Проектно-исследовательская работа на тему УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ

XIX городская научная конференция молодых исследователей «Шаг в будущее»
УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Российская Федерация
Ханты-Мансийский автономный округ-Югра
город Сургут
Автор:
Клементьева Екатерина Алексеевна,
муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа
№ 46 с углубленным изучением
отдельных предметов, 9 класс
Научный руководитель:
Кузнецова Елена Борисовна,
учитель математики
высшей квалификационной категории
2017
АННОТАЦИЯ
Выбор темы проекта «Уравнения с параметром» обусловлен желанием
научиться решать такие уравнения, так как своевременно не были усвоены способы
решения линейных уравнений с параметром, а предстоит изучение еще и квадратных
уравнений.
В проекте подробно описаны пять решенных линейных уравнений с
параметрами аналитическим и графическим способами и четыре квадратных уравнения
с параметрами, одно из которых осложнено модулем; графики построены с помощью
приложения «Живая математика». Материал проекта может использоваться в качестве
основы при подготовке к олимпиадам.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................ 3
2.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ ........................................................................................................ 5
2.1. Историческая справка .................................................................................................. 5
2.2. Линейные уравнения с параметром ............................................................................ 5
2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром ...................... 6
2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром .......................... 7
2.5. Квадратные уравнения с параметром ......................................................................... 9
2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с
параметром ......................................................................................................................... 10
2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с
параметром ......................................................................................................................... 11
3.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................................... 13
4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............................................................................................... 14
3
1. ВВЕДЕНИЕ
Задачи с параметром считаются трудными, так как каждая из них является
исследовательской: нужно понять, принять и вычислить две или больше неизвестных в
одном уравнении, нужно привыкнуть к тому, что эти неизвестные играют разные роли,
могут по-разному обозначаться. Желание научиться решать такие задачи у меня
появилось еще в 7 классе, когда мы впервые рассмотрели параметр в линейных
уравнениях. Данная тема приобретает для меня все большую актуальность в связи с
изучением с этого учебного года квадратных уравнений, биквадратных уравнений и
началом подготовки к ОГЭ.
Объект исследования: Уравнения с одной переменной.
Предмет исследования: Уравнения с параметром.
Проблема: недостаточно знаний и умений по теме «Уравнения с параметром».
Причины проблемы:
 не были усвоены способы решения линейных уравнений с параметром при
изучении их в седьмом классе;
 не изучались квадратные уравнения с параметром в восьмом классе.
Цель: изучить способы решения уравнений с параметром.
Задачи:
1. Дать определение понятию "Уравнение с параметром";
2. Рассмотреть способы решения уравнений с параметром;
3. Подобрать различные виды заданий для решения;
4. Представить изученный материал в докладе и презентации.
Гипотеза исследования: Можно предположить, что если изучить различные
методы решения уравнений с параметром, то можно найти универсальный метод,
позволяющий решать уравнения разных видов.
Методы исследования:
1. Эмпирические (изучение литературы по теме исследования, самостоятельное
решение уравнений);
2. Обобщения и систематизации математического материала;
3. Экспериментально-теоретические (анализ, моделирование, сравнение).
Новизна проекта:
Данная тема открыла мне новые виды уравнений с параметром, позволила
познакомиться с доступными способами их решения.
Практическая значимость проекта:
4
Материал проекта может использоваться в качестве основы при подготовке к
олимпиадам.
5
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
2.1. Историческая справка
«Все математики знали,
что под алгеброй были скрыты
несравненные сокровища,
но не умели их найти.»
Франсуа́ Вие́т, сеньор де ля Биготье
Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате
«Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом
Ариабхаттой [7].
В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных и
квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая
их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. αx2 = bx.
2) «Квадраты равны числу», т. е. αx2 = c.
3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx2 + c = bx.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx2 + bx = c.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. αx2 + bx = c.
Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были
впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком
Леонардо Фибоначчи – основа аналитического метода решения уравнений с
параметром.
Понятие переменной величины было введено в науку французским философом и
математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве
алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный
единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему – основа
графического метода решения уравнений с параметром.
2.2. Линейные уравнения с параметром
Рассмотрим линейные уравнения: 5х +1 = 2, 1 + 2х = 2, - 0,5х + 1 = 2. В общем
виде эти уравнения можно записать так: ах + 1 = 2, где а – некоторое число, х –
переменная. Приведем еще примеры уравнений, в которых коэффициенты заданы не
конкретными числами, а буквами: 5х = р, ах =1, с + dх = 10, kх – 3 = 0,5. Такие буквы
называют параметрами.
6
Определение 1: Параметром называется независимая переменная, значение
которой
в
задаче
действительным
считается
числом,
или
заданным,
числом,
фиксированным
принадлежащим
или
произвольным
заранее
оговоренному
множеству[2].
Независимость
параметра
вытекающим из условия
уравнения |х| = а – 1
если
заключается
задачи. Например,
в
его «неподчинении» свойствам,
из неотрицательной
левой
части
не следует неотрицательность значений выражения
а – 1,
а – 1 < 0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.[2]
Определение 2: Уравнение с параметром – это семейство уравнений,
определяемых параметром.
Решить уравнение с параметром означает:
 Найти все значения параметра, при которых данное уравнение имеет решение.
 Найти все решения для каждого найденного значения параметра, то есть для
неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.
К основным методам решения линейных уравнений с параметром относятся
аналитический метод и графический метод.
2.3. Аналитический метод решения линейных уравнений с параметром
Определение: Аналитический метод – это способ «прямого» решения,
повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
Аналитический метод решения задач
с
параметром
самый трудный
способ, требующий высокой математической грамотности.
Рассмотрим решение линейного уравнения ах = b, где а и b – некоторые
действительные числа, х - переменная. В общем виде решение удобнее всего
представить в виде следующей блок – схемы:
7
Пример 1[9, с.3]. Решить уравнение ах=1.
Решение: при а=0, то есть 0⋅х=1, уравнение корней не имеет; при а≠0 уравнение имеет
корень х = .
Ответ: если а=0, то корней нет; если а≠0, то х = .
Пример 2[4]. Решить уравнение
+3=5-х
Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему:
х ( +1) =2;
х×
+х=2;
=2.
При а = 0 уравнение не имеет смысла.
При а ≠ 0 и а + 1 = 0 (а = – 1) уравнение примет вид 0·х = 2, т. е. не имеет
решений.
При а ≠ 0, а≠– 1 уравнение имеет единственный корень х =
Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет смысла; если а ≠ 0 и а = – 1, то корней нет;
если а ≠ 0 и а ≠ – 1, то х =
.
Пример 3. При каком значении параметра а уравнение а2х+2=4х+а имеет бесконечно
много корней?
Решение: Данное уравнение заменим равносильным ему: а2х - 4х = а - 2; (а2 – 4) х = а – 2; (а-2) (а+2) х = (а-2). При а = 2 данное уравнение принимает
вид 0·х = 0, значит х – любое число.
Ответ: а = 2.
2.4. Графический метод решения линейных уравнений с параметром
Графический метод решения задач с параметром исключительно наглядный
способ решения. В любом классе задач есть задачи, которые блестяще решаются
данным способом и трудоемко другими.
Часто в линейных уравнениях с параметром переходят к линейным функциям
вида у = kx + b, где k и b – коэффициенты. В зависимости от задачи (с переменной х и
параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в
координатной плоскости Оха.
Геометрически
поэтому
возможны
каждое уравнение представляет прямую
на плоскости,
три случая расположения двух прямых, то есть
три случая
решения: 1) прямые пересекаются - уравнение будет иметь один корень; 2) прямые
параллельны - уравнение не имеет корней; 3) прямые совпадают - уравнение имеет
бесконечно много решений.
8
Возможно при использовании графического метода возникает вопрос о
строгости решения. Поэтому, когда результат, полученный с помощью графического
метода, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.
Рассмотрим решение двух линейных уравнений с параметром графическим
методом с построением графиков в координатной плоскости Оху.
Пример 1. Решить уравнение ах = 1.
Решение: запишем уравнение в виде системы
у=1,
у=ах.
Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат Оху.
Первое уравнение изображается прямой, второе – семейством прямых, проходящих
через начало координат. При а = 0, т. е. второе уравнение примет вид у = 0, прямые
будут параллельны, а значит, система не имеет корней. При а ≠ 0 прямые пересекаются,
значит система имеет корень х = .
у=ах
Ответ: если а = 0, то корней нет; если а ≠ 0, то х = .
Пример 2. Решите уравнение |х| = х – а.
Решение: снова запишем уравнение в виде системы:
у= │х│,
у= х – а.
В системе координат Оху первое уравнение определяет ломаную, второе –
семейство прямых, параллельных биссектрисе I и III координатных четвертей. Видно,
что при а > 0 нет решений, при а = 0 решений бесконечно много, при а < 0 уравнение
имеет единственное решение:
х=- .
9
а=0
Ответ: если а > 0, то нет корней;
если а = 0, то решений бесконечно много;
если а < 0, то х =-
.
2.5. Квадратные уравнения с параметром
Общий вид квадратного уравнения с параметром: αx2 + bx + c = 0,
где параметр α ≠ 0, b и с — произвольные числа.
Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.
Выражение D = b2 – 4 αc называют дискриминантом.
1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.
2. Если D <0 — уравнение не имеет корней.
3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня [5, с.292].
Рассмотрим решение квадратного уравнения αx2 + bx + c = 0, где параметр α ≠ 0, b и с
— произвольные числа. В общем виде решение удобнее всего представить в виде
следующей блок – схемы:
10
( - ∞; +∞)
При А=0, В=0, С=0
Нет решений
При А=0, В=0, С≠0 или А≠0 и В2-4АС<0
При А=0, В≠0
Единственный корень х= Два различных действительных корня
При А≠0 и В2-4АС>0
х1,2=
При А≠0 и В2-4АС=0
Два совпадающих корня х1,2=
2.6. Аналитический метод решения квадратных уравнений с параметром
Пример 1[9, с.6]. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:
(2a – 1) x2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не менее одного корня.
Решение:
При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =
разбираем отдельно.
Если a = , то уравнение принимает вид x – 3 = 0, оно имеет один корень: х = 6.
Если a ≠ 1/2, то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не менее одного
корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неотрицателен:
D = a2 – 4(2a – 1) (2a – 3) = -15a2 + 32a – 12≥0
16+2√19
-15а2 + 32а - 12 ≥ 0 <=>
а ≥ ─────
15
16-2√19
а ≤ ─────
15
Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять, удовлетворяет ли а=
полученному условию: сравним
и
;
и
,
>
.
Ответ: если а ≠ , то х⋲ (-∞;
если а = , то х = 6.
)U{ }U(
; +∞);
и
<
11
Пример 2. Один из корней уравнения x2 + bx + 6 = 0 равен 2. Найдите коэффициент b и
другой корень уравнения.
Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета
2+х2 = - b,
2х2 = 6,
х2 =3 ⇒ 2 + 3 = 5 = - b ⇒ b = - 5.
Ответ: х2 = 3, b = - 5.
Пример 3. Один из корней уравнения x2 + kx – 2k + 5 = 0 равен 1. Найдите значение
параметра k и другой корень уравнения.
Решение: нам дано приведенное квадратное уравнение, по тереме Виета
1+ x2 = - k,
1⋅ x2 = -2k + 5, 1 – 2k + 5 = - k, -k = - 6, k = 6 ⇒ x2 = - 7
Ответ: x2 = - 7, k = 6.
2.7. Графический метод решения квадратных уравнений с параметром
Пример 1[3]. Для каждого значения параметра a определите количество решений
уравнения ∣х2 - 7∣х∣ + 6∣ = а.
Решение:
Заметим, что количество решений уравнения ∣х2 - 7∣х∣ + 6∣ = а равно количеству
точек пересечения графиков функций у= ∣х2 - 7∣х∣ + 6∣ и y = a.
График функции у = х2 – 7х + 6 показан на рис.1.
Рис.1
График функции у = х2 – 7∣х∣ + 6 показан на рис.2.
12
Рис. 2
График функции у =∣ х2 – 7∣х∣ + 6∣ показан на рис.3.
Рис. 3
y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество
точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения;
при a = 2 – восемь точек пересечения).
Ответ: при a <0 – решений нет;
при a = 0 и a = – четыре решения;
при 0 < a < 6 – восемь решений; при a = 6 – семь решений;
при 6 <a <
– шесть решений; при a >
– два решения.
13
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выбор темы обусловлен желанием научиться решать уравнения с параметрами
не только простые, но и повышенного уровня сложности.
В результате можно
отметить:
 решены пять линейных уравнений с параметрами аналитическим и графическим
способами и четыре квадратных уравнения с параметрами, одно из которых осложнено
модулем;
 решения всех уравнений подробно описаны в работе;
 графики построены с помощью приложения «Живая математика».
В ходе выполнения данной работы выдвинутая гипотеза подтвердилась.
Существуют задачи с параметрами, при решении которых используются только
аналитические методы. Но иногда можно решить задачу и аналитически, и графически.
Таким образом, аналитический метод – универсальный.
Считаю, что мне удалось справиться с поставленной целью и задачами,
разрешить проблему. Кроме того, я научилась пользоваться научной литературой,
сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное. Могу отметить,
что новые знания уже пригодились мне на некоторых уроках.
14
4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ВикипедиЯ: свободная энциклопедия. [Электронный ресурс] - Режим доступа:
https://ru.wikipedia.org/wiki/
2. Голубев В., Гольдман А. О задачах с параметром. Первоначальные сведения. //
Математика – 2002 - № 23 – с.27-32;
3. Информационный источник сложной структуры «Виртуальная математика.
Задачи с параметрами. 7 – 11 кл.». [Электронный ресурс] - Режим доступа:
http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/df413b15-266b-4a0a-bdb228fc41140ab2/;
4. Косякова Т. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений,
содержащих параметры. // Математика – 2001 - № 36 – с. 19-22;
5. Макарычев Ю.Н. Алгебра 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных
учреждений. - М.: Мнемозина, 2010, - 384 с.;
6. СтудопедиЯ.
[Электронный
ресурс]
-
Режим
доступа:
http://studopedia.ru/4_94223_analiticheskiy-metod-resheniya-zadach-s-parametrami.html;
7. Уравнения с параметрами в школьном курсе математики. [Электронный ресурс]
- Режим доступа: http://qp1qp.narod.ru/istoriya.html;
8. Феоктистов И. Е. Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. - М.: Мнемозина,
2013. – 173 с.;
9. Чикунова О.И. Практикум. Задачи с параметрами: учебно – методическое
пособие для учащихся 7 – 11 классов. – Шадринск: Шадринский Дом Печати, 2015. –
64 с.