Замечания по Надёжности 1 Понятия теории вероятности 1.1 Случайная величина Случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы: дискретная случайная величина (ДСВ) и непрерывная случайная величина (НСВ). 1.1.1 Дискретная СВ ДСВ – это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей. 1 1.1.2 Непрерывная СВ Смотри файл «1 Непрерывные случайные величины.pdf» Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Вероятность того, что НСВ примет конкретное значение х равна 0. Поэтому для описания распределения вероятности НСВ пользуются функцией распределения F(x)=Р(Х<х) и плотностью вероятности f(x). 1.2 Распределение вероятностей случайной величины (СВ) 1.2.1 Определение Распределение вероятностей – это закон, описывающий значения СВ и вероятности их появления. Есть два типа распределения вероятностей – дискретное распределение вероятностей и непрерывное распределение вероятностей 1.2.2 Виды распределения СВ Наиболее часто применяемыми на практике являются следующие виды законов распределения: биномиальный, Пуассона (для дискретных случайных величин); равномерный, экспоненциальный, нормальный (для непрерывных случайных величин). 1.2.3 Мода СВ. Модой случайной величины X называют ее наиболее вероятное значение, т. е. то, для которого вероятность pi или плотность распределения f (x) достигают максимума. Моду обычно обозначают через Mx. 1.3 Функция (Закон) распределения СВ (интегральная функция) 1.3.1 Определение Функция (Закон) распределения (интегральная функция) F(x) случайной величины X – это вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее чем значение x (F(x)=P(X<x)). Переменная x, «пробегает» все значения от «минус» до «плюс» бесконечности. 1.3.2 Функция распределения ДСВ 1.3.3 Функция распределения НСВ Определение Законы распределения НСВ Смотри файл «[1] Непрерывные случайные величины.pdf». Свойства НСВ Свойства функции распределения: - Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю. - Если возможные значения НСВ расположены на всей оси, то справедливы следующие предельные соотношения: - Функция распределения непрерывная слева, то есть: 1.4 Плотность вероятности Плотность распределения, или плотность вероятности, или дифференциальная функция распределения. 1.5 Математическое ожидание СВ Свойства математического ожидания. - Математическое ожидание константы равно этой константе: - Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: - Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: - Математическое ожидания произведения случайных величин: И вообще, для независимых случайных величин математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий сомножителей: 1.6 Дисперсия СВ 1.7 Среднее квадратическое отклонение НСВ 2 Основные параметры надёжности 2.1 Источники ГОСТ 27.102-2021 Надежность в технике. Надёжность объекта. Термины и определения. уГОСТ 27.002-2015 Надежность в технике. Термины и определения. Утратил силу в РФ. Заменен на ГОСТ Р 27.102-2021 ГОСТ 27.301-95 Надежность в технике. Расчет надежности. Основные положения. ГОСТ 27.003-2016 Надежность в технике. Состав и общие правила задания требований по надежности. РД 50-476-84 Руководящий нормативный документ. Методические указания. Надежность в технике. Интервальная оценка надежности технического объекта по результатам испытаний составных частей. 2.2 Общие замечания 2.2.1 По своей физической сущности отказы элементов и устройств являются событиями случайными. Случайной величиной, описывающей отказы, является время до отказа (в общем случае наработка до отказа). 2.2.2 В настоящее время в отечественной и мировой практике в 95…99 % случаев пользуются предположением об экспоненциальном распределении времени до отказа элементов, при котором плотность распределения времени до отказа задаётся выражением где λ - параметр распределения для рассматриваемого элемента, численно равный его интенсивности отказов. Характеристика w(t) на практике не находит широкого применения в качестве показателя надёжности изделий, однако она используется для определения показателей безотказности. 2.2.3 Надёжность является комплексным свойством изделия. Для описания различных сторон этого свойства на практике пользуются показателями надёжности, представляющими собой количественные характеристики одного или нескольких свойств, определяющих надёжность изделия. На практике используют пять групп показателей: показатели безотказности; показатели ремонтопригодности; показатели долговечности; показатели сохраняемости; комплексные показатели надёжности. Все показатели, кроме комплексных, относят к единичным показателям. Под единичным понимают такой показатель, который характеризует одно из свойств, составляющих надёжность изделия: или безотказность, или ремонтопригодность и т. д. 2.2.4 Основные единичные показатели надёжности. 2.2.5 2.3 Вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t). Плотность вероятности. 2.3.1 Вероятность безотказной работы P(t) – это вероятность того, что в пределах заданной наработки или заданном интервале времени отказ объекта не возникает. Вероятность безотказной работы вместе с интенсивностью отказов определяет безотказность объекта. Вероятность отказа Q (t)=1/P(t). Q (t) + P (t) = 1. 2.3.2 Законы распределения ВБР 1) Экспоненциальный. Описывает надёжность работы изделия в период его нормальной эксплуатации, когда постепенные отказы вследствие износа и старения ещё не проявляются и надёжность характеризуется внезапными отказами. 2) Нормальный. Является основным в математической статистике. В теории надёжности нормальным распределением описывают наработки на отказ объектов вследствие их износа и старения. 3) Биномиальный. Описывает появление событий, имеющих 2 исхода, взаимно исключающих друг друга. 4) Распределение Пуассона. Применяется для определения вероятности появления заданного числа событий на заданном интервале времени при условии независимости и несовместности событий. 2.4 Интенсивность отказов λ Отношение числа отказавших объектов в единицу времени к среднему числу объектов, исправно работающих в данный отрезок времени при условии, что отказавшие объекты не восстанавливаются и не заменяются исправными. Другими словами, интенсивность отказов численно равна числу отказов в единицу времени, отнесенное к числу узлов, безотказно проработавших до этого времени. n(t) 𝜆(𝑡) = 𝑁ср∗𝛥𝑡 В первом соотношении есть ошибка: Nср=(Ni+Ni+1)/2 = N-n(t)/2 ≠ [N-n(t)] 2.5 PDF (probability density function) – функция плотности вероятности, или функция плотности или плотность абсолютно непрерывной случайной величины. 2.6 Группы ПН по РД 50-476-84 2.1 Наработка между отказами () 2.1.1 ((operating) time between failures) Наработка объекта между двумя следующими друг за другом отказами. Примечание – Наработка между отказами есть частный случай наработки до отказа, применимый только к восстанавливаемым объектам. 2.2 Средняя наработка на отказ (безотказность, То) с заданной вероятностью 2.2.1 Параметр задан в ТЗ, но несёт в себе неточности. Правильнее было бы назвать «Гамма-процентная наработка до отказа» так как: - Термин «Средняя наработка на отказ (Т0)» (без вероятности) упоминается (без определения) в ГОСТ 27.003-2016, но данный термин отсутствует в «ГОСТ 27.002-2015 Термины и определения». - В ГОСТ 27.002-2015 есть термин «Гамма-процентная наработка до отказа: Наработка до отказа, в течение которой отказ объекта не возникнет с вероятностью, выраженной в процентах. - параметр «Средняя наработка на отказ с заданной вероятностью» не понятен, так как не удаётся найти определение что это такое. 2.2.2 Среднее время безотказной работы (средняя наработка на отказ) (T0 для невосстанавливаемых (неремонтируемых) систем) — это математическое ожидание времени работы системы до отказа: f(t) – есть плотность вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента. P(T) — есть вероятность безотказной работы в интервале времени 0<t<T/ В начальный момент вероятность P(T) равна единице. В конце времени работы системы вероятность P(T) равна нулю. Вероятность P(T) связана с плотностью вероятности возникновения отказов системы или её невосстанавливаемого элемента следующим образом: Проинтегрировав выражение для Т0 по частям, получим: Графически полученное выражение для Т0 представлено на рисунке как площадь под графиком вероятности безотказной работы P(T) от времени t. 2.3 Средняя наработка на отказ – MTBF (Mean time between failures) По ГОСТ Р 27.102-2021 MTBF – это математическое ожидание наработки объекта между отказами. В случае, когда наработка между отказами подчиняется экспоненциальному распределению, ее называют средней наработкой на отказ и определяют, как отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию количества его отказов в течение этой наработки. MTBF – это средняя продолжительность работы устройства между отказами, то есть MTBF, показывает, какая наработка в среднем приходится на один отказ. 2.3.1 Замечания 1) Примем за исходную формулу 1 𝑀𝑇𝐵𝐹 = ∑𝑛1 𝑥𝑖 (1) 𝑛 где, предположительно, n – количество отказов для испытуемого образца, xi – наработка между отказами для i-го отказа. Допущения: -… Формула хорошо работает для одного образца, но если надо получить среднестатистические данные, то формулу надо усложнить: 1 𝑀𝑇𝐵𝐹 = ∑𝑁 𝑀𝑇𝐵𝐹𝑗 (2) 𝑁 𝑗=1 где MTBFj – это MTBF для j-го образца. Если подставить (1) в (2), то получим: 1 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑀𝑇𝐵𝐹 = ∑𝑁 𝑗=1 𝑁 𝑛 i=1 𝑖𝑗 Если принять, что отказ i-го образца – это отказ всей популяции, а время наработки всей популяции до i-го отказа и за время ремонта составит N*xi +(N1)*Tрем. Формула в этом случае примет вид: 1 ∑𝑛i=1(𝑁 ∗ 𝑥𝑖 + (𝑁 − 1) ∗ 𝑇рем) 𝑀𝑇𝐵𝐹 = 𝑁∗𝑛 Если Трем не учитывать, то формула примет вид (1): 1 𝑀𝑇𝐵𝐹 = ∑𝑚 𝑥 𝑚 k=1 𝑘 где, k – это отказ любого экземпляра популяции. 2) Для повышения точности оценки MTBF, нужно чтобы количество отказов было как можно больше, например, более 5. Если MTBF=300,000 часов, то это будет 5*33,6=168 лет. Что нереально. Выводы - MTBF – это действительно среднее время наработки на отказ для восстанавливаемых объектов, который можно рассчитать приближённо для популяции объектов из любого количества экземпляров в предположении, что время ремонта (восстановления) отказавшего объекта равно 0. При увеличении количества экземпляров вероятность получения среднестатистического значения параметра MTBF увеличивается. Например, если популяция состоит из одного самого ненадёжного экземпляра, то MTBF этого экземпляра и будет определять MTBF. Если популяция насчитывает 100 штук, то это параметр уже будет соответствовать реальному MTBF. - Применение прямого эмпирического метода определения MTBF (как описано выше) возможно только для объектов с малым сроком MTBF, например, 1 месяц (в этом случае испытания для 5 отказов займут 6 месяцев), при этом чем больше количество экземпляров, тем точнее значение MTBF. - Для расчёта MTBF объектов с большой величиной MTBF, например, 300,000 часов, нужно использовать вероятностные методы расчёта. - При некоторых допущениях можно связать MTBF с интенсивностью отказов λ. MTBF=1/ λ.
