Министерство здравоохранения московской области Государственное бюджетное образование московской области МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ №1 Наро-Фоминский филиал Специальность 34.02.01 «Сестринское дело» Учебная дисциплина: «Информационные технологии в профессиональной деятельности» Практическая работа №5 Тема: «Арифметические и логические основы ЭВМ.» Выполнил студент: Гр. №21 мсо Пг. №2: Косицкая П. А. Проверил преподаватель: Володин В. М Москва 2022 г. Оглавление Введение......................................................................................................... 3 1. Арифметические основы компьютера ............................................... 4 1.1. Система счисления ............................................................................ 6 1.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую ................. 7 1.3. Двоичная арифметика ..................................................................... 11 2. Логические основы компьютера....................................................... 15 Заключение .................................................................................................. 19 Список литературы ..................................................................................... 20 2 Введение Любой компьютер может быть представлен как арифметическая машина, реализующая алгоритмы путём выполнения арифметических действий. Процессор выполняет арифметические и логические операции над двоичными кодами. Поэтому для получения представления об устройстве компьютера, необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Изучение систем счисления, арифметических и логических операций очень важно для понимания того, как происходит обработка данных в вычислительных машинах. 3 1. Арифметические основы компьютера Двоичная система счисления получила широкое распространение с появлением ЭВМ. Любое число в этой системе представляется сочетанием нулей и единиц. Это позволяет достаточно просто организовать хранение и переработку информации, представленной в двоичном виде. Другим важным достоинством двоичной системы счисления является простота вычислений. Выполнение арифметических действий над числами в двоичной системе счисления производится по тем же правилам, что и в десятичной. При этом пользуются соответствующими таблицами. Рассмотрим только две арифметические операции: сложение и умножение, так как вычитание и деление по существу сводятся к сложению. Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами можно свести в таблицу: В устройствах, реализующих операцию арифметического сложения двоичных чисел, операнды представляют числами определённой разрядности (одинаковой для обоих операндов). При этом неиспользуемые разряды заполняются нулями. Это касается как целой, так и дробной частей числа. 4 В реальных ЭВМ чаще всего используются 16-, 32- и 64-разрядные числа. Однако для учебных целей при рассмотрении методов выполнения арифметических операций не будем обращать внимание на разрядность операндов (т. е. будем использовать разрядность, отличающуюся от разрядности реальных ЭВМ). В двоичной системе счисления арифметическое сложение происходит по правилу сложения по модулю два с учётом переноса единицы в старший разряд. Пример 13. Выполнить операцию арифметического сложения двоичных чисел 110111,012 и 10011,12. Решение: В качестве проверки воспользуемся десятичными числами, соответствующими исходным двоичным. При сложении дробей перенос осуществляется из дробной части числа в целую. Умножение двоичных чисел производится путём образования частичных произведений и последующего их суммирования. Каждое частичное произведение равно 0, если в соответствующем разряде множителя стоит 0, или равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов влево, если в разряде множителя стоит 1. Пример 14. Перемножить двоичные числа 111,12 и 1012. Решение: Как и в предыдущем случае, в качестве проверки используем десятичные числа, соответствующие исходным двоичным. В рассмотренном примере второй разряд множителя равен 0, поэтому второе частичное произведение также равно 0. 5 1.1. Система счисления Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления. В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел. Пример 1. У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа — это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М. Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления: 1) унарная система; 2) непозиционные системы; 3) позиционные системы. Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок. 6 Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа. Пример 2. В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом: Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит. 1.2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода. 1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики: При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки: 7 Пример: Число перевести в десятичную систему счисления. 2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики: При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмёрки: Пример: Число перевести в десятичную систему счисления. 3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики: При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16: 8 Пример: Число перевести в десятичную систему счисления. 4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число перевести в двоичную систему счисления. 5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число перевести в восьмеричную систему счисления. 9 6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке. Пример: Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления. 7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3). Пример: Число перевести в восьмеричную систему счисления. 8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четвёрки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3). Пример: Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления. 10 9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой. Пример: Число перевести в двоичную систему счисления. 10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой. Пример: Число перевести в двоичную систему счисления. 11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему. Пример 1: Число перевести в восьмеричную систему счисления. Пример 2: Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления. 1.3. Двоичная арифметика Операции сложения, вычитания, умножения и деления в двоичной системе – это двоичная арифметика. Некоторые примеры двоичной арифметики рассмотрены в данной статье. 11 Все арифметические действия, которые применимы к двоичным числам, выполняются аналогично как в десятичной системе. Удобнее всего двоичные числа складывать, вычитать, умножать и делить столбиком. Числа записываются друг под другом с учётом разрядов. При необходимости производится перенос в старший разряд или заем из старшего разряда. Медаль в честь двоичной системы счисления Сложение Вычисление суммы двоичных чисел производится следующим образом: числа записываются в столбик. Затем производится поразрядное суммирование цифр, начиная с младшего разряда, как в десятичной системе. Если сумма цифр текущего разряда превышает его размер, то происходит перенос единицы в старший разряд. Правило сложение двоичных чисел: 0 +0 = 0 0 +1 = 1 1 +1 = 10 Например, сумма двоичных чисел 1000111 + 110011 = 1111010 12 На примере видно, как происходит перенос в старший разряд. При сложении единиц самого младшего разряда получается 10. Ноль остаётся на своём месте, а единица переносится в старший разряд слева, где уже складываются две единицы. Получается 11. И снова, младшую единицу оставляют, а старшую переносят влево. Вычитание Действие разности следует также выполнять столбиком. Вычитание производится поразрядно. Если возникает ситуация, что приходится вычитать из нуля единицу, то происходит заем из старшего разряда. Все как в десятичной системе. Только следует помнить, что в двоичной системе 10 – 1 = 1. Например, разность чисел: 1000111 – 110011 = 10100 На примере видно, как производится заем в старшем разряде. В пятом справа разряде производится вычитание 0 – 1. Здесь следует занять единицу из ближайшего старшего разряда слева. Умножение 13 Умножать следует столбиком с учётом правил умножения: 0*0=0 0*1=0 1*1=1 Произведение выполняется также поразрядно, каждый разряд второго числа умножается на каждую цифру первого числа, результат суммируется Произведение двоичных чисел 1101 * 11 = 100111 Деление Операция деления выполняется столбиком, аналогично как в десятичной системе счисления. 14 Всегда можно проверить результаты двоичной арифметики с помощью калькулятора. Считать можно и в двоичном формате. Электронный калькулятор в группе стандартных приложений операционной системы MS Windows имеет такой режим работы. 2. Логические основы компьютера Логика – наука, изучающая законы и формы мышления. Алгебра логики это математический аппарат , с помощью которого записывают, упрощают, преобразовывают и вычисляют логические высказывания. Это раздел математики, который изучает высказывания с точки зрения их логических значений и логических (операций)связок. Впервые АЛ, как математический аппарат возникла в середине 19 века в трудах английского математика Джорджа Буля и с тех пор носит название «булева алгебра». Логическое высказывание это любое повествовательное предложение, в отношение которого можно сказать однозначно истинно оно или ложно. Рим – столица Италии (истина), 5 – чётное число (ложь). Кроме того, в АЛ используются и сложные высказывания, которые содержат несколько простых мыслей, соединённых между собой (связками) логическими операциями. Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет своё название и обозначение: НЕ - Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна - спутник Земли" (А); "Луна - не спутник Земли" ( ). И - Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой 15 " " (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А . В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание: "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания : "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" - ложны. ИЛИ - Операция, выражаемая связкой "или" (в не исключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5" ложно, а высказывание "10 делится на 2 или 10 делится на 3", - истинно. Логический элемент компьютера - это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию. Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, (называемые также вентилями), а также триггер. Имеется один или несколько входов и один выход. Каждый логический элемент имеет своё условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности. Таблица истинности - это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений входных сигналов (операндов) и соответствующие им значения выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний. С 16 хема И Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами Таблица истинности схемы И Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль. Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x . y (читается как "x и y"). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком "&" (читается как "амперсэнд"), являющимся сокращённой записью английского слова and. С хема ИЛИ Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица. 17 Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ с двумя входами. Обозначение - знак "1" на схеме Связь между выходом z этой схемы и входами x и y описывается соотношением: z = x v y (читается как "x или y"). Таблица истинности схемы ИЛИ С хема НЕ Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом x этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = , где читается как "не x" или "инверсия х". Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение на структурных схемах инвертора. Таблица истинности схемы НЕ 18 Заключение Исходя из предоставленной мною информации, мы можем сделать вывод, что алгебра и логика непрерывно связаны в информатике. Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления, с которой работает компьютер, является двоичная система счисления, в которой используются только цифры 0 и 1 19 Список литературы 1. https://infourok.ru/tema-arifmeticheskie-i-logicheskie-osnovi-rabotikompyutera-3517904.html 2. http://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/655/77655/58715?p_page=1 3. https://nsportal.ru/shkola/informatika-iikt/library/2015/11/30/metodicheskie-razrabotki-po-otdelnym-razdelam-0 20
