Дифференциальные уравнения. Примеры задач приводимые к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. II курс Основные понятия • Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные(или дифференциалы) этой функции. • Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. •Наивысший порядок производной , входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. •Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: •Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у=φ(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. •Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у/ = f(x,y) в области D называется функция y=φ(x, C) , обладающая следующими свойствами: 1)При любых значениях С она является решением данного уравнения,2) для любого условия (х0 , у0 ) существует единственное значение С0 . Всякое решение y=φ(x, C0) ,получающееся из общего решения y=φ(x, C) при конкретном значении С=С0 , называется частным решением. Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных уравнений: -Уравнения с разделяющимися переменными, -Однородные уравнения, -Линейные уравнения, -Уравнение в полных дифференциалах, -и т.д. Остановимся подробнее на каждом из этих типов уравнений. Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию f(x)dx + g(y)dy = 0, Интегрируя, получим - общий интеграл (общее решение) этого уравнения. Пример: 4 x 7 2 y e x c 0 4 2 e y dy ( x 3 7 x) dx 0; - общее решение Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными: Записываем уравнение в форме: затем делим на g(y) и умножаем на dx: . Это уравнение - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл: Алгоритм решения уравнений с разделяющимися переменными 1.Выражают производную функции через дифференциалы dx ,dy. 2.Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку. 3.Разделяют переменные. 4.Интегрируют обе части равенства и находят общее решение. 5. Если заданы начальные условия, то находят частное решение. Пример: Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее решение: Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов: Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой: Подставляя в уравнение y = x·u, y ′ = u + x·u ′, получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u Пример: - общее решение уравнения Решение задач 1.Решить уравнение: у / =х+3 2. Найти решение у(х) дифференциального уравнения у / =cos(x), удовлетворяющее условию у(0)=1. 3.Найти уравнение линии , проходящей через точку М(1;3) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой равен 2х-3. Решение задач 4.Скорость тела, выходящего из состояния покоя, равна 5t2 м/с по истечении t секунд. Определите путь, который пройдет тело за 3 секунды. 5.Решить уравнение: хdx+ydy=0. 6.Составить уравнение движения тела по оси ОХ, если оно начало движение от точки М(4;0) со скоростью v =2t+3t2 . 7. Решить уравнение: 2ydy=3х2dx. Самостоятельная работа
