Фракталы

Фракталы
Фрактал (от лат. – дробленый, состоящий из фрагментов) – термин,
обозначающий геометрическую фигуру, которая обладает свойством
самоподобия, т.е. составленную из нескольких частей, каждая их которых
подобна всей фигуре целиком. Небольшая часть фрактала содержит
информацию о всем фрактале. Фракталы подобны самим себе, они похожи
сами на себя на всех уровнях (т.е. в любом масштабе).
Фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру,
размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение
размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру,
фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно
равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для
вычисления размерности фракталов.
Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река - это
фракталы. Существует много различных типов фракталов. В принципе,
можно утверждать, что всё, что существует в реальном мире, является
фракталом,
будь
то
облако
или
молекула
кислорода.
Фрактальными свойствами обладают побережья, границы государств, облака,
снежинки, кроны деревьев, кровеносная система.
Фракталы находят всё большее применение в науке. Они описывают реальный мир
даже лучше, чем традиционная физика или математика. Броуновское движение это, например, случайное и хаотическое движение частичек пыли, взвешенных в
воде. Этот тип движения, возможно, является аспектом фрактальной геометрии,
имеющий наибольшее практическое использование. Случайное броуновское
движение имеет частотную характеристику, которая может быть использована для
предсказания явлений, включающих большие количества данных и статистики. К
примеру, Мандельброт предсказал при помощи броуновского движения изменение
цен на шерсть.
Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной технике является
фрактальное сжатие данных. При этом картинки сжимаются гораздо лучше, чем
это делается обычными методами - до 600:1. Другое преимущество фрактального
сжатия в том, что при увеличении не наблюдается эффекта пикселизации, резко
ухудшающего картинку. Мало того, фрактально сжатая картинка после увеличения
часто выглядит даже лучше, чем до него. Cпециалистам в области компьютерной
техники известно также, что фракталы бесконечной сложности и красоты могут
быть сгенерированы простыми формулами. Индустрия кино для создания
реалистичных элементов ландшафта (облака, скалы и тени) широко использует
технологию фрактальной графики.
Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы.
Это позволяет лучше понять динамику сложных потоков.
При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.
Пористые материалы хорошо представляются в фрактальной форме в связи с
тем, что они имеют очень сложную геометрию.
Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие
фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.
Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная
поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.
Классификация фракталов
1. Конструктивные (построенные с помощью определенных рекурсивных
процедур).
2. Динамические (порождаемые динамическими системами).
3. Естественные (наблюдаемые в природе).
Конструктивные фракталы
Канторово множество (Георг Кантор, 1883г.)
Из единичного интервала вынимается средняя треть, затем процедура
повторяется с каждым оставшимся отрезком и так до бесконечности. В пределе
получается множество с мощностью континуума и топологической
размерностью = 0.
Самыми известными примерами фракталов являются множество Жюлиа,
множество Мандельброта, кривая (снежинка) Коха, треугольник Серпинского,
дерево Пифагора. Они могут быть получены путем применения рекурсивной
процедуры. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев,
называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором
(точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь
заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе
получим фрактальную кривую.
Кривая
Коха
–
несамопересекающаяся
Дерево Пифагора
непрерывная кривая бесконечной длины.
Генератор – треугольник со стороной, равной 1/3
кривой.
Замкнутая кривая Коха образует снежинку Коха – объединение бесконечного
числа областей, чьи границы являются треугольниками. Периметр снежинки
растет и стремится к бесконечности с увеличением числа итераций. Длина
границы снежинки Коха бесконечна, тогда как площадь остается конечной.
Коэффициент подобия данной фигуры = 1/3.
Первые 4 итерации
Семь итераций
Треугольник Серпинского – фрактал, один из
двумерных аналогов множества Кантора,
предложенный польским математиком
В.
Серпинским. Также известен как «решетка» или
«салфетка».
Построение: берется сплошной равносторонний
треугольник,
на
1-м
шаге
удаляется
внутренность серединного треугольника. На 2-м
шаге удаляется 3 серединных треугольника из 3х оставшихся треугольников и т.д. После
бесконечного повторения этой процедуры от
сплошного треугольника остается подмножество
– треугольник Серпинского.
Данный фрактал строится на основе системы
итерационной функции и имеет фиксированное
правило геометрической замены.
Тетрикс (tetrix) – трехмерный аналог треугольника Серпинского
Множество Мандельброта
Данная фрактальная структура получается путем
многократного
применения
алгебраического
преобразования
(рекуррентного
соотношения)
с
использованием функции комплексного переменного.
zn 1  zn2  C ,
z0  0.
Черный цвет в середине показывает, что в этих точках
функция стремится к нулю - это и есть множество
Мандельброта. За пределами этого множества функция
стремится к бесконечности. Cамое интересное - это
границы множества. Они то и являются фрактальными.
На границах этого множества функция ведет себя
непредсказуемо - хаотично.
Множество Жюлиа
Еще некоторые примеры конструктивных фракталов
Пример естественного фрактала – береговая линия
Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный
в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная
геометрия природы") и ставший классическим - "Какова длина берега
Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от
длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью
километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим
много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного
меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы
учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше.
Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки,
мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В
итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого
угодно - длина берега Британии бесконечна.
Масштаб = 200 км,
длина = 2400 км
Масштаб = 100 км,
длина = 2800 км
Масштаб = 50 км,
длина = 3400 км
Применение фракталов
1)
В компьютерной графике для построения
изображений природных объектов, деревьев, горных
ландшафтов, поверхностей морей.
2)
В последнее время «трейдеры» используют фракталы
для анализа курса фондовых бирж, валютных и
торговых бирж.
3)
В физике при моделировании турбулентного течения
жидкости.
4) В радиотехнике - Фрактальные антенны.
Использование фрактальной геометрии при
проектировании антенных устройств было впервые
применено американским инженером Натаном
Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где
была запрещена установка внешних антенн на
здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги
фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист
бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэну
основал собственную компанию и наладил их
серийный выпуск.
5) В биологии для моделирования популяций и для
описания, например, системы кровеносных сосудов.