 0) ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ x2 (0, 0, ..., 0) ⎟
⎜ x2 (1, 0, ..., 0) ⎟
⎜ x2 (0, 0, ..., 1) ⎟
⎜ x2 (0, 1, ..., 0) ⎟
⎜ .................... ⎟
⎜ .................... ⎟
⎜ ................... ⎟
⎜ .................... ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
xr (0, 1, ..., 0) ⎟
xr (0, 0, ..., 0) ⎟
xr (1, 0, ..., 0) ⎟
xr (0, 0, ..., 1) ⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
X =
X0 =
X =
, ..., X n −r = ⎜
⎜
⎟, 1 ⎜
⎟, 2 ⎜
⎟.
⎟
0
0
1
0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
1
0
0
0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
...
...
...
...
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
0
0
0
1
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎧ x1 − 4 x2 + 2 x3 = −1,
ПРИМЕР: Решите систему ⎪⎨2 x1 − 3x2 − x3 − 5 x4 = −7,
⎪3 x − 7 x + x − 5 x = −8.
2
3
4
⎩ 1
Рассмотрим расширенную матрицу системы:
⎛ 1 −4 2 0 −1 ⎞
⎛ 1 −4 2 0 −1 ⎞
⎜
⎟ ⎛ α 2 − 2α1 ⎞ ⎜
⎟
( Α Β) = ⎜ 2 −3 −1 −5 −7 ⎟ ~ ⎜
⎟ ⎜ 0 5 − 5 −5 −5 ⎟ ~
⎜ 3 −7 1 −5 −8 ⎟ ⎝ α 3 − 3α1 ⎠ ⎜ 0 5 −5 −5 −5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 −4 2 0 −1⎞
⎛ 1 0 −2 −4 −5 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
~ (α 3 − α 2 ) ⎜ 0 1 −1 −1 −1⎟ ~ (α1 + 4α 2 ) ⎜ 0 1 −1 −1 −1 ⎟ .
⎜0 0 0 0 0 ⎟
⎜0 0 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Следовательно, r ( Α) = r ( Α Β) = 2 , поэтому система совместна и не определена.
Выберем x1 и x2 в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную
систему:
⎧ x1 = −5 + 2 x3 + 4 x4 ,
⎨
⎩ x2 = −1 + x3 + x4 .
23
Полагая x3 = c1 , x4 = c2 , где c1 и c2 − произвольные числа, получаем общее решение системы
⎛ x1 ⎞ ⎛ −5 + 2c1 + 4c2 ⎞ ⎛ −5 ⎞
⎛ 2⎞
⎛ 4⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x2 ⎟ ⎜ −1 + c1 + c2 ⎟ ⎜ −1 ⎟
1⎟
1
⎜
⎜
=
=
+ c1
+ c2 ⎜ ⎟ .
X=
⎜ x3 ⎟ ⎜
⎟ ⎜0⎟
⎜1⎟
⎜0⎟
c1
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
c2
⎝0⎠
⎝1⎠
⎝ x4 ⎠ ⎝
⎠ ⎝0⎠
2.5. Однородные системы
Однородная система имеет вид:
⎧a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,
⎪
⎪a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = 0,
⎨
⎪............................................
⎩⎪am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0,
ей соответствует матричное уравнение Α ⋅ Χ = ∅ .
Однородная система всегда совместна, так как r ( A) = r ( A B ) , поскольку
нулевой столбец не меняет ранг матрицы, всегда существует нулевое решение
(0, 0, ..., 0) .
Теорема. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r ( A) < n .
Следствие. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ∆ = 0 .
Если r < n , то заведомо ∆ = 0 и тогда возникают свободные неизвестные
c1 , c2 , ..., cn − r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно
много.
Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
X = X 0 + c1 ⋅ X 1 + c2 ⋅ X 2 + ... + cn − r ⋅ X n − r ,
и совпадает с соответствующим общим решением неоднородной системы
при B = 0 .
⎧ x1 − 4 x2 + 2 x3 = 0 ,
⎪
ПРИМЕР: Решите систему ⎨2 x1 − 3 x2 − x3 − 5 x4 = 0,
⎪3 x − 7 x + x − 5 x = 0.
2
3
4
⎩ 1
Рассмотрим матрицу системы:
24
⎛ 1 −4 2 0 ⎞
⎛ 1 −4 2 0 ⎞
⎜
⎟ ⎛ α 2 − 2α1 ⎞ ⎜
⎟
Α = ⎜ 2 −3 −1 −5 ⎟ ~ ⎜
⎟ ⎜ 0 5 − 5 −5 ⎟ ~
⎜ 3 −7 1 −5 ⎟ ⎝ α 3 − 3α1 ⎠ ⎜ 0 5 −5 −5 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 −4 2 0 ⎞
⎛ 1 0 −2 −4 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
~ (α 3 − α 2 ) ⎜ 0 1 −1 −1⎟ ~ (α1 + 4α 2 ) ⎜ 0 1 −1 −1 ⎟ .
⎜0 0 0 0 ⎟
⎜0 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Следовательно, r ( A ) = 2 . Выберем x1 и x2 в качестве базисных неизвестных и
запишем преобразованную систему:
⎧ x1 = 2 x3 + 4 x4 ,
⎨
⎩ x2 = x3 + x4 .
Полагая x3 = c1 , x4 = c2 , где c1 и c2 − произвольные числа, получаем общее решение однородной системы в виде:
⎛ 2⎞
⎛ 4⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
1⎟
1
⎜
X = c1
+ c2 ⎜ ⎟ .
⎜1⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝0⎠
⎝1⎠
2.6. Метод Гаусса решения систем
m линейных уравнений с n неизвестными
Одним из основных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса.
Эквивалентными преобразованиями системы являются следующие:
1) перемена местами двух любых уравнений системы;
2) умножение любого уравнения системы на произвольное число k ≠ 0 ;
3) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k ≠ 0 .
Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные
преобразования элементов расширенной матрицы системы (Α Β) . Заметим, что
элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.
Сформулируем алгоритм Гаусса как преобразование строк матрицы (Α Β) к
верхнему треугольному виду, которое позволяет не только вычислить ранги
матриц (Α) и (Α Β) , но и записать решение системы.
Наиболее удобен метод Гаусса – Ньютона, в котором матрицу приводят не
к треугольному, а к диагональному виду. При этом сразу получается решение
системы уравнений.
25
⎧ x1 + x2 + x3 = 6
ПРИМЕР: Решите систему ⎨⎪2 x1 − x2 + x3 = 3 .
⎪x + x − x = 0
3
⎩ 1 2
Запишем расширенную матрицу системы
⎛1 1 1
( A B ) = ⎜⎜ 2 −1 1
⎜ 1 1 −1
⎝
6⎞
⎛1 1 1
⎟ ⎛ α 2 − 2α1 ⎞ ⎜
3⎟ ∼ ⎜
⎟ ⎜ 0 −3 −1
α
α
−
3
1
⎝
⎠
⎜ 0 0 −2
0 ⎟⎠
⎝
6⎞
⎟
−9 ⎟ ,
−6 ⎟⎠
Ранг основной матрицы системы равен трем, совпадает с рангом расширенной
матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система линейных уравнений совместна. Вернемся к системе уравнений:
⎧ x1
⎪
⎨
⎪
⎩
+
−
x2
3 x2
+
−
−
x3
x3
2 x3
=
=
=
6
⎧ x1
⎪
−9 ⇒ ⎨
⎪
−6
⎩
+
−
x2
3 x2
26
+
−
3
3
x3
=
=
=
6
⎧ x1 + 5 = 6
⎪
− 9 ⇒ ⎨ x2 = 2
⎪x = 3
3
⎩ 3
⎧ x1 = 1
⎪
⎨ x2 = 2 .
⎪x = 3
⎩ 3
2.7.
Проверочный тест: системы линейных уравнений
1. Ранг матрицы – это максимальный порядок отличных от нуля
а) векторов;
б) матриц;
в) миноров;
г) определителей; д) точек
этой матрицы.
Ответ:
2. Ранг матрицы ⎛⎜⎜
1 2 3⎞
⎟⎟ равен
⎝ 4 5 6⎠
а) 0; б) 2; в) 3; г) не существует; д) 6.
Ответ:
3. Ранг матрицы
⎛2
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜2
⎜
⎜2
⎝
а) 2;
4⎞
⎟
4⎟
4⎟
⎟ равен
4⎟
4⎟
⎟
2 2 2 4 4 4 4 ⎟⎠
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
б) 4;
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
в) 6;
г) 7;
д) 8; е)
2 2
;
0 2
ж) не существует.
Ответ:
4. Система линейных уравнений совместна, если а) ее ранг равен 2; б) ранг ее
расширенной матрицы равен 0;
в) ранг ее основной матрицы равен рангу ее расширенной матрицы;
г) ранг ее основной матрицы больше ранга ее расширенной матрицы;
д) ранг ее основной матрицы меньше ранга ее расширенной матрицы.
Ответ:
5. Система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только
тогда, когда
а) число ее базисных неизвестных равно 1;
б) число ее базисных неизвестных равно 0;
в) число ее свободных неизвестных равно 0;
г) число ее базисных неизвестных равно числу ее свободных неизвестных;
д) ее ранг равен числу неизвестных;
е) ее ранг равен 1;
ж) ее ранг не существует;
з) число уравнений равно числу неизвестных.
27
Ответ:
6. Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений тогда и
только тогда, когда
а) она не имеет базисных неизвестных;
б) ее ранг равен 0;
в) она имеет свободные неизвестные;
г) ее ранг равен ∞ ;
д) ее ранг не равен числу неизвестных;
е) ее ранг равен числу уравнений;
ж) число уравнений не равно числу неизвестных;
з) она имеет неквадратную матрицу.
Ответ:
7. Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда
а) ее ранг равен числу неизвестных;
б) ее ранг не равен числу неизвестных;
в) число свободных неизвестных больше 0;
г) число уравнений меньше числа неизвестных;
д) она имеет неквадратную матрицу.
Ответ:
8. Укажите матрицу несовместной системы линейных уравнений
2 4 0 1⎞
1 1 1⎞
⎛1 0 0 2⎞
⎛ 2 0 0 0⎞
⎟⎟ ;
⎟⎟ ; в) ⎜⎜
⎟⎟ ; г) ⎜⎜
⎟⎟ ;
б) ⎛⎜⎜
а) ⎛⎜⎜
⎝ 1 2 0 1⎠
1 1 1 1⎞
⎟⎟ .
д) ⎛⎜⎜
⎝2 2 2 2⎠
⎝ 0 1 1⎠
⎝0 1 0 4⎠
⎝ 0 2 0 0⎠
Ответ:
9. Для того чтобы при решении систем линейных уравнений методом Гаусса
1 2 4 5 7⎞
⎟⎟ получить 0 на месте элемендля системы уравнений с матрицей ⎛⎜⎜
⎝3 5 0 0 1⎠
та a 21 , нужно элементы первой строки матрицы умножить на:
а) 3; б) 5; в) –3; г) 0; д) –7; е) ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟
7
⎝1⎠
и сложить с элементами второй строки.
Ответ:
Правильные ответы:
1. в), г).
2. б).
3. б).
4. в).
5. в), д).
6. в), д).
7. б), в).
8. а).
9. в).
28
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Задача 1. Вычислите ранг матрицы
⎛1 1
⎜
⎜3 − 3
⎜1 1
⎜⎜
⎝1 − 1
1
1⎞
⎟
6 −6 9 ⎟
.
4 4
9⎟
⎟
8 − 8 27 ⎟⎠
1
Решение:
⎛1 1
⎜
⎜3 − 3
⎜1 1
⎜⎜
⎝1 − 1
1⎞
⎛1 1
⎜
⎟
6 −6 9 ⎟
⎜0 − 6
{
}
→
α
−
3
α
→
α
→
2
1
2
⎜1 1
4 4
9⎟
⎜⎜
⎟⎟
8 − 8 27 ⎠
⎝1 −1
1
1
⎛1 1
⎜
⎧α 2
⎫
⎜0 − 2
→ ⎨
→ α2 ⎬ → ⎜
1 1
⎩ 3
⎭
⎜⎜
⎝1 −1
1⎞
⎟
3 −9 6 ⎟
→
4 4
9⎟
⎟
8 − 8 27 ⎟⎠
1
1
1⎞
⎟
1 −3 2 ⎟
→ {α 3 − α1 → α 3 } →
4 4
9⎟
⎟⎟
8 − 8 27 ⎠
1⎞
1⎞
⎛1 1 1 1
⎛1 1 1 1
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜0 − 2 1 − 3 2 ⎟
⎜0 − 2 1 − 3 2 ⎟
→ ⎜
→ {α 4 − α1 → α 4 } → ⎜
→
0 0 3 3
8⎟
0 0 3 3
8⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎝ 1 − 1 8 − 8 27 ⎠
⎝ 0 − 2 7 − 9 26 ⎠
1⎞
⎛1 1 1 1
⎜
⎟
⎜0 − 2 1 − 3 2 ⎟
→ {α 4 − α 2 → α 4 } → ⎜
→ {α 4 − 2α 3 → α 4 } →
0 0 3 3
8⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 6 − 6 24 ⎠
⎛1 1
⎜
⎜0 − 2
→ ⎜
0 0
⎜⎜
⎝0 0
1
1
1
1⎞
⎟
1 − 3 2⎟
.
3
3
8⎟
⎟
0 − 12 8 ⎟⎠
1
В левом верхнем углу матрицы стоит определитель треугольного вида,
который равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали
72 ≠ 0 , значит ранг матрицы равен четырем.
Ответ: ранг матрицы равен 4.
Задача 2. Решите систему линейных уравнений
⎧ x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = −5,
⎪ x − 2 x + 3x = −4,
⎪ 1
3
4
⎨
⎪3x1 + 2 x 2 − 5 x 4 = 12,
⎪⎩4 x1 + 3x 2 − 5 x 3 = 5.
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы
⎛0
⎜
⎜1
⎜3
⎜⎜
⎝4
1 −3
4 − 5⎞
⎟
0 − 2 3 − 4⎟
.
2 0 − 5 12 ⎟
⎟
3 −5 0
5 ⎟⎠
Если ∆ ≠ 0 , то неизвестные можно найти по формулам Крамера:
∆
∆
∆
∆
x1 = 1 , x 2 = 2 , x3 = 3 , x 4 = 4 .
∆
∆
∆
∆
26
Вычислим основной определитель
элементам первой строки:
0 1 −3
матрицы системы ∆ разложением по
4
0 −2 3
1 −2 3
1 0 −2 3
1+1
1+ 2
∆=
= 0 ⋅ ( −1) ⋅ 2 0 − 5 + 1 ⋅ ( −1) ⋅ 3 0 − 5 +
3 2 0 −5
3 −5 0
4 −5 0
4 3 −5 0
1
+ ( − 3 ) ⋅ ( − 1)
1+ 3
⋅3
4
0
3
2
3
− 5 + 4 ⋅ ( − 1)
0
1+ 4
1
0
−2
⋅3
4
2
3
0 = 0 ⋅ 0 + ( − 1 ) ⋅ ( − 30 ) − 3 ⋅ 18 − 4 ⋅ ( − 12 ) = 2 4 .
−5
Чтобы получить определитель ∆1 , заменим в ∆ первый столбец столбцом
свободных членов
∆1 =
−5 1 −3
−4 0 −2
12
5
4
3
⎧разложим определитель по ⎫
=⎨
⎬=
2 0 − 5 ⎩элементам второго столбца ⎭
3 −5 0
−4 −2
= 1 ⋅ ( −1)1+ 2 ⋅ 12
5
+ 2 ⋅ ( −1)
3+ 2
−5 −3
3
0 − 5 + 0 ⋅ ( −1) 2+ 2 ⋅ 12
−5 0
5
4
0 −5 +
−5 0
−5 −3 4
−5 −3 4
4+2
⋅ − 4 − 2 3 + 3 ⋅ ( −1) ⋅ − 4 − 2 3 =
5 −5 0
12 0 − 5
= −1 ⋅ ( −30) + 0 + ( −2) ⋅ 0 + 3 ⋅ ( −2) = 24.
Аналогично вычисляем ∆ 2 , ∆ 3 и ∆ 4 :
0 −5 −3
∆2 =
0 1 −5
4
4
1 −4 −2 3
1 0 −4 3
= 48 , ∆ 3 =
= 24 ,
3 12 0 − 5
3 2 12 − 5
4 5 −5 0
4 3 5
0
0 1 −3 −5
∆4 =
1 0 −2 −4
= −24 .
3 2 0 12
4 3 −5 5
Отсюда x1 = ∆1 = 24 = 1 , x 2 = ∆ 2 = 48 = 2 , x3 = ∆ 3 = 24 = 1 , x4 = ∆ 4 = −24 = −1 .
∆
24
∆
∆
24
24
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
2
Ответ: X = ⎜ ⎟ .
⎜ 1⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ −1 ⎠
Задача 3. Решите систему линейных уравнений
⎧ x1 + 2 x 2 − 2 x 3 + x 4 − x5 = 1,
⎪
⎨− 2 x1 − 4 x 2 + 4 x 3 − 2 x 4 + 2 x5 = −2,
⎪− x − 2 x + 2 x − x + x = −1.
2
3
4
5
⎩ 1
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы
27
∆
24
2 −2 1 −1 1 ⎞
⎛1
⎜
( Α Β ) = ⎜ −2 −4 4 −2 2 −2 ⎟⎟ → {α 2 + 2α1 → α 2 } →
⎜ −1 −2 2 −1 1 −1 ⎟
⎝
⎠
⎛1 2 − 2 1 − 1 1⎞
2 − 2 1 −1 1 ⎞
⎛1
⎟
⎜
⎜
⎟
→⎜ 0
0
0
0
0
0 ⎟ → {α 3 + α1 → α 3 } → → ⎜ 0 0 0 0 0 0 ⎟ → (1 2 − 2 1 − 1 1) .
⎜ 0 0 0 0 0 0⎟
⎜ − 1 − 2 2 − 1 1 − 1⎟
⎠
⎝
⎝
⎠
Ранг основной матрицы системы равен единице и совпадает с рангом расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера – Капелли
система линейных уравнений совместна. Она равносильна уравнению:
x1 + 2 x 2 − 2 x3 + x 4 − x5 = 1 .
В качестве базисного неизвестного выберем x1 , остальные неизвестные считаем свободными. При x 2 = c1 , x3 = c2 , x4 = c3 , x5 = c4 выразим базисное неизвестное
через эти параметры:
x1 = −2c1 + 2c2 − c3 + c 4 + 1 .
Итак,
⎧ x1 = −2c1 + 2c2 − c3 + c4 + 1,
⎪x = c ,
1
⎪⎪ 2
⎨ x3 = c2 ,
⎪x = c ,
3
⎪ 4
⎪⎩ x5 = c4 .
⎛ − 2⎞
⎛2⎞
⎛ − 1⎞
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
0
0
1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
Ответ: X = c1 ⋅ ⎜ 0 ⎟ + c2 ⋅ ⎜ 1 ⎟ + c3 ⋅ ⎜ 0 ⎟ + c4 ⋅ ⎜⎜ 0 ⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟ .
⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜1⎟
⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟
⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜1⎟ ⎜0⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Задача 4. Решите систему линейных уравнений
⎧ x1 + 2 x 2 + 3 x3 + 4 x 4 + 4 x5 + 4 x6 = 18,
⎪
2 x 2 + 3 x3 + 4 x 4 + 4 x5 + 4 x6 = 18,
⎪
⎪⎪
3 x3 + 4 x 4 + 4 x5 + 4 x6 = 18,
⎨
2
4
6 x3 + 8 x 4 + 8 x5 + 8 x6 = 36,
+
+
x
x
2
⎪ 1
⎪3x1 + 6 x 2 + 9 x3 + 12 x 4 + 12 x5 + 12 x6 = 54,
⎪
⎪⎩4 x1 + 8 x 2 + 12 x3 + 16 x 4 + 16 x5 + 16 x 6 = 72.
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы
⎛1
⎜0
⎜
⎜0
(Α Β ) = ⎜ 2
⎜
⎜3
⎜⎜
⎝4
2
3
4
4
4
2
0
3
3
4
4
4
4
4
4
4
6
6
9
8
12
8
12
8
12
8
12
16
16
16
28
18 ⎞
18 ⎟⎟
18 ⎟
⎟ → {α 4 − 2α 1 → α 4 } →
36 ⎟
54 ⎟
⎟
72 ⎟⎠
⎛1
⎜
⎜0
⎜0
→⎜
⎜0
⎜3
⎜
⎜4
⎝
В
18 ⎞
⎛1
⎜
⎟
18 ⎟
⎜0
⎜0
⎟
18
⎧α − 3α1 → α 5 ⎫
⎟→⎨ 5
⎬→ →⎜
0 ⎟ ⎩α 6 − 4α1 → α 6 ⎭
⎜0
⎜0
54 ⎟
⎜
⎟
⎜0
8 12 16 16 16 72 ⎟⎠
⎝
2
2
0
0
6
3
3
3
0
9
4 4 4
4 4 4
4 4 4
0 0 0
12 12 12
левом
верхнем
углу
матрицы
4 18 ⎞
⎟
4 18 ⎟
⎛ 1 2 3 4 4 4 18 ⎞
⎟
4 18 ⎟ ⎜
⎟ → ⎜ 0 2 3 4 4 4 18 ⎟ .
0 0⎟ ⎜
0 0 3 4 4 4 18 ⎟⎠
0 0⎟ ⎝
⎟
0 0 0 0 0 0 ⎟⎠
2
2
0
0
0
3
3
3
0
0
4
4
4
0
0
стоит
4
4
4
0
0
треугольный
определитель
1 2 3
0 2 3 = 6 ≠ 0 , значит его можно считать базисным минором. Ранг основной
0 0 3
матрицы системы линейных уравнений равен трем и равен рангу ее
расширенной матрицы, следовательно, система совместна по теореме
Кронекера – Капелли. Для удобства продолжим преобразования матрицы и
приведем базисный минор не только к треугольному, но и к диагональному ви⎧α − α 2 → α1
получим:
⎩α 2 − α 3 → α 2
ду. С помощью преобразований ⎨ 1
⎛1 0 0
⎜
⎜0 2 0
⎜0 0 3
⎝
0 ⎞
⎟
0 0 0 0 ⎟.
4 4 4 18 ⎟⎠
0 0 0
Восстановим по полученной матрице решение системы уравнений:
⎧ x1 = 0,
⎪
⎨2 x 2 = 0,
⎪3x + 4 x + 4 x + 4 x = 18.
4
5
6
⎩ 3
Базисный минор содержит базисные неизвестные x1 , x 2 , x3 . Свободными
являются неизвестные x 4 , x5 , x6 . Придадим свободным неизвестным значения
x 4 = c1 , x5 = c 2 , x 6 = c 3 и перенесем их в правую часть уравнений:
⎧ x1 = 0,
⎧ x1 = 0,
⎪ x = 0,
⎪2 x = 0,
⎪ 2
2
⎪
⎪
4
4
4
⎪⎪3x 3 = −4c1 − 4c 2 − 4c 3 + 18,
⎪ x 3 = − c1 − c 2 − c3 + 6,
↔
3
3
3
⎨
⎨
⎪ x 4 = c1 ,
⎪ x 4 = c1 ,
⎪ x5 = c2 ,
⎪
⎪
⎪ x5 = c2 ,
⎪⎩ x 6 = c 3
⎪x = c .
3
⎩ 6
⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞
⎛ 0 ⎞
⎛ 0 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 4⎟
⎜ 4⎟
⎜ 4⎟
Ответ: X = c1 ⋅ ⎜ − 3 ⎟ + c2 ⋅ ⎜ − 3 ⎟ + c3 ⋅ ⎜ − 3 ⎟ + ⎜⎜ 6 ⎟⎟ .
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 1 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ 0 ⎟
⎠ ⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
Задача 5. Решить систему линейных уравнений
⎧ x1 − 2 x 2 + 3x 3 − 4 x 4 = 4,
⎪ x − x + x = −3,
⎪ 2
3
4
⎨
3
3
+
−
x
x
x 4 = 1,
2
⎪ 1
⎪⎩− 7 x 2 + 3x 3 + x 4 = −3.
Решение:
Воспользуемся методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:
29
⎛1 − 2 3 − 4 4 ⎞
⎛1 − 2 3 − 4 4 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 1 − 1 1 − 3⎟
⎜ 0 1 − 1 1 − 3⎟
→
→ {α 3 − α1 → α 3 } → ⎜
⎜1 3
0 5 − 3 1 − 3⎟
0 −3 1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0 − 7 3
⎜0 − 7 3
1 − 3 ⎟⎠
1 − 3 ⎟⎠
⎝
⎝
4 ⎞
⎛1 − 2 3 − 4
⎜
⎟
⎧α 3 − 5α 2 → α 3 ,⎫
−
−
0
1
1
1
3⎟
⎜
→⎨
⎬ →⎜
→ {α 4 + 2α 3 → α 4 } →
0 0
2 − 4 12 ⎟
⎩α 4 + 7α 2 → α 4 ⎭
⎜
⎟
⎜ 0 0 − 4 8 − 24 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −2 3 −4 4 ⎞
⎛ 1 −2 3 −4 4 ⎞
⎜
⎟
0 1 −1 1 −3 ⎟ ⎧α 3
⎫ ⎜
⎟
⎜
→
→ ⎨ → α 3 ⎬ → ⎜ 0 1 −1 1 −3 ⎟ .
⎜ 0 0 2 −4 12 ⎟ ⎩ 2
⎭ ⎜
⎟
⎝ 0 0 1 −2 6 ⎠
⎜⎜ 0 0 0 0 0 ⎟⎟
⎝
⎠
В левом верхнем углу стоит треугольный определитель третьего порядка
1 −2
3
0
1
−1 = 1 ≠ 0 ,
0
0
1
значит ранг прямой матрицы системы равен 3, равен рангу ее расширенной матрицы, и система совместна.
Чтобы получить ее решение, получим нули под главной диагональю базисного минора с помощью преобразования α 2 + α 3 → α 2 :
⎛ 1 0 3 − 6 10 ⎞
⎛1 − 2 3 − 4 4⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 1 0 − 1 3 ⎟ → {α1 + 2α 2 → α1 } → ⎜ 0 1 0 − 1 3 ⎟ →
⎜0 0 1 − 2 6 ⎟
⎜0 0 1 − 2 6⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1 0 0 0 − 8⎞
⎜
⎟
→ {α1 − 3α 3 → α1 } → ⎜ 0 1 0 − 1 3 ⎟ .
⎜0 0 1 − 2 6 ⎟
⎝
⎠
Восстановим по матрице решение системы уравнений при x 4 = c :
⎧ x1 = −8,
⎪ x = 3 + c,
⎪ 2
⎨
⎪ x 3 = 6 + 2 c,
⎪⎩ x 4 = c.
⎛ 0 ⎞ ⎛ − 8⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3
1
Ответ: X = c ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ .
6
2
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠
Задача 6. Решите систему линейных уравнений
⎧2 x1 + x 2 − x 3 + x 4 = 1,
⎪3x − 2 x + 2 x − 3x = 2,
⎪ 1
2
3
4
⎨
x
x
x
x
5
2
+
−
+
=
−1,
1
2
3
4
⎪
⎪⎩2 x1 − x 2 + x 3 − 3x 4 = 4.
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы уравнений
1 ⎞
1 ⎞
⎛2 1 −1 1
⎛2 1 −1 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎧α 3 − α1 − α 2 → α 3 ,⎫ ⎜ 3 − 2 2 − 3 2 ⎟
⎜3 − 2 2 − 3 2 ⎟
→
→
→
⎨
⎬ ⎜
⎜ 5 1 − 1 2 − 1⎟
α 4 − α1 → α 4
0 2 − 2 4 − 4⎟
⎩
⎭
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝2 −1 1 − 3 4 ⎠
⎝0 − 2 2 − 4 3 ⎠
30
1 ⎞
⎛2 1 − 3 1
⎜
⎟
⎜3 − 2 2 − 3 2 ⎟
.
→ {α 4 + α 3 → α 4 } → ⎜
0 2 − 2 4 − 4⎟
⎜⎜
⎟⎟
0
0 −1⎠
⎝0 0
Система несовместна, так как ранг основной матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы. Убедимся, что ранг основной матрицы меньше ранга
расширенной матрицы. Чтобы не работать с дробями, проделаем вспомогательное преобразование α 2 + α1 → α 2 , α 3 : 2 → α 3 :
⎛2 1 1 1 1 ⎞
⎛ 1 −3 3 −4 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 1 −3 3 −4 1 ⎟ → {α ↔ α } → ⎜ 2 1 1 1 1 ⎟ .
1
2
⎜ 0 1 −1 2 −2 ⎟
⎜ 0 1 −1 2 −2 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 0 0 −1 ⎠
⎝ 0 0 0 0 −1 ⎠
Таким образом, элемент a11 = 1, что удобно для вычислений.
С помощью преобразования α 2 − 2α1 → α 2 , получим
⎛ 1 −3 3 −4 1 ⎞
⎛ 1 −3 3 −4 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎫ ⎜ 0 1 −1 2 − 2 ⎟
⎜ 0 7 −7 9 −1 ⎟ → ⎧⎨α 2 ↔ α 3 ,
→
→
⎬
⎜ 0 1 −1 2 −2 ⎟ ⎩α 4 ⋅ (−1) → α 4 ⎭ ⎜ 0 7 −7 9 −1 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 0 0 −1 ⎠
⎝0 0 0 0 1 ⎠
⎛ 1 −3 3 −4 1 ⎞
⎜
⎟
0 1 −1 2 −2 ⎟
→ {α 3 − 7α 2 → α 3 } → ⎜
.
⎜ 0 0 0 −5 13 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝0 0 0 0 1 ⎠
Ранг прямой матрицы равен 3, так как она содержит минор
1 −3 −4
0 1 2 = −5 ≠ 0
0 0 −5
третьего порядка и не содержит отличных от нуля определителей большего
порядка.
Ранг расширенной матрицы равен 4, так как она содержит минор
1 −3 −4 1
0 1 2 −2
= −5 ≠ 0
0 0 −5 13
0 0 0 1
четвертого порядка. Следовательно, по теореме Кронекера – Капелли система
несовместна.
31
4.
1.1.
2.1.
3.1.
ВАРИАНТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
3
⎛ 1
⎜
⎜ 2
Перемножить матрицы ⎜ 0
⎜
⎜ 3
⎜
⎝ 2
3
1
Вычислить определитель
1
1
3⎞
0 −
⎟
2 ⎟
1
0 ⎟ .
⎟
1 ⎟
0
⎟
2 ⎠
1 1 1
3 1 1
.
1 3 1
1 1 3
⎛ 0 2 0 0⎞
⎜
⎟
−2 0 0 0 ⎟
Найти обратную матрицу ⎜
.
⎜ 0 0 2 0⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 2⎠
4.1. Решить матричное уравнение AXBC = E ,
⎛ 3
⎛ 0 −1 0 ⎞
⎜
где A = ⎜⎜ −1 0 0 ⎟⎟ , B = ⎜ 1
⎜
⎜ 0 0 1⎟
⎜ 0
⎝
⎠
⎝
⎛ 3
⎜
⎜ 4
−1 0 ⎞
⎟
⎜ 1
3 0⎟ , C = ⎜ −
⎟
⎜ 4
0 2⎟
⎜
⎠
⎜⎜ 0
⎝
⎛1 3 2
⎜
2 −1 3
5.1. Вычислить ранг матрицы ⎜⎜
3 −5 4
⎜⎜
⎝ 1 17 4
1
4
3
4
0
⎞
0⎟
⎟
⎟
0⎟.
⎟
1⎟
2 ⎟⎟
⎠
0⎞
⎟
0⎟
.
0⎟
⎟
0 ⎟⎠
Решить системы линейных уравнений:
⎧ x1 + 2 x 2 + 3x 3 = 0,
⎪2 x + 3x + 3x = 9,
4
6.1. ⎪⎨ 1 2
3
+
3
+
2
x
x
x
3
4 = 6,
⎪ 1
⎪⎩3x 2 + 2 x 3 + x 4 = 3.
7.1.
⎧ x1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5 + 2 x 6 = 11,
⎪
2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5 + 2 x 6 = 11,
⎪
⎪⎪
2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5 + 2 x 6 = 11,
8.1. ⎨
2 x 4 + 2 x 5 + 2 x 6 = 11,
⎪
⎪
2 x 5 + 2 x 6 = 11,
⎪
⎪⎩2 x1 + 4 x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 + 4 x 5 + 4 x 6 = 22.
⎧ x1 + x 2 = 1,
⎪ x + x + x = 4,
2
3
⎪⎪ 1
9.1. ⎨ x 2 + x3 + x 4 = −3,
⎪ x + x + x = 2,
4
5
⎪ 3
⎪⎩ x 4 + x 5 = −1.
32
⎧3x1 − 3x 2 + 6 x 3 − 6 x 4 + 3x 5 = −9,
⎪
⎨ x1 − x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 + x 5 = −3,
⎪− x + x − 2 x + 2 x − x = 3.
2
3
4
5
⎩ 1
Вариант 2
1.2.
⎛
⎜1
⎜
Перемножить матрицы ⎜⎜ 0
⎜
⎜
⎜0
⎝
⎞⎛
0
0 ⎟ ⎜1 0
⎟⎜
3
1⎟ ⎜
3
− ⎟i⎜ 0
2
2
2
⎟⎜
1
3⎟ ⎜
1
⎟ ⎜0 −
2
2 ⎠⎝
2
2 1 0 0
2
⎞
0 ⎟
⎟
1 ⎟
.
2 ⎟
⎟
3⎟
⎟
2 ⎠
1 2 1 0
.
0 1 2 1
0 0 1 2
⎛ 3 0 0 0⎞
⎜
⎟
0 0 −3 0 ⎟
Найти обратную матрицу ⎜
.
⎜0 3 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 3⎠
2.2. Вычислить определитель
3.2.
4.2. Решить матричное уравнение A3 X = B ,
⎛ 1
⎜ 2
⎜
где A = ⎜ 0
⎜ 1
⎜⎜
⎝ 2
0 −
1
0
1 ⎞
⎛ −2 0 0 ⎞
2 ⎟⎟
0 ⎟ , B = ⎜⎜ 0 2 0 ⎟⎟ .
⎜ 0 0 −2 ⎟
1 ⎟⎟
⎝
⎠
⎟
2 ⎠
⎛1
⎜
⎜1
5.2. Вычислить ранг матрицы ⎜⎜ 0
⎜0
⎜0
⎝
0 1 0 0⎞
⎟
1 0 0 0⎟
1 1 0 0⎟ .
⎟
0 1 1 1⎟
1 0 1 1 ⎟⎠
Решить системы линейных уравнений
⎧2 x 2 + 3 x 3 = 1 ,
⎪
6.2. ⎪⎨x 1 + 3x 3 = 2 ,
⎪x 1 + 2 x 2 = −3 ,
⎪⎩4 x 4 = 4.
⎧ x1 + 2 x 2 − 2 x 3 + x 4 − x 5 = 1,
7.2. ⎪⎨− 2 x1 − 4 x 2 + 4 x 3 − 2 x 4 + 2 x5 = −2,
⎪− x − 2 x + 2 x − x + x = −2.
2
3
4
5
⎩ 1
x1 + 2 x 2 + 3x 3 + 4 x 4 + 4 x 5 + 4 x 6 = 0,
⎧
⎪
2 x 2 + 3x 3 + 4 x 4 + 4 x 5 + 4 x 6 = 0,
⎪
⎪
3x 3 + 4 x 4 + 4 x 5 + 4 x 6 = 0,
8.2. ⎪⎨
4 x 4 + 4 x 5 + 4 x 6 = 0,
⎪
⎪ 2 x1 + 4 x 2 + 6 x 3 + 8 x 4 + 8 x 5 + 8 x 6 = 0,
⎪
⎪⎩3x1 + 6 x 2 + 9 x 3 + 12 x 4 + 12 x 5 + 12 x 6 = 0.
⎧ x1 − 2 x 2 + x 4 = −3,
⎪3x − x − 2 x = 1,
3
9.2. ⎪⎨ 1 2
⎪2 x1 + x 2 − 2 x 3 − x 4 = 4,
⎪⎩ x1 + 3x 2 − 2 x 3 − 2 x 4 = 7.
33
Вариант 3
1.3.
2.3.
3.3.
⎛ 3
1 ⎞⎛ 3
0
⎜
⎟⎜
2 ⎟⎜ 2
⎜ 2
Перемножить матрицы ⎜ 0 1 0 ⎟i⎜ 0
⎜
⎟⎜
3⎟ ⎜ 1
⎜− 1 0
⎜
⎟⎜
2 ⎠⎝ 2
⎝ 2
5 6 0 0 0
1 5 6 0 0
Вычислить определитель 0 1 5 6 0 .
0 0 1 5 6
0 0 0 1 5
⎛5 0 0 0⎞
⎜
⎟
0 5 0 0⎟
⎜
.
Найти обратную матрицу
⎜0 0 0 5⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 −5 0 ⎠
1⎞ ⎛ 3
0 − ⎟⎜
0
2⎟ ⎜ 2
1 0 ⎟i⎜ 0 1
⎟⎜
3⎟ ⎜ 1
0
0
⎟ ⎜−
2 ⎠⎝ 2
1 ⎞
⎟
2 ⎟
0 ⎟.
⎟
3⎟
⎟
2 ⎠
4.3. Решить матричное уравнение AXA = C ,
⎛0
⎜
0
где A = ⎜
⎜0
⎜
⎝1
0
0
1
0
0
1
0
0
1⎞
⎛ −3 0 0 0 ⎞
⎟
⎜
⎟
0⎟
0 −3 0 0 ⎟
⎜
, C=
.
⎜ 0 0 −3 0 ⎟
0⎟
⎟
⎜
⎟
0⎠
⎝ 0 0 0 −3 ⎠
0
⎛ 1
⎜
1
⎜ 0
5.3. Вычислить ранг матрицы ⎜⎜ 0 0
⎜ 0 −1
⎜−1 0
⎝
0
0
1
0
0
− 2⎞
⎟
−2 0 ⎟
0
0 ⎟.
⎟
2
0 ⎟
0
2 ⎟⎠
0
Решить системы линейных уравнений
⎧ x1 + 2 x 2 + 3x 3 + 4 x 4 = 21,
⎪2 x + 3x = 0,
6.3. ⎪⎨ 1 2
⎪2 x 2 + 3x 3 = 21,
⎪⎩2 x 3 + 4 x 4 = 14.
⎧ x1 + 2 x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 15,
⎪
2 x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 15,
⎪
⎪
3x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 15,
8.3. ⎪⎨
3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 15,
⎪
⎪2 x1 + 4 x 2 + 6 x 3 + 6 x 4 + 6 x 5 + 6 x 6 = 30,
⎪
⎪⎩3x1 + 6 x 2 + 9 x 3 + 9 x 4 + 9 x 5 + 9 x 6 = 45.
⎧ x1 + x 2 − 3 x 3 − 2 x 4 − x 5 = 3,
7.3. ⎪⎨2 x1 + 2 x 2 − 6 x3 − 4 x 4 − 2 x5 = 6,
⎪− x − x + 3x + 2 x + x = −6.
2
3
4
5
⎩ 1
⎧2 x1 − x 2 + 3x 3 = 3,
⎪3x + x − 5 x = 0,
9.3. ⎪⎨ 1 2 3
⎪4 x1 − x 2 + x 3 = 3,
⎪⎩ x1 + 3x 2 − 13 x 3 = −6.
34
Вариант 4
1.4.
⎛ 3
⎜
Перемножить матрицы ⎜⎜ 2
1
⎜−
⎜ 2
⎜ 0
⎜⎜
⎝
1
2
3
2
0
⎞
0⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
1⎟
⎟⎟
⎠
1
3
1
1
1
⎛ 0
⎜
0
Найти обратную матрицу ⎜
⎜ 0
⎜
⎝ −4
1
1
4
1
1
0
4
0
0
2
1
2.4. Вычислить определитель 1
1
1
3.4.
4.4.
3
1
1
1
1
6
4⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
0⎠
Решить матричное уравнение ABXC = E ,
⎛
⎜1
где ⎜⎜
A = ⎜0
⎜
⎜
⎜0
⎝
⎛
0
3
2
1
2
⎞
⎜1
0 ⎟
⎜
⎟
1 ⎟ B = ⎜0
− ⎟,
⎜
2
⎜
⎟
⎜
3⎟
−
⎜0
⎟
⎝
2 ⎠
0
1
2
−
⎛2
⎜
⎜1
⎜1
5.4. Вычислить ранг матрицы ⎜
⎜1
⎜1
⎜
⎜1
⎝
3
2
1
3
1
1
2
1
1
1
1
5
1
0
0
4
0
⎞
⎛ 1
0 ⎟
⎜− 2
⎟
⎜
3⎟
⎜ 0
,
=
C
⎜
2 ⎟
⎟
⎜
1 ⎟
⎜⎜ 0
⎟
⎝
2 ⎠
1 1⎞
⎟
1 1⎟
4 1⎟
⎟.
1 5⎟
3 4⎟
⎟
1 1 ⎟⎠
0
1
2
0
⎞
0⎟
⎟
.
0⎟
⎟
⎟
1⎟
⎟
2⎠
Решить системы линейных уравнений
⎧2 x1 − x 2 + 3x 3 + 2 x 4 = 10,
⎪3x + 3x = 15,
6.4. ⎪⎨ 1 2
⎪− x 2 − 2 x 4 = 0,
⎪⎩3x1 − x 4 = 15.
⎧ x1 + 2 x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 15,
⎪
2 x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 15,
⎪
⎪⎪
3x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 15,
8.4. ⎨
3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 15,
⎪
⎪
3x 5 + 3x 6 = 15,
⎪
⎪⎩2 x1 + 4 x 2 + 6 x 3 + 6 x 4 + 6 x 5 + 6 x 6 = 45.
⎧ x1 − 3x 2 − 2 x 3 − x 4 + x5 = 2,
7.4. ⎪⎨− 2 x1 + 6 x 2 + 4 x 3 + 2 x 4 − 2 x5 = −4,
⎪− x + 3x + 2 x + x − x = −2.
2
3
4
5
⎩ 1
⎧ x1 − 2 x 2 + x 3 + x 4 − x 5 = 0,
⎪2 x + x − x − x + x = 0,
9.4. ⎪⎨ 1 2 3 4 5
⎪ x1 + 7 x 2 − 5 x 3 − 5 x 4 + 5 x 5 = 0,
⎪⎩3x1 − x 2 − 2 x 3 + x 4 − x 5 = 0.
35
Вариант 5
1.5.
2.5.
3.5.
4.5.
⎛ 1
⎜
⎜ 2
⎜
3
Перемножить матрицы ⎜ −
⎜ 2
⎜ 0
⎜⎜
⎝
1 1
3
2
1
2
0
⎞⎛ 1
0⎟ ⎜
⎟⎜ 2
⎟⎜ 3
0 ⎟i⎜
⎟⎜ 2
1⎟ ⎜ 0
⎟⎟ ⎜⎜
⎠⎝
1
−
3
2
1
2
0
⎞⎛ 1
0⎟ ⎜
⎟⎜ 2
⎟⎜
3
0 ⎟i⎜ −
⎟⎜ 2
1⎟ ⎜ 0
⎟⎟ ⎜⎜
⎠⎝
3
2
1
2
0
1
1 2 3 4
Вычислить определитель
.
1 3 6 10
1 4 10 20
⎛ 0 0 −6 0 ⎞
⎜
⎟
0 6 0 0⎟
⎜
Найти обратную матрицу
.
⎜6 0 0 0⎟
⎜
⎟
⎝0 0 0 6⎠
Решить матричное уравнение A2 X = C ,
⎛
⎞
⎜1 0
0 ⎟
⎜
⎟
⎛1 0 0 ⎞
1
1 ⎟
⎜
, C = ⎜⎜ 0 0 −1⎟⎟ .
где A = ⎜ 0
−
⎟
2
2⎟
⎜0 1 0 ⎟
⎜
⎝
⎠
1
1 ⎟
⎜
⎜0
⎟
2
2 ⎠
⎝
⎛1
⎜
⎜0
5.5. Вычислить ранг матрицы ⎜⎜ 0
⎜1
⎜4
⎝
0
1
0
2
5
0 1 4⎞
⎟
0 2 5⎟
1 3 6 ⎟.
⎟
3 14 32 ⎟
6 32 77 ⎟⎠
Решить системы линейных уравнений
⎧ x1 + x 3 + x 4 = 0,
⎪ x + x = 2,
6.5. ⎪⎨ 2 3
⎪ x1 + x 3 = 0,
⎪⎩ x 2 + x 4 = 2.
⎧3x1 + 12 x 2 − 3x 3 + 6 x 4 − 3x 5 = 0,
7.5. ⎪⎨ x1 + 4 x 2 − x 3 + 2 x 4 − x5 = 0,
⎪− x − 4 x + x − 2 x + x = 0.
2
3
4
5
⎩ 1
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 6,
⎧
⎪
x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 6,
⎪
⎪⎪ 2 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5 + 2 x 6 = 12,
8.5. ⎨
⎪ 3x1 + 3 x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 + 3x 6 = 18,
⎪4 x1 + 4 x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 + 4 x 5 + 4 x 6 = 24,
⎪
⎪⎩ 5 x1 + 5 x 2 + 5 x 3 + 5 x 4 + 5 x 5 + 5 x 6 = 30.
⎧ x1 − 2 x 2 + 3x 3 − 4 x 4 + 2 x5 = −2,
⎪ x + 2 x − x − x = −3,
2
3
5
⎪⎪ 1
9.5. ⎨ x1 − x 2 + 2 x 3 − 3x 4 = 10,
⎪ x − x + x − 2 x = −5,
3
4
5
⎪ 2
⎪⎩2 x1 + 3x 2 − x 3 + x 4 + 4 x 5 = 1.
36
⎞
0⎟
⎟
⎟
0⎟ .
⎟
1⎟
⎟⎟
⎠
5.
ОТВЕТЫ К ВАРИАНТАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант
Задачи
1
2
1
⎛ −1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜0 1 0⎟
⎜ 0 0 −1⎟
⎝
⎠
2
⎛
⎜1 0
⎜
3
⎜0
⎜
2
⎜
1
⎜
⎜0 −
2
⎝
⎞
0 ⎟
⎟
1 ⎟
2 ⎟
⎟
3⎟
⎟
2 ⎠
⎛ 3
0
⎜
⎜ 2
⎜ 0 1
⎜
⎜− 1 0
⎜
⎝ 2
1 ⎞
⎟
2 ⎟
0 ⎟
⎟
3⎟
⎟
2 ⎠
48
5
3
⎛
⎜0
⎜
⎜1
⎜2
⎜
⎜0
⎜
⎜
⎜0
⎝
⎛ 0 1 0⎞
⎜
⎟
⎜ −1 0 0 ⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
5
⎛ 1
⎜
⎜ 2
⎜
3
⎜−
⎜ 2
⎜ 0
⎜⎜
⎝
3
2
1
2
0
⎞
0⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
1⎟
⎟⎟
⎠
⎛1
⎜5
⎜
⎜0
⎜
⎜
⎜0
⎜
⎜
⎜⎜ 0
⎝
665
394
1
0
0
0
0
1
2
0
0
⎛1
⎜3 0
⎜
⎜0 0
⎜
⎜
⎜0 −1
⎜
3
⎜
⎜⎜ 0 0
⎝
3
4
1
2
−
⎛
⎜0
⎜
⎜0
⎜
⎜
⎜0
⎜
⎜1
⎜
⎝4
⎛
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
⎜− 1
⎜ 6
⎜
⎜⎜ 0
⎝
37
0
1
3
0
0
0
0
1
5
0
0
0
0
1
5
0
0
1
4
0
0
1
4
0
0
0
1
6
1
6
0
0
0
0
0
4
5
⎞
0⎟
⎟
0⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
1⎟
⎟
2⎠
⎛ 0 −1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ −1 0 0 ⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
2
⎞
0⎟
⎟
0⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
1⎟
⎟⎟
3⎠
⎛ 2
⎜
⎜ 0
⎜
⎝ 2
0 − 2⎞
⎟
2
0 ⎟
⎟
0
2 ⎠
4
⎞
0 ⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
1
− ⎟
5⎟
⎟
0 ⎟⎟
⎠
⎛ −3 0 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −3 0 0 ⎟
⎜ 0 0 −3 0 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 0 −3 ⎠
3
1⎞
− ⎟
4
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎠
⎛ −2
⎜
⎜ 0
⎜
⎝ 0
0 ⎞
⎟
−1 ⎟
⎟
3⎠
4
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜0 1 0⎟
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
3
⎞
0⎟
⎟
0⎟
⎟
⎟
0⎟
⎟
1⎟
⎟⎟
6⎠
0
3
1
Задачи
Вариант
1
2
3
6
7
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
X =⎜ ⎟
0
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠
⎛ − 1⎞ ⎛ − 3 ⎞
⎛2⎞
⎛ − 2⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
1
0
0
⎜ 0⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
X = C1 ⋅ 0 + C 2 ⋅ 1 + C 3 ⋅ 0 + C 4 ⋅ ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜1⎟
⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜1⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ − 1⎞
⎜ ⎟
⎜ − 1⎟
X =⎜ ⎟
1
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 1⎠
несовместна
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
X =⎜ ⎟
7
⎜⎜ ⎟⎟
⎝0⎠
несовместна
⎛ 5⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
X =⎜ ⎟
0
⎜⎜ ⎟⎟
⎝0⎠
⎛ 3⎞
⎛2⎞
⎛1⎞
⎛ − 1⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1
0
0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
X = C1 ⋅ 0 + C 2 ⋅ 1 + C 3 ⋅ 0 + C 4 ⋅ ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜1⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜2⎟
X =⎜ ⎟
0
⎜⎜ ⎟⎟
⎝0⎠
⎛− 4⎞
⎛1⎞
⎛− 2⎞
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟
⎜0⎟
⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
X = C1 ⋅ ⎜ 0 ⎟ + C 2 ⋅ ⎜ 1 ⎟ + C 3 ⋅ ⎜ 0 ⎟ + C 4 ⋅ ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜ 1 ⎟
⎜0⎟
⎜ 0 ⎟
⎜0⎟
⎜ 0 ⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
4
5
38
Задачи
Вариант
1
2
3
8
9
⎛ 0⎞ ⎛0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 0⎟ ⎜0⎟
⎜ 0⎟ ⎜0⎟
X = C ⋅⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎜ 0⎟ ⎜0⎟
⎜ − 1⎟ ⎜ 11 ⎟
⎜ ⎟ ⎜2⎟
⎜ 1⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝0⎠
⎛ − 1⎞ ⎛ 6 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟ ⎜ − 5⎟
X = C ⋅⎜ 0 ⎟ + ⎜ 3 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − 1⎟ ⎜ − 1 ⎟
⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
X = C1 ⋅ ⎜ ⎟ + C 2 ⋅ ⎜ ⎟
⎜ − 1⎟
⎜ − 1⎟
⎜ 0⎟
⎜1⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ 4 5⎞
⎛1 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2 5⎟
⎜ 3 5⎟ ⎜ 2 ⎟
+ C2 ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
X = C1 ⋅ ⎜
⎟
0
0
1
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
1
0
⎝
⎠
⎝ ⎠ ⎝0⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
0
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 0⎟
X = C1 ⋅ ⎜ ⎟ + C 2 ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎜ − 1⎟ ⎜ 5 ⎟
⎜ − 1⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
X = ⎜2⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
несовместна
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
X = C ⋅ ⎜0⎟
⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ − 1⎟ ⎜ 6 ⎟
⎜ − 1⎟
⎜ − 1⎟
⎜ − 1⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜1 ⎟
X = C1 ⋅ ⎜ ⎟ + C 2 ⋅ ⎜ ⎟ + C 3 ⋅ ⎜ ⎟ + C 4 ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 0⎟
⎜1 ⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 1⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
несовместна
4
5
39
6. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бугров Е.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии /
Е.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.
2. Бугров Е.С. Высшая математика: Задачник / Е.С. Бугров, С.М. Никольский.
М.: Наука, 1982.
3. Сборник задач по математике для втузов / под редакцией А.В. Ефимова. М.:
Наука, 1993. Т.1; 1994. Т.2.
4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /
Д.В.Беклемишев. М.: Наука, 1984.
5. Наумов В.А. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / В.А.Наумов. М.: Наука, 1993.
6. Фадеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К. Фадеев, Н.С. Соминский. М.: Наука, 1997.
7. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной
алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. М.: Наука, 1987.
8. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов М.:
Высшая школа, 1994.
40
Учебное пособие
Соболев Александр Борисович
Вигура Марина Александровна
Рыбалко Александр Федорович
Рыбалко Наталья Михайловна
II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ
Редактор Н.П.Кубыщенко
Подписано в печать 15.04.2005
Бумага писчая
Плоская печать
Уч.-изд.л. 2,2
Тираж
Формат 60x84 1/16
Усл.печ.л. 2,38
Заказ
Цена “C”
Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ–УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
ООО «Издательство УМЦ УПИ»
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17
41