Лкц 04-02

Лекция 4
План лекции
1.7.6 Теорема гипотез
1.7.7 Независимые повторные испытания
1.7.7.1 Формула Бернулли
1.7.7.2 Локальная теорема Лапласа
1.7.7.3 Интегральная теорема Лапласа
1.7.6
Теорема гипотез (формула Бейеса)
Эта теорема - следствие теоремы умножения и формулы полной вероятности
и позволяет уточнять вероятности появления событий -гипотез от опыта к опыту.
Пусть имеется полная группа событий – гипотез Н1, Н2, … , Нn. Вероятности
появлений этих событий , с которыми связано событие А, до проведения опыта
известны и равны соответственно: Р(Н1), Р(Н2), …,Р(Нn).
Производится опыт, в результате которого событие A происходит.
Теорема: Если в результате опыта происходит событие А, появление которого
определяется гипотезами Н1, Н2, … , Нn, то вероятности этих гипотез изменятся, и
эти изменения описываются формулой
P Hi / A
P Hi
P A / Hi
n
P Hi
,
P A / Hi
i 1
где Р(Нi/А) – апостериорная вероятность i-ой- гипотезы, если событие А
произошло
Доказательство:
Согласно теореме умножения вероятность одновременного появления двух
событий равна:
P(AHi) = P(A) P(Hi/A) = P(Hi)P(A/Hi) ,
i =1,2, … , n .
Отсюда
P(A) P(Hi/A) = P(Hi) P(A/Hi) , i =1,2, … , n
В этом равенстве P(Hi/A) - условная вероятность события Hi,, рассчитанная при
условии , что событие А произошло , а
P(A) - это
априорная вероятность
появления события A , которую находят по формуле полной вероятности:
n
P(A )
P(H i ) P(A / H i ) .
i 1
Пример: На заводе 40% приборов собирают из высококачественных деталей (гипотеза Н1), а 60% - из деталей обычного качества (гипотеза Н2). Вероятность отказа в течение гарантийного срока q1 = 0,05; q2 = 0,3. В течение гарантийного срока отказов не произошло. Как изменятся вероятности гипотез Н1 и Н2?
Обозначим событием А отсутствие отказа.
Р(Н1) = 0,4;
Р(Н2) = 0,6;
р1= 1- 0,05 = 0,95 и
р2= 0,7 - соответствующие гипотезам условные вероятности.
Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2) = 0,4 0,95+0,6 0,7 = 0,38+0,42 = 0,8;
Р(Н1/А) =
0,4 0,95
0,8
0,475 - апостериорная вероятность гипотезы Н1
0,6 0,7
0,525 - апостериорная вероятность гипотезы Н2 .
0,2
Решим задачу для случая, когда отказ произошел ( событие A ).
Р(Н2/А) =
P( A )
P(H1 ) P( A / H1 ) P(H 2) P( A / H 2 ) 0,4 0,05 0,6 0,3 0,02 0,18
0,2 ;
P ( H1 / A )
0,4 0,05
0,2
0,1
P(H 2 / A )
0,6 0,05
0,2
0,9 - апостериорная вероятность гипотезы Н2 .
- апостериорная вероятность гипотезы Н1
1.7.7 Независимые повторные испытания
Испытания называются независимыми , если исход каждого опыта ( событие А
произошло или не произошло) не зависит от того, какие исходы имели другие
опыты.
Пусть вероятность появления события А в каждом из этих опытов одна и та
же:
P( A)
p
и
P(A) 1 p
q.
1.7.7.1 Формула Бернулли
Теорема: Вероятность появления события А ровно k-раз при количестве
опытов n определяется количеством возможных комбинаций, при которых событие А происходит. Эта вероятность равна
Pn ( k )
C kn p k q n
k
- формула Бернулли.
Доказательство:
Предварительно рассмотрим ситуации, возможные при количестве опытов
n = 3 для k = 2
A 3 (2)
AAA
AAA ,
AAA
и ситуации, возможные при количестве опытов n = 4 для k = 3:
A 4 (3)
AAAA
AAAA
Возможные исходы при любом n
выражения:
(A
A )1 (A
A) 2 (A
AAAA
для
A) 3
(A
AAAA .
k = 0,1,2,…,n можно найти из
A) n
U,
где индексы соответствуют порядковому номеру испытания. Согласно аксиоме
сложения и частному случаю теоремы умножения для независимых событий
можно прийти к выводу, что вероятности возможных комбинаций определяются
выражением
(q
p ) n , которое представляет собой бином Ньютона:
p) n
qn
Cn q
(q
1
2
n 1 1
p
Cn q
n
k
n 2
Cn q
p2
n k
3
Cn q
n 3 3
p
... p n
pk .
0
Пример: Рассчитать вероятность поражения цели 0,1,2,3 раза при пуске
трех ракет, если вероятность поражения одной ракетой р = 0,9.
0
P3 (0)
C 30 p 0 q 3
0,001 ;
1
P3 (1)
C13p1q 2
0,027 ;
2
P3 ( 2)
3 0,9
2
0,1
0,243 ;
P3 (3) 1 0,93 1 0,729 .
3
1.7.7.2 Локальная теорема Лапласа
Эта теорема применима для большого числа испытаний ( n > 20), когда
формула Бернулли требует большого количества вычислений.
Теорема
Если вероятность p появления события A в каждом испытании
постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A
появится в n испытаниях ровно k раз приближенно равна
2
(см. 2.5.2)
Pn ( k )
1
1
npq
2
e
x
2
,
где 0
р
1; x
k
np
; n > 20.
npq
Это выражение может вывести, если использовать формулу Стирлинга, которая дает приближенное значения факториала для больших значений n :
n!
Функция
x
1
e
x2 / 2
n
e
n
2 n
(см. 2.5.5) приводится в таблицах и может быть по-
2
считана с помощью калькулятора.
Пример. Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 80
раз в 400-ах испытаниях, если вероятность появления A в каждом p=0.2.
N = 400 k = 80 p = 0.2 находим х = 0
Р400(80) = 0,0498
(0)
0,3989
1.7.7.3 Интегральная теорема Лапласа
В практике применения теории вероятности возникает задача, когда нужно
определить вероятность появления события не менее k1 и не более k2 раз при
условии , что количество испытаний n достаточно велико.
Пример: Вероятность того, что транзистор не прошел ОТК, равна 0,2.
Найти вероятность того, что среди 400 транзисторов не проверено от 70 до
100.
Теорема: Если вероятность события А равна р, и она одинакова в каждом испытании и отлична от 0 и 1, то вероятность события, которое заключается в том, что А
происходит от k1 до k2 раз, приближенно равна
Pn ( k1 , k 2 )
где
n > 20;
0
p
1;
1
2
a2
a2
e
x
2
2
dx ,
a1
k2
np
;
npq
a1
k1
np
.
npq
2
Функция
x
1
2
x
e
z
2
dz , которая называется интегралом Лапласа (см. 2.5.5)
0
приводится в учебниках и справочниках по теории вероятностей;
Рn(k1,k2) = Ф(а2) - Ф(а1).
Вернемся к нашему примеру
p=0.2 q=0.8 n=400 k1 = 70 k2 =100
npq = 82
P400(70,100) = Ф(а2) - Ф(a1) = Ф(2.5) - Ф(-1.25)
P400(70,100) = 0.888