Летнее домашнее задание 8 класс Геометрия Рабочая тетрадь 1 1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, AB=10. Найдите sinB. 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=49, AB=18. Найдите AC. 3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=34, BC=12. Найдите AC. 4. В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC=𝟖√𝟐. Найдите AC. 5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB=26, BC=18. Найдите CM. 6. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=12, CM=18. Найдите AO. 7. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=4, DC=8. Площадь треугольника ABC равна 36. Найдите площадь треугольника BCD. 8. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=9, AC=18, MN=8. Найдите AM. 2 9. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=2, BH=18. Найдите CH. 17. Сторона квадрата равна 𝟓√𝟐 . Найдите диагональ этого квадрата. 18. Найдите площади изображенных фигур. а) б) в) г) д) 19. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображены фигуры. Найдите площади изображенных фигур. а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) 3 20. Площадь параллелограмма ABCD равна 76. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC. 21. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=8, BD=14, AB=5. Найдите DO. 22. Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO=13, AB=11. Найдите AC. 23. В ромбе ABCD угол ABC равен 82°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. 24 Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC=3, AD=5, AC=24. Найдите AO. 25. Сторона ромба равна 22, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба. 4 26. Найдите тангенсы углов AOB, изображённых на рисунках. а) б) в) г) 27. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=9, CK=15. 28. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба. 29. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=12 и CH=1. Найдите высоту ромба. 30. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=15, BF=8. 31. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6. 5 32. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK=14. 33. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b . Найдите гипотенузу c этого треугольника, если: а) a = 10, b=24; б) a = 20, b=21; в) a = 15, b=20; г) a = 12, b=16. 34. В прямоугольном треугольнике катет равен a, гипотенуза равна c. Найдите другой катет b этого прямоугольного треугольника, если: а) a = 16, с=20; б) a =5, с=13; в) a = 16, с=34; г) a = 40, с=41. 35. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 31, сторона BC равна 27, сторона AC равна 40. Найдите MN 36. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD=6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. 6 37. Сторона равностороннего треугольника равна 𝟏𝟔√𝟑. . Найдите медиану этого треугольника. 38. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 82°, угол CAD равен 28°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. 39. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции. 40. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=44° и ∠OAB=13°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах. 41. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 5 и 6. 42. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 352°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. 43. Основания трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 7 44. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены трапеции. Найдите длину их средних линий. а) б) в) г) 45. Выберите верные утверждения: o В параллелограмме есть два равных угла. o Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой o Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов. o Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. o Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом. o Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. o Любой прямоугольник можно вписать в окружность. o Все углы ромба равны. o В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов. o Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. 46. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м? 47. Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами. Высота малой опоры 2,95 м, высота большой опоры 3,65 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах. 48. Пожарную лестницу приставили к окну, расположенному на высоте 12 м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. Какова длина лестницы? Ответ дайте в метрах. 8 49. Проектор полностью освещает экран A высотой 50 см, расположенный на расстоянии 100 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 150 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах. 50. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 4,8 м от земли. Длина троса равна 5 м. Найдите расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах. 51. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах). 52. Лестница соединяет точки А и В , расстояние между которыми равно 25 м. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите высоту ВС (в метрах), на которую поднимается лестница. 53. Длина стремянки в сложенном виде равна 1,85 м, а её высота в разложенном виде составляет 1,48 м. Найдите расстояние (в метрах) между основаниями стремянки в разложенном виде. 54. От столба к дому натянут провод длиной 17 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли. Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 15 м. 9 55. Лестницу длиной 3 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,8 м? 10
