Семестровая работа по дисциплине «Дополнительные главы алгебры» на тему: «Диофантовы уравнения» 1 Понятие проектно-исследовательской деятельности школьника. В современной образовательной системе учение больше не рассматривается как простая трансляция знаний от педагога к учащимся. Обучение выступает как сотрудничество — совместная работа учителя и учеников в ходе овладения учащимися знаниями и приобретения опыта решения проблем. Активной позиции учащегося в учении приводит к изменению представлений о характере взаимодействия ученика с педагогом и одноклассниками. Проектно-исследовательская деятельность учащихся является одним из методов развивающего обучения, направлена на выработку самостоятельных исследовательских умений, таких как постановка проблемы, сбор и обработка информации, проведение экспериментов, анализ полученных результатов, а также способствует развитию творческих способностей и логического мышления, объединяет знания, полученные в ходе учебного процесса и приобщает к жизненно важным проблемам. Организация проектной и исследовательской деятельности обучающихся в образовательных учреждениях требует грамотного научно-обоснованного подхода. Важно учитывать, что данными видами деятельности должна управлять инициативная группа педагогов-единомышленников, обладающих определенным уровнем подговки, а также владеющих технологией проектирования. Перед тем, как начать рассуждать о роли проектноисследовательской деятельности школьника в современном образовании, приведу ряд определений. Проектно-исследовательская деятельность — деятельность по проектированию собственного исследования, предполагающая выделение целей и задач, выделение принципов отбора методик, планирование хода исследования, определение ожидаемых результатов, оценка реализуемости исследования, определение необходимых ресурсов. Цель проектно-исследовательской деятельности: Создание условий для формирования у учащихся функционального навыка исследования как универсального способа освоения действительности, активизации личностной позиции учащегося в образовательном процессе на основе приобретения субъективно новых знаний, развития творческой личности, ее самоопределения и самореализации, достижения учащимися метапредметных результатов освоения основной образовательной программы основного общего образования. Проектно-исследовательская деятельность в рамках учебного процесса призвана: учить учащихся четко определять цель, описывать основные шаги 2 по достижению поставленной цели, подбирать методы и формы работы по теме исследования; формировать навыки сбора и обработки информации, материалов (учащийся должен уметь выбрать нужную информацию и правильно ее использовать); развивать умения анализировать (креативное и критическое мышление); формировать и развивать умения составлять письменный отчет о самостоятельной работе над проектом (составлять план работы, презентовать четко информацию, оформлять сноски, иметь понятие о библиографии); способствовать формированию позитивного отношения к работе, активной жизненной позиции (учащийся должен проявлять инициативу, энтузиазм, стараться выполнить работу в срок в соответствии с установленным планом и графиком работы); интенсифицировать освоения знаний по базовым предметам, способствовать формированию системы межпредметной интеграции и целостной картины мира; способствовать формированию и развитию коммуникативной компетенции учащихся как одного из факторов их успешной социализации в будущем. Проектное обучение рассматривается как дидактическая система. Метод проектов является компонентом системы, как педагогическая технология, которая предусматривает не только интеграцию знаний, но и применение актуализированных знаний, приобретение новых. О проектном обучении можно говорить только тогда, когда метод проектов является основным в процессе обучения, а остальные методы являются вспомогательными. Проектная деятельность учащихся - компонент проектного обучения, связанного с выявлением и удовлетворением потребностей учащихся посредством проектирования и создания идеального или материального продукта, обладающего объективной или субъективной новизной. Она представляет собой творческую работу по решению практической задачи, цели и содержание которой определяются учащимися и осуществляются ими в процессе теоретической проработки и практической реализации при участии учителя. Проектная деятельность решает ряд важных педагогических задач: ● учит применять базовые знания и умения, усвоенные на учебных занятиях, для поиска и решения социальных, семейных, личных проблем; стимулирует самостоятельную познавательную деятельность детей; ● стирает грани между школьными дисциплинами, тем самым приближает учебный процесс к реальной жизни; ● привлекает детей к социальной деятельности, которая обеспечивает формирование различных качеств, профессиональных интересов. 3 Проектная деятельность успешно сочетается с исследовательской деятельностью. Реализация исследовательского метода обучения обеспечивает выработку новых знаний. Отличительная особенность исследования от проектирования прослеживается в том, что исследование не предполагает создание какого-либо планируемого объекта, модели или прототипа. Результат проекта всегда известен заблаговременно, а результат исследования не известен. К общим характеристикам исследовательской и проектной деятельности следует отнести характеристики организационно - управленческого плана. Целеполагание, формулировку задач, которые следует решить; выбор средств и методов, адекватных поставленным целям; планирование, определение последовательности и сроков работ; собственно проведение проектных работ или исследования; оформление результатов работ в соответствии с замыслом проекта или целями исследования; представление результатов. 4 Введение Станет ли кто в наше время отрицать настоятельную необходимость самого широкого распространения и популяризации математических знаний? Первоначальные математические познания должны входить с самых ранних лет в наше образование и воспитание. Алгебра – один из больших разделов математики. Она возникла как наука об уравнениях в связи с потребностями практики, в результате поиска общих приемов однотипных задач. Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую – то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается найти эту величину благодаря уравнениям. Диофантовы уравнения – это уравнения в целых числах. В качестве примера может послужить задача о размере рубля монетами разных достоинств. Решение уравнений в целых числах – очень увлекательная задача. Это один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Давайте разберемся, откуда взялось понятие «диофантовы уравнения». Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н.э. О подробностях его жизни практически ничего не известно. Его «Арифметика» стала поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Именно здесь произошёл окончательный отказ от геометрической алгебры. В начале своего труда Диофант поместил краткое введение, ставшее первым изложением основ алгебры. В нём строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика. Там же формулируются правила действий с многочленами и уравнениями. Труды Диофанта имели фундаментальное значение для развития алгебры и теории чисел. С именем этого учёного связано появление и развитие алгебраической геометрии. 5 Диофантовы уравнения Теория Линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида: , где и . Решением уравнения , где и пара целых чисел, при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство. 1, называется Теорема Диофантово уравнение разрешено в целых числах . Доказательство. Необходимость. Предположим, что и докажем, что диофантово уравнение неразрешимо в целых числах. Предположим, что существуют , что , то есть ( – решение . Очевидно, что из и получается, что с делится на d, то есть d – общий делитель чисел . Следовательно, ) , а это противоречие. Достаточность. Пусть , тогда по критерию НОДа: существует , что . Домножим обе части равенства на c, получим . Следовательно, целые решения уравнения . Обозначим их через . Тем самым, доказано, что если , то диафантово уравнение имеет целое решение . Покажем, как найти все целые решения этого уравнения: 1) Если , имеем , следовательно, . Но по условию и , отсюда делится на и . Следовательно, по свойству взаимно простых чисел, существует что . Отсюда . Таким образом, целыми решениями такого однородного уравнения является: . Если , имеем и уравнение разрешимо в целых числах. Существуют Z, что . Вычтем из уравнение , получим 3) , а данное уравнение совпадает с типом уравнения, рассмотренным в пункте 1. 2) 6 , Таким образом, пара - решение уравнения . Отсюда, согласно случаю 1, имеем: . 7 Примеры решений Пример 1. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 91. Воспользуемся методом разложения на множители. Запишем условие задачи в виде уравнения Воспользуемся формулой разности квадратов: Число 91 можно разложить на множители восемью способами: 91 = 91∙1 = 7∙13 = 13∙7 = 91∙1 = -1 ∙ (-91) = -7 ∙ (-13) = -13 ∙ (-7) = -91 ∙ (-1) Заметим, что . Приведем пример решения системы для чисел 1 и 91: Аналогично для остальных множителей. Получаем восемь различных пар : (46,45); (46,-45); (-46,45); (-46,-45); (10,3); (10,-3); (-10,3); (-10,-3). Пример 2. Решить уравнение в целых числах: Разложим правую часть уравнения на множители: Как писалось выше, число 91 можно разложить на множители восемью способами: 91 = 91∙1 = 7∙13 = 13∙7 = 91∙1 = -1 ∙ (-91) = -7 ∙ (-13) = -13 ∙ (-7) = -91 ∙ (-1) Аналогично примеру 1 приведем решение для множителей 1 и 91: 8 Решив системe, получим: первая система имеет решения (6;5), (-5;-6). Решая остальные системы, убедимся, что некоторые системы решения не дают, а некоторые дают решение (4;-3), (3:-4). Пример 3. Доказать, что уравнение (x − y)3 + (y − z)3 + (z − x)3 = 30 не имеет решений в целых числах. Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение: (x − y)(y − z)(z − x) = 10. Делителями 10 являются числа 1, 2, 5, 10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (x − y)(y − z)(z − x) = 10 равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах. Пример 4. Найти все пары простых чисел x и y, удовлетворяющих уравнению: x2 − 2y2 = 1. Перепишем исходное уравнение в виде x2 = 1 + 2y2, значит, x – нечетное число. Приведем исходное уравнение к виду (x − 1)(x + 1) = 2y2 Заметим, что числа (x – 1) и (x + 1) − четные, а из (x − 1)(x + 1) = 2y2 следует, что y − четное. Значит, y = 2 (это единственное простое четное число). Тогда x = 3. 9 Пример 5. Найти натуральные x и y, такие что 117x – 79y = 17, для которых x + y имеет наименьшее значение. Имеем 117 = 79 ∙ 1 + 38. Перепишем данное уравнение в виде 79(x – y) + 38x = 17. Обозначим x – y = u, тогда уравнение примет вид 79u + 38x = 17. Проведем цепочку преобразований. Так как 79 = 2 ∙ 38 + 3, то 38 ∙ (2u + x) + 3u = 17. Обозначим 2u + x = v, тогда получим 38v + 3u = 17. Так как 38 = 3 ∙ 12 + 2, то 3(12v + u) + 2v = 17 12v + u = w, тогда 3w + 2v = 17, так как 3 = 2 ∙ 1 + 1, то 2(w + v) + w = 17, w + v = t, Последнее уравнение имеет решение w = 17 – 2t, t 2t + w = 17. . Теперь пойдем в обратном направлении: v = t − w = t − 17 + 2t = 3t – 17 u = w − 12v = 17 − 22t − 12(3t − 17) = 17 − 2t − 36t + 204 = 221 − 38t x = v − 2u = 3t − 17 − 2(221 − 38t) = 3t − 17 − 442 + 76t = 79t – 459 y = x − u = 79t − 459 − 221 + 38t = 117t − 680. Из условия x, y найдем t 6. Видно, что x + y имеет наименьшее значение при t = 6. Значит, решением будет (15; 22). 10 Список литературы 1. «О решении уравнений в целых числах», В.Серпинский, 1961г. 2. «Решение уравнений в целых числах», А. Гельфонд, 1978 3. «Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам», Е.П. Гринько, А.Г. Головач 11
