Теория меры и интегралла

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. А.Н. ТУПОЛЕВА-КАИ»
В.И. ЗАБОТИН, А.М. ДУЛЛИЕВ, Ю.А. ЧЕРНЯЕВ
ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА
Учебное пособие
Рекомендовано к изданию Учебно-методическим управлением
КНИТУ-КАИ
Казань 2021
УДК 517
За 12
Рецензенты:
кафедра общей математики (Казанский (Приволжский)
федеральный университет);
кандидат физико-математических наук Г.В. Альтшулер
(Университет управления «ТИСБИ»)
За 12
Заботин, В.И.
Теория меры и интеграла: учебное пособие / В.И. Заботин, А.М. Дуллиев, Ю.А. Черняев. Казань: Изд-во КНИТУКАИ, 2021. – 68 c.
ISBN 978-5-7579-2547-9
Содержатся первоначальные сведения из аксиоматической теории
неотрицательной меры и интеграла по мере, а также элементы теории
одной из конкретных мер – меры Лебега на числовой прямой и интеграла Лебега.
Предназначено для проведения лекций и практических занятий в магистратуре направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика», а также может быть полезным для студентов других направлений и для всех желающих познакомиться с первоначальными сведениями из теории меры и интеграла.
Библиогр.: 4 назв.
УДК 517
ISBN 978-5-7579-2547-9
© В.И. Заботин, А.М. Дуллиев,
Ю.А. Черняев, 2021
© Изд-во КНИТУ-КАИ, 2021
ВВЕДЕНИЕ
Измерением длин, площадей и объемов человек занимается
с незапамятных времен. Значительный вклад в науку измерений
внесли математики древнего арабского и древнего эллинского мира. Так, с помощью «метода исчерпываний» древнегреческие ученые измеряли объемы правильных геометрических тел, строя суммы элементарных объемов, которые вполне можно назвать интегральными суммами.
Разумеется, теорию интегрирования и тесно связанную с ней
теорию измерений «криволинейной трапеции» можно было строить лишь с появлением достаточно устоявшегося понятия функции
и производной.
Первым таким интегралом явился интеграл Ньютона – Лейбница. Приоритет этих великих ученых в определении понятия интеграла обсуждать не станем, но заметим, что так называемый определенный интеграл из школьного курса математики есть ни что
иное, как интеграл Ньютона – Лейбница.
Напомним его определение: если F ( x) – первообразная
b
функции f ( x) на отрезке [a ; b] , то по определению ∫ f ( x) dx =
a
= F (b) − F ( a) . С помощью этого интеграла появилась возможность
измерять площадь криволинейной трапеции, понимаемую в определенном смысле. Мы не зря оговорились «понимаемую в определенном смысле», поскольку очень важно отдавать себе отчет в том,
3
что прежде чем измерить площадь, надо сначала определить, что
такое площадь.
Интеграл Ньютона – Лейбница при всех его достоинствах
имеет существенный недостаток: для его определения нужно условиться о том, что функция f обладает первообразной F. Но хорошо
известно следствие из теоремы Лагранжа о формуле конечных
приращений: если функция имеет точку разрыва первого рода
(например, точку конечного скачка), то у нее нет первообразной.
Указанное обстоятельство сделало необходимым построение теории интеграла, в которой не требовалось, чтобы у функции существовала первообразная. Так возник интеграл Римана.
Вспомним, как определялся интеграл Римана от ограниченной на отрезке [a ; b] функции f: отрезок [a ; b] разбивался на отрезки [ xi ; xi +1 ], в каждом из них выбиралась точка ξi и строилась
n −1
римановская сумма ∑ f ( ξi )( xi +1 − xi ) . Конечный предел этой сумi =0
мы при max ( xi +1 − xi ) → 0 (в случае его существования и незавиi
симости от способа разбиения и выбора точек ξi ) и был назван интегралом Римана. Для неотрицательных функций эта конструкция
хорошо интерпретируется геометрически: римановская сумма – это
площадь ступенчатой фигуры, которую можно считать некоторым
приближением площади «криволинейной трапеции», а тогда интеграл Римана можно объявить площадью указанной трапеции. Площадь ступенчатой фигуры является суммой площадей отдельных
ступенек и эти площади равны f ( ξi ) ( xi +1 − xi ) , т.е. равны произведению высоты f ( ξi )
на длину (меру!) основания ( xi +1 − xi ) . Ви-
дно, что для вычисления длины основания нам не понадобился никакой специальный инструмент, так как длину отрезка здесь принимаем, как обычно, равной разности xi +1 − xi . И хотя нельзя
4
сказать, что всякая интегрируемая по Ньютону – Лейбницу функция интегрируема и по Риману, на классе непрерывных на отрезке
функций эти интегралы совпадают. Более того, интеграл Римана
как функция переменного верхнего предела позволил восстанавливать первообразную всякой непрерывной на отрезке функции.
Упомянутая схема построения римановского интеграла –
не единственная возможная. В настоящее время известны и другие
подходы к его построению. Мы напомнили классическую схему,
обычно преподаваемую в вузах.
Но, как выясняется, не всякая ограниченная на [a ; b] функция может обладать интегралом Римана. Такой функцией является,
например, функция Дирихле:
 0, если х иррационально;
f ( x) = 
 1, если х рационально.
Это происходит от того, что функция Дирихле «слишком
разрывна». Спрашивается, обладает ли площадью «криволинейная
трапеция», ограниченная данной функцией?
Здесь вновь возникает вопрос: а как понимается эта площадь? В том смысле, как ее понимает интеграл Римана, площадь
не существует. Но, может быть, существует более тонкое ее определение и более тонкий инструмент ее измерения, способный, однако, измерить и площадь, измеряемую старым инструментом?
Рассмотрим теперь другую конструкцию, принадлежащую
Лебегу. Пусть f вновь ограничена на [a ; b] , а M и m – ее верхняя
и нижняя точные грани на [a ; b] . Разобьем отрезок [m ; M ] точками yi , а через Di обозначим прообразы промежутков ( yi ; yi +1 ] при
отображении f (которые могут быть и пустыми множествами).
Если теперь предположим, что умеем измерять Di, которые совсем
не обязаны быть отрезками, и обозначим меру Di через µ Di , полагая µ∅ = 0 , то для неотрицательной функции f вновь можно по5
n −1
строить «площадь» ступенчатой фигуры: ∑ yi µ Di , конечный преi =0
дел которой при max ( yi +1 − yi ) → 0 назовем «площадью криволиi
нейной трапеции» (если он не зависит от способа разбиения
[m ; M ] ) или интегралом Лебега от f на отрезке [a ; b] .
Эта конструкция свободна от требований непрерывности f,
однако появились другие требования: 1) нужно уметь измерять Di;
2) функция f должна быть такой, чтобы прообразы отрезков были
измеримы. Второе требование выделяет новый класс функций, который называют классом измеримых функций и который нуждается в изучении, так как ранее он нам не встречался.
Понятия меры и интеграла по мере первоначально возникли
в теории функций действительного переменного, однако в настоящее время без этих понятий немыслимы многие области математики, в частности, современная теория вероятностей и теория случайных процессов.
Наше изложение начнем с абстрактной теории меры и интеграла. Это объясняется многими причинами: современная теория
меры настолько сильно развита, что появилась возможность аксиоматического подхода к ней; одно из важнейших приложений –
теория вероятностей и теория случайных процессов – оперирует
не только конкретными видами мер, но и абстрактными мерами;
этот подход, на наш взгляд, сокращает время, нужное для изложения материала на лекциях, однако требует некоторых вводных рассуждений.
Всякая конкретная мера – мера числовых, плоских, пространственных и т.д. множеств – строится по следующей схеме:
сначала выбирается класс множеств, измерение которых не требует
от нас предварительных знаний, кроме элементарных. Например,
на числовой прямой – это числовые промежутки, на плоскости –
прямоугольники со сторонами, параллельными координатным
6
осям и т.п. Затем понятие измеримости распространяется на более
широкий класс множеств, например, на плоские фигуры, которые
могут быть представлены как конечные объединения прямоугольников и, наконец, оказывается возможным расширение понятия
измеримости на множества, которые можно в определенном смысле
аппроксимировать множествами из указанного класса, например,
на плоские фигуры, которые можно аппроксимировать конечными
объединениями прямоугольников в указанном смысле сколь угодно точно. Оказывается, что этот наиболее широкий класс обладает
определенным набором свойств, не зависящим от природы множеств, входящих в него, – будь то числовые, плоские или какие-то
другие множества.
Таким образом, эти свойства можно принять за аксиомы, порождающие класс измеримых множеств, и начать изучение теории с изучения этих классов, которые будем называть σ-алгебрами.
Предполагается, что читателю знакомы теоретико-множественные операции, их свойства и обозначения, а также символика
математической логики, которая будет применяться только в целях
сокращения записей.
7
1. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
Пусть X – некоторое множество, которое в дальнейшем считаем фиксированным. Через P(X ) обозначим множество всех его
подмножеств. Если A ∈ P(X ), то X \ A , как обычно, назовем дополнением A и будем обозначать CA. Если { Ai } – конечное или
счетное разбиение A (т.е. A = ∪ Ai , Ai ∩ A j = ∅ при i ≠ j ), то
i ≥1
в дальнейшем этот факт будем обозначать так: A = ∑ Ai .
i ≥1
Отображение N → P(X ) (где N – натуральный ряд чисел) называется последовательностью множеств, которую будем обозначать An, n = 1, 2, ...
Если An, n = 1, 2, ... – последовательность множеств, то множество
lim An = { x ∈ X | ∀n0 ∃ n > n0 : x ∈ An }
называется верхним пределом данной последовательности, а множество
lim An = { x ∈ X | ∃ n0 ∀n > n0 : x ∈ An }
ее нижним пределом.
Из определения следует, что
lim An ⊂ lim An .
Обратного включения, вообще говоря, нет.
8
Последовательность множеств называется сходящейся, если
lim An ⊂ lim An .
В этом случае множество lim An = lim An = lim An называется
пределом последовательности, а последовательность называется
сходящейся к lim An. Для вычисления верхнего и нижнего пределов
последовательности An полезна следующая теорема:
Теорема 1.1. Справедливы выражения:
lim An = ∩ ∪ Ak , lim An = ∪ ∩ Ak .
n ≥1 k ≥1
n ≥1 k ≥ n
Доказательство. Если
x ∈ lim An , то из определения
∀n ∈ N : x ∈ ∪ Ak , откуда x ∈ ∩ ∪ Ak . Обратно: x ∈ ∩ ∪ Ak ⇒
k ≥n
n ≥1 k ≥ n
n ≥1 k ≥ n
⇒ x ∈ ∪ Ak (∀n ∈ N ) , т.е. ∀ n0 ∃ k > n0 : x ∈ Ak . Второе равенство
k ≥n
доказать самостоятельно.
Определение. Последовательность An, n = 1, 2, ... называется
возрастающей (убывающей), если An ⊂ An +1 ( An ⊃ An +1 ) для любого
n ∈ N.
Такие последовательности объединяются общим названием
«монотонные». Факт возрастания (убывания) An будем обозначать
так: An ↑ ( An ↓ ).
Теорема 1.2. Всякая монотонная последовательность сходится, причем для возрастающей (убывающей) An, n = 1, 2, ...


lim An = ∪ An  lim An = ∩ An  .
n ≥1

n≥1

Доказательство. Воспользуемся теоремой 1.1. Пусть An↑,
тогда
∩ A = A , т.е. lim A = ∪ A , но при этом ∪ A = ∪ A .
k
k ≥n
n
n
n
k ≥1
k
k ≥n
k
k ≥1
9
Значит, lim An = ∩ ∪ Ak = ∪ Ak и равенство lim An = lim An докаm ≥1 k ≥1
k ≥1
зано. Второе утверждение теоремы доказать самостоятельно.
При работе с множествами очень полезным является понятие
индикаторной функции.
Определение. Индикаторной функцией или индикатором
множества А называется функция
1, x ∈ A ;
I A ( x) = 
0, x ∉ A .
Это понятие позволяет свести теоретико-множественные
операции к операциям над индикаторами (см. упражнение 1).
Определение. Класс множеств A ∈ P(X ) называется алгеброй,
если
X ∈ A;
A ∈ A ⇒ CA ∈ A;
(1.1)
n
A1 , A2 , ... , An ∈ A ⇒ ∪ Ai ∈ A,
i =1
а условия (1.1) называются аксиомами алгебры.
Класс множеств ∑ ⊂ P(X ) называется σ-алгеброй, если:
X∈
Σ;
A ∈ ∑ ⇒ CA ∈
Σ;
(1.2)
∞
A1 , A2 , ... , An , ... ∈ ∑ ⇒ ∪ An ∈∑ .
n =1
Множество Х как для алгебр, так и для σ-алгебр называют
единицей, а условия (1.2) – аксиомами σ-алгебры.
Следствия из аксиом:
1. ∅ ∈ ∑ , поскольку ∅ ∈ CX .
10
2. A1, A2, ..., An, ... ∈ ∑ ⇒ ∩ An ∈ ∑ , поскольку из закона
n ≥1


двойственности ∩ An =C  ∪ CAn  .
n
 n

3. A, B ∈ ∑ ⇒ A \ B ∈ ∑ , поскольку A \ B = A ∩ CB .
4. A, B ∈ ∑ ⇒ A ∆ B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) ∈ ∑ .
5. Если An ∈ ∑ , n = 1, 2, ... , то lim An , lim An и lim An
(в случае существования последнего) – элементы Σ. Это следует из
теоремы 1.1. Очевидно, что следствия 1, 3, 4 справедливы и для
алгебр.
Примером σ-алгебры может служить P(X ). Класс A = { ∅ , X } ,
очевидно,
является
алгеброй.
Если
X = ( a , b , c ),
то
A = { {a} , {b, c} ,{a, b, c} , ∅ } также алгебра (проверьте!).
Очевидно, что всякая σ-алгебра является алгеброй. Действительно, первые две аксиомы у них совпадают. Если же
A1 , A2 , ... , An , ... ∈ ∑ , то рассмотрим последовательность A1, A2, ...
n
..., An, ..., где An +1 = An + 2 = ... = ∅ , тогда ∪ Ak = ∪ Ak ∈ ∑ , т.e. люk ≥1
k =1
бое конечное объединение элементов из Σ является элементом Σ.
Обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет. Это
видно из следующего примера.
Пример 1.1. Рассмотрим в качестве A систему множеств из
(−∞ ; + ∞ ], состоящую из конечных сумм ∑ (ai , bi ] попарно непеn
ресекающихся полуинтервалов, т.е. А ∈ A ⇔ А = ∑ ( ai , bi ] , n = 1,
i =1
2, ..., −∞ < ai < bi ≤ +∞ , и включим в нее пустое множество ∅ . Оче11
видно, что A – алгебра (если А ∈ A, то СА состоит из конечного
числа попарно непересекающихся интервалов, третья аксиома
удовлетворяется также очевидно). Однако A не является σ-алгеб
1
рой, поскольку Аn =  0, 2 −  ∈ A (n ∈ N ), но ∪ Аn = (0, 2) ∉ A.
n
n≥1

Следующие далее определения и утверждения сформулируем для σ-алгебр, однако они имеют место и для алгебр.
Если ∑ α , α ∈℘ – семейство σ-алгебр с общей единицей X,
то по определению
∩ ∑ = { A | ∀α ∈℘ : A ∈ ∑ }.
α∈℘
α
α
Теорема 1.3. Если ∑ α , α ∈℘ – семейство σ-алгебр с общей единицей X, то ∩ ∑ α также σ-алгебра с единицей X.
α∈℘
Доказательство. Ясно, что X ∈ ∩ ∑ α . Если A ∈ ∩ ∑ α , то
α∈℘
α∈℘
A ∈ ∑ α ( ∀α∈℘ ) , но тогда CA ∈ ∑ α ( ∀α ∈℘ ) , т.е. CA ∈∑ α . На-
конец,
An ∈ ∩ ∑ α ⇒ An ∈ ∑ α ( ∀α ∈℘) ⇒ ∪ An ∈ ∑ α ( ∀α ∈℘) ⇒
α∈℘
n ≥1
⇒ ∪ An ∈ ∩ ∑ α .
n ≥1
α∈℘
Пусть Г – некоторое семейство множеств из Х. Существует
хотя бы одна σ-алгебра (а именно, P(X )), элементами которой являются все множества из семейства Г. Рассмотрим теперь все возможные σ-алгебры, в число элементов которых входят все множества из Г. Тогда их пересечение вновь будет σ-алгеброй, содержащей Г в качестве своего подмножества, причем эта σ-алгебра будет
минимальной в том смысле, что будет содержаться в любой другой
такой σ-алгебре. Построенную σ-алгебру будем обозначать Σ(Г).
Ее называют σ-алгеброй, порожденной семейством Г, или мини12
мальной σ-алгеброй, содержащей Г. Применяется также термин
«σ-алгебра, натянутая на Г».
Одним из важнейших примеров таких σ-алгебр является так
называемая борелевская алгебра или σ-алгебра борелевских множеств. Пусть A – алгебра, построенная в примере 1.1. Борелевской
алгеброй на числовой прямой называется ∑(A). Ее элементы называются борелевскими (числовыми) множествами, а ∑(A) обозначается B(R). Поскольку
( a, b ) = ∪  a, b −
n ≥1

[ a, b] = ∩  a −
1 
∈ B ( R );
n 
1

, b  ∈ B ( R );
n


{b} = [ a, b] ∩ [b, c ] ∈ B ( R),
n ≥1
то в B ( R ) входят все одноточечные множества, а также все числовые промежутки. Ясно также, что в B ( R ) входят все множества,
которые могут быть получены из числовых промежутков не более
чем счетным числом операций объединения, дополнения и пересечения. Можно показать, что последним исчерпывается вся B ( R )
и что при построении B(R) построение A необязательно, если
через Г обозначить систему всевозможных интервалов (a, b], то
B(R) = Σ(A) = Σ(Г).
Аналогичная конструкция возможна и в пространстве Rn.
Назовем брусом в Rn множество
B = {x = (x1, x2, ..., xn) | ai < xi ≤ li, i = 1, 2, ..., n}
и через Г обозначим семейство всех возможных брусов. Минимальная σ-алгебра Σ(Г) называется борелевской алгеброй в Rn
и обозначается B(Rn).
13
К построению B(Rn) можно подойти иначе. Пусть Г1 – система всевозможных «брусов» вида:
{x = (x1, x2, ..., xn) | xi ∈ Bi, i = 1, 2, ..., n},
где Bi – борелевские множества на числовой прямой. Справедливо
утверждение, которое приведем без доказательства:
B(Rn) = Σ(Г1).
Как уже отмечалось, основным классом множеств, интересующим нас при аксиоматическом построении меры, является
σ-алгебра, так как в наиболее плодотворных случаях конкретных
мер классами измеримых этими мерами множеств являются именно σ-алгебры, поэтому в дальнейшем пару (X, Σ), где Σ – σ-алгебра
множеств в X, будем называть измеримым пространством, а множества, входящие в Σ, – измеримыми множествами.
Контрольные вопросы
1. Сформулировать понятия последовательности множеств,
ее верхнего и нижнего пределов и сходящейся последовательности.
Доказать теорему о верхнем и нижнем пределах.
2. Сформулировать понятия возрастающей и убывающей последовательностей. Доказать теорему о пределе монотонной последовательности.
3. Дать понятие индикаторной функции множества. Сформулировать понятия алгебры и σ-алгебры, перечислить основные
следствия из аксиом алгебры и σ-алгебры.
4. Привести пример алгебры, не являющейся σ-алгеброй. Доказать теорему о семействе σ-алгебр.
5. Сформулировать понятия борелевской алгебры, борелевского множества на числовой прямой, измеримого пространства
и измеримого множества.
14
Упражнение 1
 A , n = 2k ,
1.1. Пусть A, B ⊂ X, Dn = 
 B , n = 2k + 1, k = 0,1,2,...
Найти lim Dn , lim Dn . Когда эта последовательность сходится?
1.2. Даны последовательности множеств:
1
1


а) An =  0, 1 +  ;
б) An =  0, 1 +  ;
n
n


1

в) An =  0, 2 −  ;
n

1

г) An =  0, 2 −  ;
n



(−1) n 
(−1)n +1 
д) An = 0, 1 +
;
е)
A
=
0,
2
+
.
n


n 
n 


Что можно сказать об их сходимости?
1.3. Для произвольной последовательности множеств доказать справедливость следующих утверждений:
а) ∩ An ⊂ lim An ⊂ lim An ⊂ ∪ An ;
n ≥1
n ≥1
б) C lim An = lim CAn ; C lim An = lim CAn ;
в) lim An = lim ∩ Ak ; lim An = lim ∪ Ak ;
k ≥n
k ≥n
г) lim ( An ∪ Bn ) = lim An ∪ lim Bn ;
д) lim( An ∩ Bn ) = lim An ∩ limBn ;
e) lim An ∩ lim Bn ⊂ lim ( An ∩ Bn ) ⊂ lim An ∩ lim Bn .
1.4. Сходится ли последовательность CAn , если сходится последовательность An?
1.5. Пусть f – строго положительная на [a, b] числовая функция. Положим An = {x ∈ [a, b] | f (x) ≥ 1/ n}, n ∈ N. Найти lim An.
1.6. Решить предыдущую задачу для
An = {x ∈ [a, b] | f (x) < 1/ n}, n ∈ N.
15
1.7. Пусть f (x) ≥ 0 (∀ x ∈ R), An = {x ∈ R | n – 1 ≤ f (x) < n}.
Существует ли lim An?
1.8. Пусть T, X – произвольные множества и f: T → X – сюръекция. Пусть существует lim An для последовательности из P(X ).
Существует ли lim f −1 ( An ) ?
1.9. Пусть X = {a, b, c}. Построить все возможные алгебры
в P(X ).
1.10. Пусть T, X и f те же, что в упражнении 1.8. Пусть Σ – σалгебра в P(X ). Будет ли Σ' = {f –1(A) | A ∈ Σ} σ-алгеброй в P(Т )?
1.11. Пусть Σ – σ-алгебра в P(X ) и Y ∈ X. Показать, что
{B ⊂ Y | B = A ∩ Y, A ∈ Σ} – σ-алгебра в P(Y ).
1.12. Семейство множеств М ⊂ P(X ) называется монотонным
классом, если оно содержит пределы всех входящих в него монотонных последовательностей. Выполнить следующие задания:
а) доказать, что σ-алгебра – монотонный класс. Будет ли монотонным классом алгебра?
б) пусть алгебра A является монотонным классом. Доказать,
что A – σ-алгебра;
в) пусть A удовлетворяет второй и третьей аксиомам алгебры
и является монотонным классом. Будет ли A σ-алгеброй?
1.13. Пусть Σ – σ-алгебра, состоящая из бесконечного числа
элементов. Доказать, что в Σ существует последовательность попарно непересекающихся множеств.
1.14. Пусть Σ1 и Σ2 – σ-алгебры с единицей X. Будет ли
σ-алгеброй класс {A | A ∈ Σ1 или A ∈ Σ2}?
1.15 Доказать свойства индикаторов:
а) I A ≤ I B ⇔ A ⊂ B ;
б) I A ≡ I B ⇔ A = B ;
в) I CA = 1 − I A ;
16
г) I
∩ An
n
= ∏ I An ;
n
д) ( An ∩ Am = ∅ , n ≠ m ) ⇒ I
е) I
∪ An
(
)
(
∪ An
n
= ∑ I An ;
n
)(
)
= I A1 + 1 − I A1 I A2 + 1 − I A1 1 − I A2 I A3 + ... ;
n
ж) I A ∆ B = ( I A − I B ) ;
2
з) I limA = lim I An , I limAn = lim I An , I lim An = lim I An
n
n
n
(в последнем случае пределы последовательностей функций понимаются как поточечные).
17
2. АБСТРАКТНАЯ МЕРА
Пусть Г – семейство подмножеств некоторого множества X.
Функция ν: Г → R называется функцией множества. Класс Г называется областью определения ν.
Пусть (X, Σ) – измеримое пространство; ν – функция множества с областью определения Σ. Функция ν называется счетноаддитивной или σ-аддитивной, если для любой последовательности попарно непересекающихся множеств An из Σ:
 ∞
 ∞
ν  ∑ An  = ∑ ν ( An ) .
 n =1  n =1
Такую функцию называют также обобщенной мерой (или зарядом), заданной на Σ.
Нас в дальнейшем будут интересовать только неотрицательные обобщенные меры, поэтому примем следующее определение.
Неотрицательная σ-аддитивная функция множества, определенная на σ-алгебре Σ, называется мерой, определенной на Σ.
Аналогичные определения можно ввести и для функций
множеств, определенных на алгебре A.
Функцию множества, определенную на A, назовем аддитивной, если для любых A, B ∈ A таких, что A ∩ B = ∅, следует:
ν(A ∪ B) = ν(A) + ν(B).
Неотрицательную аддитивную функцию множества, определенную на A, назовем аддитивной мерой на A.
18
Однако и на A можно ввести понятие меры: аддитивная мера
на A называется мерой на A, если для любых попарно непересе∞
кающихся множеств An из A таких, что ∪ An ∈ A, имеет место:
n =1
 ∞
 ∞
ν  ∪ An  = ∑ ν ( An ) .
 n =1  n =1
В дальнейшем меры будем обозначать буквой µ, а скобки
у ее аргумента будем опускать: µ(A) = µ A.
Кроме того, в дальнейшем будут рассматриваться конечные
меры, т.е. µX < + ∞ .
Тройку(X, А, µ) или (X, Σ, µ) будем называть пространством
с мерой, если µ задана на А или Σ соответственно.
Простейшие свойства меры
С.2.1. Монотонность меры.
Если A, B ∈ Σ и A ⊂ B, то µA ≤ µB.
Доказательство. Очевидно: B = A∪( B ∩CA) , причем B ∩ CA ∈∑
и µ ( B ∩ CA ) ≥ 0. Значит,
µ B = µ A + µ ( B ∩ CA ) ≥ µ A.
Следствие. Если выполняются условия С.2.1, то
µ ( B \ A ) = µ B − µ A.
C.2.2. Полуаддитивность меры.
Если { Ai } – конечное или счетное семейство множеств из Σ,
то µ ∪ Ai ≤ ∑ µ Ai .
i ≥1
i ≥1
Доказательство. Проведем доказательство для счетного
семейства. Если ряд ∑ µ Ai расходится, то утверждение С.2.2
i ≥1
очевидно.
В
противном
случае
построим
семейство
19
 n −1 
Aɶ n = An \  ∪ Ai  , n = 2,3,..., полагая Aɶ1 = A1 . Из построения ясно,
 i =1 
что ∪ Aɶi = ∪ Ai , причем Aɶi ∩ Aɶ j = ∅
i ≥1
при i ≠ j; ясно также, что
i ≥1
Aɶi ⊂ Ai . Следовательно, µ ∪ Ai = µ ∪ Aɶi = ∑ µ Aɶi ≤ ∑ µ Ai .
i ≥1
i ≥1
i ≥1
i ≥1
Определение. Если A ∈ Σ и µA = 0, то A называется множеством нулевой меры или множеством меры нуль.
С.2.3. Конечное или счетное объединение множеств нулевой
меры – вновь множество нулевой меры.
Доказательство. Если µ Ai = 0, i = 1,2, ..., то
0 ≤ µ ∪ Ai ≤ ∑ µ Ai = 0.
i ≥1
i ≥1
C.2.4. µ ∅ = 0.
Доказательство. Поскольку ∅ ∩ ∅ = ∅ и ∅ ∪ ∅ = ∅, то
µ ∅ = µ(∅ ∪ ∅) = µ ∅ + µ ∅ = 2µ ∅, что возможно, лишь если
µ ∅ = 0.
С.2.5. Непрерывность меры.
Если Аn ∈ Σ, n = 1, 2, ... – монотонная последовательность, то
µ lim An = lim µ An .
n
Доказательство. Пусть An ↑. Положим Aɶn = An \ An −1 , n ∈ N ,
где A0 = ∅. Тогда очевидно, Aɶn ∩ Aɶm = ∅, n ≠ m и lim An = ∪ An = ∪ Aɶn .
n≥1
Поэтому
µ lim An = µ∪ Aɶ n = ∑ µAɶ n = ∑ ( µ An − µ An −1 ) =
n ≥1
n ≥1
n ≥1
m
= lim ∑ ( µ An − µ An −1 ) = lim µAm .
m
20
n =1
m
n≥1
Если же An ↓ , то СAn ↑ и lim An = ∩ An , тогда µ lim An =
n ≥1
= µ C ∪ CAn = µ X − µ∪ CAn = µ X − lim µ CAn = µ X − lim µ ( X \ An ) =
n≥1
n
n≥1
n
= µ X − lim ( µ X − µ An ) = lim µ An .
n
n
C.2.6. Если An ∈ Σ, n = 1, 2, ..., то µlim An ≤ lim µAn ; µ lim An ≥
n
≥ lim µAn , а если An сходится, то µ lim An = lim µAn .
n
n
Доказательство. Рассмотрим Bn = ∩ Ak . Очевидно, Bn ↑
k ≥n
и, значит, lim An = ∪ Bn = lim Bn , но тогда µ lim An = lim µBn .
n ≥1
0 ≤ µ An ≤ µX ,
Поскольку
то
существует
Ank
такая,
что
lim µ Ank = lim µ An , а поскольку Bn ⊂ An , то lim µ Bn = lim µ Bnk ≤
nk
n
n
nk
≤ lim µ Ank = lim µ An . Следовательно, µ lim An ≤ lim µ An . Неравенnk
n
n
ство µ lim An ≥ lim µAn доказывается аналогично, если в качестве Bn взять
∪ A . Наконец, если An сходится, то µ lim A =
k
n
k ≥n
=µ lim An ≤ lim µ An ≤ lim µ An ≤ µ lim An = µ lim An ⇒ µ lim An = lim µAn =
n
= lim µ An = lim µ An .
Определение. Пусть (X, Σ, µ) – пространство с мерой. Если из
того, что µB = 0 и A ⊂ B следует, что A ∈ Σ, то µ называется полной. Ясно, что в этом случае 0 ≤ µ Α ≤ µ Β = 0, т.е. µ A = 0.
Легко построить примеры (см. упражнение 2) пространств
с неполной мерой. Существует однако теорема о том, что всякую
неполную меру можно сделать полной, достроив соответствующим
образом σ-алгебру Σ и продолжив на нее меру µ. Приводить эту
теорему здесь не станем, поскольку во всех дальнейших рассужде21
ниях будем считать рассматриваемые меры полными, а включим
ее в число упражнений.
Контрольные вопросы
1. Дать понятия функции множества, аддитивной и σ-аддитивной функции, меры и пространства с мерой.
2. Сформулировать и доказать свойства монотонности и полуаддитивности меры.
3. Сформулировать и доказать утверждения о множествах
с нулевой мерой. Дать понятие полной меры.
Упражнение 2
2.1. Пусть X = {a, b, c}. Построим Σ = {∅, X, {a}, {b,c}}. Положим µ ∅ = = µ {b, c} = 0, µ {a} = µX = 1. Доказать, что Σ – алгебра; µ – мера на ней; µ – неполна.
2.2. Пусть (X, Σ, µ) – пространство с мерой и A, B ∈ Σ. Доказать, что µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) – µ(A ∩ B). Как будет выглядеть
аналогичная формула для A,B,C ∈ Σ?
2.3. Пусть A,B ∈ Σ таковы, что µ A + µ B > µ X. Доказать, что
A ∩ B имеет положительную меру.
2.4. Пусть µ полна, µB = 0 и A неизмеримо. Доказать, что A\B
также неизмеримо.
2.5. Пусть An ∈ Σ, n = 1, 2, ..., таковы, что ∀ ε > 0 ∃ nε: µ Anε >
> µ X – ε. Доказать, что µ ∪ An = µ X .
n
n
Указание. Рассмотреть Sn = ∪ Ak и воспользоваться С.2.5.
k =1
2.6. Пусть Σ – борелевская σ-алгебра на (0,1] (которая строится аналогично B(R)), а мера µ, определенная на Σ, обладает следующим свойством: если A, B ∈ Σ равномощны, то µ A = µ B. Доказать, что D ∈ Σ ⇒ µ D = 0.
22
2.7. Пусть µ – неполная мера на Σ. Если Z ⊂ Z 0 и µZ 0 = 0, то
назовем Z µ-нулевым множеством. Сконструируем класс множеств:
Σ* = {A = B ∪ Z | B ∈ Σ, Z µ-нулевое}
и на Σ* введем µ* формулой: µ*A = µB.
Доказать: 1) Σ ⊂ Σ*; 2) на Σ функции µ и µ* совпадают; 3) Σ* –
σ-алгебра; 4) µ* – полная мера на ней.
Указанная процедура называется лебеговским пополнением
меры µ.
Указание. Для доказательства единственности µ* предположим, что A = B1 ∪ Z 1 = B2 ∪ Z 2 , тогда
A = A ∩ A = ( B1 ∩ B2 ) ∪ ( B1 ∩ Z 2 ) ∪ ( B2 ∩ Z 1 ) ∪ ( Z 1 ∩ Z 2 )  ,
откуда легко следует равенство µ* A = µ ( B1 ∩ B2 ) = µB1 = µB2 . Если
же показать, что CA = ( CB ∩ CZ 0 ) ∪ ( CB ∩ ( Z 0 \ Z ) ) , то из A ∈ Σ*
легко следует CA ∈ Σ*.
Все остальные пункты доказываются очевидным образом.
2.8. Пусть µ определена на Σ. Элементы A, B ∈ Σ назовем
µ
µ-эквивалентными (обозначим так: A ~ B ), если µ( A∆ B ) = 0 . Доказать, что это действительно отношение эквивалентности, т.е. что
имеют место следующие свойства:
µ
1) A ~ A – рефлексивность;
µ
µ
2) A ~ B ⇒ B ~ A – симметричность;
µ
µ
µ
3) A ~ B , B ~ D ⇒ A ~ D – транзитивность.
Указание. Для доказательства транзитивности нужно показать, что A∆ D ⊂ ( A∆ B ) ∪ ( B ∆ D ).
µ
2.9. Доказать, что A ~ X тогда и только тогда, когда
µ A = µ X.
23
µ
2.10. Доказать, что если A ~ B , то µA = µB.
Указание. Представьте A = (A\B) ∪ (A ∩ B), после чего учтите, что A \ B ⊂ A∆ B и что B имеет аналогичное представление.
2.11. Решить задачу 2.5, используя результат задачи 2.9.
2.12. Пусть E ⊂ X неизмеримо, A – множество меры нуль
и µ – полная мера. Доказать, что A ∪ CE неизмеримо.
Указание. A ∪ CE = C(CA ∩ E ).
n
2.13. Пусть A1, A2, ..., An ∈ Σ и ∑ µ Ai > ( n − 1) µX . Доказать,
i =1
n
что ∩ Ai имеет положительную меру.
i =1
Указание. Обоснуйте равенство
n
n
i =1
i =1
µ ∩ Ai = µ X − µ ∪ CAi .
24
3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть (Χ, Σ) – измеримое пространство и f: Χ → R. Для краткости множество {x ∈ Χ | f (x) < α} будем обозначать Χ( f < α). Очевидный смысл имеют обозначения Χ ( f ≤ α), Χ (α ≤ f ≤ β) и т.д.
Определение. Функция f: Χ → R называется измеримой, если
Χ ( f < α) ∈ Σ для любого α ∈ R.
Теорема 3.1. Функция f измерима тогда и только тогда, когда
измеримо каждое из множеств Χ ( f ≤ α), Χ ( f > α), Χ ( f ≥ α) для
всех α ∈ R.
Доказательство. Пусть f измерима. Легко видеть, что
1

X ( f ≤ α ) = ∩ X  f < α + . Действительно, f (x) ≤ α тогда и тольn

n ≥1
1
ко тогда, когда f ( x ) < α + для любого n ∈ Ν. Следовательно,
n
Χ ( f ≤ α) ∈ Σ. Обратно: если для любого α ∈ R имеет место
1

Χ ( f ≤ α) ∈ Σ, то из равенства X ( f < α ) = ∪ X  f ≤ α −  следуn

n ≥1
ет, что f измерима. Осталось заметить, что Χ ( f > α) = СΧ ( f ≤ α),
а Χ ( f ≥ α) = СΧ ( f < α).
Следствие. Из измеримости f следует измеримость множества Χ (α < f < β), поскольку Χ (α < f < β) = Χ ( f > α) ∩ Χ ( f < β).
Аналогично доказывается измеримость X (α ≤ f < β), X ( f = α) и т.п.
25
Перейдем к изучению свойств измеримых функций, при этом
всякий раз будем пользоваться следующим приемом: будем доказывать, что при любых α ∈ R лебеговское множество X ( f < α) является такой конструкцией из измеримых множеств, которая
не выходит за рамки Σ.
С.3.1. Если f ≡ const, то f измерима. Если f измерима и a, b ∈ R,
то af + b также измерима.
Доказательство. Если f ≡ с, то
 ∅ при с ≥ α ;
X ( f < α) = 
 X при с < α ,
т.е. f измерима. Если f – измеримая функция и a = 0, то af + b ≡ b,
т.е. af + b измерима; если же a ≠ 0, то
 
α −β 
 X  f < a  , a > 0;
 

X ( f < α ) = X ( af + b < α ) = 
X  f > α − β , a < 0
 
a 
и оба множества, стоящие в правой части равенства, измеримы.
C.3.2. Если f, g измеримы, то X( f < g) ∈ Σ.
Доказательство. Пусть {r1, r2, …} – множество рациональных чисел из R. Легко проверить, что
∞
X ( f < g ) = ∪ ( X ( f < rn ) ∩ X ( g > rn ) ) .
n =1
Действительно, f (x) < g(x) тогда и только тогда, когда найдется rn такое, что f (x) < rn < g(x). Осталось заметить, что множество, стоящее справа, измеримо в силу аксиом Σ.
С.3.3. Сумма (разность) измеримых функций – вновь измеримая функция.
Доказательство. X( f ± g < α) = X ( f < α ± g) ∈ Σ. Последнее
следует из С.3.2 и измеримости α ± g.
26
C.3.4. Произведение измеримых функций – вновь измеримая
функция.
Доказательство. Пусть f измерима, тогда
0, α < 0;
X ( f 2 < α) = 
 X f < α = X − f < α ∩ X f > − α , α ≥ 0,
(
)
(
)
(
)
т.е. f 2 также измерима. Но теперь, в случае измеримости g, функ1 2
2
ция f ⋅ g =
f + g 2 − ( f − g ) также измерима.
2
С.3.5. Если f и g измеримы и g(x) ≠ 0 на X, то f /g также измерима.
Доказательство. Измеримость 1 /g следует из равенства
(
)
 X ( g < 0 ) , α = 0;

1


1 

X  < α  =  X ( g < 0 ) ∪  X ( g > 0 ) ∩ X  g >   , α > 0;
α 


g
 

 X ( g < 0 ) ∩ X  g > 1  , α < 0.



α

Осталось применить С.3.4.
df
Определение. Если D ∈ Σ, f: X → R и D ( f < α) = {x ∈ D | f (x) <
< α} ∈ Σ, (∀ α ∈ R), то f называется измеримой на D.
C.3.6. Если f измерима и D ∈ Σ, то f измерима на D.
Доказательство. Очевидно: D ( f < α) = D ∩ X ( f < α).
С.3.7. Если f измерима на Di, i ≥ 1, и X = ∪ Di , то f измерима.
i ≥1
Доказательство. Также очевидно: X( f < α) = ∪ Di ( f < α ).
i ≥1
Определение. Пусть (X, Σ, µ) – пространство с мерой и мера µ
полна. Будем говорить, что некоторое свойство p(x), x ∈ X выполняется почти всюду на X (п.в. X ), если оно не выполняется на
27
множестве меры нуль. Например,
{
µ x∈ X
}
f n 
→ f (п.в. X ), если
n
f n ( x) →
/ f ( x) = 0 или f (x) = g(x) (п.в. X ), если
n
п.в.
f , во втоµX ( f ≠ g ) = 0 . В первом случае будем писать: f n →
n
ром будем называть f и g эквивалентными.
Из курса анализа известно, что если последовательность
непрерывных функций сходится к f, то непрерывность f гарантируется лишь в случае, когда эта сходимость равномерная. Сейчас будет видно, что для сохранения измеримости предельной функции
достаточно гораздо более слабой сходимости.
Теорема 3.2. Пусть fn, n = 1, 2, ... – последовательность измеримых функций, а f такова, что ∀x ∈ X : lim f n ( x ) = f ( x ) . Тогда f
n
измерима.
(
)
Доказательство. Очевидно: X ( f < α ) = X lim f n < α . Даn
лее, если x таков, что lim f n ( x) < α , то найдутся m, n ∈ N такие,
n
что f k ( x) = α −
вуют, то
1
( ∀k > n ) ; обратно: если такие n и m сущестm
lim f n ( x ) < α . Таким образом, если обозначить
n
1 

Am =  x ∈ X | ∃ n ∀k > n : f n ( x ) < α − , то
m

X (lim f n < α) = ∪ Am .
n
m ≥1
1

Осталось заметить, что Am = lim X  f n < α −  ∈ Σ .
n
m

Условия теоремы 3.2 можно ослабить, если предположить,
что на Σ задана полная мера µ.
28
Теорема 3.3. Пусть (X, Σ, µ) – пространство с мерой и µ полп.в.
на. Если fn (n ≥ 1) – измеримые функции и f n → f , то f измерима.
n
Доказательство. Обозначим X ′ = X ( fn 
→ f ) , X ′′ = ( fn →
/ f ).
n
В силу полноты µ оба эти множества измеримы и µ X ′′ = 0. Поскольку на X ′ все fn измеримы, то по предыдущей теореме
X ′ ( f < α ) измеримо для любого α ∈ R, a X ′′ ( f < α ) измеримо
в силу полноты µ. Следовательно, X ( f < α ) = X ′ ( f < α ) ∪ X ′′ ( f < α )
измеримо.
Определение. Пусть (X, Σ, µ) – пространство с мерой,
fn (n ≥ 1) и f – измеримые функции. Последовательность fn называµ
ется сходящейся к f по мере µ (обозначение: f n 
→ f ), если для
любого ε > 0
lim µX ( f n − f > ε ) = 0 ,
n
или, что то же:
∀ε > 0 ∀δ > 0 ∃ n0 ∀n > n0 : µX ( f n − f ≥ ε ) < δ .
Замечание. В данном определении заранее оговаривается измеримость f. Почему? (см. упражнение 3).
Теперь рассмотрим, как связаны между собой сходимость
поточечная и по мере.
Прежде всего, покажем, что из сходимости по мере не следует сходимости поточечной. Более того, построим пример последовательности, сходящейся по мере, но не сходящейся ни в одной
точке.
Пример. Предположим, что X = [0, 1] и построены Σ и µ такие, что все числовые промежутки (отрезки, полуинтервалы, интервалы) суть множества из Σ, а их мера µ равна их обычной длине.
(Позже увидим, что такая мера существует – мера Лебега). Обозна29
чим I ( D, x ) индикатор множества D ⊂ X и построим последовательность ϕn поэтапно:
этап 1: ϕ1 ( x ) = I ( [0,1], x ) ;
  1 
 1  
этап 2: ϕ 2 ( x ) = I  0,  , x  , ϕ3 ( x ) = I   ,1 , x  ;
2
 

 2  
  1 
 1 2  
этап 3: ϕ 4 ( x ) = I  0,  , x  , ϕ5 ( x ) = I   ,  , x  ,
  3 
 3 3  
 2  
ϕ6 ( x ) = I   ,1 , x  ;
 3  
  1 
 1 2  
этап 4: ϕ7 ( x ) = I  0,  , x  , ϕ8 ( x ) = I   ,  , x  ,
  4 
 4 4  
 2 3  
 3  
ϕ9 ( x ) = I   ,  , x  , ϕ10 ( x ) = I   , 1 , x  ... и т.д.
 4 4  
 4  
µ
Очевидно: ϕn → 0 . Действительно, функция ϕ k ( x ) , построn
енная на n-м этапе, отличается от нуля на множестве, мера которого равна 1/n. Но ϕn ( x ) →
/ 0 ни в одной точке, так как для любого
n
x ∈ X на каждом этапе n найдется ϕkn ( x ) такая, что ϕkn ( x ) = 1. Таким образом, нашлась подпоследовательность функций, значения
которых в точке x не сходятся к нулю.
Однако справедлива следующая теорема:
Теорема 3.4. Пусть ( X , Σ, µ ) – пространство с полной меп.в
рой. Если f n ( n ≥ 1) , f – измеримые функции и f n 
→ f , то
n
µ
f n 
→f.
n
Доказательство. Предположим противное: fn не сходится к f
по мере:
30
( f − f ≥ ε ) ≥δ .
Обозначим Xɶ = lim X ( f − f ≥ ε ) , тогда
µ Xɶ ≥ lim µX ( f − f ≥ ε ) ≥ δ .
∃ ε > 0 ∃δ > 0 ∀nk > k :µ X
nn
nk
nk
Покажем теперь, что на Xɶ нет поточечной сходимости.
Действительно, если x0 ∈ Xɶ , то по определению верхнего предела последовательности множеств найдется подпоследовательность
nki
такая,
x0 ∈ X
что
( f − f ≥ ε) , (∀n ) , т.е.
nk
i
ki
f n ( x0 ) →
/ f ( x0 ) . Таким образом, построено множество ненулевой
n
меры, на котором нет сходимости fn.
Доказанные предложения позволяют теперь утверждать, что
 f → f  ⇒ f 
п.в
µ
→ f ⇒ f n 
→ f и что ни
 n →  ( n n → f ) ⇒ f n 
n
n
n


одна из импликаций не обратима.
Существуют, однако, теоремы, «частично» доказывающие
обратные утверждения. Приведем две из них.
Теорема Егорова. Пусть ( X , Σ , µ ) − пространство с мерой,
(
) (
)
мера µ полна; fn – последовательность измеримых функций
п.в
и f n 
→ f . Тогда для любого ε > 0 найдется такое A∈ Σ , что:
n
а) µCA < ε ;

→
б) на А имеет место f n → f .
n
Доказательство. Очевидно, что теорему достаточно доказать для случая, когда f n 
→ f поточечно, иначе ее можно докаn
зывать, отбросив множество нулевой меры, на котором f n →
/ f.
n
Заметим также, что f – измеримая функция. Зафиксируем m ∈ N
1

и рассмотрим X nm = ∩ X  f k − f <  . Ясно, что X nm ⊂ X nm+1 , поm

k ≥n
31
этому существует lim X nm = ∪ X nm . Докажем, что X ⊂ lim X nm . Дейn
n
n ≥1
ствительно, если x ∈ X , то в силу сходимости f n ( x) 
→ f ( x) найn
дется такое nm , что при k > nm имеет место неравенство
f k ( x) − f ( x) <
1
, т.е. x ∈ X nmm , а значит x ∈ ∪ X nm .
m
n ≥1
Итак, X = lim X nm для любого фиксированного m ∈ N. В силу
n
непрерывности меры ∀ε > 0 ∃ n ( ε, m ) : µ ( X \ X nm( ε,m ) ) <
ε
.
2m
∞
Покажем, что A = ∩ X nm( ε ,m) – искомое множество:
m =1
• во-первых:
∞
∞
µ CA = µ ∪ CX
m=1
m
n ( ε ,m )
≤ Σ µ CX
m=1
∞
m
n ( ε ,m )
• во-вторых: если выберем
∞
= Σµ(X \ X
m
n ( ε ,m )
m0 так, что
1
< ε , то из x ∈ A
m0
m=1
) < ε Σ 21 = ε;
m=1
m
следует, что x ∈ X nm(0ε , m0 ) , т.е. для всех k ≥ n ( ε, m0 ) и для всех x ∈ A

→
имеет место неравенство f k ( x) − f ( x) < ε , т.е. f n → f на А.
n
µ
Теорема Рисса. Если µ полна и f n 
→ f , то из f n можно
n
п.в
выделить f nk такую, что f n 
→ f . Доказательство этой теореk
nk
мы можно найти в [1].
Определение. Пусть {Dk} – конечное или счетное разбиение
X, Dk ∈Σ и yk – числовая последовательность. Функция вида
ϕ( x) = ∑ yk I k ( x) ,
k ≥1
где I k ( x) – индикатор множества Dk , называется простой.
32
Из определения ясно, что простая функция является измеримой, поскольку X ( ϕ < c ) является конечным или счетным объединением множеств Dki .
Ясно также, что если семейство {Dk } счетно, то возможна
иная нумерация множеств Dk : k = 0, ± 1, ± 2, .... Тогда ϕ ( x) может быть записана так:
+∞
ϕ( x) = ∑ yk I k ( x) .
k =−∞
Очень важной является следующая теорема.
Теорема о представлении измеримых функций. Для измеримости f необходимо и достаточно, чтобы она являлась равномерным пределом последовательности простых функций.
Доказательство. Достаточность очевидна в силу измеримости простых функций.
Необходимость. Для любого n ∈ N построим:
+∞
k +1
k
k
Dkn = X  ≤ f <
;
ϕ
(
x
)
=
I k ,n ( x ).
∑
n

n
n


k =−∞ n
Ясно, что при фиксированном n все Dkn ∈ Σ и образуют разбиение X, следовательно, ϕn ( x) простая. Далее
= f ( x ) − ϕn ( x ) ≤
f ( x ) − ϕn ( x ) =
k +1 k 1
− =
для любого x ∈ X , следовательно,
n
n n

→ .
ϕn ( x ) 
→ f
n
Замечание. Из доказательства следует, что ϕn → f. Легко построить последовательность ϕn → f равномерно.
Контрольные вопросы
1. Дать понятие измеримой функции. Сформулировать и доказать утверждения об измеримых функциях.
33
2. Дать понятие сходимости последовательности измеримых
функций по мере. Привести пример, показывающий, что из сходимости по мере не следует поточечная сходимость.
3. Сформулировать теоремы о связи между сходимостью
почти всюду и сходимостью по мере.
4. Дать понятие простой функции. Сформулировать и доказать теорему о представлении измеримых функций.
Упражнение 3
3.1. Пусть f, g – измеримые функции на X, доказать измеримость функций:
а) f + ( x) = max { f ( x), 0} , f − ( x) = min { f ( x), 0} ;
б) f ( x) (использовать п. а));
в) f измерима, если f + и f − измеримы;
г) max{ f ( x), g ( x)}, min{ f ( x), g ( x)};
д) m f ( x) , m ∈ N ;
е) sign f (x);
ж) доказать измеримость X ( f ≠ g ) .
3.2. Доказать, что D ∈ Σ тогда и только тогда, когда измерима I D ( x ) .
3.3. Будет ли измеримой f (x), если измерима f ( x) ?
3.4. Пусть X( f < r) измеримо для любого рационального r.
Доказать измеримость f.
3.5. Пусть X( f < q) измеримо для любого иррационального q.
Доказать измеримость f.
34
4. ИНТЕГРАЛ ПО АБСТРАКТНЫМ МНОЖЕСТВАМ
Пусть ( X , Σ, µ ) – пространство с полной мерой. Вначале
введем определение интеграла для простых функций, определенных на X.
Определение. Простая функция ϕ( x) = ∑ yk I k ( x) называется
k ≥1
интегрируемой на X по мере µ (в дальнейшем – интегрируемой),
если ряд ∑ yk µDk сходится и притом абсолютно. Сумма ряда наk ≥1
зывается интегралом ϕ и обозначается ∫ ϕ , ∫ ϕ , ∫ ϕ d µ в зависимоX
X
сти от контекста.
Итак, по определению
∫ ϕ d µ = ∑ y µ D , из чего следует,
X
k ≥1
k
k
что ∫ ϕ d µ и ∫ ϕ d µ существуют или нет одновременно.
X
X
Заметим, что требование абсолютной сходимости ряда здесь
существенно. Действительно, любая перестановка индексов при
записи ϕ ( x ) не повлияет ни на ее существование, ни на ее значения. Однако если бы ряд ∑ yk µ Dk сходился условно, то по известk ≥1
ной теореме Римана сумму ряда (т.е. значение интеграла!) можно
было бы сделать равной любому наперед заданному числу путем
соответствующей переиндексации слагаемых, что привело бы
35
к неединственности определения интеграла. Заметим также, что
для неотрицательной ϕ это определение носит очевидный геометрический смысл: интеграл есть «площадь ступенчатой фигуры».
Свойства интеграла от простых функций:
С.4.1. Линейность интеграла. Если простые функции ϕ и ψ
интегрируемы, то для любых действительных чисел α и β имеет
место равенство
∫ (α ϕ+βψ ) d µ = α ∫ ϕ d µ +β ∫ ψ d µ .
X
X
X
Доказательство. Пусть ϕ = ∑ yk I Dk , ψ = ∑ z j I B j . Очевидно
k ≥1
j ≥1
αϕ + βψ = ∑ (α yk + β z j ) I Dk ∩ B j ,
k , j ≥1
т.е. αϕ + βψ – снова простая функция. Рассмотрим оценку частной
суммы:
∑ αϕ + β z µ D ∩ B ≤ α ∑ y µ D ∩ B + β ∑ z µ D ∩ B ≤
k
j
k
j
k
k, j
k
j
j
k, j
k
j
k, j
n
m
k =1
j =1
≤ (найдутся такие n и m) ≤ α ∑ yk µ Dk + β ∑ z j µ B j .
n
В силу интегрируемости ϕ и ψ, ∃ M , N ∈ R : ∑ yk µ Dk ≤ N ;
k =1
m
∑ z µ B ≤ M ( ∀n, m ) , откуда следует интегрируемость αϕ + βψ .
j =1
j
j
Но тогда
∫ ( αϕ + βψ ) d µ = ∑ ( α y + β z ) µ ( D ∩ B ) = α∑ y ∑ µ D ∩ B +
k
j
k
j
k, j
X
k
k
k
j
j
+β∑ z j ∑ µ Dk ∩ B j = α ∑ yk µ Dk + β∑ z j µ B j = α ∫ ϕ d µ + ∫ ψ d µ .
j
36
k
k
j
X
X
С.4.2. Если ϕ интегрируема и неотрицательна на X, то
∫ ϕ dµ ≥ 0 .
X
Доказательство очевидно.
С.4.3. Достаточное условие интегрируемости. Если ϕ, ψ –
простые, ϕ ≤ ψ и ψ интегрируема, то ϕ также интегрируема.
Доказательство. Пусть ϕ = ∑ yk I Dk , ψ = ∑ z j I B j . Введя ноk ≥1
j ≥1
вое разбиение An = Dk ∩ B j , получим ϕ = ∑ yɶ n I An , ψ = ∑ zɶn I An . При
n
этом очевидно:
n
yɶ n µ An ≤ zɶn µ An , что в силу признака сравнения
для знакоположительных рядов означает интегрируемость ϕ.
Следствие. Если ϕ ( х) ≤ M , x ∈ X , то ϕ интегрируема, причем
∫ ϕ d µ ≤ M µX .
Доказательство. Как легко видеть, функция ψ (x) ≡ Μ на Χ
простая интегрируемая, значит, ϕ также интегрируема, но тогда
∫ ϕ d µ ≤ ∑ y µ D ≤ M ∑ µ D = M ⋅ µX .
X
k ≥1
k
k
k
k ≥1
Перейдем теперь к определению интеграла от функций, вообще говоря, не являющихся простыми.
Определение. Функция f: X → R называется интегрируемой,
если существует последовательность простых интегрируемых

→ f на X. В этом случае, по определефункций ϕn таких, что ϕn 
→
n
df
нию, интегралом от f назовем lim ∫ ϕn d µ = ∫ f d µ .
n
X
X
Из определения следует, что если f интегрируема, то она измерима как предел измеримых функций.
37
Ясно также, что для корректности этого определения следует
доказать, что lim ∫ ϕn d µ существует и не зависит от выбора ϕn.
n
X
Кроме того, необходимо убедиться и в том, что если f, в свою
очередь, простая, то новый интеграл будет иметь то же значение,
что и ранее введенный, т.е. нужно показать, что введенный интеграл – продолжение интеграла с класса простых функций на более
широкий класс функций.

→ , то по Критерию Коши ϕ – равномерно
Итак, если ϕn 
f
n
→
n
фундаментальна, т.е.
∀ε > 0 ∃ nε ∀n, m > nε ∀x ∈ X : ϕn ( x ) − ϕm ( x ) < ε,
∫ ϕ − ∫ ϕ = ∫ ( ϕ − ϕ ) < ε ⋅ µ X ( ∀n, m > n ), т.е. ∫ ϕ
но тогда
n
m
n
ε
m
n
X
фундаментальна, а значит, сходится.

→

→
Пусть теперь ϕn 
f , ψn 
f
→
→
n
n
и ϕn , ψ n интегрируемые.
Тогда последовательность ξ n : ϕ1 , ψ1 , ϕ2 , ψ 2 , ..., ϕn , ψ n , ... также сходится к f равномерно. Но тогда очевидны равенства:
lim ∫ ξn d µ = ∫ f d µ = lim ∫ ϕn d µ = lim ∫ ψn d µ , т.е. ∫ f dµ не зависит от
n
X
X
X
X
X

→ .
выбора ϕn 
→f
n
Наконец, если f – простая интегрируемая функция, то последовательность ϕn : f , f , f , ..., f , ... равномерно сходится к f,
а значит, ∫ f d µ = lim ∫ ϕn d µ = ∫ f d µ , где слева стоит интеграл, поX
X
X
нимаемый в смысле нового определения, справа – интеграл от простой функции.
38
Свойства интеграла
С.4.4. Линейность интеграла. Если f и g интегрируемы, то
∀α , β∈ R ∃∫ ( αf + βg ) d µ , причем
X
∫ ( αf + β g ) d µ = α ∫ f d µ + β ∫ g d µ .
X
X
X

→

→ , тогда очевидно
Доказательство. Пусть ϕn 
→ f , ψn 
→g
n
n

→
αϕn + βψ n 
→ αf + β g ,
n
а так как в силу свойства С.4.1 функция αϕn + βψ n простая интегрируемая, то αf + β g интегрируемая, но тогда
∫ (αf + βg )d µ = lim ∫ (αϕ + βψ ) d µ =
n
X
n
X
= α lim ∫ ϕ d µ + β lim ∫ ϕn d µ = α ∫ f d µ + β ∫ g d µ.
X
X
X
X
С.4.5. Если f ≥ 0 и интегрируема, то ∫ f d µ ≥ 0.
X
Доказательство. Из обратного неравенства треугольника:

→ .
ϕn − f = ϕ n − f ≤ ϕ n − f 
→0
n

→ , а так как ϕ простые интегрируемые, то
Значит, ϕn 
n
→f
n
∫ f d µ = lim ∫ ϕ d µ ≥ 0.
n
X
n
X
Следствие. Если f ≤ g и обе функции интегрируемы, то
∫ f dµ ≤ ∫ g dµ .
X
X
Доказательство стандартное: F(x) = g(x) – f (x) ≥ 0 и F интегрируема, значит, ∫ F d µ = ∫ g d µ − ∫ f d µ ≥ 0 .
X
X
X
39
С.4.6. Достаточное условие интегрируемости.
Пусть f – измеримая, g – интегрируемая функции и f (x) ≤ g ( x)
( ∀x ∈ X ). Тогда f интегрируема.
Доказательство. Предположим сначала, что существует с > 0
такое, что f ( x ) ≤ g ( x ) − c ( ∀x ∈ X ) . Тогда, в силу измеримости f

→
найдется последовательность простых функций ϕn 
→f.
n

→ .
Кроме того, найдутся простые интегрируемые ψ n : ψ n 
→g
n
Поскольку

→
ϕn − f ≤ ϕn − f 
0, найдется nc ∈ N такой,
→
n
c
c
что одновременно ψn − g < , ϕn − f < ( ∀x ∈ X , ∀n > nc ) , а тогда
2
2
c
c
c
ϕn ( x ) < + f ( x ) ≤ + g ( x ) − c = g ( x ) − < ψ n ( x ) .
2
2
2
Отсюда следует интегрируемость ϕn ( x ) , а с ней и интегрируемость f (x). Если же указанного с не найдется, то положим
gɶ ( x) = g ( x) + 1. Тогда gɶ ( x) – интегрируемая функция, при этом
f ( x ) < gɶ ( x ) − 1, откуда, по доказанному, следует интегрируе-
мость f.
Следствие 1. Функции f и f интегрируемы или нет одновременно для любой измеримой f.
Доказательство. Если f интегрируема, то интегрируемость f следует из неравенства f ≤ f . Если же f интегрируема, то
найдется последовательность ϕn простых интегрируемых функ
→ , а поскольку ϕ также интегрируемы
ций такая, что ϕn 
n
→f
n

→ , то и f интегрируема.
и ϕn 
→ f
n
40
Замечание. Как известно, для интеграла Римана это свойство
справедливо лишь в одну сторону: из интегрируемости f следует
интегрируемость f .
Следствие 2. Если f интегрируема, то ∫ f d µ ≤ ∫ f d µ.
X
Доказательство. Так как f
X
интегрируема, то достаточно
проинтегрировать неравенство – f ≤ f ≤ f .
Следствие 3. Если f измерима и ограничена: f ( x) ≤ M , то
она интегрируема и
∫ f d µ ≤ M ⋅ µX .
X
Доказательство следует из интегрируемости g ≡ M и предыдущего следствия.
Определение. Пусть f : X → R, D ∈ Σ . Функция f называется
интегрируемой на множестве D, если существует ∫ f I D dµ , при
X
этом полагают:
∫ f d µ = ∫ f I d µ.
D
D
X
Из определения следует, что если f интегрируема на X, то она
интегрируема на любом D ∈ Σ , поскольку на X имеет место неравенство f I D ≤ f .
Ясно также, что ∫ f dµ обладает всеми указанными свойD
ствами интеграла
∫ f dµ , их можно доказать для X = D
X
41
и
Σ = { A ∩ D, A ∈ Σ}. Однако введенный интеграл получает
D
и некоторые новые свойства.
С.4.7. Абсолютная непрерывность интеграла.
Если f измерима и µ D = 0 , то ∫ f dµ = 0.
D
Доказательство. Если f = ∑ yk I Dk – простая функция, то
k ≥1
f ⋅ I D = ∑ yk I D ∩ Dk и ряд ∑ yk µ D ∩ Dk сходится абсолютно, так
k ≥1
k ≥1
как µ D ∩ Dk = 0 , при этом ∫ f dµ = 0 . В противном случае найдетD

→
ся последовательность простых функций ϕn 
f . Очевидно:
→
n

→
ϕn I D 
→ f I D , но ϕn I D – интегрируемая на X простая функция
n


 причем ∫ ϕn I D d µ = 0  . Значит, f ⋅ I D ( x) также интегрируема на X

X

и ∫ f I D dµ = 0 .
x
В дальнейшем нам понадобится следующее замечание: если f –
фиксированная функция и для ∀D ∈ Σ
∃∫ f d µ , то функция
D
ν ( D ) = ∫ f d µ является функцией множеств, определенной на Σ.
D
C.4.8. Счетная аддитивность ∫ f dµ как функции мноD
жеств.
Если {Dk}, k ≥ 1 – разбиение X, Dk ∈ Σ и f интегрируема на X, то
∫ f dµ = ∑ ∫ f dµ,
X
k ≥1 Dk
причем ряд, стоящий справа, сходится абсолютно.
42
Доказательство. Если f = ∑ yi I Aj – простая, то
j ≥1




∫ f d µ = ∑ y µ A = ∑  ∑ y µ A ∩ D  = ∑  ∑ y µ A ∩ D  .
j ≥1
X
j
j
j ≥1
j
k ≥1
j
k
k ≥1
j
j ≥1
j
k
Ряд, стоящий справа, сходится абсолютно:


∑ ∑ y µ A ∩ D ≤ ∑  ∑ y µ A ∩ D  = ∑ y µ A < +∞.
j
j
k
j
j
k
j
j
 j ≥1
 j ≥1
(Здесь мы воспользовались перестановочным свойством абсо-
k ≥1 j ≥1
k ≥1
лютно сходящегося ряда ∑ y j µ A j ). Следовательно, ∫ f dµ = ∑ ∫ f dµ
j ≥1
k ≥1 Dk
X
и ряд сходится абсолютно.
Если же f не является простой, то ∀ε > 0 ∃ ϕ ( x ) – простая
f ( x ) − ϕ ( x ) < ε ( ∀x ∈ X ) . Пусть
интегрируемая, такая, что
n
Sn = ∑ ∫ f d µ – частная сумма ряда. Тогда
k =1 Dk
∫ f dµ − S ≤ ∫ f dµ − ∫ ϕ dµ + ∫ ϕ dµ − S ≤
n
n
X
X
X
X
∞
n
≤ ∫ f − ϕ dµ + ∑ ∫ ϕ dµ − ∫ f dµ + ∑ ∫ ϕ dµ ≤
k =1 Dk
X
n
Dk
∞
≤ εµX + ∑ ∫ ϕ − f d µ + ∑
k =1 Dk
k = n +1 Dk
∞
∫ ϕ d µ < 2 εµ X + ∑
k = n +1 Dk
∫ f dµ .
k = n +1 Dk
Последнее слагаемое является остатком сходящегося ряда
и, следовательно, ∃ nε ∀n > nε : ∫ f d µ − Sn ≤ 3ε ⋅ µX . Осталось покаX
зать абсолютную сходимость ряда:
43
n
n
n
n
k =1 Dk
k =1 Dk
k =1 Dk
k =1 Dk
∑ ∫ f d µ ≤ ∑ ∫ ( f − ϕ) d µ + ∑ ∫ ϕ d µ ≤ εµ X + ∑ ∫ ϕ d µ .
Последняя сумма ограничена относительно n как частная
n
сумма положительно сходящегося ряда, а значит, ∑ ∫ f d µ – огk =1 Dk
раниченная последовательность, откуда и следует сходимость ряда
из абсолютных величин.
Следствие. Если f ≥ 0 интегрируема на X, то равенство
ν ( D) = ∫ f dµ
D
определяет на Σ меру ν, в частности, µ D = ∫ 1d µ .
D
С.4.9. Если ∫ f dµ = 0 , то f = 0 почти всюду на X.
X
1

Доказательство. Пусть Dn = X  f ≥ , тогда, очевидно,
n

Dn ⊂ Dn +1 и X ( f ≠ 0 ) = X ( f > 0 ) = ∪ Dn = lim Dn , следовательно,
n


µ X ( f ≠ 0 ) = lim µDn = lim ∫ 1 d µ ≤ lim  n ∫ f d µ  = 0 ,
n 

Dn
 Dn

так как ∫ f dµ = 0 .
Dn
Очень важным вопросом в теории интеграла является вопрос
о возможности предельного перехода под знаком интеграла:
lim ∫ f n d µ = ∫ lim f n d µ.
n
44
В теории интеграла Римана достаточные условия возможности такого перехода накладывают на вид сходимости f n 
→f
n
довольно жесткие условия: последовательность интегрируемых f n
должна сходиться равномерно.
В нашем случае оказывается, что эти условия можно существенно смягчить. Известно несколько достаточных условий. Приведем с доказательством одно из них.
Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
Пусть f n 
→ f , f n ≤ g , где g измерима и ограничена. Тоn
гда f интегрируема на X и lim ∫ f n d µ = ∫ f d µ .
n
X
X
Доказательство. Прежде всего, отметим, что f n интегрируемы (С.4.6). Из условий теоремы следует, что f ≤ g , а значит, f
также интегрируема. Очевидно, что Dk = X ( k − 1 ≤ g < k ) , k = 1, 2, ...
измеримы и образуют разбиение X, следовательно, (С.4.8),
∫ g d µ = ∑ ∫ g d µ и ряд сходится абсолютно (впрочем, так как
k ≥1 Dk
X
g ≥ 0 , он по-другому и не может сходиться). Обозначим
X m = ∪ Dk . В силу указанной сходимости ряда ∀ε > 0 ∃ m :
k ≥ m +1
∑ ∫ g dµ = ∫ g dµ < ε .
k ≥ m +1 Dk
Xm
Разобьем CX m в соответствии с теоремой Егорова: CXm = A ∪ B,

→ , т.е. ∃n ∀n > n ∀x ∈ B :
A ∩ B = ∅, µA < ε , и на B имеет место: f n 
ε
ε
→f
n
f n ( x ) − f ( x ) < ε. Тогда:
45
∫ f dµ − ∫ f dµ ≤ ∫ f d µ − ∫ f dµ + ∫ f d µ − ∫ f d µ + ∫ f dµ − ∫ f dµ ≤
n
n
X
X
Xm
n
Xm
n
A
A
B
B
≤ ∫ fn dµ + ∫ f dµ + ∫ fn dµ + ∫ f dµ + ∫ fn − f dµ ≤ 2 ∫ g dµ +2∫ g dµ +
Xm
Xm
A
A
B
Xm
A
+ε ∫ d µ ≤ 2ε + 2sup g ⋅ µ A + ε ⋅ µB ≤ 2ε(1 + 2sup g ) + εµX = ε′ ,
A
B
X
где ε′ – произвольное положительное число. Таким образом,
∀ε′ > 0 ∃nε′∀n > nε′ : ∫ f n d µ − ∫ f d µ < ε′ .
X
X
Сформулируем без доказательства еще две важные теоремы:
Теорема Леви. Пусть f1 ≤ f 2 ≤ ... ≤ f n ≤ ... и ∃ M ∀n ∈ N :
∫ f d µ ≤ M . Тогда существует интегрируемая f такая, что
n
X
п.в
f n 
→ f и lim ∫ f n d µ = ∫ f d µ .
n
n
X
X
п.в.
Теорема Фату. Пусть f n ≥ 0 на X, f n →
f и ∃M ∀n∈ N :
n
∫ f d µ ≤ M . Тогда f интегрируема и ∫ f d µ ≤ M .
n
X
X
Контрольные вопросы
1. Дать понятие интеграла по мере от простой функции.
Сформулировать и доказать утверждения о свойствах интеграла.
2. Дать понятие интеграла по мере от функции, не являющейся простой. Сформулировать и доказать утверждения о свойствах интеграла.
3. Дать понятие функции, интегрируемой на множестве.
Сформулировать и доказать утверждения об абсолютной непрерывности и счетной аддитивности интеграла.
46
4. Сформулировать и доказать теорему Лебега о предельном
переходе под знаком интеграла. Сформулировать теорему Леви
и теорему Фату.
Упражнение 4
Всюду µX < + ∞.
4.1. Теорема о среднем.
Пусть f – измерима и ограничена на Х, тогда найдется ξ ∈
∈ [inf f, sup f ] такое, что
∫ f d µ = ξ ⋅ µX .
X
4.2. Пусть f – интегрируемая, g – измеримая и ограниченная
на Х функции. Доказать, что найдется ξ ∈ [inf g, sup g] такая, что
∫ f g d µ = ξ ∫ f d µ.
X
X
4.3. Пусть А,В ∈ ∑ и A ⊂ В, а f интегрируема на Х. Доказать
неравенство
∫ f dµ ≤ ∫ f dµ .
A
B
4.4. Пусть fn и f интегрируемы на Х, n = 1, 2, 3, ... Доказать,
что

 

→ 0  ⇒  ∫ f n d µ 
→ ∫ f d µ .
 ∫ f n − f d µ 
n
n
X
 X
X

4.5. Пусть fn удовлетворяет на Х теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, h( x) – измеримая ограниченная функция. Доказать, что
lim ∫ f n hd µ = ∫ lim f n hd µ .
n
X
X
n
47
4.6. Пусть f интегрируема на Х. Доказать неравенство
µ X ( f ≥ C) ≤
Указание. µX ( f ≥ C ) =
1
f d µ , где С > 0 .
C ∫X
∫ 1⋅ d µ .
X ( f ≥C )
4.7. Доказать обобщение предыдущего неравенства:
µ X ( f ≥ C) ≤
1
n
f d µ , n ∈ N.
n ∫
C X
Замечание. Это неравенство называется неравенством Маркова, а при n = 2 – неравенством Чебышева.
4.8. Пусть f интегрируема на Х и X n = X ( f ≥ n ) , n = 1, 2, ...
Доказать, что lim n µX n = 0 .
n
Указание. Использовать неравенство Чебышева.
4.9. Пусть f измерима на Х, X n = X ( n − 1 ≤ f < n ) , n = 1, 2, ...
Доказать, что f интегрируема тогда и только тогда, когда сходится
ряд ∑ n ⋅ µX n .
n ≥1
Указание. Можно рассмотреть две простые функции:
ϕ( x ) = ∑ n IXn ( x );
n ≥1
ψ ( x ) = ∑ ( n − 1) I X n ( x )
n ≥1
и учесть неравенство ψ ( x ) ≤ f ( x ) ≤ ϕ ( x ) .
4.10. Пусть f n ≥ 0 , n = 1, 2, ... – последовательность измеримых ограниченных на Х функций таких, что ∫ f n dµ 
→ 0 . Можно
n
X
ли утверждать, что f n 
→ 0 хотя бы почти всюду?
n
Указание. См. пример о связи сходимости fn по мере и почти
всюду.
48
4.11. Пусть f ≥ 0 интегрируема на Х и для любого А ∈ ∑
имеет место ∫ fdµ = 0 . Доказать, что f = 0 (п.в. Х).
A
1

Указание. X ( f > 0 ) = ∪ An , где An = X  f >  ↑.
n

n
n
4.12. Пусть X = ∪ Ak , Ak ∈ ∑ и каждый x принадлежит по
k =1
меньшей мере m множествам Аk. Доказать, что хотя бы для одного Аk имеет место
µ Ak ≥
m
µX .
n
Указание. Обосновать неравенство

n

n
∑ µ A = ∫  ∑ I  d µ ≥ m µ X
k =1
k
X
k =1
Ak
и предположить противное.
49
5. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА НА ЧИСЛОВОЙ
ПРЯМОЙ
Рассмотрим одну из конкретных мер – меру Лебега, когда
в качестве Х фигурирует числовой интервал. Будет рассмотрена
классическая схема построения меры и интеграла и показано, что
построенная мера – суть одна из реализаций рассмотренных абстрактных схем. При изложении некоторые интуитивно ясные факты
будем оставлять без доказательства.
Лемма о строении открытых множеств числовой прямой.
Пусть Q ⊂ R – открытое множество, тогда оно является не более
чем счетным объединением попарно непересекающихся открытых
интервалов.
Доказательство. Обозначим через Qɶ множество рациональных точек из Q. Оно счетно и (в силу открытости) Q не пусто,
а каждая точка r ∈ Qɶ принадлежит Q вместе с некоторым интервалом, ее содержащим.
Пусть r ∈ Qɶ . Обозначим через Ωr объединение всех интервалов, содержащих r и содержащихся в Q. Ясно, что Ωr ⊂ Q и Ωr
открыто как объединение открытых множеств.
Покажем, что Ωr – интервал. Действительно, если x, y ∈ Ωr,
то найдутся интервалы ( ax , bx ) и ( a y , by ) , содержащие x и y соот-
ветственно, такие, что r ∈ ( ax , bx ) ∩ ( a y , by ) . Но тогда ( ax , bx ) ∪ ( ay , by ) ,
50
в свою очередь, интервал, содержащий r и содержащий [x, y],
т.е. Ωr содержит вместе с любыми двумя точками и весь отрезок,
соединяющий эти точки.
Покажем теперь, что множество интервалов Ω , r ∈ Qɶ –
{
}
r
искомое. Пусть r , ρ ∈Qɶ . Если Ωr ∩ Ωρ ≠ ∅ , то Ω r ∪ Ωρ – интервал, содержащий как r, так и ρ, т.е. Ωr ∪ Ωρ ⊂ Ωr , Ωρ , что возможно лишь в случае, когда Ωr = Ωρ . Таким образом, Ωr и Ωρ либо
совпадают, либо не пересекаются. Для доказательства же равенства
Q = ∪ Ω , r ∈ Qɶ достаточно показать, что Q ⊂ ∪ Ω , r ∈ Qɶ .
{
}
r
{
r
}
Пусть x ∈ Q, тогда найдется интервал ( ax , bx ) ⊂ Q такой, что
x ∈ ( a x , bx ) , но тогда найдется r ∈ ( a x , bx ) ∩ Qɶ , ( ax , bx ) ⊂ Ω r . Зна-
{
}
чит, x ∈ ∪ Ω r , r ∈ Qɶ . Осталось заметить, что Qɶ – счетное множество.
Замечание. Легко понять, что построенное в лемме представление Q единственно. Действительно, если Q = ∪ Ω n = ∪ ωm , то
n
m
∀n ∃ m ∃ r ∈ Qɶ : r ∈Ωn ∩ωm , откуда следует равенство Ωn = ωm .
Интервалы, существование которых доказано в лемме, всюду
будем называть составляющими или порождающими Q.
Дальнейшая схема построения меры Лебега на числовой
прямой будет выглядеть следующим образом: считая, что длина
интервала (a, b) ( ∀a, b ∈ R ) равна числу b – a (что достаточно естественно), научимся с помощью доказанной леммы измерять открытые множества, затем введем класс множеств на числовой прямой,
элементы которого можно в определенном смысле аппроксимировать открытыми множествами, и продолжим построенную меру на
этот класс. После этого будет показано, что построенный класс яв51
ляется σ-алгеброй, а продолженная на него мера – действительно
σ-аддитивная неотрицательная функция множеств, к тому же полная.
Итак, для всякого интервала (а, b) (a, b ∈ R) положим m(a, b) =
= b – a и назовем это число мерой интервала.
В дальнейшем нам понадобится интуитивно понятная, поэтому приводимая без доказательства (последнее можно найти
в работе [1], [4]) лемма.
Лемма о мере интервала.
Если ( a, b ) ⊂ ∪ ( an , bn ) ; a, b, an, bn ∈ R, n = 1, 2, ..., то
n ≥1
m ( a, b ) ≤ ∑ m ( an , bn ) .
n ≥1
Зафиксируем теперь Х = (a, b) ⊂ R.
Пусть Q ⊂ X – открытое множество.
Определение. Мерой открытого множества назовем число
mQ = ∑ mΩ n ,
n ≥1
где Ωn – интервалы, порождающие Q.
k
Ясно, что ∑ mΩ n < +∞ , поскольку ∀k : ∑ mΩ n ≤ b − a .
n =1
n ≥1
Рассмотрим некоторые свойства меры открытых множеств.
С.5.1. Монотонность.
Если А, В открыты и А ⊂ В, то mA ≤ mB.
Доказательство. Пусть A = ∪ Ω n , B = ∪ ωk . Из А ⊂ В ясно,
n
k
что ∀ n ∃ k: Ω n ⊂ ω k , но тогда очевидно, что mΩ n ≤ mωk , откуда
следует ∑ mΩ n ≤ ∑ mωk .
n
k
С.5.2. Полуаддитивность, счетная аддитивность.
Если Qn, n ∈ N, не более чем счетная система открытых множеств из Х, то m∪ Qn ≤ ∑ mQn ; кроме того, если Qn ∩ Qk = ∅; n ≠ k ;
n≥1
n, k = 1, 2, ..., то:
52
n≥1
m ∪ Qn = ∑ mQn .
n ≥1
n ≥1
Доказательство. Если ряд ∑ mQn расходится, то первое утn ≥1
верждение очевидно. В противном случае обозначим через Ωn составляющие множество Q = ∪ Qn интервалы, а через ω nj – составn≥1
ляющие Qn, n = 1, 2, ... Тогда ∀Ω k найдется система {ω j } такая,
nk
k
что Ω k ⊂ ∪ ω . Из леммы о мере интервала:
nk
jk
nk , j k
k
mΩ k ≤ ∑ mωnjk .
k
nk , lk
Суммируя неравенство по k, получим


∑ mΩ ≤ ∑  ∑ mω  .
k
k
 nk , jk
k
nk
jk

Ряд, стоящий справа, сходится, поэтому возможна любая перегруппировка его членов, следовательно, перегруппировав их и добавив, если нужно, недостающие слагаемые, получим справа ряд


∑  ∑ mω  =∑ mQ .
n
 j
n
j

n
n
Если же Qn попарно не пересекаются, то система {ωnj } является составляющей для Q, откуда и следует второе утверждение.
С.5.3. Если Q1, Q2 – открытые ограниченные множества, то
из включения (а, b) ⊂ Q1 ∪ Q2 следует m(a, b) ≤ mQ1 + mQ2 –
– m(Q1 ∩ Q2).
Примем это свойство без доказательства, однако в качестве
упражнения рекомендуем попробовать доказать его самостоятельно.
53
Введем теперь очень важные понятия внешней и внутренней мер.
Пусть А ⊂ Х. Обозначим A = {Q ⊂ XA ⊂ Q, Q – открыто}.
Ясно, что A ≠ ∅, поскольку есть хотя бы одно открытое множество, покрывающее А: А ⊂ (a, b).
Обозначим
µ ∗ A = inf mQ .
Q∈ A
Ясно, что µ А существует и неотрицательно, поскольку mQ ≥ 0
для всех Q ∈ A.
Определение. Число µ*А называется внешней мерой А.
Легко понять, что это определение не зависит от выбора Х,
так как если есть два интервала Х1 и Х2, содержащих А, то Х = Х1 ∩ Х2
также содержит А и тогда µ*А, определенное с помощью Х, совпадает с µ*А, определенными с помощью Х1 и Х2.
Смысл определения очень прозрачен: измерить «с избытком»
множество (которое не умели измерять) с помощью уже известной
меры. Число µ*А = m(a, b) – µ*(CA), где СА, как обычно, Х\А, назовем внутренней мерой А. Можно показать, что это определение
также не зависит от выбора Х. (Подумайте над геометрией определения.)
Рассмотрим некоторые свойства введенных мер.
С.5.4. Если А открыто, то mA = µ * A.
Доказательство очевидно: inf mQ достигается на А.
*
Q∈A
С.5.5. Монотонность µ и µ*.
Если А ⊂ В ⊂ Х, то µ*А ≤ µ*B, µ*А ≤ µ*B.
Доказательство. Пусть B = {Q ⊂ X B ⊂ Q, Q – открыто}, тогда
из А ⊂ В следует B ⊂ A, но тогда inf mQ ≤ inf mQ , т.е. µ*А ≤ µ*B.
*
Q∈A
Q∈B
Второе неравенство также очевидно: A ⊂ B ⇒ CB ⊂ CA ⇒ µ*CB ≤
≤ µ*CA ⇒ µ*А ≤ µ*B.
54
С.5.6. Для любого А ⊂ Х имеет место неравенство µ*А ≤ µ*A.
Доказательство. По определению µ* для любого ε > 0 найдутся открытые множества Q и G такие, что
ε
ε
A ⊂ Q; CA ⊂ G; µ* A > mQ − ; µ*CA > mG − ,
2
2
*
*
откуда µ А + µ CA > mQ + mG – ε. Поскольку X ⊂ Q ∪ G, то по
лемме о мере интервала mQ + mG ≥ mX = m(a, b), а значит,
µ *А + µ*CA ≥ m(a, b) – ε или (в силу произвольности ε) µ*А +
+ µ*CA ≥ m(a, b).
С.5.7. Если An ⊂ X , A = ∪ An , то µ* A ≤ ∑ µ* An ; если, кроме
n ≥1
n ≥1
того, Аn попарно не пересекаются, то µ* A ≥ ∑ µ * An .
n ≥1
Доказательство вновь основывается на определениях. Докажем, например, первое утверждение.
Для произвольного ε > 0 выберем открытые Qn такие, что
ε
Qn ⊃ An, µ* An > mQn − n , n = 1, 2, . . . , тогда (поскольку A ⊂ ∪ Qn )
2
n
ε 

µ* A ≤ µ* ∪ Qn = m∪ Qn ≤ ∑ mQn < ∑  µ* An + n  = ∑ µ* An + ε . Оста2  n≤1
n ≤1
n ≤1 
n ≥1
n ≥1
лось воспользоваться произвольностью ε.
Определение. Множество А ⊂ Х называется измеримым по
Лебегу, если µ*A = µ*A, при этом число µA = µ*A = µ*A называется
мерой Лебега множества А.
Необходимое условие измеримости. Если А ⊂ Х измеримо
по Лебегу, то для любого ε > 0 найдутся открытые Q ⊃ A и G ⊃ CA
такие, что m(Q ∩ G) < ε.
Доказательство. Пусть ε > 0. Выберем Q и G так, чтобы
ε
ε
mQ < µ*A + , mG < µ*CA + . Тогда mQ + mG < µ*A + µ*CA + ε =
2
2
55
= µ*A + m(a, b) – µ*A + ε = m(a, b) + ε, но (a, b) ⊂ Q ∩ G, поэтому
m(a, b) ≤ mQ + mG – m(Q ∩ G) (С.5.3). Значит, m(Q ∩ G) < ε.
Критерий Валле – Пуссена. Множество А ⊂ Х измеримо по
Лебегу тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется конечная система {ω1, ω1, …, ωn} попарно непересекающихся интервалов такая, что
n


µ∗  A ∆ ∪ ωk  < ε .
 k =1 
n
Доказательство. Обозначим Sn = ∪ ωk .
k =1
Необходимость. Пусть число µ*A = µ*A. Для ε > 0 выберем Q
и G в силу необходимых условий измеримости. Возьмем первые n
интервалов ωk , составляющих Q, где n выберем из условия
∑ mω < ε .
k ≥ n +1
k
Тогда
A ⊂ Q ⇒ A \ Sn ⊂ Q \ S n = ∪ ωk ⇒ µ∗ ( A \ S n ) < ε ;
k ≥ n +1
S n \ A = S n ∩ CA ⊂ Q ∩ G ⇒ µ∗ ( Sn \ A ) ≤ µ∗ ( Q ∩ G ) < ε ;
µ∗ ( A∆ S n ) = µ∗ ( A \ S n ) ∪ ( Sn \ A ) ≤ µ∗ ( A \ S n ) + µ∗ ( Sn \ A ) < 2ε .
Необходимость доказана.
Для доказательства достаточности заметим, что A ⊂ S n ∪
∪ ( A ∆S n ) , CA ⊂ CSn ∪ ( A∆S n ). Действительно:
Sn ∪ ( A∆ S n ) = S n ∪ ( A ∩ CSn ) ∪ (CA ∩ S n ) = S n ∪ ( A ∩ CS n ) =
= ( S n ∪ A) ∩ ( S n ∪ CS n ) = S n ∪ A ⊃ A .
Второе включение доказывается аналогично (доказать!).
Если теперь ∀ε > 0∃{ωk }: µ* ( A∆S n ) < ε , то из приведенных
включений следует:
56
µ*A ≤ µ*Sn + ε;
µ*CA ≤ µ*CSn + ε,
откуда µ*A + µ*CA ≤ µ*Sn + µ*CSn + 2ε или (по определению внутренней меры) 0 ≤ µ*A – µ*A ≤ µ*Sn – µ*Sn + ε. Из свойства С.5.6
µ* Sn ≥ ∑ µ*ωk , откуда: µ* Sn − µ*Sn ≤ ∑( µ* ωk − µ*ωk ) т.е. µ * A − µ* A ≤
n
n
k =1
k =1
≤ ∑ ( µ * ωk − µ *ω k ) + ε .
n
k =1
Учитывая, что ωk – интервал, легко убедиться, что µ*ωk – µ*ωk
может быть сделано сколь угодно малым (проверьте!), откуда следует, что µ*A – µ*A – сколь угодно малое положительное число,
т.е. µ*A = µ*A.
Свойства меры Лебега
C.5.8. Всякое открытое Q ⊂ X измеримо по Лебегу, причем
mQ = µQ.
Доказательство. Пусть Q = ∑ ωk , где ωk – составляющие инk ≥1
n
n
k =1
k =1
тервалы. Для любого n имеет место: Q ∆ ∪ ωk = Q \ ∪ ωk = ∪ ωk .
Осталось выбрать n так, чтобы

k ≥ n +1
n

∑ µ ω < ε : µ  Q∆∑ ω  ≤
*
k ≥ n +1
*
k
k =1
k
≤ ∑ µ * ωk < ε .
k ≥ n +1
Значит, µ*Q = µ*Q = µQ. Но µ*Q = mQ, т.е. µQ = mQ.
C.5.9. Объединение, дополнение, пересечение, разность,
симметрическая разность измеримых по Лебегу множеств вновь
измеримы по Лебегу.
Доказательство. Пусть A, B измеримы по Лебегу. По критерию Валле – Пуссена подберем объединения SnA и SmB такие, что
µ* ( A∆S nA ) < ε ,
µ* ( B∆S nB ) < ε . Поскольку
( A ∪ B ) ∆ ( SnA ∪ SmB ) ⊂
57
⊂ ( A∆SnA ) ∪ ( B∆SmB ) , то µ* ( A ∪ B ) ∆ ( SnA ∪ S mB ) ≤ 2ε и для доказа-
тельства измеримости A∪B достаточно показать, что SnA ∪ S mB может быть представлено как объединение конечного числа попарно
непересекающихся интервалов. Но это очевидно: с каждым из интервалов системы, построенной для А, нужно объединить все пересекающиеся с ним интервалы из системы, построенной для В.
Докажем измеримость дополнения:
µ*A = m(a, b) – µ*CA;
µ*CA = m(a, b) – µ*A,
но µ*A = µ*A, следовательно, µ*CA = µ*CA.
Измеримость пересечения теперь очевидна: A ∩ B = C ( CA ∩ CB) .
Очевидны также измеримость разности: A \ B = A ∩ CB и симметрической разности: A∆B = ( B \ A ) ∪ ( B \ A ) .
С.5.10. Если An ⊂ X, n = 1, 2, … измеримы и попарно не пересекаются, то ∑ An также измерима, причем µ∑ An = ∑ µAn .
n ≥1
n ≥1
n ≥1
Доказательство следует из системы неравенств:
∑ µA = ∑ µ A ≤ µ ∪ A ≤ µ ∪ A ≤ ∑ µ A = ∑ µA .
*
*
n ≥1
n
n ≥1
*
n
n
*
n ≥1
n
n ≥1
n ≥1
n
n ≥1
n
С.5.11. Класс Σ измеримых по Лебегу на Х множеств является σ-алгеброй.
Доказательство. Поскольку X ∈ Σ, а из A ∈ Σ следует, что
CA ∈ Σ, то нам остается доказать, что An ∈ Σ, n ≥ 1, влечет
∪ An ∈ Σ , но это следует из предыдущего свойства, если заметить,
n ≥1
что
n −1
An \ ∪ Ak ∈ Σ (∀n) ;
k =1
58
n −1


A
=
A
\
∪
∪
n
 n ∪ Ak  ; A0 = ∅ .
n ≥1
n ≥1 
k =1

Таким образом, построенная мера Лебега действительно является σ-аддитивной неотрицательной функцией (это следует из
С.5.10), определенной на σ-алгебре.
С.5.12. Мера Лебега полна.
Доказательство. Пусть A ⊂ B и µB = 0.
Тогда 0 ≤ µ*A ≤ µ*A ≤ µ*B = µB = 0 ⇒ µ*A = µ*A, т.е. A измеримо по Лебегу (естественно, его мера также равна нулю).
Таким образом, для построенной меры имеют место все факты, доказанные для абстрактного случая. Однако, по-видимому,
надо ожидать, что в силу конкретного характера множества Х
у меры Лебега и интеграла по этой мере, называемого интегралом
Лебега, появятся и новые свойства. Проиллюстрируем это на следующих утверждениях.
Теорема об измеримости непрерывной функции.
Непрерывная на Х функция измерима.
Доказательство. В силу теоремы Коши о сохранении знака
непрерывной функцией из неравенства f (x) < c следует существование окрестности Uδ(x) ⊂ (a, b) такой, что y ∈ Uδ(x) ⇒ f (y) < c,
т.е. множество X( f < c) открыто, а значит, измеримо по Лебегу для
любого c ∈ R.
Интегрируемость по Лебегу функции Дирихле.
Функция Iq(x), где q – множество рациональных точек из
(a ; b) , интегрируема по Лебегу на (a ; b) .
Доказательство. Если {x} ⊂ (a, b) – одноточечное множество, то очевидно: µ*{x} = 0 ⇒ µ{x} = 0 ⇒ q измеримо по Лебегу как
счетное объединение одноточечных множеств и µq = 0. Следовательно, I q (x) – простая интегрируемая функция и
∫ I dµ =
q
X
= 1 ⋅ µq + 0 ⋅ µCq = 0 .
Напомним, что Iq(x) не интегрируема по Риману.
59
Сравнение интегралов Римана и Лебега.
Если f интегрируема на (a, b) по Риману, то она интегрируема
по Лебегу, причем интегралы совпадают.
Доказательство. Наиболее просто эта теорема доказывается
с помощью теоремы Леви о предельном переходе под знаком интеграла: разобьем отрезок (a, b) на n равных частей и каждое последующее разбиение получим из предыдущего делением отрезков
пополам. Тогда, как известно из теории интеграла Римана, из интегрируемости f следует, что
b
∫ f ( x)dx = lim S = lim s ,
n
a
n
n
n
где Sn и sn – соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу:
n
S n = ∑ M k ∆ xk ;
k =1
M k = sup { f ( x) x ∈ [ xk −1 , xk ]} ;
n
sn = ∑ mk ∆xk ;
k =1
mk = inf { f ( x) x ∈ [ xk −1 , xk ]} .
Поскольку ∆xk = (xk – xk–1) = µ[xk–1, xk], то функции
n
Ф n ( x) = ∑ M k I[ xk −1 , xk ] ( x);
k =1
n
ϕn = ∑ mk I[ xk −1 , xk ] ( x)
k =1
являются простыми, интегрируемыми по мере Лебега функциями.
Легко понять, что в каждой точке x последовательность значений
ϕn(x) возрастает, а Фn(x) убывает и ϕn(x) ограничены сверху, а Фn(x)
ограничены снизу, поскольку f ограничена в силу интегрируемости
по Риману, а ϕn ≤ f ≤ Фn. Значит, по теореме Леви найдутся ϕ и Ф
п.в
п.в
такие, что ϕn 
→ϕ, Ф n 
→ Ф и ∫ ϕd µ = lim ∫ ϕn d µ , ∫ Фd µ =
n
n
X
= lim ∫ Ф n d µ .
n
60
X
n
X
X
Но
n
∫ ϕn d µ = ∑ mk µ [ xk −1 , xk ] = sn . Аналогично
∫ Ф dµ = S ,
X
X
k =1
n
n
b
следовательно, ∫ ϕn d µ = ∫ Фd µ = ∫ f ( x)dx . Осталось заметить, что
в этом случае
X
X
a
∫ Фd µ − ∫ ϕd µ = ∫ (Ф − ϕ ) d µ = 0 ,
X
X
X
значит, Ф = ϕ п.в на X, но так как очевидно, что ϕ ≤ f ≤ Ф, то
Ф = ϕ = f п.в на Х, и значит,
b
∫ Фd µ = ∫ ϕd µ = ∫ fd µ ⇒ ∫ fd µ = ∫ f ( x)dx .
X
X
X
X
a
Контрольные вопросы
1. Сформулировать и доказать лемму о строении открытых
множеств числовой прямой. Сформулировать лемму о мере интервала.
2. Дать понятие меры открытого множества. Сформулировать и доказать утверждения о мере открытых множеств.
3. Дать понятие множества, измеримого по Лебегу, и понятие
меры Лебега. Сформулировать и доказать необходимое условие
и критерий измеримости множества.
4. Сформулировать и доказать утверждения о свойствах меры Лебега.
5. Сформулировать и доказать утверждения об измеримости
непрерывной функции, об интегрируемости по Лебегу функции
Дирихле и о связи интегралов Римана и Лебега.
Упражнение 5
5.1. Доказать, что отрезок измерим по Лебегу. Какова его мера?
5.2. Разделим отрезок [0,1] на три равные части и отбросим
интервал (1/3, 2/3). Оставшиеся отрезки вновь разделим на три рав61
ные части и отбросим интервалы (1/32, 2/32) и (7/32, 8/32) и т.д. Полученное множество называется канторовым. Измеримо ли оно по
Лебегу? Если да, какова его мера?
Указание. Рассмотрите дополнение канторова множества.
5.3. Доказать, что мера Лебега множества точек отрезка [0,1],
содержащих в своем десятичном представлении цифру 5, равна
единице.
1
9
Указание. Докажите, что искомая мера равна
+ 2 + ...
10 10
n −1
9
... + n + ...
10
5.4. Какова мера Лебега множества точек отрезка [0,1], не содержащих в своем десятичном представлении цифр 3 и 7?
5.5. Пусть A ⊂ (0, 1) измеримо по Лебегу. Рассмотрим функцию f ( x) = µ ( (0, x) ∩ A ) . Доказать ее монотонность, непрерывность.
5.6. Используя предыдущий результат, доказать, что если
µA = p, то для любого q ∈ (0, p) найдется B ⊂ A такое, что µB = q.
5.7. Пусть A ⊂ (0, 1) и µA = 0 . Можно ли утверждать, что мера замыкания A также равна нулю?
5.8. Пусть Q – фиксированное открытое множество, F = {F
замкнуто, измеримо; F ⊂ Q}. Доказать, что µQ = sup µF .
F ∈F
Указание. CQ замкнуто, CF открыты, CQ ⊂ CF.
5.9. Пусть B – борелевское множество. Будет ли оно измеримо по Лебегу?
5.10. Может ли равняться нулю лебеговская мера множества,
содержащего внутреннюю точку?
5.11. Пусть f имеет производную во всех точках x ∈ (a, b).
Доказать измеримость f ( x), f / ( x) .
62
 
1

f n ( x) = n  f  x +  − f ( x)  и восn
 

Указание. Рассмотреть
пользоваться теоремой об измеримости предельной функции.
5.12. Пусть f дифференцируема п.в. на (a, b). Пусть g ( x) = f / ( x)
в точках, где f ' существует, и равна нулю в остальных точках. Доказать, что g(x) измерима.
Указание. Мера Лебега полна.
5.13. a) Построить функцию, разрывную в каждой точке (a, b),
изменение значений которой на множестве меры нуль сделает ее
непрерывной на (a, b).
б) Доказать, что если f интегрируема на (a, b) по Лебегу, то
п.в
g = f также интегрируема и ∫ fd µ = ∫ gd µ .
X
X
5.14. Пусть Q ⊂ (a, b) – открытое множество на числовой
прямой и f:(a, b) → R непрерывна. Будет ли измеримым множество
f –1(Q)? Останется ли оно измеримым, если от f потребовать измеримости?
5.15. Вычислить интеграл Лебега на (0, 1) от:
1/ x , если х иррационально;
f ( x) =  3
 x , если х рационально.
5.16. Пусть f – ограниченная на (0, 1) функция, равная нулю
в иррациональных точках. Будет ли она интегрируемой по Лебегу?
5.17. Пусть f интегрируема на (0, 1) и k > 0. Будет ли интегрируемой на (0, 1/k) функция f (k x)?
Указание. Пусть ϕn → f – последовательность простых интегрируемых на (0, 1) функций. Сконструировать из нее нужную
последовательность простых функций на интервале (0, 1/k).
63
5.18. Пусть fn – последовательность интегрируемых на (0, 1)
µ
функций и f n 
→ f . Доказать, что отсюда не следует сходимость
n
∫ f d µ → ∫ fd µ
n
n
(0,1)
(0,1)
5.19. Пусть fn ≥ 0, n = 1, 2, … – последовательность интегрип.в
руемых по Лебегу функций на (a, b) и f n 
→ f . Следует ли отn
сюда, что
∫ f dµ → 0 ?
n
( a ,b )
{
}
Указание. Рассмотреть Dn = x 2− n < x < 2− n+1 , f n ( x) = 2n I Dn ( x) .
5.20. Пусть fn(x) те же, что в упражнении 5.19. Пусть также
∃M ∀x ∈ (a, b)∀n ∈ N : f n ( x) ≤ M . Доказать, что
∫ f dµ → 0 .
n
n
( a ,b )
Указание. Используя теорему Егорова, разбить (a, b) на два
множества.
5.21. Пусть fn ≥ 0 – последовательность измеримых ограниченных функций на (0, 1), причем
∫ f dµ → 0 . Будет ли
n
(0,1)
f n 
→ 0 хотя бы почти всюду?
n
64
n
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа / В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968. – 288 с.
2. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука,
1972. – 496 с.
3. Очан, Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций
действительного переменного / Ю.С. Очан. – М.: Просвещение,
1965. – 231 с.
4. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон. – М.: Наука, 1974. – 480 с.
65
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение................................................................................................ 3
1. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ................................................................ 8
2. АБСТРАКТНАЯ МЕРА ................................................................. 18
3. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ ........................................................... 25
4. ИНТЕГРАЛ ПО АБСТРАКТНЫМ МНОЖЕСТВАМ................. 35
5. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ ..... 50
Список литературы............................................................................. 65
66
ЗАБОТИН Владислав Иванович
ДУЛЛИЕВ Айдар Мансурович
ЧЕРНЯЕВ Юрий Анатольевич
ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА
Учебное пособие
Редактор Н.И. Данич
Компьютерная верстка и дизайн обложки – С.В. Филаретов
67
Подписано к печати 18.05.21.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая.
Усл. печ. л. 3,95. Тираж 100 экз. Заказ А 52.
Издательство КНИТУ-КАИ
420111, Казань, К.Маркса, 10
ISBN 978-5-7579-2547-9
68