Загрузил irina-sga

Контрольная работа №2(+решения)

реклама
1
Контрольная работа 2.
ФИО
Теория вероятностей
1
2
3
4
5
∑
1. Лотерея предлагает один приз 1500 рублей, два приза 750 рублей, и десять призов 100 рублей.
Продали одну тысячу билетов по 7 рублей за билет. Записать закон распределения выигрыша.
Определите вероятность выиграть более 100 рублей. Найдите математическое ожидание выигрыша, если приобретен один билет.
2. Случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром λ = 1. Найти вероятность
того, что X ≥ 2.
3. В схеме из десяти испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании равной 0.9
найти вероятность того, что произойдет хотя бы 2 успеха.
4. Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей:
X \Y
0
1
3
0
0.15
0.05
0.3
−1
0
0.15
0.1
−2
0.15
0
0.1
Найдите
а) закон распределения случайной величины X и закон распределения случайной величины Y ;
б) EX, EY , DX, DY , cov(X, Y ), а также математическое ожидание и дисперсию случайной
величины V = 6X − 4Y + 3.
2
Решение
1. Пусть случайная величина X означает чистый выигрыш. Тогда с вероятностью 1/1000 чистый
выигрыш составит X = 1500 − 7 = 1493, X = 750 − 7 = 743 с вероятностью 2/1000, с вероятностью
10/1000 чистый выигрыш X = 100 − 7 = 93, а с вероятностью 987/1000 теряется 7 рублей, то есть
X = −7. Таким образом, получаем закон распределения
X
1493
743
93
−7
P
0, 001
0, 002
0, 01
0, 987
Выиграть более ста рублей можно в двух случаях: купить билет с призом 1500 рублей или 750 рублей,
поэтому
P (X > 100) = P (X = 1493) + P (X = 743) = 0.001 + 0.002 = 0.003.
Математическое ожидание составляет EX = 1493 · 0.001 + 743 · 0.002 + 93 · 0.01 − 7 · 0.987 = −3. Заметим,
что проще было бы вычислить математическое ожидание для выигрыша без вычитания стоимости
билета, а после уже вычесть 7 рублей (проверьте!).
2.
P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) =
10 −1 11 −1
e − e = 1 − 2e−1 ≈ 0.24.
0!
1!
3. Для схемы Бернулли с вероятностью успеха p = 0.9, числом испытаний n = 10 и k = 2, . . . , 10
=1−
имеем
0
1
P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − C10
(0.1)10 (0.9)0 − C10
(0.1)9 (0.9)1 =
= 1 − (0.1)10 − 10 · 0.9(0.1)9 = 1 − 9.1 · (0.1)9 = 0.9999999909.
4. Для того, чтобы найти законы распределений X и Y нужно просуммировать вероятности по
строкам и столбцам соответственно:
X
0
−1
−2
Y
0
1
3
P
0, 5
0, 25
0, 25
P
0, 3
0, 2
0, 5
Зная законы распределений вычисляем математические ожидания, дисперсии и ковариацию:
EX = 0 · 0.5 − 1 · 0.25 − 2 · 0.25 = −0.75,
EY = 0 · 0.3 + 1 · 0.2 + 3 · 0.5 = 1.7,
DX = E(X 2 ) − (EX)2 = 02 · 0.5 + (−1)2 · 0.25 + (−2)2 · 0.25 − (−0.75)2 =
= 1.25 − 0.5625 = 0.6875,
DY = E(Y 2 ) − (EY )2 = 02 · 0.3 + 12 · 0.2 + 32 · 0.5 − (1.7)2 =
= 4.7 − 2.89 = 1.81,
cov(X; Y ) = E(XY ) − EX · EY =
3
= −1 · 1 · 0.15 − 1 · 3 · 0.1 − 2 · 3 · 0.1 + 0.75 · 1.7 = 0.225.
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины V проще вычислить по свойствам:
EV = E(6X − 4Y + 3) = 6EX − 4EY + 3 = −6 · 0.75 − 4 · 1.7 + 3 = −8.3,
DV = D(6X − 4Y + 3) = 36DX + 16DY + 2 · 6 · (−4) cov(X; Y ) =
= 36 · 0.6875 + 16 · 1.81 − 48 · 0.225 = 53.71 − 10.8 = 42.91.
Скачать