Лаб практикум МДК 03.03

МЕТОДИЧЕСКОЕ УКАЗАНИЕ
для выполнения лабораторных работ
по дисциплине «Устройство и функционирование информационных систем»
раздел “Надежность технических систем“
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ
1.
Цель работы
Научиться рассчитывать критерии надежности невосстанавливаемых
изделий.
2. Программное обеспечение, используемое в работе
При проведение занятий по дисциплине используются следующие
программные продукты:
1. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version.
2.
Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE.
3. Теоретические основы
Невосстанавливаемыми называются такие изделия, которые в процессе
выполнения своих функций не допускают ремонта. Если происходит отказ
такого изделия, то выполняемая операция будет сорвана и ее необходимо
начинать вновь в том случае, если возможно устранение отказа.
Рассмотрим следующую модель испытаний.
Пусть на испытании находится N 0 изделий и пусть испытания считаются
законченными, если все они отказали. Причем вместо отказавших образцов
отремонтированные или новые не ставятся. Тогда критериями надежности
данных изделий являются:
- вероятность безотказной работы P(t ) ;
- средняя наработка до первого отказа Tcp ;
- частота отказов a (t ) ;
- интенсивность отказов  (t ) .
Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при
определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в
пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Согласно определению
Р(t) = P(T > t),
(1.1)
где t – время, в течение которого определяется вероятность безотказной
работы; Т – время работы изделия от его включения до первого отказа.
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах
оценивается выражением
P
(
t)
(N
n
(
t))
/N
0
0,
(1.2)
где N0 – число изделий в начале испытания; n(t) – число отказавших изделий за
ремя t; Р(t) – статистическая оценка вероятности безотказной работы. При
большом числе изделий N0 статистическая оценка Р'(t) практически совпадает с
вероятностью безотказной работы Р(t). На практике иногда более удобной
характеристикой является вероятность отказа Q(t).
Вероятностью
отказа
называется
вероятность
того,
что
при
определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникнет
хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями
несовместимыми и противоположными, поэтому
Q(t )  P(T  t ),
Q (t )  n(t ) / N0 ,
Q(t )  1  P(t )
.
(1.3)
Частотой отказов называется отношение числа отказавших изделий в
единицу времени к первоначальному числу испытываемых изделий при
условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.
Согласно определению
a
(t)
n
(
t)/N

t,
0
(1.4)
где n(  t) – число отказавших образцов в интервале времени от t -  t/2 до t +
 t/2.
Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения)
времени работы изделия до первого отказа. Поэтому
a(t )  P(t )  Q(t ),
t
Q(t )   a(t )dt,
(1.5)
0
t
P(t )  1   a(t )dt
0
Интенсивность отказов
называется отношение числа отказавших
изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в
данный отрезок времени.
Согласно определению

(
t)
n
(

t)/(
N

t)
cp
(1.6)

(N
N
)/2 - среднее число исправно работающих изделий в
где N
cp
i
i
1
интервале t ; N i - число изделий, исправно работающих в начале интервала t ;
N i 1 -число изделий исправно работающих в конце интервала t .
Выражение (1.6) есть статистическое определение интенсивности
отказов. Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения
(t)a(t)/P
(t).
(1.7)
Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между
собой зависимостью
t

P(t)e 0
 (t)dt
(1.8)
Средняя наработка до первого отказа называется математическое
ожидание времени работы изделия до отказа.
Как математическое ожидание, Тср вычисляется через частоту отказов
(плотность распределения времени безотказной работы):

M
[
t]
T

ta
(
t)
dt
cp
(1.9)


Так как t положительно и Р(0) = 1, а Р() = 0, то

T
(t)dt
cpP
0
(1.10)
По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого
отказа вычисляется по формуле
N
0
T
(
ti)/N
cp
0
,
(1.11)
i
1
где ti – время безотказной работы i-го образца; N0 – число испытуемых
образцов.
Как видно из формулы (1.11), для определения средней наработки до
первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых
элементов. Поэтому для вычисления Т’ср пользоваться указанной формулой
неудобно. Имея данные о количестве вышедших из строя элементов ni в
каждом i-м интервале времени, среднюю наработку до первого отказа лучше
определять из уравнения
m
T

(
n
)/N
cp
it
cpi
0
(1.12)
i
1
В выражении (1.12) tсрi и m находятся по по следующим формулам:
tcpi(ti1ti)/2
,
m
tk/
t,
где ti-1 – время начала i-го интервала; ti – время конца i-го интервала; tk – время,
в течение которого вышли из строя все элементы; t = ti-1 - ti – интервал
времени.
При изучении надежности технических устройств наиболее часто
применяются следующие законы распределения времени безотказной работы:
экспоненциальный,
усеченный
нормальный,
Релея,
Гамма,
Вейбула,
логарифмически-нормальный.
В
табл.
1
приведены
выражения
для
оценки
количественных
характеристик надежности изделий при указанных законах распределения
времени их безотказной работы (см. приложение 1).
4. Пример решения типовых задач
На испытании было поставлено1000 однотипных ламп. За первые 3000
часовотказало 45 ламп, а за интервал времени 30000-4000 часов отказало еще
30 ламп. Требуется определить частоту и интенсивность отказов электронных
ламп в промежутке времени 3000-4000 часов.
Решение:
По формулам (1.4) и (1.6) находим
n
(

t
)
50 
51
a
(
3500
)
 
5
*
10
,
час

tN
1000
*
1000
0
n
(

t
)
50

5
1.

(
3500
)
 

5
.
6
*
10
час

tN
1000
*
(
920

870
)
/
2
cp
5. Задание на лабораторную работу
Лабораторная работа № 1
Критерии и количественные характеристики надежности
1. На испытание было поставлено 500 однотипных изделий. За первые
3000 ч отказало 40 изделий, а за интервал времени 3000 ... 4000 ч отказало еще
25 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы и
вероятность отказа за 3000 и 4000 ч работы. Вычислить плотность и
интенсивность отказов изделий в промежутке времени 3000...4000 ч.
2. На испытание поставлено 400 изделий. За 3000 часов отказало 200
изделий, за следующие 100 часов отказало еще 100 изделий. Определить
Р(3000), Р(3100), Р(3050), а(3050), λ(3050)
3. Допустим, что на испытание поставлено 1 000 однотипных электронных ламп типа 6Ж4. За первые 3 000 час отказало 80 ламп. За интервал
времени 3000 — 4 000 час отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту
и интенсивность отказов ламп в промежутке времени 3 000—4 000 час.
4. Используя данные задачи 1.1, определить вероятность безотказной
работы и вероятность отказа электронных ламп за первые 3 000 час.
5. Используя данные задачи 1.1, найти вероятность безотказной работы и
вероятность отказа электронных ламп за время 4 000 час.
6. На испытание поставлено 100 однотипных изделий. За 4 000 час
отказало 50 изделий. За интервал времени 4000—4100 час отказало еще 20
изделий. Требуется определить частоту и интенсивность отказов изделий в
промежутке времени 4 000—4 100 час.
7. Используя данные задачи 1.6, определить вероятность безотказной
работы и вероятность отказа изделий за первые 4 000 час.
8. Используя данные задачи 1.6, вычислить вероятность безотказной
работы и вероятность отказа изделий за время 4100 час.
9. В течение 1000 час из 10 гироскопов отказало 2. За интервал времени
1000—1100 час отказал еще один гироскоп. Требуется найти частоту и
интенсивность отказов гироскопов в промежутке времени 1000—1100 час.
10. На испытание поставлено 400 резисторов. За время наработки 10000
час отказало 4 резистора. За последующие 1000 час отказал еще 1 резистор.
Определить частоту и интенсивность отказов резисторов в промежутке времени
10000—11000 час.
11. Используя данные задачи 1.10, найти вероятность безотказной работы
и вероятность отказа резисторов за время 10 000 час.
12. На испытание поставлено N0 изделий. За время t час вышло из строя
n(t) штук изделий. За последующий интервал времени Δt вышло из строя n(Δt)
изделий. Необходимо вычислить вероятность безотказной работы за время t и
t+Δt, частоту отказов и интенсивность отказов на интервале Δt. Исходные
данные для решения задачи и ответы приведены в табл. 1.
Таблица 1 Исходные данные к задаче 12
№№ п/п N0
t
Δt
1
400
3000 100 200 100
2
1000
3000 1000 80 50
3
100
8 000 100 50 10
4
10
1 000 100 3
2
5
10
1000 100 3
1
6
I 000
0
20
n(t) n(∆t)
1000 0
Лабораторная работа № 1*
Критерии и количественные характеристики надежности
Для расчетов используем таблицу в приложение 1.
1. Пусть время работы элемента до отказа подчинено усеченному
нормальному закону с параметрами Т1=8000 час, σ=2000 час.
Требуется
вычислить количественные характеристики надежности Р(t), a(t), λ(t), Tcp для
t=4000, 6000, 8000, 10000 час.
2. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения
Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности Р(t),
a(t), λ(t), Tcp для t=500, 1000, 2000 час, если параметр распределения σ=1000
час.
3. Время безотказной работы элементов подчинено экспоненциальному
закону распределения с λ=3*10-5 1/час. Требуется вычислить количественные
характеристики
надежности
резервировнного
изделия
при
общем
недогруженном резервировании замещением с кратностью т=3. (t=200 час)
4. Время безотказной работы устройства подчинено закону Вейбулла с
параметрами к=1,5 λ0=10-4 1/час, а время его работы t=100 час. Требуется
вычислить количественные характеристики надежности Р(t), a(t), λ(t), Tcp
6.
Контрольные вопросы
1. Какие изделия называются невосстанавливаемыми?
2. По какой формуле определяется вероятность безотказной работы?
3. Что называется частатой отказов и по какой формуле она определяется?
4. Что называется интенсивностью отказов и по какой формуле она
определяется?
5. Что называется средней наработкой до первого отказа и по какой формуле
она определяется?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ
1.
Научиться
рассчитывать
Цель работы
критерии
надежности
восстанавливаемых
изделий.
2. Программное обеспечение, используемое в работе
При проведение занятий по дисциплине используются следующие
программные продукты:
3. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version.
4.
Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE.
3. Теоретические основы
Восстанавливаемыми называются такие изделия, которые в процессе
выполнения своих функций допускают ремонт. Если произойдет отказ такого
изделия, то он вызовет прекращение функционирования изделия только на
период устранения отказа.
Рассмотрим следующую модель испытаний.
Пусть на испытании находится N изделий и пусть отказавшие изделия
немедленно
заменяются
исправными
(новые
или
отремонтированные).
Испытания считаются законченными, если число отказов достигает величины,
достаточно для оценки надежности с определенной вероятностью. Если не
учитывать
времени,
потребного
для
восстановления
системы,
то
количественными характеристиками надежности могут быть параметр потока
отказов  (t ) и наработка на отказ t ср .
Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших
изделий в единицу времени к числу испытываемых изделий при условии, что
все вышедшие из строя изделия заменяются исправными (новые или
отремонтированные).
Согласно определению
n(
t)
,
N*
t
(t)
(1.13)
где n( t ) - число отказавших образцов в интервале времени от t  t / 2 до
t  t / 2 ; N – число испытываемых образцов; t - интервал времени.
Выражение (1.13) является статистическим определением параметра
потока отказов.
Параметр потока отказов и частота отказов для ординарных потоков с
ограниченным последействием связаны интегральным уравнением Вольтерра
второго рода

(
t
)

a
(
t
)


(

)
*
a
(
t


)
d

.

t
(1.14)
0
По известной a (t ) можно найти все количественные характеристики
надежности невосстанавливаемых изделий. Поэтому (1.14) является основным
уравнением,
связывающим
невосстанавливаемых
и
количественные
восстанавливаемых
характеристики
надежности
изделий
мгновенном
при
восстановлении.
Уравнение (1.14) может записываться в операторной форме:
a
(
s
)

(
s
)

1

a
(
s
)


(
s
)
a
(
s
)

.
1

(
s
)
(1.15)
Соотношения (1.15) позволяют найти одну характеристику через другую
если существуют преобразования Лапласа функции a (s ) и  (s ) и обратные
преобразования выражений (1.15).
Параметр потока отказов обладает следующими важными свойствами:
1) для любого момента времени независимого от закона распределения
времени безотказной работы параметр потока отказов больше, чем частота
отказов, т.е. (t) a(t);
2) независимо от вида функций a (t ) параметр потока отказов  (t ) при t  
1
стремится к T . Это важное свойство параметра потока отказов означает
cp
что при длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток его
отказов независимо от закона распределения времени безотказной работы
становится стационарным. Однако это вовсе не означает, что интенсивность
отказов есть величина постоянная;
(t)

(t)a
(t), если  (t ) 3) если  (t ) - возвращающая функция времени, то 
(t)
(t)a
(t);
убывающая функция, то 
4)
при (t) const
параметр потока отказов системы не равен сумме параметров
потока отказов элементов, т. е.
N

t)

t).
c(
i(
(1.16)
i
1
Это свойство параметра потока отказов позволяет утверждать, что при вычислении
количественных
характеристик
надежности
сложной
системы
нельзя
суммировать
имеющиеся в настоящее время значения интенсивностей отказов элементов, полученные по
статистическим данным об отказах изделий в условиях эксплуатации, так как указанные
величины являются фактически параметрами потока отказов;
5)
при (t)const
параметр потока отказов равен интенсивности отказов
(t)(t).
Из рассмотренных свойств интенсивности и параметра потока отказов
видно, что эти характеристики различны.
Наработкой на отказ называется среднее значение времени между
соседними отказами.
Эта характеристика определяется по статистическим данным об отказах по
формуле
n 
ti 
i 1
,
tcp  
n
(1.17)
где t i - время исправной работы изделия между (i-1)-м и i-м отказами; n – число
отказов за некоторое время t.
Из формулы (1.17) видно, что в данном случае наработка на отказ
определяется по данным испытаниям одного образца изделия. Если на
испытании находится N образцов в течение времени t, то наработка на отказ
вычисляется по формуле
 N nj 
 tij 
 j 1 i 1 

t cp   N
,
n j
j 1
(1.18)
где t ij - время исправной работы j-го образца изделия между (i-1)-м и i-м
отказом; nj – число отказов за некоторое время t j-го образца.
Коэффициентом готовности называется отношение времени исправной
работы к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев изделия,
взятых за один и тот же календарный срок. Эта характеристика обозначается
Кг .
Согласно данному определению
tp
К

,
г
(tp tn)
(1.19)
где t p - суммарное время исправной работы изделия; t п - суммарное время
вынужденного простоя.
Времена t p и t п вычисляются по формулам
n
t

t
.

p
pi
i

1
n
t

t
,

n
ni
i

1
(1.20)
где t pi - время работы изделия между (i-1)-м и i-м отказом; t ni - время
вынужденного простоя после i-го отказа; n – число отказов (ремонтов) изделия.
Выражение (1.19) является статистическим определением коэффициента
готовности. Для перехода к вероятностной трактовке величины t cp и t n
заменяются математическими ожиданиями времени между соседними отказами
и времени восстановления соответственно.
Тогда
tcp
Кг 
(tcptв),
(1.21)
где t cp - наработка на отказ; t в - среднее время восстановления.
Коэффициент вынужденного простоя называется отношение времени
вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных
простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.
Согласно определению
t
Кп  n
(tp tn)
(1.22)
или, переходя к средним величинам,
tв
К
п
(tсptв).
(1.23)
Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны
между собой зависимостью
Кп 1Кг .
При
анализе
надежности
(1.24)
восстанавливаемых
систем
обычно
коэффициент готовности вычисляется по формуле
Тср
К
г
(Тсрtв).
(1.25)
Формула (1.25) верна только в том случае, если поток отказов
простейший, и тогда t cp  Tcp .
Для выяснения физического смысла коэффициента готовности К г
запишем формулу для вероятности застать систему в исправном состоянии.
При этом рассмотрим наиболее простой случай, когда интенсивность отказов и
интенсивность восстановления есть величины постоянные.
Предполагая, что при t  0 система находится в исправном состояние
( P(0)  1 ), вероятность застать систему в исправном состоянии определяется из
выражений
  *

(



)
*
t
e
,





Р
t)
г(

t/К
t
г
в
P
t)
К
(
1

К
*
е
г(
г
г)
(1.26)
,
T
1
1


;


;
K

где
T
t
T

t.
cp
г
cp
в
cp
в
Это выражение устанавливает зависимость между коэффициентом
готовности системы и вероятностью застать ее в исправном состоянии в любой
момент времени t.
Из (1.26) видно, что Рг (t)Кг при t   , т.е. практически коэффициент
готовности имеет смысл вероятности застать изделие в исправном состоянии
при установившемся процессе эксплуатации.
4. Пример решения типовых задач
1.
Время
работы
изделия
до
отказа
(например,
некоторых
электровакуумных приборов) подчиняются закону распределения Релея.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия Р(t),
a(t),  (t), Tcp для t=500, 1000, 2000 час, если параметр распределения  =1000
час.
Решение:
Воспользуемся формулами для закона распределения Релея, приведенными в
табл. 1 (см. приложение I). Для t  500 час:
2
t2
500


2
P(500
)e 22 e 2*1000
e0.125
0.88
;
a(500
)
t
t2

22
2
500

2
500 2*1000
3 1 ;
e
0.44
*10
2
час

1000
t
500
3 1 ;
(500
)

0.5*10
2
2
час
 1000
2
Tcp
e


 1000
1253
час
2
2
Для t 1000час
2
1000

2
P
(1000
)e 2*1000
e0.50.606
;
2
1000

2
10002*1000
3 1 ;
a(1000
)
e
0.606
*
10
2
час
Для t  2000час
1000
t 1000 3 1
(1000
) 
10
.
2
час
2 1000
2
2000

2
P
(1000
)e 2*1000
e20.1353
;
2
2000

2
20002*1000
3 1 ;
a(2000
)
e
0.27
*
10
2
час
1000
t
2000 3 1
(2000
) 
2*
10
.
2
час
2 1000
;
Из примера видно, что данные электровакуумные приборы имеют низкую
надежность и практически могут работать в течении времени t  500 час.
5. Задание на лабораторную работу
Лабораторная работа № 2
Критерии надежности восстанавливаемых изделий
1.
За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было
зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t1=12 мин, t2=23
мин, t3=15 мин, t4=9 мин, t5=17 мин, t6=28 мин, t7=25 мин, t8=31 мин.
Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.
2.
Средняя наработка на отказ аппаратуры составляет tcp=65 час и
среднее время восстановления tв=1,25 час. Требуется определить коэффициент
готовности.
3.
Пусть время работы элемента до отказа подчинено
экспоненциальному закону распределения времени с параметром =2,5*10-5
1/час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности
элемента P(t), a(t), Tcp, если t=500, 1000, 2000 час.
4.
В течение некоторого периода времени производилось наблюдение
за работой одного объекта. За весь период зарегистрировано n = 15 отказов. До
начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка
составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ tср.
5.
В течение времени Δt производилось наблюдение за
восстанавливаемым изделием и было зафиксировано n(Δt)=2 отказов. До начала
наблюдения изделие проработало в течение времени t1=1200 ч, общее время
наработки к концу наблюдения составило t2=5558 ч. Требуется найти
наработку на отказ.
6.
Производилось наблюдение за работой трех однотипных объектов.
За период наблюдения было зафиксировано по первому объекту 6 отказов, по
второму – 11 отказов, третьему – 8 отказов. Наработка первого объекта t1 = 181
ч, второго t2 = 329 ч, третьего t3 = 245 ч. Определить наработку объектов на
отказ.
7.
Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них
ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч
работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в
течение 210 ч работы отказали 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется
определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив
экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.
8.
Система состоит из 5 приборов, имеющих разную надежность.
Известно, что каждый из приборов, поработав вне системы в течении времени
t1=600 ч, имел ni=45 отказов. Для каждого из приборов справедлив
экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти наработку на отказ
всей системы.
Аппаратура имела среднюю наработку на отказ tcp = 65 ч и среднее
время восстановления tв = 1,25 ч. Требуется определить коэффициент
готовности Кг .
9.
10. Пусть время работы элемента до отказа подчинено
экспоненциальному закону λ = 2,5·10–5 ч –1 . Требуется определить
вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку
на отказ tср, если t = 500, 1000, 2000 ч.
11. Время безотказной работы гироскопического устройства с
шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла –
Гнеденко с параметрами k = 1,5, λо = 10–4 ч –1 , а время его работы t = 100 ч.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого
устройства.
12. Известно, что интенсивность отказов λ = 0,02 ч–1 , а среднее время
восстановления tВ = 10 ч. Требуется вычислить коэффициент готовности.
13. Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них
ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч
работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в
течение 210 ч работы отказали 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется
определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив
экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.
7.
Контрольные вопросы
1. Какие изделия называются восстанавливаемыми?
2. Что характеризует параметру потока отказов и по какой формуле он
определяется?
3. Что такое наработка на отказ и по какой формуле она определяется?
4. Что определяет коэффициент готовности и по какой формуле он
определяется?
5. Что определяет коэффициент вынужденного простоя и по какой формуле он
определяется?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ ПРИ ОСНОВНОМ
СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
1.
Цель работы
Научиться рассчитывать критерии надежности невосстанавливаемых
изделий при основном соединение элементов.
2.
Программное обеспечение, используемое в работе
При проведение занятий по дисциплине используются следующие
программные продукты:
5. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version.
6.
Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE.
3. Теоретические основы
Если отказ технического устройства наступает при отказе одного из его
элементов, то говорят, что такое устройство имеет основное соединение
элементов. При расчете надежности таких устройств предполагают, что отказ
элемента является событием случайным и независимым.
Тогда вероятность безотказной работы изделия в течение времени t
равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов в
течение того же времени. Так как вероятность безотказной работы элементов
в течение времени t можно выразить через интенсивность отказов в виде
t

 (t)dt
P(t)e 0
, то расчетные формулы для вероятности безотказной
работы технического устройства при основном соединении элементов можно
записать следующим образом:
N
P
pN(t)
pi (t),
c(t)p
1(t)p
2(t)...
i1

  t


exp
2(t)dt
...
P
(
t
)

exp


(
t
)
dt
c
1


 

 0
  0

t
(1)
 t

 Nt

N(t)dt
exp


...
exp

(
t
)
dt
i





i

1
0
0




Выражения (1) наиболее общие. Они позволяют определить вероятность
безотказной работы изделий до первого отказа при любом законе изменения
интенсивности отказов во времени.
На практике наиболее часто интенсивность отказов изделий является
величиной постоянной. При этом время возникновения отказов обычно
подчинено экспоненциальному закону распределения, т. е. для нормального
периода работы аппаратуры справедливо условие  = const.
В этом случае выражения для количественных характеристик примут
вид


t
c
P
(
t)
e

e
c
N
,


c
i,

t/T
cp
c
(2)
i
1
a
(
t)

e , T
1
/
.
c
c
cp
c
c


t
c
Если все элементы данного типа равнонадежны, интенсивность отказов
системы будет
r
c 
Nii ,
(3)
i1
где N i — число элементов t-го типа; r — число типов элементов.
На практике очень часто приходится вычислять вероятность безотказной
работы высоконадежных систем. При этом произведение сt значительно
меньше единицы, а вероятность безотказной работы P(t) близка к. единице. В
этом случае, разложив е-сt в ряд и ограничившись первыми двумя его
членами, с высокой степенью точности можно вычислить P(t).
Тогда основные количественные характеристики надежности можно с
достаточной
для
практики
приближенным формулам:
точностью
вычислить
по
следующим
r
P
t)
1

t
N
1


t,
c(
i
i
c
i
1
T
cr
1
r

N

c
i
i,
i
1
(4)

1
/
(t)

1


t).
c, a
c(
c
N


i
1
Вычисление
i i
количественных
характеристик
надежности
по
приближенным формулам не дает больших ошибок для систем, вероятность
безотказной работы которых превышает 0,9, т. е. для t  0,1 .
При расчете надежности систем часто приходится перемножать
вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их
в степень и извлекать корни. При значениях P(t), близких к единице, эти
вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнять по
следующим приближенным формулам:
N
p (t)p (t)...
p (t)1 qi(t),
1 2
N
i1
piN(t)1Nq
i(t),
(5)
Np (t) 1q(t)/N,
i
i
где qi(t) —.вероятность отказа i-го блока.
В зависимости от полноты учета факторов, влияющих на работу
изделия, различают прикидочный, ориентировочный и окончательный расчет
надежности.
4. Пример решения типовой задачи
В системах могут быть использованы только элементы, интенсивность
5
отказов которых равна 1 10
1
. Системы имеют число элементов 1  500
час
и 2  2500
. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа и
вероятность безотказной работы в конце первого часа Рс (1).
Решение:
Интенсивность отказов системы соответственно будет

5

2
1,


N

500
*
10

0
.
5
*
10
c
1
1
i
час

5
1.


N

2500
*
10

0
.
025
c
2
2
i
час
Тогда
2*1
Pc1 ec1t e0.5*10
0.995
;
Pc2 e0.025*1 0.975
;
1

200час
;
c1 0.5*102
1
1
Tcpc2 

40час
.
c2 0.025
Tcpc1 
1
5. Задание на лабораторную работу
Лабораторная работа № 3
Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых изделий при
основном соединение элементов
1. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов
которых
1

6


0
,32
*
10
.
ср
Необходимо
час
определить
вероятность
безотказной работы в течение t = 50 час.
2. Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризуется
вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна:
p
(
t
)

0
,
98
;
p
(
t
)

0
,
99
;
p
(
t
)

0
,
97
;
p
(
t
)

0
,
985
;
p
(
t
)

0
,
975
.
Требуется
1
2
3
4
5
определить вероятность безотказной работы системы.
3. Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа

160
час
,Т

320
час
,Т

600
час
.Для блоков справедлив
которых равна Т
1
2
3
экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднюю
наработку до первого отказа системы.
4. В системах могут быть использованы только элементы, интенсивность
5
отказов которых равна 1 10
1
. Системы имеют число элементов
час
1  600 и 2  2000
. Требуется определить среднюю наработку до первого
отказа и вероятность безотказной работы в конце первого часа Рс (1).
6.Контрольные вопросы
1. Какие изделия называются невосстанавливаемыми изделиями при основном
соединение элементов?
2. По какой формуле определяется вероятность безотказной работы?
6. Что называется частатой отказов и по какой формуле она определяется?
7. Что называется интенсивностью отказов и по какой формуле она
определяется?
8. Что называется средней наработкой до первого отказа и по какой формуле
она определяется?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ ИЗДЕЛИЙ
9.
Цель работы
Научиться рассчитывать критерии надежности невосстанавливаемых
резервированных изделий технических систем.
10.Программное обеспечение, используемое в работе
При проведение занятий по дисциплине используются следующие
программные продукты:
7. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version.
8.
Microsoft Office 2007 Russian OLP NL AE.
3. Теоретические основы
Зарезервированными соединениями называется такое соединение, при
котором отказ наступает только после отказа основного изделия и и всех
резервных изделий.
Схемные обозначения различных способов резервирования приведены
на рис.1.
1
2
n
1
0
0
1
.
m
1
.
.
m
а) общее постоянное с целой
кратностью
1 2
n
б) раздельное постоянное с целой кратностью
1
n
1
.
.
.
m
2
2
n
1
.
.
.
m
в) общее замещением с целой
кратностью
г) раздельное замещение с целой
кратностью
1
2
3
4
m=2/4
е) раздельное замещение с дробной кратностью
m=4/3
д) общее постоянное с дробной
кратностью
Рис. 1. Схемные обозначения различных способов резервирования
Общим резервированием называется метод повышения надежности,
при котором резервируются изделия в целом.
Раздельным
резервированием
называется
метод
повышения
надежности, при котором резервируются отдельные части изделия.
Основным параметром резервирования является его кратность. Под
кратностью резервирования m понимается отношение числа резервных
изделий к числу резервируемых (основных).
Различают резервирование с целой и дробной кратностью. Схемные
обозначения обоих видов резервирования при постоянном включении
резерва одинаковы. Для их различия на схеме указывается кратность
резервирования m.
При резервировании с целой кратностью величина m есть целое число,
при резервировании с дробной кратностью величина m есть дробное
несокращаемое число. Например, m=4/3 означает наличие резервирования с
дробной кратностью, при котором число резервных элементов равно
четырем, число основных – трем, а общее число элементов равно семи.
По способу включения резервирование разделяется на постоянное и
резервирование замещением. Постоянное резервирование - резервирование,
при котором резервные изделия подключены к основным в течение всего
времени работы и находятся в одинаковом с ними режиме. Резервирование
замещением – резервирование, при котором резервные изделия замещают
основные после их отказа.
При включение резерва по способу замещения резервные элементы до
момента включения в работу могут находиться в трех состояниях:
- нагруженном резерве;
- облегченном резерве;
- ненагруженном резерве.
Приведем основные расчетные формулы для указанных выше видов
резервирования.
1.
Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью (рис.1,а )
m

1
 n

P
(
t
)

1

1

p
t
)

c
i(

,
1
 i

(1)
где рi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента в течении времени t;
n – число элементов основной или любой резервной цепи; m – число
резервных цепей (кратность резервирования).
При экспоненциальном законе надежности, когда рi(е) = e   t ,
i


tm
1
0
P
(
t)
1

[
1

e
]
,
c



(



)
*
t

(



)
*
t
1
2
1
2
а
(
t
)

2
*
(

)
*
e
[
1

e
];
с
1
2
m
(2)
m
1 1
1
T


T
,

cp
c
cp
0
i

1 i
i

1
i

0
0
0

n
где 0  i интенсивность отказов нерезервированной системы или любой
i1
из m резервных систем; Tcp 0 - среднее время безотказной работы
нерезервированной системы или любой из m резервных систем.
При резервировании неравнонадежных изделий
m
m
P
(
t
)

1

q
(
t
)

1

[
1

p
(
t
)]
,


c
i
i
i

0
(3)
i

0
где qi(t), pi(t) – вероятность отказов и вероятность безотказной работы в
течение времени t i-го изделия соответственно.
2. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью (рис.1,б ):
n
m

1
i
P
(
t
)

{
1

[
1

p
t
)]
},

c
i(
(4)
i

1
где рi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента; mi – кратность
резервирования i-го элемента; n – число элементов основной системы.
При экспоненциальном законе надежности, когда pi (t) et
i
n


tm
1
i
P
(
t
)

{
1

[
1

e
]i
}.

c
(5)
i

1
При равнонадежных
резервирования
элементах
и
одинаковой
кратности


tm
1
}
P
(
t
)
{
1

[
1

e
]
,
c
n

 

m
(
n

1
)!
1
T

P
(
t
)
dt

,

cp
c
c
(
m

1
)
(

1
)...(

n

1
)
i

0
i
i
i
0
(i
1
)/(
m

1
).
где 
i
их
(6)
(7)











(

)
*
t

(

)
*
t

t

t
1
2
1
2
1
2
а
(
t
)

2
*
e
[(

)(
2
*
e
)

(
2

)
*
e

(

2
)
*
e
]
c
1
2
1
2
1
2
3.
Общее резервирование замещением с целой кратностью (рис.1,в )
t
 
P
(
t
)

P
(
t
)

P
(
t

)
a
(
)
d
,
m

1
m
m

0
(8)
где Pm1(t),Pm(t) - вероятности безотказной работы резервированной системы
кратности m+1 и m соответственно; P(t   ) - вероятность безотказной работы
основной системы в течение времени (t   ) ; a m ( ) - частота отказов
резервированной системы кратности m в момент времени  .
Рекуррентная формула (8) позволяет получить расчетные соотношения
для устройств любой кратности резервирования. Для получения таких
формул необходимо выполнять интегрирование в правой части, подставив
вместо; P(t   ) и a m ( ) их значения в соответствии с выбранным законом
распределения и состоянием резерва.
При экспоненциальном законе надежности и ненагруженном состоянии
резерва
(

t)i
0
P
t)
e  ,
c(
!
i
0 i
T
T
m

1
),
cp
c
cp
0(


t
0
m
(9)
(10)
где 0 , Tcp 0 - интенсивность отказов и средняя наработка до первого отказа
основного (нерезервированного) устройства.
При экспоненциальном законе и недогруженном состоянии резерва
i

1


a
m



t


ti
i
0
i
P
(
t
)

e
1

(
1

e
)
,

c


i
!
1
 i

1m 1
T
cp
c  ,


ik
01
0i
(11)
(12)


0
1
(
j

)
;k

;

i
1- интенсивность отказов резервного устройства
где a
j

0
1
0
до замещения.
При нагруженном состоянии резерва фурмулы для Pc (t ) и Tcp
совпадают с (2).
4. Раздельное резервирование замещением с целой кратностью (рис.1,г )
c
n
P
t)
p
t),
c(
i(
i
1
(13)
где pi (t ) - вероятность безотказной работы системы из-за отказов элементов
i-го типа, резервированных по способу замещения. Вычисляется Pi (t ) по
формулам общего резервирования замещением [формулы (8), (9), (11)].
5. Общее резервирование с дробной кратностью и постоянно включенным резервом
(рис.1,д )
l

h
i
il

i
j l j
P
(
t
)

C
(
t
)(

1
)
C
(
t
)
,

c
lp
ip
0
i

0
j

0
1lh 1
T

,

cp
c

h

i
i

0
0
(14)
(15)
где р0(t) – вероятность безотказной работы основного или любого резервного
элемента; l – общее число основных и резервных систем; h – число систем,
необходимых для нормальной работы резервированной системы.
В данном случае кратность резервирования
m(lh)/h.
(16)
6. Скользящее резервирование:
t
Pc (t)  p (t) np (t)a()p(t )d 
n1
n
0
t


n2 p1(t)a()a(1)p(t  I )d1d ...
0
0

t
t

t

n p a()a(1) a(2)...

0
0
0
m0
n1
I
t
(17)
t 0


... a(m01 )p(t  m01)dm 1 ...d1d,
0

 0
m

1
I
II
0


;



...;



...

;
n
- число
1
1
2
1
m

1
0

(m 2)






где
элементов
основной системы; m0 – число резервных элементов; p(t - ti) – вероятность
безотказной работы одного элемента в течение времени t – ti;
m

1
t
t
,t

,t

;a
(

i
i) - частота отказов одного из основных элементов в
момент времени  i ,
0
i ,1,...,
m1.
0
При экспоненциальном законе надежности
0
(n

t)2
(n

t)m
P
(
t
)

e
[
1

n

t


...

]
c
2
!
m
!
0

n

t
m
m
0
0
(
t)i
(n

t)i


t

n

t
0
0

e

e
;


i!
!
i
0
i
0 i
T
T
m
1
),
cp
c
cp
0(
0
(18)
где 0  n - интенсивность отказов нерезервированной системы;
интенсивность отказов элемента; n – число элементов основной системы;
Tcp 0 - среднее время безотказной работы нерезервированной системы; m0 –
число резервных элементов.
В этом случае кратность резервирования
m m0 / n.
(19)
Приведенные выше формулы [кроме выражения (8), (11), (12)] могут
быть использованы только в тех случаях, когда вправедливо допущение об
отсутствии последствия отказов.
Выражение (8) является основным при получении расчетных формул в
случае учета влияния последствия отказов. При этом члены p(t   ) и a m ( )
должны быть записаны с учетом последствия отказов, вида резервирования и
его кратности.
Элементы резервированных устройств в ряде случаев могут иметь два
вида отказов – “обрыв” и “короткое замыкание”. В этом случае вычислять
вероятность безотказной работы следует, суммируя вероятности всех
благоприятных (не приводящих к отказу) гипотез, т.е.
k
P
t)
pj(t),
c(
j
1
(20)
где p j (t ) - вероятность j-й благоприятные гипотезы, вычисленной с учетом
двух видов отказов; k – число благоприятных гипотез.
При вычислениях рj(t) следует иметь в виду, что для элементов
сложной системы справедливы выражения
 
t

p
(
t
)

exp

(
t
)
dt
,0


1
,
(21)


3

0


где  (t ) - интенсивность отказа элемента;  0 , 3 - веротность возникновения
“обрыва” и “короткого замыкания” соответственно.
При экспоненциальном законе надежности


t
p
(
t
)

e
, 3 , 0 ,
 


 


3
0
0 3
(22)
0 3
где 0 , 3 - интенсивность отказов элемента по “обрыву” и “короткому
замыканию” соответственно.
Расчет надежности резервированных систем иногда полезно
выполнять, используя схему “гибели” (“чистого размножения”). В
соответствии с этой схемой преобразование Лапласа вероятности
возникновения n отказов вычисляется по формуле



  
...
0
1
2
n

1
P
(
s
)

.
n
(
s

)(
s

)...(
s

)
0
1
n
(23)
При неравных корнях знаменателя обратное преобразование Лапласа
Pn(s) будет
s
t
k
e
P
(
t
)



...

.

n
0
1
n

1
B
'(
s
)
k

0
k
n
(24)
В формулах (23) и (24) приняты обозначения: 0 - интенсивность
отказов системы до выхода из строя первого элемента; 1 - интенсивность
отказов системы в промежутке времени от момента отказа первого элемента
до второго; 2 - интенсивность отказов системы в промежутке времени от
момента отказа второго элемента до третьего и т.д.; n – число отказавших
k kй корень знаменателя выражения (23); B' ( s k ) элементов; sk 
производная знаменателя в точке s k .

...

При одинаковых опасностях отказов i , т.е. 
0
1
n, расчетные
формулы имеют вид
n
n
(
t
)


t
0
0
P
(
s
)

,
P
(
t
)

e
.
(25)
n
n

1

(
s


)
0

n
0
n
!
При расчетах надежности по формула (23) – (25) следует помнить, что
они не определяют вероятности безотказной работы (или вероятности отказа)
резервированной системы, т.е. вероятности того, что в системе откажут n
элементов. Для вычисления вероятности безотказной работы необходимо
находить вероятности 0, 1, …, n отказов, когда система еще находится в
работоспособном состоянии (исправна), и суммировать полученные
вероятности.
Среднее время безотказной работы системы при использовании схемы
“гибели” вычисляется по формуле
n1
1
Tcpc  ,
(26)
i
Наиболее часто используются следующие критерии качества
резервированных устройств: Gq (t ) - выигрыш надежности в течении времени
t по вероятности отказов; G p (t ) - выигрыш надежности в течении времени t
по вероятности безотказной работы; GT - выигрыш надежности по среднему
времени безотказной работы.
При резервировании элементов электроники (резисторов, конденсатор,
контактов реле, диодов и т.п.) всегда произведение интенсивности отказов
элемента на время его работы значительно меньше единицы, т.е. t  1 .
Поэтому при вычислении Gq (t ) и G p (t ) целесообразно функции вида e  kt
(экспоненциальный случай) разложив в ряд:
2
2
2
k
t

k

t
e

1

k
t
 (
при
небольши
k
)
i0

2
!
Если система исправна при отказе m элементов, то необходимо брать
не менее чем m+2 членов разложения.
4. Пример решения типовой задачи
Интенсивность
отказов
элементов
имеют
следующие
значения:
часчас. Необходимо определить вероятность
безотказной работы изделия в течение времени t=100 час, среднюю
наработку до первого отказа, частоту отказов и интенсивность отказов в
момент времени t=100 час.
Решение:
Pc(t) 1[1e(12)*t]2;
3
3
Pc (100
)1[1e(0.3*10 0.7*10 )*100]2 0.99;
n
1 m 1
Tcpc   ; 0 i
i1
0 i0 i1
1 1 1
1
1 1
Tcpc  

*  1500час
;

3

3
0 i0 i1 0.3*10 0.7*10 1 2
ac (t)2(1 2)e(12)*t [1e
(12)*t
];
30.7*103)*100
ac (100
)2(0.3*103 0.7*103)e(0.3*10
(0.3*1030.7*103)*100
]1.8*104 1 ;
час
a(100
)
c(100
)
a(100
)1.8*104 1 .
час
P(100
)
*[1e
где m – кратность резервирования (m=1).
*
5. Задание на лабораторную работу
Лабораторная работа № 4
Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых изделий при
основном соединение элементов
1. Предполагается, что последствие отказов отсутствует и все элементы
расчета равнонадежны. Интенсивность отказов элемента 1/час.
Требуется определить наработку до первого отказа резервированного
устройства. (В данном случае имеется место раздельное резервирование
равнонадежных устройств с постоянно включенном резервом.)
2. Система имеет кратность общего резервирования m = 5. Основная
нерезирвированная система содержит четыре равнонадежных элемента с
логически последовательным соединением. Интенсивность отказов одного
элемента λ = 0,210-3 . Определить характеристики надежности системы за
1000 ч.
3. Определить характеристики надежности системы при кратности
раздельного резервирования каждого элемента m = 4. Интенсивность
отказов одного элемента λ = 0,710-3 . Определить характеристики
надежности системы за 500 ч.
4. Система имеет кратность общего резервирования замещением m = 5.
Основная нерезервированная система содержит четыре равнонадежных
элемента с логически последовательным соединением. Интенсивность
отказов одного элемента λ = 0,210-3 . Определить характеристики
надежности системы за 1000 ч.
5. Интенсивность отказов элементов имеют следующие значения:
часчас,
час.
Необходимо
определить вероятность безотказной работы изделия в течение времени t=200
час, среднюю наработку до первого отказа, частоту отказов и интенсивность
отказов в момент времени t=200 час.
6. Средняя наработка до первого отказа схемы рис. 2 Тср с=1000 час и Т1=2Т2.
Необходимо найти вероятность безотказной работы схемы в течение 100 час.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
Определение вида и параметров закона распределения времени исправной
работы (времени до отказа)
1. Цель работы
Научиться определять вид и параметры закона распределения времени
исправной работы изделий.
2. Программное обеспечение, используемое в работе
При проведение занятий по дисциплине используются следующие
программные продукты:
9. Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version.
10. Microsoft
Office 2007 Russian OLP NL AE.
3. Теоретические основы
Определение вида параметров закона распределения времени
исправной работы. Экспоненциальное распределение
Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов
элементов и систем. Плотность вероятности экспоненциального распределения
задается уравнением
f (t) et ,
(1)
где  — интенсивность отказов есть величина, обратная средней наработке до
отказа   1/ Т .
Оценки параметра  экспоненциального распределения могут быть
получены по формулам, соответствующим планам испытаний, приведенным в
табл. 1. Во
втором столбце этой
таблицы
располагаются
условные
трехбуквенные обозначения планов, которые расшифровываются следующим
образом:
 первая бука п означает объем выборки, подверженной испытаниям;
 второй буквой Б или В обозначены планы без восстановления выборки
или с восстановлением ее соответственно;
 третья буква (п, или t0 пли d) в условном обозначении плана указывает на
признак окончания испытания. Планы, предусматривающие испытания
до отказа всех испытываемых элементов выборки, обозначены, буквой п;
планы с окончанием испытаний через заданное время обозначены буквой
t0; буквой d обозначены планы с окончанием испытаний после появления
установленного числа d отказов.
Таким образом, символом [п, В, t0], например, обозначен план с
восстановлением выборки объема п и окончанием испытаний по истечении
времени t0. Символ [п, Б, d] относится к плану без восстановления выборки с
окончанием испытаний после d отказов. Кроме указанных выше символов в
таблице приняты также следующие обозначения:
t d - время от начала испытаний до d-го отказа;
t  - суммарная наработка.
Формулы, содержащиеся в табл. 1, удобно обозначать двузначными
числами, у которых первая цифра — номер строки (план), а вторая — номер
столбца. Например, в таблице формула, обозначенная номером (14),
записывается в виде   n/ t .
Таблица 1
Планы испытаний для случая экспоненциального распределения (оценка параметра )
Номер
плана
План
испытани
й
Суммарная наработка
1
1
2
[nБn]
3
t
i 1
2
3
4
6
i
Нижняя граница
Н
Верхняя граница
В

5
6
n
t
 (1
2n)
1)(
 (2)(2n)
2t
2t
2
2
d 0
t (nd)t

d
t
 (1
2d)
1)(
 (2)(2d)
2t
2t
[nБt0]
nt0
–
0
r0
t
ti (nd)td

d 1
t
2(1
2d)
1)(
2(2)(2d)
2t
2t
d
t
2(1
2d)
1)(
2(
2
d2
)
2)(
2t
2t
d 1
t
2(1
2d)
1)(
2(2)(2d)
2t
2t
[nБt0]
d
i
1
d 0
[nБd]
i
0
d
i
1
5
отказов
4
n
t
Оценка
интенсивности
[nB t0]
[nBd]
nt0
ntd
2
2
Для определения доверительных границ , при d  0 необходимо
пользоваться таблицей квантилей хи-квадрат распределения (табл. П.7.1), в
2) и число степеней
которой параметрами являются вероятность Р(1
1 или
свободы  , равное 2n, 2d или 2d+2, в зависимости от плана.
Для определения в при d=0 в плане [п, Б, t] нужно определить
коэффициент r0 по табл. П.7.8.
Учитывая, что при экспоненциальном распределении
P(t)  et , а T  1/  ,
получим:
P
t)eвt et/Tн,
н(
P
t)eнt et/Tв ,
в(
(2)
T
1/
1/
н
в, T
в
н.
Для этих целей можно воспользоваться и непосредственно табл. 1.
В том случае, когда число степеней свободы  (2п в планах [п, Б, п] или
2d в других планах) более 100, формулы для определения доверительных
границ, приведенные в табл. 1, не могут быть реализованы ввиду
ограниченности табл. П.7.1. При таких объемах испытаний выборочная оценка
средней наработки на отказ распределена нормально и поэтому могут быть
использованы формулы для границ Т при нормальном распределении времени
безотказной работы, в соответствии с которыми
T
T

t
/n
.
в
,н

(
n

1
)S
(3)
Получение значения S при этом может оказаться затруднительным и в
ряде случаев невозможным. Тогда следует воспользоваться свойством
экспоненциального распределения, у которого   T , а следовательно, S  T .
При планировании объема испытаний для случая экспоненциального
закона распределения времени безотказной работы необходимо определить,
сколько экземпляров и сколько времени нужно испытывать, чтобы получить из
опыта интенсивность отказов с ошибкой, не превосходящей заданную. Если
заданная предельная ошибка выражена в процентах и равна , то можно
записать



1 

100
н
(4)
Тогда для плана [n, Б, п] имеем
2

2
n
/
r
.
(
1

)(
2
n
)
1
1
(5)
Это соотношение при заданных  и  1 позволяет определить объем
испытаний п с помощью табл. П.7.1. Для удобства решения этой задачи
составлена табл. П.7.2 для значений r1   , в которой входами являются d=n и
   1 . Табл. П.7.2, очевидно, может быть использована для определения п в
планах [n, Б, п].
При планах [п, Б, t0] объем испытаний определяется величинами п и t0.
При испытаниях регистрируется число отказов d. Очевидно, что между d и t0
существует неявная связь. Поэтому по величине   R1 , пользуясь табл. П.7.3,
составленной для вероятности =0,95, находим d. Затем по числу d и заданному
значению доверительной вероятности определения объема испытаний  0 с
помощью табл. П. 7.4 находим коэффициент r3 и по формуле получаем
примерный объем испытаний
nt0 dr
3 /
0,
(6)
где 0 - ожидаемое значение . Если п или t0 задается заранее, то из
произведения nt0 легко определить искомое.
Для планов [п, Б, d] объем испытаний определяется значениями п и d.
Число отказов d можно определить по табл. П.7.2, исходя из заданного   r1 и
доверительной вероятности  1 . Величина п влияет только на длительность
испытаний: чем больше n, тем скорее будет достигнуто число отказов d и,
следовательно, время испытаний будет меньшим.
В случае планов типа [n, В, t0] испытанию подлежат п объектов в течение
времени t0. Время t0 косвенно связано с числом отказов d при испытаниях,
которое определим по табл. П.7.2 для заданных  и  1 . Для того чтобы по
числу d найти необходимые п и t0 с вероятностью  0 , воспользуемся
вспомогательным коэффициентом
известным d и  0 .
r3 ,
определяемым из табл. П.7.4 по
Наконец, установив предполагаемое значение  0 , находим по формуле (6)
произведение nt0.
Для планов типа [п, В, d] объем испытаний определяется величинами n и
d, которые находятся так же, как и в случае планов типа [п, Б, d].
4. Задание на лабораторную работу
Лабораторная работа № 5
Определение вида и параметров закона распределения времени исправной
работы (времени до отказа). Экспоненциальный закон
1.
План [n, Б, n]. При испытании n=10 устройств до выхода их из строя
получены следующие значения наработки в часах: t1=30, t2=35, t3=50, t4=85,
t5=100, t6=150, t7=250, t8=300, t9=400, t10=600.
Требуется определить:
 Оценку  интенсивности отказов  .
 Верхнюю доверительную границу в с доверительной вероятностью 2  0.9 .

0
.
9и



0
.
05
 Двусторонний доверительный интервал для  при 
.
1
2
 Оценку средней наработки до отказа T
и его нижнюю границу с
вероятностью 0,9.
2.
План [n, Б, t0]. За время испытаний по плану [n=50, Б=, t0=500 час] отказало
d=6 устройств, причем отказавшие устройства проработали до выхода из строя
соответственно 50, 150, 200, 300, 350, 450 час. Требуется определить оценку  и
двусторонний доверительный интервал для   0.8 при 1 2 0.1.
3.
План [n, Б, d]. При испытаний по плану [n=50, Б=, d=6] получены
следующие значения наработки отказавших устройств: 50, 150, 200, 300, 350,
450 час. Отказавшие устройства не восстанавливаются. Требуется определить
оценку  и доверительный интервал для   0.9 при 1 2 0.05
.
4.
План [n, Б, t0]. При испытаниях n=100 устройств в течение времени t0=100
час зарегистрировано 5 отказов. Отказавшие устройства мгновенно заменяются
исправными. Требуется определить оценку интенсивности отказов, верхнюю
доверительную границу  с вероятностью 0,99 и доверительный интервал для 
1 2 0.05
  0.9
с
при
.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
Определение вида и параметров закона распределения времени исправной
работы (времени до отказа). Усеченное нормальное распределение
1. Цель работы
Научиться определять вид и параметры закона распределения времени
исправной работы изделий.
11.Программное обеспечение, используемое в работе
При проведение занятий по дисциплине используются следующие
программные продукты:
11.
Windows XP Professional, SP2 MSDN Volume License Version.
12. Microsoft
Office 2007 Russian OLP NL AE.
3. Теоретические основы
Определение вида параметров закона распределения времени
исправной работы. Усеченное нормальное распределение
Нормальный закон распределения наиболее часто используется для
оценки надежности изделий при наличии постепенных отказов. Плотность
вероятности нормального распределения задается уравнением
2

1 (
t

T
)
f
(
t
)

exp

,

2
2  2 


где Т — средняя наработка до отказа; 
(1)
— среднее квадратическое
(стандартное) отклонение времени безотказной работы.
Так как при нормальном распределении случайная величина может
принимать любые значения от   до   , а время безотказной работы может
быть только положительным, нужно рассматривать усеченное нормальное
распределение с плотностью
2
(

с
t

T
)
f
(
t
)

exp
 2

2  2 


(2)
где с—нормирующий множитель.
Нормирующий
множитель
с
определяется
из
выражения

с f (t)dt1
(3)
0
и равен

T
T

 


1
1
c

1
/
F

1
/
0
,
5






,
0


 




(4)
T
/
где
2
T

 11 
1
F
 
ex/2
dx
табулированная
 



 2
интегральная
функция
T
/
2
T

 11 
x
/2
1
 
e
dx


нормального распределения; 
— нормированная функция
0



2
Лапласа.
Средняя наработка до отказа и параметр T1 усеченного нормального
распределения связаны зависимостью
T

T
1
При
 e

T/2

T


2

F
1



2
1
2
(5)
T /   2 , что имеет место в абсолютном большинстве случаев при
оценке надежности устройств с нормально распределенными отказами,
коэффициент с мало отличается от единицы и усеченное нормальное
распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным
законом.
При испытании выборки объемом в п изделий с наработкой t1, t2, , tn
параметры распределения T и  оцениваются по формулам
 n 
 ti 
,
T   i1 
n
(6)
1


S

(
t
T
)

n
(7)
2
n

1
i

1
i
С целью экономии времени и уменьшения ошибок при подсчетах S, когда
п велико, t i — большие или нецелые числа, следует использовать тождество
2
n
1


(
t
T
)
t
t




i
i
n
i

1
i

1

n
n
2
2
i
i

1
(8)
Доверительные границы Т определяются по уравнениям:
T
T
t
н
(n

1
)
1
S
T
T
t2(n
в
1
)
S
- нижняя граница,
(9)
- верхняя граница,
(10)
n
n
где t ( n 1) - квантиль распределения Стьюдента для вероятности  или уровня
значимости  1 и числа степеней свободы
f  n 1; величина
t ( n 1)
находится по табл. П.7.5.
В случае двустороннего определения доверительных границ
.


(
1


)/2
1
2
Доверительные границы о определяются с помощью формулы
2
2
(
n

1
)
S
n

1
)
S
2 (



,
2
2

(
1

/
2
)(
n

1
)


(11)
(/
2
)(
n

1
)
2
где (1 / 2)(n1) — квантиль хи-квадрат распределения при вероятности p1/2
2
и числе степеней свободы   n 1; ( / 2)(n1) — то же для вероятности p   / 2 .
2
Значения  ( p )( ) находятся по табл. П.7.1.
4. Задание на лабораторную работу
Лабораторная работа № 6
Определение вида и параметров закона распределения времени
исправной работы (времени до отказа). Усеченное нормальное
распределение
1. При испытании десяти элементов, отказы которых распределены
нормально, получены следующие значения времени безотказной работы
в часах: t1=150, t2=100, t3= 70, t4=200, t5=100, t6=100, t7=150, t8=200, t9=80,
t10=150. Требуется оценить Т и  и определить для них двусторонние
доверительные интервалы с вероятностью =0,9.
2. В результате испытаний 15 элементов были получены следующие
значения наработки в часах: 10,2; 12,3; 17,1; 18,4; 20,3; 22,7; 23,1; 25,5;
26,4; 28,9; 30,3; 32,5; 33,3; 38,1; 41,0. Требуется определить оценку
средней наработки до отказа ( T ) и дисперсию (  2 ), а также нижнюю
границу Т и верхнюю границу  с вероятностью  0.95.
3. При испытании двенадцати элементов, отказы которых распределены
нормально, получены следующие значения времени безотказной работы
в часах: t1=150, t2=100, t3= 70, t4=200, t5=100, t6=100, t7=150, t8=200, t9=80,
t10=150, t11=120, t12=160. Требуется оценить Т и  и определить для них
двусторонние доверительные интервалы с вероятностью =0,8.
4. В результате испытаний 20 элементов были получены следующие
значения наработки в часах: 11,2; 12,3; 17,1; 16,8; 20,3; 25,7; 23,1; 35,8;
26,4; 28,9; 30,3; 32,5; 33,3; 38,1; 41,0; 22,8; 35,8; 20,4; 17,5; 10,5. Требуется
определить оценку средней наработки до отказа ( T ) и дисперсию (  2 ), а
также нижнюю границу Т и верхнюю границу  с вероятностью 
 0,9.
Рекомендуемая литература
5.1. Основная литература.
1. Заботина, Н. Н. Проектирование информационных систем [Текст] :
учеб. пособие рек. УМО / Н. Н. Заботина. - М. : ИНФРА-М, 2013. - 330 с.
2. Орлов, С. А.Технологии разработки программного обеспечения.
Современный курс по программной инженерии [Текст] : учебник доп. МО
РФ / С. А. Орлов, Б. Я. Цилькер. - 4-е изд. - СПб. : Питер, 2012. - 608 с.
5.2. Дополнительная литература.
1.
Черкесов,
Геннадий
Николаевич.
Надежность аппаратно-программных комплексов [Текст] : учеб. пособие
для вузов рек. МО / Черкесов, Геннадий Николаевич. - СПб. : Питер, 2005. 478 с. : ил. - 40 экз. - ISBN 5-469-00102-4.
5.3. Методические разработки кафедры.
1.
Надежность аппаратных и программных средств вычислительных
систем [Текст] : учеб. пособие для вузов рек. УМО / С. В. Краснов, Т. И.
Китанина. - Тольятти : ВУиТ, 2005. - 69 с. - 91 экз.
2. Методические указания для выполнения расчетно-графической
работы по дисциплине"Надежность информационных систем" [Текст] /
Маркова, Татьяна Ивановна. - Тольятти : ВУиТ, 2005. - 39 с. : ил. - 251 экз. 4-47.
5.4. Ресурсы информационно-коммуникационной сети «Интернет».
Адрес Интернет ресурса
Название Интернет
ресурса
Режим доступа
Интернет – университет
http://intuit.ru/
информационных
технологий
Свободный
Свободная
общедоступная
http://ru.wikipedia.org/
мультиязычная
универсальная
Свободный
интернет-энциклопедия
Сайт журнала
«Вестник
http://vkit.ru//
компьютерных и
информационных
технологий»
Свободный
Приложение 1
Таблица 1
Основные отношения для количественных характеристик надежности при различных
законах распределения времени до отказа
Наименова
Частота отказов
Вероятность
Интенсивность
Средняя
ние закона
(плотность
безотказной работы
наработка
отказов (t)
распределе распределения) а(t)
Р(t)
до
ния
первого
отказа Тср
Экспоненц
 t
 const
иальный
1
e  t
e
Релея
t
e
2

Гамма (при
k целом)
Вейбулла
Усеченный
нормальны
й
Логарифми
ческий –
нормальны
й
0
t2

2 2
e
(0t )k1 0t
e
(k1)!
r 1  0 t k
0 kt
e
1
T 
F 1  2
 
1
t 2
(tT)2

3
e 2
1 lnt 2
 (
)
e 2 

t
2

0 ( 0i )k 1
k 1 (  t )i
( k 1)!  0
i 0 i!
k
t2

2 2
k 1 (0t )i


t
0
e

i 0 i!
e
 0 t k
0 kt
T t
F( 1 )


T
F( 1 )

  ln t
1
 (
)
2

e
2

0
k 1
1 
Г  1 
k 
1
 0k
( t T1 )2
2 2
T1
T t
2 F ( 1 )

1 lnt 2
 (
)
1
e 2 

t 2 0.5( lnt )


T
2F( 1)

T2
1
2
e 2
(l


1
e
 2 0
Таблица 2 - Значения функции F0(x)
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,99
0,93
0,93
0,93
0,93
0,93
0,93
0,93
0,94
0,94
0,94
0,94
0,94
0,94
0,95
0,95
0,95
0,95
0,97
0,97
0,97
0,97
0,97
0,97
0,97
0,97
0,97
0,98
0,98
0,98
0,98
0
5000
5393
5793
6179
6551
6915
7257
7581
7881
8159
8413
8643
8849
0320
1924
3319
4520
5543
6407
7128
7725
8214
8610
9828
1802
3790
5339
6533
7445
8134
8650
0324
3129
5166
6631
7674
8409
8922
2765
5190
6833
7934
8665
1460
4588
660278
88
8699
2067
5208
7134
8302
004
421
667
810
893
40
67
82
90
1
5040
5438
5832
6217
6594
6950
7291
7611
7910
8186
8438
8665
8869
0490
2073
3448
4630
5637
6485
7193
7778
8257
8645
8953
2024
3963
5473
6636
7523
8193
8694
0646
3363
5335
6752
7760
8469
8964
3052
5385
6964
8022
8723
1837
4832
6759
7987
8764
2454
5446
7278
8389
056
452
685
821
899
44
60
83
-
2
5080
5478
5871
6255
6628
6985
7324
7642
7939
8238
8461
8686
8888
0658
2220
3574
4738
5728
6562
7257
7831
8300
8679
8983
2240
4132
5603
6736
7599
8250
8736
0957
3590
5499
6869
7842
8527
9004
3327
5573
7090
8106
8778
2198
5065
6908
8081
8821
2882
5673
7416
7472
105
481
702
831
906
47
71
84
-
3
5120
5517
5910
6293
6664
7019
7357
7673
7967
8212
8485
8708
8907
0824
2364
3699
4855
5818
6637
7320
7882
8341
8713
9010
2451
4297
5731
6833
7673
8305
8777
1260
3810
5658
6982
7922
8583
9043
3593
5753
7211
8180
8832
2544
5288
7051
8172
8777
3173
5888
7548
8551
152
509
718
840
910
50
72
85
-
4
5160
5557
5948
6331
6700
7054
7389
7704
7995
8264
8508
8729
8925
0988
2507
3822
4950
5907
6712
7381
7932
8382
8745
9036
2656
4457
5855
6928
7744
8359
8817
1553
4022
5811
7091
7999
863790
80
3848
5926
7327
8264
8882
2876
5502
7187
8258
8931
3508
6094
7672
8626
197
539
734
849
915
53
74
86
-
5
5199
5596
5987
6368
6736
7088
7422
7734
8023
8389
8531
8749
8944
1149
2647
3943
5053
5994
6784
7441
7982
8422
8778
9061
2857
4614
5975
7020
7814
8411
8856
1836
4230
5959
7197
8074
8689
9116
4094
6092
7439
8338
8931
3193
5706
7318
8340
8983
3827
6289
7791
8698
240
560
748
857
920
55
75
87
-
6
5239
6536
6026
6406
6772
7123
7454
7764
8051
8315
8554
8770
8962
1308
2785
4062
5154
6080
6856
7500
8030
8461
8809
9086
3053
4766
6093
7110
7882
8462
8893
2112
4429
6301
7299
8146
8739
9150
4331
6252
7576
8409
8978
3497
5902
7442
8419
9032
4131
6475
7904
8765
280
584
762
865
924
58
77
87
-
7
5279
5675
6064
6443
6808
7157
7486
7794
8078
8340
8577
8790
8980
1466
2922
4179
5254
6164
6926
7588
8077
8500
8840
9111
3244
4915
6207
7197
7948
8511
8930
2378
4623
6242
7398
8215
8787
9184
4558
6406
7649
8477
9023
3788
6089
7561
8494
9079
4420
6652
8011
8830
318
606
775
873
929
60
78
88
-
8
5319
5714
6103
6480
6844
7190
7517
7823
8106
8365
8599
8810
8997
1621
3056
4295
5352
6246
6995
7615
8124
8537
8870
9134
3431
5060
6319
7282
8012
8559
8965
2636
4810
6376
7493
8282
8834
9216
4777
6554
7748
8542
9066
4066
6268
7675
8566
9124
4696
6821
8113
8891
354
628
787
880
933
63
79
89
-
9
5359
5753
6141
6517
6879
7224
7549
7852
8133
8389
8621
8830
9015
1774
3185
4408
5449
6329
7062
7670
8169
8574
8899
9158
3613
5201
6427
7365
8074
8605
8999
2886
4991
6505
7585
8347
8879
9247
4988
6696
7843
8606
9107
4332
6439
7784
8634
9166
4958
6981
8210
8949
388
648
799
886
936
65
81
90
-
Таблица 3 - Значения функции  ( х) 
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,
4,
5,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,03
0,05
0
3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
9405
7895
6562
5399
4398
3547
2833
2239
1753
1358
1042
7915
5952
4432
4432
1338
1487
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
9246
7754
6438
5292
4307
3470
2768
2186
1709
1324
1014
7696
5782
4301
3267
0893
0897
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
9089
7614
6316
5186
4217
3394
2705
2134
1667
1289
0987
7483
5716
4173
2384
0589
0536
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
8933
7477
6195
5082
4128
3319
2643
2083
1625
1256
0961
7274
5454
4049
1723
0385
0317
1 х
е
2
2
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
3083
1849
1626
1415
1219
1040
8780
7341
6077
4980
4041
3246
2582
2030
1585
1223
0935
7071
5296
3928
1232
0249
0186
/2
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3111
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
8628
7206
5959
4879
3955
3174
2522
1984
1545
1191
0909
6873
5143
3810
0873
0160
0108
6
3982
3939
3857
3739
3585
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
8478
7074
5844
4780
3871
3103
2463
1936
1506
1160
0885
6679
4993
3695
0612
0101
0062
7
3980
3932
3847
3725
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
8329
6943
5730
4682
3788
3034
2406
1888
1468
1130
0861
6491
4847
3584
0425
0064
0035
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
8183
6814
5618
4586
3706
2965
2349
1842
1431
1100
0837
6307
4705
3475
0292
0040
0020
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
8038
6687
5508
4491
3626
2898
2294
1797
1394
1071
0814
6127
4567
3370
0199
0024
0011
Таблица 4 - Значения гамма-функции
х
1,00
1
2
3
4
1,05
6
7
8
9
1,10
1
2
3
4
1,15
6
7
8
9
1,20
1
2
3
4
Г(х)
1,00000
0,99433
0,98884
0,98355
0,97844
0,97350
0,96874
0,96415
0,95973
0,95546
0,95135
0,94740
0,94359
0,93993
0,93642
0,93304
0,92980
0,92670
0,92373
0,02089
0,91817
0,91558
0,91311
0,91075
0,90852
х
1,25
6
7
8
9
1,30
1
2
3
4
1,35
6
7
8
9
1,40
1
2
3
4
1,45
6
7
8
9
Г(х)
0,90640
0,90440
0,90250
0,90072
0,89904
0,89747
0,89600
0,89464
0,89338
0,89222
0,89115
0,89018
0,88931
0,88854
0,88785
0,88726
0,88626
0,88636
0,88604
0,88581
0,88566
0,88560
0,88503
0,88575
0,88595
х
1,50
1
2
3
4
1,55
6
7
8
9
1,60
1
2
3
4
1,65
6
7
8
9
1,70
1
2
3
4
Г(х)
0,88623
0,88659
0,88704
0,88757
0,88818
0,88887
0,88964
0,89049
0,89142
0,89243
0,89352
0,89468
0,89592
0,89724
0,89864
0,90012
0,90167
0,90330
0,90500
0,90678
0,90864
0,91057
0,91258
0,91467
0,91683
х
1,75
6
7
8
9
1,80
1
2
3
4
1,85
6
7
8
9
1,90
1
2
3
4
1,95
6
7
8
9
2,00
Г(х)
0,91906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0,93408
0,93685
0,93369
0,94261
0,94561
0,94869
0,95184
0,95507
0,95838
0,96177
0,96523
0,96877
0,97240
0,97610
0,97988
0,98374
0,98768
0,99171
0,99581
1,00000
Приложение 2
Таблица 6. Квантили распределения хи-квадрат
р
к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
90
100
0,005 0,01
0,05
0,1
0,2
0,8
0,9
0,95
0,010 0,020
0,072 0,115
0,207 0,297
0,025
0,001
0,051
0,216
0,484
0,004
0,103
0,352
0,711
0,016
0,211
0,584
1,064
0,064
0,446
1,005
1,649
1,642
3,219
4,642
5,989
2,706
4,605
6,251
7,779
0,412
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
8,034
8,643
9,260
9,886
10,52
11,16
11,81
12,46
13,12
13,79
17,19
20,71
24,31
27,99
31,73
35,50
39,38
43,28
47,21
51,17
59,20
67,33
0,831
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
10,28
10,98
11,69
12,40
13,12
13,84
14,57
15,31
16,05
16,79
20,57
24,43
28,37
32,36
36,40
40,48
44,60
48,76
52,94
57,15
65,65
74,22
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,12
10,85
11,59
12,34
13,09
13,85
14,61
15,38
16,15
16,93
17,71
18,49
22,47
26,51
30,61
34,76
38,96
43,19
47,45
51,74
56,05
60,39
69,13
77,93
1,610
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
9,312
10,09
10,87
11,65
12,44
13,24
14,04
14,85
15,66
16,47
17,29
18,11
18,94
19,77
20,60
24,80
29,05
33,35
37,69
42,06
46,46
50,88
55,33
59,79
64,28
73,29
82,36
2,343
3,070
3,822
4,594
5,380
6,179
6,989
7,807
8,634
9,467
10,31
11,15
12,00
12,86
13,72
14,58
15,45
16,31
17,19
18,06
18,94
19,82
20,70
21,59
22,48
23,36
27,84
32,34
36,88
41,45
46,04
50,64
55,26
59,90
64,55
69,21
78,56
87,95
7,289
8,558
9,803
11,03
12,24
13,44
14,63
15,81
16,99
18,15
19,31
20,47
21,62
22,76
23,90
25,04
26,17
27,30
28,43
29,55
30,68
31,79
32,91
34,03
35,14
36,25
41,78
47,27
52,73
58,16
63,58
68,97
74,35
79,71
85,07
90,41
101,0
111,7
9,236
10,65
12,02
13,36
14,68
15,99
17,28
18,55
19,81
21,06
22,31
23,54
24,77
25,99
27,20
28,41
29,62
30,81
32,00
33,20
34,38
35,56
36,74
37,92
39,09
40,26
46,06
51,81
57,51
63,17
68,80
74,40
79,97
85,53
91,06
96,58
107,6
118,5
0,554
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
8,897
9,542
10,20
10,86
11,52
12,20
12,88
13,56
14,26
14,95
18,51
22,16
25,90
29,71
33,57
37,48
41,44
45,44
49,48
53,54
61,75
70,06
3,841
5,991
7,815
9,488
0,975
5,024
7,378
9,348
11,14
6,635
9,210
11,35
13,28
0,995
7,879
10,60
12,84
14,86
11,07
12,59
14,07
15,50
16,92
18,31
19,68
21,03
22,36
23,69
25,00
26,30
27,59
28,87
30,14
31,41
32,67
33,92
35,17
36,42
37,65
38,89
40,11
41,34
42,56
43,77
49,80
55,76
61,66
67,50
73,31
79,08
84,82
90,53
96,22
101,9
113,1
124,3
12,83
14,45
16,01
17,54
19,02
20,48
21,92
23,34
24,74
26,12
27,49
28,85
30,19
31,53
32,85
34,17
35,48
36,78
38,08
39,36
40,65
41,92
43,19
44,46
45,72
46,98
53,20
59,34
65,41
71,42
77,38
83,30
89,18
95,02
100,8
106,6
118,1
129,6
15,09
16,81
18,48
20,09
21,67
23,21
24,73
26,22
27,69
29,14
30,58
32,00
33,41
34,81
36,19
37,57
38,93
40,29
41,64
42,98
44,31
45,64
46,96
48,28
49,59
50,89
57,34
63,69
69,96
76,15
82,29
88,38
94,42
100,4
106,4
112,3
124,1
135,8
16,75
18,55
20,28
21,96
23,59
25,19
26,76
28,30
29,82
31,32
32,80
34,27
35,72
37,16
38,58
40,00
41,40
42,80
44,18
45,56
46,93
48,29
49,64
50,99
52,34
53,67
60,27
66,77
73,17
79,49
85,75
91,95
98,11
104,2
110,3
116,3
128,3
140,2
0,99