Понятие отношения. Виды и свойства отношений
Отношения — важнейшая часть структуры. Отношения создают и структуру, и ее
элементы. Только тогда, когда на множестве исходных единиц задается по крайней мере
одно упорядочивающее их отношение, рождается структура вместе со своими
элементами.
Отношения разделяют и одновременно связывают элементы в определенную сеть
функционально зависимых компонентов. Отношения определяют системные функции
структуры. Не потому кто-то называется королем, что является им таковым по своей
биологической природе, а потому, что в определенной социальной структуре, называемой
государством, граждане признают его своим королем. Стоит им отказать ему в своем
доверии, и он перестанет быть королем, а они его подданными.
Отношения не только упорядочивают элементы, но также в определенных случаях
выражают модальность (знак) отношений — их позитивное, негативное или нейтральное
значение. Если структура содержит хотя бы одно модализованное отношение, ее принято
называть означенной. В противном случае она называется неозначенной
Разделение всех граждан некоторого государства на короля и подданных — пример
неозначенной структуры. Придание этому разделению позитивного или негативного
значения — король заботится (не заботится) или безразличен к своим подданным;
подданные любят (не любят) своего короля или равнодушны к нему, — пример
означенной структуры.
Задать отношение на множестве элементов означает упорядочить их по
направлению, модальности (знаку), или направлению и модальности одновременно.
Минимальное отношение — бинарное (двухместное). С отношениями этого вида
нам придется иметь дело в дальнейшем. Особое значение бинарных отношений состоит в
том, что в их терминах можно определить все остальные отношения, а также важнейшие
свойства отношений.
Пусть буквы R, S,... обозначают произвольные бинарные отношения. По
определению, каждое отношение упорядочивает определенным образом элементы
структуры и тем самым устанавливает между ними некоторый порядок.
Существует несколько способов задания бинарного отношения. Основной —
теоретико-множественный. Его главная идея состоит в том, что всякое бинарное
отношение можно представить в виде подмножества квадрата базисного (исходного)
множества элементов.
Рассмотрим в качестве базисного множества четырехэлементное множество целых
чисел М = {1, 2, 3, 4}. Квадрат этого множества М1 — тоже множество и равно
множеству всех возможных пар (двоек), образованных из чисел М
1
2
3
4
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
4
(А 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4,4)
По определению, задать произвольное отношение порядка R на множестве
Мозначает оставить в матрице, образованной квадратом множества М, только те пары
чисел, которые удовлетворяют условию порядка R.
1
Допустим, на числах множества М = {1, 2, 3, 4} определено отношение R = «быть
равным». Следующие пары чисел из М~ удовлетворяют этому отношению:
1
1
2
3
4
(1,1)
2
(2,2)
3
(3,3)
4
(4,4)
= R = «быть равным»
Любое отношение R имеет логическое дополнение до квадрата своего множества
элементов, обозначаемого как R.
Логическим дополнением произвольного отношения /?, определенного на
множестве М=_{1, 2, 3, 4}, до множества всех пар элементов М2 называется
отношение R, ни одна пара элементов которого не принадлежит R.
Логическим дополнением отношения «быть равным», определенного на множестве
= {1, 2, 3, 4}, до множества всех пар М2 выступает отношение R = «быть неравным». Его
матрица выглядит так:
1
1
2
3
4
(1,2)
(1, 3)
(1,4)
(2,3)
(2, 4)
2
(2,1)
3
(3,1)
(3,2)
4
(4,1)
(4,2)
(3,4)
(4,3)
-R
= «быть неравным»
Сумма любого отношения со своим логическим дополнением всегда равна квадрату
базисного множества. В этом легко убедиться, если наложить друг на друга матрицы
взаимно дополняющих отношений: они должны в сумме составить квадрат базисного
множества элементов.
Допустим, на числах множества М = {1, 2, 3, 4} нужно определить отношение R =
«больше, чем». Следующие пары чисел из М~ удовлетворяют этому отношению:
1
2
3
4
1
2
(2,1)
3
(3,1)
(3,2)
4
(4,1)
±к2Д
(4,3)
2
= R = «больше, чем»
Логическим дополнением отношения «больше, чем», определенного на множестве =
{1, 2, 3, 4}, до множества всех пар М~, выступает отношение R = «не больше, чем». Его
матрица выглядит так:
1
1
2
3
4
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(2,2)
(2, 3)
(2,4)
(3,3)
(3,4)
2
3
4
(4,4)
= R = «не больше, чем»
Допустим, на числах множества М = {1, 2, 3, 4} необходимо определить отношение
R = «меньше, чем». Следующие пары чисел из М~ удовлетворяют этому отношению:
1
1
2
3
4
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(2,3)
(2, 4)
2
3
(3,4)
4
= R = «меньше, чем»
Логическим дополнением отношения «меньше, чем», определенного на множестве =
{1, 2, 3, 4}, до множества вех пар М~ выступает отношение R = «не меньше, чем». Его
матрица выглядит так:
1
2
3
1
(1,1)
2
(2,Д1
(2,2)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
4
(4,4)
= «не меньше, чем»
Кроме логического дополнения всякое отношение имеет ему обратное. При этом
обратное отношение может совпадать с исходным, называемым прямым отношением, а
может и не совпадать.
Отношение R'1 называется обратным исходному отношению /?, если R 1
представляет результат перестановки местами субъектов R, не изменяющий смысла
отношения R.
3
Отношение «быть равным» на множестве чисел обратно самому себе, потому что
перестановка местами равных чисел не меняет смысла этого отношения.
Отношение «больше, чем» обратно отношению «меньше чем». Если верно 3 > 2, то
также верно 2 < 3.
Отношение «не больше, чем» обратно отношению «больше или равно». Если
истинно 2 >3, значит, истинно и 3 > 2.
Отношение «не меньше, чем» обратно отношению «меньше или равно». Если имеет
место 3 < 2, тогда имеет место и 2 < 3.
Главная особенность асимметричных обратных отношений заключается в том, что
их объединение в одной системе соответствует первому виду нелогического
противоречия и тем самым конфликта (см. гл. 3, часть I). Например, нелогически
противоречиво отношение «учить», потому что объединяет в одной системе два
асимметричных отношения «быть учителем» и «быть учеником».
Бинарные отношения могут одновременно обладать разными логическими
свойствами, среди которых важнейшими являются рефлексивность, симметричность и
транзитивность.
Отношение R рефлексивно, если все элементы базисного множества а, Ь, с, ...
находятся в данном отношении к самим себе: R(a, a), R(b, b), _
Рефлексивно отношение «быть равным». Из матрицы этого отношения следует, что
каждое число из множества Л/= {1, 2, 3, 4} равно самому себе: 1 = 1,2 = 2,... О наличии
свойства рефлексивности свидетельствует непустая левая диагональ матрицы,
называемая также главной. Отношения «не больше, чем» и «не меньше, чем» также
рефлексивны, потому что главные диагонали их матриц не пусты.
Отношение R симметрично, если оно эквивалентно своему обратному
отношению R'x.
Отношение равенства тривиально симметрично. Истинность равенства 1 = 1 не
нарушается при любой перестановке местами числа 1, Отношение «быть неравным»
также симметрично. Это следует из анализа матрицы данного отношения. Если верно, что
1 # 2, то верно и 2 Ф 1.
Особенностью симметричных отношений является равенство пар элементов,
расположенных ниже и выше главной диагонали матрицы квадрата базисного множества
(ср. матрицы отношений «быть равным» и «быть неравным»).
В социальном моделировании большую роль играют асимметричные отношения. С
их помощью моделируются процессы, развивающиеся в каком-либо одном направлении.
Отношение R асимметрично, если оно не эквивалентно своему обратному
отношению R1.
Асимметричные отношения символизируют одностороннюю упорядоченность.
Асимметричность — необходимый и достаточный признак отсутствия симметрии
отношений. Отношения «больше, чем», «меньше, чем»— примеры асимметричных
отношений. Если 2 > 1, то 1 > 2.
Отношение R транзитивно, если для любых трех элементов а, b и с,
принадлежащих базисному множеству, из R(a, b) и R(b, с) следует R(a, с)..
Транзитивны отношения «быть равным», «больше, чем», «меньше, чем», «не
больше, чем» и «не меньше, чем». Если истинно а = b, b = с, то истинно а = с. Если
справедливо, что 3 > 2 и 2 > 1, то справедливо и 3 > 1. Если имеет место 1 < 2 и 2 < 3,
тогда имеет место и 1 < 3. Если верно 2 < 3 и 3 < 4, то верно и 2 < 4. Если истинно 3 < 2 и
2 < 1, то истинно и 3 < 1.
4
