2024

Константинов Леонид
Евгеньевич 1 курс ФНМ
3align(center, text(20pt)[Домашние задания на 28.09.2024])
Номер задания
0тветы
Решение задач cnum.
1
Модуль: |1| = 1
• Аргумент: 0;
Модуль: |-2| = 2
• Аргумент: π;
Модуль: |3i| = 3
• Аргумент: π/2;
Модуль: |-i| = 1
• Аргумент: -π/2;
Модуль: |1 + i| = sqrt(2)
• Аргумент: π/4; Модуль: |-1 + i| = sqrt(2)
•
Аргумент: 3π/4;
Модуль: |-1 - i| = sqrt(2)
• Аргумент: −3π/4;
Модуль: |4 - 4i| = 4sqrt(2)
• Аргумент: -π/4
2
представлено
3
вычислено
1
i
2
6(cos 30° + i sin 30°);i
3
Модуль увеличился в 2 раза.
• Аргумент сместился на π/2 по часовой стрелке.
4
Решено
1
2^(1004) (cos π/6 + i sin π/6)
2
2^(1/6)
3
Это уравнение описывает эллипс с фокусами в точках z = 1 и z = −1 и
суммой расстояний до фокусов, равной 3.
42.1
решено 2 путями, хотелось бы кое-что спросить
2
Это эквивалент евклидова расстояния в обычной геометрии.
3
определены
15
решены
16
использованы формулы Муавра
32.2
Не успел все, старался самые трудные брать
Table 1: 0тветы к заданиям
=pagebreak()
=align(center, text(34pt)[Решение задач АГ-4. Скалярное произведение]) =align(center, text(30pt)
[1])
Решение задач из документа
Начальный уровень.
1. Постройте на комплексной плоскости точки и найдите их модуль и аргумент:
Числа: 1; −2; 3i; -i; 1 + i; −1 + i; −1 - i; 4 - 4i.
• Для числа 1:
‣ Модуль: |1| = 1
‣ Аргумент: 0
• Для числа −2:
‣ Модуль: |-2| = 2
‣ Аргумент: π
• Для числа 3i:
‣ Модуль: |3i| = 3
‣ Аргумент: π/2
• Для числа -i:
‣ Модуль: |-i| = 1
‣ Аргумент: -π/2
• Для числа 1 + i:
‣ Модуль: |1 + i| = sqrt(2)
‣ Аргумент: π/4
• Для числа −1 + i:
‣ Модуль: |-1 + i| = sqrt(2)
‣ Аргумент: 3π/4
• Для числа −1 - i:
‣ Модуль: |-1 - i| = sqrt(2)
‣ Аргумент: −3π/4
• Для числа 4 - 4i:
‣ Модуль: |4 - 4i| = 4sqrt(2)
‣ Аргумент: -π/4
—
2. Представьте в тригонометрической форме:
2 = 2(cos 0 + 𝑖 sin√
0); −1 = 1(cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋); 4𝑖 = 4(cos 𝜋2 + 𝑖 sin 𝜋2 ); −3𝑖 = 3(cos − 𝜋2 +
√
√
√
𝑖 sin − 𝜋2 ); 1 + 𝑖 = 2(cos 𝜋4 + 𝑖 sin 𝜋4 ); 3 = 3(cos 0 + 𝑖 sin 0); 3 − 𝑖 = 2(cos − 𝜋6 +
√
√
𝑖 sin − 𝜋6 ); −1 + 𝑖 3 = 2(cos 2 𝜋3 + 𝑖 sin 2 𝜋3 ); − 3 − 𝑖 = 2(cos −5 𝜋6 + 𝑖 sin −5 𝜋6 )
—
3. Вычислите:
а) (2 - 3i)(4 + 5i)
(2 - 3i)(4 + 5i) = 8 + 10i - 12i - 15(i^2) = 8 - 2i + 15 = 23 - 2i
б) (1 + i)^2
(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i
в) (1 - i)^3
(1 - i)^3 = (1 - i)(1 - i)(1 - i) = (1 - 2i + i^2)(1 - i) = (-1 - 2i)(1 - i) = −1 + i + 2i - 2 = −3 + 3i
г) (2 - i)/(3 + 5i)
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю: (2 - i)(3 - 5i) / (3 + 5i)(3 5i) = (6 - 10i - 3i + 5(i^2)) / (9 + 25) = (6 - 13i - 5) / 34 = (1 - 13i) / 34 = 1/34 - 13i/34
д) (4 + 2i)/(3 - i)
(4 + 2i)(3 + i) / (3 - i)(3 + i) = (12 + 4i + 6i + 2(i^2)) / (9 + 1) = (12 + 10i - 2) / 10 = (10 + 10i) / 10 = 1 + i
е) (cos φ + i sin φ) / (cos φ - i sin φ)
Используем формулу для выражения через экспоненту: (cos φ + i sin φ) / (cos φ - i sin φ) =
e^(2iφ)
—
Достаточный уровень.
1. Чему равно i^2009?
i^2009 = i^1 = i
2. Вычислите:
а) 2(cos 13° + i sin 13°) 3(cos 17° + i sin 17°) Модуль произведения: 2 3 = 6
Аргумент: 13° + 17° = 30° Ответ: 6(cos 30° + i sin 30°)
б) (cos 66° + i sin 66°) / (cos 24° - i sin 24°)
(cos 66° + i sin 66°) / (cos 24° - i sin 24°) = e^(i(66° + 24°)) = e^(i 90°) = i
3. Комплексное число умножили на 2i. Как изменились модуль и аргумент?
• Модуль увеличился в 2 раза.
• Аргумент сместился на π/2 по часовой стрелке.
—
4. Решите уравнения:
а) z^4 - 16 = 0
Решаем как z^4 = 16: z = 2, z = −2, z = 2i, z = −2i
б) z^2 + 6z + 13 = 0
Решаем через дискриминант: D = 36 - 52 = −16 Корни: z = −3 ± 2i
в) z^3 + 1 = 0
Решаем как z^3 = −1: z_1 = −1 z_2 = cos(2π/3) + i sin(2π/3) z_3 = cos(4π/3) + i sin(4π/3)
—
Высокий уровень.
1. Вычислите:
а) (sqrt(3)/2 - 1/2 i)^(2009)
Это тригонометрическое выражение с аргументом -π/6. Ответ: 2^(1004) (cos π/6 + i sin π/6)
б) ((1 + sqrt(3)i) / (1 - i))^20
Приведем дробь к тригонометрической форме и возведем в степень. Ответ:
тригонометрическое выражение с аргументом 20 (аргумент исходного выражения).
—
2. Найдите все решения уравнения z^3 = −1 + i
Представляем −1 + i в тригонометрической форме: r = sqrt(2), θ = 3π/4
Корни: z_k = 2^(1/6) (cos((θ + 2kπ) / 3) + i sin((θ + 2kπ) / 3)) для k = 0, 1, 2
—
3. Какое множество точек задается уравнением |z - 1| + |z + 1| = 3?
Это уравнение описывает эллипс с фокусами в точках z = 1 и z = −1 и суммой расстояний до
фокусов, равной 3.
Решение задач
Найти тригонометрическую форму числа:.
13) - sqrt(3) - i.
• Комплексное число: ( z = - sqrt{3} - i )
• Модуль: |z| = sqrt((-sqrt(3))^2 + (-1)^2) = sqrt(3 + 1) = 2
• Аргумент: arg(z) = arctan(1/sqrt(3)) = -pi/6
• Тригонометрическая форма: z = 2(cos(-pi/6) + i sin(-pi/6))
—
14) 2 + sqrt(3) + i.
• Комплексное число: ( z = 2 + sqrt(3) + i )
• Модуль: |z| = sqrt((2 + sqrt(3))^2 + 1^2) = sqrt(7 + 4sqrt(3))
• Аргумент: arg(z) = arctan(1 / (2 + sqrt(3)))
• Тригонометрическая форма: z = sqrt(7 + 4sqrt(3)) (cos(arctan(1/(2 + sqrt(3)))) + i sin(arctan(1/(2
+ sqrt(3)))))
—
15) 1 - (2 + sqrt(3))i.
• Комплексное число: ( z = 1 - (2 + sqrt(3))i )
• Модуль: |z| = sqrt(1^2 + (-2 - sqrt(3))^2) = sqrt(1 + (7 + 4sqrt(3)))
• Аргумент: arg(z) = arctan(-(2 + sqrt(3))/1)
• Тригонометрическая форма: z = sqrt(1 + (7 + 4sqrt(3))) (cos(arctan(-(2 + sqrt(3))/1)) + i
sin(arctan(-(2 + sqrt(3))/1)))
—
16) cos a - i sin a.
• Комплексное число: ( z = cos(a) - i sin(a) )
• Модуль: |z| = 1
• Аргумент: arg(z) = -a
• Тригонометрическая форма: z = 1 (cos(a) - i sin(a))
—
17) sin a + i cos a.
• Комплексное число: ( z = sin(a) + i cos(a) )
• Модуль: |z| = 1
• Аргумент: arg(z) = pi/2 - a
• Тригонометрическая форма: z = 1 (cos(pi/2 - a) + i sin(pi/2 - a))
—
18) (-1 + i sqrt(3))^15.
• Комплексное число: ( z = −1 + i sqrt(3) )
• Модуль: |z| = sqrt((-1)^2 + (sqrt(3))^2) = sqrt(1 + 3) = 2
• Аргумент: arg(z) = arctan(sqrt(3) / −1) = 2pi/3
• Тригонометрическая форма: z^15 = 2^15 (cos(15 2pi/3) + i sin(15 2pi/3))
—
19) (1 + i)^20 / (1 - i)^20.
• Модуль: |1 + i| = sqrt(2), |1 - i| = sqrt(2)
• Аргумент для (1 + i): arg(1 + i) = pi/4
• Аргумент для (1 - i): arg(1 - i) = -pi/4
• Тригонометрическая форма: (1 + i)^20 / (1 - i)^20 = (sqrt(2)^20 / sqrt(2)^20)(cos(20 pi/4 - 20 pi/4) + i sin(20 pi/4 - 20 -pi/4)) = cos(10pi) + i sin(10pi) = 1
—
42.16 Вычислить выражения при n ∈ Z:.
а) (1 - i sqrt(3))^n.
• Комплексное число: ( z = 1 - i sqrt(3) )
• Модуль: |z| = sqrt(1^2 + (-sqrt(3))^2) = sqrt(1 + 3) = 2
• Аргумент: arg(z) = arctan(-sqrt(3)/1) = -pi/3
• Тригонометрическая форма: z^n = 2^n (cos(n -pi/3) + i sin(n -pi/3))
—
—
в) (1 + i)^n.
• Комплексное число: ( z = 1 + i )
• Модуль: |z| = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2)
• Аргумент: arg(z) = arctan(1/1) = pi/4
• Тригонометрическая форма: z^n = sqrt(2)^n (cos(n pi/4) + i sin(n pi/4))
—
г) (1 - i)^{n - 2}
• Комплексное число: ( z = 1 - i )
• Модуль: |z| = sqrt(1^2 + (-1)^2) = sqrt(2)
• Аргумент: arg(z) = arctan(-1/1) = -pi/4
• Тригонометрическая форма: z^{n - 2} = sqrt(2)^{n - 2} (cos((n - 2) -pi/4) + i sin((n - 2) -pi/4))
—
42.3
1
1 |𝑧|
𝑥 − 𝑖𝑦
= ;
= 2
𝑧
2 𝑧 ∗ |𝑧|
𝑥 + 𝑦2
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
1
1
= Re( ) = → 2𝑥 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑧
2
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 0
-> окружность радиуса 2 с центром ( 1 , О) , из которой исключено начало координат
14
1
𝑥 − 𝑦𝑖
1
𝑥
𝑦
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 → =
∗ (𝑥 − 𝑦𝑖); = 2
−
𝑖
𝑧
𝑧
𝑥 + 𝑦𝑖
𝑥 + 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
𝑦
1
− 2
< − ; −2𝑦 < 𝑥2 + 𝑦2
2
2
𝑥 +𝑦
-> внутренность круга радиуса 1 с центром (О, 1 ) ;
15
|x| + |y| < 1 -> x = +-1, y =0 ∨ y = +-1, x = 0 ->внутренность квадрата с вершинами (± 1 , О) , (О, ±
1);
16
𝑧+1
|(𝑧 − 2) 2
| = 2; |𝑧 − 2| = 4 ∗ |𝑥 − 1|
𝑧 −1
Точки, равноудалённые от двух фиксированных точек 𝑧 1
1 z 1 =1 и 𝑧 2
2 z 2 =2, лежат на серединном перпендикуляре отрезка, соединяющего эти две точки. В
нашем случае, точки 1 1 и 2 2 лежат на действительной оси комплексной плоскости. - >
окружность радиуса 2/3 с центром (2/3, О) ;
17 когда b =
эллипс
√
4; 𝑏 = 2
√
𝑎2 + 1 = 4 → 𝑎 =
√
3
𝑥2 𝑦 2
+
= 1;
3
4
18
𝑏 = 2√𝑎2 + 1 = 4 → 𝑎 =
√
3
|𝑥 + 𝑖(𝑦 + 2)| − |𝑥 + 𝑖(𝑦 − 2)| = 3
√𝑥2 + 4 + 2𝑦 + 𝑦2 − √𝑥2 + 4 − 2𝑦 + 𝑦2 = 3;
19
2
2
𝑥 + 𝑦 = 1 → окружность радиуса 1 с центром (О, О);
√
𝑥2
42.2
Выражение ( |z₁ - z₂| ) представляет собой расстояние между двумя точками на комплексной
плоскости, соответствующими числам ( z₁ ) и ( z₂ ). Это эквивалент евклидова расстояния в
обычной геометрии.
42.1
13.
1
𝜋
5
5
arg 𝜑 = −𝜋 + arctan( √ ) = − − > 𝑧 = 2 ∗ (cos(−5 ) + 𝑖 sin(− 𝜋))
6
6
6
3
14.
arg 𝜑 = arctan(
√
1
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
− > 𝑧 = |𝑧| (cos( ) + 𝑖 sin( )) = √1 + 3 + 4 + 4 3(cos( ) + 𝑖 sin( ))
√ )=
12
12
12
12
12
2+ 3
15.
)) − > 𝑧 = |𝑧| (cos(arctan(−(2 +
√
3))) + 𝑖 sin(arctan(−(2 +
√
√
√
3)))) = √1 + 3 + 4 + 4 3(cos(arctan(−(2 + 3))) + 𝑖 s
Под знаком вопроса
16. r = 1 , 𝜑 = - а
17.
r = 1 , 𝜑 = 7𝜑/2 - а
18.
𝑧=
1 + 2𝑖 tg 𝑎 − tg2 𝑎
; 𝑟 = 1; 𝜑 = 2𝑎
1 + tg2 𝑎
19.
√
4𝑖 − 4
1
𝜋
= 1 − → 𝑟 = 2; 𝜑 =
(2)(2𝑖)
𝑖
4
42.15
√ 24
a) 2 ∗ (1 + 𝑖)
√
√
√
√
3
1−𝑖
9
3)
б)𝑧 = 1+𝑖 3−𝑖−
=
(1
−
3)
∗
;n
=
20
->
2
(1
−
𝑖
2
2
√
12
√
В) 2− 23+𝑖 → 𝑧 = √2 − 3
г)(1+i)^16/2^7 = 2^8/2^7 = 2
42.16
a) z = 2
𝑛
2
По формуле Муавра
√
(cos(𝜋 𝑛4 ) + 𝑖 sin 𝜋 𝑛4 ) б)𝜑 = arctan( 𝑎𝑏 ); 𝑧 = 12 − 23 𝑖; 𝜑 = − 𝜋3
z = cos(𝜋 𝑛3 ) − 𝑖 sin 𝜋 𝑛3
в) 𝑟 = 1; 𝑧 = cos(2𝑎𝑛) − 𝑖 sin(2𝑎𝑛)
43.2
Из теормемы выше:
13 )z = ((2 + 6𝑖)(3 + 𝑖) = 20𝑖; cos 2𝜋 = 1;
20 ∗
√
1
∗ (+− 3 + 𝑖, −2𝑖)
20
14)z = (9-18i)(2-i) = 36 - 45i; r = sqrt(3321) - не выходит
√
√
√
−18∗(1−𝑖 3)
15)z =
= 9(1 − 𝑖 3) r = sqrt(4*81) = 18; 𝜑 = arctan(− 3) = − 𝜋3 𝑎 =
−2
1
𝜋
𝜋
18 4 (cos −+ 12
+ sin +− 12
)
√
√
𝑎 = {+− 3+𝑖2 3 ; +− 23−3𝑖 }