БЕСКОНЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ ПОНЯТИЕ БЕЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ «Число же - множество, составленное из единиц.» – Евклид в своей книге «Начал» 2 ВИДЫ БЕСКОНЕЧНОСТЕЙ Потенциальная – процесс, актуальная – целостный, «завершенный» ряд. 3 ПЕРВЫЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА Галилей указывал, что если в математике принять бесконечные актуальные (завершённые) множества, то парадоксальным образом, чётных чисел должно быть столько же, сколько чётных и нечётных вместе взятых. 4 ГЕОРГ КАНТОР Георг Кантор – немецкий математик, который создал теорию множеств и ввел понятие трансфинитных чисел, бесконечно больших, но отличающихся друг от друга. Также он дал определение порядковым и кардинальным числам и создал их арифметику. 5 ИССЛЕДОВАНИЯ В начале серии из 10 работ с 1869 по 1873 г. Георг Кантор рассмотрел теорию чисел. По предложению Генриха Эдуарда Гейне, коллеги Кантора в Галле, который признавал его математическое дарование, он обратился к теории тригонометрических рядов, в которых расширил понятие действительных чисел. 6 МНОЖЕСТВА «Множество называется бесконечным, если оно равномощно с одним из своих подмножеств. Конечным же называется множество, не эквивалентное ни одному из своих подмножеств.» 7 8 ОРИГИНАЛЬНЫЙ СПОСОБ ОБЪЕДИНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МНОЖЕСТВА ВСЕХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ПАРЫ С ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ При данной плотности рациональных чисел на прямой и относительной «разреженности» целых чисел, может показаться крайне противоречащим интуиции то, что эти два множества оказываются количественно эквивалентными. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, ЧТО ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ПРЯМОЙ И ТОЧКАМИ ПЛОСКОСТИ ВОЗМОЖНО. 9 До Кантора считалось, что прямая содержит меньше точек, чем плоскость. Однако в 1886 г. он доказал, что в единичном квадрате не больше точек, чем в единичном отрезке. Таким образом, мощность двумерного континуума оказалась равной мощности континуума одного измерения. ТРАНСФИНИТНЫЕ ЧИСЛА 10 Под наименьшим трансфинитным кардинальным числом он подразумевал мощность любого множества, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Кантор назвал его алеф-нулем. Большие трансфинитные множества обозначаются алефодин, алеф-два и т. д. Далее он развил арифметику трансфинитных чисел, которая была аналогична конечной арифметике. СПАСИБО ХО-31б Зенина Лена
