Решение уравнений в целых числах 10 класс. уч. Павловская Н.М.

 Простейшими
диофантовыми
уравнениями
являются уравнения вида
ax + by = c, a ≠ 0; b ≠ 0
Если с = 0, то решение очевидно х = 0, у = 0.
Если с ≠ 0, и решение (х0 ; у0 ), то целое число
ax0 + by0 делится на d = (a ; b), поэтому с так же
должно делиться на общий делитель a и b.
Например: 3х + 6у = 5 не имеет целых решений,
так как (3; 6) = 3, а с = 5 не делится на 3 без
остатка.
 Если уравнение ax + by = c имеет решение (х0 ; у0 ), и
(a ; b) = 1, то все решения уравнения задаются
формулами х = х0 + bn; y = у0 – an, где nлюбое целое
решение.
Например: 3х + 5у = 13, (3; 5) = 1, значит уравнение
имеет бесконечно много решений, х0 =1; у0 =2
х
1
?
?
?
у
2
?
?
?
Большая
(великая)
теорема
уравнение вида
Ферма
гласит:
не имеет
решений в натуральных числах.
Эта теорема была сформулирована итальянским
математиком Пьером Ферма более 300 лет назад,
а доказана лишь в 1993 году.
2. Решите в целых числах уравнение:
3х² + 4ху – 7у²= 13.
Решение: 3х² - 3ху + 7ху – 7у²= 13,
3х(х – у) +7у(х – у) = 13,
(х – у)(3х + 7у) = 13.
Так как 13 имеет целые делители
1. х – у = 1,
7х – 7у = 7,
3х + 7у= 13;
3х + 7у = 13; откуда
2. х – у = 13,
7х – 7у = 91,
3х + 7у= 1;
3х + 7у =1; откуда
3. х – у = -1,
7х – 7у = -7,
3х + 7у= -13; 3х + 7у = -13; откуда
4. х – у = -13,
7х – 7у = -91,
3х + 7у= -1;
3х +7у= -1;
откуда
Следовательно уравнение имеет два
целых числах: (2;1) и (-2;-1)
±1 и ±13,
х = 2,
у=1
х = 9,2,
у=- 3,8.
х = -2,
у = -1.
х = -9,2,
у =3,8.
решения в
3. Решите в целых числах уравнение:
9х² + 4х – ху +3у = 88.
Решение: 9х² + 4х – 88 = ху – 3у,
9х² + 4х – 88 = у(х – 3)
так как 5 имеет целые делители ± 1и ± 5,
то
х
-2
2
4
8
у
12
44
72
104