АЛГЕБРА (ОГЭ)
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
ТАБЛИЦА СТЕПЕНЕЙ
2
𝑛
3
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
𝑛
4
30 = 1
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
𝑛
40 = 1
41 = 4
42 = 16
43 = 64
44 = 256
45 = 1024
5𝑛
6𝑛
7𝑛
8𝑛
9𝑛
50 = 1
51 = 5
52 = 25
53 = 125
54 = 625
60 = 1
61 = 6
62 = 36
63 = 216
70 = 1
71 = 7
72 = 49
73 = 343
80 = 1
81 = 8
82 = 64
83 = 512
90 = 1
91 = 9
92 = 81
93 = 729
СТЕПЕНИ
𝑎 – это степень
𝑎 – это основание 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
𝑛 – это показатель 34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81
𝑛
1
𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
2
𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
3
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛∙𝑚
4
𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛
5
𝑎𝑛
𝑎 𝑛
=( )
𝑏𝑛
𝑏
6
7
1
𝑎−𝑛 = 𝑛
𝑎
𝑎0 = 1
8
𝑎 −𝑛
𝑏 𝑛
( ) =( )
𝑏
𝑎
КОРНИ
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
1
√𝑎 ∙ √𝑏 = √𝑎𝑏 √𝑎
2
𝑎
=√
𝑏
√𝑏
3
2
(√𝑎) = 𝑎
2
или
2
3
или
√2 = 1,41421356237309 …
√90 = 9,48683298050513 …
√16
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ
𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
1
𝑑 – это разность (число, на которое изменяется каждый член прогрессии)
𝑎𝑛 – это какой-либо член прогрессии
𝑆𝑛 – это сумма какого-либо количества членов прогрессии
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑑(𝑛 − 1)
2
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛 )𝑛
2
3
𝑑 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛
4
𝑑=
𝑎𝑛 − 𝑎𝑚
𝑛−𝑚
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
1
𝑞 – это знаменатель (число, на которое умножается каждый член
прогрессии)
𝑏𝑛 – это какой-либо член прогрессии
𝑆𝑛 – это сумма какого-либо количества членов прогрессии
𝑏𝑛 = 𝑏1 ∙ 𝑞
2
𝑛−1
𝑆𝑛 =
(𝑞 𝑛
− 1)𝑏1
𝑞−1
3
𝑞=
𝑏𝑛+1(следующий)
𝑏𝑛(предыдущий)
4
𝑞 𝑛−𝑚 =
𝑏𝑛
𝑏𝑚
ЗНАКИ
Из более крупного (не учитывая знаки) вычитаем менее
крупное и ставим знак более крупного числа
Складываем числа (не учитывая знаки) и ставим знак
минус
6 + (−4) = +(6 − 4) = 2
−8 + 1 = −(8 − 1) = −7
−8 + (−2) = −(8 + 2) = −10
−1 − 5 = −(1 + 5) = −6
Минус на минус даёт плюс (при умножении и при
делении)
Плюс на минус даёт минус (при умножении и при
делении)
+1 ∙ (−4) = −4
−6 ∙ (+1) = −6
−2 ∙ (−4) = +8
+ 4: (−4) = −1
− 8: (+2) = −4
− 4: (−2) = +2
ДРОБИ
Перемножить знаменатели
Взять больший из знаменателей
1 1
+ =
2 5 10
1 1
+ =
3 6 6
1
= 0,5
2
1
= 0,25
4
3
= 0,75
4
1
= 0,125
8
3 2 ∙ 4 + 3 11
2 =
=
4
4
4
Взять число, в несколько раз превышающее
больший из знаменателей
1 1
+ =
6 9 18
Умножаем числитель на числитель (верх на
верх)
Умножаем знаменатель на знаменатель (низ на
низ)
3 1 3∙1
3
∙ =
=
4 5 4 ∙ 5 20
Если числитель и знаменатель дроби
умножить или разделить на одно и то же
натуральное число, то получится равная ей
дробь
Первую дробь оставляем без изменения, а
вторую переворачиваем
Затем перемножаем дроби
3 2 3 7 3 ∙ 7 21
: = ∙ =
=
4 7 4 2 4∙2
8
1 1∙2
2
=
=
5 5 ∙ 2 10
3
3: 3
1
=
=
30 30: 3 10
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Чтобы найти среднюю скорость необходимо суммарное
пройденное расстояние разделить на суммарное
потраченное время
𝑆суммарное
𝑉средняя =
𝑡суммарное
Доля1 ∙ 𝑚1 + Доля2 ∙ 𝑚2 = Долясмеси ∙ 𝑚смеси
1
Заполняем табличку:
𝐴 (производительность)
I
𝐴1
II 𝐴2
𝑡 (время)
𝑉 (количество)
𝑡1
𝑉1
𝑡2
𝑉2
2
То, что требуется найти – берём за 𝑥, рядом с 𝑥 ставим 𝑦
3
𝐴 ∙ 𝑡 = 𝑉1
Дозаполняем табличку и решаем систему уравнений: { 1 1
𝐴2 ∙ 𝑡2 = 𝑉2
ПРЯМАЯ
𝑂𝑦
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
𝑦 = 𝑘𝑥
(прямая,
проходящая через
начало координат)
𝑦=𝑏
(горизонтальная
прямая)
𝑘>0
𝑘<0
𝑘=0
𝑏>0
𝑂𝑦
𝑏<0
𝑂𝑦
Чем больше 𝑘 (по
модулю) − тем
больше прямая
прижата к оси 𝑂𝑦
𝑏=0
ПАРАБОЛА
𝑂𝑦
𝑂𝑦
𝑂𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑐
𝑦 = 𝑎𝑥 2
𝑎>0
𝑎<0
𝑐>0
𝑐<0
𝑐=0
𝑥0 =
−𝑏
2𝑎
ГИПЕРБОЛА
𝑦=
Чем больше число в знаменателе − тем больше гипербола прижата к осям
𝑘
𝑥
𝑦=
𝑘>0
3
𝑥
𝑘<0
КОРЕНЬ
𝑦 = √𝑥
𝑦=
1
3𝑥
Геометрия
УГЛЫ
Меньше 90°
Равен 90°
Больше 90°
В сумме 180°
Равны
У треугольника 180°
У четырёхугольника 360°
У пятиугольника 540°
У шестиугольника 720°
У 𝑛 −угольника 180°(𝑛 − 2)
Равны при параллельных прямых Равны при параллельных прямых В сумме 180° при параллельных
(первый признак параллельности (второй признак параллельности прямых (третий признак
прямых)
прямых)
параллельности прямых)
ТРЕУГОЛЬНИК
1
𝑆 = 𝑎ℎ𝑎
2
1
𝑆 = 𝑎𝑐 ∙ sin 𝛼
2
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐)
Равен сумме двух внутренних
углов, не смежных с ним
∠𝐶внешний = ∠𝐴 + ∠𝐵
𝑆 = 𝑝𝑟
𝑝 − полупериметр
𝑆=
𝑎𝑏𝑐
4𝑅
В любом треугольнике сумма
длин двух сторон больше длины
третьей стороны
𝑎
= 2𝑅
sin 𝛼
или
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
= 2𝑅
sin 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∙ cos 𝛼
или
𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎2
cos 𝛼 =
2𝑏𝑐
– лежит на серединах сторон
– параллельна основанию
– равна половине основания
𝑎
𝑀𝑁 =
2
В любом треугольнике:
– против большей стороны лежит
больший угол
– против меньшей стороны лежит
меньший угол
БИССЕКТРИСА
Биссектриса – это луч, делящий
угол пополам
𝑙 = √𝑎𝑏 − 𝑎𝑙 ∙ 𝑏𝑙
𝑎𝑙 𝑎
=
𝑏𝑙 𝑏
Если точка лежит на биссектрисе угла, то она Биссектрисы треугольника пересекаются в
равноудалена от сторон этого угла
точке, которая является центром
окружности, вписанной в треугольник
МЕДИАНА
Медиана – это отрезок, делящий
противоположную сторону
треугольника пополам
𝑚2 =
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
+ −
2
2
4
Медиана разбивает треугольник
на два равновеликих (с
одинаковыми площадями)
В прямоугольном треугольнике
медиана, проведённая к
гипотенузе, равна половине
гипотенузы
Медианы треугольника пересекаются в
одной точке и точкой пересечения
делятся в отношении 2:1 считая от
вершины
СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
Серединный перпендикуляр – это прямая,
перпендикулярная стороне треугольника, и делящая эту
сторону пополам
Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к
отрезку, равноудалена от концов этого отрезка
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в точке, являющейся центром окружности,
описанной около треугольника
ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Все углы острые
Есть прямой угол
Есть тупой угол
Две стороны равны и все
углы острые
Две стороны равны и есть Две стороны равны и есть Все стороны и углы
прямой угол
тупой угол
равны
ПОДОБИЕ И РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Отношение площадей подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия
1
По двум сторонам и углу между ними
По двум углам
1
2
По стороне и двум, прилежащим к ней
углам
2
По двум пропорциональным сторонам и углу между
ними
В подобных треугольниках
отношение периметров, биссектрис,
медиан, высот и серединных
перпендикуляров равно
коэффициенту подобия
𝑆большого треугольника
= 𝑘2
𝑆маленького треугольника
3
По трём сторонам
3
По трём пропорциональным сторонам
ТРИГОНОМЕТРИЯ
1
противолежащий катет
sin =
гипотенуза
2
прилежащий катет
cos =
гипотенуза
3
противолежащий катет
tg =
прилежащий катет
4
прилежащий катет
ctg =
противолежащий катет
5
sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1
6
1
1 + tg 2 𝛼 =
cos 2 𝛼
7
sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 − cos 𝛼 ∙ sin 𝛽
8
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
𝑆=
𝑎𝑏
2
Катет, лежащий напротив угла 30°,
равен половине гипотенузы
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
𝑅=
𝑐
2
ℎ=
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны и углы при основании равны
ℎ2 = 𝑑𝑒
𝑎𝑏
𝑐
Биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, равны
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Равносторонний треугольник – это треугольник,
у которого все стороны равны и все углы равны
60°
𝑆=
√3𝑎2
4
ℎ=
√3𝑎
2
𝑟=
√3𝑎
6
𝑟=
1
∙ℎ
3
𝑅=
√3𝑎
3
𝑅=
2
∙ℎ
3
КВАДРАТ
Квадрат – это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы равны 𝑆 = 𝑎2
90°
В квадрате диагонали равны и взаимно
перпендикулярны
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Если в
параллелограмме
диагонали равны, то
он – прямоугольник
Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы равны 𝑆 = 𝑎𝑏
90°
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся
пополам
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Параллелограмм – это
четырёхугольник, у которого
противоположные стороны
попарно параллельны
𝑆 = 𝑎ℎ𝑎
В параллелограмме
сумма углов,
прилежащих к любой
стороне, равна 180°
𝑆 = 𝑎𝑐 ∙ sin 𝛼
Диагональ параллелограмма
делит его на два равных
треугольника
△ 𝐴𝐵𝐷 =△ 𝐵𝐶𝐷
1) Если две стороны равны и
параллельны
2) Если противоположные углы
попарно равны
3) Если противоположные стороны
попарно равны
4) Если все противоположные
стороны попарно параллельны
5) Если диагонали пересекаются и
точкой пересечения делятся
пополам
РОМБ
𝑑1 ∙ 𝑑2
Ромб – это параллелограмм, у
𝑆=
которого все стороны равны
2
Трапеция – это
четырёхугольник, у которого
две стороны параллельны, а
две нет
𝑆=
𝑎+𝑏
∙ℎ
2
𝑆 = 𝑎ℎ
𝑆 = 𝑎2 ∙ sin 𝛼
𝑆 = 2𝑎𝑟
1) Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он – ромб
2) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то он –
ромб
3) Если в параллелограмме диагонали пересекаются под прямым
углом, то он – ромб
4) Если в параллелограмме одна из диагоналей является
биссектрисой его углов, то он – ромб
ТРАПЕЦИЯ
– лежит на серединах сторон
– параллельна основаниям
– равна полусумме оснований
𝑎+𝑏
𝑀𝑁 =
2
В трапеции сумма углов,
прилежащих к боковой
стороне, равна 180°
𝐴𝐻 = 𝐷𝑀
Диагонали
равнобедренной
трапеции равны
ОКРУЖНОСТЬ
Вписанный угол равен половине дуги,
на которую он опирается
Центральный угол равен градусной
мере дуги, на которую он опирается
𝑆 = 𝜋𝑅2
𝐶 = 2𝜋𝑅
𝑎+𝑐 =𝑏+𝑑
∠𝐴 + ∠𝐶 = 180°
∠𝐵 + ∠𝐷 = 180°
Если угол между стороной и
Касательная к окружности
диагональю равен углу между
перпендикулярна радиусу,
противоположной стороной и другой
проведённом в точку касания
диагональю, то такой четырёхугольник
можно вписать в окружность
Отрезки касательных к окружности,
проведённые из одной точки, равны, и
составляют равные углы с прямой,
проходящей через эту точку и центр
окружности
⌣ 𝐴𝐵
2
𝐴𝐷2 = 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶
𝐴𝐷 ∙ 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶
𝑙дуги сектора =
𝛼=
𝑎∙𝑏 =𝑐∙𝑑
𝛼
∙ 2𝜋𝑅
360
