Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» ______________________________________ ПОДГОТОВКА К ЗАЧЕТУ Задача 1 Классическая вероятностная схема Схема геометрических вероятностей Правила сложения и умножения вероятностей 2 Задача 1 Задача 1.1. На отрезок АВ длины 140 наудачу поставлена точка Х. Найдите вероятность P того, что меньший из отрезков АХ и ХВ имеет большую длину, чем 60. Задача 1.2. На отрезок АВ длины 150 наудачу поставлена точка Х. Найдите вероятность P того, что меньший из отрезков АХ и ХВ имеет длину меньшую , чем 60. Задача 1.3. На отрезок длины 170 наудачу поставлена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется на расстоянии больше, чем 70, от ближайшей к ней границе отрезка. Задача 1.4. На отрезок длины 120 наудачу поставлена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется на расстоянии меньшем, чем 20, от 3 ближайшей к ней границе отрезка. Задача 1 Задача 1.5. События А, В, С независимы. Найдите вероятность того, что из событий А, В, С наступит ровно одно событий, если 𝑃(𝐴) = 0,5, 𝑃(𝐵) = 0,6, 𝑃(𝐶) = 0,8. Задача 1.6. События А, В, С независимы. Найдите вероятность того, что из событий А, В, С наступит ровно одно событий, если 𝑃(𝐴) = 0,3, 𝑃(𝐵) = 0,8, 𝑃(𝐶) = 0,1. Задача 1.7. Подбрасываются 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет равна 6? Задача 1.8. Наугад выбирается тринадцатизначное число. Найти вероятность P того, что число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (как, например, число 5328235). 4 Задача 1 Задача 1.9. Наугад выбирается девятизначное число. Найти вероятность P того, что число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (как, например, число 5328235). Задача 1.10. Студент выучил 41 из 55 экзаменационных вопросов. Какова вероятность верного ответа на 2 из 4 случайно выбранных экзаменатором вопросов. Задача 1.11. Студент выучил 54 из 60 экзаменационных вопросов. Какова вероятность верного ответа на 3 из 4 случайно выбранных экзаменатором вопросов. Задача 1.12. В урне 14 жёлтых и 13 фиолетовых шаров. Извлекаются 14 шаров. Какова вероятность того, что среди них окажется 8 фиолетовых? Задача 1.13. В урне 14 жёлтых и 10 фиолетовых шаров. Извлекаются 12 шаров. 5 Какова вероятность того, что среди них окажется 5 фиолетовых? Задача 1 Задача 1.14. Вероятность при одном выстреле в мишень 0,62. Найдите вероятность хотя бы одного попадания при 9 выстрелах 6 Задача 2 Задача 2.1. Известно, что новый гаджет приобретает 49.8%. покупателей магазина. Найдите вероятность того, что из 940 пришедших покупателей число купивших гаджет будет заключено на отрезке [438; 480]. Задача 2.2. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0.13. Найдите вероятность того, что среди 337 выпущенных изделий более 307 окажутся без брака. Задача 2.3. Вероятность задержки авиарейса равна 0.059. Найдите вероятность P того, что из 460 авиарейсов ровно в срок прибудет не менее 444. Задача 2.4. Вероятность ошибочного срабатывания каждого отдельного датчика сигнализации составляет 0.073. Найдите вероятность ошибочного срабатывания 3 датчиков из 100 установленных. 7 Задача 3 Задача 3.1. В консалтинговом агентстве работает 7 сотрудников высшей категории, 6 сотрудников – первой категории и 9 сотрудников – второй категории. Вероятности ошибочных заключений, выданных сотрудниками агентства, зависят от их квалификации и равны: 0.01 – для высшей категории, 0.04 – для первой категории и 0.09 – для второй соответственно. Найдите вероятность того, что при обращении в данное агентство к случайно выбранному сотруднику клиенту будет выдано верное заключение, и вероятность того, что клиента обслужил сотрудник первой категории. Задача 3.2. Спортивные товары в магазин поставляют три компании-поставщика. Первый поставщик предоставляет 34% всего товара, второй – 49% и третий – 17 %. Известно, что процент бракованных товаров от первой компании равен 2 %, второй – 2% и от третьей – 0.5 %. Какова вероятность того, что наудачу взятый товар оказался бракованным? Указать наиболее вероятного поставщика (1,2 или 3), предоставившего этот товар. 8 Задача 4 Задача 4.1. Закон распределения ДСВ 𝜉 задан таблицей: 𝜉 1 3 5 6 8 р 0,05 0,05 0,1 0,05 0,75 Найдите стандартное отклонение 𝜎(𝜉) и вероятность P( 𝜉 − E 𝜉 ≤𝜎 𝜉 . Задача 4.2. Закон распределения ДСВ 𝜉 задан таблицей: 𝜉 −4 −2 −1 1 3 р 0,15 0,15 0,05 0,05 0,6 Найдите стандартное отклонение 𝜎(𝜉) и вероятность P( 𝜉 − E 𝜉 >𝜎 𝜉 . 9 Задача 5 Задача 5.1. Плотность 𝑓(𝑥) НСВ 𝑋 имеет вид: 𝑓 𝑥 =൞ 0 при 𝑥 < 7, 𝑐𝑥 8 при 7 ≤ 𝑥 ≤ 9, 0 при 𝑥 > 9. Найти: а) значение 𝐶; б) математическое ожидание 𝑀 𝑋 . Задача 5.2. Плотность 𝑓(𝑥) НСВ 𝑋 имеет вид: 𝑓 𝑥 =൞ 0 при 𝑥 < −2, 𝑐𝑥 2 при − 2 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 при 𝑥 > 1. Найти: а) значение 𝐶; б) математическое ожидание 𝑀 𝑋 . 10 Задача 6 Задача 6.1. Акции двух компаний А и В имеют цены 𝑋 и 𝑌, распределенные по нормальному закону с параметрами соответственно 𝑚𝐴 = 4, 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 0,7 и 𝑚𝐵 = 13, 𝑉𝑎𝑟 𝑌 = 0,55. При этом коэффициент корреляции между ценами 𝜌 𝑋, 𝑌 = −0,27. Найдите математическое ожидание и дисперсию цены портфеля, состоящего из 2 акций компании А и 8 акций компании В. Задача 6.2. Акции двух компаний А и В имеют цены 𝑋 и 𝑌, распределенные по нормальному закону с параметрами соответственно 𝑚𝐴 = 4, 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 0,79 и 𝑚𝐵 = 13, 𝑉𝑎𝑟 𝑌 = 0,55. При этом коэффициент корреляции между ценами 𝜌 𝑋, 𝑌 = −0,36. Найдите математическое ожидание и дисперсию цены портфеля, состоящего из 3 акций компании А и 12 акций компании В. 11 Ответы Задача 1.1. 0,142857143 … Задача 1.2. 0,8 Задача 1.3. 0,176470588 … Задача 1.4. 0,333333333 … Задача 1.5. 0,26 Задача 1.6. 0,572 Задача 1.7. 0,13888 … Задача 1.8. 0,000001 Задача 1.9. 0,0001 Задача 1.10. 0,2187917 … Задача 1.11. 0,305195… Задача 1.12. 0,192681 … Задача 1.13. 0,319828 … Задача 1.14. 0,999835 … Задача 2.1. 0,767481 … Задача 2.2. 0,00770795 … Задача 2.3. 0,01286999 … Задача 2.4. 0,040310001 … Задача 3.1. 0,9490 … ; 0,27586... Задача 3.2. 0,01745 … ; 2 Задача 4.1. 1,949359… ; 0,8 Задача 4.2. 2,773085 ; 0,3 12 Ответы Задача 5.1. 2,59316𝐸 − 08; 8,30928 … Задача 5.2. 8,30928 … ; −1,25 Задача 6.1. 112; 32,63902... Задача 6.2. 168; 69,22441... 13
