. . , . . УДК 373:51
ББК 22.1я721
У28
Макет подготовлен при содействии ООО «Айдиономикс»
У28
Удалова, Наталья Николаевна.
Наглядная математика / Н. Н. Удалова, Т. А. Колесникова. — Москва : Эксмо,
2020. — 144 с. — (Новый справочник школьника с дудлами).
ISBN 978-5-04-109476-8
Справочник содержит сведения по всем темам школьного курса математики. Весь
теоретический материал систематизирован, сопровождается примерами, наглядными
схемами и таблицами, а также дудлами, которые помогают лучше запомнить полученную
информацию.
Пособие предназначено для школьников и учителей, а также для всех, кто интересуется вопросами математики.
УДК 373:51
ББК 22.1я721
ISBN 978-5-04-109476-8
© Удалова Н.Н., Колесникова Т.А., 2020
© ООО «Айдиономикс», 2020
© Оформление. ООО «Издательство «Эксмо», 2020
СОД Е РЖА НИЕ
ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................... 4
АЛГЕБРА.......................................................................................... 5
Числа, корни и степени ............................................................... 5
Основы тригонометрии ................................................................ 11
Логарифмы ................................................................................... 15
Преобразование выражений ........................................................ 17
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ......................................................... 24
Уравнения ..................................................................................... 24
Неравенства .................................................................................. 43
ФУНКЦИИ .......................................................................................... 57
Определение и график функции................................................ 57
Элементарное исследование функций ....................................... 61
Основные элементарные функции .............................................. 64
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ......................................... 75
Производная ................................................................................. 75
Исследование функций ................................................................ 79
Первообразная и интеграл ......................................................... 88
ГЕОМЕТРИЯ ....................................................................................... 94
Планиметрия ................................................................................. 94
Прямые и плоскости в пространстве ..................................... 102
Многогранники ............................................................................ 107
Тела и поверхности вращения ................................................. 115
Измерения геометрических фигур............................................ 119
Координаты и векторы.............................................................. 127
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .......................................................... 137
Элементы комбинаторики .......................................................... 137
Элементы статистики................................................................. 140
Элементы теории вероятностей ............................................... 141
y = ax 3
Введение
У
0
заметки
Мои
Мои примеры
X
Перед вами необычный справочник, который поможет систематизировать и закрепить знания по математике за курс
средней школы.
Главное отличие данного пособия от множества других — наличие дудлов. В переводе с английского языка
doodle — каракули, рисунки на полях тетради, оставленные
школьниками. Подобные зарисовки развивают ассоциативное мышление, помогают лучше запомнить полученную информацию, вносят в процесс обучения элемент игры, что
делает его увлекательным и, следовательно, более эффективным.
В книге рассмотрены традиционные разделы математики:
«Алгебра», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Начала
математического анализа», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей», которые
соответствуют объёму учебного материала, включённого
в единый государственный экзамен по математике.
Весь теоретический материал систематизирован, он сопровождается примерами, наглядными схемами и таблицами.
Это обеспечит максимальную сконцентрированность внимания, эффективное повторение и качественную подготовку по
предмету. Приведённые решения с развёрнутыми разъяснениями позволяют детально разобраться в темах школьного
курса и отработать навыки выполнения различных заданий.
На страницах книги предусмотрены специальные места
(«Мои заметки», «Мои примеры»), на которых можно делать
пометки, приводить свои примеры, дополнять прочитанную
информацию собственными рисунками и схемами.
Пособие предназначено для школьников, студентов, учителей школ и преподавателей вузов, а также для всех, кто
интересуется математикой.
Надеемся, книга поможет учащимся при подготовке
к школьным занятиям, различным формам текущего и промежуточного контроля, выпускникам — к сдаче единого государственного экзамена.
Желаем успехов!
4
А Л ГЕ Б РА
Числа, корни и степени
Множество чисел задано форму-
Натуральные числа (1; 2; 3; 4; 5…), числа, им противоположные (–1; –2; –3; –4; –5…), и число нуль образуют
множество целых чисел.
Множество натуральных (лат. naturalis — природа) чисел
имеет специальное обозначение — N; множество целых
(нем. zahl — число) чисел — Z.
лой x n = n2 − 5, где n Z. Сколько чисел из данного множества
не больше 2?
|– 2,65
|2,65
–2
–1
2
0
1
2
2
n − 5 ≤ 2, n ≤ 7, − 7 ≤ n ≤ 7.
Степень с натуральным
показателем
Ответ: 5.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из
которых равен a.
an = a
⋅ a ⋅ a ⋅... ⋅ a
n множителей
a — основание степени;
n — показатель степени.
Десятки
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
Единицы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
4
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401
5
2500
2601
2704
2809
2916
3025
3136
3249
3364
3481
6
3600
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
7
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241
8
6400
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
9
8100
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801
5
ТАБЛИЦА СТЕПЕНЕЙ
Значения n
Алгебра
n
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
n
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
3
n
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19 683
59 049
4
n
4
16
64
256
1024
4096
5
n
5
25
125
625
3125
15 625
6
n
6
36
216
1296
7776
46 656
7
n
7
49
343
2401
16 807
8
n
8
64
512
4096
32 768
9
n
9
81
729
6561
59 049
n — чётное число
Свойства степеней
a, b ! 0
1
a =a
(− a)n = b
a x ⋅ ay = a x + y
9(−3) = 81
(a ) = a
x y
4
xy
x
ax
= a x − y , где a ≠ 0
y
ax
4
3 −3 = −81
Основание — отрицательное число
a x ⋅ b x = ( ab )
a
− an = − b
a ! 0, если n — чётное число (2; 4; 6...).
9(–3)4
81.
n
an 0, если n — нечётное число (1; 3; 5...).
9(–2)5
–32.
x
⎛ a⎞
= ⎜ ⎟ , где b ≠ 0
x
⎝b⎠
b
Дроби
Число вида
ь
ител
л
с
и
ель
m ч
енат
м
а
m
н
m з
n
m
, где m Z, n N, называют обыкновенной
n
дробью.
Любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно
представить в виде десятичной дроби.
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то полуa ac
чится дробь, равная данной:
= , где с ≠ 0.
b bc
6
a c ad
: =
b d bc
Перевод обыкновенной дроби в десятичную:
17
= 2,125;
8
3
3⋅4
12
=
=
= 0,12;
25 25 ⋅ 4 100
3 3 ⋅125 375
=
=
= 0,375.
8 8 ⋅125 1000
–17 8
16 2,125
10
–8
– 20
16
–40
40
0
17
3
=2
7
7
–17
7
14 2
3
Перевод смешанного числа в неправильную дробь:
3
5 3 ⋅ 9 + 5 32
=
=
.
9
9
9
a c
: =
b d
СЛОЖЕНИЕ (ВЫЧИТАНИЕ)
СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю.
Отдельно выполнить сложение (вычитание)
целых частей и отдельно — дробных частей.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить
целую часть из этой дроби и прибавить
её к полученной целой части.
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив
на единицу целую часть.
УМНОЖЕНИЕ
СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
Записать смешанные
неправильных дробей.
числа
в
виде
Найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей.
Первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.
ДЕЛЕНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ
Делимое умножить на число, обратное делителю.
Записать смешанные числа в виде
неправильных дробей.
7
степени
корни
a c ac
⋅ =
b d bd
Числа,
a c ad ± bc
± =
b d
bd
Выделение целой части из неправильной дроби:
и
ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ
Алгебра
ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ
ДРОБИ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО
СЛОЖЕНИЕ (ВЫЧИТАНИЕ)
ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
количество
Разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую.
Записать их друг под другом так,
чтобы запятая была записана под запятой.
Поставить в частном запятую, когда
кончится деление целой части.
Уравнять в этих дробях
знаков после запятой.
Выполнить сложение (вычитание),
обращая внимания на запятую.
не
:
25,6
0,08
:
560
8 =
320
= 2
Поставить в ответе запятую под запятой.
ДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА
НА ДЕСЯТИЧНУЮ ДРОБЬ
В делимом и делителе перенести
запятую вправо на столько цифр,
сколько их после запятой в делителе.
2,25 : 0,3565 = ?
Выполнить деление на натуральное число.
УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ДЕСЯТИЧНЫХ
ДРОБЕЙ
Мои
Выполнить умножение,
внимания на запятые.
не
обращая
Отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой
в обоих множителях вместе.
8
заметки
1% =
1
100
100 % = 1
3 % = 0,03
0,2 = 20 %
(3:100)
(0,2 ⋅100)
корни
Рациональные числа
СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
Числа,
Целые и дробные числа (положительные и отрицательные) образуют множество рациональных чисел.
Множество рациональных (лат. ratio — деление) чисел
обозначается Q.
Любое рациональное число можно представить в виде
m
обыкновенной дроби n , где m ∈ Z, n ∈ N .
Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби либо бесконечной периодической десятичной дроби.
ДЕЙСТВИЯ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ
И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
− ( − a) = a
СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ
С РАЗНЫМИ ЗНАКАМИ
−2 + ( −7) = − (2 + 7) = −9.
Сложить их модули.
Из большего модуля слагаемых вычесть
меньший.
Поставить перед полученным числом
знак «–».
Поставить перед полученным числом знак
того слагаемого, модуль которого больше.
ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЕЛ
−17 + 11 = − (17 − 11) = −6.
К уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
−2 – (−5)
8 – 9
−2 + 5
8 + (−9)
3;
УМНОЖЕНИЕ (ДЕЛЕНИЕ) ДВУХ
ЧИСЕЛ С РАЗНЫМИ ЗНАКАМИ
Перемножить (разделить) модули чисел.
−1.
−0,25 ⋅ 4 = −1;
−7:2 = −3,5.
степени
Процентом (лат. per cent — на сотню) называется одна сотая часть величины.
и
Проценты
Поставить перед полученным числом знак «–».
9
УМНОЖЕНИЕ (ДЕЛЕНИЕ) ДВУХ
ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Алгебра
−7 ⋅ ( −10) = +70 = 70;
−42 : ( −7) = +6 = 6.
Перемножить (разделить) модули чисел.
(32 ) ⋅ (32 ⋅ 22 ) = 3−4 ⋅ 32 ⋅ 22 =
=
−2
16−2 ⋅ 27
2−8 ⋅ 33
(24 ) ⋅ 33
−2
9−2 ⋅ 36
=
3−2 ⋅ 22
3
3 ⋅2
−8
=
28 ⋅ 22
3
2
3 ⋅3
=
210
35
=
Степень с целым
показателем
1024
.
243
а− n =
1
a
⎛ a⎞
⎜⎝ ⎟⎠
b
a0 = 1, a ≠ 0
, a≠0
n
−n
n
⎛b⎞
= ⎜ ⎟ , a ≠ 0, b ≠ 0
⎝ a⎠
Корень степени n >1 и его
свойства
Корнем n-й степени (n ∈N, n > 1) из действительного числа а называется такое действительное число b, n-я степень которого равна а.
а)
( 3 − 5 ) = | 3 − 5| = 5 − 3,
2
Если n — чётное число, то
n
x n =| x |.
т. к. 5 > 3;
б) 7
1
22
⋅ 66 =
⋅ 66 = 22 ⋅ 22 = 22;
3
3
в) 342 − 162 =
(34 − 16)(34 + 16) =
= 18 ⋅ 50 = 9 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 25 = 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 30.
m
a не существует, если a < 0 и m — чётное число.
Мои примеры
Свойства корней n-й степени
Для любых a ≥ 0, b ≥ 0, n ≥ 2, m ≥ 2:
n
10
( a) = a
a n b = n ab
n
n
a
n
b
=n
k
a
, b≠0
b
n
k
n
am =
nk
nk
amk
a = nk a
m
Пусть a ! 0, n — рациональное число (n ≥ 2, m ∈ Z, n ∈N),
m
n
a n = am .
Все свойства степени с натуральным
тогда
показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.
a > 1, r — рациональное число.
Если r > 0, то ar > 1.
Если r < 0, то 0 < ar < 1.
a > 1, r, t — рациональные числа.
0 < a < 1, r, t — рациональные числа.
Если r > t, то ar > at .
Если r > t, то ar < at .
Свойства степени
с действительным показателем
При любом x ∈R и любом a > 0 степень ax является
положительным действительным числом: a x > 0 при
x ∈R, a > 0.
Все свойства степени с рациональным показателем
верны для степени с действительным показателем.
22 3
0,252 − 3
=
22 3
(
2
−2 2 − 3
=
)
22 3
⎛ 1⎞
⎜⎝ ⎟⎠
4
=
2− 3
22 3
2
−4 + 2 3
=
22 3
(2−2 )
2− 3
=
(
2 3 − −4 + 2 3
=2
)=
= 22 3 + 4 −2 3 = 24 = 16.
Основы тригонометрии
Синус, косинус, тангенс,
котангенс произвольного угла
Единичной окружностью в тригонометрии называют окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат хОу.
Синусом угла D (sin D) называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на
угол D.
Косинусом угла D (cos D) называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат
на угол D.
Тангенсом угла D (tg D) называется отношение синуса
угла к его косинусу.
Котангенсом угла D (ctg D) называется отношение косинуса угла к его синусу.
положительное направление
у
D!0
A(1; 0)
O
E 0
х
отрицательное направление
11
Основы тригонометрии
Степень с рациональным
показателем и её свойства
у
Алгебра
М
1
sin D
sin α = y
D
О cos D
cos α = x
tg α =
х
sin α
cos α
ctg α =
cos α
sin α
ЗНАКИ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА
II
I
четверть четверть
III
cos D
у
sin D
у
у
О
+
х
IV
–
четверть четверть
+
О
–
х
–
–
tg D и ctg D
у
+
О
–
х
+
О
–
+
+
х
Радианная мера угла
R
| 57,3q
O
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой
равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.
R
R
⎛ 180 ⎞ q
1 рад = ⎜
⎝ π ⎟⎠
1° =
⎛ 180 ⎞ q
α рад = ⎜
⋅α⎟
⎝ π
⎠
π
α° =
⋅ α рад
180
π
рад
180
у
(2S/3) 120q
(3S/4) 135q
(S/2) 90q
60q (S/3)
45q (S/4)
30q (S/6)
(5S/6) 150q
0q
180q
(S)
О
(7S/6) 210q
х
360q (2S)
330q (11S/6)
(5S/4) 225q
(4S/3) 240q
270q (3S/2)
315q (7S/4)
300q (5S/3)
Градусы
0q
30q
45q
60q
90q
180q
270q
360q
Радианы
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3π
2
2π
12
D
0
π
6
π
4
π
3
π
2
S
3π
2
S
sin D
0
1
2
2
2
3
2
1
0
–1
0
cos D
1
3
2
2
2
1
2
0
–1
0
1
tg D
0
3
3
1
3
—
0
—
0
ctg D
—
3
1
3
3
0
—
0
—
sin(−α) = − sin α
tg(−α) = − tg α
cos(−α) = cos α
Основы тригонометрии
Синус, косинус, тангенс,
котангенс числа
ctg(−α) = − ctg α
Тригонометрические тождества
sin2 α + cos2 α = 1
tg α =
sin α
cos α
1+ tg2 α =
tg α ⋅ ctg α = 1
ctg α =
1
2
cos α
cos α
sin α
1+ ctg2 α =
1
sin2 α
(
)
б) sin2 t + cos2 t + ctg2 t = (sin2 t + cos2 t ) + ctg2 t =
а) 2 − sin2 x − cos2 x = 2 − sin2 x + cos2 x = 2 − 1 = 1;
= 1+ ctg2 t =
2
sin x = ± 1− cos x
2
cos x = ± 1− sin x
Знак выражения определяется по четверти
(см. с. 12).
1
sin2 t
в) tg ( − x ) ⋅ ctg x −
2
;
sin2 x
cos2 x
(
= − tg x ⋅ ctg x −
)
1
⎛ sin x ⎞
.
= −1− ⎜
= − 1+ tg2 x = −
⎝ cos x ⎟⎠
cos2 x
13
(sin x )2
=
(cos x )2
πn
±α
2
Алгебра
Формулы приведения
Если
в
качестве
аргумента тригонометрической функции
πn
± α, где n ∈ Z, то такое тривыступает выражение вида
2
гонометрическое выражение можно привести к более простому виду, используя формулы приведения.
ПРАВИЛА ЗАПИСИ ФОРМУЛ ПРИВЕДЕНИЯ
2π ± α
В правой части формулы ставится тот знак, который имеет
π
левая часть, при условии, что 0 < α < .
2
1
Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится аргумент вида π ± α или 2π ± α , то наименование тригонометрической функции следует сохранить.
2
Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции со3π
π
± α , то наименование
± α или
держится аргумент вида
2
2
тригонометрической функции следует изменить (синус на косинус,
косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
3
Найдите значение выражения.
а)
7S
б)
у
в)
у
2S+
S
6
2S
х
180q
О
х
О
7S+ S
3
в) cos240° = cos (180° + 60°) = − cos60° = −
14
у
О
О
х
180q+ 60q
3
π⎞
π
⎛ 22π ⎞
⎛
а) sin ⎜
;
= sin ⎜ 7π + ⎟ = − sin = −
⎝ 3 ⎟⎠
⎝
3⎠
3
2
г)
у
990q– 45q
х
990q
13π
3
π⎞
π
⎛ 13π ⎞
⎛
б) tg ⎜ −
;
= − tg
= − tg ⎜ 2π + ⎟ = − tg = −
⎝ 6 ⎟⎠
⎝
6
6⎠
6
3
1
= −0,5;
2
г) ctg945° = ctg (990° − 45°) = tg45° = 1.
cos2α = cos2 α − sin2 α
sin2α = 2sin α cos α
2
tg2α =
а) 6sin15° cos15° = 3 ⋅ (2sin15° cos15°) =
= 3 ⋅ sin (2 ⋅15°) = 3sin30° = 3 ⋅
2
1− cos2α = 2sin α
1+ cos2α = 2cos α
б)
2 tg α
2
1− tg α
6 tg15°
2
1− tg 15°
= 3⋅
= 3 ⋅ tg30° = 3 ⋅
2 tg15°
1− tg2 15°
а) 81
log35
b=a .
1
б) 7 2
c = loga b
( )
= 3
c
loga ac = c
= 3 ⋅ tg (2 ⋅15°) =
ab
Логарифмом положительного числа b по основанию a ( a > 0, a ≠ 1) называют число с, такое, что
loga 1 = 0
1 3
= = 1,5;
2 2
3
= 3.
3
Логарифмы
loga a = 1
Логарифмы
Синус, косинус и тангенс
двойного угла
log7 16
4
(
log35
4
⎛ log35 ⎞
4
= ⎜3
⎟ = 5 = 625;
⎜⎝
⎟⎠
1
log7 16 2
)
= 7
1
( )
1
= (16)2 = 42 2 = 4;
в) log3 log5 125 = log3 3 = 1, т. к. log5 125 = 3;
log b
a
a
=b
Логарифм произведения,
частного, степени
Пусть a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, r — любое действительное число.
loga (bc ) = loga b + loga c
⎛b⎞
loga ⎜ ⎟ = loga b − loga c
⎝c⎠
loga b r = r loga b
1
log r b = loga b
a
r
г) 7log7 3 +1 = 7log7 3 ⋅ 71 = 3 ⋅ 7 = 21.
1
4
⎛ 1 4⎞
а) log4 3 + log4 4 = log4 ⎜ 3 ⋅ 4 ⎟ =
⎝ 2 7⎠
2
7
⎛ 7 32 ⎞
= log4 ⎜ ⋅ ⎟ = log4 16 = 2;
⎝2 7 ⎠
1
б) log12 4 144 = log12 (144 ) 4 =
=
1
log12 144 =
4
1
1
⋅ 2 = = 0,5;
4
2
в) log 3 27 = log
1 27 = 2log3 27 =
(3)2
= 2log3 33 = 2 ⋅ 3 ⋅ log3 3 = 6 ⋅1 = 6;
1
г) log3 3 3 = log3 3 + log3 3 = 1+ log3 3 2 =
Десятичный и натуральный
логарифмы, число e
Десятичным логарифмом числа называют логарифм
этого числа по основанию 10. Обозначают lga вместо
log10a.
= 1+
1
1
= 1 = 1,5;
2
2
д) log2 81− 2log2 3 + log2
− log2 32 + log2
2
= log2 81−
9
2
2⎞
⎛
= log2 ⎜ 81: 9 ⋅ ⎟ = log2 2 = 1.
⎝
9
9⎠
15
Алгебра
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию е, где е — иррациональное число,
приближённо равное 2,7. Обозначают lna вместо logea.
Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:
lna
loga b =
logc b
.
logc a
loga b ⋅ logb a = 1
loga b =
1
logb a
Найдите значение выражения.
(
а) 15log7 5
б)
)
log5 7
= 15log7 5 ⋅ log5 7 = 151 = 15;
1
log7 4 15
1
1
1
= log15 4 15 = log15 (15) 4 = log15 15 = ⋅1 = = 0,25;
log7 15
4
4
4
в) 8
1
log7 8
= 8log8 7 = 7;
⎛ 1
⎞
log7 16
г) log 1 (log2 7 ⋅ log7 16) = log 1 ⎜
⋅ log7 16 ⎟ = log 1
= log 1 log2 16 = log 1 4 =
log7 2
⎝ log7 2
⎠
2
2
2
2
2
= log2−1 4 = −1⋅ log2 4 = −1⋅ 2 = −2;
д) log3 16 ⋅ log2
1
= log3 24 ⋅ log2 3−4 = 4 ⋅ (−4) ⋅ log3 2 ⋅ log2 3 = −16 ⋅1 = −16;
81
е) logsin45° 16 = log 2 16 = log 1 16 = log 1−1 16 = log − 1 16 = −2 ⋅ log2 16 = −2 ⋅ 4 = −8;
22
21
2
22
22
1
9
ж) log3 8 ⋅ log16 27 = log3 23 ⋅ log 4 33 = 3log3 2 ⋅ ⋅ 3 ⋅ log2 3 = log3 2 ⋅ log2 3 = 2,25 ⋅1 = 2,25;
2
4
4
з)
и)
ln
1
1
1
1
1
1
2
3 ⋅ log81 5 ln3 ⋅ log34 5 2 ln3 ⋅ 4 log3 5 8 ln3 ⋅ log3 5 8 log5 3 ⋅ log3 5 8 1
=
=
=
=
= =
= 0,0625;
2
ln25
2ln5
2ln5
2
2 16
ln5
log 7 14
log7 5
16
−
log 1 14
2log7 14
1
72
=
− log5 196 =
− log5 142 = 2log5 14 − 2log5 14 = 0.
log196 5
log7 5
log7 5
=
Преобразование выражений
Преобразование
выражений
( a + b)2
a2 + 2ab + b2
Рассмотрим преобразование иррациональных, тригонометрических и логарифмических выражений и выражений, содержащих знак абсолютной величины.
Преобразование выражений,
включающих арифметические
операции
ПОДОБНЫЕ СЛАГАЕМЫЕ
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными слагаемыми.
а) x + 5 x − 3 = ( x + 5 x ) − 3 = x (1+ 5) − 3 =
ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ СЛАГАЕМЫХ
= 6 x − 3;
(
)
б) x 2 − x + 4 − 2 x 2 + 5 x − 1 = x 2 − 2 x 2 +
Сложить коэффициенты подобных слагаемых.
+ ( − x + 5 x ) + (4 − 1) = x 2 (1− 2) + x ( −1+ 5) +
+3 = −1x 2 + 4 x + 3 = − x 2 + 4 x + 3.
Результат умножить на общую буквенную часть.
( x − y ) + ( x − 2y ) = x − y + x − 2y =
= 2 x − 3 y.
РАСКРЫТИЕ СКОБОК
Если перед скобками стоит знак «+»,
то можно опустить скобки и знак «+»,
сохранив знаки слагаемых, стоящих
в скобках. Если первое слагаемое
в скобках записано без знака, то его
следует записать со знаком «+».
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО
6 − (3 − 4 x ) = 6 + (−3 + 4 x ) = 6 − 3 +
+ 4 x = 4 x + 3.
Если перед скобками стоит знак «–»,
надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а затем
раскрыть скобки.
а) 8(3x − 4) = 8 ⋅ 3 x − 8 ⋅ 4 = 24 x − 32;
б) 7 x − 3(2 x − 4) = 7 x − 3 ⋅ 2 x − 3 ⋅ ( −4 ) =
a (b ± c ) = ab ± ac
= 7 x − 6 x + 12 = x + 12.
17
УМНОЖЕНИЕ СУММ
Алгебра
(2 x − 3)( x − 4 ) = 2 x ⋅ x + 2 x ⋅ (−4) −
− 3 ⋅ x − 3 ⋅ (−4) = 2 x 2 − 8 x − 3 x +
Каждое слагаемое первой суммы умножить
на каждое слагаемое второй суммы.
+12 = 2 x 2 − 11x + 12.
Сложить полученные произведения.
СПОСОБЫ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
Вынесение общего множителя за скобки
9879 ⋅147 − 147 ⋅ 679 = 147 ⋅ (879 − 679) = 147 ⋅ 200 = 29 400.
Способ группировки
9Найдите значение выражения:
x 2 + 9 x − ax − 9a при х = 2,59 и а = 1,59.
(
)
x 2 + 9 x − ax − 9a = x 2 + 9 x + (− ax − 9a) = x ( x + 9) − a ( x + 9) = ( х + 9)( x − a) =
= (2,59 + 9)(2,59 − 1,59) = 11,59.
Ответ: 11,59.
Использование формул сокращённого умножения
(
)
2
2
9 789 − 311 :1100 = (789 − 311)(789 + 311) :1100 = 478 ⋅1100:1100 = 478.
982 − 0,792 (98 − 0,79)(98 + 0,79) 97,21⋅ 98,79
=
=
= 97,21.
98,79
98,79
98,79
9
a2 − b2 = ( a − b )( a + b )
Формула разложения квадратного
трёхчлена на множители
( a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(
a3 ± b3 = ( a ± b ) a2 B ab + b2
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ),
Выделение полного квадрата
Суть данного метода состоит в выделении полного квадрата и последующем применении формулы
разности квадратов.
9Разложите на множители.
(
)
= (2 x + 1− 2 x )(2 x + 1+ 2 x ) = (2 x − 2 x + 1)(2 x + 2 x + 1).
2
2
18
2
Разложение квадратного трёхчлена
на множители
9Найдите значение выражения:
x 2 − 13 x + 42 при х = 17.
1) x 2 − 13 x + 42 = 0, x1 = 6, x2 = 7;
(
)
2
2) x 2 − 13 x + 42 = 1⋅ ( x − 6)( x − 7) =
2
= (17 − 6)(17 − 7) = 11⋅10 = 110.
Ответ: 110.
4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1− 4 x 2 = 2 x 2 + 1 − (2 x ) =
)
( a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
где x1, x2 — корни уравнения ax 2 + bx + c = 0.
2
Формулы сокращённого
умножения
x 2 − 25
2
x − 10 x + 25
ab a
=
cb c
=
x 2 − 52
2
x − 2 ⋅ 5 ⋅ x + 52
=
Преобразование выражений
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
( x − 5)( x + 5) x + 5
=
.
x −5
( x − 5)2
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию
дробей с одинаковыми знаменателями. Для
этого данные дроби приводят к общему знаменателю.
а)
−
=
3x
x 2 − 25y
=
=
a c a d ad
: = ⋅ =
b d b c bc
a c ac
⋅ =
b d bd
3
3 x \1
=
−
x + 5y ( x − 5y )( x + 5y )
3 x − 3 ( x − 5y )
3\ x − 5 y
3 x − 3 x + 15y
=
=
=
x + 5y ( x − 5y )( x + 5y ) ( x − 5y )( x + 5y )
15y
2
x − 25y 2
б) 10 x −
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
−
2
;
20 x 2 − 5 10 x \2 x −1 20 x 2 − 5\1
=
−
=
2x −1
1
2x −1
(
10 x (2 x − 1) − 20 x 2 − 5
2x −1
) = 20 x 2 − 10 x − 20 x 2 + 5 =
2x −1
−10 x + 5 −5(2 x − 1)
=
= −5.
2x −1
2x −1
2
2 x − 6 x 2 − 2 x + 1 2 ( x − 3) ( x − 1)
⋅
=
⋅
=
xy − y
x −3
y ( x − 1) x − 3
Преобразование выражений,
включающих операцию
возведения в степень
Чтобы произведение возвести в степень,
каждый множитель возвести в эту степень.
(
2
9 2 х у
3
2 3
3
2⋅3
3
2 ( x − 3)( x − 1)
y ( x − 1)( x − 3)
=
2 ( x − 1)
y
необходимо
X3
) = 2 ⋅(x ) ⋅ y = 8 ⋅ x ⋅ y = 8x y .
3
2
=
6 3
Чтобы дробь возвести в степень, необходимо числитель
и знаменатель возвести в эту степень.
2
(
)
−1 2
2
( ) = 9x
−1 2
3x
3 ⋅ x
⎛ 3 x −1 ⎞
=
9⎜ 5 ⎟ =
2
y 5⋅2
⎝ y ⎠
y5
⎛ 1⎞
⎜⎝ ⎟⎠
a
−n
= an
( )
a− n =
1
an
y
−12
⋅
10
=
⎛ a⎞
⎜⎝ ⎟⎠
b
9 x −2
−n
y
10
=
⎛b⎞
=⎜ ⎟
⎝ a⎠
9
2 10
x y
.
n
19
=
2x − 2
.
y
Алгебра
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ
При преобразовании показательных выражений используются свойства степеней с действительным показателем.
y = a x , a > 0, a ≠ 1, x ∈R, y > 0
Найдите значения выражений.
а) x + 72 x −1 ⋅ 491− x , если х = 11;
( )
x + 72 x −1 ⋅ 491− x = x + 72 x −1 ⋅ 72
1− x
= x + 72 x −1 ⋅ 72−2 x = x + 72 x −1+2−2 x = x + 71 = x + 7 = 11+ 7 = 18.
Ответ: 18.
б) 253 x −2 :1252 x −2 : x, если х = 125;
( )
253 x −2 :1252 x −2 : x = 52
3 x −2
( )
: 53
2 x −2
: x = 56 x − 4 :56 x −6 : x = 56 x − 4 −6 x +6 : x = 52 : x = 25: x = 25:125 =
1
= 0,2.
5
Ответ: 0,2.
2 n +1
x
Преобразование выражений,
включающих корни
натуральной степени
Чётная натуральная степень:
2n
Нечётная натуральная степень:
2 n +1
x , x ≥ 0.
x , x ∈R.
ВЫНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ЗА ЗНАК КОРНЯ
Мои примеры
9 125 = 25 ⋅ 5 = 5 5;
3
93 0,0081 = 3 0,027 ⋅ 0,3 = 0,33 0,3;
3
3
7
7
1 =
=
;
4
4
2
5
−96 = 5 −32 ⋅ 3 = −25 3.
ВНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ПОД ЗНАК КОРНЯ
2
95 3 = 5 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 75;
5
5
5
5
5
92 4 = 2 ⋅ 4 = 32 ⋅ 4 = 128;
4
4
4
9−3 2 = − 3 ⋅ 2 = − 4 81⋅ 2 = − 4 162;
3
3
3
3
9−4 5 = 3 (−4 ) ⋅ 5 = −64 ⋅ 5 = −320.
20
При
преобразовании
дробного
выражения, в знаменателе которого содержится
иррациональное выражение, необходимо записать дробь так, чтобы в знаменателе
не было радикалов.
Используя свойства корней n-й степени,
можно осуществить преобразование выражений, содержащих корни натуральной
степени. Такие выражения называются иррациональными.
a
bn y
а)
3
4x ⋅6 4x
x x
4x ⋅6 4x
=
x x
6
=
3⋅2
x x
6
2
16 x ⋅ 4 x
x x
(4 x )2 ⋅ 6 4 x
=
6
2 x
x x
3
=
6
=
3⋅2
2
x
x x
16 x 2 ⋅ 6 4 x
x x
3
=
2 x
x x
2 20
=
= 4.
0,5 5
Ответ: 4.
=
б)
6 y +7
y
6 y +7
y
−
−
7 y
− 2y + 1 при х = 11;
y
7 y
6 y +7
− 2y + 1 =
−
y
y
=
=
2
=
x
b n y ⋅ n y n−1
a ⋅ n y n−1
.
by
=
( x B y ) = a( x B y ).
x−y
x ± y ( x ± y )( x B y )
a
=
a
=
7 y
−
при х = 0,5;
a ⋅ n y n−1
Умножим числитель и знаменатель на
сопряжённое иррациональное выражение:
Найдите значения выражений.
3
=
Преобразование
Преобразование
выражений
выражений
ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
В ЗНАМЕНАТЕЛЕ
− 2y + 1 =
y⋅ y
6 y +7−7
6 y +7
y
− 2y + 1 =
y
−
6 y
y
7
y
− 2y + 1 =
− 2y + 1 =
= 6 − 2y + 1 = 7 − 2y = 7 − 2 ⋅11 = 7 − 22 = −15.
Ответ: –15.
в)
x3 4 x
5
4
x ⋅
(x )
1,5 2
x3 4 x
5
x4 ⋅
(x )
1,5 2
=
при х = 25;
1
1
x3 ⋅ x 4
x4
1
x 4 ⋅ x3
1
=
1
1
1 1
−1
4
= x 4 = x −1 =
x 4
1
1⋅ 4
4
=
=
= 0,04.
25 25 ⋅ 4 100
Ответ: 0,04.
= 25−1 =
Преобразование
тригонометрических
выражений
Для преобразования тригонометрических выражений используются
тригонометрические
формулы,
формулы
сокращённого умножения, табличные значения тригонометрических функций.
9Найдите значение выражения: 24 cos120°⋅ sin30°.
Используем формулу приведения cos (180° − α ) = − cos α.
1
1
24 cos120°⋅ sin30° = 24 cos(180° − 60°) ⋅ = 24 ⋅ ⋅ (− cos60°) =
2
2
1
⎛
⎞
= 12 ⋅ ⎜ − ⎟ = −6.
⎝ 2⎠
1
Известно, что sin α + cos α = . Най2
дите sin α cos α.
2
1
2 ⎛ 1⎞
sin α + cos α = , (sin α + cos α ) = ⎜ ⎟ ,
⎝2⎠
2
sin2 α + 2sin α cos α + cos2 α =
1+2sin α cos α =
1
,
4
1
3
, 2sin α cos α = − ,
4
4
3
= −0,375.
8
Ответ: –0,375.
sin α cos α = −
21
Алгебра
log 2 n t =
v
Преобразование выражений,
содержащих логарифмы
1
log t
2n |v|
Для преобразования выражений, содержащих логарифмы,
используются определение и свойства логарифмов, основное логарифмическое тождество, формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому
основанию, свойства степеней.
logv t 2 n = 2n logv |t |
log t
x = logt x
log 1 y = − log x y
x
1
б) log x 5 x 2 : y , если logy x = ;
7
Найдите значения выражений.
а) log x 4 x 3 y , если log x y = 5;
( )
log x 4 x 3 y = log x x 3 y
1
1
4 = log
4
(
(x y ) =
3
x
1
1
log x 5 x 2 : y = log x x 2 : y 5 = log x x 2 : y =
5
)
(
)
=
1
1
(3 ⋅1+ 5) = ⋅ 8 = 2.
4
4
Ответ: 2.
⎛
⎞
1⎜
1⎟ 1
= ⎜ 2 ⋅1− ⎟ = (2 − 7) = −1.
1
5
5
⎜
⎟
⎝
7⎠
Ответ: –1.
)
=
)
1
1⎛
1 ⎞
log x x 2 − log x y = ⎜ 2log x x −
⎟=
5
5⎝
logy x ⎠
1
1
= log x x 3 + log x y = (3log x x + log x y ) =
4
4
(
(
Модуль числа
⎧⎪ a, если a ≥ 0,
a = ⎨
⎪⎩− a, если a < 0
3 = 3;
−5 = 5 ;
Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если a ≥ 0 , и противоположное число –а, если a < 0. Модуль числа а обозначается a .
0 = 0.
a = −a
Свойства модулей
a ≥0
2
a = −a
2
a =a
ab = a ⋅ b
a a
= , b≠0
b b
Если a > b, то a − b = a − b .
Если a < b, то a − b = b − a .
22
Упростите выражения.
а) cos
Преобразование
заметки
Упростите выражение:
3π
2
2
;
=−
=
4
2
2
x − 4 − 5 − 2x .
–
+ 2,5
б) 3 − π = π − 3, т. к. 3 − π < 0;
в)
Мои
5 + 2 = 5 + 2, т. к. 5 + 2 > 0;
г) 2 2 + 2 2 − 5 = 2 2 + 5 − 2 2 = 5,
т. к. 2 2 − 5 < 0;
–
–
4
+ x–4
– 5 – 2x
1) Определим промежутки знакопостоянства каждого выражения, стоящего под
знаком модуля.
2) Рассмотрим три случая:
а) x ∈(−∞; 2,5] : − ( x − 4 ) − (5 − 2 x ) = − x + 4 −
(
2 2 < 5, т. к. 2 2
) = 2 ⋅( 2) = 8
2
2
2
и 52 = 25, а 8 < 25.
− 5 + 2 x = x − 1;
б) x ∈(2,5; 4 ) : − ( x − 4 ) + (5 − 2 x ) = − x + 4 + 5 −
− 2 x = −3 x + 9;
д)
(1− 3 ) = 1− 3 = 3 − 1, т. к. 1− 3 < 0;
в) x ∈[ 4; + ∞ ) : ( x − 4 ) + (5 − 2 x ) = x − 4 + 5 −
е) 4
( 5 − 2) = 5 − 2 = 5 − 2, т. к. 5 − 2 > 0;
Ответ: x − 1, если x ≤ 2,5;
2
4
(3 − 2 7 ) = 2 7 − 3 − 2 7 =
= 2 7 − (2 7 − 3) = 2 7 − 2 7 + 3 = 3,
ж) 2 7 −
2
выражений
Модуль любого действительного числа — число неотрицательное. Модули противоположных чисел равны.
Модуль частного двух чисел равен частному модулей
этих чисел.
Квадрат модуля числа равен квадрату данного числа.
Модуль произведения двух чисел равен произведению
модулей этих чисел.
Если числовое выражение, стоящее под знаком модуля,
неотрицательно (отрицательно), то можно опустить знак
модуля, сохранив знак каждого слагаемого (изменив
знак каждого слагаемого на противоположный).
− 2 x = − x + 1.
−3 x + 9, если 2,5 < x < 4;
− x + 1, если x ≥ 4.
т. к. 3 − 2 7 < 0.
23
У РА ВНЕ НИЯ
И
НЕ РА ВЕ НСТ ВА
Уравнения
ax
= b
Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.
Неизвестные числа в уравнениях принято обозначать строчными латинскими буквами, например p, t, u и т. п., но
наиболее часто используются x, y и z.
Уравнение имеет вид:
f ( x ) = g( x ).
=
Корнем уравнения называется число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. При отсутствии корней в ответе
используют знак (пустое множество).
Уравнения, имеющие одно и то
же множество корней, называются равносильными.
Мои
СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ
Если перенести слагаемое из одной части уравнения
в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.
заметки
94 x − 3 = x + 5 ⇔ 4 x − x = 5 + 3.
Если обе части уравнения умножить или разделить на
одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
1
3
⎛1
⎞
x − 1⎟ = 3 ⋅ x.
⎝3
⎠
9 x − 1 = x ⇔ 3 ⋅ ⎜
ax 2 + bx + c = 0
D = b2 − 4 ac
−b − D
−b + D
, x2 =
.
2a
2a
−b
2) Если D = 0, то x =
.
2a
3) Если D < 0, то корней нет.
1) Если D > 0, то x1 =
24
Квадратные уравнения
Алгебраическое уравнение вида ax2 + bx + c 0,
где x — переменная, a, b, c — коэффициенты, a z 0, называется квадратным уравнением.
Найдите корни уравнений.
D = b2 − 4 ac = 12 − 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = 1− 48 = −47 ⇒
a = 1, b = −5, c = 6;
2
⇒ нет действительных корней.
D = b2 − 4 ac = ( −5) − 4 ⋅1⋅ 6 = 25 − 24 =
Ответ: .
= 1 ⇒ два различных корня,
x1 =
− ( −5) − 1
x2 =
2 ⋅1
=
− ( −5) + 1
2 ⋅1
Ответ: 2; 3.
в) 4 x 2 − 4 x + 1 = 0: a = 4, b = −4, c = 1;
5 −1
= 2,
2
=
Уравнения
а) x 2 − 5 x + 6 = 0:
б) 3 x 2 + x + 4 = 0: a = 3, b = 1, c = 4;
D = b2 − 4 ac = (−4)2 − 4 ⋅ 4 ⋅1 = 16 − 16 = 0 ⇒ один корень
5 +1
= 3.
2
(или два одинаковых корня), x =
Ответ: 0,5.
− b −(−4) 4
=
= = 0,5.
2a 2 ⋅ 4
8
Найдите корни уравнения.
2
ax + bx + c = 0, b — чётное число
8 x 2 + 22 x − 21 = 0:
b1 = b :2
a = 8, b1 = 22 :2 = 11, c = −21;
D1 = b12 − ac
1) Если D1 > 0, то x1 =
D1 = b12 − ac = 112 − 8 ⋅ ( −21) = 121+ 168 =
− b1 − D1
a
, x2 =
− b1 + D1
a
.
− b1
.
a
3) Если D1 < 0, то корней нет.
2) Если D1 = 0, то x =
= 289 ⇒ два корня,
x1 =
−11− 289 −11− 17 −28
=
=
= −3,5,
8
8
8
−11+ 289 −11+ 17 6
=
= = 0,75.
8
8
8
Ответ: –3,5; 0,75.
x2 =
Теорема Виета
Если
x1
и
x1 + x2 = − p,
x2
—
корни
уравнения
x 2 + px + q = 0, то
x1 ⋅ x2 = q.
Найдите корни уравнений.
⎧ x + x = 7,
а) x 2 − 7 x + 12 = 0: ⎨ 1 2
⎩ x1 ⋅ x2 = 12;
x1 = 3 и x2 = 4.
Теорема, обратная теореме Виета
Если x1 + x2 = − p, x1 ⋅ x2 = q, то x1 и x2 являются
корнями уравнения x 2 + px + q = 0.
Ответ: 3; 4.
б) x 2 + 2 x − 15 = 0:
⎧ x1 + x2 = −2,
⎨
⎩ x1 ⋅ x2 = −15;
x1 = −5 и x2 = 3.
Ответ: –5; 3.
НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы
один из его коэффициентов b и с равен нулю. Неполные
квадратные уравнения можно решить, используя формулу
корней квадратного уравнения с дискриминантом, но возможно и более простое решение.
25
Уравнения и неравенства
Если c = 0, b ≠ 0:
Если b = 0, c ≠ 0:
Если b = 0, c = 0:
4 x 2 + x = 0,
а) 2 x 2 − 6 = 0, 2 x 2 = 6, x 2 = 3,
2 x 2 = 0,
x (4 x + 1) = 0,
x1 = 3, x2 = − 3.
x 2 = 0,
x = 0 или 4 x + 1 = 0,
Ответ: − 3;
x = 0.
4 x = −1,
x = −0,25.
Ответ: –0,25; 0.
3.
б) x 2 + 9 = 0, x 2 = −9.
Уравнение корней не имеет, так как
квадрат — число неотрицательное.
Ответ: ∅.
Ответ: 0.
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решите уравнение: x 4 − 3 x 2 − 10 = 0.
Замена: x2 t, где t t 0, тогда t2 –
– 3t – 10 0; t1 5 и t2 –2 (по обратной теореме Виета).
Второй корень не удовлетворяет условию t t 0.
Обратная
замена:
x 2 = 5, x1 = 5,
x2 = − 5.
Ответ: − 5;
5.
Уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0 называется биквадратным.
Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравне2
нию с помощью замены x = t , t ≥ 0.
Рациональные уравнения
Уравнение вида f ( x ) = g( x ) называется рациональным, если
f ( x ) и g( x ) — рациональные выражения.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида ax = b, где х — переменная, а и b — некоторые числа, называется линейным уравнением с одной
переменной.
КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ ЛИНЕЙНОГО
УРАВНЕНИЯ
Один корень: ax = b, где a ≠ 0,
x=
b
.
a
f
1
2 x = 5, x = 5 :2, x = 2,5.
Ответ: 2,5.
Нет корней: ax = b, где a = 0, b ≠ 0.
0x
5, не существует числа, при
умножении которого на нуль получается число 5.
Ответ: ∅.
Бесконечное множество корней: ax = b,
где a = 0, b = 0.
0x 0, при умножении любого числа
на нуль получается нуль.
Ответ: x ∈(−∞; + ∞).
26
Уравнение с одной переменной называют целым уравнением, если обе его части являются
целыми выражениями.
Одним из основных подходов к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям. Так,
в наиболее простых случаях решение сводится к решению линейных или квадратных
уравнений, а в общем случае — к решению
алгебраического уравнения степени n.
Если
f 2 n ( x ) = g2 n ( x ),
то
f ( x ) = g( x )
или f ( x ) = − g( x ).
Если f 2 n+1( x ) = g2 n+1( x ), то f ( x ) = g( x ).
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЦЕЛЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение новой переменной
9Решите уравнения.
Разложение на множители
9Решите уравнения.
а) x 4 − 3 x 2 = 0;
б) x 3 − x 2 + 4 x − 4 = 0;
x 2 ( x − 3) = 0,
( x − x ) + (4 x − 4) = 0,
x 2 = 0 или x − 3 = 0,
x 2 ( x − 1) + 4( x − 1) = 0,
x =0
( x − 1) ( x 2 + 4 ) = 0,
3
x = 3.
Ответ: 0; 3.
2
x − 1= 0
x =1
Мои
2
а) ( x − 1) − 7 ( x − 1) + 12 = 0;
замена: x − 1 = t , тогда t 2 − 7t + 12 = 0.
По обратной теореме Виета найдём
корни: t1 = 3; t2 = 4.
Обратная замена: 1) x − 1 = 3, x = 4;
2) x − 1 = 4, x = 5.
Ответ: 4; 5.
(
)(
2
2
)
или
б) y 2 + y + 1 y 2 + y + 3 = 15;
x 2 + 4 = 0,
(y + y + 1) ((y + y + 1) + 2) = 15,
x 2 = −4 (корней нет).
2
замена: y + y + 1 = t, тогда t (t + 2) = 15,
Ответ: 1.
t 2 + 2t − 15 = 0, t1 = 3, t2 = −5;
обратная замена:
заметки
1) y 2 + y + 1 = 3, y 2 + y − 2 = 0, y1 = −2, y2 = 1;
2) y 2 + y + 1 = −5, y 2 + y + 6 = 0, D < 0 ⇒
корней нет.
Ответ: –2; 1.
ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дробными (дробно-рациональными) называют уравнения,
в которых присутствуют дроби, содержащие в знаменателе
переменную.
При решении дробных уравнений необходимо помнить про
область допустимых значений (ОДЗ) уравнения и исключить
посторонние корни, при которых знаменатель исходного
уравнения обращается в нуль.
!!!ОДЗ
27
Уравнения
ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения и неравенства
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ДРОБНЫХ УРАВНЕНИЙ
Избавление от дробей
Чтобы избавиться от дробей, необходимо умножить обе части
уравнения на наименьший общий знаменатель; решить получившееся целое уравнение; избавиться от посторонних корней.
9Решите уравнения.
a)
x2 − 6x + 8
= 0, x ≠ 4;
x −4
3x −1
1
, x ≠ −1;
=
4
x +1
3x −1
1
|⋅ 4( x + 1),
=
4
x +1
3x −1
1
⋅ 4( x + 1) =
⋅ 4( x + 1),
4
x +1
б)
x2 − 6x + 8
= 0|⋅ ( x − 4),
x −4
x2 − 6x + 8
⋅ ( x − 4) = 0 ⋅ ( x − 4),
x −4
(3 x − 1)( x + 1) = 4,
x 2 − 6 x + 8 = 0,
x1 = 2, x2 = 4,
x = 4 — посторонний корень, т. к. x ≠ 4.
Ответ: 2.
3 x 2 + 3 x − x − 1 = 4,
3 x 2 + 2 x − 5 = 0,
D1 = 12 − 3 ⋅ (−5) = 1+ 15 = 16,
−1− 16
5
−1+ 16 3
= − , x2 =
= = 1.
3
3
3
3
5
Ответ: − ; 1.
3
x1 =
Введение новой переменной
2
2
9
+ 2
= 2
.
9Решите уравнение:
2
y − 2y + 2 y − 2y + 3 y − 2y + 4
2
2
9
+
=
|⋅t ⋅ (t + 1)(t + 2), t ≠ 0, t ≠ −1, t ≠ −2,
Замена: y 2 − 2y + 2 = t, тогда
t t +1 t + 2
(
)
2 (t + 1)(t + 2) + 2t (t + 2) = 9t (t + 1), 2 t 2 + 3t + 2 + 2t 2 + 4t = 9t 2 + 9t,
2t 2 + 6t + 4 + 2t 2 + 4t − 9t 2 − 9t = 0,
−5t 2 + t + 4 = 0, D = 1+ 80 = 81,
t1 =
−1− 81
−1+ 81
= 1, t2 =
= −0,8;
2 ⋅ (−5)
2 ⋅ (−5)
2
обратная замена: 1) y 2 − 2y + 2 = 1, y 2 − 2y + 1 = 0, ( y − 1) = 0, y = 1;
2) y 2 − 2y + 2 = −0,8, y 2 − 2y + 2,8 = 0,
D = 4 − 11,2 = −7,2 ⇒ корней нет.
Ответ: 1.
Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.
Основная задача при решении иррациональных уравнений — избавление от радикалов, которого можно до28
Уравнения
стичь чаще всего неравносильными преобразованиями,
поэтому в конце решения необходимо осуществить отбор
корней, подставив их в исходное уравнение.
n f ( x ) = c,
( f (x) ) = c .
n
n
2 n f ( x ) = g( x ),
2 n +1 f ( x ) = g( x ),
(
(
)
⎧⎪ 2 n f ( x ) 2 n = g( x ) 2 n ,
( )
⎨
⎪⎩g( x ) ≥ 0.
n
2 n +1 f ( x )
)
2 n +1
2 n +1
= (g( x ))
.
Решите уравнение.
3
2 n f ( x ) = 2 n g( x ),
(
)
(
)
(
)
(
)
2 x − 1 = 3 3 x + 2;
(3 2 x − 1) = (3 3 x + 2 ) ,
3
⎧⎪ 2 n f ( x ) 2 n = 2 n g( x ) 2 n ,
⎧⎪ 2 n f ( x ) 2 n = 2 n g( x ) 2 n ,
или ⎨
⎨
⎪⎩f ( x ) ≥ 0
⎪⎩g( x ) ≥ 0.
3
2 x − 1 = 3 x + 2,
− x = 3,
x = −3.
Ответ: –3.
Тригонометрические уравнения
arccos(− a) = π − arccos a
АРКСИНУС, АРККОСИНУС, АРКТАНГЕНС
И АРККОТАНГЕНС ЧИСЛА
Арксинусом
числа
a ∈[ −1; 1]
называется
такое
arcsin(− a) = − arcsin a
arctg(− a) = − arctg a
число
⎡ π π⎤
α ∈ ⎢ − ; ⎥ , синус которого равен а. Обозначается: arcsin a.
⎣ 2 2⎦
Арккосинусом числа a ∈[ −1; 1] называется такое число
α ∈[0; π ], косинус которого равен а. Обозначается: arccos a.
arcctg(− a) = π − arcctg a
1 π
π 1
arcsin = , т. к. sin = .
2 6
6 2
a ∈R
Арктангенсом
числа
называется
⎛ π π⎞
α ∈ ⎜ − ; ⎟ , тангенс которого равен а.
⎝ 2 2⎠
arctg a .
такое
Обозначается:
arccos
a ∈R
Арккотангенсом числа
α ∈(0; π ), котангенс которого
такое число
Обозначается:
arctg1 =
называется
равен а.
число
1 π
π 1
= , т. к. cos = .
2 3
3 2
π
π
, т. к. tg = 1.
4
4
arcctg a.
ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
Основная задача при решении тригонометрического уравнения — сведение его к одному или нескольким простейшим
тригонометрическим уравнениям вида
sin x = a, cos x = a,
tg x = a, ctg x = a.
При решении простейших тригонометрических уравнений
можно использовать тригонометрическую окружность, в этом
случае не надо запоминать формулы.
π
π
arcctg 3 = , т. к. ctg = 3.
6
6
Y
0
X
29
Уравнения и неравенства
Решите уравнение: sin x =
2
.
2
Уравнение sin x = a, a ∈[ −1; 1]
⎡
2
+ 2πn, n ∈ Z,
⎢arcsin
2
x=⎢
⎢
⎢ π − arcsin 2 + 2πn, n ∈ Z;
⎢⎣
2
Частные случаи
⎡π
⎢ 4 + 2πn, n ∈ Z,
x=⎢
⎢ 3π
⎢ + 2πn, n ∈ Z.
⎣4
Ответ:
⎡arcsin a + 2πn, n ∈ Z,
x=⎢
⎢⎣ π − arcsin a + 2πn, n ∈ Z
sin x = a, a ∈[ −1; 1]
sin x = 0
x = πn, n ∈ Z
sin x = 1
π
x = + 2πn, n ∈ Z
2
π
3π
+ 2πn;
+ 2πn, n ∈ Z.
4
4
sin x = –1
π
x = − + 2πn, n ∈ Z
2
Решите уравнения.
1
а) sin x = ;
2
S– arcsin1
2
у
1
2
5S
6
S
Ответ:
1
б) sin x = − .
3
arcsin 1
2
х
S
6
х
–S
0
О
у
–S+ arcsin 1
3
π
5π
+ 2πn;
+ 2πn, где n ∈ Z.
6
6
заметки
1
3
X
cos x = 0
π
x = + πn, n ∈ Z
2
x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z
Частные случаи
cos x = 1
x = 2πn, n ∈ Z
Решите уравнение: cos x = −
⎛ 2⎞
1) x = ± arccos ⎜ −
⎟ + 2πn, n ∈ Z.
⎝ 2 ⎠
π⎞
⎛
2) x = ± ⎜ π − ⎟ + 2πn, n ∈ Z.
⎝
4⎠
30
–arcsin
1
1
Ответ: − arcsin + 2πn; − π + arcsin + 2 πn, n ∈ Z.
3
3
cos x = a, a ∈[ −1; 1]
Мои
–1
3
Уравнение cos x = a, a ∈[ −1; 1]
Y
0
0
О
cos x = –1
x = π + 2πn, n ∈ Z
2
.
2
3π
+ 2πn, n ∈ Z.
4
3π
+ 2πn, n ∈ Z.
Ответ: ±
4
3) x = ±
1
а) cos x = ;
2
у
arccos 1
2
1
2
S
О
S
3
у
2S
3
S– arccos 1
2
–
х
0
S
–arccos–1
2
Ответ: ±
1
б) cos x = − .
2
–
π
+ 2πn, n ∈ Z.
3
S
3
Уравнения
Решите уравнения.
1
2
х
0
О
1⎞
2π
⎛
− ⎜ π − arccos ⎟ = −
⎝
2⎠
3
Ответ: ±
2π
+ 2πn, n ∈ Z.
3
Уравнение tg x = a, a ∈ R
При решении уравнения вида tg x а можно не применять тригонометрическую окружность, а воспользоваться
формулой: x = arctg a + πn, где n ∈ Z.
Решите уравнения.
а) tg x = 3;
у
3
б) tg x = − 3.
arctg 3
О
S
3
S– arctg 3
у
2S
3
х
х
О
S+ arctg 3
–arctg 3
4S
3
π
+ πn, n ∈ Z.
Ответ:
3
π
Ответ: − + πn, n ∈ Z.
3
–
–
3
Уравнение ctg x = a, a ∈ R
При решении уравнения вида ctg x = a можно не применять тригонометрическую окружность, а воспользоваться формулой: x = arcctg a + πn, где n ∈ Z.
ctg x
31
а
S
3
Уравнения и неравенства
Решите уравнения.
б) ctg x = − 3.
а) ctg x = 3;
у
у
3
arctg 3
О
–
S
6
3
5S
6
S– arctg 3
х
О
х
S+ arctg 3
Ответ:
7S
6
–arctg 3
π
+ πn, n ∈ Z.
6
Ответ:
–
S
6
5π
+ πn, n ∈ Z.
6
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Замена переменной
9Решите уравнение: 6sin2 x − sin x − 1 = 0.
Замена: sin x = t, t ∈[ −1; 1], тогда уравнение примет вид:
2
6t 2 − t − 1 = 0, D = (−1) − 4 ⋅ 6 ⋅ (−1) = 25, t1 =
1− 25
1
1+ 25 1
= − , t2 =
= .
2⋅6
3
2⋅6
2
Обратная замена:
1
π
5π
1) sin x = , x = + 2πn и x =
+ 2πn, n ∈ Z;
2
6
6
1
1
1
2) sin x = − , x = − arcsin + 2 πn и x = −π + arcsin + 2 πn, n ∈ Z.
3
3
3
π
5π
1
1
+ 2πn;
+ 2πn; − arcsin + 2πn; − π + arcsin + 2πn, n ∈ Z.
Ответ:
6
6
3
3
Разложение на множители
9Решите уравнение.
cos2 x + cos x = 0; cos x (cos x + 1) = 0;
Ответ:
32
π
+ πn; π + 2πn, n ∈ Z .
2
⎡cos x = 0,
⎢
⎢⎣cos x = −1;
π
⎡
⎢ x = 2 + πn,
⎢
⎢⎣ x = π + 2πn, n ∈ Z.
Уравнения
Приведение к однородному уравнению
Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
9Решите уравнения.
а) 2sin x − 3cos x = 0 :cos x, cos x ≠ 0;
2sin x 3cos x
0
−
=
, 2 tg x − 3 = 0,
cos x
cos x
cos x
tg x = 1,5, x = arctg1,5 + πn, n ∈ Z.
Ответ: arctg1,5 + πn, n ∈ Z.
б) sin2 x − 4 sin x cos x + 3cos2 x = 0 :cos2 x, cos x ≠ 0;
sin2 x
−
4 sin x cos x
+
3cos2 x
=
2
⎛ sin x ⎞ 4 sin x
2
−
+ 3 = 0, tg x − 4 tg x + 3 = 0.
, ⎜
⎟
2
cos x
cos x ⎝ cos x ⎠
0
cos2 x
cos2 x
cos2 x
Замена: tg x = t , тогда уравнение примет вид: t 2 − 4t + 3 = 0,
t1 = 3, t2 = 1.
Обратная замена:
1) tg x = 3, x = arctg3 + πn, n ∈ Z;
π
2) tg x = 1, x = arctg1+ πn = + πn, n ∈ Z.
4
π
+ πn, n ∈ Z.
Ответ: arctg3 + πn;
4
ОТБОР КОРНЕЙ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ ПРОМЕЖУТКУ
π
+ πn, n ∈ Z, выберите корни, при4
⎡
π⎞
надлежащие промежутку ⎢ −3π; ⎟ .
⎠
4
⎣
Среди множества корней
x=
Способ 1. С помощью единичной окружности.
у
–2S+
–S
–3S
–3S+
О
S
11S
=–
4
4
S
3S
–S+
=–
4
4
Ответ: −
11π
7π
3π
; −
; − .
4
4
4
S
7S
=–
4
4
0
–2S
х
Способ 2. С помощью неравенства.
−3π ≤
1
1
π
π 1
+ πn < ⋅ , − 3 ≤ + n < ,
4
4 π
4
4
1
1 1
1
≤ n < − , − 3 ≤ n < 0 ⇒ n = −3; − 2; − 1.
4
4 4
4
π
π
3π
Если n = −1, то x = + π ⋅ (−1) = − π = − ;
4
4
4
π
π
7π
;
если n = −2, то x = + π ⋅ (−2) = − 2π = −
4
4
4
π
π
11π
.
если n = −3, то x = + π ⋅ (−3) = − 3π = −
4
4
4
−3 −
Ответ: −
11π
7π
3π
; −
; − .
4
4
4
33
Показательные уравнения
Уравнения и неравенства
Решите уравнение.
( )
25 x = 42 x −1, 25 x = 22
2 x −1
,
af ( x ) = ag( x ), a > 0, a ≠ 1 ⇔ f ( x ) = g( x )
25 x = 24 x −2, 5x = 4 x − 2,
5 x − 4 x = −2, x = −2.
Ответ: x
–2.
a ( ) = b ⇔ loga a ( ) = loga b ⇔ f ( x ) = loga b
f x
Решите уравнение.
f x
32 x −1 = 5, log3 32 x −1 = log3 5, 2 x − 1 = log3 5,
2 x = 1+ log3 5, 2 x = log3 3 + log3 5,
СВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ
УРАВНЕНИЮ С ПОМОЩЬЮ
ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
1
1
2 x = log3 (3 ⋅ 5), 2 x = log3 15|⋅ , x = log3 15,
2
2
x = log3 15.
Ответ: log3 15.
9Решите уравнение.
( ) + 4 − 6 = 0,
16 x + 4 x − 6 = 0, 42
x
x
(4 ) + 4 − 6 = 0;
x 2
x
замена:
4 x = t, t > 0,
тогда
уравнение
примет
2
вид: t + t − 6 = 0, t1 –3 (не удовлетворяет условию, что t > 0), t2 2;
обратная замена: 4 x = 2, 22 x = 21, 2 x = 1, x = 0,5.
Ответ: 0,5.
Решите уравнения.
а) log2 ( x − 1) = 3, x − 1 = 23, x = 8 + 1, x = 9.
Ответ: 9.
⎛ 1⎞
б) log 1 (2 x + 1) = −2, 2x + 1 = ⎜ ⎟
⎝3⎠
−2
,
3
логарифмические уравнения
2 x + 1 = 32, 2x + 1 = 9, 2 x = 8, x = 4.
Ответ: 4.
loga f ( x ) = c ⇔ ac = f ( x )
Решите уравнение.
⎧(3 − x )2 = 64,
⎪
log3 − x 64 = 2; ⎨3 − x > 0,
⎪
⎩3 − x ≠ 1;
x
–5.
⎧ ⎡3 − x = 8, ⎧ ⎡ x = −5,
⎪⎢
⎪⎢
⎪ ⎣3 − x = −8, ⎪ ⎢⎣ x = 11,
⎨
⎨
⎪ x < 3,
⎪3 − x > 0,
⎪
⎪
⎩3 − x ≠ 1;
⎩ x ≠ 2;
⎧(f ( x ))c = a,
⎪
logf ( x ) a = c ⇔ ⎨f ( x ) > 0,
⎪f ( x ) ≠ 1.
⎩
Ответ: –5.
Решите уравнение.
⎧2 x − 3 = 1− 2 x, ⎧4 x = 4, ⎧ x = 1,
log5 (2 x − 3) = log5 (1− 2 x ); ⎨
∅.
⎨
⎨
⎩2 x − 3 > 0;
⎩ 2 x > 3; ⎩ x > 1,5;
Ответ: .
34
⎧⎪f ( x ) = g( x ),
loga f ( x ) = loga g( x ) ⇔ ⎨
⎪⎩f ( x ) > 0
⎧⎪f ( x ) = g( x ),
или ⎨
⎪⎩g( x ) > 0.
⎧2 x − 1 = x + 3,⎧ x = 4,
⎪ x + 3 > 0,
⎪ x > −3,
⎪
⎪
log x +1 (2 x − 1) = log x +1 ( x + 3); ⎨
⎨
⎪ x + 1 > 0,
⎪ x > −1,
⎩⎪ x + 1 ≠ 1;
⎩⎪ x ≠ 0;
x = 4.
⎧f ( x ) = g( x ),
⎪ϕ( x ) > 0,
⎪
или ⎨
⎪ϕ( x ) ≠ 1,
⎪⎩g( x ) > 0.
Ответ: 4.
Решите уравнение.
log3 (2 x − 1) = log5 (2 x − 1); 2 x − 1 = 1; 2 x = 2; x = 1.
Ответ: 1.
loga f ( x ) = logb f ( x ) ⇔ f ( x ) = 1
Решите уравнение.
⎧( x − 1)2 = 13 − x, ⎧ x 2 − 2 x + 1− 13 + x = 0,
⎪
⎪⎪
log x −1(13 − x ) = 2; ⎨ x − 1 > 0,
⎨ x > 1,
⎪ x − 1 ≠ 1;
⎪ x ≠ 2;
⎪⎩
⎩
⎧(f ( x ))b = g( x ),
⎪
logf ( x ) g( x ) = b ⇔ ⎨f ( x ) > 0,
⎪f ( x ) ≠ 1.
⎩
⎧ x 2 − x − 12 = 0,
⎪
⎨ x > 1,
⎪
⎩ x ≠ 2;
⎧ ⎡ x = 4,
⎪⎢
⎪ ⎢⎣ x = −3,
⎨
⎪ x > 1,
⎪ x ≠ 2;
⎩
x = 4.
Ответ: 4.
Равносильность
уравнений и систем уравнений
Два уравнения с одной переменной f ( x ) = g( x )
и h( x ) = p( x ) называются равносильными, если они
имеют одинаковые корни или не имеют корней.
Знак равносильности: ⇔ .
РАВНОСИЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ
УРАВНЕНИЙ
1
Рассмотрим равносильные уравнения.
1
а) x + 3 = 0 ⇔ 2 x = , т. к. данные уравне8
ния имеют единственный корень x –3;
(
)
б) ( x − 3)( x + 2) = 0 ⇔ 2 x − 8 ⋅ log2 ( x + 3) = 0,
т. к. данные уравнения имеют одинаковые
корни x1 = 3 и x2 = −2;
в) x 2 = −4 ⇔ 3 x = 0, т. к. оба уравнения не
имеют корней.
Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
92 x − 6 = x ⇔ 2 x − x = 6.
2
Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную
степень, то получится уравнение, равносильное данному.
3
3
9(2 x − 1) = ( x + 3) ⇔ 2 x − 1 = x + 3.
35
Уравнения
Решите уравнение.
⎧f ( x ) = g( x ),
⎪ϕ( x ) > 0,
⎪
logϕ( x ) f ( x ) = logϕ( x ) g( x ) ⇔ ⎨
⎪ϕ( x ) ≠ 1,
⎪⎩f ( x ) > 0
Уравнения и неравенства
3
Показательное уравнение af ( x ) = ag ( x )
уравнению f ( x ) = g( x ).
( a > 0, a ≠ 1) равносильно
932 x −1 = 3 x ⇔ 2 x − 1 = x.
4
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то
же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.
90,2 x + 5 = x − 1,3 ⇔ 2 x + 50 = 10 x − 13.
НЕРАВНОСИЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ, ПРИВОДЯЩИЕ
К РАСШИРЕНИЮ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
1
Освобождение в процессе решения от знаменателей, содержащих переменную величину.
*
9( x − 2)( x − 3)2
( x − 2)( x − 3) = 0,
= 0,
x −3
x1 = 2 и x2 = 3.
x = 2.
2
Освобождение в процессе решения от знаков корней чётной
степени.
*
6 − x = x 2 , x1 = −3 и x2 = 2.
9 6 − x = − x, x = −3.
Данные операции приводят
к посторонним корням. Чтобы
избавиться от посторонних корней, необходимо выполнить
проверку.
Освобождение в процессе решения от логарифмов.
3
9lg (2 x − 3) = lg (1− 2 x ),
2 x − 3 = 1− 2 x ,
уравнение не имеет корней.
*
x = 1.
ПОТЕРЯ КОРНЕЙ
Деление обеих частей уравнения на одно
и то же выражение, содержащее переменную.
1
9( x − 3) ⋅ 3 = x − 3,
x
( x − 3) ⋅ 3 x − ( x − 3) = 0,
( x − 3) (3 − 1) = 0,
3 x = 1, 3 x = 30 ,
x = 0.
x
x1 = 3, x2 = 0.
* В рамках приведены примеры ошибочных решений.
36
Сужение
нения.
*
ОДЗ
при
2
9log3 x = 2,
2
x 2 = 9,
x1 = −3, x2 = 3.
Или log3 x 2 = 2log3 x .
решении
урав-
2log3 x = 2,
log3 x = 1,
x = 3.
*
Мои
заметки
Уравнения
Две системы уравнений называются равносильными,
если они имеют одни и те же решения или не имеют решений.
РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ
1
Если в системе поменять уравнения местами, то
получим систему уравнений, равносильную данной.
9⎧2 x − y = 3,
⎧ x + y = 1,
⇔⎨
⎨
⎩x + y =1
⎩2 x − y = 3.
2
3
Если любое уравнение в системе заменить равносильным уравнением, то полученная система уравнений будет равносильна
исходной.
9⎧2 x + 2y = 6,
⎨
⎩x − y =1
⎧ x + y = 3,
⇔⎨
⎩ x − y = 1.
Если к левой и правой части одного из уравнений системы прибавить соответственно левую и правую часть другого уравнения,
то получим систему уравнений, равносильную данной.
⎧⎪( x + y ) + ( x − y ) = 3 + 1,
⇔⎨
⎪⎩ x − y = 1
⎩⎪ x − y = 1.
⎧⎪ x + y = 3,
9⎨
4
Когда в уравнении системы одна из переменных выражена через другую, то, если во второе уравнение системы вместо этой переменной подставить её выражение,
получим систему уравнений, равносильную данной.
9⎧ x = 3y − 1,
⎧ x = 3y − 1,
⇔⎨
⎨
⎩− x + y = 2 ⎩− (3y − 1) + y = 2.
Простейшие системы
уравнений с двумя
неизвестными
⎧f ( x; y ) = 0,
⎨
⎩g ( x; y ) = 0.
Если поставлена задача найти такие пары значений (x, y),
которые одновременно удовлетворяют уравнениям f(x; y)
0 и g(x; y)
0, то данные уравнения образуют систему
уравнений:
⎧f ( x; y ) = 0,
⎨
⎩g ( x; y ) = 0.
37
Уравнения и неравенства
Решением системы уравнений с двумя неизвестными называется пара чисел, при подстановке которой в каждое
уравнение системы получаются верные числовые равенства.
Решить систему уравнений означает найти множество всех
её решений. Если при решении системы получается пустое
множество, то система не имеет решений.
⎧2 x − y = 1,
Является ли решением системы уравнений ⎨
данная пара чисел?
⎩x + y =1
⎧2 ⋅ 3 − (−2) = 1, ⎧⎪6 + 2 ≠ 1,
а) (3; − 2) : ⎨
⇒ (3; − 2) не является решением;
⎨
⎩3 + (−2) = 1; ⎩⎪1 = 1
⎧ 2 1
2 ⋅ − = 1, ⎧ 4 1
⎪ − = 1, ⎪⎧1 = 1,
⎛ 2 1 ⎞ ⎪⎪ 3 3
⎛2 1⎞
б) ⎜ ; ⎟ : ⎨
⇒ ⎜ ; ⎟ является решением.
⎨3 3
⎨
⎝ 3 3 ⎠ ⎪2 1
⎝3 3⎠
⎪⎩1 = 1
⎪⎩1 = 1;
+ = 1;
⎪⎩ 3 3
Основные приёмы решения
систем уравнений
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
Решите систему уравнений.
⎧ x − 2y = 3, ⎧ x = 2y + 3,
⎧ x = 2y + 3, ⎧ y = 1,
⎨
⎨
⎨
⎨
⎩ x + y = 6; ⎩(2y + 3) + y = 6; ⎩3y = 3;
⎩ x = 5.
Ответ: (5; 1) .
Решить уравнение с одной переменной.
Решите систему уравнений.
3x
⎧
⎪2 xy + y = 5,
⎪
⎨
⎪ xy + x = 2.
⎪⎩
y
Замена: xy = a,
x
= b,
y
Обратная замена:
⎧⎪2a + 3b = 5, ⎧⎪b = 1,
⎨
⎨
⎪⎩ a + b = 2;
⎪⎩ a = 1.
⎡⎧ y = 1,
⎧ xy = 1,
⎢⎨
2
⎧
⎪
⎪ y = 1, ⎢⎩ x = 1,
⎨x
⎨
⎢
⎪ = 1; ⎪⎩ x = y; ⎢⎧ y = −1,
⎩y
⎨
⎣⎢⎩ x = −1.
Ответ:
(1; 1) и (−1; − 1).
38
Выразить из какого-нибудь уравнения системы
одну переменную через другую; подставить во
второе уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение.
Найти значение второй переменной, подставив в первое уравнение значение найденной переменной.
МЕТОД ВВЕДЕНИЯ НОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Суть данного метода состоит в том, что находят некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначают новыми переменными. Новая система имеет более упрощённый вид, и её
решение сводится к использованию либо метода подстановки,
либо метода алгебраического сложения.
МЕТОД СЛОЖЕНИЯ
Умножить почленно уравнение системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты
при одной из переменных стали противоположными.
Сложить почленно левые
уравнений системы.
и
правые
части
⎧⎪2 x − 3y = 5,
⎧2 x − 3y = 5,
⎨
⎨
−
=
⋅
−
x
y
3
2
1
;
(
)
⎩− x + 3y = −2;
⎩⎪
⎧(2 x − 3y ) + ( − x + 3y ) = 5 + ( −2), ⎧ x = 3,
⎨
⎨
⎩−3 + 3y = −2;
⎩− x + 3y = −2;
Уравнения
Решите систему уравнений.
⎧ x = 3,
⎧ x = 3, ⎪
1
⎨
⎨
⎩3y = 1; ⎪ y = .
⎩
3
⎛ 1⎞
Ответ: ⎜ 3; ⎟ .
⎝ 3⎠
Решить получившееся уравнение с одной переменной.
Найти соответствующее значение второй переменной.
Использование свойств
и графиков функций
при решении уравнений
Решите уравнения.
а) 7 x 7 + x 5 + 11x 3 + x + 20 = 0;
x
–1
является
7
5
корнем
уравнения
3
(7 ⋅ (−1) + (−1) + 11⋅ (−1) + (−1) + 20 = −7 − 1− 11−
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОНОТОННОСТИ
ФУНКЦИИ
Если функция y = f ( x ) монотонна на промежутке
Х, то уравнение вида f ( x ) = a имеет не более
одного корня на данном промежутке.
Если функция y = f ( x ) монотонно возрастает на
промежутке Х, а функция y = g( x ) на этом промежутке убывает, то уравнение вида f ( x ) = g( x )
имеет не более одного корня.
−1+ 20 = 0).
7
5
3
Функция y = 7 x + x + 11x + x + 20 монотонно
возрастает на всей области определения, значит,
уравнение имеет не более одного корня.
Ответ: –1.
б) 3 x + 1 − 4 19 − x = 4;
x
3
является
корнем
данного
уравнения
(3 3 + 1 − 4 19 − 3 = 3 ⋅ 4 − 4 16 = 6 − 2 = 4 ).
4
Функция y = 3 x + 1 − 19 − x определена на множестве [ −1; 19]. Данная функция возрастает на
всей области определения, значит, данное уравнение имеет не более одного корня.
Ответ: 3.
Решите уравнения.
а) log2 ( x − 3) = 9 − x;
x = 7 является корнем данного
(log2 (7 − 3) = 9 − 7, log2 4 = 2).
уравнения
Функция y = log2 ( x − 3) возрастает на (3; + ∞ ),
а функция y = 9 − x убывает на R. Значит, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: 7.
б) 3 x − 5 = 6 − x ;
x = 5 является корнем данного уравнения
(35−5 = 6 − 5, 30 = 1).
x −5
Функция y = 3
возрастает на R, функция y = 6 − x убывает
на ( −∞; 6]. Значит, уравнение имеет не более одного корня.
Ответ: 5.
39
Уравнения и неравенства
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИИ
9Решите уравнения.
(
) + ( x + 2 x + 4) = 10;
( x + 2 x + 1+ 1) + ( x + 2 x + 1+ 3) = 10;
4
2
4
2
а) x 2 + 2 x + 2
2
2
2
(( x + 1) + 1) + (( x + 1) + 3) = 10;
( x + 1) ≥ 0 ⇒ (( x + 1) + 1) ≥ 1,
и (( x + 1) + 3) ≥ 3 ⇒ (( x + 1) + 1) ≥ 1,
и (( x + 1) + 3) ≥ 9 ⇒ (( x + 1) + 1) +
+ (( x + 1) + 3) ≥ (1+ 9) ⇒ (( x + 1) + 1) +
+ (( x + 1) + 3) ≥ 10.
4
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
4
Получается, что левая часть уравнения
⎧( x + 1)2 + 1 = 1,
⎪
x = −1.
равна 10, когда ⎨
⎪⎩( x + 1)2 + 3 = 3;
⎛ πx ⎞
б) sin ⎜ ⎟ = x 2 − 2 x + 2;
⎝ 2 ⎠
⎛ πx ⎞
2
sin ⎜ ⎟ = ( x − 1) + 1;
⎝ 2 ⎠
2
⎛ πx ⎞
sin ⎜ ⎟ ∈[ −1; 1] и ( x − 1) + 1∈[1; + ∞).
⎝ 2 ⎠
Уравнение имеет решение, если
⎧ ⎛ πx ⎞
⎧ ⎛ π ⋅ 1⎞
⎪sin ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = 1, ⎪sin ⎜
⎟ = 1, x = 1.
⎨
⎨ ⎝ 2 ⎠
2
⎪
⎪
⎩( x − 1) + 1 = 1; ⎩ x = 1;
Ответ: 1.
2
в) 5 x + 1 + x = 5;
2
x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 1 ≥ 1 ⇒ 5 x +1 ≥ 5;
2
5 x +1 ≥ 5 и
Ответ: 0.
2
x ≥ 0 ⇒ 5 x +1 + x ≥ 5 ⇒ x = 0.
Ответ: –1.
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ
Чтобы решить уравнение f ( x ) = g( x ) графически, необходимо
в одной системе координат построить графики функций
y = f ( x ) и y = g( x ) и найти абсциссы точек пересечения
этих графиков.
Особенности графического метода:
результат является приближённым;
используется, когда функции довольно простые в плане
построения графиков.
Решите уравнение.
у
у =|x – 2|
x − 2 − x = 0; x − 2 = x .
4
Построим графики функций y = x − 2 и y = x
в одной системе координат.
Абсциссы точек пересечения равны 1 и 4.
Ответ: 1; 4.
2
1
х
–3 –2
40
у= x
3
–1
0
1
2
3
4
5
6
Уравнения
Изображение на координатной
плоскости множества решений
уравнений с двумя
переменными и их систем
Графиком уравнения с двумя переменными называется
множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Найдите количество решений системы.
2
⎧
⎪y = ,
а) ⎨
x
⎪⎩ y = −2 x.
Ответ: нет решений.
у
y=
y = –2x
4
2
x
2
⎧y = x 2,
б) ⎨
⎩ y = 4.
Ответ: два решения.
–4
–2
х
О
2
4
–2
⎧⎪ y = m, где m ∈R,
в) ⎨
2
⎪⎩ y = x − 1.
–4
Ответ: нет решений при m 0;
два решения при m 0 и m ! 1;
три решения при m 1;
четыре решения при 0 < m < 1.
а)
y = x2
у
у
y =|x2–1|
8
y = m, где m>1
6
y =4
y=1
1
y = m, 0 < m < 1
y=0
4
–2
2
2
х
y = m, где m < 0
О
х
–4
О
–2
2
4
в)
б)
41
Уравнения и неравенства
Применение математических
методов для решения
содержательных задач
из различных областей науки
и практики
Математические методы применяют в различных сферах
деятельности: физике, химии, биологии, экономике, астрономии, географии, информатике.
В инструкции по эксплуатации физического прибора написано, что
при температуре свыше 150 К прибор испортится. Найдите, через
сколько минут после начала работы прибор необходимо отключить, чтобы он не перегорел, если известно, что зависимость
температуры от времени работы данного прибора вычисляется по
2
формуле: T (t ) = T0 + bt + at , где t — время в минутах, T0 = 80 K,
а = –2 K/мин, b
39 K/мин.
Для работы прибора необходимо выполнение условия: T (t ) ≤ 150.
80 + 39t − 2t 2 ≤ 150,
80 + 39t − 2t 2 = 150, − 2t 2 + 39t − 70 = 0, D = 312 ,
–
– t
+
−39 − 31
−39 + 31
= 17,5; t2 =
= 2.
0
2
17,5
−4
−4
Прибор необходимо отключить через 2 мин после начала работы,
а не через 17,5 мин. В противном случае прибор испортится.
Ответ: через 2 мин.
t1 =
Выручка фирмы от продажи товара А вычисляется по формуле
r ( p) = (25 − p ) p , где р — цена на товар А. Определите наибольшую цену на товар, при которой выручка за месяц составит не
менее 150 тыс. условных единиц. Ответ приведите в тыс. условных единиц.
(25 − p) p ≥ 150, − p2 + 25 p − 150 ≥ 0,
–
0
10
− p2 + 25 p − 150 = 0, p1 = 10, p2 = 15.
15 тыс. — наибольшая цена на данный товар.
Ответ: 15 тыс.
42
+
–
15
p
1) 4 = 12 800h, 42 =
h=
( 12 800h ) , 16 = 12 800h,
2
16
= 0,00125 (км).
12 800
2) 0,00125 км = 0,00125 ⋅1000 м = 1,25 м.
Ответ: 1,25 м.
Иван Иванович решил положить в банк
100 000 рублей под 12 % годовых.
Сколько денег будет на счёте у Ивана
Ивановича через год?
1)
Неравенства
Разведчик решил разместиться на небольшом холме, чтобы наблюдать за дорогой, которая расположена на расстоянии 4 км.
На какую высоту следует подняться разведчику, если расстояние
от наблюдателя, находящегося на высоте h, до наблюдаемого
объекта можно вычислить по формуле l = 12 800h? Ответ выразите в метрах.
На рулоне с калькой написано:
25 ± 0,1 м. Найдите, сколько метров
бумаги может содержаться в рулоне.
25 − 0,1 ≤ x ≤ 25 + 0,1, 24,9 ≤ x ≤ 25,1.
Ответ: от 24,9 до 25,1 м.
Масштаб карты 1 : 100 000. Найдите расстояние между деревнями, если расстояние между ними на карте равно 2,5 см.
Ответ выразите в километрах.
Сумма, руб.
Процент, %
100 000
100
Расстояние на местности в 100 000 раз
больше,
чем
на
карте,
значит,
х
12
2,5 см ⋅100 000 = 250 000 см = 2500 м =
100 000 100
12 ⋅100 000
, x=
=
=
12
100
x
= 2,5 км.
Ответ: 2,5 км.
= 12 000 (руб.) — 12%.
2) 100 000 + 12 000 = 112 000 (руб.) —
через год.
Ответ: 112 000 руб.
Масштаб на картах всегда записывается в сантиметрах.
1 : 100 000 означает, что 1 см на
карте — это 100 000 см на местности.
Неравенства
=
< >
Неравенства делятся на линейные, дробно-рациональные,
квадратные, показательные и логарифмические. Существует
определённый подход к решению каждого вида неравенств.
Неравенство вида f ( x ) > g( x ) или f ( x ) < g( x ) называется
рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные выражения.
Квадратные и линейные неравенства относятся к рациональным неравенствам.
43
СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ
Уравнения и неравенства
ax > b
Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое, изменив при этом знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное
данному.
1
2
Решите неравенства.
3
а) 2 x − 3 > 4 x + 2;
2 x − 4 x > 2 + 3,
−2 x > 5|:(−2),
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число,
изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
х
x < −2,5.
Ответ:
Если обе части неравенства умножить или
разделить на одно и то же положительное
число, то получится неравенство, равносильное
данному.
(−∞; − 2,5).
–2,5
Линейные неравенства
б) 2 − 3 (3 − 2 x ) ≥ x − 1;
2 − 9 + 6 x ≥ x − 1,
6 x − x ≥ −1+ 9 − 2,
х
5 x ≥ 6|: 5,
x ≥ 1,2.
1,2
Ответ: [1,2; + ∞) .
Неравенство вида ax > b, ax ≥ b или ax < b, ax ≤ b, где
х — переменная, a и b — некоторые числа, называют линейным неравенством с одной переменной.
Квадратные неравенства
Неравенство
вида
или
ax 2 + bx + c > 0,
ax 2 + bx + c ≥ 0
2
2
ax + bx + c < 0, ax + bx + c ≤ 0 где х — переменная, a, b,
c — некоторые числа, a ≠ 0, называют квадратным неравенством.
Квадратные неравенства можно решать с помощью метода
интервалов.
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Найти дискриминант квадратного трёхчлена
ax 2 + bx + c и выяснить, имеет ли трёхчлен
корни.
ax 2 + bx + c < 0
44
Если трёхчлен имеет корни, надо отметить их на оси
Оx и построить схематически параболу (если a > 0, то
ветви параболы направлены вверх; если a < 0, то ветви
параболы направлены вниз).
Неравенства
Если трёхчлен не имеет корней, следует схематически построить параболу, расположенную в верхней полуплоскости, если
a > 0, или в нижней полуплоскости, если a < 0.
2
Если ax + bx + c > 0, надо найти на оси Ох промежутки,
для которых точки параболы расположены выше оси Ох.
2
Если ax + bx + c < 0, найти на оси Ох промежутки, для которых точки параболы расположены ниже оси Ох.
Решите неравенства.
2
а) x − 6 x + 8 ≤ 0;
x 2 − 6 x + 8 = 0; x1 = 2, x2 = 4.
2
б) − x − 6 x − 8 < 0;
− x 2 − 6 x − 8 = 0; x1 = −2, x2 = −4.
2
в) x − 3 x + 10 < 0;
x 2 − 3 x + 10 = 0; D < 0.
х
х
2
Ответ:
[2; 4 ].
–4
4
–2
х
Ответ: x ∈(−∞; − 4 ) ∪ (−2; + ∞ ).
Ответ:
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ
Перенести все слагаемые из правой части неравенства
в левую, чтобы в правой части остался нуль.
Разложить функцию в левой части на множители.
Найти все нули функции и отметить их на числовой прямой в порядке возрастания; нули разбивают числовую прямую на промежутки.
Решите неравенство:
2
3
1) ( x − 4 ) ( x + 8) = 0; x1 = 4, x2 = −8.
2)
–
функция
Ответ:
+
+
–8
Определить знак, который принимает
на каждом из промежутков.
( x − 4 )2 ( x + 8)3 ≤ 0.
4
(−∞; − 8] ∪ {4}.
45
х
Уравнения и неравенства
Решите неравенства.
а) x(x – 3)(x + 4)(2 – x) t 0.
1) Найдём нули функции y x(x – 3)(x +
+ 4)(2 – x): x1 0, x2 3, x3 –4, x4 2.
2) Отметим на числовой прямой в порядке возрастания нули функции:
–5
1
–1
–4
0
–
3
–4
х
3) Определим знак функции на каждом
промежутке:
на промежутке (3; + ∞) возьмём число 4 и определим знак функции:
(+ )(+ )(+ )(− ) = (− );
на промежутке (2; 3) возьмём число 2,5 и определим знак функции:
(+ )(− )(+ )(− ) = (+ );
на промежутке (0; 2) возьмём число 1 и определим знак функции:
(+ )(− )(+ )(+ ) = (− );
на промежутке (−4; 0) возьмём число –1 и определим знак функции:
(− )(− )(+ )(+ ) = (+ );
–
+
4
2,5
2
на промежутке (−∞; − 4) возьмём число –5 и определим знак функции:
(− )(− )(− )(+ ) = (− ).
–
+
0
2
4) Знак неравенства
запишем промежутки
[ −4; 0] ∪ [2; 3].
3
х
— «t», поэтому
со знаком «»:
[ −4; 0] ∪ [2; 3].
Ответ:
2
3
2
3
б) ( x − 4 ) ( x + 8) < 0.
1) ( x − 4 ) ( x + 8) = 0; x1 = 4, x2 = −8.
2)
–
+
+
–8
4
х
(−∞; − 8).
Ответ:
Дробно-рациональные
неравенства
Дробно-рациональным называют неравенство, содержащее
дроби, в знаменателе которых содержится переменная.
Решите неравенства.
−3
> 0.
4x − 5
Так как числитель отрицателен, то, чтобы дробь была положительна, необходимо, чтобы знаменатель был отрицателен:
а)
б) −
1
2
x − 16
≤ 0.
x 2 − 16 > 0;
x 2 − 16 = 0; x1 = −4, x2 = 4.
4 x − 5 < 0,
х
4 x < 5|: 4,
x < 1,25.
Ответ:
(−∞; 1,25).
46
х
1,25
–4
Ответ:
(−∞; − 4 ) ∪ (4; + ∞ ).
4
Показательным называется неравенство вида
af ( x ) > ag( x ) или af ( x ) < ag( x ), где a > 0, a ≠ 1,
либо неравенство, сводящееся к данному
виду.
af ( x ) > ag( x ) ⇔ f ( x ) > g( x ), если a > 1.
af ( x ) < ag( x ) ⇔ f ( x ) < g( x ), если a > 1.
af ( x ) > ag( x ) ⇔ f ( x ) < g( x ), если 0 < a < 1.
af ( x ) < ag( x ) ⇔ f ( x ) > g( x ), если 0 < a < 1.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ
НЕРАВЕНСТВ
Введение новой переменной
2x − 4
9Решите неравенство:
(2 + 3)(2 − 1)
x
Замена: 2 = t, t > 0,
t −4
≤ 0.
вид:
(t + 3)(t − 1)
тогда
1)
x
x
≤ 0.
неравенство
⎧t − 4 = 0,
2) ⎨
t = 4, t ≠ −3; t ≠ 1.
⎩(t + 3)(t − 1) ≠ 0;
3) 1 < t ≤ 4.
–
+
–3
0
примет
1
af ( x ) − ag( x ) > 0 ⇔ f ( x ) − g ( x ) > 0,
+ t
если a > 1.
4
af ( x ) − ag( x ) > 0 ⇔ f ( x ) − g ( x ) < 0,
0
x
2
4) Обратная замена: 2 < 2 ≤ 2 ; 0 < x ≤ 2.
Ответ: (0; 2].
если 0 < a < 1.
Приём логарифмирования
9Решите неравенства.
а) 3 x < 2; log3 3 x < log3 2; x < log3 2.
Ответ:
af ( x ) > b ⇔ loga af ( x ) > loga b ⇔
⇔ f ( x ) > loga b, если a > 1.
(−∞; log3 2).
x
af ( x ) > b ⇔ loga af ( x ) < loga b ⇔
x
б) 0,7 ≤ 7; log0,7 0,7 ≥ log0,7 7; x ≥ log0,7 7.
⇔ f ( x ) < loga b, если 0 < a < 1.
)
Ответ: ⎡⎣log0,7 7; + ∞ .
2
б)
Метод рационализации
)
а) ( x − 3) 53 x −1 − 5 x +2 ≥ 0;
1) 5 > 1 ⇒ ( x − 3) ((3 x − 1) − ( x + 2)) ≥ 0; ( x − 3)(2 x − 3) ≥ 0.
2) ( x − 3)(2 x − 3) = 0; x = 3, x = 1,5.
–
+
Ответ:
(−∞; 1,5] ∪ [3; + ∞ ).
4 x +1 − 42 x −3
≥ 0.
2
9Решите неравенства.
(
3 x + 3 x +2
1,5
4 x +1 − 42 x −3 > 0.
2) 4 > 1 ⇒ ( x + 1) − (2 x − 3) > 0; − x + 4 > 0;
− x > −4; x < 4.
+
3
2
1) 3 x > 0, 3 x +2 > 0 ⇒ 3 x + 3 x +2 > 0 ⇒
решение данного неравенства сводится
к решению следующего неравенства:
х
Ответ:
х
4
(−∞; 4 ).
47
Неравенства
Показательные неравенства
Уравнения и неравенства
Логарифмические неравенства
Логарифмическим
называют
неравенство
вида
loga f ( x ) > loga g ( x ), a > 0, a ≠ 1, и неравенство, сводящееся к данному виду. При этом учитывается, что выражение, стоящее под знаком логарифмической функции,
строго положительно, то есть f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 .
loga f ( x ) > loga g ( x )
⎧ a > 1,
⎪
⎨f ( x ) > g ( x ),
⎪g ( x ) > 0;
⎩
⎧0 < a < 1,
⎪
⎨f ( x ) < g ( x ),
⎪f ( x ) > 0.
⎩
⎡⎧ϕ ( x ) > 1,
⎢⎪
⎢⎪⎨f ( x ) > g ( x ),
⎢⎪
⎢⎪g ( x ) > 0,
⎩
logϕ( x ) f ( x ) > logϕ( x ) g ( x ) ⇔ ⎢
⎢⎧0 < ϕ ( x ) < 1,
⎢⎪
⎢⎪⎨f ( x ) < g ( x ),
⎢⎪
⎢⎪f ( x ) > 0.
⎣⎩
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ
Введение новой переменной
3) Обратная замена:
2
9Решите неравенство: 2log3 x + 3log3 x − 2 ≥ 0.
⎡log3 x ≤ −2, ⎡log x ≤ log 1 , ⎡0 < x ≤ 1 ,
3
⎢ 3
⎢
9 ⎢
9
⎢
⎢log3 x ≥ 1 ; ⎢
x
log
≥
log
3;
⎣
2 ⎣⎢ 3
⎣⎢ x ≥ 3.
3
1) Замена: log3 x = t, тогда неравенство примет вид: 2t 2 + 3t − 2 ≥ 0.
2) 2t 2 + 3t − 2 = 0; D = 9 + 16 = 25; t1 =
−3 + 5 1
и t2 =
= ;
4
2
⎡t ≤ −2,
⎢
⎢t ≥ 1 .
⎢⎣ 2
−3 − 5
= −2
4
x
0
3
⎛ 1⎤
Ответ: ⎜ 0; ⎥ ∪ ⎡⎣ 3; + ∞ .
⎝ 9⎦
)
t
–2
1
9
1
2
Метод рационализации
⎧ a > 1,
⎪f x − g x > 0,
( )
⎪ ( )
loga f ( x ) − loga g ( x ) > 0 ⇔ ⎨
⎪f ( x ) > 0,
⎪⎩g ( x ) > 0.
⎧0 < a < 1,
⎪f x − g x < 0,
( )
⎪ ( )
loga f ( x ) − loga g ( x ) > 0 ⇔ ⎨
>
f
x
0,
⎪ ( )
⎪⎩g ( x ) > 0.
9Решите неравенство:
⎛
⎞
( x + 5) ⎜ log 1 (2 x − 4) − log 1 (5 − x ) ⎟ > 0.
⎝
2
⎧( x + 5)((2 x − 4) − (5 − x )) < 0, ⎧( x + 5)(3 x − 9) < 0,
⎪
⎪
1) ⎨2 x − 4 > 0,
⎨ x > 2,
⎪5 − x > 0;
⎪ x < 5.
⎩
⎩
2) Решим первое неравенство системы
( x + 5)(3 x − 9) < 0: ( x + 5)(3 x − 9) = 0; x = −5 и x = 3.
x ∈(−5; 3).
–
+
–5
48
⎠
2
+
3
х
>>>
>>>
3) Решим второе неравенство системы x ! 2:
х
х
4) Решим третье неравенство системы x 5:
x ∈(−∞; 5).
5
5) Найдём общие решения трёх неравенств системы:
x ∈(2; 3).
Ответ: (2; 3).
–5
Неравенства
2
x ∈(2; + ∞ ).
2
х
5
3
loga f ( x ) > 0,
Метод рационализации можно использовать даже тогда,
когда неравенство в левой части не содержит разность
двух логарифмов. Для этого необходимо преобразовать
левую часть неравенства так, чтобы получить разность
двух логарифмов.
loga f ( x ) − 0 > 0,
loga f ( x ) − loga 1 > 0.
loga f ( x ) + loga g ( x ) > 0,
loga f ( x ) − loga (g ( x )) > 0.
−1
Решите неравенство: log x 2 −3 (8 − x ) ≥ 0.
1) Перейдём
lg (8 − x )
≥ 0.
lg x 2 − 3
(
к
новому
основанию
10:
)
2) Преобразуем получившееся неравенство
и решим его:
⎧ 8 − x −1
⎪ x 2 − 3 − 1 ≥ 0,
lg (8 − x ) − 0
lg (8 − x ) − lg1
⎪
≥
0;
≥
0;
⎨8 − x > 0,
lg x 2 − 3 − 0
lg x 2 − 3 − lg1
⎪
⎪⎩ x 2 − 3 > 0;
(
)
(
)(
)
(
)(
)
3) Решим первое неравенство системы
⎡ x = 7,
7− x
7− x
≥ 0:
= 0; ⎢⎢ x ≠ 2,
x
2
x
2
−
+
(
)(
)
( x − 2)( x + 2)
⎢⎣ x ≠ −2.
–
+
–2
(
второе
7
системы
х
8
Решим
третье
x − 3 x + 3 > 0:
)(
)
+
неравенство
3
системы
+
–
–
(
неравенство
х
3
) ( 3; + ∞).
x ∈ −∞; − 3 ∪
6) Найдём общие решения
венств: x ∈(−∞; − 2) ∪ (2; 7].
трёх
нера-
х
–2
Ответ:
– 3
3
7
2
(−∞; − 2) ∪ (2; 7].
–
+
2
5)
)
7− x
⎧
⎧ 7− x
≥ 0,
≥
0,
⎪
⎪ x2 − 4
x − 2)( x + 2)
(
⎪
⎪
⎨ x < 8,
⎨ x < 8,
⎪
⎪
⎪ x − 3 x + 3 > 0; ⎪ x − 3 x + 3 > 0.
⎩
⎩
(
4) Решим
x < 8:
x ∈(−∞; 8).
х
x ∈(−∞; − 2) ∪ (2; 7].
49
8
Уравнения и неравенства
Системы линейных неравенств
Системой линейных неравенств называется совокупность
двух или более линейных неравенств, содержащих одну
и ту же неизвестную величину.
Решением системы линейных неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.
Решить систему линейных неравенств означает найти все
её решения или доказать, что решений нет.
Мои примеры
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Решить каждое неравенство в системе по отдельности.
Отметить решение каждого неравенства на числовой прямой и выбрать общие для всех неравенств решения;
если общих решений нет, то система не имеет решений
и в ответе записывается пустое множество.
Решите системы неравенств.
⎧2 x + 1 > −3,
⎧2 x > −3 − 1,
⎧2 x > −4, ⎧ x > −2,
а) ⎨
⎨
⎨
⎨
⎩3 − 2 x ≥ x + 6; ⎩−2 x − x ≥ 6 − 3; ⎩−3 x ≥ 3; ⎩ x ≤ −1.
Отметим решение первого и второго неравенств системы на числовой прямой
и найдём пересечение числовых множеств.
х
–2
Ответ:
–1
(−2; − 1].
Системы
неравенств
могут
встретиться в ходе решения
разного рода уравнений, при
нахождении ОДЗ или области
определения функции.
50
1
⎧
⎧2 x − 3 > 4,
⎧2 x > 4 + 3, ⎪2 x > 7|⋅ , ⎧ x > 3,5,
б) ⎨
2 ⎨
⎨
⎨
⎩ x ≤ −3.
⎩− x ≥ 3|⋅ (−1); ⎩ x ≤ −3;
⎪⎩ x ≤ −3;
Отметим решение первого и второго неравенств системы на числовой прямой
и найдём пересечение числовых множеств.
х
–3
3,5
Множества решений неравенств не пересекаются, значит, система не имеет решений.
Ответ: .
Системы неравенств с одной
переменной
При решении неравенств с одной переменной следует решить отдельно каждое неравенство, входящее в систему,
при этом используются методы решения неравенств. Затем
нужно найти общее решение всех неравенств, входящих
в систему, или доказать, что общих решений нет.
(
)
⎧⎪ 3
−3
( x − 2) > 0,
⎨
⎪⎩log5− x ( x + 2) ≥ 0.
1) Решим первое неравенство системы,
используя метод рационализации и метод интервалов.
5 x −4
(3
5 x −4
2 x +5
)
− 32 x +5 ( x − 2) > 0;
(3 x − 9)( x − 2) > 0.
Нули неравенства:
(3 x − 9)( x − 2) = 0; x = 3 и x = 2.
–
x ∈(−∞; 2) ∪ (3; + ∞ ).
2
lg ( x + 2)
lg (5 − x )
–1
4
х
х
lg ( x + 2) − 0
lg (5 − x ) − 0
⎧ x + 2 −1
⎧ x +1
⎪⎪ 5 − x − 1 ≥ 0, ⎪⎪ 4 − x ≥ 0,
lg ( x + 2) − lg1
≥ 0; ⎨
⎨ x > −2,
x + 2 > 0,
lg (5 − x ) − lg1
⎪
⎪
⎩⎪5 − x > 0;
⎩⎪ x < 5.
5
4
–1
х
x ∈[ −1; 4 ).
+
3
≥ 0;
–
+
–2
2) Решим второе неравенство системы,
используя метод рационализации, перейдя к новому основанию 10:
log5− x ( x + 2) ≥ 0;
–
б) Отметим на числовой прямой множество решений каждого неравенства
системы и найдём пересечение трёх
множеств.
((5 x − 4 ) − (2 x + 5)) ( x − 2) > 0;
+
а) Решим первое неравенство системы:
⎡ x = −1;
x +1
x +1
= 0; ⎢
x ∈[ −1; 4 ).
≥ 0;
4− x
4− x
⎢⎣ x ≠ 4.
≥ 0;
3) Найдём
неравенств,
системы.
общее решение исходных
то есть найдём решение
х
2
–1
3
4
x ∈[ −1; 2) ∪ (3; 4 ).
Ответ:
[ −1; 2) ∪ (3; 4 ).
Равносильность неравенств
и систем неравенств
f (x ) > g (x )
Два
неравенства
с
одной
переменной
и h ( x ) > ϕ ( x ) называются равносильными, если их решения совпадают.
Если в системе неравенств поменять местами неравенства, то получим систему неравенств, равносильную данной.
Если любое неравенство в системе заменить равносильным неравенством, то полученная система неравенств будет равносильна исходной.
Если в системе неравенств содержатся два равносильных
неравенства, то в системе, равносильной данной, можно
записать одно из них.
⎧2 x > 0,
⎧⎪ x > 0,
⎪
⎨3 x − 4 > 0, ⇔ ⎨
⎪⎩3 x − 4 > 0.
⎪
⎩x > 0
⎧ x > 3,
⎧2 x − 1 > 2,
⇔⎨
⎨
2
x
−
1
>
2
⎩
⎩ x > 3.
⎧2 x > 6,
⎧ x > 3,
⇔⎨
⎨
2
x
1
2
−
>
⎩
⎩2 x − 1 > 2.
51
Неравенства
Решите систему неравенств:
Уравнения и неравенства
РАВНОСИЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ НЕРАВЕНСТВ
Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое, изменив при этом знак на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
1
96 x − 1 > x − 5 ⇔ 6 x − x > −5 + 1.
Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.
2
9ln5 ⋅ ( x − 1) > 0 ⇔
ln5 ⋅ ( x − 1)
ln5
>
0
⇔ x − 1 > 0.
ln5
Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же отрицательное число, изменив при этом
знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
3
9− x > 3 ⇔ − x ⋅ (−1) < 3 ⋅ (−1).
Мои
примеры
Если заменить левую или правую часть неравенства тождественно равным выражением на ОДЗ переменных исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное
данному.
4
9f ( x ) − g ( x ) > 0 ⇔ f
5
2
( x ) − g2 ( x ) > 0 ⇔ (f ( x ) − g ( x )) (f ( x ) + g ( x )) > 0.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то
же выражение, не приводящее к изменению ОДЗ, то
получится неравенство, равносильное данному.
(
)
(
)
2
2
9ln x − 3 > 0 ⇔ ln x − 3 − ln1 > 0 − ln1.
6
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно
и то же выражение, положительное при всех значениях переменной из ОДЗ исходного неравенства и не приводящее
к изменению ОДЗ данного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
2x −1
9 x
2 +3
x
>0⇔
2x −1
2x + 3x
(
)
(
)
⋅ 2 x + 3 x > 0 ⋅ 2 x + 3 x ⇔ 2 x − 1 > 0,
x
x
т. к. выражение 2 + 3 строго положительно при любом х.
52
(
(− x − 3)log x <
2
)
2
9 − x − 3 log2 x > 0 ⇔
2
2
−x − 3
0
2
−x − 3
Неравенства
7
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно
и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной из ОДЗ исходного неравенства и не приводящее к изменению ОДЗ данного неравенства, изменив при этом знак
неравенства на противоположный, то получится неравенство,
равносильное данному.
⇔ log2 x < 0,
2
т. к. выражение − x − 3 принимает отрицательные значения при
любом х из ОДЗ данного неравенства.
Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, то получим неравенство, равносильное данному.
8
9
(
3
3
3
9 2 x − 3 > x + 2 ⇔ 2 x − 3
) > ( x + 2 ) ⇔ 2 x − 3 > x + 2.
3
3
3
Если обе части неравенства неотрицательны в области его
допустимых значений, то после возведения обеих частей
неравенства в одну и ту же чётную степень получим неравенство, равносильное данному в его ОДЗ.
⎪⎧2 x − 1 > x,
9 2 x − 1 > x ⇔ ⎨
⎪⎩ x ≥ 0.
10
11
Показательное неравенство af ( x ) > ag ( x ) равносильно:
а) f ( x ) > g ( x ), если a > 1;
б) f ( x ) < g ( x ), если 0 < a < 1.
⎧ f ( x ) > 0,
Если ⎨
то неравенство loga f ( x ) > loga g ( x ) рав⎩g ( x ) > 0,
носильно:
Мои
заметки
а) f ( x ) > g ( x ), если a > 1;
б) f ( x ) < g ( x ), если 0 < a < 1.
53
Уравнения и неравенства
Использование свойств
и графиков функций
при решении неравенств
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ФУНКЦИИ
Данный метод используется, когда при решении неравенства
выясняется, что обе его части определены на некотором
множестве, состоящем из одного или нескольких чисел.
Решите неравенства.
а)
x − 2 > log3 (2 − x );
х
⎧ x − 2 ≥ 0, ⎧ x ≥ 2,
∅.
ОДЗ: ⎨
⎨
⎩2 − x > 0; ⎩ x < 2;
2)
Из ОДЗ следует, что неравенство не
имеет решений.
Ответ: .
б)
1
–3
x 2 − 9 ⋅ 32 x −5 ≥ 3 − x ⋅ lg ( x − 1);
⎧ ⎡ x ≤ −3,
⎧ x 2 − 9 ≥ 0,⎪ ⎢
⎪
⎪ ⎣ x ≥ 3,
x = 3.
1) ОДЗ: ⎨3 − x ≥ 0, ⎨
⎪ x − 1 > 0; ⎪ x ≤ 3,
⎩
⎪⎩ x > 1;
Подставим
2
2⋅3 − 5
3 − 9 ⋅3
x
3
3
в
≥ 3 − 3 ⋅ lg (3 − 1)
неравенство
и получим
верное числовое неравенство. Значит,
x 3 является решением данного неравенства.
Ответ: 3.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
ФУНКЦИИ
Если функция y f(x) непрерывна на промежутке и не обращается в нуль, то функция на данном промежутке принимает либо положительные, либо отрицательные значения.
На этом свойстве основан метод интервалов.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОНОТОННОСТИ
ФУНКЦИИ
Если y f(x) монотонно возрастает (убывает) на множестве
Х, то на Х: f ( a) > f (b ) ⇔ a > b ( a < b ).
Монотонность функции используется при решении показательных, логарифмических неравенств; на данном свойстве
основан метод рационализации.
54
Неравенства
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ
ФУНКЦИИ
Данный способ можно применить, если: в обеих частях
неравенства стоят функции разного вида; в одной части
неравенства функция, ограниченная сверху, в другой —
ограниченная снизу; в одной части неравенства функция,
ограниченная сверху (снизу), в другой — число.
Решите неравенство:
x 2 − x − 6 + x 2 + 2 x − 15 ≥ 0.
Левая часть неравенства неотрицательна, значит, данное неравенство выполняется при таких х, при которых существуют оба
корня, то есть оба подкоренных выражения неотрицательны:
⎧⎪ x 2 − x − 6 ≥ 0,
⎨
⎪⎩ x 2 + 2 x − 15 ≥ 0;
х
1) x 2 − x − 6 = 0
2) x 2 + 2 x − 15 = 0
⎡ x = 3,
⎢ x = −2;
⎣
⎡ x = 3,
⎢ x = −5.
⎣
⎡ x ≤ −5,
Получим: ⎢
⎢⎣ x ≥ 3.
3
–2
х
3
–5
Ответ: (−∞; − 5] ∪ [3; + ∞).
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Чтобы решить неравенство f(x) ! g(x) графически, необходимо в одной системе координат построить графики функций
y f(x), y g(x) и по чертежу определить, при каких значениях х график функции y f(x) расположен выше графика
функции y g(x).
у
Решите неравенство:
x > x − 2.
у=х–2
4
3
Из чертежа видно, что при x ∈[0; 4 )
х
2
график функции y = x расположен
выше графика функции y = x − 2.
Ответ: x ∈[0; 4 ).
у=
1
–3
–2 –1
0
х
1
2
3
4
5
6
–1
–2
55
Уравнения и неравенства
Изображение на координатной
плоскости множества
решений неравенств с двумя
переменными и их систем
Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное
неравенство в верное числовое неравенство.
Изобразите на координатной плоскости множество решений не2
2
равенства x + y > 4.
у
2
2
1) Построим график зависимости x + y = 4, он
разбивает плоскость на две части — внутреннюю
и внешнюю. Графиком является окружность с центром (0; 0) и радиусом 2. Поскольку неравенство
строгое, то график чертим пунктирной линией.
2) Выберем внутреннюю область и рассмотрим
в ней произвольную точку, например (0; 0). Проверим выполнимость неравенства для данной точки:
02 02 ! 4; неравенство неверное, значит, решением является внешняя область, закрашиваем данную
область на чертеже.
Ответ: решением неравенства является множество
точек координатной плоскости, лежащих вне окружности с центром (0; 0) и радиусом 2.
3
2
1
х
–2
–1 О
1
2
–1
–2
–3
Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений неравенств, входящих в неё.
Изобразите на координатной плоскости мно2
⎧
⎪y ≥ ,
x
жество решений системы ⎨
⎪ y < 2 x.
⎩
Решим каждое неравенство системы по отдельности, изобразив множества их решений
в одной системе координат.
Отметим, что первое неравенство нестрогое,
2
поэтому график зависимости y =
строим
x
сплошной линией (он входит в множество
решений первого неравенства); второе неравенство строгое — график зависимости y = 2 x
чертим пунктирной линией и график не входит в множество решений второго неравенства.
56
у
4
2
–4
–2
х
О
2
4
–2
–4
Ответ: множество решений системы
отмечено на координатной плоскости
двойной штриховкой.
ФУНКЦИИ
y
Определение и график
функции
Если даны числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из
множества Х определённое число у, то говорят, что задана
функция y
f(x) с областью определения Х.
x
множество Y
множество X
х1
х3
Переменную х называют независимой переменной (аргументом), а переменную у — зависимой переменной
(функцией).
х4
у1
f ( x1)
у3
f(x3)
f(x4)
х2
f(x 2)
у4
у2
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Форма записи заданной функции:
y = f ( x ), x ∈ X .
Аналитический (с помощью формулы).
9y = 5 x − 4.
2
9y = x − 4 x + 5, где x ∈(−5; 25).
Обозначение области
ния функции: D(f).
Табличный (с помощью таблицы).
9Н х
1
2
3
4
5
у
1
4
9
16
25
определе-
Найдите область определения функции.
Графический (с помощью графика).
9
а) y =
у
x
определено при всех х,
x −4
кроме 4, т. к. при x = 4 знаменатель обращается в нуль.
Выражение
4
2
–4
x
.
x −4
–2
х
О
–2
–4
2
4
Значит, D (f ):
(−∞; 4 ) ∪ (4; + ∞ ).
б) y = x − 5.
Выражение
x −5
определено,
когда
x ≥ 5, т. к. при этих значениях х выражение,
стоящее под знаком квадратного корня, принимает неотрицательные значения. Значит,
D (f ): [5; + ∞ ).
57
Функции
Множество значений функции
Найдите область значений функции.
Множество всех значений функции y = f ( x ), x ∈ X
называют областью значений функции.
а) y = x 2 − 1; при x = 0 функция принима-
ет наименьшее значение; y (0) = −1. Зна-
чит, E (f ) : [ −1; + ∞ ).
Обозначение области значений: E (f ).
б) y = 3 x +1; функция принимает положи-
тельные значения, значит, E (f ) : (0; + ∞ ).
График функции
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям
функции.
Дан график функции. Определите по графику:
а) значение функции, если значение аргумента равно –4 и 0;
б) значение аргумента, если значение функции равно 4; –2.
а) f (−4 ) ≈ −1; f (0) ≈ 0;
б) если y = 4, то x ≈ 2,7;
если y = −2, то x1 ≈ −2 и x2 ≈ −4,3.
–4
–2
у
у
4
4
2
2
х
О
2
а)
2
Функция y = x
убывает на
промежутке ( −∞; 0] , значит,
на данном промежутке функция y = x 2 обратима.
–4
–2
х
О
2
4
–2
–2
–4
–4
4
б)
Обратная функция.
График обратной функции
Если функция y = f ( x ) монотонна на некотором промежутке Х, то говорят, что функция y = f ( x ) обратима на данном промежутке Х.
Если функция y = f ( x ) обратима на Х, а Y — область значений, то, выразив х из формулы y = f ( x )
Обозначение обратной функции:
y =f
58
−1
( x ).
и поменяв местами х и у, получим обратную
функцию, которая определена на множестве Y,
а Х — её область значений.
Если функция y
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y x.
f(x) возрастает
функции
(убывает) на множестве Х, а Y —
область значений функции, то обратная ей функция возрастает (убывает)
у=
и
у
х2
у=х
4
1) y = x 2 ⇒ x = ± y . Так как x ∈(−∞; 0],
Определение
Найдите функцию, обратную данной
y = x 2, если x ∈(−∞; 0]. Постройте на
одном чертеже графики взаимно обратных функций.
график
на Y, а Х — её область значений.
2
то x = − y .
х
2) Поменяем местами х и у, получим
обратную функцию y = − x
–4
О
–2
2
–2
при x ∈[0; + ∞ ).
4
у =– х
–4
Преобразование графиков:
параллельный перенос,
симметрия относительно
осей координат
График функции y f(x) b получается параллельным переносом графика функции
y
f(x) вдоль оси Оу вверх на b единиц
при b ! 0 и вниз на b при b 0.
О
2
4
x–4 2
)
4
2
–2
5)
–4
(x +
х
y=(
–5
6
y=
2
8
y = x2
4
у
y=x2
при a 0.
x2
6
f(x + a) получается
График функции y
параллельным переносом графика функции y
f(x) вдоль оси Ох влево на
а единиц при a ! 0 и вправо на a
y=
y=
8
x2+
4
у
2
–2
х
–4
–6
–4
–2
О
2
4
59
6
Функции
График функции y –f(x) получается
симметричным отображением графика функции y f(x) относительно
оси Ох.
График функции y f(–x) получается симметричным отображением графика функции y f(x) относительно оси Оу.
у
у
y = f(x)
4
4
у = –х
х
х
–4
О
–2
2
у= х
2
2
–6
–4
–2
О
4
4
2
6
–2
–2
y = –f(x)
Для построения графика функции
–4
необходимо:
Для построения графика функции y = f ( x )
следует построить график функции y f(x)
и ту часть графика, которая расположена
в нижней полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси абсцисс.
1) часть графика функции у = f ( х ), лежащую
в левой полуплоскости, отбросить;
2) часть графика функции у = f ( х ), лежащую
в правой полуплоскости, оставить неизменной и отобразить её симметрично относительно оси Оу в левую полуплоскость.
y = |x2 – 4|
у
у =f( x )
у
y =|x|
4
4
2
2
х
х
–4
2
О
–2
–4
4
О
–2
2
4
–2
–2
–4
Постройте график функции y =
4
−2 .
x
1) Схема построения начинается с графика y =
2) y =
4
x
y=
4
−2
x
—
часть
графика,
оси Ох, симметрично отображаем вверх.
60
отображаем
расположенную
у
y= 4
|x|
4
— часть графика, расположенную в правой по-
луплоскости, оставляем неизменной и
симметрично относительно оси Оу.
4
− 2 — вниз на две единицы.
3) y =
x
4)
4
.
x
y = 4 –2
|x|
2
её
–4
–2
О
2
–2
ниже
y= 4
x
–4
4 х
4
y=
–2
|x|
Элементарное исследование функций
Элементарное исследование
функций
Функция может быть исследована на монотонность и экстремумы, чётность и нечётность, на периодичность, ограниченность сверху и снизу, на наибольшее и наименьшее
значение на всей области определения.
Монотонность функции.
Промежутки возрастания
и убывания
y = f ( x ) называют возрастающей [убывающей]
на множестве X, если для любых точек x1 и x2, принадлежащих множеству Х, таких, что x1 ! x2, выполняется неравенство f ( x1 ) > f ( x2 ) ⎡⎣f ( x1 ) < f ( x2 )⎤⎦ , то есть большему
Функцию
значению аргумента соответствует большее [меньшее] значение функции.
Важно отметить, что при движении слева направо по оси
Ох график возрастающей функции идёт вверх, а график
убывающей функции — вниз.
у
4
3
2
1
O
–3 –2 –1
х
1 2 3 4 5 6
График возрастающей функции
Если функция возрастает (убывает) на промежутке Х, то
говорят, что данная функция монотонна на промежутке Х.
у
4
2
Между промежутками возрастания (убывания) не ставится
знак объединения [ ∪ ]. Концы промежутков, в которых
функция определена, включаются в ответ.
–4
–2
O
2
4
х
–2
График убывающей функции
Чётность и нечётность
функции
Функцию y = f ( x ) на множестве Х называют чётной, если
Мои
заметки
для любого x ∈ X выполняется равенство f (− x ) = f ( x ).
Функцию y = f ( x ) на множестве Х называют нечётной, если
для любого x ∈ X выполняется равенство f (− x ) = −f ( x ).
Функция может быть ни чётной, ни нечётной, в этом случае её называют функцией общего вида.
Если функция y = f ( x ) чётная или нечётная, то её область определения симметрична относительно начала отсчёта. Если область определения функции не является
симметричным множеством, то данная функция не является ни чётной, ни нечётной.
61
Функции
–4
у
у
у
4
4
4
2
2
2
–2
О
2
4
х
–4
О
–2
2
4
–4
х
–2
О
–2
–2
–2
–4
–4
–4
График нечётной функции
График чётной функции
2
4
х
График ни чётной, ни нечётной
функции
Периодичность функции
Функция y = f ( x ) на множестве Х имеет период Т, если
для
любого
x ∈X
выполняются
равенства
f (x −T ) =
= f ( x ) = f ( x + T ). В таком случае функцию f(x) называют периодической.
Периодическая функция имеет бесконечное множество периодов, наименьший среди положительных периодов называют основным периодом.
Если Т — основной период функции
y f(x), то для построения его графика
достаточно построить часть графика
длиной Т, а затем выполнить параллельный перенос вдоль оси Ох влево
и вправо на целое число периодов
(±T , ± 2T , ± 3T ...).
Если Т является периодом функции
y = f ( x ), то 2T , − 2T , 3T , − 3T , 4Т , – 4Т …
также являются периодами данной
функции, то есть числа вида nT, где
n ∈ Z , являются периодами функции
y = f ( x ).
у
2
–10
–8
–6
–4
х
–2
О
2
4
6
8
10
–2
График периодической функции с основным периодом Т = 4
Ограниченность функции
Функцию y = f ( x ) называют ограниченной сверху [снизу]
на множестве Х, если существует такое число М, что для
всех x ∈ X выполняется неравенство f ( x ) ≤ M [f ( x ) ≥ M ].
62
у =4
4
4
2
–4
х
–2
у =4
4
2
–4
у
у
у
О
2
–2
х
О
4
2
–2
–2
–4
–4
График функции, ограниченной
сверху
2
–4
–2
х
О
4
2
4
–2
у = –3
–4
у = –4
График функции, ограниченной
снизу
График функции, ограниченной
сверху и снизу
у
Точки экстремума
а
х
а–ε
Интервал
Элементарное исследование функций
Если функция ограничена сверху и снизу на всей области
определения, то данную функцию называют ограниченной.
а+ε
( a − ε; a + ε)
называют
окрестностью
точки
а,
число — радиусом окрестности.
x 0 называют точкой максимума [минимума]
Точку
y = f ( x ), если у данной точки существует
функции
окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки x 0) выполняется неравенство f ( x 0 ) > f ( x ) ⎡⎣f ( x 0 ) < f ( x )⎤⎦ .
a
b
c
О
заметки
Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции (от лат. extremus —
крайний).
Значения функции в данных точках обозначают:
y ( xmax ), y ( xmin ).
Наибольшее и наименьшее
значение функции
Число f ( x 0 ) называют наибольшим [наименьшим] значе-
нием функции y = f ( x ) на множестве Х, если существует
ется неравенство f ( x 0 ) ≥ f ( x ) ⎡⎣f ( x 0 ) ≤ f ( x )⎤⎦ .
Наибольшее (наименьшее) значение функции на множестве X — это самое большое (маленькое) значение зависимой переменной y при x 0 ∈ X .
e
На представленном графике
a, c, e — точки максимума,
b, d — точки минимума
Мои
x 0 ∈ X , такое, что для любого х из множества Х выполня-
х
d
f ( x0 ) ≥ f ( x )
63
Функции
Если у функции существует yнаим, то она ограничена снизу.
Если у функции существует yнаиб, то она ограничена сверху.
Если функция не ограничена снизу, то у неё не существует yнаим.
Если функция не ограничена сверху, то у неё не существует yнаиб.
Исследуйте функцию, график которой изображён на рисунке.
1) D (f ) = (−∞; + ∞ ).
у
2) E (f ) = [ −4; + ∞ ).
4
3) Функция возрастает при x: (−2; 0], [1; 3] и [ 4; + ∞ );
функция убывает при x: (−∞; − 2], [0; 1] и [3; 4 ].
4) Функция ни чётная, ни нечётная.
5) Функция не является периодической.
6) Функция ограничена снизу.
7) yнаим = −4; наибольшего значения функции нет.
y = f(x)
2
–4
х
–2
8) Точки максимума: 0 и 3; точки минимума: –2; 1
и 4.
9) Значения функции в точках экстремума: y ( xmax ) =
О
4
2
–2
–4
= 2; 5 y ( xmin ) = −4; − 1; 4.
y
Основные элементарные
функции
x
К основным элементарным функциям относятся: прямая
и обратная пропорциональная зависимость, степенная функция с натуральным показателем, тригонометрические функции, показательная и логарифмическая функции.
Линейная функция
и её график
Графиком линейной функции
является прямая, для её построения достаточно найти координаты двух точек.
64
Линейной называется функция, которую можно записать
формулой вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k и b — некоторые числа. Число k называют угловым коэффициентом.
у
у
у
4
4
4
2
2
2
2
–2
х
О
–2
х
О
2
–2
k> 0
b= 3
х
О
х
О
2
2
2
–2
–2
–2
–2
–2
k< 0
b= 1
k< 0
b = –2
k> 0
b = –1
Функция, описывающая
обратную пропорциональную
зависимость, её график
y=
k
x
Обратной пропорциональностью называется функция, коk
торую можно задать формулой y = , где х — независимая
x
переменная, k — число, k ≠ 0.
Кривую, являющуюся графиком
обратной пропорциональности,
называют гиперболой.
Если k > 0, то график расположен в I и III четверти; если k < 0,
то график расположен в II и IV четверти.
у
4
у
2
у=– х
2
у= х
4
2
–4
2
–2
2
О
2
4
х
–4
–2
О
–2
–2
–4
–4
65
4
х
функции
элементарные
у
График функции y = kx + b пересекает ось Оу в точке (0; b ).
Основные
Если угловые коэффициенты прямых (k) различны,
то прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны.
Если k > 0, то линейная функция является возрастающей и угол наклона прямой к оси Ох (D)
острый.
Eсли k < 0, то линейная функция является убывающей и угол наклона прямой к оси Ох (D) тупой.
заметки
Функции
Мои
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y =
1
2
D(y)
k
x
(–f; 0)(0; f).
Функция нечётная, т. к. y (− x ) =
k
k
= − = − y ( x ).
−x
x
а) Если k ! 0, то функция убывает на промежутке (–f; 0) и на промежутке (0; f).
3
б) Если k 0, то функция возрастает на промежутке (–f; 0) и на промежутке (0; f).
Квадратичная функция,
её график
Кривую, являющуюся графиком
квадратичной функции, называют параболой.
Квадратичной называется функция, которую можно задать
формулой вида y ax2 bx c, где х — независимая переменная, a, b и c — числа, a z 0.
При a > 0 ветви параболы направлены
вверх; при a < 0 ветви параболы направлены вниз.
1) Найдём вершину параболы: x 0 = −
b
−6
=−
= 3;
2a
2
5
у
2
Постройте график функции y = x − 6 x + 5.
4
x+
График функции y ax2 bx c пересекает ось Оу в точке (0; с).
y ( x 0 ) = 3 − 6 ⋅ 3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4.
y= x 2
– 6
2
2
2) Составим таблицу значений:
х
х
у
0
5
1
0
2
–3
3
–4
4
–3
5
0
6
5
3) Построим по точкам график функции.
66
О
–2
–4
2
4
у
4
2
1
D ( y ) = (−∞; + ∞ ).
х
–4
–2
О
2
4
–2
2
2
2
Функция чётная, т. к. y (− x ) = a (− x ) = ax = y ( x ).
–4
а) Если a > 0, то функция убывает на промежутке
3
растает на промежутке
[0; + ∞).
у =–х 2
(−∞; 0] и воз(−∞; 0]
a < 0, то функция возрастает на промежутке
и убывает на промежутке [0; + ∞ ).
б) Если
4
а) Если a > 0, то функция ограничена снизу; yнаим = 0.
б) Если a < 0, то функция ограничена сверху; yнаиб = 0.
Точки экстремума.
а) Если a > 0, то точка минимума равна 0; точек максимума нет.
б) Если a < 0, то точка максимума равна 0; точек минимума нет.
5
Степенная функция
с натуральным показателем,
её график
y = ax 3
КУБИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК
Кубической
называется функция, которую можно задать
3
формулой вида y = ax , где х — независимая переменная,
a ≠ 0.
СВОЙСТВА КУБИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
1
D ( y ) = (−∞; + ∞ ).
2
3
Кривую, являющуюся графиком
кубической функции, называют
кубической параболой.
а) Если a > 0, то функция
на всей числовой прямой.
возрастает
б) Если a < 0, то функция
на всей числовой прямой.
Функция нечётная, т. к. y (− x ) = a(− x )3 = − ax 3 = − y ( x ).
67
убывает
элементарные
функции
у =х2
Основные
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = ax 2
Степенной функцией с натуральным показателем называется функция, которую можно задать формулой вида
y = ax n , где х — независимая переменная, n — натуральное число, a ≠ 0.
Функции
y
y = x3
1
Функция обладает теми же свойствами, что и функция
y ax3.
При n = 1 получаем линейную функцию y = ax , графиком
которой является прямая.
2
При n = 2 получаем квадратичную функцию y = ax , графиком которой является парабола.
Если n — чётное число, n > 2 (n = 4; 6; 8...), то график
функции похож на параболу. Функция обладает теми же
2
свойствами, что и функция y = ax .
x
O 1
y
3
y = –2 x
При n = 3 получаем функцию y = ax , графиком которой
является кубическая парабола.
Если n — нечётное число, n > 3 (n = 5; 7; 9...), то график
функции похож на кубическую параболу.
3
x
O
–1
Тригонометрические функции
и их графики
1
СВОЙСТВА И ГРАФИК ФУНКЦИИ y = sin x
у
1
Мои
2
заметки
D ( y ) = (−∞; + ∞ ).
О
Функция периодическая с
sin ( x + 2πk ) = sin x, где k ∈ Z.
3
Функция ограничена и сверху, и снизу.
Кривую, являющуюся графиком функции y = sin x, называют синусоидой.
68
5
основным
y
1
–2S
6
х
E ( y ) = [ −1; 1].
–S
4
2S;
y sin x
O
–1
периодом
S
2
S
2S x
Функция нечётная; sin (− x ) = − sin x.
π
⎡ π
⎤
+ 2πk ⎥
Функция возрастает на промежутках ⎢ − + 2πk;
2
⎣ 2
⎦
3π
⎡π
⎤
+ 2πk ⎥ , где k ∈ Z.
и убывает на промежутках ⎢ + 2πk;
2
⎣2
⎦
Кривую, являющуюся графиком функции y = cos x, называют синусоидой.
у
О
х
Функция периодическая с основным
cos(x + 2Sk) = cos x, где k ∈ Z.
периодом
2
E ( y ) = [ −1; 1].
3
y
–2S – 3S
2
–S
4
S
–
2
1
y = cos x
O S
–1 2
S
3S
2
2S
2S;
x
Функция чётная; cos (− x ) = cos x.
Мои
заметки
[ −π + 2πk; 2πk ]
и убывает на промежутках [2πk; π + 2πk ], где k ∈ Z.
Функция возрастает на промежутках
5
6
Функция ограничена и сверху, и снизу.
Кривую, являющуюся графиком функции y = tg x, называют тангенсоидой.
СВОЙСТВА И ГРАФИК ФУНКЦИИ y = tg x
π
⎛ π
⎞
D ( y ) = ⎜ − + πk; + πk ⎟ , где k ∈ Z.
⎝ 2
⎠
2
1
2
3
элементарные
D ( y ) = (−∞; + ∞ ).
Основные
1
функции
СВОЙСТВА И ГРАФИК ФУНКЦИИ y = cos x
E ( y ) = (−∞; + ∞ ).
y = tg x
Функция периодическая с основным периодом S; tg ( x + πk ) = tg x, где k ∈ Z.
4
Функция нечётная; tg (− x ) = − tg x.
5
Функция возрастает на промежутках
π
⎛ π
⎞
⎜⎝ − + πk; + πk ⎟⎠ , где k ∈ Z.
2
2
69
y
Функции
y = tg x
2
1
x
– 5S
2
S
–
2
– 3S
2
O
5S
2
3S
2
S
2
–1
–2
СВОЙСТВА И ГРАФИК ФУНКЦИИ y = ctg x
1
D ( y ) = ( πk; π + πk ), где k ∈ Z.
2
3
Кривую, являющуюся графиком
функции y = ctg x, называют тангенсоидой.
Функция убывает на
( πk; π + πk ), где k ∈ Z.
5
E ( y ) = (−∞; + ∞ ).
Функция периодическая с основным периодом π; ctg ( x + πk ) = ctg x, где k ∈ Z.
4
промежутках
Функция нечётная; ctg (− x ) = − ctg x.
y
y = ctg x
2
1
x
–2S
–S
O
–1
–2
70
S
2S
3S
y=
S –1
2
x
y = sinx
1
O
S
2
элементарные
–
функции
y
sin
x
S
2
1
y=
x
–1
S
–
2
Основные
⎡ π π⎤
Функция y = sin x монотонна на отрезке ⎢ − ; ⎥ , значит,
⎣ 2 2⎦
на данном отрезке она имеет обратную функцию. Её обозначают y = arcsin x.
График функции y = arcsin x может быть получен из графи⎡ π π⎤
ка функции y = sin x, x ∈ ⎢ − ; ⎥ , с помощью преобразова⎣ 2 2⎦
ния симметрии относительно прямой y = x.
ar
c
ФУНКЦИЯ y = arcsinx И ЕЁ ГРАФИК
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = arcsin x
1
sin (arcsin a) = a
⎡ π π⎤
E (y ) = ⎢− ; ⎥ .
⎣ 2 2⎦
2
3
4
D ( y ) = [ −1; 1].
Мои
Функция нечётная; arcsin (− x ) = − arcsin x.
заметки
Функция возрастает на всей области определения.
ФУНКЦИЯ y = arccosx И ЕЁ ГРАФИК
Функция y = cos x монотонна на отрезке [0; π ], значит, на
данном отрезке она имеет обратную функцию. Её обозначают y = arccos x.
График функции y = arccos x может быть получен из графика функции y cosx, x ∈[0; π ], с помощью преобразования симметрии относительно прямой y = x.
y
y=
S
x
y = arccosx
S
2
1
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = arccosx
x
–1
1
2
E ( y ) = [0; π ].
3
cos (arccos a) = a
D ( y ) = [ −1; 1].
4
O
–1
1
S
2
S
y = cosx
Функция убывает на всей области определения.
Функция ни чётная, ни нечётная; arccos (− x ) = π − arccos x.
71
Функции
ФУНКЦИЯ y = arctgx И ЕЁ ГРАФИК
⎛ π π⎞
Функция y = tg x монотонна на промежутке ⎜ − ; ⎟ , значит,
⎝ 2 2⎠
на данном промежутке она имеет обратную функцию. Её
обозначают y = arctg x.
График функции y = arctg x может быть получен из графика
⎛ π π⎞
функции y = tg x, x ∈ ⎜ − ; ⎟ , с помощью преобразования
⎝ 2 2⎠
симметрии относительно прямой y = x.
y = arctg x
tg (arctg a) = a
y
y=x
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = arctgx
S
2
1
y = arctgx
x
S
–
2
O
–
1 S
2
2
S
2
⎛ π π⎞
E (y ) = ⎜ − ; ⎟ .
⎝ 2 2⎠
3
y = tg x
4
D ( y ) = (−∞; + ∞ ).
Функция нечётная; arctg (− x ) = − arctg x.
Функция возрастает на всей области определения.
ФУНКЦИЯ y = arcctgx И ЕЁ ГРАФИК
Функция y = ctg x монотонна на промежутке (0; π ), значит,
на данном промежутке она имеет обратную функцию. Её
обозначают y = arcctg x.
ctg (arcctg a) = a
График функции y = arcctg x может быть получен из
графика функции y ctg x, x ∈(0; π ), с помощью преобразования симметрии относительно прямой y = x.
y
y=x
S
y = arcctgx
S
2
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = arcctgx
x
O 1 S
2
–
4
S
2
y = ctgx
Функция убывает на всей области
определения.
72
1
D ( y ) = (−∞; + ∞ ).
2
3
E ( y ) = (0; π ).
Функция ни чётная, ни
arcctg (− x ) = π − arcctg x.
нечётная;
Кривую, являющуюся графиx
ком функции y = e , назы-
Показательной называется функция, которую можно заx
дать формулой вида y = a , где х — переменная,
a > 0, a ≠ 1.
у
СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
–x
y = ax
Основные
y=a
1
элементарные
вают экспонентой.
7
D ( y ) = (−∞; + ∞ ).
5
2
E ( y ) = (0; + ∞ ).
3
4
3
Функция ограничена снизу.
а) Если a > 1, то функция возрастает
на всей области определения.
б) Если 0 < a < 1, то функция убывает
на всей области определения.
1
–5
–3
–1
О 1
х
3
Графики функций y = a x и y = a− x
симметричны относительно оси Оу
Функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Логарифмическая функция,
её график
y = loga x
Показательная функция монотонна на всей области определения, следовательно, показательная функция имеет обратную. Её обозначают y = loga x.
График логарифмической функции y = loga x получается из
x
графика показательной функции y = a с помощью симметрии относительно прямой y = x.
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
1
2
D ( y ) = (0; + ∞ ).
E ( y ) = (−∞; + ∞ ).
Кривую, являющуюся графиком
функции y = loga x , называют логарифмической кривой.
73
функции
Показательная функция,
её график
Функции
а) Если a > 1, то функция возрастает на всей области определения.
б) Если 0 < a < 1, то функция убывает на всей области определения.
3
Функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
4
у
у
y=a
y=a
x
a>1
0<a<1
7
7
y=x
y=x
5
5
3
3
1
–5
x
–3
–1
1
х
О 1
3
y = loga x
–5
5
–3
–1
О
1
3
5
y = loga x
Постройте график функции y = log2 (2 x + 4 ) + 3.
Схема построения:
1)
y = log2 x ;
у
2) y = log2 ( x + 4 ),
сдвиг
графика
оси Ох на четыре единицы;
влево
3) y = log2 (2 x + 4 ),
вдоль оси Ох;
в
сжатие
графика
вдоль
y = log 2(x + 4) + 3
два
раза
4) y = log2 (2 x + 4 ) + 3, сдвиг графика функции вверх
вдоль оси Оу на три единицы.
74
5
y = log 2(x + 4)
–5
–3
y = log 2(2x + 4)
3
1
–1 О 1
y = log2 x
3
5
х
НАЧА Л А
МАТ Е МАТ ИЧЕ СКОГО
А НА Л ИЗА
f'(( x)
f'
Производная
х
Пусть х — произвольная точка, лежащая в окрестности
точки x0.
'x x – x0 — приращение аргумента.
Δf = f ( x ) − f ( x 0 ) = f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 )
—
приращение
x0 – H x
x 0+ H
x0
функции
в точке x0.
Производной функции y f(x) в точке x0 называется
число,
к
которому
стремится
отношение
Δf f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 )
=
при 'x, стремящемся к нулю.
Δx
Δx
Обозначение производной: y
геометрический смысл
производной
f (x0).
y
y = f(x)
y=
kx +
b
Геометрический смысл производной:
k = tg α = f ′ ( x ).
x
D
x0
O
f(x)
На рисунке изображены график функции y
и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
1) Построим прямоугольный 'ABC, расположенный
ниже касательной, так, чтобы гипотенуза проходила
через
уголки
клеток
(в
этом
случае
катеты
выражаются натуральными числами).
2) Рассмотрим острый угол, расположенный по
горизонтали, и найдём тангенс этого угла.
Тангенс — это отношение противолежащего катета
BC 5
= = 2,5.
к прилежащему: tg A =
AC 2
B
y
x
A
O
y = f(x)
x0 C
3) f ′ ( x 0 ) = tg A = 2,5.
Ответ: 2,5.
75
Начала математического анализа
Если касательная, проведённая к графику функции в точке с абсциссой x0, образует с положительным направлением оси Оx
острый угол, то значение производной в данной точке положительно; если образуется тупой угол, то значение производной
в точке x0 отрицательно; если касательная параллельна оси Ох,
то значение производной в точке касания равно нулю.
Производная равна нулю в точках вида:
Физический смысл
производной, нахождение
скорости для процесса,
заданного формулой
или графиком
s = s (t ) — закон прямолинейного движения тела. Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.
Физический смысл производной:
υ = s ′ (t ).
Материальная точка движется прямолинейно
по
следующему
закону:
2
s (t ) = t − 4t + 5, где s — расстояние
Материальная точка движется прямолинейно
по
следующему
закону:
2
s (t ) = t − 6t + 8, где s — расстояние
в метрах, а t — время в секундах.
Найдите её скорость в момент времени t = 10 c.
в метрах, а t — время в секундах.
В какой момент времени скорость
тела будет равна 5?
(
)
′
1) υ (t ) = s ′ (t ) = t 2 − 4t + 5 = 2t − 4.
′
1) υ (t ) = s ′ (t ) = t 2 − 6t + 8 = 2t − 6.
2) υ (10) = 2 ⋅10 − 4 = 16.
Ответ: 16.
2) 2t − 6 = 5, 2t = 11, t = 5,5.
Ответ: 5,5.
(
76
)
Даны функция
Составьте
y = f ( x ) и точка M ( a; f ( a)). Тогда
касательной
2
1) f ( −1) = ( −1) + 3 ⋅ ( −1) = 1− 3 = −2.
уравнение касательной к графику функции y = f ( x )
(
)
′
2) f ′ ( x ) = x 2 + 3 x = 2 x + 3.
в точке М можно задать по формуле:
3) f ′ ( −1) = 2 ⋅ ( −1) + 3 = −2 + 3 = 1.
y = f ( a) + f ′ ( a)( x − a).
4) y = f ( −1) + f ′ ( −1) ( x − ( −1)); y = −2 + 1( x + 1);
y = x − 1.
Производные основных
элементарных функций
Ответ: y = x − 1.
1
(kx + b)′ = k
( x )′ = 2 1x
(ctg x )′ = −
( x )′ = 1
( x )′ = nx
(e )′ = e
( x )′ = 2 x
(sin x )′ = cos x
(a )′ = a ln a
x
x
c ′ = 0, где с — число
(cos x )′ = − sin x
(ln x )′ =
1
x
1
⎛ 1 ⎞′
⎜⎝ ⎟⎠ = − 2
x
x
( tg x )′ =
2
уравнение
к графику функции y = x 2 + 3 x в точке x = −1.
n
n −1
1
2
cos x
x
sin2 x
x
(loga x )′ =
1
x ln a
Найдите значение производной функции в точке а.
а) y = x + 5, если a = 2; y ′ = (1x + 5)′ = 1.
б) y = x , если a = 16; y ′ =
( x )′ = 2 1x ; y ′ (16) = 2 116 = 81 .
в) y = lg x, если a = lg e; y ′ = (lg x )′ =
Производная сложной функции
1
1
1
1
=
= = 1.
; y ′ (lg e ) =
x ln10
lg e ln10 log10 e ⋅ loge 10 1
(ϕ (f ( x )))′ = ?
(ϕ (f ( x )))′ = ϕ ′ (f ( x )) ⋅ f ′ ( x )
77
Производная
Уравнение касательной
к графику функции
Начала математического анализа
Вычислите производную функции.
а) y = 6 x — сложная функция, где f ( x ) = 6 x, ϕ (f ( x )) = ϕ (6 x ) = 6 x ;
( 6 x )′ = 2 16 x ⋅ (6 x )′ = 2 16 x ⋅ 6 = 63x .
б) y = cos (−4 x + 2)
—
сложная
функция,
f ( x ) = −4 x + 2,
где
ϕ (f ( x )) = ϕ (−4 x + 2) = cos (−4 x + 2);
(cos (−4 x + 2))′ = − sin (−4 x + 2) ⋅ (−4 x + 2)′ = − sin (−4 x + 2) ⋅ (−4 ) = 4 sin (−4 x + 2).
( ) — сложная функция, где f ( x ) = x ,
ϕ (f ( x )) = ϕ ( x ) = log x ;
1
1
6
′
′
y ′ = (log ( x )) =
⋅(x ) =
⋅6x =
.
x ln2
x ln2
x ln2
в) y = log2 x 6
6
6
2
2
6
6
6
5
6
6
Правила дифференцирования
( kf ( x ))′ = kf ′ ( x )
(
9y ′ = 6 x
)′ = 6 ⋅ ( x )′ = 6 ⋅ 2 1x = 3x .
(f ( x ) + g ( x ))′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x )
(
)′ ( )′ + ( x )′ + (5)′ = 5 x + 3 x + 0 = 5 x + 3 x .
5
3
5
9y ′ = x + x + 5 = x
3
4
2
4
2
(f ( x ) ⋅ g ( x ))′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x )
9y ′ =
x
+ x ⋅ cos x.
( x ⋅ sin x )′ = ( x )′ ⋅ sin x + x ⋅ (sin x )′ = 2 1x ⋅ sin x + x ⋅ cos x = sin
2 x
⎛ f ( x ) ⎞′ f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g′ ( x )
⎜⎝ g ( x ) ⎟⎠ =
g2 ( x )
( )′ ⋅ (3 x − 1) − x ⋅ (3 x − 1)′ = 2 x (3 x − 1) − x ⋅ 3 = 6 x − 2 x − 3 x = 3 x − 2 x .
x
⎛ x 2 ⎞′
=
9y ′ = ⎜
⎟
⎝ 3 x − 1⎠
78
2
2
(3 x − 1)2
2
(3 x − 1)2
2
(3 x − 1)2
2
2
(3 x − 1)2
s = s (t ) — закон прямолинейного движения. Вторая
производная выражает ускорение этого движения.
Физический смысл второй производной:
a = υ ′ (t ).
Найдите вторую производную функции y = 7 x 4 − 3 x 2 + x − 2.
y ′′ = (y ′)′ ;
Материальная точка движется прямолинейно
по
следующему
закону:
s (t ) = t 2 − 24t + 5, где s — расстояние
y ′ = (7 x − 3 x + x − 2)′ = 28 x − 6 x + 1;
в метрах, t — время в секундах. Найдите ускорение материальной точки.
y ′′ = (28 x 3 − 6 x + 1)′ = 84 x 2 − 6.
′
1) υ (t ) = s ′ (t ) = t 2 − 24t + 5 = 2t − 24.
4
2
3
функций
Производная функции y = f ′( x ) называется второй
производной функции y = f ( x ).
Обозначение второй производной:
f ′′( x ).
Исследование
Вторая производная
и её физический смысл
(
)
2) a = υ ′ (t ) = (2t − 24 )′ = 2.
Ответ: 2.
Исследование функций
Производная применяется для исследования функций, построения графиков, нахождения наилучшего результата
в прикладных задачах.
Применение производной
к исследованию функций
Если f ′ ( x ) ≥ 0 на промежутке Х, то функция y
растает на промежутке Х.
f(x) воз-
Если f ′ ( x ) ≤ 0 на промежутке Х, то функция y
f(x) убыва-
ет на промежутке Х.
79
Начала математического анализа
На рисунке изображён график функции y = f ( x ), x ∈(−2; 5).
Определите количество целых точек, в которых производная
положительна.
у
у
y = f(x)
1
1
х
–1
О
–1
y = f(x)
2
х
–1 О
1
3
1
–1
1
1) Если функция возрастает на промежутке, то f ′ ( x ) > 0. Выделим
промежутки возрастания на графике.
2) Всего на выделенных промежутках три целые точки, которые
имеют абсциссы 0, 1 и 4.
Ответ: 3.
На
рисунке
изображён
график
производной
функции
y = f ( x ), x ∈[ −4; 4 ]. Найдите длину наибольшего промежутка, на
котором функция убывает.
у
у
y = f (x)
1
1
–1 О
–1
y = f (x)
х
х
1
–1 О
–1
1
1) Функция убывает, если f ′( x ) < 0, то есть тогда, когда график
производной y = f ′( x ) расположен ниже оси абсцисс.
2) Ниже оси Ох график расположен на одном промежутке, его
длина равна 3.
Ответ: 3.
80
A
Точка
C
B
Значение производной
А
1) –1
В
2) 3
С
3)
D
4) −
x
O
D
1) В точках А и D функция возрастает, значит,
производная в данных точках положительна.
В точках В и С функция убывает, значит,
производная в данных точках отрицательна.
2) ∠1 больше ∠4 ⇒ tg ∠1 больше tg ∠4.
Исследование
y
функций
На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые в точках А, В, С и D. В правом столбце таблицы указаны
значения производной функции в точках А, В, С и D. Пользуясь
графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.
1
y
2
3
1
2
C
3
A
Следовательно, значение производной в точке А больше значения производной в точке D. А соответствует 2) (значение 3), а D
2⎞
⎛
соответствует 3) ⎜ значение ⎟ .
⎝
3⎠
6
B
2
5
x
4
O
D
1
3) ∠6 больше ∠5 ⇒ tg ∠6 больше tg ∠5. Значит, tg ∠6 = 1, tg ∠5 = .
2
1
4) tg ∠2 = − tg ∠6 = −1; tg ∠3 = − tg ∠5 = − . Значит, В соответствует 1)
2
1⎞
⎛
(значение –1), С соответствует 4) ⎜⎝ значение − ⎟⎠.
2
Ответ:
А
В
С
D
2
1
4
3
Если функция y = f ( x ) имеет экстремум
в точке x0, то в этой точке производная
равна нулю или не существует.
у
Если в точке x0 производная меняет свой знак с «+» на
«–», то x0 — точка локального максимума.
Если в точке x0 производная меняет свой знак с «–» на
«+», то x0 — точка локального минимума.
Если в точке x0 производная не меняет свой знак, то
в данной точке экстремума нет.
Точки, в которых производная равна нулю, называют
стационарными точками. Точки, в которых производная
функции равна нулю либо не существует, называются
критическими.
y = f(x)
критичеcкая точка
1
–1
х
О
1
–1
стационарная точка
81
Начала математического анализа
На рисунке изображён график производной функции y
f(x).
Найдите количество точек экстремума; определите, какие из них
являются точками максимума, а какие — точками минимума.
у
1
–1
О
у
y = f (x)
+
х
1
x1
–1
1
–
x 2 –1 О
y = f (x)
+х
+
1
x3
–1
1) В точках x1 и x2 производная меняет свой знак, значит, в данных точках экстремум существует:
а) в x1 производная меняет знак с «+» на «–», значит, x1 — точка
максимума;
б) в x2 производная меняет знак с «–» на «+», значит, x2 — точка
минимума.
2) В точке x3 производная равна нулю, но производная не меняет
свой знак, значит, в данной точке экстремума нет.
Ответ: 2 точки экстремума; x1 — точка максимума, x2 — точка
минимума.
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ y = f ( x )
НА МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ
1
Найти область определения функции y = f ( x ).
2
Найти производную f ′ ( x ).
3 Найти стационарные и критические точки.
4
Отметить стационарные и критические
точки на числовой прямой и определить
знаки производной на получившихся
промежутках.
5
6
Если в стационарной или критической
точке x0 производная меняет свой знак
с «+» на «–», то x0 — точка максимума, если с «–» на «+», то x0 — точка
минимума.
Если на получившемся промежутке Х производная положительна,
то функция на промежутке Х возрастает; если на получившемся
промежутке Х производная отрицательна, то функция на промежутке Х убывает.
82
1) D(y ) = (0; + ∞ ).
+
–
–
+
min
x
x
1
4
0
1
1− 4 x
1
;x= .
− 4 = 0;
4
x
x
Ответ: точек минимума нет.
Исследование
1
2) y ′ = (ln x − 4 x )′ = − 4.
x
max
функций
Найдите точку минимума функции y = ln x − 4 x.
3)
Найдите точку минимума функции y =
x2 + 4
.
x
1) D(y ) = (−∞; 0) ∪ (0; + ∞ ).
–
+
⎞′
⎛ x2 + 4
4 ⎞′
4 x2 − 4
⎛
2) y ′ = ⎜
.
= ⎜ x + ⎟ = 1− 2 =
⎟
x⎠
x
x2
⎝ x ⎠ ⎝
–
+
x
2
0
–2
min
x2 − 4
= 0; x = ±2, x ≠ 0.
x2
Ответ: 2.
3)
(
)
Найдите точку максимума функции y = e6− x x 2 − 5 x − 5 .
1) D(y ) = (−∞; + ∞ ).
(
(
2) y ′ = e6− x x 2 − 5 x − 5
(
)) = (e )′ ( x − 5 x − 5) +
)
′
6− x
2
(
–
max
+
–
7
0
)
′
+ e6− x x 2 − 5 x − 5 = e6− x ⋅ (6 − x )′ x 2 − 5 x − 5 +
(
)
+ e6− x (2 x − 5) = e6− x ⋅ (−1) ⋅ x 2 − 5 x − 5 + e6− x (2 x − 5) =
(
)
3) e
(− x + 7 x ) = 0; e
(
)
(
)
= e6− x − x 2 + 5 x + 5 + e6− x (2 x − 5) = e6− x − x 2 + 5 x + 5 + 2 x − 5 = e6− x − x 2 + 7 x .
6− x
2
6− x
≠ 0, − x 2 + 7 x = 0; − x ( x − 7) = 0; x = 0, x = 7.
4) e6− x > 0 при любых значениях х. Следовательно, знак производной зависит от знака выражения − x 2 + 7 x.
Ответ: 7.
83
x
Начала математического анализа
НАХОЖДЕНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ
НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ y = f ( x ) НА ОТРЕЗКЕ [ a; b ]
1
Если необходимо найти наибольшее
(наименьшее) значение функции на
отрезке, а единственная стационарная
или критическая точка, принадлежащая
отрезку [ a; b ], является точкой максимума (минимума), то наибольшее
(наименьшее) значение функции на
отрезке будет достигаться в точке
максимума (минимума).
2
Найти производную f ′ ( x ).
Найти стационарные и критические точки
функции, среди этих точек отобрать те, которые принадлежат отрезку [ a; b ].
Вычислить значения функции в точках, отобранных на втором
шаге, и на концах отрезка (f ( a) и f (b )). Выбрать среди получи-
3
вшихся значений функции наибольшее и наименьшее. Обозначение: yнаиб ( yнаим ).
На рисунке изображён график производной функции
y = f ( x ), определённой на отрезке [ −4; 4 ]. В какой точке
данного отрезка функция y = f ( x ) принимает наибольшее
значение?
1) Производная функции на промежутке [ −4; 3) положительна, значит, функция на данном промежутке возрастает.
2) Производная функции на промежутке (3; 4 ] отрицательна, значит, функция на данном промежутке убывает.
3) Производная в точке x = 3 равна нулю и меняет в этой
точке свой знак с «+» на «–». Значит, x 3 — точка максимума.
4) Точка максимума — единственная точка экстремума на
заданном отрезке, значит, наибольшего значения функция
достигает в этой точке.
Ответ: 3.
у
y = f (x)
1
–1
х
О 1
–1
у
y = f (x)
1
–1
+
– х
О 1
–1
Найдите наименьшее значение функции y = ( x − 12) x + 9 + 5
на отрезке
[ −8; 7].
(
) (
)
′
′
1) y ′ = ( x − 12) x + 9 + 5 = ( x − 12) x + 9 + 0 = ( x − 12)′ x + 9 + ( x − 12)
= x + 9 + ( x − 12) ⋅
2)
3x + 6
2 x +9
1
2 x +9
⋅ ( x + 9)′ = x + 9 + ( x − 12) ⋅
1
2 x +9
=
Ответ: −14 7 + 5.
84
2 x + 18 + x − 12
2 x +9
= 0; x = −2, x ≠ −9; −2 ∈[ −8; 7].
3) xmin = −2 ⇒ yнаим = y (−2) = (−2 − 12) −2 + 9 + 5 = −14 7 + 5.
( x + 9 )′ =
–
–8
=
3x + 6
2 x +9
min
–2
.
+
x
7
функций
Построение графиков функций
с помощью производной
у
x = 4 — вертикальная асимптота
Асимптотами графика функции y = f ( x ) называются
прямые, к которым график функции при удалении
в бесконечность неограниченно приближается, но
не пересекает их.
Условие горизонтальной асимптоты y = b:
если x → ∞, то y → b.
Условие вертикальной асимптоты x = a:
если x → a, то y → ∞.
Признак
вертикальной
асимптоты:
если
p(x )
f (x ) =
и при x = a знаменатель обращается
g (x )
в нуль, а числитель отличен от нуля, то x = a
является вертикальной асимптотой.
1
–1
О
1
–1
Исследование
АСИМПТОТЫ
х
у = 3 — горизонтальная асимптота
СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
1
2
Исследовать функцию на чётность.
3
4
Исследовать функцию на периодичность.
Найти нули функции.
Мои
5
6
Найти область определения.
заметки
Найти точки максимума и минимума.
Найти промежутки
функции.
7
возрастания
и
убывания
Найти асимптоты графика функции.
85
Начала математического анализа
2x + 3
.
x −1
2 x − 2 + 5 2 ( x − 1) + 5
5
.
y=
=
=2+
x −1
x −1
x −1
5 ⎤
⎡
→ 2, знаа) Если x → ∞, то y ⎢2 +
x − 1⎥⎦
⎣
чит, y = 2 — горизонтальная асимптота.
Рассмотрим функцию y =
x → 1, то знаменатель стре⎡2x + 3 ⎤
мится к нулю, а y ⎢
⎥ → ∞, зна⎣ x −1 ⎦
чит, x 1 — вертикальная асимптота.
б) Если
Можно построить рассуждение иначе:
x = 1 знаменатель обращается
при
в нуль, а числитель равен 5. Значит,
x 1 — вертикальная асимптота.
4
2
Постройте график функции y = − x + 2 x + 8.
1) D ( y ) = (−∞; + ∞ ).
у
у
4
2
2) f (− x ) = − (− x ) + 2 (− x ) + 8 = − x + 2 x +
4
2
2
2x +
8
)
′
2
x4 +
(
4
у=–
+ 8 = f ( x ).
Функция является чётной, её график
симметричен
относительно
оси
Оу.
Значит,
можно
построить
график
функции при x ≥ 0 и отобразить его
симметрично относительно оси Оу.
3) Функция не является периодической.
4
2
4
2
4) − x + 2 x + 8 = 0; x − 2 x − 8 = 0; x = 2
и x = −2. Нули функции: x = 2 и x = −2.
1
х
О 1
–1
–1
–1
5) а) y ′ = − x + 2 x + 8 = −4 x + 4 x;
(
О 1
–1
3
1
х
)
−4 x 3 + 4 x = 0; − 4 x x 2 − 1 = 0; x = 0,
x = −1, x = 1.
xmax = −1; xmax = 1; xmin = 0.
min
max
–
+
max
+
–
x
1
0
–1
6) Функция возрастает на промежутках
x: (−∞; − 1] и [0; 1]; убывает при
при
б) Найдём значения функции в точках
максимума и минимума:
4
2
f (−1) = − (−1) + 2 ⋅ (−1) + 8 = −1+ 2 + 8 = 9;
f (1) = 9;
f (0) = −02 + 2 ⋅ 02 + 8 = 8.
Получили точки:
86
(−1; 9), (1; 9), (0; 8).
x: [ −1; 0] и [1; + ∞ ).
7) а) Функция определена на всём
множестве
действительных
чисел,
значит, график функции вертикальных
асимптот не имеет.
б)
Если
x → ∞,
то
(− x + 2 x + 8) → ∞.
4
2
Значит, график функции не имеет горизонтальных асимптот.
8) По графику можно определить, что
наибольшее значение функции равно 9,
наименьшего значения нет.
Исследование
функций
использование производной
для нахождения наилучшего
решения в прикладных
задачах
Проанализировав условие задачи, выделим величину, наибольшее значение которой необходимо найти, и обозначим
её как у (зависимую переменную).
1
2
Одну из неизвестных величин обозначим как х (независимую
переменную) и определим её границы с учётом условий задачи. Допустим, что независимая переменная х определена на
множестве Х.
Выразим зависимость одной величины (у) от другой (х)
и получим функцию y = f ( x ), определённую на множестве Х.
3
4
Исследуем полученную функцию y = f ( x ) с помощью
производной.
Площадь прямоугольника равна 36. Найдите размеры
угольника, если известно, что его периметр наименьший.
1) Если х — длина, тогда
прямо-
?
36
— ширина.
x
36
72
= 2 x + , x > 0.
x
x
2
2 x 2 − 36
72 2 x − 72
= 0, x = 6,
3) P ′ ( x ) = 2 − 2 =
, x > 0;
x2
x
x2
т. к. x > 0.
2) P ( x ) = 2 ⋅ x + 2 ⋅
(
x
)
6 — точка минимума, значит, периметр будет
–
0
min
+
6
наименьшим, когда длина равна 6.
Ответ: 6 × 6 .
87
x
Начала математического анализа
Фирма решила поставить в офисе аквариум, имеющий форму
прямоугольного параллелепипеда, высотой 1 м, объём которого
равен 9000 л. При каких размерах дна на изготовление аквариума
уйдёт наименьшее количество материала?
1) Задача сводится к нахождению наименьшей площади поверхности аквариума, обозначим данную площадь как S.
2) 9000 л = 9000 дм3 = 9 м3 .
3) Sдна = 9:1 = 9 (м2 ).
4) Дно аквариума имеет форму прямоугольника.
Примем одну из его сторон за х, тогда смежная
9
, x > 0.
сторона равна
x
х
9
9 9
18
х
5) S = x + x + 9 + + , S =
+ 2 x + 9 при x > 0.
x x
x
1
1
18
⎛ 18
⎞′
6) S = ⎜ + 2 x + 9 ⎟ = − 2 + 2;
⎝ x
⎠
x
18
18
− 2 + 2 = 0, − 2 = −2, x 2 = 9, x = ±3, с учётом условия, что x > 0,
x
x
получаем x = 3.
x = 3 — точка минимума, больше точек экстремума на промежут18
+ 2 x + 9 прике (0; + ∞ ) нет, значит, в этой точке функция S =
x
нимает наименьшее значение. Одна из
min
сторон прямоугольника, представляющего дно
–
аквариума, должна быть равна 3 м.
0
1
1
х
+
x
3
7) Найдём вторую сторону прямоугольника:
9
= 3 (м).
3
Получается, что на аквариум уйдёт наименьшее количество материала, если дно аквариума будет иметь форму квадрата со стороной 3 м.
Ответ: 3 × 3 м.
Первообразная и интеграл
y
F(x)
Первообразная элементарных
функций
Функцию y
F(x) называют первообразной для функции
y f(x) на заданном промежутке Х, если для любого x X
выполняется равенство F c(x) f(x).
88
f(x)
Первообразная y
F(x)
С, где С — число
х
x r +1
r +1
x r , где r ≠ −1
1
x
sin x
cos x
ln x
–cos x
sin x
1
–ctg x
sin2 x
1
tg x
cos2 x
ex
ex
ax
ln a
a x ( a > 0, a ≠ 1)
ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ
Первообразная суммы равна сумме первообразных.
1
3
9y = x + x ;
F (x ) =
x 1+1 x 3+1 1 2 1 4
+
= x + x .
1+ 1 3 + 1 2
4
Мои примеры
Если F ( x ) — первообразная для f ( x ), то kF ( x ) —
2
3
первообразная для kf ( x ).
sin x
;
9y =
3
1
1
F ( x ) = (− cos x ) = − cos x.
3
3
Если y = F ( x ) — первообразная для функции y = f ( x ), то первооб1
разной для функции y = f (kx + b ) служит функция y = F (kx + b ).
k
9y = 5 x − 1;
1
5x −1 2 ;
y = 5x −1 = (
)
1
1 (5 x − 1)2
F (x ) = ⋅
1
5
+1
2
+1
3
3
1 (5 x − 1)2 2
= ⋅
=
5 x − 1)2 .
(
3
5
15
2
89
Первообразная и интеграл
Функция y
0
1
Начала математического анализа
На рисунке изображён график первообразной
y = F ( x ) некоторой функции y = f ( x ). Пользуясь
рисунком,
определите
количество
нулей
y
=
f
(
x
)
функции
.
у
х
O
1) f ( x ) = F ′( x ), то есть необходимо определить,
когда производная функции y = F ( x ) равна
нулю.
2) Производная функции равна нулю в точке
с абсциссой x 0 тогда, когда через данную
точку можно провести касательную к графику
функции, параллельную оси абсцисс.
Таких касательных можно провести три.
Ответ: 3.
Прямая, изображённая на рисунке, является одной из первообразных функции y = f ( x ). Найдите f (1).
1) F ′( x ) = f ( x ), то есть необходимо найти значение производной в точке 1.
2) Графиком функции y = F ( x ) является прямая.
Общий вид прямой: y = kx + b, y ′ = k , то есть
необходимо найти угловой коэффициент прямой
(тангенс угла наклона): tg α = 3: 4 = 0,75 ⇒ tg β =
= −0,75.
Ответ: –0,75.
F(x)
у
F(x)
х
O
у
y = F(x)
1
–1
О
–1
х
1
у
y = F(x)
1
3
О
х
1 D
E
4
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Если функция y = f ( x ) имеет на Х первообразную
Обозначение неопределённого интеграла:
y = F ( x ), то множество всех первообразных вида
y = F ( x ) + C называют неопределённым интегралом
от функции y = f ( x ).
∫ f (x )dx.
∫ dx = x + C
r
∫ x dx =
x r +1
+ C (r ≠ −1)
r +1
dx
∫ x = ln x + C
90
∫ sin xdx = − cos x + C
∫ cos xdx = sin x + C
dx
∫ sin2 x = − ctg x + C
dx
∫ cos2 x = tg x + C
∫ e dx = e + C
x
x
∫ a dx =
x
ax
+ C ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций.
x2
− cos x − x + C.
9∫ ( x + sin x − 1) dx = ∫ xdx + ∫ sin xdx − ∫ dx =
2
1
2
3
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
3x2
x2
+C =
+ C.
9∫ 3 xdx = 3∫ xdx = 3 ⋅
2
2
Если ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C, то ∫ (f (kx + b ) dx ) =
9∫ e
3 x −5
dx =
Первообразная и интеграл
ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
∫ f (x ) dx
1
3
e 3 x −5 + C =
F (kx + x )
k
+ C.
3e 3 x −5
+ C.
3
Примеры применения интеграла
в физике и геометрии
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ В ГЕОМЕТРИИ
у
Рассмотрим фигуру, ограниченную прямыми x = a, x = b,
y = f ( x ),
и
графиком
непрерывной
функции
y =0
f ( x ) ≥ 0 на [ a; b ]. Такую фигуру называют криволинейной
трапецией, а отрезок [ a; b ] — её основанием.
Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
О
y = f(x)
a
b
b
S = ∫ f ( x ) dx,
a
где f ( x ) — подынтегральная функция, a и b — пределы
интегрирования.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
Вычислите определённый интеграл.
3
а) ∫ x 2 dx =
1
π
4
1
2
x 3 3 33 13
− =9− =8 ;
1 =
3
3 3
3
3
б) ∫ cos xdx = sin x
π
6
π
4 = sin π − sin π =
π
4
6
6
2 1
2 −1
− =
.
2 2
2
Формула Ньютона — Лейбница:
b
∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b) − F (a).
b
a
91
х
Начала математического анализа
2
⎛ 2x3
⎞2
⎛ 2 ⋅ 23
⎞
∫ (2 x − 1) dx = ⎜⎝ 3 − x ⎟⎠ 1 = ⎜⎝ 3 − 2 ⎟⎠ −
2
1
3
⎛ 2 ⋅1
⎞ ⎛ 16
⎞ ⎛2 ⎞
−⎜
− 1⎟ = ⎜ − 2 ⎟ − ⎜ − 1⎟ =
⎝
⎠ ⎝3 ⎠
3
3
⎝
⎠
1 ⎛ 1⎞
2
= 3 − ⎜− ⎟ = 3 .
3 ⎝ 3⎠
3
Правила интегрирования для неопределённых интегралов выполняются и для определённых интегралов,
но к ним добавляются ещё два:
b
a
a
b
1. ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx.
2. Если a < c < b , то
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx.
Геометрический смысл определённого интеграла:
b
S = ∫ f ( x ) dx.
a
На рисунке изображён график некоторой функции y = f ( x ). Одна
1
из первообразных этой функции равна F ( x ) = x 3 − x 2 + 2 x − 5.
3
Найдите площадь закрашенной фигуры.
f(x)
1
1
1
(−1)3 − (−1)2 + 2 ⋅ (−1) − 5 = − − 1− 2 − 5 = −8 .
3
3
3
1
8
1
2) F (2) = 23 − 22 + 2 ⋅ 2 − 5 = − 4 + 4 − 5 = −2 .
3
3
3
1) F (−1) =
1 ⎛ 1⎞
3) S = F (b ) − F ( a) = F (2) − F (−1) = −2 − ⎜ −8 ⎟ = 6.
3 ⎝ 3⎠
Ответ: 6.
На
y
х
–1
2
O
y
рисунке изображён график некоторой функции
f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определённый
f(x)
3
−1
интеграл
∫ f ( x )dx.
−8
х
8
1) S = ∫ f ( x )d ( x ), где S — площадь трапеции
–8
–1
–5
−1
0
y
с основаниями 4 и 7 и высотой, равной 3.
7+4
2) S =
⋅ 3 = 16,5.
2
f(x)
3
Ответ: 16,5.
х
–8
92
–5
–1
0
y
F(x)
−1
те определённый интеграл
Первообразная и интеграл
На рисунке изображён график первообразной
функции y F(x). Пользуясь графиком, вычисли-
3
∫ f ( x )dx.
−8
S = F (b ) − F ( a) = F (−1) − F (−8) = 3 − 0 = 3.
х
Ответ: 3.
–8
0
–1
–5
m — ?
Пусть m — масса неоднородного стержня плотностью ρ(x):
b
m = ∫ ρ ( x ) dx — физический смысл интеграла.
a
9Вычислите массу стержня, если ρ ( x ) = 2 x + 1, a = 0, b = 2.
2
⎛ 2x2
⎞
m = ∫ (2 x + 1) dx = ⎜
+ x ⎟ 20 = x 2 + x
⎝ 2
⎠
0
(
) = 4 + 2 − 0 = 6.
2
0
Ответ: 6.
Точка движется по прямой со скоростью X
ток времени t от a до b, тогда
X(t) за промежу-
b
S = ∫ υ (t ) dt — физический смысл интеграла.
a
9Тело движется прямолинейно со скоростью υ (t ) = 3t + 4t − 1.
Вычислите путь, пройденный телом за 4 с с момента начала
движения.
2
4
(
)
(
S = ∫ 3t 2 + 4t − 1 dt = t 3 + 2t 2 − t
0
) = 92.
4
0
Ответ: 92.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
y = 4 − x 2 и прямой y = 2 − x .
2
((
)
)
2
(
)
S = ∫ 4 − x 2 − (2 − x ) dx = ∫ 4 − x 2 − 2 + x dx =
−1
−1
у
y =2 – x
y = 4– x2
2
⎛
8
x3 x2 ⎞ 2 ⎛
⎞
= ∫ 2 − x 2 + x dx = ⎜ 2 x −
+
−1 = ⎜ 4 − + 2 ⎟ −
⎟
⎝
⎠
3
2 ⎠
3
⎝
−1
(
)
1 1⎞
1 1
⎛
− ⎜ −2 + + ⎟ = 3 + 1 = 4,5.
⎝
3 2⎠
3 6
1
–1
О
х
1
–1
Ответ: 4,5.
93
ГЕ ОМЕТ РИЯ
Планиметрия
Треугольник
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
По двум сторонам и углу
между ними
По стороне и прилежащим
к ней углам
По трём сторонам
Сумма углов в треугольнике равна 180q.
Свойства равнобедренного треугольника
Треугольник называется равнобедренным, если две его
стороны равны.
10. В равнобедренном треугольнике углы при основании
равны.
20. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
B
A
C
94
D
Треугольник называется равносторонним, если у него все
стороны равны. В равностороннем треугольнике каждый
угол равен 60q.
∠BCD — внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то есть ∠BCD = ∠A + ∠B.
ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке
и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке,
точка их пересечения является центром вписанной в треугольник окружности.
Серединные перпендикуляры в треугольнике пересекаются в одной точке, данная точка является центром
окружности, описанной около треугольника.
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются
в одной точке.
N
Планиметрия
В
R
О
8
6
А
M
С
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других
сторон.
Треугольника со сторонами 3;
5; 10 не существует, т. к.
3 + 5 < 10.
Свойства прямоугольного треугольника
10. Сумма острых углов прямоугольного треугольника
равна 90q.
20. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против
угла величиной 30q, равен половине гипотенузы.
30. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то он лежит против угла 30q.
Мои
заметки
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
По двум катетам
По катету и прилежащему
острому углу
По гипотенузе и острому
углу
По катету и гипотенузе
95
Геометрия
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
c
a
c2 = a2 + b2
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов его катетов.
Обратное утверждение: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то
треугольник является прямоугольным.
b
На клетчатой бумаге с размером клетки
1×1 отмечены точки А и В. Найдите расстояние между точками.
A
A
1) Построим по клеткам прямоугольный
треугольник АВС.
2) AB2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52, AB = 52 = 2 13.
6
Ответ: 2 13.
B
4
B
C
Теорема синусов
E
a
a
b
c
=
=
= 2R, где R — радиус описанной окружности.
sin γ sin α sin β
9В треугольнике АВС ∠A = 45°, ∠B = 120°, ВС
Найдите АС.
По теореме синусов:
p2 = m2 + n2 − 2mn cos α
m
n
96
J
B
5
120q
45q
A
C
9В треугольнике АВС угол В равен 120°, стороны АВ
и СВ равны соответственно 4 и 6. Найдите сторону АС.
По теореме косинусов:
⎛ 1⎞
− 48 ⋅ ⎜ − ⎟ = 52 + 24 = 76;
⎝ 2⎠
AC = 2 19.
p
c
AC 2 = 42 + 62 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ cos120° = 16 + 36 −
D
b
5.
3
5⋅
5
5 ⋅ sin120°
AC
2 = 5 3 = 5 6.
=
; AC =
=
sin120° sin45°
sin45°
2
2
2
2
5 6
.
Ответ:
2
Теорема косинусов
D
Ответ: 2 19.
B
4
120q
6
A
C
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя
линия треугольника параллельна третьей стороне и равна
половине этой стороны.
Планиметрия
R
T
V
E
W
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
TW — средняя линия;
1
TW ||VR, TW = RV
2
Два треугольника называются подобными, если их углы
соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
N
P
Обозначение подобия:
+MNF +PES.
E
S
M
Сходственными
равных углов.
называются
стороны,
лежащие
По определению: ∠M = ∠P, ∠N = ∠E , ∠F = ∠S,
=
F
напротив
Отношение площадей подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
NF MF
=
=
ES PS
MN
= k, где k — коэффициент подобия.
EP
N
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
P
E
По двум углам
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
9∠M = ∠P, ∠N = ∠E ⇒ +MNF +PES.
S
M
F
X
По двум сторонам и углу между ними
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие
треугольники подобны.
YQ YX
=
, ∠Y = ∠R ⇒ +YXQ +RTK .
9
KR TR
T
R
Y
Q
B
По трём сторонам
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
AB BC AC
=
=
⇒ + ABC +DUT .
9
DU TU DT
K
T
D
A
U
C
97
Геометрия
На рисунке HR
Найдите QR.
18, PQ
6, TQ
H
5, ∠TPQ = ∠THR.
+TPQ +THR (∠P = ∠H, ∠T — общий) ⇒
HR TR
=
,
PQ TQ
P
18 TR
18 ⋅ 5
, TR =
=
= 15 ⇒ QR = 15 − 5 = 10.
6
5
6
Ответ: 10.
18
6
T
5
Q
R
Параллелограмм,
прямоугольник, ромб, квадрат
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В выпуклом четырёхугольнике
углов равна 360q.
сумма
9
Свойства параллелограмма
7
7
10. В параллелограмме противоположные стороны
и противоположные углы равны.
20. Диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам.
9
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Сумма трёх углов параллелограмма равна 280°. Найдите все углы
параллелограмма.
1
Если в четырёхугольнике две стороны равны
и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
3
2
4
1
2
1) ∠1 = 360° − 280° = 80°.
Если в четырёхугольнике противоположные
стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
2) ∠3 = ∠1 = 80° — противоположные
углы.
3) ∠2 = ∠4 = (280° − 80°) :2 = 100° —
противоположные углы.
Ответ: 80°, 100°, 80°, 100°.
98
3
Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются
и точкой пересечения делятся пополам, то этот
четырёхугольник — параллелограмм.
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого
все углы прямые.
Особое cвойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.
Признак прямоугольника: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
5
Планиметрия
ПРЯМОУГОЛЬНИК
5
5
5
40q 40q
РОМБ
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Особое cвойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
50q
50q
50q
50q
40q 40q
КВАДРАТ
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.
Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две
стороны параллельны (основания), а две другие стороны
не параллельны (боковые стороны).
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании
равны, диагонали равны.
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции
параллельна основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
B
R
A
Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция
AD − BC
.
2
R — середина АС, F — середина BD
RF =
F
C
B
C
N
M
BC + AD
MN =
2
A
D
D
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями ВС и AD. Из
вершины В проведена высота ВН, равная 5. Найдите среднюю
линию трапеции, если верхнее основание ВС равно 8 и ∠A = 45°.
1) + ABH — прямоугольный, ∠A = 45° ⇒ ∠ABH = 45° ⇒
⇒+ ABH — равнобедренный. Следовательно, AH = 5.
2) Опустим высоту СК.
3) + ABH = ΔDCK (∠A = ∠D, AB = CD ) ⇒ KD = AH = 5.
4) HBCK — прямоугольник, значит, HK = 8.
B
8
C
5
A
45q
H
K
D
5) AD = 5 + 5 + 8 = 18.
18 + 8
= 13 — средняя линия трапеции.
2
Ответ: 13.
6)
99
Геометрия
Окружность и круг
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном
расстоянии (r) от данной точки (центра O).
r
O
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку
касания.
Отрезки касательных, проведённые из
одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности.
a
r
O
N
A
M
NA — хорда, MN = MA,
∠NMO = ∠AMO
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ
Не имеют общих точек
a
Имеют одну общую точку
Имеют две общие точки
a
a
O
O
а — касательная
а — секущая
O
x ⋅ y = z ⋅t
х
t
z
Уравнение окружности:
( x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2,
где (x0; y0) — координаты центра окружности, r — радиус окружности.
у
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение
отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой
хорды.
Вписанная и описанная
окружности
Если все стороны многоугольника касаются окружности,
то окружность называется вписанной в многоугольник,
а многоугольник — описанным около окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, центром
её будет точка пересечения биссектрис треугольника.
100
12
3
Планиметрия
Не в любой четырёхугольник можно вписать окружность.
Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то
окружность называется описанной около многоугольника,
а многоугольник — вписанным в эту окружность.
Около любого треугольника можно описать окружность,
центром её является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.
Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то
его гипотенуза является диаметром окружности, а медиана,
проведённая из вершины прямого угла, является радиусом.
Не любой четырёхугольник можно вписать в окружность.
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна
180q, то его можно вписать в окружность.
2
11
120q
95q
85q
О
60q
Многоугольник. Сумма углов
выпуклого многоугольника
Многоугольник
Замкнутая ломаная называется многоугольником, её звенья — сторонами многоугольника, вершины — вершинами
многоугольника, а длина ломаной называется периметром
многоугольника.
Многоугольник, у которого n вершин и n сторон, называется n-угольником.
Ломаная
Лом
ана
Сумма углов выпуклого
угольника:
(n − 2) ⋅180°.
Выпуклый многоугольник
Невыпуклый многоугольник
Правильные многоугольники
Правильным многоугольником называется выпуклый
многоугольник, у которого все стороны и углы равны.
Около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность, в любой правильный многоугольник можно вписать единственную
окружность, центры таких окружностей совпадают; эта
точка называется центром правильного многоугольника.
я
много-
Найдите сумму углов выпуклого
пятиугольника.
(5 − 2) ⋅180° = 3 ⋅180° = 540°.
Ответ: 540°.
Угол правильного n-угольника:
n−2
αn =
⋅180°.
n
101
Геометрия
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
r
Найдите градусную меру угла правильного шестиугольника.
R
R
α6 =
О
6−2
⋅180° = 4 ⋅ 30° = 120°.
6
Ответ: 120°.
Прямые и плоскости
в пространстве
а
A
B
C
Прямые в пространстве
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
a
T
b
D
Пересекающиеся прямые (лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку).
Обозначение: a ∩ b = T
a
Параллельные прямые (лежат в одной плоскости и не пересекаются).
b
D
Обозначение: a|| b
c
Перпендикулярные
угол 90q).
b
D
прямые
(образуют
a
Обозначение: a ⊥ b, a ⊥ c
Скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости).
b
Признак скрещивающихся прямых
D
а
a, b — скрещивающиеся прямые
102
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту
плоскость в точке, не лежащей на первой
прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися, а могут быть и скрещивающимися.
Параллельность прямой
и плоскости
Обозначение плоскостей:
одной греческой буквой: D (альфа), β (бета), γ (гамма) и т. д.;
B
A
C
тремя латинскими буквами: (АВС).
D
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТИ
Прямая и плоскость параллельны (не имеют
общих точек).
a
D
Обозначение: a||α
Прямая лежит в плоскости (все точки прямой принадлежат плоскости).
a
D
Прямая пересекает плоскость (прямая и плоскость имеют одну общую точку).
Обозначение: a ⊂ α ( a ∈α )
b
T
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
D
Обозначение: b ∩ α = T
a
a||b, a ⊄ α, b ⊂ α ⇒ a||α
b
D
103
Прямые и плоскости в пространстве
Расположение перпендикулярных прямых
Геометрия
a
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТИ
b
D
10. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной
прямой.
E
a
a ⊂ β, a||α, β ∩ α = b ⇒ a||b
Если одна из двух параллельных прямых параллельна
данной плоскости, то другая прямая либо параллельна
данной плоскости, либо принадлежит ей.
20.
b
D
a||b, a||α ⇒ b||α или b ⊂ α
a
Параллельность плоскостей
D
b
Признак параллельности двух плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым
другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
a
D
E
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Обозначение: α ∩ β = a
Пересекающиеся плоскости (имеют
одну общую прямую).
Параллельные плоскости (не имеют общих точек).
D
E
a
D
Обозначение: α ||β
E
b
J
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
D
B
A
α||β, α ∩ γ = a, β ∩ γ = b ⇒ a||b
D
E
10. Если две параллельные плоскости пересечены третьей,
то линии их пересечения параллельны.
C
20. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.
AC ||BD, α||β, A ∈α, B ∈α, C ∈β,
J
104
D ∈β ⇒ AC = BD
Перпендикулярность прямой
и плоскости
c
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если
она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
A
d
b
D
a ⊥ α ⇒ a ⊥ c, a ⊥ b, a ⊥ d, где c ⊂ α, b ⊂ α, d ⊂ α
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим
в этой плоскости.
СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
10. Если одна из параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и вторая
прямая перпендикулярна этой же плоскости.
a||b, a ⊥ α ⇒ b ⊥ α
а
b
D
20. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
a ⊥ α, b ⊥ α ⇒ a||b
Теорема о перпендикулярности
прямой к плоскости
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только
одна.
B
A
C
D
A
ВС — перпендикуляр, ВА — наклонная, АС — проекция наклонной, С — основание перпендикуляра, А — основание наклонной
D
а
105
Прямые и плоскости в пространстве
а
B
Геометрия
Теорема о трёх перпендикулярах
Прямая, проведённая к плоскости через основание
наклонной перпендикулярно её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.
C
A
D
Обратная теорема о трёх перпендикулярах
B
Прямая, проведённая к плоскости через основание наклонной
перпендикулярно
к
ней,
перпендикулярна
и к её проекции на эту плоскость.
C
A
D
Перпендикулярность
плоскостей
Две пересекающиеся плоскости называются
лярными, если угол между ними равен 90q.
перпендику-
Признак перпендикулярности плоскостей
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
a ⊂ β, a ⊥ α ⇒ β ⊥ α
a
D
СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ
ПЛОСКОСТЕЙ
E
10. Плоскость, перпендикулярная прямой, по
которой пересекаются две данные плоскости,
перпендикулярна каждой из них.
γ ⊥ a, α ∩ β = a ⇒ γ ⊥ α, γ ⊥ β
J
E
a
D
a
D
b
E
106
20. Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая
перпендикулярна другой плоскости.
a ⊂ α, α ∩ β = b, a ⊥ b ⇒ a ⊥ β
Многогранником называют поверхность, составленную из
нескольких многоугольников и ограничивающую некоторое
геометрическое тело.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен
по одну сторону от плоскости каждой его грани. В противном случае он называется невыпуклым.
Многогранники
Многогранники
Выпуклый многогранник
В выпуклом многограннике сумма всех
плоских углов при каждой его вершине
меньше 360°.
Невыпуклый многогранник
Многоугольники, из которых состоит многогранник, называют гранями многогранника; стороны
граней — рёбрами многогранника; вершины граней — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной
грани, называют диагоналями многогранника. Видимые рёбра чертят сплошной линией, невидимые — пунктирной.
диагонали
вершины
грани
Призма
Призма — это многогранник, состоящий из двух
равных n-угольников, расположенных в параллельных плоскостях (основания призмы), и n параллелограммов (боковые грани призмы).
Призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основанию, называется прямой.
Призма называется правильной, если она является прямой
и в основании лежит правильный многоугольник.
Боковыми гранями правильной призмы являются равные
прямоугольники.
рёбра
E1
C1
F1
B1
A1
Чтобы найти площадь боковой поверхности призмы,
необходимо найти сумму площадей её боковых граней.
Площадью полной поверхности призмы называется
сумма площадей всех её граней.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна
произведению периметра основания на высоту.
D1
D
E
F
C
A
B
107
Геометрия
Основанием прямой призмы является прямоугольный
треугольник с катетами 3 и 4, высота призмы равна 6. Найдите площадь боковой поверхности.
1) ΔABC — прямоугольный, по теореме Пифагора:
A1
C1
B1
6
AC = 32 + 42 = 25 = 5.
2) Sбок. пов = Pосн ⋅ h = (3 + 4 + 5) ⋅ 6 = 12 ⋅ 6 = 72.
A
Ответ: 72.
C
4
3
B
Основанием прямой призмы является ромб с диагоналями 12
и 16. Найдите площадь полной поверхности призмы, если боковое ребро равно 11.
1) ABCD — ромб ⇒ AC ⊥ BD, AO = 8, OB = 6.
2) + AOB
—
прямоугольный,
по
теореме
Пифагора:
C1
D1
A1
B1
AB = 82 + 62 = 100 = 10.
3) Sбок. пов = P ⋅ h = 4 AB ⋅ h = 40 ⋅11 = 440.
4) Sосн =
AC ⋅ DB 12 ⋅16
=
= 12 ⋅ 8 = 96.
2
2
5) Sполн. пов = 440 + 96 ⋅ 2 = 632.
C
D
8
A
Ответ: 632.
О
6
B
Параллелепипед. Куб.
Симметрия
Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.
D1
C1
10. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
20. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной
точке и делятся этой точкой пополам.
B1
A1
O
C
D
A
B
108
Свойства параллелепипеда
Многогранники
Свойства прямоугольного параллелепипеда
h
10. В прямоугольном параллелепипеде гранями являются прямоугольники.
20. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда равны по 90q.
30. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда
равен сумме квадратов трёх его измерений:
d
b
a
d 2 = a2 + b2 + h2.
Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого
все грани — квадраты. Куб обладает всеми свойствами параллелепипеда.
О — центр симметрии куба (точка пересечения диагоналей куба).
Куб имеет шесть осей симметрии, проходящих через
середины боковых рёбер, не принадлежащих одной
грани.
Куб имеет три оси симметрии, проходящие через
середины противоположных граней куба. Серединой
грани куба является точка пересечения диагоналей
грани.
Куб имеет три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных рёбер.
O
O
O
O
Куб имеет шесть плоскостей симметрии, проходящих через противолежащие рёбра.
Центр симметрии параллелепипеда — это
точка пересечения его диагоналей.
Если все три измерения параллелепипеда разные, то он имеет три плоскости симметрии, которые проходят через центры граней.
Прямоугольный параллелепипед имеет три оси
симметрии, проходящие через точки пересечения
диагоналей противолежащих граней.
109
Геометрия
Пирамида
Пирамидой
называется
многогранник,
состоящий
n-угольника (основания пирамиды) и n треугольников.
вершина
S
Sполн. пов = Sосн + Sбок. пов
из
боковая грань
h
A6
A5
A4
A1
высота
основание
A2
A3
боковое ребро
Площадью боковой поверхности пирамиды называется
сумма площадей её боковых граней.
Пирамида является правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется
в центр основания.
В основании пирамиды SB1B2 B3 B4 B5 B6
лежит правильный шестиугольник. Но
данная пирамида не будет являться
правильной, т. к. её вершина не проецируется в центр основания, а совпадает с одной из её боковых сторон.
S
h
B5
B6
B4
B1
B3
B2
Боковые рёбра правильной пирамиды равны. Боковыми
гранями правильной пирамиды являются равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной
пирамиды называется апофемой.
S
Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды:
1
Sбок. пов = Pосн ⋅ l ,
2
где l — апофема.
апофема
h
l
M6
M1
T
R
M5
O
M4
r
M2
110
M3
S
10
SH = 102 − 62 = 8.
1
2) Sполн. пов = Sбок. пов + Sосн = 4 ⋅ Sбок. грани + 122 = 4 ⋅ ⋅12 ⋅ 8 + 144 =
2
= 192 + 144 = 336.
Ответ: 336.
C
D
6
6
A
H
B
Правильная треугольная пирамида — это пирамида,
в основании которой лежит правильный треугольник, а боковыми гранями являются равные равнобедренные треугольники.
Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, у которой все грани — равные равносторонние треугольники.
Возьмём произвольную пирамиду и проведём секущую плоскость, параллельную основанию.
Секущая плоскость разобьёт пирамиду на два многогранника — пирамиду и усечённую пирамиду.
верхнее основание
B1
A6
B 6 B5
B2
B4
нижнее основание
B3
A5
Площадь боковой поверхности правильной усечённой
пирамиды:
1
Sбок. пов = (P1 + P2 ) l,
2
где P1, P2 — периметры оснований, I — апофема.
A1
A4
боковое ребро
A2
A3
боковая грань
Мои
высота
заметки
Боковыми гранями усечённой пирамиды являются трапеции.
Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды.
Сечения
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, которые образуют многоугольник. Полученный многоугольник называют сечением многогранника.
111
Многогранники
Дана правильная четырёхугольная пирамида, стороны основания которой равны 12, а боковые рёбра — 10. Найдите
площадь поверхности пирамиды.
1) +SCH
—
прямоугольный,
по
теореме
Пифагора:
Геометрия
Постройте
сечение
тетраэдра
скостью,
содержащей
данные
(рис. а).
плоточки
3) MN и АВ принадлежат плоскости
ASB, продолжим MN и АВ до пересечения (точка Е) (рис. в).
4) Е и Т принадлежат плоскости АСВ,
соединим эти точки (рис. г).
5) ET BC = R (рис. г).
6) NMTR — искомое сечение (рис. д).
1) M и N принадлежат грани ASB, соединим эти точки отрезком (рис. б).
2) M и T принадлежат грани ASС, соединим эти точки отрезком (рис. б).
S
S
S
а)
б)
M
T
C
A
г)
M
M
T
N
T
N
B
д)
M
M
C A
A
T
C
A
N
N
B
B
B
1) Т и Е принадлежат грани SBC, соединим эти точки (рис. б).
2) Продолжим ТЕ и ВС до пересечения
(точка Y) (рис. в).
3) Точки Y и K принадлежат плоскости
основания, соединим эти точки (рис. г).
YK AB = X , YK ∩ AD = I.
в)
S
б)
E
C
K
A
S
B
E
г)
C
I
K
T
B
A
B
S
е)
S
I
A
D
R
S
E
E
X
112
Y
T
B
I
A
R
X
Y
T
B
H
D
C
K
Y
з)
E
C
K
T
B
X
H
D
C
D
K
A
Y
ж)
E
S
E
D
T
A
B
д)
C
K
C
R
E
D
T
N
R
S
E
D
A
4) Точки Х и Т принадлежат грани ASB,
соединим эти точки (рис. д).
5) Продолжим YI и CD до пересечения
(точка R) (рис. е).
6) R и E принадлежат плоскости грани
SDC, соединим эти точки (рис. ж).
RE SD = H.
7) I и H принадлежат плоскости грани
SAD, соединим эти точки (рис. з). Пятиугольник XTEHI — искомое сечение.
Постройте сечение пирамиды плоскостью,
содержащей данные точки (рис. а).
S
T
C
E
E
а)
S
S
в)
I
A
D
C
R
K
X
Y
T
B
I
A
C
K
X
Y
T
B
4) Точки Q и N принадлежат одной
грани
ABB1A1, соединим эти точки
(рис. д).
5) Продлим MQ и D1D до пересечения,
получим точку R (рис. е).
6) R и Т принадлежат плоскости грани
DCC1D1. RT DC = I (рис. ж).
7) I и M принадлежат плоскости грани
ABCD, соединим эти точки (рис. з). Пятиугольник MITNQ — искомое сечение.
1) Т и N принадлежат грани куба
A1B1C1D1, соединим эти точки (рис. б).
2) Продлим TN и D1A1 до пересечения
(точка Е) (рис. в).
3) Точки Е и М принадлежат плоскости
грани DAA1D1, соединим эти точки.
ME AA1 = Q (рис. г).
C1
T
C
C
B
D
A
M
C1
N
E
A1
N
E
N
D1
E
D1
D
A
M
R
д)
D
A
M
Постройте сечение треугольной призмы
плоскостью, содержащей данные точки
(рис. а).
1) Точки М и N принадлежат одной грани ABB1A1, соединим эти точки (рис. б).
2) Продлим MN и AA1 до пересечения,
получим точку R (рис. б).
B1
C1
B1
C1
N
Q
A1
а)
A
B1
C1
R
з)
B1
C1
N
N
Q
A1
A1
B
B
M
C
F
в)
б)
A
M
3) Точки R и Q принадлежат плоскости
грани
AA1C1C,
соединим
эти
точки.
RQ CA = F (рис. в).
4) Точки F и M принадлежат грани АВС,
соединим эти точки отрезком (рис. г).
5) Точки Q и N принадлежат одной грани CC1B1B, соединим эти точки (рис. г).
6) Четырёхугольник FMNQ — искомое сечение (рис. г).
C
M
B
R
B
C
A
D
ж)
Q
B
C
A
M
N
A1
Q
Q
C
I
R
е)
E
A1
B
I
D
N
Q
C
B
B1
T
A1
Q
C
B
C1
B1
T
A1
Q
A
M
г)
C1
B1
T
D1
D
B
в)
C1
B1
Q
C
A
E
A1
B
M
б)
T
C
D
N
D1
C
A
B1
T
E
A1
B
M
а)
D1
N
D1
A1
C1
B1
T
N
D1
A1
C1
B1
T
N
D1
D
C1
B1
A
M
F
A
г)
R
R
113
M
Многогранники
Постройте сечение куба плоскостью, содержащей данные точки (рис. а).
Геометрия
Секущая плоскость пересекает параллельные грани
по параллельным отрезкам. Секущая плоскость не
может пересечь одну грань по двум отрезкам. Если
многогранник содержит n граней, то в сечении может получиться как треугольник, так и n-угольник.
(n 1)-угольник получиться не может.
У параллелепипеда шесть граней.
В сечении может получиться треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник.
Правильные многогранники
Выпуклый многогранник называется правильным в том
случае, если все его грани — правильные многоугольники
и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.
Существует пять правильных многогранников — правильные
тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб (гексаэдр) и додекаэдр.
Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники,
семиугольники, восьмиугольники
и т. д.
Правильный тетраэдр составлен из
четырёх правильных треугольников,
в каждой вершине сходится по три
ребра.
Правильный октаэдр составлен из
восьми правильных треугольников,
в каждой вершине сходится по четыре ребра.
Правильный додекаэдр составлен
из двенадцати правильных пятиугольников, в каждой вершине сходится по три ребра.
Правильный икосаэдр составлен
из двадцати правильных треугольников, в каждой вершине сходится по
пять рёбер.
Куб (гексаэдр) составлен из шести
квадратов, в каждой вершине сходится по три ребра.
б
114
Тела и поверхности вращения
Тела и поверхности
вращения
Цилиндр
Цилиндром называется тело, которое состоит из двух равных
кругов (оснований цилиндра), размещённых в параллельных
плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие
точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие
точки окружностей кругов, называют образующими цилиндра. Боковая поверхность цилиндра составлена из образующих.
Прямой цилиндр
O1
R
осевое сечение
Наклонный цилиндр
основание цилиндра
O1
O
O1
ось цилиндра
R
радиус цилиндра
образующая
Площадь осевого сечения прямого цилиндра:
O
O
Sосев. сеч = 2R ⋅ l ,
где I — образующая, R — радиус основания.
основание цилиндра
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называют осевым сечением. Расстояние между основаниями цилиндра называют высотой цилиндра. В прямом
цилиндре длина образующей равна высоте цилиндра.
Призма называется вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра и её боковые рёбра являются образующими цилиндра.
Призма называется описанной около цилиндра, если её основания описаны около оснований цилиндра и боковые грани
касаются боковой поверхности цилиндра.
Вписанная призма
Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого цилиндра, мысленно разрежем боковую поверхность по
образующей и развернём её. В результате получим прямоугольник, изображённый на чертеже.
S бок. пов = 2SRI
O1
l — образующая
O
C = 2SR — длина основания
Описанная призма
115
Геометрия
Конус
Конусом называется тело, составленное из круга (основания конуса), точки (вершины конуса), не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину
с точками круга. Отрезок, соединяющий вершину конуса
и точку окружности основания, называется образующей
конуса.
Наклонный конус
Прямой конус
S
S
вершина конуса
Пирамида, вписанная в конус
S
высота конуса
образующая конуса
высота конуса
S
основание конуса
радиус основания (радиус конуса)
Пирамида, описанная около конуса
Пирамида называется вписанной в конус, если её основанием является вписанный в основание конуса многоугольник и вершина совпадает с вершиной конуса.
Пирамида называется описанной около конуса, если её
основанием является описанный около основания конуса
многоугольник и вершина совпадает с вершиной конуса.
Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого конуса, мысленно
разрежем боковую поверхность по
образующей и развернём её. В результате получим сектор круга, изображённый на чертеже.
Боковая поверхность
D
I — образующая
L — длина дуги
Площадь осевого сечения прямого конуса:
Sосев. сеч = R ⋅ h ,
где h — высота, R — радиус основания.
ось конуса
S
Площадь боковой поверхности прямого конуса:
Sбок. пов = πrl ,
где r — радиус основания, I — образующая.
Площадь боковой поверхности прямого конуса:
осевое сечение конуса
Sбок. пов =
πl 2
α.
360
Площадь полной поверхности конуса:
Sполн. пов = πr 2 + πrl = πr (l + r ).
O
116
Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, параллельную основанию. Секущая плоскость разобьёт конус на два тела — конус и усечённый конус.
Тела и поверхности вращения
УСЕЧЁННЫЙ КОНУС
Боковая поверхность
длина окружности верхнего основания
Площадь боковой поверхности усечённого конуса:
образующая
Sбок. пов = π (r1 + r ) l ,
где I — образующая, r1 и r — радиусы оснований.
S
длина окружности нижнего основания
основание конуса
r1 O
1
радиусы оснований
высота
образующая
Мои
заметки
боковая поверхность
O
r
основание конуса
Шар, сфера и их сечения
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек
пространства, расположенных на определённом расстоянии
(радиус сферы) от данной точки (центр сферы). Часть
пространства, ограниченного сферой, называется шаром.
R
O
Уравнение сферы:
( x − x0 )2 + (y − y0 )2 + ( z − z0 )2 = R2 ,
где
( x0; y0; z0 ) — координаты центра сферы, R — её радиус.
В шар вписан цилиндр, радиус основания которого равен 6,
а образующая равна 5. Найдите радиус сферы.
1) Радиус основания равен 6, значит, диаметр основания — 12.
2) + ABC — прямоугольный, значит, по теореме Пифагора:
B
BC = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 13.
3) Диаметр шара равен 13, следовательно, радиус шара равен 6,5.
Ответ: 6,5.
A
5
12
C
117
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ СФЕРЫ
И ПЛОСКОСТИ
Геометрия
O
OH > R
Сфера и плоскость не имеют общих точек.
H
E
Сфера и плоскость имеют одну общую точку.
Радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.
OH = R
O
Сфера и плоскость пересекаются по окружности.
H
E
E — касательная плоскость
Площадь сферы:
OH < R
Sсферы = 4 πR2 .
O
H
E
Сечением шара является круг, сечением
сферы — окружность. Поверхность шара
называется сферой.
E — секущая плоскость
Многогранник называется описанным около сферы, если
сфера касается всех его граней. Сфера в этом случае называется вписанной в многогранник.
Многогранник называется вписанным в сферу, если все
вершины многогранника лежат на сфере. Сфера в этом
случае называется описанной около многогранника.
Шар вписан в куб. Найдите площадь поверхности шара,
делённую на S, если ребро куба равно 6.
1) Ребро куба равно диаметру шара, значит, радиус
шара равен 3.
Площадь сферы равна 90. Её
радиус уменьшили в два раза.
Чему будет равна площадь новой сферы?
2
1) Sсферы = 4 πR . Если радиус уменьшили в два раза, то R2 уменьшится
в четыре раза
2) 90 : 4 = 22,5
сферы.
Ответ: 22,5.
(22 = 4).
—
118
площадь
новой
2) Sсферы = 4 πR2 = 4 π ⋅ 32 = 36π.
3)
Sсферы
= 36.
π
Ответ: 36.
Угол
Измерения геометрических фигур
Измерения геометрических
фигур
а)
Угол — это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. Угол может быть:
острый (рис. а);
тупой (рис. б);
прямой (рис. в);
развёрнутый (рис. г).
Углы измеряются в градусах и радианах. Инструмент измерения углов называется транспортиром.
A
E
б)
F
T
h
г)
U
Смежные углы
в)
m
1° =
1
развёрнутого угла
180
2
1
1 + 2 = 180q
1
1′ =
градуса — одна минута
60
1′′ =
с
би
1
минуты — одна секунда
60
1
3
4
1 = 2 — вертикальные углы
2
3 = 4 — вертикальные углы
a||b, с — секущая
Накрест лежащие углы
c
a
c
a
4
3
b 3
3 = 4
1 = 2
a
1
4
2
c
a
1
b
Односторонние углы
c
b
2
b
2 + 4 = 180q
1 + 3 = 180q
Соответственные углы
c
c
a
a
a
1
1 = 5
c
c
8
a
4
b
5
7
3
b
6
4 = 6
b
3 = 7
b
а
ис
тр
к
се
2
2 = 8
119
Геометрия
Угол называется вписанным, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность; он равен половине дуги,
на которую опирается (рис. а).
Угол называется центральным, если его вершиной является центр
окружности, а стороны пересекают окружность; он равен дуге, на
которую опирается (рис. б).
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым
(рис. в).
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны (рис. г).
B
x
О
y
О
N
C
A
2x
а)
О
M
y
б)
в)
г)
Углы в пространстве
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
b
E
a
D
Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости
и при пересечении образуют четыре угла.
Углом между двумя пересекающимися прямыми считается
угол, величина которого не превышает 90q (на чертеже —
угол E).
Угол между двумя параллельными прямыми считается равным 0q.
Чтобы найти угол между двумя скрещивающимися прямыми с и d,
необходимо взять произвольно точку К на прямой d и через неё
провести прямую m, параллельную прямой с. E — это искомый
угол между прямыми с и d:
0° < β ≤ 90°.
d
c
d
E
c
120
m
K
E1
F1
A1
2) CT1 & AB1 ⇒ α — искомый угол.
2
—
прямоугольный,
по
теореме
D
E
Пифагора:
F
C
2
CT1 = 1 + 1 = 2.
A
4) В основании правильной призмы лежит правильный шестиугольник, все углы которого равны
по 120q. +EDC — равнобедренный, DH — высота, медиана и биссектриса.
2
теореме
Пифагора:
3
⎛ 1⎞
HC = 12 − ⎜ ⎟ =
,
2
2
⎝ ⎠
B
D1
E1
S
T1
F1
C1
B1
5) +DHC — прямоугольный, HD — катет, лежа1
щий против угла в 30q, значит, DH = .
2
По
C1
B1
1) Построим в плоскости (FCC1 ) квадрат CTT1C1, он будет
равен боковым граням призмы.
3) +CTT1
D1
A1
D
D
E
F
T
C
A
B
1
E
EC = 3.
6) +E1EC — прямоугольный, по теореме Пифагора: E1C
= EC 2 + EE12 =
H
( 3 ) + 1 = 2.
2
60q 1
30q
F
2
7) E1D1 & C1T1 ⇒ ∠D1 = ∠SC1T1, ∠D1E1T1 = ∠ST1C1
щие углы).
D
(накрест
C
лежаA
B
1
8) +E1D1S = +T1C1S (E1D1 = C1T1, ∠D1 = ∠SC1T1, ∠D1E1S = ∠C1T1S) ⇒ D1S = SC1 = .
2
9) Из +E1D1S по теореме косинусов:
E1
E1S = E1D12 + D1S2 − 2E1D1 ⋅ D1S ⋅ cos ∠D1 =
1
1
5 ⎛ 1⎞
5 2
7
= 1+ − 2 ⋅1⋅ ⋅ cos120° =
− −
=
+ =
.
4
2
4 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
4 4
2
1
D1
S
F1
C1
10) E1T1 = 7.
1
11) Из 'E1T1C по теореме косинусов:
E1T12 = E1C 2 + CT12 − 2E1C ⋅ CT1 ⋅ cos α,
A1
B1
( 7 ) = 2 + ( 2 ) − 2 ⋅ 2 ⋅ 2 cos α, 7 = 6 − 4 2 cos α, −4 2 cos α = 1, cos α = − 4 12 = − 82 .
2
2
2
12) cos α < 0 ⇒ α — тупой угол. Принято считать, что угол между
прямыми не больше 90q. Рассмотрим смежный с углом D угол E.
2
2
, β = arccos
.
8
8
2
.
Ответ: β = arccos
8
cos β =
121
T1
Измерения геометрических фигур
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все рёбра которой равны 1. Найдите угол между прямыми
AB1 и CE1.
Геометрия
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
d
A
E
O
D
A1
E — угол между плоскостью D
и прямой d
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями
(грани двугранного угла) с общей границей (ребро двугранного угла).
E
грани
B
a
D
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей данную прямую и не перпендикулярной к ней, называется
угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между
ними — 90q.
Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними
равен 0q.
Возьмём на ребре двугранного угла произвольную точку А.
Из точки А в каждой грани построим лучи, перпендикулярные ребру а (лучи АВ и АС). ∠BAC называют линейным
углом двугранного угла.
A
C
ребро
D
b
E
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром. Углом между пересекающимися
плоскостями считается угол, величина которого не превышает 90q.
Угол между двумя перпендикулярными плоскостями равен 90q.
Угол между двумя параллельными плоскостями равен 0q.
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Найдите угол между плоскостями АВС и AD1B1.
D1
1) + AB1D1 — равнобедренный, АО — высота и медиана.
2) + A1B1D1 — равнобедренный, A1O — высота и медиана.
3) ∠A1OA — линейный угол двугранного угла.
4) +D1A1B1
—
прямоугольный,
по
теореме
Пифагора:
A1
D1B1 = A1D12 + A1B12 = 12 + 12 = 2. Диагонали квадрата равны, зна-
A
2
.
чит, A1O =
2
AA1
1
1⋅ 2
2
5) + AA1O — прямоугольный, tg α =
=
=
=
= 2.
A1O
2
2
2
⋅2
2
2
α = arctg 2.
Ответ: arctg 2.
122
C1
B1
C
D
B
D1
C1
O
A1
D
B1
C
D
A
B
Измерения геометрических фигур
длина отрезка, ломаной,
окружности, периметр
многоугольника
Чтобы измерить отрезок, необходимо выбрать единицу измерения и выразить его длину некоторым положительным
числом.
Ломаной называется фигура, составленная из последовательных отрезков, которые называют звеньями ломаной.
Сумму длин всех звеньев называют длиной ломаной.
A4
Основные единицы измерения длины
1 см = 10 мм
1 дм = 10 см = 100 мм
1 м = 100 см
1 км = 1000 м
A2
A1
A5
A6
A3
Длина окружности:
l = 2πR .
Длина дуги окружности:
πR
l=
⋅α .
180
О
R
D
A2
A3
Периметром многоугольника
всех сторон многоугольника:
называется
сумма
An
A1
P = A1A2 + A2 A3 + ... + An−1An.
A n–1
Длина одной клетки равна 1. Найдите длину окружности, ум13
и полученное число запишите в ответ.
ножьте её на
π
1) Необходимо мысленно пройтись по всей длине окружности и найти точку окружности, которая лежит в уголке клетки. Это точка А.
2) Соединим точки О и А, получим радиус окружности, который необходимо найти.
3) +OAB — прямоугольный, AB = 3, OB = 2. По теореме ПиA
фагора: R = 32 + 22 = 13.
4) l = 2π ⋅ 13 = 2 13π.
5) 2 13π ⋅
Ответ: 26.
13
= 26.
π
R
O
3
2
123
B
Геометрия
Расстояние
А
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
Длину перпендикуляра, опущенного из точки А на
прямую а, называют расстоянием от точки А до
прямой а.
а
Н
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
N
Расстоянием от точки N до плоскости D, не проходящей через данную точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из точки N на эту плоскость.
H
На чертеже NH — расстояние от N до плоскости α.
D
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ
Чтобы найти расстояние между параллельными прямыми,
необходимо найти расстояние от произвольной точки одной
из параллельных прямых до другой прямой.
На чертеже расстояние между прямыми а и b равно длине перпендикуляра АН.
a
A
a
b
H
РАССТОЯНИЕ ОТ ПРЯМОЙ
ДО ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ЕЙ ПЛОСКОСТИ
A
Чтобы найти расстояние от прямой до параллельной ей
плоскости, необходимо отметить на прямой произвольную
точку и найти расстояние от точки до плоскости, опустив
из этой точки на плоскость перпендикуляр.
H
D
На чертеже AH — расстояние от прямой а до плоскости α.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b,
необходимо:
1) провести через прямую b плоскость D: a α;
2) найти расстояние от прямой а до плоскости, опустив из произвольной точки прямой а перпендикуляр на данную плоскость.
На чертеже АН — расстояние от прямой а до плоскоb
сти α , а значит, является расстоянием между данныD
ми скрещивающимися прямыми.
124
a
A
H
Чтобы найти расстояние между параллельными плоскостями D и E, необходимо:
1) отметить на одной из параллельных плоскостей
точку А;
2) найти расстояние от точки А до другой плоскости.
Измерения геометрических фигур
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ
ПЛОСКОСТЯМИ
A
D
H
E
На чертеже AH — искомое расстояние.
Площади
S+ =
b
Формула Герона
1
ab
2
S+ = p ( p − a)( p − b )( p − c )
b
c
a
a+ b+c
p=
2
a
a
b
D
S+ =
a
a
h
1
S+ = ah
2
S+ =
c
b
P = a+ b+c
r
S = ah
h
1
Pr
2
S=
1
dd
2 1 2
d1
a
a
S = ab
a
d2
D
d
b
S=
S = a2
a
a
b
R
S+ =
c
a
h
a
d 2 sin α
2
b
a
1
ab sin α
2
S=
a+ b
h
2
abc
4R
b
O
a
a
S = m⋅h
m
Sкруга = πR2
R
h
b
S=
d
1 2
d
2
b
S = ab sin α
D
O
R
D
R
Sсектора =
a
125
πR2
⋅α
360°
Геометрия
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого
треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные
углы.
Отношение площадей подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия.
объёмы
a
Объём прямоугольного параллелепипеда:
h
V = a ⋅ b ⋅ h;
V = Sосн ⋅ h.
a
S осн
a
b
3
Vкуба = a
S осн
a
h
S
Vпирамиды =
1
S ⋅h
3 осн
Vпризмы = Sосн ⋅ h
h
h
h
S осн
S осн
R
S осн
O
S
Vконуса =
h
1
S ⋅h
3 осн
Vцилиндра = Sосн ⋅ h
S
Vшара =
S1
4 3
πR
3
h
Vусеч. пирамиды =
1
h S + S1 + S ⋅ S1
3
(
Vусеч. конуса =
126
)
1
h S + S1 + S ⋅ S1
3
(
h
)
S1
r
R
Vшар. сектора =
2 2
πR h
3
Координаты
и
векторы
Координаты и векторы
Координаты
На координатной прямой точка
с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.
Координатная прямая — это прямая с выбранным положительным направлением, началом отсчёта и единичным отрезком.
z
A
–3
O
–2
–1
B
x
C
0
1
y
2
x
Обозначение: A (−2,5), B (0,5), C (2).
Формула расстояния между двумя точками А(а) и В(b):
B(b)
AB = a − b .
x
А(a)
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
у
у
начало отсчёта
I
II
1
–1 О
E(–2; 1)
х
1
–4
–1
III
IV
2
1
–3 –2 –1 О
–1
K(–4; –2)
ось абсцисс
A(2; 3)
3
ось ординат
х
B(1; 0)
1
3
2
D(0; –1,5)
–2
–3
C(3; –3)
127
Геометрия
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
z
ось аппликат
Оси координат: Ох, Оу, Oz.
Координатные плоскости: Оху, Oxz, Oyz.
1
Система координат: Oxyz.
M ( x1; y1; z1 ), где x1 — абсцисса точки, y1 — ордината точки,
z
1
1
z1 — аппликата точки.
z
y
O
ось ординат
x
ось абсцисс
U(–4; –4; 4)
z
F(2; –3; 5)
M(4; 3,5; 5)
O
1
y
O
1 1
1
1
y
y
1 O1
1 1
T(4; 3,5; 0)
x
N(6; 0; 0)
x
x
P(3; 3; –3)
z
Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Введите систему
координат и запишите координаты всех точек.
D1 1
1) Точка D — начало координат, значит, D (0; 0; 0).
2) Точка А лежит на оси абсцисс, значит, её ордината (y) и аппликата (z) равны нулю: A (1; 0; 0).
3) Точка С принадлежит оси ординат, значит, её
абсцисса и аппликата равны нулю: C (0; 1; 0).
4) Точка В принадлежит плоскости Oxy, значит, её
аппликата равна нулю: B(1; 1; 0).
A1
C1
B1
C
D
0
x
A
1
1
B
5) Зная координаты точек A, B, C, D, несложно записать координаты точек A1, B1, C1, D1 : A (1; 0; 0) — A1 (1; 0; 1);
B (1; 1; 0) — B1 (1; 1; 1); C (0; 1; 0) — C1 (0; 1; 1); D (0; 0; 0) — D1 (0; 0; 1).
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ
Формула расстояния между точками А и В:
AB =
128
( x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + ( z2 − z1)2 .
А(x1; y1; z1)
B(x2; y2; z2)
y
z
и
S
N
M
10
B
C
O
M1
2
2
фагора: SO = 10 − 8 = 6.
8
A
а)
y
9
8
2) + AOS — прямоугольный, по теореме Пи- D
Координаты
1) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны
и
делятся
точкой
О
пополам:
DO = OB = 9, AO = OC = 8.
векторы
Дана четырёхугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит ромб, BD 18 см, АС 16 см.
Высота ромба падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите расстояние между точками M
и N, если М принадлежит боковому ребру SD
и делит его в отношении 2 : 1, считая от вершины
пирамиды, точка N делит высоту пирамиды пополам, боковое ребро SC равно 10 см.
x
C
3) +DMM1 +DSO (по двум углам);
1
1
DM 1
= ⇒ MM1 = OS = 2; DM1 = DO = 3 ⇒ M1O = 6.
3
3
DS 3
4) Введём прямоугольную систему координат
(рис. а).
Получим:
M1 (0; − 6; 0) ⇒
N (0; 0; 3);
k=
y
B
D
M1
O
⇒ M (0; − 6; 2).
5) MN =
Ответ:
(0 − 0)2 + (0 − (−6)) + (3 − 2)2 = 36 + 1 = 37.
2
б)
A
37.
x
Понятие вектора
Вектором называется направленный отрезок.
JJJG
G
Любая точка обозначает нулевой вектор: AA или 0.
N
a
A
M
Обозначение векторов:
JJJJG
с помощью двух прописных латинских букв: MN , где
M — начало вектора, N — конец вектора;
G
с помощью строчной латинской буквы: a.
JJJJG
Длиной вектора (модулем вектора) MN называется длиJJJJG
на отрезка MN. Обозначение: MN .
JJJG G
Длина нулевого вектора равна нулю: AA = 0 = 0.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если
они расположены на одной прямой или на параллельных
G JG G G G JJG
прямых. Обозначение: a & b, a & c, a & m.
Два ненулевых вектора называются сонаправленными,
если они являются коллинеарными и их направления соG
JG G
JJG
впадают. Обозначение: a ↑↑ b, a ↑↑ m.
b
m
a
c
129
Геометрия
Два ненулевых вектора называются противоположно
направленными, если они являются коллинеарными, но
G
G
их направления противоположны. Обозначение: a ↑↓ c.
Два вектора называются равными, если они сонаправG JJG
G
JJG
G JJG
лены и длины их равны: a = m, т. к. a ↑↑ m и a = m .
Нулевой вектор сонаправлен
с любым ненулевым вектором.
СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Векторы при сложении откладывают друг за
другом, а вектор суммы направлен из начаG
G
ла вектора a в конец вектора b.
a
a
b
a + b
b
a
a + b
b
Все векторы исходят из одной точки.
a
b
СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ,
ЛЕЖАЩИХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ
Правило многоугольника
a
a+b+c+d+e+f
b
a
f
a +b
b
с
d
e
ВЫЧИТАНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
a
b
–b
–b
a –b
a
–b
a –b
b
a
a –b
a
JG
G JG
Векторы b и a − b идут друг за друG
гом, а вектор a идёт им навстречу,
то есть является суммой векторов
JG G JG G
b+ a− b = a .
( ( ) )
130
Необходимо рассмотреть вектор, противоJG
положный вектору b, и сложить векторы
G
JG
a и − b по правилу треугольника или по
правилу параллелограмма.
векторы
a
2a
и
G
Произведением ненулевого вектора a на число k наG
JG
зывается такой вектор b, длина которого равна k ⋅ a ,
G
JG
причём векторы a и b сонаправлены при k ≥ 0
и противоположно направлены при k < 0.
Координаты
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
–0,5a
Свойства векторов
G JG JG G
10 . a + b = b + a (переместительный закон).
G JG G G JG G
20 . a + b + c = a + b + c (сочетательный закон).
G
G
30 . (kl ) a = k la (сочетательный закон).
G
G G
40 . (k + l ) a = k a + la (распределительный закон).
G JG
G
JG
50 . k a + b = k a + k b (распределительный закон).
(
)
(
( )
(
)
)
JJG
JG
Выполните сложение и вычитание векторов m и n несколькими способами.
n
m
m
–n
n
–n
m+n
m
n
m
m+n
m–n
m
m –n
m
m –n
n
Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам
На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
G
JG
G
c = k b + ma
ma
a
b
–b
a
kb
с
с
Любой вектор на плоскости можно разложить по координатным векторам, коэффициенты разложения определяются
единственным образом. Коэффициенты разложения вектора
по координатным векторам называются координатами векJJJG
JJJG
тора. Обозначение: OA {3; 4}, NM {0; 2}.
y
A
3i + 4j
M
1
j
0i + 2j
O
N x
i 1
G G
i, j — координатные векторы.
G
G
G
i = 1, j = 1, вектор i направлен
вдоль оси абсцисс в положительG
ном направлении, а вектор j —
вдоль оси ординат в положительном направлении
131
d
Геометрия
m
m
d
T
n
D
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной точки они будут расположены в одной
плоскости.
Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Любой вектор в пространстве можно разложить по координатным векторам, коэффициенты разложения определяются
единственным образом. Коэффициенты разложения вектора
по координатным векторам называются координатами векJJJG
тора. Обозначение: OB { x1; y1; z1}.
n
z
B
k
y
j
i
Разложение вектора по трём
некомпланарным векторам.
Координаты вектора
JG
JJG
a { x1; y1; z1}, b { x 2 ; y 2 ; z2 }, k — число
O
x
G G JG
i, j, k — координатные векторы.
G G JG
G
i = j = k = 1, вектор
i направлен
вдоль оси абсцисс в положительном
G
направлении, вектор j — вдоль оси
ординат в положительном направлении,
JG
вектор k — вдоль оси аппликат в положительном направлении.
G G G JG G JG
i ⊥ j, j ⊥ k , i ⊥ k
b
Каждая координата суммы двух и более векторов равна
сумме соответствующих координат этих векторов.
G JG
a + b { x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 }
Каждая координата разности двух и более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
G JG
a − b { x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z2 }
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора
на это число.
G
k a {kx1; ky1; kz1}
Правило параллелепипеда
c
JG G JG G
d = a+ b+c
Сумма трёх некомпланарных векторов равна вектору, изображаемому направленной диагональю
параллелепипеда, построенному на этих векторах.
a
D1
C1
A1
B1
x = 2 ⋅1+ 3 ⋅ 0 − (−2) = 2 + 0 + 2 = 4;
y = 2 ⋅ (−2) + 3 ⋅ (−1) − 4 = −4 − 3 − 4 = −11;
d
c
C
D
b
A
B
a
132
G G
G
G
q = 2a + 3b − c,
Найдите координаты вектора
G
JG
G
a {1; − 2; 5}, b {0; − 1; 2}, c {−2; 4; − 1}.
z = 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 − (−1) = 10 + 6 + 1 = 17.
JG
Ответ: q {4; − 11; 17}.
если
JJJG
AB =
( x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 + ( z2 − z1)2
B(x2; y2; z2)
векторы
{
}
и
A(x1; y1; z1)
JJJG
AB { x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1}
JJJG
Найдите координаты вектора CD и его
длину, если C (1; 3; − 2) и D ( −3; 1; − 1).
JJJG
JJJG
CD −3 − 1; 1− 3; − 1− ( −2) , CD {−4; − 2; 1}.
JJJG
2
2
CD = ( −4 ) + ( −2) + 12 = 16 + 4 + 1 = 21.
JJJG
JJJG
Ответ: CD {−4; − 2; 1}; CD = 21.
Координаты
СВЯЗЬ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ
ВЕКТОРОВ И КООРДИНАТАМИ ТОЧЕК.
ДЛИНА ВЕКТОРА
G
G
Если a { x 0 ; y 0 ; z0 }, то a = x 02 + y 02 + z02 — длина вектора.
КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
A(x1; y1; z1)
x +x
y +y
z +z
x c = 1 2 ; y c = 1 2 ; zc = 1 2 .
2
2
2
M(xc ; yc ; zc )
Скалярное произведение
векторов
B(x2; y2; z2)
b
D
Отложим от произвольной точки А векторы, равные вектоG
JG
G
JG
рам c и b. ∠BAC назовём углом между векторами c и b.
Если два вектора являются сонаправленными, то угол между ними равен 0q, если они перпендикулярны, то угол равен 90q. Если векторы противоположно направлены, то угол
между ними равен 180q.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Косинус угла между векторами:
cos α =
x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2 + z1 ⋅ z2
x12 + y12 + z12 ⋅ x22 + y22 + z22
.
B
с
b
A
с
C
GG G G
GmG
ab = a ⋅ b cos ⎛ ab ⎞
⎝ ⎠
G
G
Если a { x1; y1; z1}, b { x2 ; y2 ; z2 },
G JG
то ab = x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2 + z1 ⋅ z2.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на этой прямой или
параллелен ей.
Косинус угла между прямыми:
cos α =
a
c
a
D
b
b
b
x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2 + z1 ⋅ z2
,
x12 + y12 + z12 ⋅ x22 + y22 + z22
G
JG
где a { x1; y1; z1} и b { x2 ; y2 ; z2 } —
направляющие векторы прямых а
и b.
133
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Геометрия
a
n E
Da
Уравнение плоскости: ax + by + cz + d = 0.
Вектор, перпендикулярный к плоскости (нормаль):
G
n {a; b; c}.
G
a { x1; y1; z1} — направляющий вектор прямой а.
J
Синус угла между прямой и плоскостью:
cos β = cos (90° − α ) = sin α
sin α =
x1 ⋅ a + y1 ⋅ b + z1 ⋅ c
x12 + y12 + z12 ⋅ a2 + b2 + c2
Дана правильная треугольная пирамида SABC. Ребро основания равно 6, боковое ребро — 5. Найдите угол между плоскостью ASC и прямой BS.
.
z
S
1) AH ⊥ BC.
2) Введём систему координат с началом в точке H (0; 0; 0),
вдоль прямой HA направим ось абсцисс, вдоль прямой
HC — ось ординат, через точку Н параллельно высоте —
ось аппликат.
3) Пирамида правильная, значит, О — центр правильного
треугольника.
4) + AHC
—
прямоугольный,
по
теореме
Пифагора:
2
2
2
2
AH = AC − HC = 6 − 3 = 27 = 3 3.
H
B
C y
O
x
A
y
H
C
B
O
5) AO : OH = 2:1 ⇒ OH = 3.
6) +SHC — прямоугольный, по теореме Пифагора:
SH = SC 2 − HC 2 = 52 − 32 = 4.
7) +SOH — прямоугольный, по теореме Пифагора:
2
2
2
SO = SH − OH = 4 −
( 3 ) = 13.
2
A
x
8) Составим уравнение плоскости, проходящей через точки
(
)
A 3 3; 0; 0 , C (0; 3; 0), S
(
⎧3 3a + d = 0,
⎪
3; 0; 13 : ⎨3b + d = 0,
⎪
⎩ 3a + 13c + d = 0.
)
⎧d = − 3,
⎧d = − 3,
⎪
⎪
⎧d = − 3,
⎪a = 1 ,
⎪a = 1 ,
⎪
⎪
⎪
3
3
⎪3 3a = 3,
⎪
⎪
Пусть d = − 3, тогда ⎨
⎨
⎨
3
3
,
,
⎪3b = 3,
⎪b =
⎪b =
3
3
⎪
⎪
⎪
⎩ 3a + 13c = 3; ⎪ 3
⎪
2 39
.
+ 13c = 3; ⎪c =
⎪
39
⎩ 3
⎩
134
>>>
векторы
>>>
JG ⎪⎧ 1
1
3
2 39
3 2 39 ⎪⎫
x+
y+
z − 3 = 0; n ⎨ ;
;
⎬.
3
3
39
39 ⎪⎭
⎪⎩ 3 3
JJJG
9) B (0; − 3; 0), S 3; 0; 13 , BS 3; 3; 13 .
( ASC ) :
10) sin α =
=
}
и
{
)
1
3
2 39
3 ⋅ + 3⋅
+ 13 ⋅
3
3
39
2
2
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 39 ⎞
⎜⎝ ⎟⎠ + ⎜
⎟ +⎜
⎟ ⋅
3
⎝ 3 ⎠ ⎝ 39 ⎠
2 3
4 4
+
⋅ 25
9 39
Ответ: arcsin
=
2 3
64
⋅5
3 ⋅13
=
2
=
( 3 ) + 3 + ( 13 )
2
2
2
2 3
1 3 4
+ +
⋅ 3 + 9 + 13
9 9 39
Координаты
(
=
2 3
3 ⋅ 13 ⋅ 2 3 3 39
3 39
=
=
; α = arcsin
.
8
40
20
20
⋅5
3 ⋅ 13
3 39
.
20
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Косинус угла между плоскостями:
cos α =
x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2 + z1 ⋅ z2
x12 + y12 + z12 ⋅ x22 + y22 + z22
.
J
E
ABCDA1B1C1D1.
Дана
правильная
четырёхугольная
призма
На ребре AA1 взята точка Т так, что A1T : TA = 1:2, на ребре
CC1 — точка М, делящая это ребро пополам. Найдите угол
между плоскостями ВТМ и ACD1, если боковое ребро призмы
равно 6, а ребро основания — 4.
1) Введём систему координат с началом в точке D, вдоль
ребра DA направим ось абсцисс, вдоль ребра DC — ось ординат, через ребро DD1 — ось аппликат.
2) Найдём нормаль к плоскости ВТМ. T (4; 0; 4 ), B (4; 4; 0),
M (0; 4; 3) :
⎧d = −4,
⎧d = −4,
⎪ a + c = 1,
⎪
⎧ 4 a + 4 c + d = 0, ⎪4 a + 4c = 4, ⎪
⎨
⎨ a + b = 1,
⎪
⎨4 a + 4 b + d = 0, ⎪4 a + 4 b = 4, ⎪
⎪ 4 b + 3c + d = 0; ⎪4 b + 3c = 4; ⎪b + 3 c = 1;
⎩
⎩
⎩
4
D
G
G
n ⊥ γ , n { x1; y1; z1}
JJG
JJG
m ⊥ β , m { x2 ; y2 ; z2 }
z
⎧d = −4,
⎪b = c,
⎪
⎨7
⎪ 4 b = 1,
⎪
⎩ a + c = 1;
3
A1
B1
2
M
T
3
y
4
D
C
4
A
x
⎧d = −4,
⎪
3
⎪b + c = 1,
4
⎨
⎪b − c = 0,
⎪
⎩ a + c = 1;
C1
D1
4
B
⎧d = −4,
⎪
4
⎪b = ,
7
⎪⎪
JG ⎧ 3 4 4 ⎫
⎨
4 ⇒ n ⎨ ; ; ⎬.
⎩7 7 7⎭
⎪c = 7 ,
⎪
⎪a = 3
>>>
⎪⎩
7
135
>>>
Геометрия
3) Найдём нормаль к плоскости ACD1.
⎧ 4 a + d = 0,
⎪
A (4; 0; 0), C (0; 4; 0), D1 (0; 0; 6) : ⎨4 b + d = 0,
⎪ 6c + d = 0;
⎩
4) cos α =
=
3
4
4
⋅3 + ⋅3 + ⋅2
7
7
7
2
2
2
⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞
2
2
2
⎜⎝ ⎟⎠ + ⎜⎝ ⎟⎠ + ⎜⎝ ⎟⎠ ⋅ 3 + 3 + 2
7
7
7
29
29
29
7
=
=
.
41 ⋅ 22
41 ⋅ 22
902
7
=
⎧d = −12,
⎪ a = 3,
JJG
⎪
⇒ m {3; 3; 2}.
⎨
⎪b = 3,
⎪⎩c = 2
29
7
=
41
⋅ 22
49
Ответ: arccos
29
902
.
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
A(x1; y1; z1)
Расстояние от точки до плоскости:
ρ=
J
где ax + by cz d
координаты точки.
ax1 + by1 + cz1 + d
,
a2 + b2 + c2
0 — уравнение плоскости, (x1; y1; z1) —
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, AB = 4, BC = 6,
AA1 = 3. Найдите расстояние от точки В до плоскости ACD1.
1) Введём систему координат с началом в точке D, вдоль ребра DA направим ось абсцисс, вдоль ребра DC — ось ординат,
через ребро DD1 — ось аппликат.
2) Составим уравнение плоскости, проходящей через точки
A(6; 0; 0), C(0; 4; 0), D1(0; 0; 3).
⎧d = −12,
⎧ 6a + d = 0, ⎪
⎪
⎪ a = 2,
⎨4 b + d = 0, ⎨
⎪ 3c + d = 0; ⎪b = 3,
⎩
⎪⎩c = 4.
γ : 2 x + 3y + 4 z − 12 = 0.
z
D1
3) Найдём расстояние от точки B (6; 4; 0) до γ.
ρ=
2 x1 + 3y1 + 4 z1 − 12
Ответ:
22 + 32 + 42
12
29
136
.
=
2 ⋅ 6 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 0 − 12
4 + 9 + 16
=
12
29
A1
.
3
C1
B1
D
6
x
A
4
B
C
y
ЭЛЕ МЕ Н Т Ы КОМБИНАТОРИКИ,
СТАТ ИСТ ИКИ И Т Е ОРИИ ВЕ РОЯТ НОСТ Е Й
Элементы комбинаторики
Методы комбинаторики используются для решения задач
по составлению расписаний, планов производства и реализации продукции и т. д. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей.
Упорядоченные
и неупорядоченные выборки
В зависимости от того, является ли порядок расположения элементов существенным, выборки называются упорядоченными или неупорядоченными.
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ВЫБОРКИ
(ПООЧЕРЁДНЫЙ ВЫБОР)
Перестановки
Размещения
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.
Размещением из n элементов по k (k d n)
называется любое множество, состоящее из
k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
9Код от сейфа состоит из трёх неповторяющихся цифр 2, 3, 4. Укажите наибольшее число вариантов, которые придётся перебрать, чтобы открыть сейф.
Ответ: 6 вариантов.
Сколько трёхзначных чисел без повторения
цифр в числе можно составить из цифр 0,
1, 2?
На первом месте не может быть цифры 0.
Возможные числа: 102, 120, 201, 210.
Ответ: 4 числа.
2
3
4
3
4
2
4
2
3
4
3
4
2
3
2
2
1
0
2
0
1
2
0
1
0
137
комбинаторики...
НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ ВЫБОРКИ
(ОДНОВРЕМЕННЫЙ ВЫБОР)
Сочетания
Элементы
Сочетанием из n элементов по k называется
любое множество, составленное из k элементов,
выбранных из данных n элементов.
Маша, Катя, Валя и Света хотят дежурить в понедельник. Сколькими способами учитель может выбрать двух дежурных?
В данной задаче не важен порядок. Дежурят
М
Маша со Светой или Света с Машей — это
один вариант возможного события.
М и К, М и В, М и С, К и В, К и С, В и С.
К
С
В
В
Ответ: существует 6 способов.
К
В
С
С
С
Формулы числа сочетаний
и перестановок. Бином
НьютонА
Число всевозможных перестановок
из n элементов:
Pn = n! .
0
2
4
6
8
1
3
5
7
9
2
4
6
8
0
Из цифр 2, 3, 4, 5, 6 составили все возможные пятизначные числа без повторяющихся
цифр. Сколько среди этих пятизначных чисел
таких, которые начинаются на 6?
На первом месте уже стоит цифра 6, значит,
необходимо найти число перестановок из четырёх элементов: P4 = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 24.
Ответ: 24.
Учащиеся шестого класса изучают 10 предметов.
Сколькими способами можно составить расписание на один день из шести различных уроков?
6
A10
=
10!
10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
=
=
=
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
(10 − 6)! 4!
= 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 151 200.
Ответ: существует 151 200 способов.
138
Число размещений из n элементов по k:
n!
Ank =
,
(n − k )!
где k ≤ n.
Формула бинома Ньютона:
( a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1b1 + Cn2 an−2 b2 +
+... + Cnn b n .
Для
( x + 2)7 найдите шестое слагаемое.
C75 ⋅ x 7−5 ⋅ 25 =
7!
7⋅6
⋅ 32 x 2 =
⋅ 32 x 2 =
5! ⋅ 2!
2 ⋅1
= 21⋅ 32 x 2 = 672 x 2 .
Ответ: 672x2.
В расписании на вторник пять уроков: русский язык, литература,
физика, география и биология. Сколькими способами можно
составить расписание на вторник с условием, чтобы русский
язык и литература стояли рядом?
1) Рассмотрим русский язык и литературу как один предмет.
Значит, надо составить расписание для четырёх предметов.
P4 = 4! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24.
2) Если русский язык стоит перед литературой, то существует
24 способа составления расписания; если литература стоит перед
языком, то ещё 24 способа. Всего способов 48.
Ответ: 48 способов.
Из 20 карандашей необходимо выбрать пять. Сколькими способами можно сделать выбор?
Выбор пяти карандашей отличается от другого хотя бы одним
карандашом. Значит, речь идёт о сочетании из 20 элементов
по пять.
5
C20
=
20!
20!
16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20
n!
=
=
=
= 15 504.
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
k !(n − k )! 5!(20 − 5)! 5! ⋅ 15!
Ответ: 15 504 способа.
139
Элементы
В классе 24 учащихся. Сколькими способами классный руководитель может
выбрать двух дежурных?
24!
24!
24 ⋅ 23
2
C24
=
=
=
= 276.
2!(24 − 2)! 2! ⋅ 22!
2 ⋅1
Ответ: существует 276 способов.
комбинаторики
Число сочетаний из n элементов по k при
любом k ≤ n:
n!
Cnk =
.
k !(n − k )!
Табличное и графическое
представление данных
Элементы
комбинаторики...
Элементы статистики
Для наглядного представления данных, полученных в результате статистического исследования, используются таблицы и графики.
СРЕДНЕМЕСЯЧНАЯ ТЕМПЕРАТУРА ВОЗДУХА В ГОРОДЕ БАЛАКОВО ЗА 2016 г.
Месяц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Среднемесячная
температура, qС
–12
–18
–5
+4
+15
+26
+32
+28
+11
+8
0
–8
6
7
8
11
12
месяц
t, qС
32
28
24
20
16
12
8
4
0
1
–4
–8
2
3
4
5
9
10
–12
–16
–20
Числовые характеристики
рядов данных
При решении практических задач построение графиков не
всегда эффективно. Некоторые особенности рядов данных
характеризуются числовыми параметрами.
К характеристикам ряда чисел относятся среднее арифметическое, размах, мода и медиана.
Рассмотрим определение числовых характеристик на примере задачи.
140
Элементы теории вероятностей
Десять учащихся 11 «А» класса при сдаче ЕГЭ по математике
профильного уровня набрали следующие баллы: 84, 36, 56, 64,
27, 60, 64, 72, 56, 64.
Среднее арифметическое. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число
слагаемых.
84 + 36 + 56 + 64 + 27 + 60 + 64 + 72 + 56 + 64 583
=
= 58,3.
10
10
Размах. Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Наибольшее: 84; наименьшее: 27; размах: 57 (84 − 27).
Мода. Модой ряда чисел называется число, которое встречается
в данном ряду чаще других. Три раза встречается число 64, два
раза — 56, все остальные числа встречаются по одному разу.
Значит, 64 — мода данного ряда.
Медиана. Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным
числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов
называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда. Представим полученные
данные в виде упорядоченного ряда чисел (запишем в порядке
возрастания): 27, 36, 56, 56, 60, 64, 64, 64, 72, 84.
60 + 64
= 62 — медиана ряда чисел.
2
Элементы теории вероятностей
Вероятности событий
Несколько событий называют равновозможными, если
в результате опытов ни одно из них не имеет большую
возможность появления, чем другие. Например, при подбрасывании монеты одинаково вероятны два равновозможных события: выпадение решки, выпадение орла.
Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом
испытании равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.
Из 25 билетов Иван выучил 20.
Найдите вероятность того, что Ивану достанется выученный билет.
Всего исходов: 25; благоприятных
исходов: 20.
20 4
P ( A) =
= = 0,8.
25 5
Ответ: 0,8.
141
комбинаторики...
Элементы
Бросают два игральных кубика. Какова
вероятность того, что в сумме выпадет
меньше 12 очков?
A — в сумме выпало 12 очков.
Событие А — ручка пишет хорошо; событие A —
ручка пишет плохо или не пишет. О событиях А
и A говорят, что они являются противоположными.
( )
P ( A) + P A = 1
Существует один благоприятный исход возникновения события A —
(6; 6).
Всего исходов — 36:
(1; 1), (1; 2), (1; 3)... (6; 4 ), (6; 5), (6; 6).
Если событие С означает, что наступает одно
из двух несовместных событий А или В, то
P (C ) = P ( A) + P (B ).
.
( ) 361 , P ( A) = 1− 361 = 35
36
P A =
Ответ:
35
.
36
Если событие С означает совместное
наступление двух событий А и В, тогда P (C ) = P ( A) ⋅ P (B ).
Найдите вероятность того, что при трёхкратном подбрасывании монеты все три раза
выпадет решка.
Вероятность того, что решка выпадет первый
раз, равна 1/2. Вероятность того, что решка
выпадет во второй раз, равна 1/2. Вероятность
выпадения решки в третий раз — 1/2. Вероятность того, что решка выпадет все три раза,
1 1 1 1
⋅ ⋅ = = 0,125.
равна
2 2 2 8
Ответ: 0,125.
Вероятность того, что Ира решит задачу № 1, равна 0,3, задачу № 2 — 0,4.
Найдите вероятность того, что Ира решит
хотя бы одну из двух задач.
задача № 1 0,3
0,4
задача № 2
обе задачи
1) Ира может решить как первую, так и вторую задачу, а может решить обе задачи.
2) Вероятность того, что Ира решит обе задачи, равна 0,12 (0,3 ⋅ 0,4 ).
3) P (C ) = 0,3 + 0,4 − 0,12 = 0,58.
На зачёте по биологии Саше достанется
один из вопросов. Вероятность того, что
ему достанется вопрос по теме «Пищеварительная система», равна 0,3, по теме
«Дыхательная система» — 0,25. Найдите
вероятность того, что на экзамене Саше
достанется вопрос по одной из этих тем.
P (C ) = 0,3 + 0,25 = 0,55.
Ответ: 0,55.
Если событие С означает, что наступает
одно из двух совместных событий А или В,
то P (C ) = P ( A) + P (B ) − P ( A) ⋅ P (B ).
Использование вероятности
и статистики при решении
прикладных задач
В ЭКОНОМИКЕ
Производитель анализирует срок службы своей продукции и даёт гарантии на её обслуживание, учитывая полученные результаты.
Ответ: 0,58.
Вероятность того, что телевизор прослужит больше 3 лет, равна 0,9. Вероятность того, что он проработает более 8 лет, равна
0,47. Найдите вероятность того, что телевизор прослужит больше
3 лет, но меньше 8.
0,9
Вероятность того, что телевизор прослужит от 3 до 8 лет, равна 0,9 − 0,47 = 0,43.
Ответ: 0,43.
0
3 года
8 лет
142
0,47
срок службы
Страховые компании определяют вероятность всех возможных рисков, страхование от которых они предлагают, при
этом учитывают данные за последние годы.
Страховщик при страховании автомобиля будет использовать
следующую информацию, представленную в таблице.
Происшествие, степень ущерба
Вероятность
Стоимость восстановления
Автомобиль не подлежит ремонту
0,0002
10 000 долларов
Серьёзный ущерб
0,06
4500 долларов
Незначительный ущерб
0,4
1000 долларов
Элементы теории вероятностей
В СТРАХОВАНИИ
Стоимость страхового полиса будет равна: 0,0002 10 000 0,06 u
u 4500 0,4 1000 672 административные расходы + желаемая
прибыль.
В МЕДИЦИНЕ
Чтобы поставить диагноз, врач предлагает пациенту
пройти ряд лабораторных анализов, после их обработки
с использованием методов теории вероятностей и статистики он ставит диагноз и назначает курс лечения.
Признаком болезни может служить выход некоторых
показателей за пределы нормы. Нормальными показателями считаются значения, которые наблюдаются
у большинства людей половозрастной группы, к которой
относится пациент. Для того чтобы найти нормальные
значения показателей, необходимо определить границы
интервала, которому с определённой вероятностью принадлежит среднее значение.
Джон Сноу с помощью сбора и анализа информации доказал, что холера передаётся
не воздушно-капельным путём, а через
желудочно-кишечный тракт и источником холеры может служить загрязнённая
вода. Благодаря своему открытию Сноу
смог остановить крупнейшую в истории
Англии эпидемию холеры, вспыхнувшую
в 1854 г. в лондонском районе Сохо.
В медицинском центре проводят анализы на цитологию. Если анализ не выявляет заболевание (результат отрицательный), то врач
назначает повторный анализ. В третий раз анализ не назначается.
Вероятность ложного отрицательного анализа у больного человека
составляет 2 %. С какой вероятностью врач выявит больного?
1) 2 % = 0,02.
2) Вероятность того, что врач выявит больного по результатам
первого анализа, равна 0,98 (1 – 0,02).
3) Вероятность того, что врач выявит больного по результатам
второго анализа (необходимо учитывать, что первый результат был
ошибочным), равна 0,0196 (0,02 0,982).
4) Вероятность выявления заболевания с помощью двух анализов:
0,98 + 0,0196 = 0,9996.
Ответ: 0,9996.
143
Все права защищены. Книга или любая ее часть не может быть скопирована, воспроизведена в электронной или механической форме, в виде
фотокопии, записи в память ЭВМ, репродукции или каким-либо иным способом, а также использована в любой информационной системе
без получения разрешения от издателя. Копирование, воспроизведение и иное использование книги или ее части без согласия издателя
является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность.
Справочное издание
анытамалы баспа
Для старшего школьного возраста
мектеп жасында'ы ересек балалар'а арнал'ан
НОВЫЙ СПРАВОЧНИК ШКОЛЬНИКА С ДУДЛАМИ
Удалова Наталья Николаевна
Колесникова Татьяна Александровна
НАГЛЯДНАЯ МАТЕМАТИКА
(орыс тілінде)
Ответственный редактор А. Жилинская
Ведущий редактор Т. Судакова. Художественный редактор Е. Брынчик
Во внутреннем оформлении использованы иллюстрации:
Aleks Melnik, Alice Vacca, AllNikArt, Andriy Lipkan, Arkadivna, Christophe BOISSON, Drawlab19, Earlymorningproject, Elena Medvedeva, Franzi, hchjjl,
Kamieshkova, Kate_gr, Macrovector, meinlp, mijatmijatovic, Moriz, motion.vidos, Mureu, Nadya Ershova, Natasha_Chetkova, Pen-Is Production,
rolandtopor, Ruddy Irawan, Silver Kitten, Visual Generation / Shutterstock.com
В коллаже на обложке и титуле использованы иллюстрации:
© mijatmijatovic, Martina V / Shutterstock.com
Используется по лицензии от Shutterstock.com
ООО «Издательство «Эксмо»
123308, Россия, Москва, ул. Зорге, д. 1. Тел.: 8 (495) 411-68-86.
Home page: www.eksmo.ru E-mail: [email protected]
]ндіруші: «ЭКСМО» АqБ Баспасы, 123308, М|скеу, Ресей, Зорге к}шесі, 1 ~й.
Тел.: 8 (495) 411-68-86.
Home page: www.eksmo.ru E-mail: [email protected].
Тауар белгісі: «Эксмо»
Интернет-магазин : www.book24.ru
Интернет-магазин : www.book24.kz
Интернет-дкен : www.book24.kz
Импортёр в Республику Казахстан ТОО «РДЦ-Алматы».
qазастан Республикасындаы импорттаушы «РДЦ-Алматы» ЖШС.
Дистрибьютор и представитель по приему претензий на продукцию,
в Республике Казахстан: ТОО «РДЦ-Алматы»
qазастан Республикасында дистрибьютор ж|не }нім бойынша арыз-талаптарды
абылдаушыны }кілі «РДЦ-Алматы» ЖШС,
Алматы ., Домбровский к}ш., 3«а», литер Б, офис 1.
Тел.: 8 (727) 251-59-90/91/92; E-mail: [email protected]
]німні жарамдылы мерзімі шектелмеген.
Сертификация туралы апарат сайтта: www.eksmo.ru/certification
Сведения о подтверждении соответствия издания согласно законодательству РФ
о техническом регулировании можно получить на сайте Издательства «Эксмо»
www.eksmo.ru/certification
]ндірген мемлекет: Ресей. Сертификация арастырылан
Продукция соответствует требованиям ТР ТС 007/2011
Дата изготовления / Подписано в печать 01.06.2020. Формат 60x841/8.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,8.
Тираж
экз. Заказ
ПРИСОЕДИНЯЙТЕСЬ К НАМ!
6+
МЫ В СОЦСЕТЯХ:
eksmo.ru
eksmolive
eksmo
eksmolive
eksmo.ru
eksmo_live
eksmo_live
