ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ ДЛЯ ТИПОВЫХ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА 1 Цель занятия 1.1 Закрепить теоретические знания о законах распределения случайной величины, используемых в теории надежности. 1.2 Получить практические навыки применения специального программного обеспечения при решении инженерных задач. 2 Теоретические основы Продолжительность работы радиоэлектронного оборудования, выраженную в часах, называют наработкой и в большинстве случаев выражают в часах. Для некоторых элементов (переключатели, реле, автоматы защиты и др.) наработка может измеряться в циклах переключения. Одним из показателей безотказности является наработка изделия до отказа, в качестве которой рассматривается его суммарная наработка (без учёта перерывов) с момента начала эксплуатации до момента возникновения отказа. Известно, что отказ элементов РЭУ по своей физической сути является событием случайным. Случайной величиной, описывающей отказ, является и время работы изделия до отказа. Для математического описания времени до отказа элементов (кратко говорят – описания отказов) наиболее часто используются следующие законы распределения случайной величины: экспоненциальный; нормальный; Вейбулла (таблица 1). Экспоненциальный закон традиционно используется для описания времени безотказной работы большинства элементов РЭУ. В последнее время экспериментально установлено, что время до отказа ряда элементов лучше описывается другими законами – нормальным, Вейбулла, логарифмически нормальным (логонормальным). Таблица 1 – Типовые законы распределения Закон распределения Плотность вероятности, связь параметров распределения с 𝑀𝑥 и D[X] Экспоненциальный 𝑓(𝑡) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 , 𝑡 ≥ 0 𝜆 − параметр распределения 1 𝑀𝑥 = √𝐷𝑋 = 𝜆 𝑓(𝑥) = Нормальный 1 − (𝑥−𝑚𝑥 )2 2𝜎𝑥2 𝑒 𝜎𝑥 √2𝜋 𝜎𝑥 , 𝑚𝑥 – параметры распределения 𝑀𝑥 = 𝑚𝑥 𝐷𝑥 = 𝜎𝑥2 𝑡𝛽−1 −( 𝑡 ) 𝑓(𝑡) = 𝛽 𝛽 𝑒 𝜂 𝜂 Вероятность безотказной работы, интенсивность отказов 𝑅(𝑡) = 𝑒 −𝜆𝑡 R( t ) Средняя наработка до отказа 𝑇ср = 1 𝜆 1 t mx Ф 2 t mx exp 2 2 ( t ) 1 t m x 2 Ф 2 𝑇ср = 𝑚𝑥 𝛽 η – параметр масштаба; β – параметр формы Вейбулла График плотности вероятности 1 𝑚𝑥 = ηГ (1 + ) β 2 1 𝐷𝑥 = η2 (Г (1 + ) − Г2 (1 + )) β β 𝑃(𝑡) = 𝑡 β −( ) η 𝑒 𝜆(𝑡) = β 𝑡 β−1 ηβ 𝑇ср = 𝑚𝑥 Распределение Вейбулла хорошо описывает время до отказа большинства полупроводниковых приборов и интегральных микросхем (<1), а также некоторых механических элементов (> 2...3). При =1 распределение Вейбулла становится экспоненциальным распределением, при >2.. .3 – приближается к нормальному закону. Отказы некоторых типов элементов хорошо описываются нормальным законом распределения. Нормальный закон распределения характерен для элементов, работа которых сопровождается заметными процессами старения и износа (электроннолучевые трубки, кинескопы, тумблеры, переключатели и т.п.). Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки, достигается при 𝑚𝑥 ≥ 2𝜎𝑥 (при допустимом уровне потерь). При малых значениях 𝑚𝑥 и большом 𝜎𝑥 , может возникать ситуация, когда плотность распределения «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рисунок 1). Другими словами, вероятность появления «отрицательных» наработок на отказ становится существенной (эта вероятность равна площади заштрихованной фигуры на рисунке 1). f(t) 6𝜎⬚ 𝜎⬚ t<0 T0 Рисунок 1 t В этом случае целесообразно использовать усеченное нормальное распределение. Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального, при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа. При этом плотность распределения усеченного распределения определяется выражением 𝑓̂(𝑡) = 𝐶0 𝑓(𝑡) где f(t) – плотность распределения нормального закона, 𝐶0 − нормирующий множитель, равный 𝐶0 = 1 𝑚 1 − Φ (− 𝜎 𝑥 ) 𝑥 Тогда: 𝑓(𝑥) = 𝑇1 = 𝑚𝑥 + 𝐶0 𝜎𝑥 √2𝜋 (𝑥−𝑚𝑥 )2 − 2 𝑒 2𝜎𝑥 𝜎𝑥 𝑚 √2𝜋Φ (− 𝜎 𝑥 ) 𝑚 2 − 𝑥2 𝑒 2𝜎𝑥 𝑥 Для элементов, отказ которых происходит в результате усталостного разрушения, наработка до отказа неплохо описывается логарифмически нормальным законом. Основные соотношения, которые необходимы для лабораторной работы: f(t) – плотность распределения времени безотказной работы; R(t) – вероятность безотказной работы; (t) – интенсивность отказов; T1 – среднее время наработки до отказа выполнения ∞ 𝑅(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑡 ∞ 𝑇1 = ∫ 𝑅(𝑡)𝑑𝑡 0 𝜆(𝑡) = 3 𝑓(𝑡) 𝑅(𝑡) Порядок проведения занятия 3.1. Краткий опрос по теме занятия. 3.2. Проведение расчетов. 3.3. Оформление отчета по лабораторной работе. 3.4. Защита лабораторной работы 4 Содержание занятия Работа выполнятся с использованием приложения для математических и инженерных вычислений MathCAD. Допускается использование другого прикладного программного обеспечения с последующим параметров распределения пояснением особенностей его применения. Варианты задания (назначаются преподавателем): № вар 𝑚𝑡,час 𝜎𝑡,час № вар 𝑚𝑡,час 𝜎𝑡,час 1 5000 2000 11 5500 2500 Вариант 2 7500 3000 12 7550 3500 3 6000 2400 13 6500 2800 выполнения 4 4000 1600 14 4500 1800 5 7000 2800 15 7200 2850 работы 6 6500 2600 16 6700 3600 7 5500 2200 17 5700 2950 представлен 8 4800 1920 18 4200 2520 ниже. 9 5200 2080 19 5400 2780 10 4500 1800 20 4900 21800 Допускается использование других возможностей программного обеспечения. 1. С использованием функции dnorm(t, 𝒎𝒙 , 𝝈𝒙 ) сгенерируйте данные для построения графика функции плотности распределения вероятностей в диапазоне наработки до отказа от нуля до 𝑚𝑥 +3,5𝜎𝑥 . Например, с шагом ∆𝑡 = 10 часов. 2. Измените сначала в большую сторону значение математического ожидания на 20% и выполните пункт 1, затем – в меньшую сторону, также на 20%, и выполните пункт 1. Постройте графики для всех полученных данных на одной координатной плоскости. 3 Измените сначала в большую сторону значение среднеквадратического отклонения на 20% и выполните пункт 1, затем – в меньшую сторону, также на 20%, и выполните пункт 1. Постройте графики для всех полученных данных на одной координатной плоскости. 4. Сделайте выводы о влиянии параметров распределения на функцию плотности распределения вероятностей. 5. С использованием функции pnorm(t, 𝒎𝒙 , 𝝈𝒙 ) сгенерируете данные для построения графиков вероятности безотказной работы и вероятности отказа для различных значений параметров распределения (пункты 2 и 3). Постройте графики указанных показателей безотказности. Сделайте выводы о влиянии параметров распределения на показатели безотказности. 6. По полученным данным рассчитайте интенсивность отказов и постройте ее график. Сделайте вывод о зависимости интенсивности отказов от времени, а также о влиянии параметров распределения на данный показатель безотказности. 7. Рассчитайте коэффициент усечения для своего варианта и постройте график функции плотностей вероятности для усеченного нормального и нормального законов распределения. Сделайте выводы о влиянии коэффициента усечения на форму и положение графика функции плотности распределения. Отчет по лабораторной работе включает титульный лист по стандартной форме, результаты лабораторных исследований и домашнего задания и выводы по пунктам домашнего задания и работе в целом. 5 Домашнее задание 1. Определить значение средней наработки на отказ для усеченного нормального распределения. Пояснить полученные значения. 2. Построить график зависимости значения нормировочного множителя С0 от значения отношения математического ожидания к СКО. Пояснить полученный график. 6 Контрольные вопросы 1. Основные показатели безотказности 2. Выражения для вероятности безотказной работы и отказа на интервале 3. Законы распределения, используемые в теории надежности. 4. Статистические оценки показателей безотказности 5. Связь между функцией распределения и показателями надёжности 6. Условная вероятность отказа (безотказной работы) на заданном интервале, ее статистическая оценка 7. Интенсивность отказов, физический смысл, статистическая оценка 8. Средняя наработка до отказа, связь с функцией распределения, вероятность безотказной работы 9. 7 Статистические оценки средней наработки до отказа Список источников 1 Воробьев В.Г., Константинов В.Д. Надежность и техническая диагностика авиационного оборудования. Учебник. - М.: МГТУ ГА, 2010., 448 с. 2 Болелов Э.А., Кудинов А.Т. Надежность транспортного радиооборудования. Учебное пособие. - М.: МГТУ ГА, 2019., 65 с. 3 Бабаев В.Г., Стукалов С.Б. Надежность транспортного радиооборудования. Сборник задач и упражнений. Часть 1. Показатели безотказности объектов надежности. Учебно-методическое пособие. - М.: МГТУ ГА, 2017 г., 32 с.
