Подпишитесь на DeepL Pro и переводите документы большего объема. Подробнее на www.DeepL.com/pro. ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВИБРАЦИОННОГО АСФАЛЬТОВОГО КАТКА И ОЦЕНКА КОНТАКТНЫХ СИЛ ГАЕЧНОГО КЛЮЧА Шарль-Эрик Лемер∗ Пьер-Оливье Ванданжон∗ Максим Готье ∗∗ ∗ Центральный лабораторный центр понтов Шоссе, BP 4129, 44341 Bouguenais Cedex, Франция ∗∗ Нантский институт исследований в области коммуникации и кибернетики, BP 92101, 44321 Нант Седекс 3, Франция Аннотация: В данной статье рассматривается динамическое моделирование вибрационного асфальтового катка. Каток - это машина для строительства дорог. Его задача заключается в увеличении плотности асфальта. Целью исследования является измерение контактных сил между барабанами катка и битумной смесью. Эти барабаны вибрируют. Традиционные методы робототехники используются для моделирования катка как шарнирной механической системы. Для достижения нашей цели динамическая модель ограничивается узлом зажим-барабан. Кроме того, эта модель адаптируется к нашей системе измерений путем замены некоторых лагранжевых переменных на некоторые переменные Эйлера. Таким образом, доказывается возможность получения контактных сил ключа. На реальной рабочей площадке впервые удалось измерить c 2005 IFAC. контактные силы, прикладываемые катком. C o p y r i g h t O Ключевые слова: Динамическое моделирование, мобильные роботы, контактная сила 1. ВВЕДЕНИЕ При строительстве дорог материал распределяется, а затем уплотняется. Уплотнение - важнейшая задача этого процесса, гарантирующая срок службы дороги. Для выполнения этой задачи используется рабочая машина вибрационный асфальтовый каток (рис. 1). Уплотнение достигается за счет рабочего веса и вибрационной системы машины. В настоящее время не существует надежной системы контроля уплотнения асфальта в режиме реального времени, когда речь идет о верхнем слое дорожного покрытия. Моделирование катка как шарнирносочлененной механической системы без вибрации (Guillo et al., 1999) позволяет нам разработать недорогую систему (Lemaire et al., 2003) для измерения сопротивления качению (Delclos et al., 2001). В данной статье рассматривается дальнейшее моделирование ведьмы с учетом вибрации. С помощью этой модели можно измерить контактные силы гаечных ключей, прикладываемых катком асфальта в 2D. Для выполнения этого мероприятия не требуется полная модель катка, достаточно модели барабана, с гипотезой движения катка в плане, адекватной рассматриваемым приложениям. Динамическая модель основана на геометрическом моделировании. В первой части статьи рассматривается геометрическое моделирование катка. Во второй части описывается традиционный расчет динамической модели. В третьей части это моделирование адаптировано к случаю компактора с целью узнать контактные силы ключа. 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОМПАКТОРА В этой части описывается геометрическая модель типичного ком-пактора Caterpillar CB544 (рис. 1). zi x zj θj α zk j k αj Bj dj rj bj Bk xi = uk γj uj Bi Рис. 2. Геометрические параметры • αj : угол между zi и zj вокруг оси uj , • dj : расстояние от zi до zj вдоль uj , • θj : угол между uj и xj вокруг оси zj , • rj : расстояние от uj до xj вдоль zj . Рис. 1. Типичный компактор: Caterpillar CB544 Мы рассматриваем в элементах, связывающих шасси - или основной корпус - на землю. Затем каток состоит из: • шасси • система рулевого управления • два барабана, каждый барабан состоит из двух полубарабан и система кругового возбуждения В этом описании используются наиболее влиятельные степени свободы, характеризующие компактор динамика. Эти степени свободы моделируются в соответствии с модифицированной нотацией Денавита и Хартенберга (MDH) (Khalil and Dombre, 2002), что приводит к геометрической модели. Вторая часть соединяет эту сложную модель с главным степеней свободы компактора. Когда xi берется вдоль uj , параметры γj и bj равны нулю. Это всегда так для всех кадров серийных роботов. Однородная (4 × 4) матрица преобразования Tij между кадрами i и j имеет вид: iT j (1) 01×3 1 с iAj = � � Cγj Cθj - Sγj Cαj Sθj -Cγj Sθj - Sγj Cαj Cθj Sγj Sαj � Sγ Sθ -Sγ Sθ + jCθ j- CγjCα j j j Cγ j Cα Cθ j -Cγ j Sα j � j j Sαj Sθj и � Sαj Cθj d Cγjj + r Sγ Sαjjji � Pj = d Sγjj - r Cγ Sαjjj r Cαjj + bj 2.1 геометрическая модель Компактор рассматривается как многотелесная древовидная структура с n телами, где полубарабаны представляют собой конечные звенья. Каждое тело Bj связано со своим предшественником шарниром, который представляет собой элементарную степень свободы либо трансляционный или револьверный, шарнир может быть жестким или упругим. Тело (или звено) может быть реальным или виртуальным, виртуальные тела вводятся для описания сложных шарниров или проекционных рам. Определим систему отсчета Rj (с началом координат Oj и главными осями xj , yj , zj ), привязанную к каждому телу Bj . Ось zj определяется вдоль оси сустава j. Ось uk определяется вдоль общей нормали между zj и zk , где звено j является предшественником звена k, обозначаемого j = a(k). Ось xj определяется произвольно вдоль одной из осей uk , при = ¸ iAj iPj Cαj � � Где: • iAj матрица ориентации (3 × 3) кадра этом a(k) = j. Матрица однородного преобразования (4 × 4) Tij между двумя последовательными кадрами Ri и Rj , при i = a(j), определяется следующими шестью параметрами (Халил и Домбре, 2002) (рис. 2): • γj : угол между xi и uj вокруг оси zi , • bj : расстояние между xi и uj вдоль zi , j по отношению к кадру i, • iPj - вектор (3 × 1), определяющий начало координат кадра j относительно кадра i. • Cx = cos(x) и Sx = sin(x) Обобщенная координата сустава j обозначается qj , она равна rj , если j поступательный, и θj , если j вращательный. Она может быть записана следующим соотношением: qj = σ rjj + σj θj , где σj = 1, если сустав j поступательный, и σj = 0, если сустав j вращательный, σj = 1 - σj . Если между двумя рамками нет степеней свободы; фиксированными друг относительно друга, то возьмем σj = 2, это означает, что производная по времени qj равна нулю. В соответствии с этим формализмом геометрическое описание катка представлено на рис.3. Параметры геометрического описания приведены в таблице 1. Объяснение этого моделирования является предметом следующих параграфов. z3 , z4 , x5 , x6 z5 5 z7 , z8 x6 , x7 z6 , x3 , x4 4 z0 6 3 x0 z2 7 x2 8 x 12 1 z x11, x13 z10 , z11 , z12 , z13 , z14 x8x 9 1 z15, z17 x′ , 6 x15, x16 9 x10, x12, x14 z9 14 11 15 13 12 x20, x22, x23 16 10 z16 x1x718 17 z19, z20, z21, z22, z23 20 z18 x19, x21 22 21 19 23 Рис. 3. Древовидная структура компактора Таблица 1. Геометрические параметры каток j µj σj aj γj bj αj dj θj 1 0 1 0 0 2 0 1 1 0 3 0 1 2 0 4 0 0 3 0 5 0 0 4 0 6 0 0 5 0 7 1 0 6 0 8 0 1 7 0 9 0 1 8 0 10 0 0 9 0 11 0 0 9 0 12 1 0 10 0 13 1 0 11 0 14 1 0 10 0 15 1 0 6 0 16 0 0 15 0 17 0 1 16 0 18 0 1 17 0 19 0 0 18 0 20 0 0 18 0 21 1 0 19 0 23221 0 20 0 1 0 0 00 q23 20 0 rj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D 0 0 0 0 0 0 0 π 2 π 2 π 2 0 2 —π 2 —π π —2 0 π 2 π 2 π 2 0 0 0 2 —π π 2 — π2 π 2 π 2 π 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 π 2 π 2 0 q4 q5 q6 q7 0 π 2 q10 q11 q12 q13 q14 q15 q16 0 π 2 q19 q20 q21 q22 q1 q2 q3 0 0 0 0 q8 q9 -L 2 L 2 0 0 0 0 0 • круговая система возбудителей поворачивается вокруг своей оси (шарниры 14 и 23), • Каждый барабан (состоящий из двух полубарабанов и одного кругового возбудителя) подвешен с помощью сайлент-блоков - с четырьмя степенями свободы - к зажиму (шарниры 8,9,10,11 и 17,18,19,20), • Задний зажим сочленяется с рамой посредством револьверного шарнира (шарнир 7), • Передняя скоба сочленяется с рамой двумя револьверными шарнирами, к рулевому движению добавляется маятниковое движение, компенсирующее искривление грунта (шарниры 15 и 16). q17 q18 -L 2 L 2 0 0 2.2 исследование степеней свободы компактора В этом параграфе рисунок 3 поясняется в соответствии с основными степенями свободы компактора. Движения барабанов относительно шасси • каждый полубарабан вращается вокруг своей оси (суставы 12,13 и 21,22), Движения шасси относительно земли Движение катка относительно земли описывается тремя степенями свободы, которые называются перемещениями и тремя степенями свободы поворота (Рисунок 3): • • • • продольный перевод (сустав 1), боковой перевод (сустав 2), вертикальный перевод (шарнир 3), рысканье, вращение вокруг вертикальной оси (сустав 4), • шаг, вращение вокруг поперечной оси (сустав 5), • ролл, вращение вокруг продольной оси (сустав 6), 3. ДИНАМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ На основе геометрической модели мы можем вычислить динамическую модель. Мы описываем этот шаг, потому что мы В следующем разделе мы рассмотрим, какие изменения были внесены в метод для достижения нашей цели: измерения контактных сил ключа. Описание динамического моделирования требует представления параметров, связанных с каждым телом. В дальнейшем нам придется различать два типа формализмов: формализм Лагранжа и формализм Ньютона-Эйлера. Затем описывается динамическая модель. Эффективный расчет этой динамической модели основан на уравнениях НьютонаЭйлера. Этому посвящен последний параграф данной части. 3.1 Динамические параметры С каждым реальным телом Bj связан набор из десяти инерционных параметров, состоящий из: • масса Mj • 6 компонентов матрицы инерции Jj приведены в фрейме Rj , они обозначаются XXj XYj XZj Y Yj Y Zj ZZj • параметры первых моментов MXj MYj MZj относительно рамки Rj При наличии упругого соединения между Ri и Rj необходимо определить некоторые параметры упругости: • жесткость kj соединения • коэффициент демпфирования hj • кулоновский коэффициент fsj Вектор стандартных динамических параметров Xs состоит из предыдущих параметров всех звеньев. 3.2 Формализмы В общем случае динамическая модель выражается с помощью формализма Лагранжа и/или формализма Ньютона-Эйлера. Формализм Лагранжа выражает движение каждого тела в терминах совместных обобщенных координат q = [q1 - - - q ]nT , их первых и вторых производных, внешних ключей, действующих на систему Fe , и вектора динамических параметров XS . Он задается: f (q, q˙, q¨, Fe , XS ) = 0 (2) Формализм Эйлера выражает движение тела через его скорость вращения, ускорение вращения, ускорение перемещения и текущее положение [ω, ω˙ , V˙ , Φ]. Это можно записать в виде: f (ω, ω˙ , V˙ , Φ, Fe , XS ) = 0 (3) Где: • Γ - вектор совместных сил или крутящих моментов, • Q - это вектор обобщенных усилий, отражающий проекцию внешних ключей на оси суставов, он рассчитывается с помощью: Q = -ΣJTj(q)Fej (5) • Jj (q) - матрица Якобиана кадра Rj , • Fej - это внешний ключ (силы fej и моменты mej ), приложенный телом Bj к окружающей среде, • Γf - сила трения, • Γe - сила упругости сустава, • A(q) - матрица инерции системы, • C(q, q˙) вектор кориолисовой, центробежной и гравитационной сил. Элемент jth в Γe записывается как: • Γje = k qjj , если j - упругий шарнир, при этом qj - координата шарнира по отношению к исходному положению, а kj - жесткость шарнира j, • Γje = 0, если j не является упругим шарниром. 3.3 Динамическая модель Лагранжа Обратная динамическая модель получается с помощью следующего общего уравнения: Γ + Q = Γe + Γf + A(q)q¨ + C(q, q˙). (4) Трения моделируются вязким коэффициентом hj и кулоновский коэффициент fsj : Γf = hj q˙j + fsj sign(q˙ )j (6) j 3.4 Практический расчет динамической модели Лагранжа Модель Лагранжа рассчитывается классически с помощью уравнения Лагранжа после вычисления кинематической и потенциальной энергии всех элементов механической системы и расчета обобщенных сил по уравнению (5) или с использованием принципа виртуальной работы (Guillo et al., 1999). Более эффективно его можно рассчитать с помощью рекурсивного алгоритма, основанного на уравнении НьютонаЭйлера, выразив скорости и ускорения звеньев в терминах положений, скоростей и ускорений суставов (Khalil and Kleinfinger, 1987). Этот алгоритм состоит из двух рекурсивных вычислений. Прямой вычисляет суммарные силы и моменты на каждом теле, а обратный приводит к вычислению крутящих моментов в суставах. Прямой рекурсивный расчет сводится к следующему: для j = 1, - - - - , n мы последовательно вычисляем: jω jω j = Ajii ωi (7) =j ωi + σj q˙ ajjj (8) i = Aj i i ω˙i + σj (q¨ ajjj +j ωi × q˙ a )jjj (9) j ω˙ j j V˙ =j A ³iV˙ + ( i ω˜˙ +i ω˜ i ω˜ )i + σj (q¨ jF j ajjj + 2j ωi × q˙ ajjj P´ ) (10) = Mjj V˙j + ( j ω ˜ ˙ j +j ω˜j j ω˜ )j j MSj (11) j i i i i i j jmj = + j Mj + Σ ³j jmej s(j) As(j) ms(j) + j ´ j P˜s(j) fs(j) (16) s(j) Силы (или крутящие моменты) в шарнирах получаются при проецировании fij (или mij ) на ось шарнира zj и при учете эффектов трения и упругости следующим образом: Γjf = (σe fjjj + σ˜ m ) j j j Tj aj + (17) Γ +Γ j j С: Рис. 4. Силы и моменты, действующие на звено древовидной структуры j Mj = j Jjj ω˙ j + jωj × j Jjjωj + j MSj × j V˙j (12) Левая верхняя экспонента обозначает проектный кадр, и: • i = a(j), • ω˙j угловое ускорение тела j, • ωj угловая скорость тела j, • V˙j ускорение Oj , начало координат кадра j, • Fj суммарные силы, действующие на тело j • Mj суммарные моменты, действующие на тело j относительно Oj , • jAi матрица ориентации (3 × 3) кадра. Ri в Rj , • aj - единичный вектор вдоль zj , поэтому ajj = [ 0 0 1 ]T , • Mj - масса тела j, • Jj - матрица инерции тела j, заданная в кадре Rj , • MSj вектор первых моментов инерции Bj вокруг Oj S˜ • - кососимметричная матрица, определяемая из компонентов (3 × 1) � � вектора S с помощью: 0 -sz sy ˜ � Обратные рекурсивные уравнения, для j = n, - - - - , 1 вычисляют силы fjj и моменты jmj , действующие на тело Bj со стороны предшествующего ему тела Bi (рис. 4), это Σ дает: j Fj + jfej + jfs(j) Следует отметить, что этот алгоритм может быть запрограммирован как численно, так и символически. Чтобы оптимизировать количество операций, мы используем для его реализации специализированные символьные методы (Khalil and Kleinfinger, 1987). Можно доказать, что динамическая модель линейна по отношению к вектору стандартных динамических параметров XS , таким образом, уравнение (4) можно переписать как: (18) Где матрица DS является функцией от (q, q˙, q¨). В начале расчета0 ω0 = 0,0 ω˙0 = 0, а поступательное ускорение рамки 0 будет равно силе тяжести g с противоположным знаком, чтобы учесть влияние сил гравитации, таким образом, 0V˙0 = -g. = Для начала этого обратного расчета необходимо положить f ,jjjj mравными нулю для оконечных звеньев. Отметим, что контактные силы между барабаном и землей будут учитываться через fej и mej оконечных звеньев (полубарабанов). Проекция этих сил на оси шарниров будет получена систематически, без применения уравнения (5), как это было бы в случае использования уравнения Лагранжа. L = Γ + Q = D XSS S = � sz 0 -sx (13) -sy s 0x jfj • s(j) обозначает тело, антецедентом которого является тело Bj , • fej внешняя сила, приложенная телом Bj к окружающей среде, • mej внешние моменты, приложенные к телу Bj на окружающую среду, • fj силы, приложенные телом Bj к телу Bi , при a(j) = i, • mj крутящие моменты, приложенные телом Bj к телу Bi . (14) s(j) if j = A fijjj (15) 4. ПРИМЕНЕНИЕ К КОМПАКТОРУ В данном примере рассматривается движение переднего барабана компактора. Рассматривается двухмерное движение катка. Это предположение является реалистичным с учетом эксплуатации катков на строительных площадках. Наша задача - узнать контактные усилия, возникающие между барабанами и грунтом. Решением является расчет этих усилий с помощью динамической модели катка. Согласно уравнению (18), если: • XS идентифицирован, 5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ • DS вычисляется из (q, q˙, q¨), которые должны быть измерены или оценены, • Γ измеряется. Тогда мы можем вычислить Q проекцию тактильных сил на ось сустава. Мы покажем, что для расчета контактных сил гаечных ключей не обязательно знать полную модель. Для этого мы изучим уравнения динамической модели, использующей блок барабанного зажима. Выражение моделей будет упрощено за счет объединения измерений переменных Эйлера и переменных Лагранжа. Для вычисления уравнений динамической модели используются уравнения НьютонаЭйлера (17) между телами 17-23. Рекуррент инициализируется переменными Эйлера тела 16: ω16 , ω˙16 , V˙16. Таким образом, можно вычислить крутящие моменты в шарнирах Γ17 - Γ23 , анализ этих уравнений показывает, что выражений Γ17 , Γ18 , Γ21 и Γ22 (уравнения 19 - 22) достаточно для вычисления контактных сил между передним барабаном и землей. В данной статье описывается динамическое моделирование вибрационного катка в рамках формализма шарнирно-сочлененной механической системы. Это моделирование адаптировано к измерению контактных сил гаечных ключей. Для достижения этой цели, • модель ограничена блоком зажимбарабан, • Переменные Лагранжа, необходимые для расчета модели, заменяются переменными Эйлера, которые легче измерить. Благодаря этому моделированию мы можем рассчитать крутящий момент контактного силового ключа в 2D при условии идентификации параметров модели. Этот этап идентификации был выполнен с помощью специальных экспериментов. Благодаря этому моделированию мы смогли измерить на дорожно-строительной площадке крутящий момент контактных усилий. БЛАГОДАРНОСТИ Принимая во внимание инструментарий, Авторы выражают благодарность Мишелю Фрубыло легче измерить переменные Эйлера Ментену из Центра экспериментов Routi`ere (Руан, опор двигателя (корпуса 19 и 20), чем Франция), Арио Кордестани и Лорану Роше из переменные Эйлера барабанного зажима компании Caterpillar за плодотворные (корпус 16). Для того чтобы заменить обсуждения моделирования компакторов. входящие в уравнения члены на Измеренные данные, переменные ω16 , ω˙16 , V˙16 являются выраженные относительно ω19 , ω˙19 , ω20 , ω˙20 , ССЫЛКИ V˙20. Γ17 = ¡ ¢ ¡V˙ x cos(q20) - V˙ y sin(q20) 20 20 Делклос, А., П-О. Ванданжон, Ф. Пейре и MR19 + h17q˙17 + k17q17 (ω z + q˙23)2 cos(q20 + q23) + (ω˙ z + q¨23) sin(q20 + q23) MX23 - 20 20 z + )2 sin(q20 + q23) 20 q˙23 + ¡ - z (ω˙ 20 + q¨23) ¢ cos(q20 + q23) MY23 (ω + FX21 + FX22 (19) Γ18 = ¡ ¢ ¡V˙ x sin(q20) + V˙ y cos(q20) 20 20 MR19 + h18q˙18 + k18q18 (ω - ¡ z 2 20+ q˙23) sin(q20 + q23) ¢ - (ω˙ z20 + q¨23) cos(q20 + q23) MX23 ¢ z - (ω 20 + q˙23)2 cos(q20 + q23) + (ω˙ z 20 + q¨23) sin(q20 + q23) MY23 + FY21 + FY22 (20) z Γ21 = (ω˙ 19 + q¨21 )ZZ21 + h21 q˙21 + fs21 sign(q˙21 ) + CZ21 (21) Γ22 = (ω˙ z20 с: + q¨22 )ZZ22 + h22 q˙22 + fs22 sign(q˙22 ) + CZ22 (22) MR19 = M19 + M20 + M21 + M22 + M23 (23) Механическая конструкция компактора не M. Gautier (2001). Оценка степени уплотнения асфальта с помощью проприоцептивных ощущений датчик и динамическая модель. In: Proceedings of Международный симпозиум по автоматизации в дорожном строительстве. Краков, Польша. Гийо, Э., М. Готье и Ф. Бойер (1999). Dyдинамическое моделирование и симуляция ком- пактора. In: Труды 14-го Всемирного конгресса IFAC. Пекин, Китай. стр. 281286. Халил, В. и Э. Домбре (2002). Моделирование, идентификация и управление роботами. Herm`es Penтон. Лондон - Великобритания. Халил, У и Ж.-Ф. Кляйнфингер (1987). Минимальный операции и минимальные параметры динамической модели роботов с древовидной структурой. IEEE Journal of Robotics and Automation pp. 517- 526. позволяет дифференцировать вклад от контактных сил между каждым полубарабаном. Поэтому вычисляются суммы результирующих сил (FX21 + FX22 и FY21 + FY22 ) (уравнения 19 и 20). Учитывая уравнения (21) и (22) можно вычислить пары CZ21 и CZ22 . Лемер, К-Э., П-О. Ванданжон и М. Гау- тиер (2003). Динамическая идентификация компактора с помощью обработки данных сплайнами. In: Pro- ceedings of System Identification. Роттердам, Нидерланды.
