50

50. Методика изучения показательной функции.
Показательная функция служит математической формой выражения обширная класса
процессов, происходящих в реальной действительности и имеющих общее название
процессов естественного роста или убывания величин, например: численности населения,
скорости распада радиоактивных веществ, изменения атмосферного давления с высотой
над уровнем моря, падения температуры охлаждаемых тел, скорости размножения
бактерий, скорости движения тела в сопротивляющейся среде и т.д.
Изучение показательной функции в школе начинается с того, что рассматриваются
процессы из жизни, приводящие к понятию показательной функции. Рассмотрим
некоторые из них:
1. Рост числа бактерий в идеальных условиях происходит по такой зависимости:
𝑁 = 5𝑡 , где 𝑡 – время размножения, 𝑁 – число колоний бактерий
2. радиоактивный распад веществ : если при радиоактивном распаде количество
вещества за сутки уменьшается в двое, то тогда мо истечению x суток масса будет
1
М = М0 (2)𝑥 .
3. Рост древесины происходит по закону
k t
A- изменение количества древесины во времени;A  A0a
A0- начальное количество древесины;
t-время, к, а- некоторые постоянные.
4. Давление воздуха убывает с высотой по закону:
P  P0  a  k h
P- давление на высоте h,
P0 - давление на уровне моря,
а- некоторая постоянная.
После рассмотрения примеров мы должны выйти на определение показательной функции.
Задаем вопрос учащимся: «Что общего определяет эти процессы?» Таким образом,
выходим на определение.
Определение: Функция вида 𝑦 = 𝑎 𝑥 при a>0, a≠1 называется показательной функцией.
Следующим этапом в схеме изучения любой функции является исследование ее свойств.
1
Изучение свойств будет проходить на фокус - примерах: 𝑦 = 2𝑥 и 𝑦 = (2)𝑥 .
Сначала будем рассматривать функции 𝑦 = 2𝑥
План исследования функции.
1.
2.
3.
4.
5.
Область определения функции;
Нули функции;
Четность (нечетность);
Промежутки возрастания и убывания функции;
Построение графика.
Часть свойств изучается аналитически, часть считывается с графика, принимая без
доказательств.
1.
Область определения функции (аналитически)
Неизвестная величина, или аргумент стоит в показателе степени, следовательно, при
любом значении х мы можем всегда найти у, следовательно, D(у)= множество R чисел.
2.
Нули функции (аналитически)
если x=0, то у=1; случая, когда у=0 быть не может, так как не существует такого значения
х, чтобы при возведении в степень было равным 0. Переведем полученный результат на
графический язык: график функции у = 2х пересекает ось ординат в точке (0;1), но не
пересекает ось абсцисс. Делаем вывод о том, что график функции располагается выше оси
ОХ и эта ось является горизонтальной асимптотой.
3.
Четность (аналитически)
Проверяем, выполняются ли условия четности и нечетности для функции у = 2х .
1
F(-x)=y(-x)=(2)−𝑥 = 2𝑥 , то есть данная функция ни четная ни нечетная.
1
Проиллюстрируем это свойство на примере : x=-1 и x=1, соответственно у=2 и у = 2.
Делаем вывод о том, что график функции не симметричен относительно оси ОУ.
4.
Построение графика функции (по точкам).
Строить график будем по выбранным значения х будем находить значения у.
В качестве х возьмем точки: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Построим в системе координат точечный график, опираясь на выше исследованные
свойства.
Необходимо доступно объяснить, что построенные точки мы имеем право соединить
плавной линией. Это устанавливается при помощи приближенного вычисления.
Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе 2х вычислить можно. А
если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить 2√3 ?
Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.
Известно, что √3 = 1,7320508... Рассмотрим последовательность
рациональных чисел — десятичных приближений числа √3 по ненедостатку:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;...
Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание
подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются
цифрой 0. Тогда получим возрастающую последовательность:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Соответственно возрастает и последовательность
21 , 21,7 , 21,78 , 21,782 , 21,782 , 21,78205 , 21,7820508 , …
Все члены этой последовательности — положительные числа, меньшие, чем 22 , т.е. эта
последовательность — ограниченная. А по теореме Вейерштрасса, если
последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, нам известно,
что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный
предел договорились считать значением числового выражения 2√3 . И неважно, что найти
даже приближенное значение числового выражения 2√3 очень трудно; важно, что это —
конкретное число.
Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ 2√3 . Аналогично
4
можно определить, что такое 3− √7 , 2,5𝜋 и т.д.
Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными
показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Но самое
главное, что теперь мы можем говорить о функции
у=ах , определенной на множестве всех действительных чисел.
Вернемся к функции у = 2х , теперь мы уверенно можем соединить построенные точки
плавной линией.
5.
Осталось исследовать еще одно свойство, возрастания и убывания функции. Это
свойство считаем с графика и докажем его аналитически:
Функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. большему значению аргумента из ее
области определения соответствует большее значение функции, или если 𝑥2 > 𝑥1
2 𝑥2 и 2 𝑥1
Рассмотрим разность двух выражений:
2𝑥2 − 2𝑥1 = 2𝑥1 (2𝑥2 −𝑥1 − 1) > 0, 2𝑥1 > 0,
𝑥2 − 𝑥1 > 0, 2𝑥2 −𝑥1 > 1, следовательно разность в скобках больше 1.
Функция у =2х возрастает на промежутке (−∞; +∞), так как на всем промежутке
большему значению аргумента соответствует большее значение функции (значения
функции растут при движении слева на право).
Данный результат можно записать так: 𝑥2 > 𝑥1 , то 𝑎2𝑥 > 𝑎1𝑥
Путем вычислений значений функции у =2х , докажем, что она возрастает
неограниченно.
232 < 264 < 277 < ⋯
На графике увидим, что равным значениям аргумента соответствуют неравные
приращения функции
∆𝑥1 = ∆𝑥2 = ∆𝑥3 = ⋯ ∆𝑥𝑛
∆у1 < ∆у2 < ∆у3 … < ∆у𝑛
∆𝑥1 ≠ ∆𝑦1,…
Итак, запишем все основные свойства показательной функции у = 𝟐х :
1.
2.
3.
4.
5.
Д(у)=R; Е(у)=(0;+∞)
Нули функции: х=0,у=1;
Функция является ни четной ни нечетной;
Возрастающая на всей области определения;
Если x<0, у <1,
х>0, y>1.
х
1
Аналогичная работа строится для исследования функции у =  
2 ,
𝟏𝒙
Итак, запишем все основные свойства показательной функции у = 𝟐 :
1.
2.
3.
4.
5.
Д(у)=R; Е(у)=(0;+∞);
Нули функции: х=0,у=1;
Функция является ни четной ни нечетной;
Убывающая на всей области определения;
Если x<0, у >1,
х>0, y<1.
После полученных исследований замечаем, что все свойства одинаковы, кроме
возрастания и промежутков знакопостоянства. Это основной вывод, который должны
усвоить дети.
Дальше обобщаем полученные выводы:
 Если основание 𝟎 < 𝑎 < 0, то показательная функция 𝒚 = 𝒂𝒙 монотонно
убывает на всей области определения;
 Если 𝒂 > 0, то показательная функция 𝒚 = 𝒂𝒙 монотонно возрастает на всей
области определения.
Дальнейшее изучение показательных функций сводится к решению показательных
уравнений и неравенств.
Простейшие показательные уравнения и неравенства
Мы рассмотрели степенные уравнения – уравнения, у которых неизвестная стояла в
основании степени. Теперь рассмотрим уравнения, в которых неизвестная стоит в
показателе степени – показательные уравнения. Идея их решения очень похожа на ту, что
мы использовали при решении степенных уравнений. Нужно свести уравнение к виду:
Т. е. так, чтобы слева и справа были степени с одинаковым основанием.
Из того, что
следует, что
. Это следует из монотонности графика
показательной функции: каждому значению функции соответствует ровно одно значение
аргумента (см. рис. 3). Если значения функций равны, то равны и их аргументы.
Рис. 3. Графики функций
при
и
Задание 4. Решить уравнение:
Решение.
Слева – основание , сделаем справа такое же:
Тогда:
Из этого следует, что:
Получили линейное уравнение:
Ответ:
.
Идея решения показательных неравенств очень похожа. Нужно привести неравенство к
виду
; между частями может быть любой другой знак, все выводы будут
аналогичными. Затем возможны два варианта.
Первый вариант – основание
. Тогда соответствующая показательная функция будет
возрастающей (см. рис. 4). Значит, большему значению функции соответствует больший
аргумент. И из
будет следовать, что
. Знак неравенства не поменялся.
Рис. 4. График функции
при
Второй вариант – основание
. Тогда соответствующая функция будет убывающей
(см. рис. 5). Большему значению функции соответствует меньший аргумент. Значит,
из
следует, что
Рис. 5. График функции
. Знак неравенства изменился на противоположный.
при
В обоих случая получаем неравенство, обычно линейное или квадратное, которое решаем
стандартными методами.
Задание 6. Решить неравенство:
Решение.
Приводим левую и правую часть к одинаковым основаниям. Слева – основание . Справа
из
можно сделать степень с любым основанием:
. Нужно
– делаем :
Получаем:
Основания одинаковы и больше . Значит, для показателей степени знак неравенства не
поменяется:
Решая неравенство, получаем:
Ответ:
.
Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с
изучения свойств степеней и логарифмов.
Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем.
Таким образом для любого основания степени
(где
,
) можно построить
функцию:
,
, область определения которой – множество действительных чисел.
Необходимо ввести определение степени с иррациональным показателем. Используемое
свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное
приближение иррационального числа α: r1< α< r2. Исходя из графического изображения
зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое
значение y, которое будет наибольшим среди всех ar1 и наименьшим среди всех ar2 ,
которое можно считать значением aα.
Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой
y=ax ( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные
свойства: D(ax)=R; E(ax)=RТ; ax возрастает при a>1 и ax убывает при 0<a<1; напоминаются
основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение
и расширение знаний учащихся о свойствах степени.
Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию
логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax=b в том
случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в
случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a
и обозначают logab, т.е. alogab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся
знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами
применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
При любом (а ) и любых положительных x и y, выполнены равенства:
1. loga1=0
2. logaa=1
3. logaxy= logax+ logay
4. logax/y= logax- logay
5. logaxp= plogax
Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию,
заданную формулой
называют логарифмической функцией с основанием .
Основные свойства выводится из свойств показательной функции:
1.
2.
,
,
3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или
убывает (при 0<a<1).
Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть
что:
функция
и
. Допустим противное, т.е. что
, надо доказать,
. Т.к. показательная
при a>1 возрастает, то из неравенства следует:
что противоречит выбору
,
. Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.
Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и
отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных
свойств строится график этой функции.
Дифференцирование показательной функции с основанием а
Дано:
Доказать: При любом допустимом основании а
Доказательство:
Вспомним основное логарифмическое тождество
.
Обратим внимание, что основание и у показательной, и у логарифмической функций здесь
С помощью предыдущего соотношения дифференцируем, находим производную сложной
функции:
Что и требовалось доказать.
Прокомментируем формулу
Чтобы найти производную показательной функции, надо саму показательную функцию
умножить на натуральный логарифм ее основания.
Итак, мы умеем находить производную показательной функции с любым допустимым
основанием
.
Интегрирование показательной функции
Далее нам следует научиться интегрировать показательную функцию.
Рассмотрим формулу
произвольная постоянная.
Почему? По определению.
Производная правой части должна быть равна
. Проверяем:
.
То есть формула 1. справедлива.
Теперь вместо
под интегралом
, при любом допустимом основании
Проверим эту формулу. То есть возьмем производную правой части и докажем, что она
равна функции под интегралом.
Что и требовалось доказать.
Итак, мы умеем дифференцировать показательную функцию. Значит, мы умеем решать
стандартные задачи на первообразную этой функции. Вот одна из стандартных задач: