Вариант 10

Вариант № 10
1. Движения двух материальных точек выражаются уравнениями: x1 = A1 + B1t
+ C1t2, x2 = A2 + B2t + C2t2, где A1 = 3 м, A2 = -2 м, B1 = 2 м/с, B2 = 3 м/с, C1 = 2
м/с2, С2 = 1,5 м/с2. В какой момент времени t скорости этих точек будут
одинаковыми? Найти ускорения точек в этот момент.
Дано:
x1 = A1 + B1t + C1t2
x2 = A2 + B2t + C2t2
A1 = 3 м
A2 = -2 м
B1 = 2 м/с
B2 = 3 м/с
C1 = 2 м/с2
С2 = 1,5 м/с2
t - ?, а1 - ?, а2 - ?
Решение:
Зависимость скоростей точек от времени найдем, используя определение
скорости:
v = dx/dt,
тогда
v1(t) = dx1/dt = B1 + 2C1t,
v2(t) = dx2/dt = B2 + 2C2t
Найдем момент времени t, когда скорости этих точек будут одинаковыми из
условия v1 = v2:
B1 + 2C1t = B2 + 2C2t,
t = ½(B2 – B1)/(C1 – C2).
Зависимость ускорений точек от времени найдем, используя определение
ускорения:
а = dv/dt,
тогда
a1(t) = dv1/dt = 2C1, a2(t) = dv2/dt = 2C2,
ускорения точек постоянны и не зависят от времени.
Подставляя численные значения, находим:
t = ½(3 – 2)/(2 – 1,5) = 1 с,
a1 = 22 = 4 м/с2, a2 = 21,5 = 3 м/с2.
Ответ: t = 1 c; a1 = 4 м/с2, a2 = 3 м/с2.
2. Во сколько раз момент инерции диска относительно оси, проходящей через
его центр перпендикулярно плоскости диска, меньше момента инерции этого
диска относительно смещенной оси, проходящей через его край? Масса диска
m, радиус – R.
Дано:
m, R
I1/I0 - ?
Решение:
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр
перпендикулярно плоскости диска
I0 = ½mR2.
Момент инерции этого диска относительно смещенной оси, проходящей через
его край по теореме Штейнера
I1 = I0 + ma2,
где а – расстояние от центра диска до оси: а = R, тогда
I1 = ½mR2 + mR2 = 3mR2/2.
Искомое отношение:
I1/I0 = (3mR2/2)/(mR2/2) = 3.
Ответ: в 3 раза.
Задание 3.
Маховое колесо, вращаясь равноускорено, к моменту времени t после начала
движения приобретает скорость, соответствующую частоте вращения ν = 17 с-
1
, и успевает совершить n оборотов. Угловое ускорение колеса равно ε = 3,78
рад/с2. Найти t и n.
Дано:
ν = 17 с-1
ε = 3,78 рад/с2
t - ?, n - ?
Решение:
Угловая скорость вращения колеса изменяется по закону
(t) = t.
Скорость, соответствующая частоте вращения ν равна
 = 2.
Тогда момент времени, к которому маховик приобретет такую скорость
t = 2/.
Количество оборотов совершенным маховиком за время t
n = /2,
где  - угол поворота маховика за время t:
(t) = t2/2
Имеем
 2 

2
     .
2  2

2
 
n=
Подставляя численные значения, находим:
t = 6,2817/3,78 = 28,24 с,
n = 3,14172/3,78 = 240.
Ответ: t = 28,24 c; n = 240.
4. Найти период физического маятника, представляющего собой однородный
диск радиусом 20 см, вращающийся вокруг горизонтальной оси, проходящей
на расстоянии 25 см от его центра.
Дано:
R = 20 см = 0,2 м
d = 25 см = 0,25 м
Т-?
Решение:
Период физического маятника определяется по формуле
Т = 2
I
,
mgd
где I – момент инерции маятника относительно точки подвеса, d – расстояние
от центра масс маятника до точки подвеса.
По теореме Штейнера момент инерции маятника
I = I0 + md2.
Учитывая, что момент инерции однородного диска относительно центра масс
I0 = ½mR2,
находим
1
mR 2  md 2
R 2  2d 2
 2
Т = 2 2
.
mgd
2 gd
Подставляя численные значения, находим:
0, 22  2  0, 252
Т = 6, 28
= 1,15 с.
2  9,8  0, 25
Ответ: Т = 1,15 с.
5. Стержень массой 10 кг и длиной 120 см вращается вокруг оси, проходящей
через его центр (перпендикулярно стержню) по закону φ = A + Bt2 + Ct3, где В
= 2 рад/с2, а С = 4 рад/с2. Определить момент сил в момент времени 3 с.
Дано:
m = 10 кг
L = 120 см = 1,2 м
φ = A + Bt2 + Ct3
В = 2 рад/с2
С = 4 рад/с2
=3с
М-?
Решение:
Момент сил стержня
М = J,
где J = mL2/12 – момент инерции стержня относительно оси вращения;  угловое ускорение стержня:
(t) = d2/dt2 = d2(A + Bt2 + Ct3)/dt2 = d(2Bt + 3Ct2)/dt = 2B + 6Ct.
В момент времени  момент сил
М = mL2(B + 3C)/6.
Подставляя численные значения, находим:
М = 101,22(2 + 343)/6 = 91,2 Нм.
Ответ: М = 91,2 Нм.
6. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки
равно 5 см, максимальное ускорение – 45 см/с2. Найти круговую частоту
колебаний, период, максимальную скорость точки. Написать уравнения
зависимости координаты (по закону косинуса), скорости и ускорения точки от
времени. Начальная фаза колебаний равна π/7.
Дано:
хmax = 5 см = 0,05 м
аmax = 45 см/с2 = 0,45 м/с2
 = /7
 - ?, Т - ?, vmax - ?
x(t) - ?, v(t) - ?, a(t) - ?
Решение:
Уравнение координаты точки имеет вид:
х(t) = Acos(t + 0),
где А = xmax – амплитуда колебаний.
Уравнение скорости точки имеет вид:
v(t) = dx/dt = -Asin(t + 0),
откуда vmax = A.
Уравнение ускорения точки имеет вид:
а(t) = dv/dt = -A2cos(t + 0),
откуда а max = A2 и круговая частота
=
amax
a
 max .
A
xmax
Период колебаний связан с частотой соотношением
Т = 2/,
откуда
Т = 2 xmax .
amax
Подставляя численные значения, находим:
 = 3 рад/с; Т = 2,09 с; vmax = 0,15 м/с;
х(t) = 0,05cos(3t + /7) м;
v(t) = -0,15sin(3t + /7) м/с;
а(t) = -0,45cos(3t + /7) м/с2.
Ответ:  = 3 рад/с; Т = 2,09 с; vmax = 0,15 м/с; х(t) = 0,05cos(3t + /7) м;
v(t) = -0,15sin(3t + /7) м/с; а(t) = -0,45cos(3t + /7) м/с2.
7. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания,
полученного
при
сложении
одинаково
направленных
колебаний,
описываемых уравнениями х1 = 5cos(14t + ) см и х2 = 3sin(14t - /3) см.
Записать уравнение результирующего колебания.
Дано:
х1 = 5cos(14t + ) см
х2 = 3sin(14t - /3) см
А - ?, 0 - ?, х(t) - ?
Решение:
Уравнение результирующего колебания имеет вид:
х(t) = Acos(t + 0),
где  = 14.
Амплитуда результирующего колебания равна:
А=
А12  А2 2  2 А1 А2 cos 02  01 
Начальная фаза результирующего колебания равна:
0 = arctg  А1 sin 01  А2 sin 02 
 А1 cos 01  А2 cos 02 
Для колебания х1 = 5cos(14t + ) см имеем А1 = 5 см, 01 = .
Для колебания х2 = 3sin(14t - /3) = 3cos(14t - 5/6) см имеем А2 = 3 см,
02 = -5.
Находим:
А = 52  32  2  5  3cos   5     25  9  30  3 = 7,745 см;

6

2


 5  
1 
 5sin   3sin   6  
 3 

3
 = 0,062

   arctg 
2   arctg 
0 = arctg 


3
 5cos   3cos   5  

 10  3 3 

5

3






 6 

2 

Уравнение результирующего колебания:
х(t) = 7,745cos(14t + 0,062) см.
где  = 14.
Ответ: А = 7,745 см; 0 = 0,062; х(t) = 7,745cos(14t + 0,062) см.
8. Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и
одинакового направления: х1 = А1cos(t + 1) и х2 = А2cos(t + 2), где А1 = 3
см, φ1 = π/6; A2 = 5 см, φ2 = π/3. Определить начальную фазу результирующего
колебания.
Дано:
х1 = А1cos(t + 1)
х2 = А2cos(t + 2)
А1 = 3 см
φ1 = π/6
A2 = 5 см
φ2 = π/3
0 - ?
Решение:
Решение:
Уравнение результирующего колебания имеет вид:
х(t) = Acos(t + 0).
Начальная фаза результирующего колебания равна:
0 = arctg  А1 sin 1  А2 sin 2 
 А1 cos 1  А2 cos 2 
Подставляя численные значения, находим:
 1

 
3

3sin

5sin
3


5




6
3   arctg  2
2   arctg  3  5 3  = 0,27
0 = arctg 



3
1
5  3 3 


 3cos   5cos  
 5 
 3
6
3


2
2
Ответ: 0 = 0,27.