Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» Кафедра ___________________________________________________ Расчетно-графическое задание по дисциплине: ______________________________________________ Выполнил: студент группы ____________ ___________________________________ ___________________________________ Проверил: __________________________ ___________________________________ Хабаровск – 2024 г. СОДЕРЖАНИЕ Задание 1. ................................................................................................................. 3 Задание 2. ................................................................................................................. 9 Задание 3. ............................................................................................................... 16 Список использованной литературы ................................................................... 20 2 Задание 1. Для выявления зависимости между экономическими показателями деятельности предприятий (чистой прибылью, численностью рабочих) провести аналитическую группировку показателей 30 предприятий (см. табл. 1). Группировку провести с равными интервалами, выделив четыре – шесть групп. Рассчитать коэффициенты вариации по группировочному признаку – численности рабочих на основании исходных и сгруппированных данных согласно своего варианта. Объяснить расхождения в значениях полученных коэффициентов. Основные показатели деятельности предприятий за период «N» Таблица 1 Номер предприятия 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Число рабочих, человек 17 21 20 19 42 29 36 56 29 34 25 30 37 26 36 55 30 35 25 39 22 23 47 27 19 46 21 27 3 Чистая прибыль, тыс. руб. 120 133 130 128 196 174 203 215 174 146 148 163 158 152 185 198 131 166 160 140 133 176 170 131 114 175 130 116 30 31 58 57 198 207 Решение: Для расчёта коэффициента вариации по исходным данным построим аналитическую таблицу. Таблица 2 Номер предприятия 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Сумма Среднее Число рабочих, Чистая прибыль, человек xi тыс. руб. yi 17 21 20 19 42 29 36 56 29 34 25 30 37 26 36 55 30 35 25 39 22 23 47 27 19 46 21 27 58 57 988 32,93 120 133 130 128 196 174 203 215 174 146 148 163 158 152 185 198 131 166 160 140 133 176 170 131 114 175 130 116 198 207 4770 159,00 4 xi x xi x -15,93 -11,93 -12,93 -13,93 9,07 -3,93 3,07 23,07 -3,93 1,07 -7,93 -2,93 4,07 -6,93 3,07 22,07 -2,93 2,07 -7,93 6,07 -10,93 -9,93 14,07 -5,93 -13,93 13,07 -11,93 -5,93 25,07 24,07 253,76 142,32 167,18 194,04 82,26 15,44 9,42 532,22 15,44 1,14 62,88 8,58 16,56 48,02 9,42 487,08 8,58 4,28 62,88 36,84 119,46 98,60 197,96 35,16 194,04 170,82 142,32 35,16 628,50 579,36 4359,87 145,33 2 Проведем группировку по группировочному. Следует решить вопрос о величине интервала группировки. Если интервалы равные, то величина интервала определяется по формуле: ℎ= 𝑅 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝑘 𝑘 где h – величина интервала; k – число групп; R – размах вариации; 𝑥𝑚𝑎𝑥 – максимальное значение группировочного признака в совокупности; 𝑥𝑚𝑖𝑛 – минимальное значение группировочного признака. Величина интервала составит при k= 4 h = (58-17)/4= 10,25 Определим границы групп. Таблица 3 Граница Номер группы Нижняя 17 27,25 37,50 47,75 1 2 3 4 Верхняя 27,25 37,50 47,75 58 Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп. Границы интервалов в этом случае устанавливаем по принципу «включительно». Если значение признака единицы совокупности совпадает с верхней границей интервала, то единица относится к данной группе. После определения границ интервалов можно составить рабочую таблицу, в которую свести первичный статистический материал. Результаты группировки оформим в виде таблицы. Группировка предприятий по числу рабочих Таблица 4 Группы предприя тий Предприятия Частота № fi Середина интервала xi 5 xi fi xi x xi x 2 fi xi 17-27,25 2,3,4,5,12,15,20,22, 23,25,26,28,29 13 22,13 287,6 3 -9,91 1275,42 27,2537,50 7,8,10,11,13,14,1 6,18,19 9 32,38 291,3 8 0,34 1,07 37,5047,75 6,21,24,27 4 42,63 170,5 0 10,60 449,02 47,75-58 9,17,30,31 4 52,88 211,5 0 20,85 1738,06 30 S S /n 961,0 0 3463,56 32,03 115,45 Из табл. 4 видно, что средние размеры по группам количества рабочих и чистой прибыли имеют прямую зависимость. Расчет средней величины проведем по средней арифметической простой (по исходным данным табл. 1) и по средней арифметической взвешенной (по сгруппированным данным табл. 4). Аналитическая группировка предприятий по числу рабочих (человек) и чистой прибыли (тыс. рублей) Таблица 5 Группы предприя тий предприятия Частота Всего по группе № fi xi j xi Средний размер по группе xi Всего по группе yi j Средний размер по группе yi 17-27,25 2,3,4,5,12,15,20,22, 23,25,26,28,29 13 292 27,2537,50 7,8,10,11,13,14,1 6,18,19 9 296 32,89 1500 166,67 37,5047,75 6,21,24,27 4 174 43,50 681 170,25 6 22,46 1771 136,23 47,75-58 9,17,30,31 Итого 4 226 30 988 56,50 818 204,50 4770 Формулы для расчета средних величин имеют вид: 𝑥̅ = х̅ = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖` 𝑓𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 Здесь n – численность совокупности; 𝑥𝑖 – варианта или значение признака (для интервального ряда принимает серединное значение 𝑥𝑖` ); 𝑓𝑖 f i – частота повторения индивидуального значения признака (его вес). Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности и определяется в зависимости от характера исходных данных. При расчете по исходным данным используем формулу: ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 √ 𝑆= 𝑛 По сгруппированным данным: ∑(𝑥𝑖` − 𝑥̅ )2 ∗ 𝑓𝑖 𝑆=√ ∑ 𝑓1 Величина вариации признака в статистической совокупности характеризует степень ее однородности, что имеет большое практическое значение. Относительным показателем уровня вариации признака является коэффициент вариации ( v ). Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака и выражается обычно в процентах: 𝑣= 𝑆 ∗ 100% 𝑥̅ где s – среднее квадратическое отклонение; 𝑥̅ – средняя величина. 7 Считают, что если коэффициент вариации больше 33 %, то совокупность неоднородна и ее средняя нетипична. Среднее по исходным данным: х̅ = ∑ 𝑥𝑖 988 = = 32,93 𝑛 30 По сгруппированным данным: х̅ = ∑ 𝑥𝑖 𝑓𝑖 961 = = 32,03 ∑ 𝑓1 30 Среднее квадратическое отклонение по исходным данным: 𝑆=√ ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 4359,87 =√ = 12,06 𝑛 30 по сгруппированным данным: ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 ∗ 𝑓1 3463,56 √ 𝑆= =√ = 10.74 ∑ 𝑓1 30 Коэффициент вариации по исходным данным: 𝑆 12,06 = ∗ 100% = 36.62% 𝑥̅ 32.93 по сгруппированным данным: 𝑣= 𝑣= 𝑆 10.74 = ∗ 100% = 33.53% 𝑥̅ 32.03 В обоих расчетах коэффициент вариации больше 33 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточно типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду. 8 Задание 2. По исходным данным, приведенным в табл. 1 для вашего варианта, построить ряд распределения по результативному признаку. Для целей анализа и сравнения определить характеристики центра распределения, к которым относятся средняя арифметическая, мода и медиана. Для характеристики формы распределения рассчитать показатели эксцесса и асимметрии. Сформулировать вывод. Решение: Построим интервальный ряд распределения по данным о чистой прибыли предприятий за «N» год. Величины интервалов примем равными, число групп зададим равным 5. Следует решить вопрос о величине интервала группировки. Если интервалы равные, то величина интервала определяется по формуле: ℎ= 𝑅 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝑘 𝑘 где h – величина интервала; k – число групп; R – размах вариации; 𝑥𝑚𝑎𝑥 – максимальное значение группировочного признака в совокупности; 𝑥𝑚𝑖𝑛 – минимальное значение группировочного признака. Величина интервала составит 215 − 114 = 20,2 5 Определим границы групп. ℎ= Таблица 6 Номер группы 1 2 3 4 5 Граница Нижняя 114 134,2 154,4 174,6 194,8 Верхняя 134,2 154,4 174,6 194,8 215 Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп. Границы интервалов в 9 этом случае устанавливаем по принципу «включительно». Если значение признака единицы совокупности совпадает с верхней границей интервала, то единица относится к данной группе. После определения границ интервалов можно составить рабочую таблицу, в которую свести первичный статистический материал. Результаты группировки оформим в виде таблицы. Группировка предприятий по чистой прибыли (тыс.руб.) Таблица 7 Группы Середина интервала Предприятие Частота № fi xi 114-134,2 2,3,4,5,18,22,25,26,28,2 9 10 124,1 1241 10 134,2-154,4 11,12,15,21 4 144,3 577,2 14 154,4-174,6 7, 10,13,14,19,20,24 7 164,5 1151,5 21 174,6-194,8 16,23,27 3 184,7 554,1 24 194,8-215 6,8,9,17,30,31 6 204,9 1229,4 30 предприятий xi Итого 30 xi fi Накопленна я частота S i 4753,2 Рассчитаем показатели центра распределения: x , Mo, Me. Среднюю величину в интервальном ряду распределения определим по формуле средней арифметической взвешенной х̅ = ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖` 𝑓𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑓𝑖 где х̅ – средняя величина; x – серединное значение признака в интервале; n – число единиц совокупности. 4753,2 = 158,44 тыс. руб. 30 В интервальном ряду распределения сразу можно указать только 𝑥̅ = интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером: 10 𝑁𝑀𝐸 = 𝑛 + 1 30 + 1 = = 15.5 2 2 Медианным является интервал 154,4-174,6 тыс. руб., так как в этом интервале накопленная частота больше медианного номера. Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Для данного ряда распределения мода находится в интервале 114-134,2 тыс. руб. Для определения величин моды и медианы используют следующие формулы: Мо = хМО + ℎ𝑀𝑜 𝑓𝑀𝑜 − 𝑓𝑀𝑜−1 (𝑓𝑀𝑜 − 𝑓𝑀𝑜−1 ) + (𝑓𝑀𝑜 − 𝑓𝑀𝑜+1 ) где x Мо – начало модального интервала; h Мо – величина модального интервала (в случае равных интервалов h Мо = h); соответствующая модальному интервалу; f Мо – частота, f Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; f Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным. 𝑀𝑒 = 𝑥𝑀𝑒 + ℎ𝑀𝑒 ∑ 𝑓𝑖 /2 − 𝑆𝑀𝑒−1 𝑓𝑀𝑒 где x Ме – нижняя граница медианного интервала; h Ме – величина медианного интервала (для равных интервалов h Ме = h); S Ме-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; f Ме – частота медианного интервала. Мо = 114 + 20,2 10 − 0 = 126,63 тыс. руб. (10 − 0) + (10 − 4) 30 − 14 Ме = 154,4 + 20,2 2 = 157,29 тыс. руб. 7 Выяснение общего характера распределения включает также оценку формы распределения, определение показателей асимметрии (As) и эксцесса ( Ex ). 11 Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений имеет место равенство средней арифметической, моды и медианы. В связи с этим простейший показатель асимметрии основан на соотношении показателей центра распределения. Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии. При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношение Mo < Ме < x . Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии. Между показателями центра распределения в этом случае имеется такое соотношение Mo > Ме > x . В нашем примере 126,63< 157,29 < 158,44 что указывает на правостороннюю асимметрию. Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии As = М3 / s3, где Ml = xi x fi fi l 2 s= s = xi x fi – центральный момент l-го порядка; fi 2 – среднее квадратическое отклонение. Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии sAs = 6 n 2 n 1 n 3 . Если выполняется соотношение |As| / sAs < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As| / sAs > 3, то асимметрия 12 существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Расчет центральных моментов необходимо произвести в таблице. Таблица 8 Группы предприятий fi xi xi xi x xi x 2 fi (xiў- x ) fi (xiў- x) fi 3 4 114-134,2 10 124,1 -34,34 11792,36 -404949,51 13905966,00 134,2-154,4 4 144,3 -14,14 799,76 -11308,58 159903,37 154,4-174,6 7 164,5 6,06 257,07 1557,82 9440,36 174,6-194,8 3 184,7 26,26 2068,76 54325,71 1426593,17 194,8-215 6 204,9 46,46 12951,19 601712,27 27955552,01 S 30 27869,13 241337,71 43457454,92 928,97 8044,59 1448581,83 S /n В нашем примере 𝑆 𝐴𝑠 = √ 6 ∗ 28 = 0.41 31 ∗ 33 𝑆 = √928,97 = 30,48 𝑆 3 = 928,97 ∗ 30,48 = 28315,01 𝐴𝑆 = 8044,59 = 0.28 28315,01 В анализируемом ряду распределения наблюдается несущественная правосторонняя асимметрия (0.28/0.41=0.68 <3). Применяются также структурные показатели (коэффициенты) асимметрии, характеризующие асимметрию только в центральной части распределения, т. е. основной массы единиц, и независящие от крайних значений признака. Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона 13 𝐴𝑆п = х̅ − М0 158,44 − 126,63 = = 1.04 > 0 𝑆 30,48 что подтверждает вывод о правосторонней асимметрии, сделанный ранее. Другой характеристикой формы распределения является эксцесс (излишество). Под плосковершинность эксцессом понимают островершинность распределения по с сравнению или нормальным распределением. Эксцесс определяется только для симметричных и умеренно асимметричных распределений. Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя 𝐸𝑥 = Для распределений более 𝑀4 −3 𝑆4 островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный ( Ex > 0 ), для более плосковершинных (сплюснутых) – отрицательный ( Ex < 0 ), т.к. для нормального распределения М4 / s4 = 3. Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику |Ex| / sEx , где 24𝑛(𝑛−2)(𝑛−3) 𝑆𝐹𝑥 = √(𝑛+1)2 – средняя (𝑛+3)(𝑛+5) квадратическая ошибка коэффициента эксцесса. Если отношение |Ex| / sEx > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным. Несмотря на несимметричность анализируемого распределения оценим (для примера) существенность показателя эксцесса Ех = 1448581,83 − 3 = −1,32 < 0 863041,50 24 ∗ 30 ∗ 28 ∗ 27 𝑆𝑒𝑥 = √ = 3.43 312 ∗ 33 ∗ 35 14 Распределение незначительно круче по сравнению с нормальным распределением (|Ex| / sEx = 1.32 / 3,43 = 0,39 < 3). 15 Задание 3. По данным своего варианта (см. табл. 3) исчислите: 1. Базисные, цепные и среднегодовые показатели абсолютного прироста, темпов роста и темпов прироста величины прожиточного минимума. 2. Среднегодовую величину прожиточного минимума. 3. Изобразите динамику величины прожиточного минимума на графике. Решение: Абсолютный прирост ( i ) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда. При сравнении с постоянной базой он равен: iб yi y0 , б где i – абсолютный прирост базисный; yi – уровень сравниваемого периода; y0 – уровень базисного периода. При сравнении с переменной базой цi yi yi 1 , ц где i – абсолютный прирост цепной; yi 1 – уровень непосредственно предшествующего периода. Темп роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней. Tб При сравнении с постоянной базой p i = Tpц i При сравнении с переменной базой yi 100 % y0 . yi 100 % y i 1 = . Темп прироста показывает на сколько процентов уровень данного периода больше (меньше) базисного или предшествующего уровня. б Tпp i = yi y0 yi yi 1 100% 100% ц Tпp i y0 y i 1 или = , также определяется как разность между темпом роста и 100 % 16 Tпp i = Tp i – 100 %. Абсолютные значения одного процента прироста равны: ц б Aiц = iц / Tпp i = yi 1 /100, Aiб = iб / Tпp i = y0 /100. Пункты роста, прироста определяются соотношениями П pi = Tpб i – Tpб i1 , П пp i = б Tпp i – б Tпp i1 . Определим средние показатели динамики. Средний уровень интервального ряда динамики задается в простой и взвешенной форме (для ряда с неравными интервалами) n n yi y вз i 0 y прост n 1 , yi ti i 0 n ti i 0 , где ti – величины интервалов. Средний уровень моментного ряда определяется средней хронологической простой и взвешенной (с неравноотстоящими уровнями ряда) n y прост 1 n y 1 y0 yi ( y1 yn 1 n ) n 2 2 = n i 1 , y вз y i ti i 1 n ti i 1 , где y i = ( yi 1 yi )/2; ti – интервал времени между смежными уровнями ряда. Средний абсолютный прирост: n цi цi i 1 n бn yn y0 n n . Среднегодовой темп роста среднегеометрической: 17 определяется по формуле n ц Т р n Tpi n i 1 yn 100 % y0 . Средний темп прироста вычисляется через средний темп роста T пp = T p – 100 %. Данные расчета представим в таблице. Таблица 9 Период 1 квартал 2001 2 квартал 2001 3 квартал 2001 4 квартал 2001 1 квартал 2002 2 квартал 2002 3 квартал 2002 4 квартал 2002 S Прожиточный минимум Абсолютный прирост, тыс. руб. Цепной Базисны й Темп роста, % Цепной Базисны й Темп прироста, % Цепной Базис ный 1396 - 0 - 100 - 0 1507 111 111 107,95 107,95 7,95 7,95 1524 17 128 101,13 109,17 1,13 9,17 1574 50 178 103,28 112,75 3,28 12,75 1719 145 323 109,21 123,14 9,21 23,14 1804 85 408 104,94 129,23 4,94 29,23 1817 13 421 100,72 130,16 0,72 30,16 1893 76 497 104,18 135,60 4,18 35,60 13234 Рассчитаем средние показатели: 𝑦̅ = 13234 = 1654,25 руб. −средний уровень 8 1893−1396 ∆̅= = 71- руб. – средний абсолютный прирост; 7 7 1893 ̅̅̅ 𝑇𝑝 = √ ∗ 100 = 104,4%- среднегодовой темп роста 1396 18 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал 1 квартал 2 квартал 3 квартал 4 квартал 2001 2001 2001 2001 2002 2002 2002 2002 Рисунок 1 – величина прожиточного минимума 2001-2002 гг. Рассчитанные аналитические показатели характеризуют состояние величины прожиточного минимума на душу населения по РФ за 2001-2002 годы. Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость роста величины прожиточного минимуму, по сравнению с 1 кварталом 2001 года в 4 квартале 2002 году абсолютный прирост составил 497 руб. Темп роста показывает, что прожиточный минимум 2002 года за IV квартал составляет 135,60% от уровня базисного 2001 за I квартал года. Темп прироста дает возможность оценить на сколько процентов величина прожиточного минимума в 2002 году возросла по сравнению с 2001 годом – 35,60 %. 19 Список использованной литературы 1. Долгова В. Н., Медведева Т. Ю. Социально-экономическая статистика. М.: Юрайт, 2023. 296 с. 2. Долгова В. Н., Медведева Т. Ю. Статистика. М.: Юрайт, 2023. 565 с. 3. Дудин М. Н., Лясников Н. В., Лезина М. Л. Социально-экономическая статистика. М.: Юрайт, 2023. 234 с. 4. Кремер Н. Ш. Математическая статистика. М.: Юрайт, 2024. 260 с. 5. Лукьяненко И. С. Статистика. М.: Лань, 2023. 200 с. 6. Малинина Т. Б. Демография и социальная статистика. М.: Юрайт, 2023. 355 с. 7. Статистика / под ред. И. И. Елисеевой. М.: Юрайт, 2024. 504 с. 8. Статистика. Учебник и практикум / под ред. И. И. Елисеевой. М.: Юрайт, 2024. 389 с. 9. Шимко П. Д. Теория статистики. М.: Юрайт, 2024. 255 с. 10. Яковлев В. Б. Статистика. Расчеты в Microsoft Excel. М.: Юрайт, 2023. 354 с. 20
