kursovik

Файл скачан с сайта
Реферат плюс Министерство образования
Российской Федерации
Ставропольский Государственный университет
Кафедра математического анализа
Курсовая работа на тему :
«Дзета-функция Римана»
Выполнил: студент 2го
курса ФМФ группы «Б»
Симонян Сергей Олегович
1
Ставрополь, 2004 г.
Введение.
Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных
дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное
представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний
пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная,
степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей
математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда
добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы
(гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует.
Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако,
под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу
какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов
множества Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y
– значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение,
функция называется однозначной, если более одного – то многозначной.
Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае
множество X
может быть подмножеством поля действительных R или
комплексных C чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут
встречаться только такие отображения.
Функции
могут
быть
заданы
многими
различными
способами:
словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем
рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на
такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она
2
может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена
к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с
ней наук.
Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей
широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий
швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её
свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий
математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как
он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых
этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область
комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал
количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу
для нахождения этого числа с участием функции  (s) и высказал свою
гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением
которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.
Научная общественность считала и считает решение этой проблемы
одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на
Международной Парижской математической конференции 1900 году с
подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее,
включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом
столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в
2000 году американский The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за
решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число
также попала гипотеза Римана.
Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией
будет и интересным, и полезным.
3
Глава 1.
Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции
Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в
вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.
Определение. Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию, которая
любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда

1
s
n 1 n
 ( s)  
(1)
если она существует.
Основной
характеристикой
любой
функции
является
область
определения. Найдём её для нашей функции.
Пусть сначала s≤0, тогда s=−t, где t принадлежит множеству
неотрицательных действительных чисел R+  {0}. В этом случае
1
1
 t  n t и
s
n
n

ряд (1) обращается в ряд  n t , который, очевидно, расходится как при t>0, так
n 1
и при t=0. То есть значения s≤0 не входят в область определения функции.
Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся
интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию f ( x) 
1
,
xs
где x  [1;] , которая является на промежутке непрерывной, положительной и
монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
4
A

A
 A1 s
dx
dx
x 1 s
1 
   , поэтому ряд
 lim
 lim 

1) 0<s<1. Тогда  s  Alim

s


A


A


1 s 1
1  s 1  s 
1 x
1 x
(1) расходится и промежуток (0;1) не входит в область определения дзетафункции;
2) s=1. Получаем

A
dx
dx
A
 lim ln x 1  lim ln A  ln 1   , то есть при
1 x  Alim


A 
x A 
1
s=1 дзета-функция Римана также не определена;
3) s>1. В этом случае

A
A
dx
dx
x 1 s
1

lim

lim

1 x s A 1 x s A1  s  Alim
 (1  s ) x s 1
1
1
A

1
1 
1
 
. Ряд (1) сходится.
 lim 

s

1
A (1  s ) A
1 s  s 1

Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции
есть
промежуток
(1;) .
На
этом
промежутке
функция
оказывается
непрерывной и дифференцируемой бесконечное число раз.
Докажем непрерывность функции ζ(s) на области определения. Возьмём

1
1
 s  s . Как было
s0
n 0
n 1 n
произвольное число s0>1. Перепишем ряд (1) в виде 

1
s0
n 1 n
выше показано, ряд 
сходится, а функции
1
n
s  s0
при s>s0 монотонно
убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для
s>s0 ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы
функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция
непрерывна. Ввиду произвольности s0 ζ(s) непрерывна на всей области
определения.
Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально,
найдём производную дзета-функции Римана:

ln n
s
n 1 n
 ( s)  
(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2)
равномерно сходится на промежутке [1;] и воспользоваться теоремой о
дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое
5

1 ln n
 ss
s0
n 0
n 1 n
s0>1 и представим ряд (2) в виде 
для s>s0. Множители
ln n
,
n s  s0
начиная с n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2.
Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и
при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между s 
и s  , где s  1 , а s  s ; к промежутку [ s ; s ] применима вышеуказанная
теорема.
Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции
производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

ln m n
.
s
n 1 n
 ( m) (s)  (1) m 
Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика.
Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности
точки s=1.
В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о


1
1

lim s . При n=1

s
s  n
n 1 n
n 1
 ( s)  lim 
почленном переходе к пределу, имеем lim
s 
s 
 (s)  1 .
предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому lim
s 
Чтобы исследовать случай s  1 , докажем некоторые вспомогательные
оценки.

Во-первых, известно, что если для ряда  a n существует непрерывная,
n 1
положительная, монотонно убывающая функция
f (x ) , определённая на
множестве x  1 , такая, что f (n)  a n , и имеет первообразную F (x) , то остаток

F ( x) .
ряда оценивается так: F ()  F (n  1)   a m  F ()  F (n) , где F ()  lim
x 
m  n 1
Применяя вышесказанное к ряду (1), найдём, что необходимая функция
f ( x) 
1
, а
xs
F ( x)  
1
( s  1) x s 1
и F ()  0 . Отсюда, подставляя в двойное
неравенство, имеем
6

1
1
1
1
1



 s 1

s 1
s
( s  1) (n  1)
( s  1) n
m  n 1 m
(3).

1
1
  s   ( s) ,
s  1 m 1 m
В левом неравенстве положим n=0, тогда
1  ( s  1) ( s) . В правом же возьмём n=1 и получим

1

1
1
1
,
s
s 1
m2 m

1
s
 m  s 1
m 1
s
и,
s
( s  1) ( s )  s .
наконец,
1
 m  s  1 , далее
m2
1 
то есть
Переходя
в
( s  1) ( s )  1.
неравенствах 1  ( s  1) ( s)  s к пределу при s  1 , находим lim
s 1
Отсюда, в частности, следует, что lim
s 1
ln  ( s )
 1 . Действительно,
ln( s  1) 1
положим ( s  1) ( s)   ( s) . Тогда ln( s  1)  ln  ( s)  ln  ( s) , то есть ln  ( s)  ln  ( s) 
 ln( s  1)  ln  ( s)  ln( s  1) 1 . Поэтому
ln  ( s)
ln  ( s)  ln( s  1) 1
ln  ( s)


 1.
1
1
ln( s  1)
ln( s  1)
ln( s  1) 1
ln  ( s )  ln 1  0 , а lim ln( s  1) 1   , вытекает доказываемое
Из того, что lim
s 1
s 1
утверждение.
Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки
поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше,
принадлежащий
Дирихле.
Будем
произвольном n равенства  ( s)  1 
частям
неравенств
(3)
отталкиваться
очевидного
при

1
1
1




. Прибавим ко всем

s
s
s
2
n
m  n 1 m
сумму
n
1
m
m 1
1
от
s
и
вычтем
1
.
s 1
Имеем

1
1
1 
1
1
1
1
1  1

 s 
 1   ( s) 
1 s   s 
 s 1  1 . Пусть

s
s 1
s  1  (n  1)
s 1
s 1 n
2
n
2
n


здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить

1  1
1 
1

 1   ln( n  1) и lim
 s 1  1   ln n . Мы пока не знаем,

s

1
s 1 s  1 n
s 1 s  1 (n  1)




lim
существует
ли
предел
выражения
 ( s) 
1
s 1
при
s 1 ,
поэтому,
7
воспользовавшись
наибольшим
и
наименьшим
неравенства так: 1      ln( n  1)  lim  ( s) 
1
2

1
n
s 1

пределами,
напишем
1 
1 
1

 lim  ( s) 
1 


s

1
s  1
s  1
2

1
 ln n . Ввиду произвольности n возьмём n   . Первое и последнее
n
выражения стремятся
к
эйлеровой постоянной
C (C  0,577). Значит
1 
1 


lim  ( s) 
 lim  ( s) 
 C , а, следовательно, существует и обычный

s 1 
s  1 s 1 
s  1

 ( s) 
предел и lim
s 1 

1 
C.
s  1
Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное
представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу,
которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные
точки, а именно, определим значения  (2k ) , где k – натуральное число.
B
x
x 

1

  (1) n1 n x 2 n , где Bn x
2 n 1
(2n)!
e 1
Возьмём известное разложение
знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются).
Перенесём слагаемое
x
x
x
в левую часть равенства. Слева получаем x
 
2
e 1 2
x
x

x
x
xe x  x x e x  1 x (e x  1) / e 2 x e 2  e 2 x

  x
 
  x
 cth , а в правой части
x
x
x

2
2 2
2
2(e  1) 2 e  1 2
(e x  1) / e 2
e e 2

1   (1) n 1
n 1
-

Bn 2 n
B
x
x
cth  1   (1) n1 n x 2n . Заменяем x на 2x ,
x , то есть
2
(2n)!
2
(2n)!
n 1

получаем x cth x  1   (1) n 1
n 1

Bn
(2 ) 2 n Bn 2 n
(2x) 2 n  1   (1) n 1
x .
(2n)!
(2n)!
n 1
1
x

2x
, из
2 2
n 1 x  n 
С другой стороны, существует равенство cth x   
2

2x 2
которого x cth x  1   2
. Подстановкой x вместо x находим x cth x 
2 2
n 1 x  n 

2(x) 2
2x 2
. Если

1


2
2 2
2
2
n 1 (x)  n 
n 1 x  n

1 
x  1 , то для любого n  N
x2

x2  n2
8
x2
2 i


2
1
i 1  x 
n




(

1
)

(1) i 1 x 2i и по теореме о сложении бесконечного


2
2 
2i

x
i 1
i 1 n
n 
1 2
n
множества
степенных
  1
n 1  i 1 n


x cth x  1  2   2i (1) i 1 x 2i   1 
рядов



  1 
 2 (1) i 1   2i  x 2i  1   (1) i 1  2 (2i) x 2i .
i 1
i 1
 n 1 n 

Приравняем полученные разложения: 1   (1) n 1
n 1

  (1) n 1  2 (2n) x 2 n , следовательно
n 1
(2 ) 2 n Bn 2 n
x 1
(2n)!
(2 ) 2 n Bn
 2 (2n) . Отсюда немедленно
(2n)!
следует искомая формула
(2 ) 2 k
 ( 2k ) 
Bk
2(2k )!
(4),
где Bk - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и
для них составлены обширные таблицы.
Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз
графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение
на всей области определения.
9
Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил
замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда
тоже принимают за определение:
1

1 
 ( s)   1  s  , где pi – i-е простое число
pi 
i 1 

(4).
Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив
формулу
1
1
1
p is

1

суммы
геометрической
прогрессии,
получаем
равенство
1
1


s
s
pi
p i2
 
  Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем
p 
m s
i
простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то
получившееся
частичное

1 
P   1  s 
pi 
pi  N 
1

*
N
s
n 1
1
, где
ns
произведение
символ
*
окажется
означает,
что
равным
суммирование
распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая
единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа
меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то

Ps( N )   *
n 1
Сумма

1
 n
*
n  N 1
N

1
1
* 1




s
s
s
n
n 1 n
n  N 1 n
(5).
содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно,
s


1
1

. Из (5) получаем


s
s
n  N 1 n
n  N 1 n
*



1
1
* 1




s
s
s
n 1 n
n  N 1 n
n  N 1 n
0  Ps( N )  
(6).
Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток
после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а
Ps( N )
есть
произведение
(4).
Значит
из
неравенства
при
N 
1


1 
1



1  p s    n s  0 , что и требовалось доказать.
n 1
i 1 
i 

10
Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд,
представленный
множеством
значений
аргумента
дзета-функции,
со
множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем,

1
 R( s) , где R(s) остаётся
s
n 1 p i
оценив ln  ( s) , а именно показав, что ln  (s)  
ограниченным при s  1 .
1

1 
Из (4) следует, что  (s)   N (s) 1  s  , где N N, а  ( s)  1 при
pi 
i 1 
N
N   . Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда

1 
 ln  N ( s)  ln  1  s 
pi 
i 1 
N
1
ln  ( s) 
1

1 
 ln  N ( s)   ln 1  s  . Натуральные логарифмы под
pi 
i 1

N

1 
знаком суммы разлагаются в ряд: ln 1  s 
pi 

1
s n


1 
n 1 ( p i )
  ln 1  s    (1)

n
pi 
n 1


1
. Подставив полученные разложения в равенство и устремив N к
sn
n 1 np i

бесконечности,
Остаётся
имеем

Ясно,
что
 

1
1


pi 2 s (1  pi s ) 1 . Последнее равенство справедливо,



ns
ns
i 1 n  2 np i
i 1 n  2 p i
i 1
так

доказать
 

 
1
1
1   1
1


.








ns
s
ns
s
ns


i 1 n 1 np i
i 1  p i
n  2 np i 
i 1 p i
i 1 n  2 np i

ln  ( s)  
ограниченность
последнего
слагаемого.








p i 2 s (1  p i s ) 1  p i 2 s 1   (1) n ( p i s ) n   p i 2 s 1   pi ns   p i 2 s   pi( n  2) s 
n 1
n 1
n 1




как

p
n2
 ns
i
. Далее, очевидно,

p
i 1
2s
i
s
i
(1  p )
1
1 

 1  s 
2 

1 
p
i 1
2s
i
 2 ( s) ,
что и
завершает доказательство.
На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для
действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной
интерес представляет случай изложенный во второй главе.
11
Глава 2.
Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были
получены в предположении, что её аргумент s – действительное число.
Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные
приложения стали возможны лишь после включения в область определения
функции комплексных чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как
функцию мнимого аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко
изучивший её свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него
функция получила своё название.
Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в
главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет s  C. Возникает
необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем
следующее утверждение: в полуплоскости Re( s)  1 ( Re( x) действительная часть
числа x) ряд

1
n
n 1
(1)
s
сходится абсолютно.
Пусть s    i . Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1),
1
 n  s  e  s ln n  e  ln n i ln n  e  ln n  e i ln n .
s
n
Первый
только вещественные числа и e  ln n  n  
1
, так как n   0 . Ко второму же

n
множителю
применим
знаменитую
формулу
множитель
Эйлера,
содержит
получим
e i ln n  cos( ln n)  i sin(  ln n)  cos(  ln n)  i sin(  ln n)  cos 2 (  ln n)  sin 2 (  ln n) 
 1 . Значит,
1
1
  . Ввиду сходимости ряда
s
n
n


1
1




s
n 1 n
n 1 n
при α>1, имеем
абсолютную сходимость ряда (1).
12
На
своей
области
определения
дзета-функция
аналитична.

1
n 1 n
Действительно, при всяком q>0 и фиксированном α>1+q, числовой ряд  
мажорирует ряд из абсолютных величин

n 1
теореме
Вейерштрасса,
полуплоскости
Re( s)  1 .
следует
1
 n , где Re( s)  1 , откуда, по
s
равномерная
сходимость
ряда
в
Сумма же равномерно сходящегося ряда из
аналитических функций сама является аналитической функцией.
Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без
изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства
претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к
абсолютным величинам.
В связи с этим замечанием становится возможным использовать
1

1 
разложение дзета-функции в произведение  (s)   1  s  , где s теперь
pi 
i 1 

любое комплексное число, такое, что Re( s)  1 . Применим его к доказательству
отсутствия у функции  (s) корней.
Оценим величину
1
, используя свойство модуля
 ( s)
 
 
 
1
1 
1 
1   
1 
  1  s    1  s    1  s    1    ,
 ( s)
p i  i 1 
p i  i 1 
p i  i 1 
pi 
i 1 

1   
1 
s    i . Так как  1      1   
pi  i 1 
pi 
i 1 

то
1

где
a b  a  b :
как
обычно

1
dx
1
1
,
  ( )       
1
 1
 1
n 1 n
1 x
 1
1

 0 , следовательно, дзета-функция в нуль не
, а  ( s) 


 ( s)   1
обращается.
Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы
получают
новые
широкие
возможности
для
исследования,
если
распространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним
из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-
13
функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и
однозначно определяющее  (s) .
Для этого нам понадобится формула
1
1
1



 (n)    x  x   ( x)dx    ( x)dx   a  a   (a)   b  b   (b)

2
2
2


a  n b
a
a
b
b
(2),
которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов
можно записать
при
d   x  d
b
b 
a
b
a
a 
a 
b 
x  d  ,
значит
 x ( x)dx   x ( x)dx   x ( x)dx   x ( x)dx . Для любого d
a
a
a 
a 
 x ( x)dx  a  ( x)dx  a (a)   a и
b
b
b 
b 1 n 1
b 1
n 1
b 
b
a
n a n
n a
n
 x ( x)dx b ( x)dx b (b)   b, а x ( x)dx     x ( x)dx   n   ( x)  .
b 1
n 1
b 1
b
b 1
n a 
n
n a 
a
n a 
  n   ( x)   n (n  1)   (n). Следовательно,  x ( x)dx   n (n  1)   (n) 
b 1
b 1
n a 
n a 
 a (a)  a a  b (b)  b b   n (n  1)   n (n)  a (a)  a a  b (b) 
b 
b 
n a 1
n a 
b 
b 
n a 1
n a 1
 b b   (n  1) (n)   n (n) a (a)  a a  b (b)   n (n)    (n) 
b 
b 
n a 1
n a 1
b 
 a (a)  a a  b (b)   n (n)    (n)  a a   n (n)  a (a)  a a 
b 
 b b     (n)  a (a)  b (b) .
n a 1
Интеграл
n a 1
b

1
  x  2  ( x)dx
можно
найти
a
1
2
интегрированием по частям, принимая u  x  , dv   ( x)dx ; тогда du  dx , а
v   (x) .
В
результате
b
1
1
1



a  x  2  ( x)dx   x  2  ( x)  a  ( x)dx   b  2  (b) 
a
b
b
1

  a   (a)    ( x)dx . Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим
2

a
b
b 
1
1
1










x

x


(
x
)
dx

b

b


(
b
)

a

a


(
a
)


(
x
)
dx







 (n) ,
a 
a
2
2
2


n a 1
b
b
отсюда
легко следует равенство (2).
14
Теперь положим в (2)  (n) 
b
b
1
числа. Тогда  s  s 
n  a 1 n
a
1
1
 s
s
a .
b
2
x  x 
x s 1
Пусть сначала
1
, s  1 , a и b – целые положительные
ns
1
1
1
1
 s
b
b x  x  
1 s
1 s
s
dx
b
a  s
2 dx 
2 dx  b  a 

a x s
a x s 1
2
1 s
Re( s )    1 ,
примем a=1, а b устремим к
x  x  
1
2 dx  1  1 . Прибавим по единице
s 1 2


1
бесконечности. Получим  s   s 
n2 n
1
x s 1
в обе части равенств:

 ( s)  s 
x  x  1
1
x
s 1
2 dx  1  1
s 1 2
Выражение x   x 
функция
f ( x) 
1
x s 1
(3).
1
является ограниченным, так как 0  x  x  x  1, а
2
абсолютно интегрируема на промежутке [1;] при

Re( s  1)  1, то есть при   1 1,   0 . Значит, интеграл 
x   x  1
x
1
s 1
2 dx абсолютно
сходится при   0 , причём равномерно в любой конечной области, лежащей в
комплексной плоскости справа от прямой   0 . Тем самым он определяет
аналитическую функцию переменной s, регулярную при   0 . Поэтому правая
часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжение дзетафункции на полуплоскость   0 и имеет там лишь один простой полюс в
точке s  1 с вычетом, равным единице.
Для 0    1 можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При
0  x  1 имеем
1
x  0 , значит, 
0
x  x dx  1  x dx   1 dx   x 1 s
x
s 1
x
0
s 1
x
0
s
1
1 s 0

1
1

1 s s 1
15
1
s dx
s x s
s 1
1
 
  . Теперь при 0    1 (3) может быть записано в
и  s 1  
20x
2 s 0 2 s
2
1

виде  (s)  s 
x  x dx .
0
x s 1
Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в
действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на
x
1
полуплоскость   1. Положим f ( x)  x  x  , а f 1 ( x)   f ( y )dy , то есть f1 ( x)
2
1
 x 1 n 1
x
n 1 n
x 
первообразная для f (x) . f1 ( x) ограничена, так как f 1 ( x)    f ( y)dy   f ( y)dy , а
n 1
n 1
n 1
n 1
1
1
1
1 (n  1) 2  n 2
интеграл    y   y  dy    n   y dy   n    dy   ydy  n  

2
2
2 n
2
2


n 
n 
n

1
1
1
1
x2

















y

y

dy

x


y
dy

x

dy

ydy

x

x

x





x 
x  2   2 x  x 
2
2
2

x
и
0
x
x
x
x2  xx  x2  x  x  x 2  x2  x  x 2  2 xx  x2  x  x2 ограничен из2
2
2
2
2
2
2
за того, что 0  x  1. Рассмотрим интеграл
2
x1
f ( x)
x
s 1
2
dx при x1>x2 и   1.
x2
Проинтегрируем его по частям, приняв u 
1
x
s 1
, dv  f ( x)dx , тогда du  
x1
s 1
dx ,
x s2
x1
f ( x)
f ( x)
а по указанному выше утверждению v  f1 ( x) . Получаем  s 1 dx  1 s 1 
x
x2 x
x
2
x1
f ( x)
 ( s  1)  1s  2 dx . Возьмём x2  1 , а x1   . Имеем
x2 x
1
f 1 ( x1 )
 f 1 (1)   f ( y )dy  0 ,
x1s 1
1
f1 ( x2 )
 0 , потому что f 1 ( x) является ограниченной функцией. Значит,
x2  x s 1
2
lim

x  x  1
1
x s 1


2 dx ( s  1) f 1 ( x) dx
1 x s  2
Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла
(4).

dx
x
s2
, если   1, и
1
ограниченностью функции f1 ( x) , делаем вывод, что в левой части равенства (4)
16
интеграл тоже сходится при   1. Значит формулой (3) можно продолжить
дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой   1.
1
Нетрудно установить, что для отрицательных  s 
0
x  x  1
x
s 1
2 dx  1  1 ,
s 1 2
поэтому из (3) имеем

x  x  1
0
x s 1
 ( s)  s 
2 dx
(5)
при  1    0 .
Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x
справедливо разложение в ряд
x  x  1   sin 2nx

2
(6).
n
n 1
Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:


s  1 sin 2nx
  sin 2nx 
dx

dx . Сделаем в полученном интеграле


s 1
 n 1 n 0 x s 1

0  n 1 nx
 ( s)  s   
подстановку y  2nx , отсюда следует x 
 ( s) 
y
dy
, а dx 
, и получим далее
2n
2n
s  1 2n sin y dy
s  2n sin y


dy .


 n 1 n 0
2n  n 1 n 0 y s 1
y s 1
s 1

s 
Известно,
что

sin y
y
s 1
dy 
0

(2 ) s  
s  (2 ) s

s
1
 

, значит  ( s)   1 s 


s 
s n 1 n 1 s
s
 n 1 n
2
Г
(
s

1
)
cos
2
Г
(
s

1
)
cos
2 Г ( s  1) cos
2
2
2


(2 ) s
 (1  s ) . Из известного соотношения для гамма-функции
Г ( s  1)
s
2
 cos
s
2
Г ( s  1)

 Г ( s) , по формуле дополнения Г ( s ) 
, следовательно  (s ) 
s
Г (1  s ) sin s
(2 )

2
s

Г (1  s) sin s
 cos
s
 (1  s) 
(2 ) s Г (1  s ) sin

s
2  (1  s)  2 s  s 1 sin s Г (1  s) (1  s)
2
2
Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана
17
 ( s)  2 s  s 1 sin
s
2
Г (1  s) (1  s)
(7),
которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так
как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция  * (s) ,
удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным
условиям, тождественна с  (s) .
Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для
 1    0 . Однако правая часть этого равенства является аналитической
функцией s и при   1. Это показывает, что дзета-функция может быть
аналитически продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на
ней никаких особенностей, кроме упоминавшегося полюса при s  1 .
Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать
почленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его
частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на


  sin 2nx 
  sin 2nx 
dx



dx 

s 1
s 1

nx

nx
n

1
n

1




0
0
любом конечном отрезке допустимо. Ввиду   


  sin 2nx 
  sin 2nx 
для
любого
,
остаётся
доказать,
что
  
dx
lim



dx 
s 1
s 1
  


  n 1 nx
  n 1 nx

1 sin 2nx
 x s1 dx  0 при  1    0 . Но интегрируя внутренний интеграл по
 
n 1 n 

 lim 


 1  dx 
sin 2nx
cos 2nx
s  1 cos 2nx
 1 
   2  

dx

O

O
частям имеем  s 1 dx  


 1
n x

x
2nx s 1  2n  x s  2
 n 

 


 1 
 O  1  . Отсюда без труда получается наше утверждение.
 n 
Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано
многими способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное
равенство
 (1  s)  21 s   s cos
s
2
( s) ( s)
(8).
Из него можно получить два небольших следствия.
18
Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральное число. Имеем
 (1  2m)  21 2 m   2 m cos
  2m
2
(2m) (2m) . По формуле (4) первой главы  ( 2m) 
(2 ) 2 m
(2 ) 2 m
1 2 m
2m

cos m  (2m  1)!
Bm

Bm , а (2m)  (2m  1)! , поэтому  (1  2m)  2
2(2m)!
2(2m)!
и произведя в правой части все сокращения, учитывая, что cos m  (1) m ,
получим  (1  2m)  (1) m
Bm
.
2m
Покажем ещё, что
равенство
 ln cos



2
tg
s
2
s
2
(8):
Для этого прологарифмируем
ln  (1  s)  ln 21 s  ln   s  ln cos
 ln ( s)  ln  ( s)

1
2
 (0)   ln 2 .
s
2
 ln ( s)  ln  ( s)  ln 2  s ln 2 
и результат продифференцируем
 (1  s )
  ln 2 
 (1  s )
 ( s )  ( s)
 ( s )
 s
1
 O s  1  ,


. В окрестности точки s=1 tg  
2
2
s 1
( s )  ( s )
( s)
 (1)
   C   ,
(1)

 (1  s)

1
 (1  s)
s 1
1
 k 
( s  1) 2
 C  k ( s  1)  

1
 C  ,
s 1
где
С
–
постоянная Эйлера, а k – произвольная постоянная. Следовательно, устремляя
s к единице, получим 
 (0)
  ln 2 , то есть  (0)   (0) ln 2 . Опять из
 ( 0)
1
2
1
2
формулы (4) главы 1 при k=0  (0)   , значит, действительно,  (0)   ln 2 .
19
Глава 3.
Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в
математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в
теории
чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении
распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о
серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за
рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой
функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.
Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое
знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в
следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел,
обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни на
одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым
числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению.
Значит, количество простых чисел не может быть конечным.
Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было
дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1,
получим

1 
1  

pi 
pi  N 
1

1
1
  * ,
n 1 n
N  n 1 n
N
отсюда

1 
1  

pi 
pi  N 
1
N
1
n 1 n

и
ввиду
расходимости гармонического ряда, имеем при N  

1 
1  

pi 
i 1 

1
 
(1).
Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение
20
имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об
обратном. Доказательство завершено.


i 1

Теперь перепишем (1) в виде  1 
1 
  0 . Опираясь на теорему о
pi 
сходимости бесконечного произведения, из расходимости предыдущего

1
расходится. Это предложение даёт некоторую
i 1 p i
делаем вывод, что ряд 
характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее
утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт
лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь
угодно длинные промежутки без простых чисел, например: n!2 , n!3 , … , n!n .
Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в
концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и
более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей
день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было
исследование функции
 (x ) ,
то есть количества простых чисел не
превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей  (s) и  (s) , мы
сейчас получим равенство

ln  ( s )  s 
2
 ( x)
x( x s  1)
(2).
dx
Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение:

1 
ln  ( s)  ln  1  s 
pi 
i 1 


ln( 1  x)   (1)
n 1
n 1
1

1 
  ln 1  s 
pi 
i 1


1


1 
  ln 1  s  . Из логарифмического ряда
pi 
i 1

xn
, учитывая, что
n


1
1 


,
приходим
к
ряду

1
ln
1

s 

p is
p
i 

n
 1 
 s 
 p 
 


1
1
i 
n 1 
  (1)
  ns . Значит, ln  ( s)   ns .
n
i 1 n 1 np i
n 1
n 1 np i
21
Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при pi  x  pi 1
 ( x)  i ,
то

 ( x)
 pi  1
 ( x)

pi 1
i 1
pi
dx
 x( x  1) dx    x( x  1) dx   i  x( x  1) .
s
s
i 1 pi
2
1
t
dt
t
интеграле положим x  , тогда dx   2
s
Во
внутреннем
dx
dt
t s 1 dt




,
x( x s  1)
1 ts

2 1 1
t  s  1
t t

и
1
 p1

pi
s 1
i 1



 ( x)
t dt
t s 1 dt

отсюда  s
.В промежутке интегрирования
dx   i    

i


 1 1  t s  i 1 1 1  t s
i 1
2 x x  1
 p

pi 1
i





1

1

t ns

1 ts
n 1
 t s  1 , поэтому верно разложение

 t
ns 1
n 1
.
Получаем
1
pi

t s 1
s 1

t

t ( n 1) s 1 

s
1 t
n 1
1
pi
1
pi 1
pi 1

 
t dt
t ns pi
1

ns 1 
ns 1


t
dt

t
dt









1 1  t s 1  n1  n1 1
ns

n 1 ns 1
n 1  nsp i
s 1
pi 1

1
pi
и

1   1
1

.




ns 
ns
ns
nsp i 1  n 1 nsp i
n 1 nsp i 1


pi 1
Теперь
  

1
1 


dx

s
i




s
ns
ns 

i 1  n 1 nsp i
n 1 nsp i 1 
2 x( x  1)

 ( s)
s
 

 
 

 
i
i
1
i
i
1
i 1   i






  ns 






ns
ns
ns
ns
ns
ns
ns
i 1 n 1 np i
i 1 n 1 np i 1
n 1 np1
i  2 n 1 np i
i 1 n 1 np i 1
n 1 np1
i 1 n 1 np i 1
i 1 n 1 np i 1


 

 
 
 

 
 
1
i
1
i
1
1
1
. Если












ns
ns
ns
ns
ns
ns
ns
n 1 np1
i 1 n 1 np i 1
i 1 n 1 np i 1
i 1 n 1 np i 1
n 1 np1
i  2 n 1 np i
i 1 n 1 np i

сравнить полученное значение интеграла с рядом для ln  ( s) , то увидим, что
они тождественны и равенство (2) доказано.
Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и
важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения
простых чисел, то есть покажем, что  ( x) ~
x
.
ln x
В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий
математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность
ещё
в
пятнадцатилетнем
возрасте,
когда
ему
подарили
сборник
математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу
натуральных логарифмов.
22
Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это
уравнение относительно  (x ) , то есть обратить интеграл. Сделаем это с
помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть  (s ) 

 ( x)

x
2
s 1
( x s  1)
dx . Тогда

ln  ( s )
 ( x)
  ( s)   s 1 dx
s
2 x
(3).
Этот интеграл имеет нужную форму, а  (s ) не повлияет на асимптотику  (s) .
Действительно, так как  ( x)  x , интеграл для  (s ) сходится равномерно в
1
2
полуплоскости     , что легко обнаруживается сравнением с интегралом

dx

2
x
1

2

 12 

x


1




. Следовательно,  (s ) регулярна и ограничена в полуплоскости
1
  . То же самое справедливо и относительно  (x) , так как  (x) 
2

   ( x) ln x
2
1  2x s


2
x s 1 x s  1
dx .
Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы
весьма
затруднительно
выполнить
интегрирование.
Поэтому
прежде
преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s,

 ( s) ln  ( s)
 ( x) ln x

  ( s )  
dx . Обозначим левую часть через
получаем 
2
s ( s )
s
x s 1
2
x
 (s) и положим g ( x)  
0
равными
нулю
при
 (u) ln u
x
g (u)
du , (  (x ) , g (x ) и h(x) полагаем
u
0
u
du , h( x)  
x  2 ).
Тогда,
интегрируя




0
0
0
0
по
 (s)   g ( x) x  s dx  s  g ( x) x  s 1 dx  s  h( x) x  s dx  s 2  h( x) x  s 1 dx
 (1  s)
(1  s)
частям,
при
находим
  1,
или

h( x) s 1
x dx .
x
0

2
23
Но h(x) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом
конечном интервале, а так как  ( x)  x , то g ( x)  x ln x ( x  1) и h( x)  x ln x ( x  1).
Следовательно, h( x) x k  2 абсолютно интегрируема на (0;) при k  0 . Поэтому
k  i
c  i
h( x )
 (1  s)  s
 ( s) s
1
1

x ds при k  0 , или h( x) 
x ds при c  1 . Интеграл


2
x
2i k i (1  s)
2i c i s 2
в правой части абсолютно сходится, так как  (s) ограниченна при   1, вне
некоторой окрестности точки s  1 . В окрестности s  1  ( s) 
можно положить  ( s) 
1
  ( s) , где  (s ) ограниченна при   1, s  1  1 и
s 1
имеет логарифмический порядок при s  1 . Далее, h( x) 
c  i
 ( s)
1

ds .

2i c i s 2
1
1
 ln
 и
s 1
s 1
c  i
1
xs
ds 
2i c i ( s  1) s 2
Первый член равен сумме вычетов в особых точках,
расположенных слева от прямой Re( s)  c , то есть x  ln x  1 . Во втором члене
можно положить c  1 , так как  (x) имеет при s  1 лишь логарифмическую
особенность.
Следовательно,

h( x)  x  ln x  1 
x  (1  it ) it
x dt .
2  (1  it ) 2
Последний
интеграл стремится к нулю при x   . Значит,
(4).
h( x ) ~ x
Чтобы перейти обратно к  (x ) , используем следующую лемму.
x
f (u )
du ~ x .
u
0
Пусть f (x) положительна и не убывает и пусть при x   
Тогда f ( x) ~ x .
Действительно, если  - данное положительное число, то (1   ) x 
x
f (t )
dt  (1   ) x ( x  x0 ( ) ). Отсюда получаем для любого 
t
1

x (1  )


1
x (1 )

x
f (u )
du 
u
x
f (u )
f (u )
du  
du  (1   )(1   ) x  (1   ) x  (2     ) x . Но так как f (x ) не
u
u
1
24
x (1 )
убывает, то

x
x (1 )
x (1 )
f (u )
du
du

du  f ( x) 
 f ( x) 

f ( x) . Следовательно,
u
u
x(1   ) 1  
x
x
f ( x)
2 

 1.
f ( x)  x(1   )1   
 . Полагая, например,    , получаем lim
x
 

Аналогично, рассматривая
lim
x
f (u )
du , получаем
u
x (1 )

lim
f ( x)
 1 , значит
x
f ( x)
 1 , что и требовалось доказать.
x
Применяя лемму, из (4) имеем, что g ( x) ~ x ,  ( x) ln x ~ x , поэтому
 ( x) ~
x
и теорема доказана.
ln x
Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзетафункции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому
списку использованной литературы.
25
Список использованной литературы.
1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, том II. М.,1970 г.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.,1999 г.
4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию
чисел. М.,1987 г.
5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.
26