Лекция 7. числа. Парадокс Галилея и трансфинитные числа. Конечные, счетно-бесконечные и

Лекция 7.
Сведение числовых систем к натуральным числам. Равномощные множества и кардинальные
числа. Парадокс Галилея и трансфинитные числа. Конечные, счетно-бесконечные и
несчетные множества чисел
Сведение числовых систем к натуральным числам.
Рассмотрим некоторые примеры:
1. Целые Числа.
Целое число можно определить как упорядоченную пару натуральных чисел (m,n),
понимая, что целое число равно m-n. При этом нельзя писать целое число таком образом.
Некоторые правила работы с целыми числами и операции над ними:
 (m,n) = (p,q)  m+q = n+p;
 (m,n)*(p,q) = (mp+nq, mq+np)
для запоминания на черновике (!) можно записать, что
(m-n)*(p-q) = mp-mq-np+nq =mp+nq-(mq+np);
 (m,n)<(p,q) <=> (m+q)< (n+p);
 (m,n) + (p,q) = (m+p,n+q);
 (m,0) = m
 (0,0) = 0 (нейтральный элемент сложения);
 (1,0) = 1 (нейтральный элемент умножения).
2. Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде отношения двух целых
чисел: p/q, где q не равно 0.
Правила работы и некоторые операции:
 (p,q) = (s,w)  (p,w) = (q,s);
 (p,q) + (s,w) = (pw + sq, qw)
для запоминания можно написать (опять же на черновике), что
p/q +s/w = (pw+qs)/qw;
 (p,q)*(s,w) = (ps,qw);
 (p,q)-1 = (q,p)
3. Дейстительные числа – числа, которые являются суммой сходящихся рядов.
Например, двоичное число вида 0,010101… является суммой ряда
(1/2)2 + (1/2)4 + (1/2)6 + …
q = (1/4) lim ((1/4)* (1-(1/4)n)/(1-1/4)) 1/3 при n 
В разных системах исчисления действительные числа можно представить в виде: b0+b1/r
+b2/r2 +…+bn/rn (это общий вид сходящегося ряда, где r – база системы исчисления).
Канторово сведение натурального числа к множеству.
Множество – это объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей
интуицией или нашей мыслью;
1. Множество М1 называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда
любой элемент множества М1 принадлежит множеству М;
2. Мощность или кардинальное число множества – это то общее, что объединяет его со
всеми равномощными ему множествами;
3. Мощность пустого множества равно 0: |0|=0;
4. Мощность множества из одного элемента равна 1: |{a}|=1;
5. Единичное множество – множество, все элементы которого тождественны: |A|=|B|, если
A~B;
6. |A|<|B|,  C: (A~C)&(C B).
А - подмножество В.
Например:
Пусть А = {а,b}; В = {m,n}; |A| = 2; |B| = 2;
А*В = {(a,m),(a,n),(b,m),(b,n)}; |A*B|= 4;
Операции над множествами:
 |A|+|B|=|A+B|, если A B=0;
 |A|*|B|=|A*B|;
 |A| |B| =|AB|.
Парадокс Галилея и трансфинитные числа.
Бесконечное подмножество бесконечного множества равномощно самому множеству.
Доказательство:
: Рассмотрим множество квадратов натуральных чисел
1, 4, 9, 16, 25, 36,… Общее число членов – N1 N. Пронумеруем это множество натуральным
рядом:
1






Можно построить взаимооднозначное соответствие, доказав таким образом, что |N1|=|N|. 
Конечные, счетно-бесконечные и несчетные множества чисел
Множества:
1. счетные:
 конечные - множества, содержащие конечное число элементов (не равномощны
никакому своему подмножеству; их мощность – это конечное или натуральное
число);
 счетно-бесконечные (множества, равномощные множеству натуральных чисел, т.е.
множество счетно-бесконечное, если его элементы можно пронумеровать
натуральными числами без пропусков и повторений);
2. несчетные (их мощность: 2 , 22 ,…).
Алеф-нуль (–первое трансфинитное число – равно мощности множества всех
натуральных чисел; Трансфинитные числа (finis – “конец”, лат.) - мощность бесконечного
множества. Трансфинитные числа обозначают буквами еврейского алфавита
Свойства трансфинитных чисел:
1. 
2. 
Кантор создал шкалу трансфинитных чисел:
^ , 2^ 2^ , …
Первые три числа (элементарные бесконечности) единственные трансфинитные числа,
остальные придумывают в различных теориях. Кантор представил континуум гипотезу о
том, что числа этой шкалы единственные трансфинитные числа, но он не смог ни доказать,
ни опровергнуть эту теорию.