Лекция №2

1
Лекция № 2-2023 Электродинамические основы теории антенн (3ч)
Электродинамические основы теории антенн. Электромагнитное поле
излучающих систем в дальней зоне. Структура электромагнитного поля в
дальней зоне. Границы дальней зоны. Элементарный электрический вибратор
основные характеристики. Элементарный магнитный диполь. Источник
однонаправленного излучения. Турникетный излучателью
Электродинамические основы теории антенн
Современная теория антенн базируется на уравнениях Максвелла,
которые подчеркнём, хотя и имеют четкую математическую формулировку, но
получены они опытным путём и их справедливость многократно проверена на
практике. Среду, в которой распространяется ЭМ поле будем полагать
однородной и изотропной. Однородная среда - это одинаковые электрические и
магнитные параметры среды во всех точках рассматриваемого пространства.
Изотропная среда – это когда электрические характеристики среды не зависят
от ориентации вектора электрического или магнитного поля в данной точке.
При данных условиях поле в произвольной точке пространства
описывается уравнениями Максвелла (комплексные амплитуды)




rot ( H )  j a E   E  J ст


(2.1)

rot ( E )   ja H  J м
(2.2)
Для упрощения процедуры решения уравнений Максвелла обычно вводят
два вспомогательных векторных поля:
AЭ  векторный потенциал электрических токов,
AМ  векторный потенциал магнитных токов.
Вектора Е и Н выражаются через эти вспомогательные векторы
следующим образом
2
E  ia AЭ 
1
i a
grad  divAЭ   rot ( AM )
(2.3)
H  i a AM 
1
ia
grad  divAM   rot ( AЭ )
(2.4)
При подстановке (2.3) и (2.4) в (2.1) и (2.2) получаем векторные
дифференциальные уравнения Гельмгольца относительно вспомогательных
векторов
AЭ  k 2 AЭ   J Э
(2.5)
AМ  k 2 AМ   J М
(2.6)
где
A  grad (divA)  rot  rotA k    a a
В частности, декартовой системе координат
  2 Ay  2 Ay  2 Ay 
  2 Ax  2 Ax  2 Ax 
  2 Az  2 Az  2 Az 
A   2 
 2 i   2 

j 2 
 2 k
2
2 
2
y 2
z 

x

y

z

x

y
z 
 x



Таким образом, решение электродинамической задачи в теории антенн
сводится к нахождению решения уравнения Гельмгольца (2.5, 2.6) при
заданных распределениях сторонних электрических и магнитных токов.
В некоторых книгах можно встретить несколько другой подход, в них
используется понятие вектора Герца, который связан с рассматриваемым нами
векторным потенциалом соотношениями
AЭ  i a Г Э
AM  ia Г M
И тогда уравнения Гельмгольца приобретают следующий вид
3
Г Э  k 2 Г Э  
1
i a
JЭ
Г M  k 2 Г M  
1
ia
JM
Электромагнитное поле излучающих систем в дальней зоне.
Границы промежуточной и ближней зоне.
Решение уравнения (2.5) известно из курса электродинамики и для
электрического тока имеет вид
Aэ ( x, y, z ) 
1
exp(ikr )
э



J
(
x
,
y
,
z
)
dV ,
4 V
r
(2.7)
r ( x, y, z, x, y, z)  ( x  x)2  ( y  y)2  ( z  z)2 -
где
расстояние между точками наблюдения P(x,y,z) и интегрирования Q(x/,y/,z/), а
V-объем, занимаемый токами излучающей системы антенны.
Аналогичное выражение можно записать для магнитного тока
AM ( x , y , z ) 
1
exp(ikr )
M



J
(
x
,
y
,
z
)
dV

4 V
r
(3.8)
Прямое решение (2.7, 2.8) представляет большие математические
трудности, поэтому в теории антенн проводится разбиение пространств на три
зоны ближнюю, промежуточную и дальнюю в которых при определенных
упрощениях можно получить решение. Нас будет интересовать в основном
дальняя зона.
Введем сферическую систему координат с центром внутри системы
излучающих токов – рис 2.1.
Расстояние r, входящее в (2.7) равно
r  QP  R2  R2  2RR cos( )
где  - угол между направлениями OQ и OP.
(2.9)
4
Рис.2.1. К расчету электромагнитных полей системы токов
а) – общий случай, б) точка наблюдения в дальней зоне
Если R
R т.е. точка наблюдения Р находится на достаточном удалении
от объёмаV
где находятся источники ЭМ поля, то расстояние r можно
приближённо представить в виде ряда по возрастающим степеням R / R :
R2
R3
 R

2
r  R 1  cos( )  2 (1  cos ( )  3 cos( )(1  cos 2 ( )  ....
2R
2R
 R

(2.10)
Отбрасывая в (2.10) члены ряда с квадратом (R// R) и выше, что
соответствует дальней зоне излучения, получим
r  R  R cos( )
(2.11)
Этот результат соответствует дальней зоне – рис.2.1б).
Величина r знаменателе подынтегрального выражения (2.7) полагается
равной R, что позволяет вынести его из-под знака интеграла, функцию
exp(ikR) тоже можно вынести из под знака интеграла. Использование таких
5
упрощений приводит к асимптотической формуле для векторного потенциала в
дальней зоне, что обозначено индексом «бесконечность».
AЭ ( R, , ) 
exp(ikR) э
J ( z, y, x)exp(ikR cos( ))dV
4 R V
(2.12)
Величина интеграла в (2.12) зависит от угловых координат  ,  , что
позволяет ввести понятие функции диаграммы направленности излучающей
системы. Первый сомножитель – сферическая волна.
Для перехода от векторного потенциала, найденного в дальней зоне (2.12)
к выражениям для напряжённости электрического и магнитного поля
необходимо выполнить векторные операции в соответствии с (2.3,2.4)
Их применение в соответствии с учетом условия дальней зоны (при
использовании векторных операторов в сферической системе координат)
приводит к следующим соотношениям
i 2
WAЭ,  AM,  , E 
WAЭ,  AM, 


 E
E
Er  0 H 
H 
Hr  0
W
W
E 
i 2
(2.13)
Из выражений (2.13) следуют основные свойства электромагнитного поля
в дальней зоне
1.
Поле имеет поперечный характер, т.е. отсутствует радиальная
составляющая векторов Е и Н.
2.
Поле имеет в общем случае эллиптическую поляризацию, т.к.
компоненты поля E
и E
могут быть сдвинуты по фазе и вектор
E  E  E за один период колебания описывает эллипс. При условии,
что фаза равна π/2 эллипс становится окружностью – круговая поляризация, а
при равенстве фаз колебания происходят в одной плоскости – говорят, что
поляризация линейная.
6
Поле в окрестности точки наблюдения в дальней зоне носит
3.
характер локальной плоской волны, т.е. компоненты E
E
и
и
H а также
H в соответствии с (2.13) находятся фазе, а их отношение равно
волновому сопротивлению свободного пространства W.
4.
Зависимость поля от расстояния носит характер сферической волны
E ( R)  A 
exp(ikR)
R
(2.14)
1
0.5
A( R1 , 0)
A( R1 , 1)
0
 0.5
5
10
15
20
R1
Рис.2.2 Зависимость интенсивности поля в сферической волне
в два момента времени.
Угловое распределение составляющих вектора поля Е в дальней зоне не
зависит от расстояния R и может быть охарактеризовано функциями, которые
называются
нормированными
диаграммами
направленности
для
соответствующих компонентов
F ( ,  ) 
E ( ,  )
E ( ,  )
, F ( ,  ) 
E max (1,max , 1,max )
E max (2,max , 2,max )
(2.15)
В общем случае диаграммы направленности комплексны и могут быть
разделены на амплитудные и фазовые ДН.
7
Поток мощности излучения в дальней зоне всегда направлен радиально.
Плотность потока равна радиальной составляющей вектора Пойнтинга
SR 
1
Re  E H  E H 
2
.
(2.16)
Мнимая часть вектора Пойнтинга в дальней зоне равна нулю.
Поскольку H  E / W
H   E / W то окончательно получаем
E ( ,  )  E ( ,  )
2
S R ( ,  ) 
2W
2
(2.17)
,
Угловая зависимость
F 2 ( ,  ) 
S R ( ,  )
S R ,max (0 , 0 )
(3.18)
называется нормированной диаграммой направленности по мощности
излучения. В соответствии с (3.17) получаем окончательно
F 2 ( , ) 
2
2
E ( , ) макс  E ( , )
2
E ( , )  E ( , )
2
макс
Определим границы применимости формул для расчета поля в дальней
зоне
Основное упрощение заключалось в замене точного выражения (2.9)
приближенным (2.11). Это можно делать, когда возникающая фазовая ошибка в
показателе под интегральной экспоненты в выражении (2.8) мала по
сравнению с 2π.
Эта ошибка с учётом (2.10) приближённо равна
kR sin( )
k  R 2  R2  2RR cos( )   R  R cos( )  


2R
2
Так как максимальное значение
(2.19)
R составляет примерно половину
наибольшего размера изучающей системы L , то наибольшая фазовая ошибка
может составлять 2L2 / 8R . Эта величина должна быть ограничена условием
8
kL2 2

8R N
(2.20)
где N-достаточно большое число, принимаемое обычно равным 16
(ошибка 22,5о). При этих предположениях окончательно получим
R
В оптике
2L2

(2.21)
эту границу называют зоной Фраунгофера (дифракция
Фраунгофера) Промежуточная зона излучения в оптике называется зоной
Френеля.
При увеличении размера излучающей системы в длинах волн границы
дальней зоны отодвигается.
Так для антенны размером 0,5 х 0,5м, работающей на частоте
2,5 ГГц (Wi-Fi) дальняя зона начинается с 4 м, а для зеркальной антенны
диаметром 5 м на этот же диапазон дальняя зона начинается с 400 м.
Ближняя граница дальней зоны получается, если мы учтем еще один член
ряда (3.10). В результате получаем размер промежуточной зоны
1/3
L L L
2 L2
   R
4 2

(2.22)
Диполь Герца и его параметры
Простейшим элементарным излучателем является электрический диполь
Герца с моментом тока J Эl . Это идеализированная модель реальной антенны в
виде отрезка провода длиной l, малой по сравнению с длиной волны, с шарами
на концах. Малость длины провода позволяет считать распределение тока по
длине провода неизменным и равным Iэ. Такое равномерное распределение тока
может иметь только при наличии сосредоточенных зарядов на концах диполя
т.е. на шарах, как этого требует закон сохранения электричества. Хотя такая
антенна не используется на практике изучение ее свойств полезно поскольку
9
сложную антенну можно предствавить в виде суперпозиции ряда коротких
элементов, каждый из которых является электрическим диполем.
Рис. 2.3. Справа – диполь Герца, слева – сферическая система координат.
Поместим диполь в центр сферической системы координат и найдем его
ЭМ поле по формулам в дальней зоне. Векторный потенциал электрических
токов будет иметь единственную ненулевую составляющую
Э
z ,
A
I Э exp(ikR) l / 2
I Э exp(ikR)

l / 2 exp(ikz cos( ))dz  4 R
4 R
(2.23)
при проведении упрощений экспонента в под интегральном выражении в
виду малости длины диполя может быть заменена на единицу.
Переходя к сферической системе координат и используя соотношения
(2.13) получим для дальней зоны
AЭ,   AzЭ, sin( )
E 
i 2

Э
 ,
WA
(2.24)
iI ЭW  l 
exp(ikR)

sin(

)
,
 
2 
R
(2.25)
E iI Э  l 
exp(ikR)
H 

sin(

)
 
W
2 
R
(226)
10
Из выражений (2.25-2.26) следует, что
1. Диполь Герца излучает бегущие волны удаляющиеся на бесконечность
со скоростью света;
2. Вектор Е лежит в меридиональной плоскости, проходящей через ось
диполя, а вектор Н – в азимутальной плоскости. Диполь излучает волны
линейной поляризации.
Диаграммы направленности приведены на рис 2.4.
Рис.2.4. Диаграммы направленности диполя Герца
Мощность, излучаемая диполем Герца определяется интегрированием
вектора Пойнтинга по поверхности произвольной сферы в дальней зоне (так
называемый метод вектора Пойнтинга)
W I Э l 2
1
1 2  E

2
P    E , H  dA   
R sin( )d d 
2A
20 0 W
3 2
2
2
(3.27)

где учтено, что
 sin ( )d  4 / 3
3
0
Из выражений (3.27) и (3.28) следует выражение для сопротивления
излучения диполя Герца
11
2 W  l 
R 
 
3 
2
(2.28)
КНД, который определяется как отношение величины вектора Пойнтинга
в заданном направлении к средней величине вектора Пойнтинга на поверхности
сферы охватывающей антенну
D
поскольку Sср  P / 4 R
2
S макс
Sср
(2.30)
и S макс  Eмакс / 2W , то
2
Eмакс 2 R 2
2
D
WP
(2.31)
I ЭW  l 
Подстановка в (2.31) выражения для Eмакс 
  приводит к
2R   
результату D  3 / 2 . Величина КНД может быть также рассчитана через ДН
по мощности.
D  2 
4
2
F
  ( , )sin( )d d
0 0
(2.32)
Подставляя в (2.32) выражение ДН по мощности для диполя Герца
F 2 ( , )  sin 2 ( ) получим то же самое – D=1,5.- Проверьте.
Элементарный магнитный диполь
Формальный подход
Векторный потенциал магнитного диполя будет иметь единственную
составляющую AzM, равную
M
z ,
A
I M exp(ikR) l / 2
I M l exp(ikR)

l / 2 exp(ikz cos( ))dz  4 R
4 R
(2.33)
Переходя к сферическим координатам, аналогично, как это проведено
12
для диполя Герца получим
E 
i 2

AM,  
iI M  l 
exp(ikR)
  sin( )
2 
R
(2.34)
iI M  l 
exp(ikR)
H  

sin(

)
 
W 2W   
R
E
(2.35)
Также как и электрический диполь магнитный диполь излучает
сферические волны, удаляющиеся на бесконечность со скоростью света. Форма
ДН такая же как у диполя Герца. Однако, если в случае электрического диполя
в меридиональной плоскости находятся электрические силовые линии, то в
случае магнитного диполя в этой плоскости находятся магнитные силовые
линии.
мощность излучения может быть найдена аналогичным образом, однако
вводится не сопротивление излучения, а проводимость излучения согласно
выражению
P 
1 M2
I G
2
(2.36)
Так что
2  l 
G 
 
3W   
2
(2.37)
Из сравнения (2.37) и (2.28) следует, что
R Э  W 2G M
(2.38)
Соотношение (2.38) является естественным следствием принципа
взаимозаменяемости
полей электрических и магнитных токов, что следует
непосредственно из уравнений Максвелла.
13
Элементарный источник однонаправленного излучения.
Рассмотрим систему состоящую из электрического диполя -вдоль оси х и
магнитного – вдоль оси у. Длины диполей будем считать одинаковыми.
Рис.3.9 Однонаправленный излучатель
Для расчета дальнего поля выделим плоскость φ, проходящую через
ось z и возьмем в ней удаленную точку наблюдения Р. Электрическое поле в
этой точке будет иметь составляющие E и E . Каждая составляющая в свою
очередь разбивается на две, порождаемые электрическим и магнитным
диполями. Слагаемое EЭ создаётся проекцией электрического диполя на
плоскость φ, равно по величине I xЭl cos( ) и характеризуется в этой плоскости
ДН вида  cos( ) . Слагаемое EM создаётся проекцией электрического диполя на
нормаль к плоскости φ, равно по величине I yM l cos( ) и характеризуется в этой
плоскости равномерной ДН.
Таким образом, полная составляющая поля E от обоих диполей будет
равна
E ( ,  )  EЭ  EM 
il
exp(ikR)
WI xЭ cos( )  I yM  cos( )

2
R
(2.39)
14
Вычислим теперь φ –ю составляющую вектора Е
Здесь слагаемое будет создаваться проекцией электрического диполя на
нормаль к плоскости φ равной I xЭl sin( ) и характеризуется равномерной
диаграммой направленности в плоскости φ. Слагаемое EM будет создаваться
проекцией магнитного диполя на плоскость φ и
равной
I yM l sin( )
и
характеризуемой в этой плоскости ДН вида cos( )
Суммируя слагаемые EЭ и EM получаем
E ( ,  )  EЭ  EM 
il
exp(ikR)
WI xЭ  I yM cos( )  sin( )

2
R
(2.40)
Рассмотрим величину полного поля создаваемого обеими диполями при
z>0 и при z<0. В обоих случаях будет только ϑ-я составляющая
E (0,0) 
E ( , 0) 
iI yM l
2
iI yM l
2
exp(ikR)
,
R
(m  1)
(m  1)
(2.41)
exp(ikR)
R
(2.42)
WI xЭ
где m  M
Iy
При m=1электромагнитное поле в направлении    обращается в нуль, а
ЭМ
поле
в
направлении
  0 увеличивается
вдвое-
формируется
однонаправленная диаграмма с максимумом излучения в положительном
направлении оси Z и с нулем в обратном направлении – кардиоида.
Найдем нормированные ДН системы при m=1
cos( )(cos( )  1)
2
(2.43)
sin( )(cos( )  1)
2
(2.44)
F ( ,  )  i
F ( ,  )  i
Знак минус означает, что вектор поля направлен в обратном направлении
  го орта сферической системы координат. Из выражений (2.44) и (2.43)
15
следует что функции F и F находятся в фазе. Это указывает на то, что данная
система источников излучает поле только линейной поляризации
Найдем нормированную ДН по мощности
F ( ,  )  F ( ,  )
2
F ( ,  ) 
2
2
 F ( ,  ) 2  F ( ,  ) 2 

 
 макс
 cos( )  1 


2


2
(2.45)
Пространственная характеристика ДН не зависит от φ и в любом сечении
проходящем через ось z представляет собой квадрат кардиоиды.
Используя интегральное выражение для КНД найдем что D=3.- спрошу
на экзамене.
Вид ДН – на рис. 3.10
а)
б)
Рис. 3.10 Кардиоидная ДН а) и физическая реализация системы
в виде диполя и рамка-б)
Элементарный турникетный излучатель
Рассмотрим излучение двух одинаковых электрических вибраторов
одинаковой длины находящихся в пространственной и временной квадратурах,
т.е расположенных в пространгстве под углом 90о и воздуждаемых со сдвигом
фаз 90о.Такая система называется турникетным излучателем. Суммируя
составляющие E и E каждого из двух вибраторов аналогично тому, как это
16
было сделано ранее получим следующие выражения для полного излучаемого
поля
E 
iWl
exp(ikR)
  I x cos( )  I y sin( )  cos( )
2
R
(2.46)
E 
iWl
exp(ikR)
 I x sin( )  I y cos( ) 
2
R
(2.47)
При I y  I x exp(i90o ) - вектор Е вращается против часовой стрелки если
смотреть от оси z, выражения для поля Е имеют вид
E 
iWlI x
exp(ikR)
cos( )
exp(i )
2
R
E 
WlI x exp(ikR)
exp(i )
2
R
(2.48)
Рис.3.11 Турникетный излучатель
Им будут соответствовать следующие нормированные ДН
F  i cos( ) exp(i ) F   exp(i )
(2.49)
Элементарный турникетный излучатель имеет следующие свойства:
1. В направлении оси z поле имеет круговую поляризацию, в других эллиптическую
2. В плоскости ху – поле имеет линейную поляризацию
17
cos 2 ( )  1
Найдем ДН по мощности F ( ,  ) 
и рассчитаем КНД которое
2
2
оказывается равное 1,5.в плоскости ху уровень излучаемой мощности в 2 раза
меньше.
Рис.3.12. Диаграмма направленности
по мощности турникетного излучателя.
На рассмотренных примерах мы убедились, что имеются возможности
управления формой ДН и поляризационной характеристикой излучающей
системы путём комбинирования излучения только двух элементарных
излучателей. Это объясняется интерференцией волн, благодаря которой поле
усиливается в тех направлениях, где соответствующие компоненты находятся в
фазе и ослабляется при противофазном сложении.
Очевидно,
что
увеличивая
число
источников,
располагая
их
в
пространстве более сложным образом и подбирая амплитуды и фазы
излучателей
мы можем расширить наши возможности по получению
требуемых свойств излучающей системы.
Таким образом, построение излучающей системы сводится к организации
требуемой
интерференции
электромагнитных
волн
расположенных в пространстве определенным образом.
от
источников