Сечение конуса

Сечение конуса. Формулы
I. Актуализация знаний (Слайд 1, презентация)
Учитель: В ходе изучения темы «Конус» мы уже познакомились с целым рядом интересных и
полезных фактов. В частности, это определения конуса и его элементов, формулы для
нахождения боковой и полной поверхности конуса, рассмотрели примеры «Конусы вокруг
нас» (Слайд 2, презентация). Коротко повторим эти факты.
II. Повторение
1. Фронтальный опрос (Модель конуса и слайд 3,4, презентация)
Закончите предложение:
 Конус – это… (тело, которое ограничено конической поверхностью
и кругом в основании) (Слайд3, презентация)
 (Слайд 4, презентация)
Ось симметрии конуса
 Образующие
 Вершина конуса
 Боковая поверхность
 Основание конуса
 Радиус конуса
2. Работа по карточкам (Приложение 1)
3. Тест в системе Votum или с помощью презентации (Приложение 2)
5. Решение задач ЕГЭ - 8 задание 2012 год (Слайд 15, 16, презентация) - устно
Задача 1. Высота конуса равна 8, а диаметр основания – 30. Найдите образующую конуса.
Задача 2. Образующая конуса 10 см, а диаметр основания 12 см. Найдите высоту конуса.
6. Решение задач по карточкам (Приложение 3)
7. Решение задач (слайд 17, презентация)
Задача (1 группа – решаем на интерактивной доске)
Образующая конуса равна 15 см, радиус его основания 12 см. Через его вершину и хорду
основания, равную 18 см, проведено сечение. Найдите высоту конуса, площадь сечения.
Задача (2 группа – самостоятельное решение на оценку по заданному алгоритму),
(Приложение 4)
Через две образующие конуса проведено сечение, его основание равно 16 см. Радиус
основания конуса 10 см. Угол между плоскостями сечения и основания 60º. Найдите высоту

конуса, расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения; площадь полной
поверхности конуса.
8. Подготовка к восприятию нового материала
 Назовите, что было сечением в наших задачах?
 Какие ещё фигуры могут получиться при пересечении конуса плоскостью?
 Что получится, если мы разрежем конус на части по плоскости сечения, проведенной
параллельно основанию?
9. Задача (Устно)
Найти боковую сторону равнобедренной трапеции, если её основания 14см и 8 см, а высота 4
см. Слайд 18, презентация
III. Новый материал (Модели конуса, усечённого конуса, слайды 19 – 22, презентация)
1. Определение усечённого конуса (Слайд 19, презентация)
Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и
секущей плоскостью, параллельной основанию.
2. Осевое сечение конуса
Осевое сечение усечённого конуса - равнобедренная трапеция
3. Элементы усечённого конуса (Слайд 20, презентация)
Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса,
заключенная между основаниями.
5. Определение высоты усечённого конуса
Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.
7. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин
окружностей оснований на образующую.
S бок 
2π R  r 
l  π R  r l
2
8. Как можно получить усечённый конус?
Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны CD
IV. Закрепление
1. Найдите образующую усечённого конуса, если радиусы равны 3 см и 6см, а высота равна
4см.
Вопросы:
 Что является осевым сечением усечённого конуса?
 Как найти боковую сторону равнобедренной трапеции?
2. № 570
V. Итог урока
Формула для вычисления площади боковой поверхности конуса: Sбок=𝛑RL.
Площадь полной поверхности конуса: Sполн=𝛑R(R+L).
Отрезок, соединяющий центры оснований, называют высотой усечённого конуса.
Определение
Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется боковой
поверхностью усечённого конуса.
Определение
Отрезки образующих, заключённые между основаниями, называются образующими
усечённого конуса. Отмечу, что все образующие усечённого конуса равны друг другу.
Усечённый конус можно получить ещё одним способом - вращением прямоугольной
трапеции вокруг той боковой стороны, которая перпендикулярна основанию.
Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью конуса и
будет его высотой, другая боковая сторона станет образующей и при вращении будет
образовывать боковую поверхность, а основания трапеции станут соответственно радиусами
верхнего и нижнего оснований усечённого конуса.
5. Формула для вычисления площадей поверхностей усеченного конуса
Sбок.пов.ук=π(r+R)L
S.полн.пов.ук=π(rL+RL+r2+R2)
Основание конуса - круг
Высота конуса – это перпендикуляр, соединяющий вершину конуса с центром основания.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Ось конуса – это прямая, проходящая через центр основания конуса и вершину (ось цилиндра
является осью вращения конуса).
Образующая конуса - это отрезок, соединяющий вершину с соответственной точкой
окружности нижнего основания. Все образующие имеют одинаковую длину.
Образующая конуса при вращении вокруг оси образует боковую (коническую ) поверхность
конуса.
 Что представляет собой развертка конуса?
Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор
 Назовите основные виды сечений конуса. Какая фигура получается в каждом случае?
Осевое сечение конуса – сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Все
осевые сечения конуса – равные равнобедренные треугольники
Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра. В сечении – прямоугольники.
Круговое сечение конуса - сечение плоскостью перпендикулярной оси конуса. В сечении - круг.
Сечение, проходящее через вершину, не содержащее ось конуса (Сечение - равнобедренный
треугольник: боковые стороны – образующие, основание – хорда окружности основания)
IV. Решение задач на нахождение пощади поверхности конуса, усечённого конуса.
Например:
1. Образующая конуса равна 25, высота 24. Найти площадь боковой и полной
поверхности.
2. Найти площадь боковой и полной поверхности конуса, если радиус основания равен 2
см, а образующая равна 6 см.
3. Угол при основании осевого сечения конуса 300, радиус 6 см. SКЕ – сечение конуса,
угол SКЕ равен 30 0 . Найти площадь сечения SКЕ.
4. Диаметры оснований усеченного конуса 10 см и 16 см, высота 4 см. Найти Sп. п.