Ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþ Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ «Ïåðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò» Ã. Í. Âîòèíîâ, À. Â. Ïåðìèíîâ ÔÈÇÈÊÀ Óòâåðæäåíî Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ Ïîä îáùåé ðåäàêöèåé äîêòîðà òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðà À. È. Öàïëèíà Èçäàòåëüñòâî Ïåðìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà 2008 ÓÄÊ 53(075.8) ÁÁÊ 22.3ÿ73 Â79 Ðåöåíçåíòû: äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Å. Ë. Òàðóíèí (Ïåðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò); êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíò Â. Â. Áóðäèí (Ïåðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò) Â79 Âîòèíîâ, Ã. Í. Ôèçèêà: ó÷åá. ïîñîáèå / Ã. Í. Âîòèíîâ, À. Â. Ïåðìèíîâ; ïîä îáù. ðåä. À. È. Öàïëèíà.— Ïåðìü: Èçä-âî Ïåðì. ãîñ. òåõí. óí-òà, 2008.— 347 ñ. ISBN 978-5-398-00037-5 Ïðèâåäåí òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ ôèçèêè, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ îñíîâíûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè è âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ çàî÷íîãî îòäåëåíèÿ ãóìàíèòàðíîãî ôàêóëüòåòà, èçó÷àþùèõ ôèçèêó â îáúåìå äî 200 ÷àñîâ. ÓÄÊ 53(075.8) ÁÁÊ 22.3ÿ73 Èçäàíî â ðàìêàõ ïðèîðèòåòíîãî íàöèîíàëüíîãî ïðîåêòà «Îáðàçîâàíèå» ïî ïðîãðàììå Ïåðìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà «Ñîçäàíèå èííîâàöèîííîé ñèñòåìû ôîðìèðîâàíèÿ ïðîôåññèîíàëüíûõ êîìïåòåíöèé êàäðîâ è öåíòðà èííîâàöèîííîãî ðàçâèòèÿ ðåãèîíà íà áàçå ìíîãîïðîôèëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà» ISBN 978-5-398-00037-5 © ÃÎÓ ÂÏÎ «Ïåðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò», 2008 ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ ÂÂÅÄÅÍÈÅ ............................................................................................................ 5 ×àñòü I. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ôèçèêè ............................................................... 6 1. Ìåõàíèêà ........................................................................................................ 1.1. Êèíåìàòèêà .......................................................................................... 1.2. Äèíàìèêà.............................................................................................. 1.3. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå.................................................................... 1.4. Âîëíîâîå äâèæåíèå ............................................................................. 1.5. Îñíîâû ãèäðîàýðîìåõàíèêè............................................................... 1.6. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ ................................................................ 6 6 13 32 50 58 61 2. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà .................................................... 2.1. Ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ................................................... 2.2. Òåðìîäèíàìèêà.................................................................................... 2.3. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ ................................................................ 64 64 81 98 3. Ýëåêòðîäèíàìèêà........................................................................................... 100 3.1. Ýëåêòðîñòàòèêà .................................................................................... 100 3.2. Ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê......................................................... 121 3.3. Ìàãíåòèçì ............................................................................................ 128 3.4. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ è âîëíû............................................. 159 3.5. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ ................................................................ 173 4. Îïòèêà............................................................................................................. 176 4.1. Ýëåìåíòû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè .................................................... 176 4.2. Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà .......................................................................... 182 4.3. Äèôðàêöèÿ............................................................................................ 194 4.4. Ïîëÿðèçàöèÿ......................................................................................... 203 4.5. Òåïëîâîå èçëó÷åíèå ............................................................................ 208 4.6. Ôîòîýôôåêò.......................................................................................... 213 4.7. Êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé äóàëèçì .................................................... 217 4.8. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ ................................................................ 220 3 5. Îñíîâû àòîìíîé è ÿäåðíîé ôèçèêè ............................................................. 222 5.1. Ñòðîåíèå àòîìà .................................................................................... 222 5.2. Âîëíîâûå ñâîéñòâà âåùåñòâà ............................................................. 229 5.3. Àòîìíîå ÿäðî ....................................................................................... 236 5.4. Ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû....................................................................... 249 5.5. Ýëåìåíòû êîñìîëîãèè......................................................................... 253 5.6. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ ................................................................ 255 ×àñòü II. Ìàòåðèàëû äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ............................................ 257 1. Ìåòîäèêà ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ ôèçèêè .......................................... 257 2. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷ ......................................................................................... 259 3. Î ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ .................................................................... 262 4. Ìåõàíèêà. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà ................................. 265 4.1. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ..................................................................... 265 4.2. Òðåíèðîâî÷íûå çàäà÷è........................................................................ 281 5. Ýëåêòðîìàãíåòèçì ......................................................................................... 284 5.1. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ..................................................................... 284 5.2. Òðåíèðîâî÷íûå çàäà÷è........................................................................ 301 6. Îïòèêà. Îñíîâû àòîìíîé è ÿäåðíîé ôèçèêè .............................................. 304 6.1. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ..................................................................... 304 6.2. Òðåíèðîâî÷íûå çàäà÷è........................................................................ 315 7. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà....................................................................................... 316 8. Òåñò äëÿ ïðîâåðêè çíàíèé............................................................................. 331 Âîïðîñû äëÿ ïîäãîòîâêè ê ýêçàìåíó ................................................................... 336 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ................................................................................................ 340 Ïðèëîæåíèå. Ñïðàâî÷íûå äàííûå è òàáëèöû .................................................... 341 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ôèçèêà — íàóêà, èçó÷àþùàÿ íàèáîëåå îáùèå çàêîíîìåðíîñòè ÿâëåíèé ïðèðîäû, ñâîéñòâà è ñòðîåíèå ìàòåðèè, è çàêîíû åå äâèæåíèÿ. Ôèçè÷åñêèå çàêîíû óñòàíàâëèâàþòñÿ íà îñíîâå îáîáùåíèÿ îïûòíûõ ôàêòîâ è âûðàæàþò çàêîíîìåðíîñòè, ñóùåñòâóþùèå â ïðèðîäå. Ýòè çàêîíû îáû÷íî ôîðìóëèðóþòñÿ â âèäå êîëè÷åñòâåííûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïðèâëåêàþòñÿ ãèïîòåçû. Ãèïîòåçà — íàó÷íîå ïðåäïîëîæåíèå, âûäâèãàåìîå äëÿ îáúÿñíåíèÿ êàêîãî-ëèáî ôàêòà èëè ÿâëåíèÿ è òðåáóþùåå ïðîâåðêè è äîêàçàòåëüñòâà äëÿ òîãî, ÷òîáû ñòàòü íàó÷íîé òåîðèåé èëè çàêîíîì. Ïðàâèëüíîñòü âûñêàçàííîé ãèïîòåçû ïðîâåðÿåòñÿ ïîñòàíîâêîé ñîîòâåòñòâóþùèõ îïûòîâ. Óñïåøíî ïðîøåäøàÿ òàêóþ ïðîâåðêó è äîêàçàííàÿ ãèïîòåçà ïðåâðàùàåòñÿ â íàó÷íóþ òåîðèþ èëè çàêîí. Ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó îñíîâíûõ èäåé, îáîáùàþùèõ îïûòíûå äàííûå è îòðàæàþùèõ çàêîíîìåðíîñòè ÿâëåíèé ïðèðîäû. Ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ äàåò îáúÿñíåíèå öåëîé îáëàñòè ÿâëåíèé ïðèðîäû ñ åäèíîé òî÷êè çðåíèÿ. 5 ×àñòü I ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÑÍÎÂÛ ÔÈÇÈÊÈ 1. ÌÅÕÀÍÈÊÀ Ìåõàíèêà — ðàçäåë ôèçèêè, â êîòîðîì èçó÷àåòñÿ ìåõàíè÷åñêîå äâèæåíèå. Ìåõàíè÷åñêîå äâèæåíèå — èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ äàííîãî òåëà (èëè ÷àñòåé òåëà) îòíîñèòåëüíî äðóãèõ òåë, ïðîèñõîäÿùåå âî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå. 1.1. Êèíåìàòèêà Êèíåìàòèêà — ðàçäåë ìåõàíèêè, â êîòîðîì èçó÷àåòñÿ ìåõàíè÷åñêîå äâèæåíèå êàê ãåîìåòðè÷åñêîå ïåðåìåùåíèå â ïðîñòðàíñòâå. Êèíåìàòèêà òî÷êè Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà — òåëî, ðàçìåðû êîòîðîãî íåñóùåñòâåííû (èìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü) â ðàìêàõ êàêîé-ëèáî êîíêðåòíîé çàäà÷è. Àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî — òåëî, ó êîòîðîãî ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ åãî òî÷êàìè íåèçìåííî. Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà — äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ëþáàÿ ïðÿìàÿ, íåèçìåííî ñâÿçàííàÿ ñ òåëîì, ïåðåìåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå. ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû N — ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî çàäàòü ïîëîæåíèå òåëà â ïðîñòðàíñòâå. Ïðèìåðû: 1) òî÷êà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò òðè íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàòû: ò. A(x, y, z), ñëåäîâàòåëüíî, N = 3; 6 2) äâå æåñòêî ñâÿçàííûå òî÷êè (ãàíòåëü) çàäàþòñÿ øåñòüþ êîîðäèíàòàìè, íî íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïÿòü, ò. ê. íà òî÷êè íàëîæåíà îäíà ñâÿçü — íåèçìåííîñòü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè (øåñòóþ êîîðäèíàòó ìîæíî îïðåäåëèòü èç ýòîãî óñëîâèÿ). Òàêèì îáðàçîì, N = 6 – 1 = 5; 3) òðè æåñòêî ñâÿçàííûå òî÷êè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé. Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ïîëó÷àåì: äåâÿòü êîîðäèíàò è òðè ñâÿçè. N = 9 – 3 = 6. Ñèñòåìû ñ áîëüøèì ÷èñëîì òî÷åê èìåþò òàêæå øåñòü ñòåïåíåé ñâîáîäû, ò. ê. íà òðè êîîðäèíàòû äîáàâëåííîé «æåñòêî çàêðåïëåííîé» òî÷êè äîñòàòî÷íî òðåõ ñâÿçåé. Òàêèì îáðàçîì, àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî èìååò øåñòü ñòåïåíåé ñâîáîäû. Äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî. Äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ (â ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè) ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ñèñòåìû îòñ÷åòà, êîòîðîå âêëþ÷àåò â ñåáÿ: 1) òî÷êó îòñ÷åòà; 2) ñèñòåìó êîîðäèíàò; 3) ÷àñû. Òðàåêòîðèÿ — ëèíèÿ, âäîëü êîòîðîé äâèæåòñÿ òî÷êà. Ïóòü s — äëèíà òðàåêòîðèè, [s] = ì. Ñðåäíÿÿ ïóòåâàÿ ñêîðîñòü vñð — îòíîøåíèå ïðîéäåííîãî ïóòè ê çàòðà÷åííîìó âðåìåíè: v ñð = Ds , [v ] = ì/ñ. Dt (1.1) Ïîëîæåíèå òåëà â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàäèr óñà-âåêòîðà r ê ýòîé òî÷êå èç íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé òî÷êè (ðèñ. 1.1). Çàêîí äâèæåíèÿ — çàâèñèr ìîñòü ðàäèóñà-âåêòîðà r òî÷êè îò âðåìåíè: r r (1.2) r = r ( t ). Ëþáîé âåêòîð ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç åãî ïðîåêöèè íà êîîðäèíàòíûå îñè è åäèíè÷íûå âåêòîðû (îðòû) ýòèõ îñåé.  äåêàðòîâîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ðèñ. 1.2) é x = x( t ); r ê r r r r = xi + yj + zk , ãäå ê y = y( t ); ê ê z = z( t ). ë Ðèñ. 1.1 (1.3) 7 r Ïåðåìåùåíèå Dr (ðàäèóñ-âåêòîð ïåðåìåùåíèÿ) — âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç íà÷àëüíîé òî÷êè â êîíå÷íóþ (ñì. ðèñ. 1.1): r r r Dr = r ( t + Dt ) - r ( t ). (1.4) Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ïåðåìåùår íèÿ v ñð — îòíîøåíèå ïåðåìåùåíèÿ ê çàòðà÷åííîìó âðåìåíè: r r Dr (1.5) v ñð = . Dt Ñêîðîñòü (ìãíîâåííàÿ) r r r Dr dr (1.6) v = lim º . Dt ® 0 Dt dt Ðèñ. 1.2 Ìîäóëü ñêîðîñòè r |Dr | r Ds ds v = |v| = lim = lim º . Dt ® 0 Dt Dt ® 0 Dt dt (1.7) Áûñòðîòà èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ñî âðåìåíåì õàðàêòåðèçóåòñÿ óñêîðåíèåì. r Ñðåäíèì óñêîðåíèåì a ñð íàçûâàþò îòíîøåíèå èçìåíåíèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè êî âðåìåíè: r r Dv , [a ] = ì/ñ2. a ñð = Dt Óñêîðåíèå (ìãíîâåííîå) r r r r Dv dv d 2 r a = lim º = 2. Dt ® 0 Dt dt dt Ñêîðîñòü è óñêîðåíèå ìîæíî ðàçëîæèòü íà ñîñòàâëÿþùèå: r r r r r r r r v = v x i + v y j + v z k , a = ax i + a y j + a z k , ãäå êîìïîíåíòû (ïðîåêöèè íà êîîðäèíàòíûå îñè) ýòèõ âåêòîðîâ: 8 (1.8) (1.9) é dx êv x = ; ê dt ê êv = dy ; ê y dt ê ê d êv z = z ; ê dt ë é dv d2x êa x = x = ; ê dt dt 2 ê ê dv d2 y êa y = y = 2 ; ê dt dt ê ê dv d2z êa z = z = 2 . dt dt ëê (1.10) Ìîäóëè ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå áóäóò ñëåäóþùèìè: v = v x2 + v 2y + v 2z ; a = a x2 + a 2y + a 2z . (1.11) Ïðè êðèâîëèíåéíîì äâèæåíèè óäîáíî ââåñòè åñòåñòâåííûå îñè, íàr ïðàâëåíèÿ êîòîðûõ çàäàþòñÿ åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè êàñàòåëüíîé t r è íîðìàëè n: r r r r t^ n, |t| = |n| = 1. r Âåêòîð t íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè (ðèñ. 1.3) è çàäàåò r íàïðàâëåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè, âåêòîð n íàïðàâëåí ïî íîðìàëè ê òðàåêòîðèè (ê öåíòðó êðèâèçíû). Âåêòîð ñêîðîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå r r (1.12) v = vt, r ãäå v = |v|.  ýòîì ñëó÷àå óñêîðåíèå ìîæíî ðàçëîæèòü íà äâå ñîñòàâëÿþùèå: r r r r r Ðèñ. 1.3 (1.13) a = at t + an n = at + an . Êàñàòåëüíûì (òàíãåíöèàëüíûì) óñêîðår íèåì a t íàçûâàåòñÿ ñîñòàâëÿþùàÿ óñêîðåíèÿ, îáóñëîâëåííàÿ èçìåíåíèåì ìîäóëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè: r r dv (1.14) a t = a t t, ãäå a t = . dt r Íîðìàëüíûì (öåíòðîñòðåìèòåëüíûì) óñêîðåíèåì a n íàçûâàåòñÿ ñîñòàâëÿþùàÿ óñêîðåíèÿ, îáóñëîâëåííàÿ èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ äâèr æåíèÿ (ò. å. âåêòîðà t): r r v2 a n = a n n, ãäå a n = . R (1.15) 9 Ìîäóëü óñêîðåíèÿ a = a t2 + a n2 . (1.16) Ïðèìåðû äâèæåíèÿ òî÷êè ïî òðàåêòîðèè: 1. Ðàâíîìåðíîå ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå âäîëü îñè x: v x = const Þ a t = 0ü ï ï ý Þ a = 0. R = ¥ Þ an = 0 ï ï þ Çàêîí äâèæåíèÿ: x = x 0 + v x t. 2. Ðàâíîïåðåìåííîå ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå: ü ï ï ý Þ a x = a t x = const. R = ¥ Þ a n = 0ï ï þ a t x = const Çàêîí èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè: v x = v 0 x + a x t. (1.17) Çàêîí äâèæåíèÿ: x = x0 + v 0 x t + ax t 2 . 2 (1.18) Èñêëþ÷èâ ïàðàìåòð âðåìåíè t èç óðàâíåíèé (1.17)–(1.18), ìîæíî ïðèéòè ê ïîëåçíîìó ñîîòíîøåíèþ: x - x0 = v x2 - v 02x 2a x . (1.19) 3. Ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R: v = const Þ a t = 0ü ï ï ï 2 ý Þ a = a n = const. v an = = const ï ï R ï þ Çàêîí äâèæåíèÿ: s = vt. Ïðèìå÷àíèå. Ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ âñåõ òî÷åê ðàâíû ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ, à òðàåêòîðèè âñåõ òî÷åê îäèíàêîâû. Ïîýòîìó êèíåìàòèêó ïîñòóïàòåëüíî äâèæóùåãîñÿ òâåðäîãî òåëà ðàññìàòðèâàþò êàê êèíåìàòèêó òî÷êè. 10 Âðàùåíèå òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè Âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè — ÷àñòíûé ñëó÷àé âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå òðàåêòîðèÿìè âñåõ òî÷åê ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòè, öåíòðû êîòîðûõ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, êîòîðóþ íàçûâàþò îñüþ âðàùåíèÿ. Ïîëîæåíèå òåëà â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì ïîâîðîòà. Çàêîí âðàùåíèÿ: j = j( t ), [j] = ðàä. (1.20) Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îñè ñâÿæåì ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì óãëîâîé êîîðäèíàòû — óãëà ïîâîðîòà j — ïðàâèëîì ïðàâîãî âèíòà (ðèñ. 1.4). Èçìåíåíèå óãëà ïîâîðîòà â åäèíèöó âðåìåíè õàðàêòåðèçóåòñÿ âåêòîðîì óãëîâîé ñêîðîñòè r w, êîòîðûé íàïðàâëåí âäîëü îñè âðàùåíèÿ (çàäàåò åå íàïðàâëåíèå).  ñëó÷àå íåïîäâèæíîé îñè óãëîâàÿ ñêîðîñòü õàðàêòåðèçóåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé âåëè÷èíîé: wz = dj , [w] = ðàä/ñ. dt (1.21) Ðèñ. 1.4 Àíàëîãè÷íî, óãëîâîå óñêîðåíèå ez = dw z , [e] = ðàä/ñ2. dt (1.22) Çíàê âåëè÷èí w z è e z õàðàêòåðèçóåò íàïðàâëåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî r âåêòîðà. Íàïðèìåð, åñëè w z > 0, òî íàïðàâëåíèå âåêòîðà w ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Z, åñëè æå w z < 0, òî íàïðàâëåíèå r âåêòîðà w ïðîòèâîïîëîæíî. Àíàëîãè÷íî è äëÿ óãëîâîãî óñêîðåíèÿ. Ïóòü, ïðîéäåííûé òî÷êîé ïî îêðóæíîñòè, ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëåí ðàññòîÿíèþ äî îñè âðàùåíèÿ (ðèñ. 1.5): Ds = R Dj. (1.23) Ïîäåëèâ äàííîå ñîîòíîøåíèå íà âðåìÿ ïîâîðîòà Dt, ïðèõîäèì (ïðè Dt ® 0) ê ñâÿçè ëèíåéíîé è óãëîâîé ñêîðîñòåé: v = wR. (1.24) 11 Êàñàòåëüíîå (òàíãåíöèàëüíîå) óñêîðåíèå at = dv dw R = eR. = dt dt (1.25) Íîðìàëüíîå (öåíòðîñòðåìèòåëüíîå) óñêîðåíèå an = Ðèñ. 1.5 v2 = w 2 R. R (1.26) Ïîëíîå óñêîðåíèå a = a t2 + a n2 = R e 2 + w 4 . (1.27) Àíàëîãèÿ â êèíåìàòèêå Àíàëîãèþ â êèíåìàòèêå ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé ìîæíî ïðîñëåäèòü ïî òàáë. 1.1. Òàáëèöà 1.1 Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå Îïðåäåëåíèÿ Êîîðäèíàòà, ì x Ñêîðîñòü, ì/ñ dx vx = dt Óñêîðåíèå, ì/ñ2 ax = j Óãîë ïîâîðîòà, ðàä dv x dt Óãëîâàÿ ñêîðîñòü, ðàä/ñ wz = dj dt Óãëîâîå óñêîðåíèå, ðàä/ñ2 ez = dwz dt Çàêîíû ðàâíîïåðåìåííîãî äâèæåíèÿ ax = const; e z = const; v x = v 0x + a x t ; wz = w0z + e zt; x = x0 + v 0x t + 12 ax t 2 2 j = j0 + w0z t + e zt 2 2 1.2. Äèíàìèêà Äèíàìèêà — ðàçäåë ìåõàíèêè, â êîòîðîì èçó÷àþòñÿ ïðè÷èíû èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ. Äèíàìèêà òî÷êè (ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ) Äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ Ìàññà m — ñâîéñòâî òåë, îïðåäåëÿþùåå èõ áåñêîíòàêòíîå âçàèìîäåéñòâèå ñ äðóãèìè òåëàìè è èíåðòíîñòü (ñïîñîáíîñòü ñîõðàíÿòü ñêîðîñòü). Åäèíèöà ìàññû — êèëîãðàìì: [m] = êã. r Èìïóëüñ òåëà p (êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ) — ïðîèçâåäåíèå ìàññû òåëà íà âåêòîð åãî ñêîðîñòè: r r [p] = êã·ì/ñ. (1.28) p = mv , r Ñèëà F — âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, ÿâëÿþùàÿñÿ ìåðîé ìåõàíè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè èëè òåëà ñ äðóãèìè òåëàìè èëè ïîëÿìè. Ðàçëè÷íûå âçàèìîäåéñòâèÿ, èçâåñòíûå â ñîâðåìåííîé ôèçèêå, ñâîäÿòñÿ ê ÷åòûðåì òèïàì, à èìåííî: 1) ãðàâèòàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå, âîçíèêàþùåå ìåæäó âñåìè òåëàìè, îáëàäàþùèìè ìàññîé; 2) ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå, âîçíèêàþùåå ìåæäó òåëàìè èëè ÷àñòèöàìè, îáëàäàþùèìè ýëåêòðè÷åñêèìè çàðÿäàìè (ãë. 3); 3) ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå, ñóùåñòâóþùåå, íàïðèìåð, ìåæäó ÷àñòèöàìè, èç êîòîðûõ ñîñòîÿò ÿäðà àòîìîâ (ãë. 5); 4) ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå, õàðàêòåðèçóþùåå, íàïðèìåð, ïðîöåññû ïðåâðàùåíèÿ íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö (ñì. ãë. 5). Ñèëà êàê êîëè÷åñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïîçâîëÿåò îöåíèâàòü ëèøü ãðàâèòàöèîííûå è ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ.  òåõ ÷ðåçâû÷àéíî ìàëûõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà è â òåõ ïðîöåññàõ, â êîòîðûõ ïðîÿâëÿþòñÿ ñèëüíûå è ñëàáûå âçàèìîäåéñòâèÿ, òàêèå ïîíÿòèÿ, êàê òî÷êà ïðèëîæåíèÿ, ëèíèÿ äåéñòâèÿ, à âìåñòå ñ íèìè è ñàìî ïîíÿòèå ñèëû òåðÿþò ñìûñë. Åäèíèöà ñèëû — íüþòîí: [F] = Í.  çàäà÷àõ ìåõàíèêè ó÷èòûâàþòñÿ ãðàâèòàöèîííûå ñèëû (ñèëû òÿãîòåíèÿ) è äâå ðàçíîâèäíîñòè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë — ñèëû óïðóãîñòè è ñèëû ðåàêöèè (íîðìàëüíîé ðåàêöèè è òðåíèÿ). 13 Ñèëû â ìåõàíèêå Ñèëû òÿãîòåíèÿ — ñèëû, âîçíèêàþùèå ìåæäó âñåìè òåëàìè â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà: ìåæäó äâóìÿ ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè äåéñòâóþò ñèëû âçàèìíîãî ïðèòÿæåíèÿ, ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíûå ìàññàì ýòèõ òî÷åê è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíûå êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè. Ýòè ñèëû íàïðàâëåíû âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé äàííûå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè. Fòÿã = G m1 m2 . r2 (1.29) Ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ G — ôóíäàìåíòàëüíàÿ êîíñòàíòà, êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â çàêîíå âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ: G = 6, 672 × 10 -11 Í·ì2/êã2. Ãðàâèòàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó òåëàìè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ (ïîëÿ òÿãîòåíèÿ). Ýòî ïîëå íàðÿäó ñ äðóãèìè ïîëÿìè è âåùåñòâîì ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ôîðì ìàòåðèè. Ñ êàæäûì òåëîì íåðàçðûâíî ñâÿçàíî ãðàâèòàöèîííîå ïîëå, ïðîÿâëÿþùååñÿ â òîì, ÷òî íà ïîìåùåííóþ â ïîëå ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó äåéñòâóåò ãðàâèòàöèîííàÿ ñèëà, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ìàññå ýòîé òî÷êè. Òåëî, ãðàâèòàöèîííîå ïîëå êîòîðîãî èññëåäóåòñÿ, íàçûâàåòñÿ èñòî÷íèêîì ýòîãî ïîëÿ. Ñèëîâîé õàðàêòåðèñòèêîé ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ (íàïðÿæåííîñòü ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ) r r Fòÿã (1.30) g= m â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ ñïðàâåäëèâ òàêæå äëÿ îäíîðîäíûõ òåë øàðîîáðàçíîé ôîðìû ïðè ðàññòîÿíèè r ìåæäó èõ öåíòðàìè, ïðåâûøàþùåì ñóììó èõ ðàäèóñîâ (ðèñ. 1.6). Ïðèìåðû: 1. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû Çåìëÿ g0 = G Ðèñ. 1.6 14 mÇåìëè » 9, 8 ì/ñ2. 2 R Çåìëè 2. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà âûñîòå h íàä ïîâåðõíîñòüþ ïëàíåòû 2 æ R ö÷ ÷÷ . g = g 0 çç çè R + h ÷ø Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî ìàññîé m ñî ñòîðîíû ãðàâèòàöèîííîãî r ïîëÿ â òî÷êå ñ íàïðÿæåííîñòüþ g, íàçûâàåòñÿ ñèëîé òÿæåñòè: r r (1.31) Fòÿæ = mg. Ñèëû óïðóãîñòè — ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè óïðóãîé äåôîðìàöèè òåë. Äåôîðìàöèÿ íàçûâàåòñÿ óïðóãîé, åñëè ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ äåéñòâèÿ âíåøíèõ ñèë âîññòàíàâëèâàþòñÿ ïðåæíèå ðàçìåðû è ôîðìà òåëà. Óñòàíîâëåííûé ýêñïåðèìåíòàëüíî çàêîí Ãóêà óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè óïðóãîé äåôîðìàöèè óäëèíåíèå îáðàçöà ïðîïîðöèîíàëüíî âíåøíåé ñèëå: Fóïð x = -kDx, (1.32) ãäå k — æåñòêîñòü (êîýôôèöèåíò óïðóãîñòè) îáðàçöà èëè ïðóæèíû, [k] = Í/ì; Dx — àáñîëþòíîå óäëèíåíèå îáðàçöà (àáñîëþòíàÿ äåôîðìàöèÿ) Dx = x – x0, x0 — äëèíà ríåðàñòÿíóòîãî îáðàçöà (ðèñ. 1.7). rÑèëà ðåàêöèè îïîðû R (íàòÿæåíèÿ íèòè T ) — ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî ñî ñòîðîíû îïîðû (ïîäâåñà). Ïðè ýòîì ñèëó, ñ êîòîðîé òåëî äåéñòâóåò íà îïîðó èëè ïîäâåñ, íàçûâàþò r âåñîì P òåëà. r Ñèëó ðåàêöèè îïîðû R ÷àùå ðàññìàòðèâàÐèñ. 1.7 þò êàê ñóììó äâóõ ñèë: ñèëû íîðìàëüíîé ðåàêr öèè îïîðû N , íàïðàâëåííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé ïîâåðõíîñòè, è ñèëû r òðåíèÿ Fòð , íàïðàâëåííîé âäîëü ýòîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 1.8): r r r (1.33) R = N + Fòð . Ðèñ. 1.8 r Ïðè r êîíòàêòå ãëàäêèõ ïîâåðõíîñòåé Fòð = 0 è R = N . Äëÿ øåðîõîâàòûõ ïîâåðõíîñòåé â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ôîðìóëèðóåòñÿ çàêîí ñóõîãî òðåíèÿ: ïðè ñêîëüæåíèè ìîäóëü ñèëû òðåíèÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëåí ìîäóëþ ñèëû íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû: 15 Fòð = mN , (1.34) ãäå m — áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò òðåíèÿ, çàâèñÿùèé îò òèïîâ ñîïðèêàñàþùèõñÿ ïîâåðõíîñòåé. Åñëè òåëî íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ, òî ìîäóëü è íàïðàâëåíèå ñèëû òðåíèÿ íåèçâåñòíû, ïîýòîìó èõ íàõîäÿò èç óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ. Ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà (çàêîí èíåðöèè) Äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ñèñòåìû îòñ÷åòà. Ñèñòåì îòñ÷åòà áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî. Çàêîíû ìåõàíèêè â ðàçíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà èìåþò ðàçëè÷íûé âèä, è ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî â ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà çàêîíû äàæå ñîâñåì ïðîñòûõ ÿâëåíèé áóäóò âåñüìà ñëîæíûìè. Åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò çàäà÷à îòûñêàíèÿ òàêîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, â êîòîðîé çàêîíû ìåõàíèêè áûëè áû âîçìîæíî áîëåå ïðîñòûìè. Òàêàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà íàèáîëåå óäîáíà äëÿ îïèñàíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ïðè÷èíû óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòîé ïðè÷èíîé ìîãóò áûòü êàê äåéñòâèå íà äàííóþ òî÷êó êàêèõ-òî îïðåäåëåííûõ òåë, òàê è ñâîéñòâà ñàìîé ñèñòåìû îòñ÷åòà (îòíîñèòåëüíî ðàçíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà óñêîðåíèå áóäåò ðàçëè÷íûì). Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, â êîòîðîé óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè öåëèêîì îáóñëîâëåíî òîëüêî âçàèìîäåéñòâèåì åå ñ äðóãèìè òåëàìè. Òàêèå ñèñòåìû îòñ÷åòà íàçûâàþòñÿ èíåðöèàëüíûìè. Òîãäà ñâîáîäíàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà (íå ïîäâåðæåííàÿ äåéñòâèþ íèêàêèõ äðóãèõ òåë) áóäåò äâèãàòüñÿ îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî (èëè, êàê ãîâîðÿò, ïî èíåðöèè). Óòâåðæäåíèå, ÷òî èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà ñóùåñòâóþò, ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ïåðâîãî çàêîíà êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè — çàêîíà èíåðöèè Íüþòîíà, âïåðâûå óñòàíîâëåííîãî Ãàëèëåî Ãàëèëååì. Ñóùåñòâîâàíèå èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà ïîäòâåðæäàåòñÿ îïûòîì, ò. å. âñåãäà ìîæíî íàéòè òàêóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà, êîòîðóþ ñ íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ ìîæíî ñ÷èòàòü èíåðöèàëüíîé. Ëþáàÿ äðóãàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, äâèæóùàÿñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, ÿâëÿåòñÿ òàêæå èíåðöèàëüíîé. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò íå îäíà, à áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà, äâèæóùèõñÿ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ïðÿ16 ìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî. Ñèñòåìû îòñ÷åòà, äâèæóùèåñÿ ñ óñêîðåíèåì îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì, íàçûâàþòñÿ íåèíåðöèàëüíûìè. Âàæíîé îñîáåííîñòüþ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïî îòíîøåíèþ ê íèì âðåìÿ è ïðîñòðàíñòâî îáëàäàþò îïðåäåëåííûìè ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè, à èìåííî: îïûò óáåæäàåò, ÷òî â ýòèõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà âðåìÿ îäíîðîäíî, à ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî è èçîòðîïíî. Îäíîðîäíîñòü âðåìåíè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðîòåêàíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé (â îäíèõ è òåõ æå óñëîâèÿõ) â ðàçíîå âðåìÿ èõ íàáëþäåíèÿ îäèíàêîâî. Èíà÷å ãîâîðÿ, ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó ïî ñâîèì ôèçè÷åñêèì ñâîéñòâàì. Îäíîðîäíîñòü ïðîñòðàíñòâà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ îäèíàêîâû. Èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà â êàæäîé òî÷êå îäèíàêîâû âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ Âñå èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû ïî ñâîèì ìåõàíè÷åñêèì ñâîéñòâàì ýêâèâàëåíòíû äðóã äðóãó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íèêàêèìè ìåõàíè÷åñêèìè îïûòàìè, ïðîâîäèìûìè â äàííîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå, íåëüçÿ óñòàíîâèòü, ïîêîèòñÿ ýòà ñèñòåìà îòñ÷åòà èëè äâèæåòñÿ. Âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè îäèíàêîâû, îäèíàêîâû òàêæå è âñå çàêîíû ìåõàíèêè. Ýòîò ïðèíöèï ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îïûòíûõ äàííûõ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ Ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ãàëèëåÿ íàçûâàþò ôîðìóëû ïåðåõîäà îò îäíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé. r Ïóñòü èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà K¢ äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u îòíîñèòåëüíî äðóãîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû K . Âûáåðåì îñè êîîðäèíàò X ¢ , Y ¢ , X ¢ K¢-ñèñòåìû ïàðàëëåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèì îñÿì X , Y , Z K -ñèñòåìû, ïðè÷åì òàê, ÷òîáû îñè X ¢ è X ñîâïàäàëè ìåæäó ñîáîé è áûëè íàr ïðàâëåíû âäîëü âåêòîðà u (ðèñ. 1.9). Âçÿâ çà íà÷àëî îòñ÷åòà ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà íà÷àëà êîîðäèíàò O¢ è O ñîâïàäàëè, çàïèøåì ñîîòíîøåíèå r r ìåæäó ðàäèóñàìè-âåêòîðàìè r ¢ è r îäíîé è òîé æå òî÷êè A â K¢- è K -ñèñòåìàõ: r r r (1.35) r ¢ = r - ut, ïðè ýòîì 17 t ¢ = t. (1.36) Ñîîòíîøåíèÿ (1.35) è (1.36) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ.  êîîðäèíàòàõ ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ èìåþò âèä: x¢ = x - ut, y¢ = y, z¢ = z, t¢ = t.(1.37) Ðèñ. 1.9 íîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé: Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ (1.35) ïî âðåìåíè, íàéäåì êëàññè÷åñêèé çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêîðîñòè òî÷êè ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èíåðöèàëü- r r r v ¢ = v - u, (1.38) r r ãäå v, v ¢ — ñêîðîñòè îòíîñèòåëüíî ñèñòåì îòñ÷åòà K è K¢ ñîîòâåòñòâåííî. Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ïî âðåìåíè ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî r r r u = const, ïîëó÷àåì a¢ = a, ò. å. óñêîðåíèå òî÷êè îäèíàêîâî âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà (îñíîâíîå óðàâíåíèå ìåõàíèêè) Ïîíÿòèÿ ñèëû è ìàññû ââîäÿòñÿ áåçîòíîñèòåëüíî ê äâèæåíèþ, íî îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî âñÿêîå òåëî «îêàçûâàåò ñîïðîòèâëåíèå» (èíåðòíî) ïðè ëþáûõ ïîïûòêàõ èçìåíèòü åãî ñêîðîñòü — êàê ïî ìîäóëþ, òàê è ïî íàïðàâëåíèþ. Ìíîãî÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ìàññû òî÷êè íà âåêòîð åå óñêîðåíèÿ ðàâíî ñèëå, äåéñòâóþùåé íà òî÷êó: r r (1.39) ma = F . Ñ ó÷åòîì (1.28) ýòî æå ñîîòíîøåíèå ìîæíî çàïèñàòü ÷åðåç èìïóëüñ: r dp r (1.40) = F, dt èëè r r dp = Fdt, (1.41) r ãäå Fdt íàçûâàåòñÿ èìïóëüñîì ñèëû. Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè èìïóëüñà òî÷êè ðàâíà ñèëå, äåéñòâóþùåé íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó, èëè èçìåíåíèå èìïóëüñà òî÷êè ðàâíî èìïóëüñó 18 ñèëû. Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå â òî÷íîé ôîðìóëèðîâêå èçëîæåíî È. Íüþòîíîì â 1687 ãîäó. Ñîîòíîøåíèÿ (1.39)–(1.41) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàçëè÷íóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ çàïèñü âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïîëåçíî çàïèñàòü ñîîòíîøåíèå (1.39) â ïðîåêöèÿõ íà êîîðäèíàòíûå îñè: 1) äåêàðòîâà îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò (ñì. ðèñ. 1.2): é ma x = Fx ; ê ê ma y = F y ; ê ê ma z = F z ; ë (1.42) 2) åñòåñòâåííûå îñè (ñì. ðèñ. 1.3): é dv ê m = Ft ; é ma t = Ft ; ê dt ê Þê êë ma n = Fn ; ê v 2 = Fn . êm ë R (1.43) Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà Äâà òåëà äåéñòâóþò äðóã íà äðóãà ñ ñèëàìè, ðàâíûìè ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíûìè ïî íàïðàâëåíèþ: r r (1.44) F12 = -F21 , F12 = F21 . Äåéñòâèþ âñåãäà ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîå è ïðîòèâîïîëîæíîå ïðîòèâîäåéñòâèå; äðóãèìè ñëîâàìè: äåéñòâèÿ äâóõ òåë äðóã íà äðóãà âñåãäà ðàâíû è íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. r r r r Ïðèìåð. Âåñ òåëà P è ñèëà ðåàêöèè îïîðû R ñâÿçàíû: P = -R, P = R. Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà — ñîâîêóïíîñòü ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èëè òåë, äâèæåíèå êîòîðûõ ñâÿçàíî ìåæäó ñîáîé íåêîòîðûì îáðàçîì. Ìàññà ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû — ñóììà ìàññ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èç êîòîðûõ îíà ñîñòîèò: N m = m1 + m2 +K+ m N º å mi . i =1 19 r Öåíòð ìàññ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû rC — òî÷êà, îäíîçíà÷íî ñâÿçàííàÿ ñ ñèñòåìîé, ïîëîæåíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: r N r rC = åmr i i i =1 m . (1.45) Êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ: N xC = å mi xi i =1 m N ; yC = å mi yi i =1 m N åm z i ; zC = i =1 m i . Èìïóëüñ ñèñòåìû — ñóììà èìïóëüñîâ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èç êîòîðûõ îíà ñîñòîèò: N r r (1.46) p = å pi . i =1 Èìïóëüñ ñèñòåìû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ: r r (1.47) p = mv C . re Âíåøíèå ñèëû F — ñèëû, êîòîðûå äåéñòâóþò íà äàííóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó ñî ñòîðîíû äðóãèõ ñèñòåì. r âíóòð Âíóòðåííèå ñèëû F — ñèëû, êîòîðûå äåéñòâóþò ìåæäó ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè äàííîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Ñâîéñòâî âíóòðåííèõ ñèë (ñëåäóåò èç òðåòüåãî çàêîíà Íüþòîíà): N r å F jâíóòð = 0. j =1 Ïîýòîìó ñóììà âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëà äàííîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ðàâíà ñóììå òîëüêî âíåøíèõ ñèë: r r r r å F = å F e + å F âíóòð = å F e . Çàêîíû èçìåíåíèÿ è ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò èìïóëüñà ñèñòåìû ðàâíà ñóììå âñåõ âíåøíèõ ñèë: r N r N r dp r èëè (1.48) = å F je dp = å F je dt. dt j =1 j =1 20 Ñëåäñòâèÿ: N r ® r 1) åñëè å F je = 0, òî p = const; j =1 N 2) åñëè å Fxej = 0, òî p x = const. j =1 Ýòè äâà ñëåäñòâèÿ âûðàæàþò â ñåáå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ïðîåêöèè èìïóëüñà. Ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè íà íåå íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû. Èìïóëüñ çàìêíóòîé ñèñòåìû íåèçìåíåí. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû Ïðîèçâåäåíèå ìàññû ñèñòåìû íà óñêîðåíèå åå öåíòðà ìàññ ðàâíî ñóììå âñåõ âíåøíèõ ñèë: N r r (1.49) maC = å F je . j =1 Ñëåäñòâèÿ: N r ® r 1) åñëè å F je = 0, òî v C = const; j =1 N 2) åñëè åF j =1 e xj = 0, òî v C x = const; åñëè ïðè ýòîì v C x0 = 0, òî xC = const. Äèíàìèêà âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ Äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ r  ñëó÷àå ïëîñêîé ñèñòåìû ñèë ìîìåíòîì MO ñèëû F îòíîñèòåëüíî òî÷êè O íàçûâàþò ñêàëÿðíóþ (àëãåáðàè÷åñêóþ) âåëè÷èíó, ÷èñëåííî ðàâíóþ ïðîèçâåäåíèþ ñèëû F íà ïëå÷î d (ðèñ. 1.10): M O = ±Fd, (1.50) ãäå d — ïëå÷î ñèëû (ðàññòîÿíèå îò ò. O äî ëèíèè äåéñòâèÿ ñèëû), d = r sina. Ìîìåíò ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ñèëà ñòðåìèòñÿ ïîâåðíóòü òåëî ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ìîìåíòà ñèëû ÿâëÿåòñÿ íüþòîí íà ìåòð: [M] = Í·ì. Ðèñ. 1.10 21 r  ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâåííîé r ñèñòåìû ñèë ìîìåíò ñèëû F îòíîñèòåëüíî òî÷êè O åñòü âåêòîð M O , ðàâíûé âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ ðàr äèóñà-âåêòîðà r , ïðîâåäåííîãî èç ò. O â òî÷êó ïðèëîæåíèÿ ñèëû, íà âåêòîð ñèëû (ðèñ. 1.11): r r r r (1.51) M O (F ) = r ´ F . Ìîäóëü ìîìåíòà ñèëû r æ r ^ rö M O (F = rF sinççr , F ÷÷÷ = Fd. çè ÷ø r Ìîìåíò ñèëû F îòíîñèòåëüíî îñè z åñòü ñêàëÿðíàÿ (àëãåáðàè÷åñêàÿ) âåëè÷èíà M z , Ðèñ. 1.11 ðàâíàÿ àëãåáðàè÷åñêîìó ìîìåíòó âåêòîðà ïðîåêöèè ñèëû íà ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îñè è ïëîñêîñòè (èëè êàê r ïðîåêöèþ âåêòîðà M O íà îñü z): r (1.52) M z (F ) = ±Fxy d xy , r ãäå dxy — ðàññòîÿíèå îò îñè äî ëèíèè äåéñòâèÿ ñèëû Fxy (ïëå÷î ïðîåêöèè ñèëû). Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ââîäÿòñÿ ìîìåíòû èìïóëüñà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O: r r r r (1.53) LO ( p ) = r ´ p, ) è îòíîñèòåëüíî îñè: r L z ( p ) = ± p xy d xy = ± mv xy d xy , [L] = êã·ì2/ñ. (1.54) Íàïðàâëåíèå ìîìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó ïðàâîãî âèíòà r r r (áóðàâ÷èêà): ïîâîðîò ïî êðàò÷àéøåìó ðàññòîÿíèþ îò r ê F (èëè p) âûçûr âàåò rïîñòóïàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå âèíòà â íàïðàâëåíèè âåêòîðà M (èëè L). Ìîìåíò èíåðöèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî îñè z åñòü ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà Iz, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ïðîèçâåäåíèþ ìàññû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íà êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî îñè: Iz = m r2, 22 [I] = êã·ì2. (1.55) Ïðèìåð. Îïðåäåëåíèå äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò. Òî÷êà ìàññîé m = 1 êã äâèæåòñÿ ïàðàëëåëüíî îñè x ñî ñêîðîñòüþ v = 1 ì/ñ, íà íåå äåéñòâóåò ñèëà F = 2 Í, ïàðàëëåëüíàÿ îñè z (ðèñ. 1.12): Lx = 0; Ly = 4 êã·ì2/ñ; Lz = –3 êã·ì2/ñ; Mx = 6 Í·ì; My = –4 Í·ì; Mz = 0; Ix = 25 êã·ì2; Iy = 20 êã·ì2; Iz = 13 êã·ì2. Ðèñ. 1.12 Ìîìåíò èíåðöèè — âåëè÷èíà àääèòèâíàÿ, ïîýòîìó ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè z íàõîäèòñÿ êàê ñóììà ìîìåíòîâ èíåðöèè ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èç êîòîðûõ ñîñòîèò òåëî: N N i =1 i =1 I z = å I z i = å mi ri2 . (1.56) Çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåë, îáëàäàþùèõ ýëåìåíòàìè ñèììåòðèè, îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ, ïðèâåäåíû â òàáë. 1.2. Òàáëèöà 1.2 Ñòåðæåíü I zC = 1 ml 2 12 Òîíêîñòåííûé öèëèíäð, îáðó÷ Öèëèíäð, äèñê Øàð I zC = mR 2 1 I zC = mR 2 2 2 I zC = mR 2 5 Òåîðåìà Øòåéíåðà Ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé îñè z ðàâåí ñóììå ìîìåíòà èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíîé îñè zC, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ, è ïðîèçâåäåíèÿ ìàññû òåëà íà êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îñÿìè: 23 I z = I zC + md 2 . (1.57) Ïðèìåð. Çíà÷åíèå ìîìåíòà èíåðöèè ñòåðæíÿ ìàññîé m è äëèíîé l îòíî1 ñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ, I zC = ml 2 (ñì. òàáë. 1.2). 12 Ìîìåíò èíåðöèè ñòåðæíÿ îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ò. A íà êîíöå ñòåðæíÿ (ðèñ. 1.13), ìîæíî íàéòè ïî òåîðåìå Øòåéíåðà: Ðèñ. 1.13 æ lö 1 1 + md = ml 2 + mçç ÷÷÷ = ml 2 . ç è 2 ÷ø 12 3 2 I z A = I zC 2 Çàêîí èçìåíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè ìîìåíòà èìïóëüñà îòíîñèòåëüíî òî÷êè èëè îñè ðàâíà ìîìåíòó ñèëû îòíîñèòåëüíî ýòîé æå òî÷êè èëè îñè: r r dLO dL z (1.58) = MO , = M z. dt dt Ñëåäñòâèÿ (çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè): r r 1) åñëè M O = 0, òî LO = const; 2) åñëè M z = 0, òî L z = const. Ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû Ìîìåíò èìïóëüñà òåëà è ñèñòåìû íàõîäèòñÿ êàê ñóììà ìîìåíòîâ èìïóëüñîâ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èç êîòîðûõ ñîñòîèò òåëî èëè ñèñòåìà: r r L z = å L z i . (1.59) LO = å LO i ; i i Äëÿ òâåðäîãî òåëà, âðàùàþùåãîñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè (ðèñ. 1.14), ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî v i = wri , ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî îñè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîìåíòà èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî ýòîé æå îñè íà åãî óãëîâóþ ñêîðîñòü: Ðèñ. 1.14 L z = å L z i = å mi v i ri = w å mi ri2 = I z w. i 24 i i (1.60) Çàêîíû èçìåíåíèÿ è ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî òî÷êè è îñè (óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ) Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî òî÷êè èëè îñè ðàâíà ñóììå ìîìåíòîâ âñåõ âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî ýòîé æå òî÷êè èëè îñè: r r dLO (1.61) = å M Oe i , dt i dL z = å M zei . dt i (1.62) Ñëåäñòâèÿ: r r 1) åñëè å M Oe i = 0, òî LO = const; (1.63) 2) åñëè å M zei = 0, òî L z = const. (1.64) i i Ñîîòíîøåíèÿ (1.63) è (1.64) âûðàæàþò çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî òî÷êè è îñè ñîîòâåòñòâåííî. Îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ Èç ñîîòíîøåíèé (1.62) è (1.60) dL z dw =Iz = I z e = å M zei . dt dt i Ïðîèçâåäåíèå ìîìåíòà èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îñè íà åãî óãëîâîå óñêîðåíèå ðàâíî ñóììå ìîìåíòîâ âñåõ âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî ýòîé æå îñè: (1.65) I z e = å M zei . i Ñëåäñòâèå (óñëîâèå ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ): åñëè å M zei = 0, òî e = 0 è w = const. (1.66) i Ðàáîòà, ìîùíîñòü, ýíåðãèÿ r r Ýëåìåíòàðíîé ðàáîòîé dA ñèëû F íà ïåðåìåùåíèè dr íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíàÿ (àëãåáðàè÷åñêàÿ) âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðîâ ñèëû è ïåðåìåùåíèÿ (ðèñ. 1.15): 25 r r r dA = F × dr = F |dr |cos a = Fds cos a = Ft ds.(1.67) Åäèíèöà èçìåðåíèÿ ðàáîòû — äæîóëü: [A] = Äæ.  äåêàðòîâîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò r r (1.68) dA = F × dr = Fx dx + F y dy + F z dz. Ðèñ. 1.15 Ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè (ðèñ. 1.16) dA = M z dj. (1.69) Ðàáîòà íà êîíå÷íîì ïåðåìåùåíèè èç ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 2 2 A = ò dA = ò 1 1 r r s2 F × dr = ò Ft ds. (1.70) s1 Ðèñ. 1.16 Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë èíòåãðàëà — ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè (ðèñ. 1.17). Ïðè âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè j2 A = ò M z dj. (1.71) j1 Ìîùíîñòü N íåêîòîðîé ñèëû — ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ýòîé ñèëîé â åäèíèöó âðåìåíè: Ðèñ. 1.17 N = dA . dt Åäèíèöà ìîùíîñòè — âàòò: [N] = Âò. Ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè r drr r r N = F × = F × v = Fv cos a = Ft v, dt ïðè âðàùàòåëüíîì dj N =Mz = M z w. dt Ðàññìîòðèì ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ ðàáîòû. 26 (1.72) (1.73) (1.74) 1. Ðàáîòà ñèëû òÿæåñòè ïðè ïåðåìåùåíèè òåëà ìàññîé m â ïîëå ñèëû òÿæåñòè ïëàíåòû ìàññîé mïë èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2: à) êîñìè÷åñêèå ðàññòîÿíèÿ (ðèñ. 1.18, à) A12 = G mmïë mmïë ; -G r2 r1 (1.75) á) âáëèçè ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû (ðèñ. 1.18, á) A12 = mgy1 - mgy 2 = ± mgh. (1.75à) Ðèñ. 1.18 2. Ðàáîòà ñèëû óïðóãîñòè ïðè èçìåíåíèè äåôîðìàöèè ïðóæèíû îò Dx1 äî Dx2 (ñì. ðèñ. 1.7) A12 = kDx12 kDx 22 . 2 2 (1.76) 3. Ðàáîòà ñèëû òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ Aòð = -Fòð s. (1.77) Ïîòåíöèàëüíûìè (êîíñåðâàòèâíûìè) íàçûâàþòñÿ ñèëû, ðàáîòà êîòîðûõ çàâèñèò òîëüêî îò íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ïîëîæåíèÿ ïåðåìåùàþùåãîñÿ â ïðîñòðàíñòâå òåëà è íå çàâèñèò îò ôîðìû òðàåêòîðèè. Ïðè çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ðàáîòà ïîòåíöèàëüíîé ñèëû âñåãäà ðàâíà íóëþ. Ïðèìåðàìè ïîòåíöèàëüíûõ ñèë ÿâëÿþòñÿ ñèëû òÿæåñòè è óïðóãîñòè. Ñèëû, ðàáîòà êîòîðûõ çàâèñèò îò ôîðìû òðàåêòîðèè, íàçûâàþòñÿ íåïîòåíöèàëüíûìè. Ïðèìåðàìè íåïîòåíöèàëüíûõ ñèë ÿâëÿþòñÿ ñèëû òðåíèÿ è ñîïðîòèâëåíèÿ. 27 Ñèñòåìà òåë íàçûâàåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, åñëè âíóòðåííèå è âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òåëà ñèñòåìû, ÿâëÿþòñÿ ïîòåíöèàëüíûìè, èíà÷å ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ íåêîíñåðâàòèâíîé (äèññèïàòèâíîé). Ýíåðãèÿ — åäèíàÿ ìåðà ðàçëè÷íûõ ôîðì äâèæåíèÿ ìàòåðèè è ìåðà ïåðåõîäà äâèæåíèÿ ìàòåðèè èç îäíèõ ôîðì â äðóãèå. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ðàçëè÷íûõ ôîðì äâèæåíèÿ ìàòåðèè ââîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå âèäû ýíåðãèè, íàïðèìåð: ìåõàíè÷åñêàÿ, âíóòðåííÿÿ, ýíåðãèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ, âíóòðèÿäåðíûõ âçàèìîäåéñòâèé è äð. Ýíåðãèÿ ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó ñîõðàíåíèÿ, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âàæíåéøèõ çàêîíîâ ïðèðîäû. Ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ W — ñóììà êèíåòè÷åñêîé Wê è ïîòåíöèàëüíîé Wï ýíåðãèé: W = Wê + Wï. (1.78) Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ Wê ìàòåðèàëüíîé òî÷êè èëè òåëà ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ìåõàíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ, çàâèñÿùåé îò ñêîðîñòåé èõ äâèæåíèÿ â äàííîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà: Wê = mv 2 . 2 (1.79) Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû — ñóììà êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé òåë ñèñòåìû: Wê = å Wê i . (1.80) i Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ òåëà Wê = å i mi v i2 m w 2 ri2 w 2 =å i = 2 2 2 i å mi ri2 = i I zw 2 . 2 (1.81) Çàêîí èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè: èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïðè ïåðåõîäå åå èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå ðàâíî ðàáîòå âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó: Aâñåõ ñèë = Wêêîí - Wêíà÷ . (1.82) Ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé Wï íàçûâàåòñÿ ÷àñòü ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, çàâèñÿùàÿ îò êîíôèãóðàöèè ñèñòåìû, ò. å. îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ åå ÷àñòåé è èõ ïîëîæåíèÿ âî âíåøíåì ñèëîâîì ïîëå. 28 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò îò îòíîñèòåëüíîãî ðàñïîëîæåíèÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è îòíîñèòñÿ êî âñåé ñîâîêóïíîñòè âçàèìîäåéñòâóþùèõ îáúåêòîâ. Ïîýòîìó åå íàçûâàþò âçàèìíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé. Ãîâîðÿ î ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè îäíîé òî÷êè, âñåãäà èìåþò â âèäó è äðóãèå, ñ êîòîðûìè îíà âçàèìîäåéñòâóåò. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, ïîñêîëüêó ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò íå ñàìà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, à åå èçìåíåíèå ïðè ïåðåõîäå èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Ìåðîé èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïðè åå ïåðåõîäå èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå ÿâëÿåòñÿ ðàáîòà ïîòåíöèàëüíûõ ñèë, îñóùåñòâëÿþùèõ âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàìè ñèñòåìû. Ïðè ýòîì ðàáîòà ïîòåíöèàëüíûõ ñèë ðàâíà óáûëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè: Aï.ñèë = Wïíà÷ - Wïêîí . (1.83) Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.74)–(1.76) äëÿ ðàáîòû ïîòåíöèàëüíûõ ñèë, íàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ïîëå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèë: 1. à) ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ òåë ìàññàìè m1 è m2, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè r äðóã îò äðóãà (ñì. ðèñ. 1.6), Wï = -G m1 m2 ; r (1.84) á) ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òåëà ìàññîé m, íàõîäÿùåãîñÿ â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé y âáëèçè ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû (ñì. ðèñ. 1.18, á), Wï = mgy. (1.85) 2. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãî ñæàòîé èëè ðàñòÿíóòîé ïðóæèíû (ñì. ðèñ. 1.7) Wï = kDx 2 . 2 (1.86) Ðàáîòó âñåõ ñèë â çàìêíóòîé ñèñòåìå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ðàáîò ïîòåíöèàëüíûõ ñèë è ñèë òðåíèÿ (ñîïðîòèâëåíèÿ): Aâñåõ ñèë = Aï.ñèë + Aòð . Ñ ó÷åòîì (1.82)–(1.83) Wêêîí - Wêíà÷ = Wïíà÷ - Wïêîí + Aòð 29 èëè (Wêêîí ) ) + Wïêîí - (Wêíà÷ + Wïíà÷ = Aòð . Ïðèõîäèì ê çàêîíó èçìåíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè: èçìåíåíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè çàìêíóòîé ñèñòåìû ðàâíî ðàáîòå ñèë òðåíèÿ (ñîïðîòèâëåíèÿ): W êîí - W íà÷ = Aòð = -Fòð s < 0. (1.87) Åñëè ñèñòåìà êîíñåðâàòèâíà (íåò ñèë òðåíèÿ), òî Aòð = 0. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè: ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ çàìêíóòîé êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû íå èçìåíÿåòñÿ: Wê + Wï = const. (1.88) Åñëè ñèñòåìà íåêîíñåðâàòèâíà, òî â íåé ïðîèñõîäèò äèññèïàöèÿ ýíåðãèè — ðàññåèâàíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, ïåðåõîä åå â äðóãèå âèäû. Ñîóäàðåíèå òåë Óäàð — çíà÷èòåëüíîå èçìåíåíèå ñêîðîñòåé òåë çà î÷åíü ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè èõ ñòîëêíîâåíèÿ. Ïðè ñîóäàðåíèÿõ òåëà äåôîðìèðóþòñÿ. Åñëè ïðè ñîóäàðåíèÿõ â íåêîòîðîé ñèñòåìå èìïóëüñîì âíåøíèõ ñèë ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî èìïóëüñ ñèñòåìû íå èçìåíÿåòñÿ (âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû). Ïðè àáñîëþòíî óïðóãîì óäàðå ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ñîóäàðÿþùèõñÿ òåë ïîòåíöèàëüíû.  ðåçóëüòàòå òàêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû íå èçìåíÿåòñÿ. Ïðè àáñîëþòíî íåóïðóãîì óäàðå ìåæäó òåëàìè äåéñòâóþò íåïîòåíöèàëüíûå ñèëû, è ïîñëå òàêîãî óäàðà òåëà äâèæóòñÿ êàê åäèíîå öåëîå ñ îáùåé ñêîðîñòüþ. Óäàð íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì, åñëè ñêîðîñòè òåë äî óäàðà íàïðàâëåíû âäîëü ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé öåíòðû ìàññ òåë. Ïðèìåð 1. Öåíòðàëüíûé àáñîëþòíî óïðóãèé óäàð äâóõ øàðîâ (ðèñ. 1.19). Âûïîëíÿþòñÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìÐèñ. 1.19 ïóëüñà è ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè: 30 ïì m1v 1x + m2 v 2 x = m1 u 1x + m2 u 2 x ; ïï í m1v 12 m2 v 22 m1 u 12 m2 u 22 ï + = + . ï 2 2 2 2 ïî Ðåøèâ ñèñòåìó, ìîæíî ïîëó÷èòü: u 1x = ( m1 - m2 )v 1x + 2 m2 v 2 x ; m1 + m2 u 2x = ( m2 - m1 )v 2 x + 2 m1v 1x . m1 + m2 Ïðèìåð 2. Öåíòðàëüíûé àáñîëþòíî íåóïðóãèé óäàð äâóõ øàðîâ (ñì. ðèñ. 1.19). Âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà: m1v 1x + m2 v 2 x = ( m1 + m2 )u x , îòêóäà ux = m1v 1x + m2 v 2 x . ( m1 + m2 ) Èçìåíåíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû äâóõ øàðîâ DW = Wê 2 - Wê 1 = =- (m1 + m2 )u 2 2 æm v 2 m v 2 ö÷ - ççç 1 1 + 2 2 ÷÷ = 2 ÷÷ø çè 2 2 m1 m2 (v 1 - v 2 ) < 0. 2(m1 + m2 ) Àíàëîãèÿ â äèíàìèêå Àíàëîãèþ â äèíàìèêå ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé ìîæíî ïðîñëåäèòü ïî òàáë. 1.3. Òàáëèöà 1.3 Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå Ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû Ìàññà, êã Ñèëà, Í Èìïóëüñ, êã·ì/ñ m r F , Fx r p, px Ìîìåíò èíåðöèè, êã·ì2 Ìîìåíò ñèëû, Í·ì Ìîìåíò èìïóëüñà, êã·ì2/ñ Iz r M O , Mz r LO , Lz 31 Îêîí÷àíèå òàáë. 1.3 Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå r r dp = å Fi e dt i dpx = å Fixe dt i Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå Çàêîíû èçìåíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû r r dLO = å M Oe i dt i dLz = å M zei dt i Îñíîâíîå óðàâíåíèå äëÿ òåëà maCx = å Fixe I ze z = å M zei i i Ðàáîòà, Äæ DA = Ft Ds DA = M zDj Ìîùíîñòü, Âò N = Ft v N = M zw Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, Äæ mv 2 Wê = 2 Wê = I zw2 2 1.3. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå Õàðàêòåðèñòèêè êîëåáàíèé Êîëåáàíèÿìè èëè êîëåáàòåëüíûìè äâèæåíèÿìè íàçûâàþòñÿ äâèæåíèÿ èëè ïðîöåññû, îáëàäàþùèå òîé èëè èíîé ñòåïåíüþ ïîâòîðÿåìîñòè âî âðåìåíè. Íàïðèìåð, ìåõàíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ òåëà, ïîäâåøåííîãî íà ïðóæèíå, êà÷àíèå ìàÿòíèêîâ, êîëåáàíèÿ ñòðóíû, âèáðàöèè, ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ è äð. Ðàçíîîáðàçíûå ïî ïðèðîäå, êîëåáàíèÿ ìîãóò èìåòü îáùèå çàêîíîìåðíîñòè è îïèñûâàòüñÿ îäíîòèïíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Ïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ — êîëåáàíèÿ, ïðè êîòîðûõ çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, èçìåíÿþùèõñÿ â ïðîöåññå êîëåáàíèé, ïîâòîðÿþòñÿ ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè. Íàïðèìåð, ïîëîæåíèå ìàÿòíèêà â ÷àñàõ, àáñîëþòíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà â ñåòè ïåðåìåííîãî òîêà. Ïåðèîäîì êîëåáàíèé T íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî ïîâòîðÿþòñÿ çíà÷åíèÿ âñåõ âåëè÷èí, õàðàêòåðèçóþùèõ êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. [T] = ñ. 32 ×àñòîòà n — ÷èñëî êîëåáàíèé â åäèíèöó âðåìåíè. Åäèíèöà ÷àñòîòû — ãåðö: [n] = Ãö. ×àñòîòà — âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ ïåðèîäó: 1 n= . T Öèêëè÷åñêàÿ (êðóãîâàÿ) ÷àñòîòà w — ÷èñëî êîëåáàíèé çà 2p åäèíèö âðåìåíè, [w] = ðàä/ñ: w = 2pn. ×àñòíûì ñëó÷àåì ïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ — êîëåáàíèÿ, ñîâåðøàþùèåñÿ ïî çàêîíó ñèíóñà èëè êîñèíóñà. Ïóñòü íåêîòîðàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âäîëü íåêîòîðîé îñè x.  ýòîì ñëó÷àå åå êîîðäèíàòà ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó: x = A cos(wt + a ). Êîîðäèíàòó ìàòåðèàëüíîé òî÷êè x íàçûâàþò ñìåùåíèåì èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. A = xmax — àìïëèòóäà êîëåáàíèé, j = wt + a — ôàçà êîëåáàíèé, a — íà÷àëüíàÿ ôàçà. Çíà÷åíèÿ âåëè÷èí A è a îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå. Öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà w ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. Ñèñòåìà, ñîâåðøàþùàÿ ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì îñöèëëÿòîðîì. Ïðîñòåéøåé ìîäåëüþ ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ÿâëÿåòñÿ êîëåáàíèå r ïðîåêöèè x êîíöà ðàäèóñà-âåêòîðà r òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà A ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w0 (ðèñ. 1.20). Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé íàçûâàþò âåêòîðíîé äèàãðàììîé. Óãîë ïîâîðîòà ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ: j = w0t + a. Ïðîåêöèÿ æå êîíöà ðàäèóñà-âåêòîðà òî÷êè ìåíÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó: x = A cos(w 0 t + a). (1.89) Ñâîáîäíûìè íàçûâàþòñÿ òàêèå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò â ñèñòåìå, íå ïîäâåðæåííîé äåéñòâèþ ïåðåìåííûõ âíåøíèõ ñèë. Ïðè- Ðèñ. 1.20 33 ìåðîì ìîãóò ñëóæèòü êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, îäíîêðàòíî âûâåäåííîãî èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Åñëè ñèñòåìà êîíñåðâàòèâíà, òî â íåé íå ïðîèñõîäèò ðàññåÿíèÿ ýíåðãèè (äèññèïàöèè). Íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ — êîëåáàíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå â êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìå. Ñêîðîñòü ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ vx = æ dx = - Aw 0 sin(w 0 t + a) = v max cosççw 0 t + a + çè dt p ö÷ ÷, 2 ÷÷ø (1.90) ãäå Aw 0 = v max — àìïëèòóäà ñêîðîñòè. Èç ñðàâíåíèÿ (1.89) è (1.90) ñëåp äóåò, ÷òî ñêîðîñòü îïåðåæàåò ñìåùåíèå ïî ôàçå íà (ðèñ. 1.21). 2 Óñêîðåíèå ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ dv x d 2 x = 2 = dt dt 2 = - Aw 0 cos(w 0 t + a) = ax = (1.91) = -w 20 x = = a max cos(w 0 t + a + p), ãäå Aw 20 = a max — àìïëèòóäà óñêîðåíèÿ. Èç ñðàâíåíèÿ (1.89) è (1.91) ñëåäóåò, ÷òî óñêîðåíèå îïåðåæàåò ñìåùåíèå ïî ôàçå íà p, ò. å. óñêîðåíèå è ñìåùåíèå ìåíÿþòñÿ â ïðîòèâîôàçå (ñì. ðèñ. 1.21). Èç óðàâíåíèÿ (1.91) òàêæå âèäíî, ÷òî a x = -w 20 x èëè d2x + w 20 x = 0. 2 dt Ðèñ. 1.21 34 (1.92) Ñîîòíîøåíèå (1.92) íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì êîëåáàíèé (ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ). Ôóíêöèÿ (1.89) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ. Îïðåäåëèì ñèëó, ïîä äåéñòâèåì êîòîðîé ïðîèñõîäÿò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ òåëà ìàññîé m âäîëü îñè x. Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà ñ ó÷åòîì (1.91) (1.93) Fx = ma x = -mw 20 x = -kx. Ñèëû òèïà (1.93), ïðîïîðöèîíàëüíûå ñìåùåíèþ òåëà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, íåçàâèñèìî îò èõ ïðèðîäû íàçûâàþò êâàçèóïðóãèìè. Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè k = mw 20 íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì êâàçèóïðóãîé ñèëû. Ïîä äåéñòâèåì êâàçèóïðóãîé ñèëû òèïà (1.93) òåëî áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó (1.89). Êâàçèóïðóãàÿ ñèëà îáóñëîâëèâàåò íàëè÷èå ó òåëà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè kx 2 kA 2 (1.94) cos 2 (w 0 t + a). Wï = = 2 2 Êîëåáëþùååñÿ òåëî îáëàäàåò òàêæå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé Wê = mv 2 mA 2 w 20 sin 2 (w 0 t + a). = 2 2 (1.95) Ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ (ýíåðãèÿ êîëåáàíèé) W = Wê + Wï = 2 kA 2 mv max mA 2 w 20 . = = 2 2 2 (1.96) Ìàÿòíèêè Ìàÿòíèê — òâåðäîå òåëî, ñïîñîáíîå ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ âäîëü èëè âîêðóã íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé îñè. Ïðóæèííûé ìàÿòíèê — òåëî, ïðèêðåïëåííîå ê ïðóæèíå è ñïîñîáíîå ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ âäîëü íåêîòîðîé îñè. Åñëè òàêîé ìàÿòíèê íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, òî â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ óäëèíåíèå ïðóæèíû îòëè÷íî îò íóëÿ: Dx = d (ðèñ. 1.22), ñèëà òÿæåñòè óðàâíîâåøèâàåòñÿ ñèëîé óïðóãîñòè: mg = kd. (1.97) Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ìàÿòíèêà, îòêëîíåííîãî èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ñ ó÷åòîì (1.97): ma x = mg + Fóïð x = mg - k ( x + d ) = -kx. 35 d2x , ïðèdt 2 õîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ êîëåáàíèé ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà: d2x k + x = 0. (1.98) m dt 2 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî a x = Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå òèïà (1.92), ãäå w0 — öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà (ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé), k . (1.99) w0 = m Ðèñ. 1.22 Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ (1.89). Ïåðèîä êîëåáàíèé ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà T= 2p m . = 2p k w0 (1.100) Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê — èäåàëèçèðîâàííàÿ ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé íèòè, íà êîòîðîé ïîäâåøåíî òåëî, ìàññà êîòîðîãî ñîñðåäîòî÷åíà â îäíîé òî÷êå è êîòîðîå ìîæåò ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè. Äîñòàòî÷íî õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì ê ìàòåìàòè÷åñêîìó ìàÿòíèêó ñëóæèò íåáîëüøîé òÿæåëûé øàðèê, ïîäâåøåííûé íà äëèííîé òîíêîé íèòè (ðèñ. 1.23, à). Ìîìåíò èíåðöèè øàðèêà ìàññîé m íà íèòè äëèíîé l îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè z, ïðîõîäÿÐèñ. 1.23 ùåé ÷åðåç òî÷êó ïîäâåñà, 36 I z = ml 2 . Îòêëîíåíèå ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ïðè êîëåáàíèÿõ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè z) áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü óãëîì j, îáðàçîâàííûì íèòüþ ñ âåðòèêàëüþ. Âîçíèêàþùèé ïðè ýòîì ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè ñòðåìèòñÿ âåðíóòü ñèñòåìó â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ (åãî äåéñòâèå àíàëîãè÷íî äåéñòâèþ êâàçèóïðóãîé ñèëû (1.93)): M z = -mgl sin j, ãäå l sin j — ïëå÷î ñèëû òÿæåñòè. Ïðèìåíèì îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ (1.65) äëÿ ìàÿòíèêà, îòêëîíåííîãî èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (ñì. ðèñ. 1.23, à): I ze = å M z , èëè ml 2 e = -mgl sin j. Îãðàíè÷èâøèñü ðàññìîòðåíèåì ìàëûõ êîëåáàíèé, ìîæíî ïîëîæèòü d 2j sin j » j. Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî e = 2 , ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó dt óðàâíåíèþ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà: d 2j g + j = 0. l dt 2 (1.101) Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå òèïà (1.92) îòíîñèòåëüíî óãëà ïîâîðîòà (óãëîâîãî ñìåùåíèÿ): d 2j (1.102) + w 20 j = 0, dt 2 ãäå w0 — öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, w0 = g . l (1.103) T = 2p l . g (1.104) Ïåðèîä êîëåáàíèé 37 Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.102) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ j = j max cos(w 0 t + a ), (1.105) ãäå jmax è a îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê — òâåðäîå òåëî, ñïîñîáíîå ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè, íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð ìàññ (ðèñ. 1.23, á). Ïðèìåíèì îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ (1.65) äëÿ ìàÿòíèêà, îòêëîíåííîãî èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ: I z e = -mgb sin j, ãäå Iz — ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîé îñè z, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ïîäâåñà; b — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè ïîäâåñà äî öåíòðà ìàññ; bsinj — ïëå÷î ñèëû òÿæåñòè. Ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî ìàëûå îòêëîíåíèÿ (sin j » j), ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà: d 2 j mgb + j = 0. Iz dt 2 (1.106) Ïîëó÷åíî óðàâíåíèå òèïà (1.102) îòíîñèòåëüíî óãëà ïîâîðîòà (óãëîâîãî ñìåùåíèÿ), ðåøåíèåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ (1.105). Ïðè ýòîì w0 — öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, w0 = mgb . Iz (1.107) T = 2p Iz . mgb (1.108) Ïåðèîä êîëåáàíèé Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ôîðìóë (1.104) è (1.108) ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê ñ äëèíîé íèòè L= Iz mb (1.109) áóäåò èìåòü òàêîé æå ïåðèîä êîëåáàíèé, êàê è äàííûé ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèê. Âåëè÷èíó L íàçûâàþò ïðèâåäåííîé äëèíîé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Òàêèì îáðàçîì, ïðèâåäåííàÿ äëèíà ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà L — ýòî äëèíà 38 òàêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, ïåðèîä êîëåáàíèé êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ïåðèîäîì êîëåáàíèé äàííîãî ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Òî÷êà íà ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êó ïîäâåñà ñ öåíòðîì ìàññ, óäàëåííàÿ íà ðàññòîÿíèå ïðèâåäåííîé äëèíû îò îñè âðàùåíèÿ, íàçûâàåòñÿ öåíòðîì êà÷àíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (ñì. ðèñ. 1.23, á, ò. O¢). Ïî òåîðåìå Øòåéíåðà ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå (1.110) I z = I zC + mb 2 , ãäå I zC — ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ è ïàðàëëåëüíîé îñè âðàùåíèÿ z; b — ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè. Ïîäñòàâèâ (1.110) â (1.109), ïîëó÷àåì L= I zC + b, mb (1.111) îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî L > b, òàê ÷òî òî÷êà ïîäâåñà è öåíòð êà÷àíèÿ ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò öåíòðà ìàññ. Åñëè ìàÿòíèê ïîäâåñèòü çà öåíòð êà÷àíèÿ O ¢, òî ïåðèîä êîëåáàíèé íå èçìåíèòñÿ. Ñëîæåíèå êîëåáàíèé îäèíàêîâîãî íàïðàâëåíèÿ è îäíîé ÷àñòîòû Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ òàêèì äâèæåíèåì, ïðè êîòîðîì òåëî ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ èëè íåñêîëüêèõ êîëåáàíèÿõ. Íàïðèìåð, åñëè ãðóç ïîäâåøåí íà ïðóæèíå ê ïîòîëêó âàãîíà, òî ãðóç ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïîäâåñà, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, êîëåáëåòñÿ íà ðåññîðàõ âàãîíà. Òàêèì îáðàçîì, ãðóç ñîâåðøàåò äâèæåíèå, ñêëàäûâàþùååñÿ èç äâóõ êîëåáàíèé îäíîãî íàïðàâëåíèÿ. Ïóñòü òåëî ó÷àñòâóåò îäíîâðåìåííî â äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ îäíîé ÷àñòîòû w0: x1 = A1 cos(w 0 t + a 1 ), (1.112) x 2 = A2 cos(w 0 t + a 2 ). Ïðåäñòàâèì îáà rêîëåáàíèÿ r ñ ïîìîùüþ âåêòîðîâ A1 è A2 íà âåêòîðíîé äèàãðàììå (ðèñ. 1.24). Ðèñ. 1.24 39 r Ïîñòðîèì ïî ïðàâèëàì ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ ðåçóëüòèðóþùèé âåêòîð A. Ïðîåêöèÿ ýòîãî âåêòîðà íà îñü õ ðàâíà ñóììå ïðîåêöèé ñëàãàåìûõ âåêòîðîâ: õ = õ1 + õ2. r Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð A ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòèðóþùåå êîëåáàíèå.rÝòîòr âåêòîð âðàùàåòñÿ ñ òîé æå óãëîâîé ñêîðîñòüþ w0, ÷òî è âåêòîðû A1 è A2 , òàê ÷òî ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå áóäåò ãàðìîíè÷åñêèì êîëåáàíèåì ñ ÷àñòîòîé w0, àìïëèòóäîé À è íà÷àëüíîé ôàçîé a: x = A cos(w 0 t + a). (1.113) Èç ïîñòðîåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü: A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(a 1 - a 2 ); tg a = A1 sin a 1 + A2 sin a 2 . A1 cos a 1 + A2 cos a 2 (1.114) Ïðîàíàëèçèðóåì âûðàæåíèå (1.114) äëÿ àìïëèòóäû: 1) åñëè ðàçíîñòü ôàç îáîèõ êîëåáàíèé a2 – a1 = 0, òî àìïëèòóäà ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ À = À1 + À2; 2) åñëè a2 – a1 = ±p, ò. å. îáà êîëåáàíèÿ íàõîäÿòñÿ â ïðîòèâîôàçå, òî À = |À1 – À2|. r r Åñëè ÷àñòîòû êîëåáàíèé õ1 è õ2 íåîäèíàêîâû, âåêòîðû A1 è A2 áóäóò âðàùàòüñÿ ñ ðàçëè÷íîé ñêîðîñòüþ.  ýòîì ñëó÷àå ðåçóëüòèðóþùèé âåêr òîð A ïóëüñèðóåò ïî âåëè÷èíå è âðàùàåòñÿ ñ íåïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Ðåçóëüòèðóþùèì äâèæåíèåì â ýòîì ñëó÷àå áóäåò íå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå, à íåêîòîðûé ñëîæíûé ïðîöåññ. Áèåíèÿ Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà äâà ñêëàäûâàåìûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿ îäèíàêîâîãî íàïðàâëåíèÿ èìåþò îäèíàêîâóþ àìïëèòóäó è ìàëî îòëè÷àþòñÿ ïî ÷àñòîòå. Ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ïóëüñèðóþùåé àìïëèòóäîé. Òàêèå êîëåáàíèÿ íàçûâàþòñÿ áèåíèÿìè. Ïîñêîëüêó ÷àñòîòû êîëåáàíèé íåñêîëüêî îòëè÷íû, âñåãäà ìîæíî âûáðàòü íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè òàê, ÷òîáû íà÷àëüíûå ôàçû îáîèõ êîëå40 áàíèé áûëè ðàâíû íóëþ. Ñêëàäûâàåìûå êîëåáàíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå: æ Dw ö÷ ÷t; x1 = A cosççw 0 çè 2 ÷÷ø æ Dw ö÷ ÷t, x 2 = A cosççw 0 + çè 2 ÷ø÷ (1.115) ïðè ýòîì Dw << w 0 . Ñêëàäûâàÿ ýòè âûðàæåíèÿ è ïðèìåíÿÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ ñóììû êîñèíóñîâ, ïîëó÷èì æ Dw ö÷ x = x1 + x 2 = çç2 A cos t÷ cos w 0 t. çè 2 ÷÷ø (1.116) Ãðàôèê ôóíêöèè (1.116) ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 1.25, à. Ãðàôèê ïîñòðîåí äëÿ ñëó÷àÿ w/Dw = 10. Çàêëþ÷åííûé â ñêîáêè ìíîæèòåëü â ôîðìóëå (1.116) èçìåíÿåòñÿ ãîðàçäî ìåäëåííåå, ÷åì âòîðîé ìíîæèòåëü. Âñëåäñòâèå óñëîâèÿ w0 >> Dw, çà òî âðåìÿ, çà êîòîðîå ìíîæèòåëü cos w0t ñîâåðøàåò íåñêîëüêî ïîëíûõ êîëåáàíèé, ìíîæèòåëü, ñòîÿùèé â ñêîáêàõ, ïî÷òè íå èçìåíèòñÿ. Ýòî äàåò íàì îñíîâàíèå ðàññìàòðèâàòü êîëåáàíèå (1.116) êàê ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ÷àñòîòû w0, àìïëèòóäà êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ ïî Ðèñ. 1.25 íåêîòîðîìó ïåðèîäè÷åñêîìó çàêîíó. Ãðàôèê àìïëèòóäû ïîêàçàí íà ðèñ. 1.25, á. Àìïëèòóäà — âåëè÷èíà ïîëîæèòåëüíàÿ, ïîýòîìó âûðàæåíèå äëÿ ðåçóëüòèðóþùåé àìïëèòóäû, î÷åâèäíî, èìååò âèä ½ Dw ½½ Aðåç = ½2 A cos t. ½ 2 ½ (1.117) Âûðàæåíèå (1.117) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ÷àñòîòîé, â 2 ðàçà ïðåâûøàþùåé ÷àñòîòó âûðàæåíèÿ, ñòîÿùåãî ïîä çíàêîì ìîäóëÿ, ò. å. ñ ÷àñòîòîé Dw. Òàêèì îáðàçîì, ÷àñòîòà ïóëüñàöèé àìïëèòóäû — åå íàçûâàþò ÷àñòîòîé áèåíèé — ðàâíà ðàçíîñòè ÷àñòîò ñêëàäûâàåìûõ êîëåáàíèé. 41 Ñëîæåíèå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé Ïðèìåðîì ñëîæåíèÿ êîëåáàíèé ðàçëè÷íîãî íàïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå ñëåäà ïó÷êà ýëåêòðîíîâ íà ýêðàíå ýëåêòðîííî-ëó÷åâîé òðóáêè (íàïðèìåð, îñöèëëîãðàôà) ïîä äåéñòâèåì íà ïó÷îê äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïåðåìåííûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé. Ðàññìîòðèì ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäíîé ÷àñòîòû w0, ïðîèñõîäÿùèõ âäîëü êîîðäèíàòíûõ îñåé x è y. Åñëè âîçáóäèòü îáà êîëåáàíèÿ, òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà áóäåò äâèãàòüñÿ ïî íåêîòîðîé, âîîáùå ãîâîðÿ, êðèâîëèíåéíîé òðàåêòîðèè, ôîðìà êîòîðîé çàâèñèò îò ðàçíîñòè ôàç îáîèõ êîëåáàíèé. Âûáåðåì íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè òàê, ÷òîáû íà÷àëüíàÿ ôàçà ïåðâîãî êîëåáàíèÿ áûëà ðàâíà íóëþ. Òîãäà óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé çàïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: é x = A cos w 0 t, ê ê y = B cos(w 0 t + a), ë (1.118) ãäå a — ðàçíîñòü ôàç ñêëàäûâàåìûõ êîëåáàíèé. Âûðàæåíèå (1.118) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäàííîå â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèå òðàåêòîðèè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ òåëî, ó÷àñòâóþùåå â îáîèõ êîëåáàíèÿõ. Èñêëþ÷èâ èç ýòèõ óðàâíåíèé ïàðàìåòð âðåìåíè t, ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè â íåÿâíîì âèäå: y 2 2 xy x2 + cos a = sin 2 a. 2 2 AB A B (1.119) Èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå (1.119) åñòü óðàâíåíèå ýëëèïñà, îñè êîòîðîãî îðèåíòèðîâàíû îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé x è y îïðåäåëåííûì îáðàçîì. Îðèåíòàöèÿ ýëëèïñà è âåëè÷èíà åãî ïîëóîñåé çàâèñÿò äîâîëüíî ñëîæíûì îáðàçîì îò àìïëèòóä À è  è ðàçíîñòè ôàç a. Èññëåäóåì ôîðìó òðàåêòîðèè â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. 1. a = 0.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (1.119) ïðèíèìàåò âèä 2 æç x y ö÷ çç - ÷÷ = 0, è A B ÷ø îòêóäà ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå ïðÿìîé (ðèñ. 1.26, à): 42 Ðèñ. 1.26 y= B x. A (1.120) 2. a = ±p. Óðàâíåíèå (1.119) ïðèíèìàåò âèä 2 æç x y ÷ö ÷ çç + ÷ = 0, è A B ÷ø îòêóäà ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå ïðÿìîé (ðèñ. 1.26, á): y =- B x. A (1.121) 3. a = ±p/2. Óðàâíåíèå (1.119) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå ýëëèïñà (ðèñ. 1.26, â): y2 x2 + = 1, A2 B2 (1.122) ïðèâåäåííîãî ê êîîðäèíàòíûì îñÿì, ïðè÷åì ïîëóîñè ýëëèïñà ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì àìïëèòóäàì êîëåáàíèé. Ïðè ðàâåíñòâå àìïëèòóä ýëëèïñ âûðîæäàåòñÿ â îêðóæíîñòü. Ñëó÷àè a = p 2 è a = - p 2 îòëè÷àþòñÿ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ïî ýëëèïñó èëè îêðóæíîñòè. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w0 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ñóììà äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé: é x = R cos w 0 t, ê êë y = ±R sin w 0 t (1.123) 43 (çíàê «+» â âûðàæåíèè äëÿ y ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, çíàê «–» — äâèæåíèþ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå).  ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòîòû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé îòëè÷àþòñÿ íà î÷åíü ìàëóþ âåëè÷èíó Dw, èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîëåáàíèÿ îäèíàêîâîé ÷àñòîòû, íî ñ èçìåíÿþùåéñÿ ðàçíîñòüþ ôàç. Ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå â ýòîì ñëó÷àå ïðîèñõîäèò ïî ìåäëåííî âèäîèçìåíÿþùåéñÿ êðèâîé, êîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèíèìàåò ôîðìó, îòâå÷àþùóþ âñåì çíà÷åíèÿì ðàçíîñòè ôàç îò –p äî +p. Åñëè ÷àñòîòû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé íå îäèíàêîâû, òî òðàåêòîðèÿ ðåçóëüòèðóþùåãî äâèæåíèÿ ìîæåò èìååò âèä äîâîëüíî ñëîæíûõ êðèâûõ, íàçûâàåìûõ ôèãóðàìè Ëèññàæó. Íà ðèñ. 1.27 ïîêàçàíà îäíà èç ïðîñòåéøèõ òðàåêòîðèé, ïîëó÷àþùàÿñÿ ïðè îòíîøåíèè ÷àñòîò 1 : 2, ðàçíîñòè ôàç, ðàâíîé p/2 (à) è íóëþ (á). Ðèñ. 1.27 Óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé èìåþò ñëåäóþùèé âèä: é x = A cos w 0 t, ê êë y = B cos( 2w 0 t + a ). Çà òî âðåìÿ, ïîêà âäîëü îñè x òî÷êà óñïåâàåò ïåðåìåñòèòüñÿ èç îäíîãî êðàéíåãî ïîëîæåíèÿ â äðóãîå, âäîëü îñè y, âûéäÿ èç íóëåâîãî ïîëîæåíèÿ, îíà óñïåâàåò äîñòèãíóòü îäíîãî êðàéíåãî ïîëîæåíèÿ, çàòåì äðóãîãî è âåðíóòüñÿ â íóëåâîå ïîëîæåíèå (ñì. ðèñ. 1.27, à).  ñëó÷àå ðàçíîñòè ôàç, ðàâíîé íóëþ, òðàåêòîðèÿ âûðîæäàåòñÿ â íåçàìêíóòóþ êðèâóþ (ñì. ðèñ. 1.27, á), ïî êîòîðîé òî÷êà äâèæåòñÿ òóäà è îáðàòíî. 44 Çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ Âî âñÿêîé ðåàëüíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå èìåþòñÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâèå êîòîðûõ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ýíåðãèè ñèñòåìû. Åñëè óáûëü ýíåðãèè íå âîñïîëíÿåòñÿ çà ñ÷åò ðàáîòû âíåøíèõ ñèë, òî êîëåáàíèÿ áóäóò çàòóõàòü. Çàòóõàþùèìè íàçûâàþòñÿ êîëåáàíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå â äèññèïàòèâíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå. Ïðè íåáîëüøèõ ñêîðîñòÿõ äâèæåíèÿ â ñðåäå ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè: Fñîïð x = -rv x = -r dx , dt (1.124) ãäå r — êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû. Çíàê ìèíóñ îáóñëîâëåí òåì, ÷òî ñèëà è ñêîðîñòü èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (âòîðîé çàêîí Íüþòîíà) ïðè íàëè÷èè êâàçèóïðóãèõ ñèë è ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ èìååò âèä ma x = -kx - rv x . Ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿ 2b = r k è w 20 = , m m (1.125) ãäå b — êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ; w0 — ñîáñòâåííàÿ öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñèñòåìû (÷àñòîòà, ñ êîòîðîé ïðîèñõîäèëè áû ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû ïðè îòñóòñòâèè ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû, ò. å. ïðè r = 0), ïåðåïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: d2x dx + 2b + w 20 x = 0. 2 dt dt (1.126) Ñîîòíîøåíèå (1.126) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé. Ïðè íå ñëèøêîì ñèëüíîì çàòóõàíèè (ïðè b < w0) îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.126) èìååò âèä x = A0 e -bt cos(w ç t + a). (1.127) Çäåñü íà÷àëüíûå àìïëèòóäà À0 è ôàçà a îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé, wç — öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé, 45 w ç = w 20 - b 2 . (1.128) Íà ðèñ. 1.28 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ôóíêöèè (1.127). Ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè ïîêàçàíû ïðåäåëû, â êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ ñìåùåíèå êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè õ. Ïðè ñëàáîì çàòóõàíèè äâèæåíèå ñèñòåìû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ÷àñòîòû wç ñ àìïëèòóäîé, èçìåíÿþùåéñÿ ïî çàêîíó: A( t ) = A0 e -bt . Ðèñ. 1.28 (1.129) Âåðõíÿÿ èç ïóíêòèðíûõ êðèâûõ íà ðèñ. 1.28 äàåò ãðàôèê ôóíêöèè À(t), ïðè÷åì âåëè÷èíà À0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àìïëèòóäó â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Õàðàêòåðèñòèêè çàòóõàíèÿ Êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé: b = r/2m. (1.130) Âðåìÿ ðåëàêñàöèè t — âðåìÿ, çà êîòîðîå àìïëèòóäà êîëåáàíèé óìåíüøàåòñÿ â å » 2,7 ðàç. Ñ ó÷åòîì (1.129) A( t ) A0 e -b t = = e bt = e, -b ( t + t ) A( t + t ) A0 e îòêóäà bt = 1, èëè 1 t= . b (1.131) Ïåðèîä çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé T= 2p 2p . = wç w 20 - b 2 (1.132) Äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ — îòíîøåíèå çíà÷åíèé àìïëèòóä, ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîìåíòàì âðåìåíè, îòëè÷àþùèìñÿ íà ïåðèîä 46 A( t ) = e bT . A( t + T ) (1.133) Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ l — íàòóðàëüíûé ëîãàðèôì îò äåêðåìåíòà çàòóõàíèÿ: l = ln A( t ) = bT . A( t + T ) (1.134) Çà âðåìÿ t ñèñòåìà óñïåâàåò ñîâåðøèòü Ne = t/T êîëåáàíèé. Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ îáðàòåí ïî âåëè÷èíå ÷èñëó êîëåáàíèé, ñîâåðøàåìûõ çà âðåìÿ ðåëàêñàöèè t: l= 1 . Ne (1.135) Äîáðîòíîñòü Q ñèñòåìû — âåëè÷èíà, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ÷èñëó êîëåáàíèé, ñîâåðøàåìûõ çà âðåìÿ ðåëàêñàöèè t: Q= p = pN e . l (1.136) Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ Âûíóæäåííûìè íàçûâàþòñÿ òàêèå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå âîçíèêàþò â êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùåéñÿ ñèëû (âûíóæäàþùåé ñèëû). Ïóñòü âûíóæäàþùàÿ ñèëà èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó: Fx = F0 cos wt, (1.137) ãäå F0 — àìïëèòóäà âûíóæäàþùåé ñèëû; w — åå ÷àñòîòà. Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà) êðîìå âûíóæäàþùåé ñèëû íåîáõîäèìî ó÷åñòü òàêæå è òå ñèëû, êîòîðûå äåéñòâóþò â ñèñòåìå ïðè ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ, ò. å. êâàçèóïðóãóþ ñèëó è ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû: ma x = -kx - rv x + F0 cos wt. Ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (1.125) ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé: 47 F d2x dx + 2b + w 20 x = 0 cos wt. 2 m dt dt (1.138) Ýòî íåîäíîðîäíîå (ïðàâàÿ ÷àñòü îòëè÷íà îò íóëÿ) äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Êàê èçâåñòíî èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ðàâíî ñóììå îáùåãî ðåøåíèÿ (1.127) îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1.126), ñîîòâåòñòâóþùåãî äàííîìó íåîäíîðîäíîìó, è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ äàííîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (êîòîðîå ìîæíî íàéòè ïî âèäó ïðàâîé ÷àñòè): x = A cos(wt - j). (1.139) Àìïëèòóäó A è îòñòàâàíèå ïî ôàçå j ìîæíî íàéòè, íåïîñðåäñòâåííî ïîäñòàâëÿÿ ÷àñòíîå ðåøåíèå (1.139) â óðàâíåíèå (1.138), îòêóäà A= F0 m (w 2 0 -w tgj = 2 ) 2 , + 4b w 2 (1.140) 2 2bw . w -w2 2 0 (1.141) Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.138), îïèñûâàþùåå ïîâåäåíèå ñèñòåìû ïðè âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ, âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: x = A0 e -bt cos(w ç t + a) + A cos(wt - j). Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ýòîì óðàâíåíèè èãðàåò çàìåòíóþ ðîëü òîëüêî â íà÷àëüíîé ñòàäèè ïðîöåññà ïðè óñòàíîâëåíèè êîëåáàíèé. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èç-çà ýêñïîíåíöèàëüíîãî ìíîæèòåëÿ e–bt ðîëü ýòîãî ñëàãàåìîãî óìåíüøàåòñÿ, è ïî ïðîøåñòâèè äîñòàòî÷íîãî âðåìåíè èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ñîõðàíÿÿ ëèøü âòîðîå ñëàãàåìîå. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ (1.139) îïèñûâàåò óñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé, ðàâíîé ÷àñòîòå âûíóæäàþùåé ñèëû. Àìïëèòóäà (1.140) âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïðîïîðöèîíàëüíà àìïëèòóäå âûíóæäàþùåé ñèëû. Äëÿ äàííîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû àìïëèòóäà çàâèñèò îò ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ îòñòàþò ïî ôàçå îò âûíó48 æäàþùåé ñèëû, ïðè÷åì âåëè÷èíà îòñòàâàíèÿ j òàêæå çàâèñèò îò ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû (ñì. (1.141)). Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îò ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïðè íåêîòîðîé îïðåäåëåííîé äëÿ äàííîé ñèñòåìû ÷àñòîòå àìïëèòóäà êîëåáàíèé äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ. ßâëåíèå ðåçêîãî âîçðàñòàíèÿ àìïëèòóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïðè ïðèáëèæåíèè ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû ê íåêîòîðîìó çíà÷åíèþ íàçûâàåòñÿ ðåçîíàíñîì, à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÷àñòîòà — ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé wðåç. Âûðàæåíèå äëÿ ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû ïîëó÷àåì, èññëåäîâàâ ôóíêöèþ (1.140) íà ìàêñèìóì: w ðåç = w 20 - 2b 2 . (1.142) Ýòîé ÷àñòîòå ñîîòâåòñòâóåò àìïëèòóäà Aðåç = F0 m 2b w 20 - b 2 . (1.143) Íà ðèñ. 1.29 ïðèâåäåíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû ïðè âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ îò ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû è îò êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ. Âèäíî, ÷òî ìàêñèìóì ðåçîíàíñíîé êðèâîé ñìåùåí âëåâî ïî îñè w îò w0; ýòî ñìåùåíèå áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ b. Âðåäíûå è ïîëåçíûå ïðîÿâëåíèÿ ðåçîíàíñíûõ ÿâëåíèé íàáëþäàþòñÿ â ïðèðîäå è òåõíèêå. Ðåçîíàíñ ïîëåçåí â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íåîáõîäèìî îáíàðóæèòü ñëàáûå êîëåáàíèÿ èëè óñèëèòü èõ. Íà ýòîì ÿâëåíèè îñíîâàíà âñÿ àïïàðàòóðà, âîñïðèíèìàþùàÿ è óñèëèâàþùàÿ Ðèñ. 1.29 çâóêîâûå è ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Íåðåäêî ÿâëåíèå ìåõàíè÷åñêîãî ðåçîíàíñà ñëóæèò ïðè÷èíîé êàòàñòðîô. Íàïðèìåð, ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà âèáðàöèé êîðïóñà êîðàáëÿ èëè êðûëüåâ ñàìîëåòà äîëæíà ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé, êîòîðûå ìîãóò áûòü âîçáóæäåíû âðàùåíèåì ãðåáíîãî âèíòà èëè ïðîïåëëåðà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîãóò âîçíèêíóòü ðàçðóøåíèÿ. Ïðè âðàùåíèè ïëîõî îòöåíòðèðîâàííîãî ìîòîðà âñëåäñòâèå ðåçîíàíñà ìîæåò ïðîèçîéòè åãî ïîëîìêà è ïîâðåæäåíèå ôóíäàìåíòà çäàíèÿ, íà êîòîðîì ðàñïîëîæåí ìîòîð. 49 1.4. Âîëíîâîå äâèæåíèå Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â óïðóãîé ñðåäå Êîëåáàíèÿ, âîçáóæäåííûå â êàêîé-ëèáî òî÷êå ñðåäû (òâåðäîé, æèäêîé èëè ãàçîîáðàçíîé), ïåðåäàþòñÿ îò îäíîé òî÷êè ñðåäû ê äðóãîé è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â íåé ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, çàâèñÿùåé îò ñâîéñòâ ñðåäû. ×åì äàëüøå ðàñïîëîæåíà ÷àñòèöà ñðåäû îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé, òåì ïîçäíåå îíà íà÷èíàåò êîëåáàòüñÿ. Èíà÷å ãîâîðÿ, ôàçû êîëåáàíèé ÷àñòèö ñðåäû è èñòî÷íèêà òåì áîëüøå îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà, ÷åì áîëüøå ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöåé è èñòî÷íèêîì. Ïðè èçó÷åíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé íå ó÷èòûâàåòñÿ äèñêðåòíîå (ìîëåêóëÿðíîå) ñòðîåíèå ñðåäû, îíà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñïëîøíàÿ, ò. å. íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííàÿ â ïðîñòðàíñòâå è îáëàäàþùàÿ óïðóãèìè ñâîéñòâàìè. Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé â ñïëîøíîé ñðåäå íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì äâèæåíèåì èëè âîëíîé. Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû ÷àñòèöû ñðåäû íå äâèæóòñÿ âìåñòå ñ âîëíîé, à êîëåáëþòñÿ îêîëî ñâîèõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ. Âìåñòå ñ âîëíîé îò ÷àñòèöû ê ÷àñòèöå ñðåäû ïåðåäàþòñÿ ëèøü ñîñòîÿíèå êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ è åãî ýíåðãèÿ. Ïîýòîìó îñíîâíûì ñâîéñòâîì âñåõ âîëí, íåçàâèñèìî îò èõ ïðèðîäû, ÿâëÿåòñÿ ïåðåíîñ ýíåðãèè áåç ïåðåíîñà âåùåñòâà. Âîëíû ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íóþ ôîðìó: à) îäèíî÷íîé âîëíîé èëè èìïóëüñîì íàçûâàåòñÿ êîðîòêîå âîçìóùåíèå, íå èìåþùåå ðåãóëÿðíîãî õàðàêòåðà (ðèñ. 1.30, à); á) öóã âîëí — îãðàíè÷åííûé ðÿä âîçìóùåíèé (ðèñ. 1.30, á); â) ãàðìîíè÷åñêàÿ âîëíà — áåñêîíå÷íàÿ ñèíóñîèäàëüíàÿ âîëíà (ðèñ. 1.31). Ñðåäè ðàçíîîáðàçíûõ âîëí, âñòðå÷àþùèõñÿ â ïðèðîäå è òåõíèêå, âûäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèå èõ òèïû: âîëíû íà ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè, óïðóãèå è ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Óïðóãèìè âîëíàìè íàçûâàþòñÿ ìåõàíè÷åñêèå âîçìóùåíèÿ, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â óïðóãîé ñðåäå. Óïðóãèå âîëíû áûâàþò ïðîäîëüíûå è ïîïåðå÷íûå.  ïðîäîëüíûõ âîëíàõ ÷àñòèöû êîëåáëþòñÿ â íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, â ïîïåðå÷íûõ — â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèþ ðàñïðîÐèñ. 1.30 ñòðàíåíèÿ âîëíû. 50 Ïðîäîëüíûå âîëíû ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ñðåäàõ, â êîòîðûõ âîçíèêàþò óïðóãèå ñèëû ïðè äåôîðìàöèè ñæàòèÿ è ðàñòÿæåíèÿ, ò. å. â òâåðäûõ, æèäêèõ è ãàçîîáðàçíûõ òåëàõ. Ïîïåðå÷íûå âîëíû ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ñðåäå, â êîòîðîé âîçíèêàþò óïðóãèå ñèëû ïðè äåôîðìàöèè ñäâèãà, ò. å. ôàêòè÷åñêè òîëüêî â òâåðäûõ òåëàõ; â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ âîçíèêàþò òîëüêî ïðîäîëüíûå âîëíû, à â òâåðäûõ òåëàõ — êàê ïðîäîëüíûå, òàê è ïîïåðå÷íûå. Óïðóãàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå åé êîëåáàíèÿ ÷àñòèö ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè. Íà ðèñ. 1.31 ïðåäñòàâëåíà ãàðìîíè÷åñêàÿ ïîïåðå÷íàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ ñî ñêîðîñòüþ v âäîëü îñè x, ò. å. ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü ìåæäó ñìåùåíèåì x ÷àñòèö ñðåäû, ó÷àñòâóþùèõ â âîëíîâîì ïðîöåññå, è ðàññòîÿíèåì x äî ýòèõ ÷àñòèö (íàïðèìåð, ÷àñòèöû Â) îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé äëÿ êàêîãî-òî ôèêñèðîâàííîãî ìîìåíòà âðåìåíè t. Ðàññòîÿíèå ìåæäó áëèæàéøèìè ÷àñòèöàìè, êîëåáëþùèìèñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå, íàçûâàåòñÿ äëèíîé âîëíû l (ñì. ðèñ. 1.31). Äëèíà âîëíû ðàâíà òîìó ðàññòîÿíèþ, íà êîòîðîå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà (îïðåäåëåííàÿ ôàçà êîëåáàíèÿ) çà ïåðèîä: l = vT, (1.144) Ðèñ. 1.31 èëè ln = v, (1.145) ãäå n = 1/T — ÷àñòîòà êîëåáàíèé. Åñëè ðàññìîòðåòü âîëíîâîé ïðîöåññ ïîäðîáíåå, òî ÿñíî, ÷òî êîëåáëþòñÿ íå òîëüêî ÷àñòèöû, ðàñïîëîæåííûå âäîëü îñè õ, íî è ñîâîêóïíîñòü ÷àñòèö, ðàñïîëîæåííûõ â íåêîòîðîì îáúåìå, ò. å. âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿÿñü îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé, îõâàòûâàåò âñå íîâûå è íîâûå îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, äî êîòîðûõ êîëåáàíèÿ äîõîäÿò ê ìîìåíòó âðåìåíè t, íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì ôðîíòîì. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, êîëåáëþùèõñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå, íàçûâàåòñÿ âîëíîâîé ïîâåðõíîñòüþ. Âîëíîâûõ ïîâåðõíîñòåé ìîæíî ïðîâåñòè áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî, à âîëíîâîé ôðîíò â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îäèí. Âîëíîâîé ôðîíò òàêæå ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé ïîâåðõíîñòüþ.  ïðèíöèïå, âîëíîâûå ïîâåðõíîñòè ìîãóò áûòü ëþáîé ôîðìû, à â ïðî51 ñòåéøåì ñëó÷àå îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ïëîñêîñòåé, ïàðàëëåëüíûõ äðóã äðóãó, èëè ñîâîêóïíîñòü êîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð. Ñîîòâåòñòâåííî, âîëíà íàçûâàåòñÿ ïëîñêîé èëè ñôåðè÷åñêîé. Óðàâíåíèå ïëîñêîé è ñôåðè÷åñêîé âîëí. Âîëíîâîå óðàâíåíèå Óðàâíåíèåì âîëíû íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, êîòîðîå äàåò ñìåùåíèå êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè êàê ôóíêöèþ åå êîîðäèíàò è âðåìåíè: x = x(x, y, z, t). Íàéäåì âèä ôóíêöèè x â ñëó÷àå ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè x (ñì. ðèñ. 1.31).  äàííîì ñëó÷àå âîëíîâûå ïîâåðõíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíû îñè x, à òàê êàê âñå òî÷êè âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè êîëåáëþòñÿ îäèíàêîâî, òî ñìåùåíèå x áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò x è t, ò. å. x = x(x, t). Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ÷àñòèöó ñðåäû  (ñì. ðèñ. 1.31), íàõîäÿùóþñÿ îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé íà ðàññòîÿíèè õ. Åñëè êîëåáàíèÿ òî÷åê, ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè õ = 0, îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèåé x(0, t) = A cos(wt + a), òî ÷àñòèöà ñðåäû  êîëåáëåòñÿ ïî òîìó æå çàêîíó, íî åå êîëåáàíèÿ áóäóò îòñòàâàòü ïî âðåìåíè îò êîëåáàíèé èñòî÷íèêà íà t, òàê êàê äëÿ ïðîõîæäåíèÿ âîëíîé ðàññòîÿíèÿ õ òðåáóåòñÿ âðåìÿ t = x/v, ãäå v — ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Òîãäà óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ ÷àñòèö, ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè õ, èìååò âèä ö æ w x( x, t) = A cos(w(t - x v ) + a) = A cosççwt - x + a÷÷÷, çè ÷ø v (1.146) îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî x(x, t) ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé âðåìåíè, íî è ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé êîîðäèíàòû õ. Çàôèêñèðóåì êàêîå-ëèáî çíà÷åíèå ôàçû âîëíû: æ xö wççt - ÷÷÷ + a = const. çè v ÷ø Âçÿâ äèôôåðåíöèàë ýòîãî âûðàæåíèÿ è ñîêðàòèâ íà w, ïîëó÷èì: dt - dx v = 0, îòêóäà dx = v. dt 52 Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü v ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â óðàâíåíèè (1.146) åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ôàçû âîëíû, ïîýòîìó åå íàçûâàþò ôàçîâîé ñêîðîñòüþ. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè âîëí èñïîëüçóåòñÿ òàêæå âîëíîâîå ÷èñëî k= w 2p = , v l (1.147) ñ ó÷åòîì êîòîðîãî óðàâíåíèþ (1.146) ìîæíî ïðèäàòü âèä x(x, t) = A cos(wt – kx + a), (1.148) ãäå (wt – kx + a) — ôàçà ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âîëíû, a — íà÷àëüíàÿ ôàçà, çàâèñÿùàÿ îò âûáîðà íà÷àëà îòñ÷åòà õ è t. Óðàâíåíèå (1.148) íàçûâàþò óðàâíåíèåì ïëîñêîé âîëíû. Åñëè ïëîñêàÿ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, òî x(x, t) = A cos(wt + kx + a). (1.149) Åñëè ïëîñêàÿ âîëíà (1.148) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ñðåäå, íå ïîãëîùàþùåé ýíåðãèþ, òî àìïëèòóäà âîëíû À = const. Ïîâòîðÿÿ õîä ðàññóæäåíèé äëÿ ïëîñêîé âîëíû, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå ñôåðè÷åñêîé âîëíû, âîëíîâûå ïîâåðõíîñòè êîòîðîé èìåþò âèä êîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð, çàïèñûâàåòñÿ êàê x(r, t ) = A0 cos(wt - kr + a ), r (1.150) ãäå r — ðàññòîÿíèå îò öåíòðà âîëíû äî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè ñðåäû.  ñëó÷àå ñôåðè÷åñêîé âîëíû äàæå â ñðåäå, íå ïîãëîùàþùåé ýíåðãèþ, àìïëèòóäà êîëåáàíèé íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, à óáûâàåò ñ ðàññòîÿíèåì ïî çàêîíó 1/r, ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî âñå áîëüøåé ïëîùàäè (S = 4pr2). Åñëè ôàçîâàÿ ñêîðîñòü âîëí çàâèñèò îò èõ ÷àñòîòû, òî ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé âîëí, à ñðåäà, â êîòîðîé íàáëþäàåòñÿ äèñïåðñèÿ âîëí,— äèñïåðãèðóþùåé ñðåäîé. Óðàâíåíèå ëþáîé âîëíû åñòü ðåøåíèå íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, íàçûâàåìîãî âîëíîâûì. Äëÿ ïëîñêîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè õ, âîëíîâîå óðàâíåíèå èìååò âèä ¶ 2x 1 ¶ 2x . = ¶x 2 v 2 ¶t 2 (1.151) 53 Ýíåðãèÿ óïðóãèõ âîëí. Âåêòîð Óìîâà Áåãóùèìè íàçûâàþòñÿ âîëíû, êîòîðûå ïåðåíîñÿò â ïðîñòðàíñòâå ýíåðãèþ. Åñëè ïîãëîùåíèåì ýíåðãèè ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè âîëíû ïðåíåáðå÷ü, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñÿ ýíåðãèÿ êîëåáàíèé W ÷àñòèö ñðåäû öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèì èçëó÷åíèåì èñòî÷íèêà (ñì. ñîîòíîøåíèå (1.96)): mA 2 w 2 , W= 2 ãäå m — ìàññà ñðåäû, âîâëå÷åííîé â êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ. Ýòà ýíåðãèÿ ïåðåäàåòñÿ ÷àñòèöàì ñðåäû îò èñòî÷íèêà è ðàñïðåäåëåíà â ïðîñòðàíñòâå íåðàâíîìåðíî. Ñðåäíÿÿ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé âîëíîé, < w >= W rA 2 w 2 , = V 2 (1.152) m . V Èòàê, ñðåäà, â êîòîðîé âîçíèêàåò âîëíà, îáëàäàåò äîïîëíèòåëüíûì çàïàñîì ýíåðãèè. Ýòà ýíåðãèÿ äîñòàâëÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà êîëåáàíèé â ðàçëè÷íûå òî÷êè ñðåäû ñàìîé âîëíîé, ñëåäîâàòåëüíî, âîëíà ïåðåíîñèò ñ ñîáîé ýíåðãèþ. Êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîå âîëíîé ÷åðåç íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü â åäèíèöó âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ ïîòîêîì ýíåðãèè Ô ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü: ãäå r — ïëîòíîñòü ñðåäû, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà, r = F= DW . Dt (1.153) Ïîòîê ýíåðãèè — ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà, ðàçìåðíîñòü êîòîðîé ðàâíà ðàçìåðíîñòè ýíåðãèè, äåëåííîé íà ðàçìåðíîñòü âðåìåíè, ò. å. ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ ìîùíîñòè: [Ô] = Âò. Ïîòîê ýíåðãèè â ðàçíûõ òî÷êàõ ñðåäû ìîæåò îáëàäàòü ðàçëè÷íîé èíòåíñèâíîñòüþ. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ïåðåíîñà ýíåðãèè â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà ââîäèòñÿ âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, íàçûâàåìàÿ ïëîòíîñòüþ ïîr òîêà ýíåðãèè j . Ýòîò âåêòîð äëÿ óïðóãèõ âîëí íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì Óìîâà. Íàïðàâëåíèå âåêòîðà Óìîâà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïåðåíîñà ýíåðãèè, à åãî ìîäóëü ðàâåí ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé âîëíîé çà åäèíèöó 54 âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ðàñïîëîæåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû (ðèñ. 1.32): j= DF DW wDSvDt = = = wv, DS DSDt DSDt r r (1.154) j = wv. Ðèñ. 1.32 Èòàê, âåêòîð Óìîâà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè íà âåêòîð ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû. Èíòåíñèâíîñòü âîëíû J — ñðåäíåå çíà÷åíèå ýíåðãèè, ïåðåíîñèìîé âîëíîé çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ðàñïîëîæåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû: J =< w > v = 1 rvw 2 A 2 . 2 (1.155) Èíòåðôåðåíöèÿ âîëí Ïðè îäíîâðåìåííîì ðàñïðîñòðàíåíèè íåñêîëüêèõ âîëí êîëåáàíèÿ ÷àñòèö ñðåäû îêàçûâàþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììîé êîëåáàíèé, êîòîðûå ñîâåðøàëè áû ÷àñòèöû ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè êàæäîé èç âîëí â îòäåëüíîñòè, ò. å. âîëíû ïðîñòî íàêëàäûâàþòñÿ îäíà íà äðóãóþ, íå âîçìóùàÿ äðóã äðóãà. Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè (íàëîæåíèÿ) âîëí.  ñëó÷àå, êîãäà êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííûå îòäåëüíûìè âîëíàìè â êàæäîé èç òî÷åê ñðåäû, îáëàäàþò ïîñòîÿííîé ðàçíîñòüþ ôàç, âîëíû íàçûâàþò êîãåðåíòíûìè. Î÷åâèäíî, ÷òî êîãåðåíòíûìè ìîãóò áûòü ëèøü âîëíû, èìåþùèå îäèíàêîâóþ ÷àñòîòó.  áîëåå øèðîêîì ñìûñëå ïîä êîãåðåíòíîñòüþ ïîíèìàþò ñîãëàñîâàííîå ïðîòåêàíèå äâóõ è áîëåå êîëåáàòåëüíûõ èëè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ. Ïðè íàëîæåíèè äâóõ (èëè áîëåå) êîãåðåíòíûõ âîëí â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà ïîëó÷àåòñÿ óñèëåíèå èëè îñëàáëåíèå ðåçóëüòèðóþùåé âîëíû â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ôàçàìè ýòèõ âîëí. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ èíòåðôåðåíöèåé âîëí. Ðàññìîòðèì äâå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ îò òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâ O1 è O2, êîëåáëþùèõñÿ ñ ïîñòîÿííîé ðàçíîñòüþ ôàç (òàêèå èñòî÷íèêè íàçûâàþò, êàê è ïîðîæäàåìûå èìè âîëíû, êîãåðåíòíûìè). Îïðåäå55 ëèì ðåçóëüòèðóþùåå êîëåáàíèå â êàêîé-ëèáî òî÷êå ñðåäû ïðè óñëîâèè, ÷òî îáà êîëåáàíèÿ, âûçûâàåìûå êàæäîé èç âîëí â îòäåëüíîñòè, èìåþò îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå. Ïóñòü ôàçû êîëåáàíèé èñòî÷íèêîâ O1 è O2 ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî (wt + a1) è (wt + a2). Òîãäà êîëåáàíèå â äàííîé òî÷êå áóäåò ðàâíî ñóììå êîëåáàíèé: x1(x, t) = A1 cos(wt – kr1 + a1), x2(x, t) = A2 cos(wt – kr2 + a2), ãäå A1 è A2 — àìïëèòóäû âîëí â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå; k — âîëíîâîå ÷èñëî; r1 è r2 — ðàññòîÿíèÿ îò èñòî÷íèêîâ âîëí äî ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè.  òî÷êàõ, îïðåäåëÿåìûõ óñëîâèåì k (r1 - r2 ) - (a 1 - a 2 ) = ±2 pm, m = 0, 1, 2, …, (1.156) êîëåáàíèÿ óñèëèâàþò äðóã äðóãà è ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ÷àñòîòû w ñ àìïëèòóäîé (A1 + A2). Óñëîâèå (1.156) íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì èíòåðôåðåíöèîííîãî ìàêñèìóìà.  òî÷êàõ, äëÿ êîòîðûõ æ k (r1 - r2 ) - (a 1 - a 2 ) = ±2 pççn + çè 1 ö÷ ÷, n = 0, 1, 2, …, 2 ÷÷ø (1.157) êîëåáàíèÿ îñëàáëÿþò äðóã äðóãà è ðåçóëüòèðóþùåå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì êîëåáàíèåì ñ àìïëèòóäîé |A1 – A2|.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà A1 = A2, êîëåáàíèÿ â ýòèõ òî÷êàõ áóäóò îòñóòñòâîâàòü. Ñòîÿ÷èå âîëíû Îñîáûì ñëó÷àåì èíòåðôåðåíöèè ÿâëÿþòñÿ ñòîÿ÷èå âîëíû — ýòî êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ, íàáëþäàþùèéñÿ ïðè íàëîæåíèè äâóõ âñòðå÷íûõ âîëí ñ îäèíàêîâûìè àìïëèòóäàìè è ÷àñòîòàìè. Ðàññìîòðèì äâå ïëîñêèå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó âäîëü îñè õ â ñðåäå áåç çàòóõàíèÿ, ïðè÷åì îáå âîëíû õàðàêòåðèçóþòñÿ îäèíàêîâûìè ÷àñòîòàìè è àìïëèòóäàìè (ñì. ñîîòíîøåíèÿ (1.148) è (1.149)). Êðîìå òîãî, íà÷àëî êîîðäèíàòû x è îòñ÷åò âðåìåíè t âûáåðåì äëÿ ïðîñòîòû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû a1 = a2 = 0. Òîãäà ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü ïîëîæèòåëüíîãî 56 íàïðàâëåíèÿ îñè õ, è âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ åé íàâñòðå÷ó, áóäóò èìåòü âèä: x1(x, t) = A cos(wt – kx), x2(x, t) = A cos(wt + kx). Ñëîæèâ ýòè óðàâíåíèÿ, ïðåîáðàçîâàâ ðåçóëüòàò ïî ôîðìóëå äëÿ ñóììû êîñèíóñîâ è ó÷òÿ, ÷òî k = 2p/l, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñòîÿ÷åé âîëíû: x = x1 + x2 = 2Acos kx cos wt = 2Acos(2px/l)cos wt. (1.158) Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî â êàæäîé òî÷êå ñòîÿ÷åé âîëíû ïðîèñõîäÿò êîëåáàíèÿ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòû w ñ àìïëèòóäîé Àñò = |2À cos (2 px/l)|, çàâèñÿùåé îò êîîðäèíàòû õ ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè.  òî÷êàõ ñðåäû, ãäå 2px/l = ±mp, m = 0, 1, 2, …, àìïëèòóäà êîëåáàíèé äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî 2À. Ýòè òî÷êè íàçûâàþòñÿ ïó÷íîñòÿìè ñòîÿ÷åé âîëíû. Èç ýòîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àþòñÿ çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò ïó÷íîñòåé: l x ïó÷í = ± m , m = 0, 1, 2, …. 2 (1.159)  òî÷êàõ ñðåäû, ãäå 2px/l = ±(m + 1/2)p, m = 0, 1, 2, …, àìïëèòóäà êîëåáàíèé îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ýòè òî÷êè íàçûâàþòñÿ óçëàìè ñòîÿ÷åé âîëíû. Òî÷êè ñðåäû, íàõîäÿùèåñÿ â óçëàõ, êîëåáàíèé íå ñîâåðøàþò. Êîîðäèíàòû óçëîâ: æ x óçë = ±ççm + çè 1 ö÷ l ÷ , m = 0, 1, 2, …. 2 ÷÷ø 2 (1.160) Èç ôîðìóë (1.159) è (1.160) ñëåäóåò, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ïó÷íîñòÿìè è äâóìÿ ñîñåäíèìè óçëàìè îäèíàêîâû è ðàâíû l/2. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ïó÷íîñòüþ è óçëîì ñòîÿ÷åé âîëíû ðàâíî l/4.  îòëè÷èå îò áåãóùåé âîëíû, âñå òî÷êè êîòîðîé ñîâåðøàþò êîëåáàíèÿ ñ îäèíàêîâîé àìïëèòóäîé, íî ñ çàïàçäûâàíèåì ïî ôàçå, âñå òî÷êè 57 ñòîÿ÷åé âîëíû ìåæäó äâóìÿ óçëàìè êîëåáëþòñÿ ñ ðàçíûìè àìïëèòóäàìè, ñ îäèíàêîâûìè ôàçàìè. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç óçåë ìíîæèòåëü 2A cos(2px/l) â óðàâíåíèè (1.158) ìåíÿåò ñâîé çíàê, ïîýòîìó ôàçà êîëåáàíèé ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò óçëà îòëè÷àåòñÿ íà p, ò. å. òî÷êè, ëåæàùèå ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò óçëà, êîëåáëþòñÿ â ïðîòèâîôàçå. Îáðàçîâàíèå ñòîÿ÷èõ âîëí íàáëþäàåòñÿ ïðè èíòåðôåðåíöèè áåãóùåé è îòðàæåííîé âîëí. ×òî áóäåò íà ãðàíèöå îòðàæåíèÿ — óçåë èëè ïó÷íîñòü, çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ïëîòíîñòåé ñðåä. Åñëè ñðåäà, îò êîòîðîé Ðèñ. 1.33 ïðîèñõîäèò îòðàæåíèå, ìåíåå ïëîòíàÿ, òî â ìåñòå îòðàæåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ïó÷íîñòü (ðèñ. 1.33, à), åñëè áîëåå ïëîòíàÿ — óçåë (ðèñ. 1.33, á).  ñëó÷àå ñòîÿ÷åé âîëíû ïåðåíîñà ýíåðãèè íå íàáëþäàåòñÿ. 1.5. Îñíîâû ãèäðîàýðîìåõàíèêè Ãèäðîàýðîìåõàíèêà — ðàçäåë ìåõàíèêè, èçó÷àþùèé ðàâíîâåñèå è äâèæåíèå æèäêîñòåé è ãàçîâ, èõ âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ñîáîé è îáòåêàåìûìè èìè òâåðäûìè òåëàìè.  äàííîì ðàçäåëå èñïîëüçóåòñÿ åäèíûé ïîäõîä ê èçó÷åíèþ æèäêîñòåé è ãàçîâ. Õîòÿ ñâîéñòâà æèäêîñòåé è ãàçîâ âî ìíîãîì îòëè÷àþòñÿ, â ðÿäå ìåõàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé èõ ïîâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ îäèíàêîâûìè ïàðàìåòðàìè è èäåíòè÷íûìè óðàâíåíèÿìè.  ìåõàíèêå æèäêîñòè è ãàçû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ñïëîøíûå, íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííûå â çàíÿòîé èìè ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà. Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ æèäêîñòåé è ãàçîâ ÿâëÿåòñÿ èõ òåêó÷åñòü, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ ìàëûìè ñèëàìè òðåíèÿ ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè ñîïðèêàñàþùèõñÿ ñëîåâ. Ïðè áåñêîíå÷íîì óìåíüøåíèè ñêîðîñòè îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñëîåâ ñèëû òðåíèÿ ìåæäó íèìè ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ îòñóòñòâèå ñèë òðåíèÿ ïîêîÿ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ. Ñòàòèêà æèäêîñòåé è ãàçîâ Åñëè â ïîêîÿùóþñÿ æèäêîñòü ïîìåñòèòü òîíêóþ ïëàñòèíêó, òî ÷àñòè æèäêîñòè, íàõîäÿùèåñÿ ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íåå, áóäóò äåéñòâîâàòü íà êàæäûé åå ýëåìåíò DS ñ ñèëàìè DF. Ýòè ñèëû íåçàâèñèìî îò òîãî, êàê 58 ïëàñòèíêà îðèåíòèðîâàíà, áóäóò ðàâíû ïî ìîäóëþ è íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî DS, òàê êàê íàëè÷èå êàñàòåëüíûõ ñèë ïðèâåëî áû ÷àñòèöû æèäêîñòè â äâèæåíèå. Ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ íîðìàëüíîé ñèëîé, äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû æèäêîñòè èëè ãàçà íà åäèíèöó ïëîùàäè, íàçûâàåòñÿ äàâëåíèåì æèäêîñòè ð: DF dF . (1.161) p = lim = DS ® 0 DS dS Åäèíèöà èçìåðåíèÿ äàâëåíèÿ — ïàñêàëü (Ïà). 1 Ïà = 1 Í/ì2. Äàâëåíèå ìîæåò òàêæå èçìåðÿòüñÿ â àòìîñôåðàõ (àòì), ìèëëèìåòðàõ ðòóòíîãî ñòîëáà (ìì. ðò. ñò.) è äðóãèõ åäèíèöàõ. Ïîëåçíî çíàòü ñâÿçü ìåæäó íèìè: 1 àòì = 760 ìì. ðò. ñò. = 1,013·10 5 Ïà. Äàâëåíèå ïðè ðàâíîâåñèè æèäêîñòåé (ãàçîâ) ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ïàñêàëÿ: äàâëåíèå â ëþáîì ìåñòå ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè èëè ãàçà îäèíàêîâî ïåðåäàåòñÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, èíà÷å ãîâîðÿ, ñèëû, äåéñòâóþùèå ñî ñòîðîíû æèäêîñòè (ãàçà) íà ìàëåíüêóþ ïëàñòèíêó (ïëîùàäêó), íå çàâèñÿò îò åå îðèåíòàöèè â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Äàâëåíèå â æèäêîñòÿõ, íàõîäÿùèõñÿ â ñèëîâûõ ïîëÿõ (íàïðèìåð, â ïîëå ñèëû òÿæåñòè), óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ãëóáèíîé. Äàâëåíèå, îáóñëîâëåííîå âåñîì âåðõíèõ ñëîåâ æèäêîñòè, íàçûâàåòñÿ ãèäðîñòàòè÷åñêèì. Ïðè ðàâíîâåñèè æèäêîñòè äàâëåíèå ïî ãîðèçîíòàëè âñåãäà îäèíàêîâî, èíà÷å íå áûëî áû ðàâíîâåñèÿ. Ïîýòîìó ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ âñåãäà ãîðèçîíòàëüíà âäàëè îò ñòåíîê ñîñóäà. Åñëè æèäêîñòü íåñæèìàåìà, òî åå ïëîòíîñòü íå çàâèñèò îò äàâëåíèÿ. Òîãäà ïðè ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè S ñòîëáà æèäêîñòè, åãî âûñîòå h è ïëîòíîñòè r âåñ æèäêîñòè Ð = rgSh, à äàâëåíèå æèäêîñòè íà íèæíåå îñíîâàíèå p æèäê = P rgSh = = rgh, S S (1.162) ò. å. äàâëåíèå æèäêîñòè èçìåíÿåòñÿ ëèíåéíî ñ ãëóáèíîé. Ïîëíîå äàâëåíèå â ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè ñêëàäûâàåòñÿ èç àòìîñôåðíîãî è ãèäðîñòàòè÷åñêîãî: p = p0 + rgh. (1.163) Ñèëû äàâëåíèÿ íà íèæíèå ÷àñòè ïîâåðõíîñòè ïîãðóæåííîãî â æèäêîñòü (ãàç) òåëà áóäóò áîëüøå, ÷åì íà âåðõíèå, ïîýòîìó íà òåëî äåéñòâóåò 59 âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, îïðåäåëÿåìàÿ çàêîíîì Àðõèìåäà: íà òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü (ãàç), äåéñòâóåò ñî ñòîðîíû ýòîé æèäêîñòè (ãàçà) íàïðàâëåííàÿ ââåðõ âûòàëêèâàþùàÿ ñèëà, ðàâíàÿ âåñó âûòåñíåííîé òåëîì æèäêîñòè (ãàçà): Ðèñ. 1.34 FAðõ = rgV, (1.164) ãäå r — ïëîòíîñòü æèäêîñòè; V — îáúåì âûòåñíåííîé òåëîì æèäêîñòè (ðèñ. 1.34). Óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè è Áåðíóëëè Âîîáðàæàåìàÿ æèäêîñòü, â êîòîðîé îòñóòñòâóþò ñèëû âíóòðåííåãî òðåíèÿ, íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé. Ëèíèÿìè òîêà íàçûâàþòñÿ òàêèå ëèíèè, êàñàòåëüíûå ê êîòîðûì ñîâïàäàþò ñ âåêòîðàìè ñêîðîñòè æèäêîñòè â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà. Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà è íàïðàâëåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè ìîãóò èçìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì, òî è êàðòèíà ëèíèé òîêà òàêæå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ. Åñëè âåêòîð ñêîðîñòè â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì, òî òå÷åíèå íàçûâàåòñÿ óñòàíîâèâøèìñÿ èëè ñòàöèîíàðíûì. Ëèíèè òîêà ïðè ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè ñîâïàäàþò ñ òðàåêòîðèÿìè ÷àñòèö. ×àñòü æèäêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ ëèíèÿìè òîêà, íàçûâàåòñÿ òðóáêîé òîêà (ðèñ. 1.35). Æèäêîñòü ïðè ñâîåì äâèæåíèè íå ïåðåñåêàåò ñòåíîê òðóáêè òîêà, òàê êàê âåêòîð ñêîðîñòè â êàæäîé òî÷êå íàïðàâëåí (ïî îïðåäåëåíèþ) ïî êàñàòåëüíîé ê ëèíèÿì òîêà, èç êîòîðûõ ñîñòîèò òðóáêà òîêà. Âîçüìåì òðóáêó òîêà íàñòîëüêî òîíêóþ, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ ñêîðîñòü ìîæíî ñ÷èòàòü îäèíàêîâîé â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ñå÷åíèÿ. Çà âðåìÿ Dt ÷åðåç ñå÷åíèå S òðóáêè òîêà ïðîòåêàåò æèäêîñòü îáúåìîì, ðàâíûì SvDt. Åñëè æèäêîñòü íåñæèìàåìà (ò. å. ïëîòíîñòü âñþäó îäèíàêîâà è èçìåíÿòüñÿ íå ìîæåò), òî êîëè÷åñòâî æèäÐèñ. 1.35 êîñòè ìåæäó ïðîèçâîëüíûìè ñå÷åíèÿìè S1 è S2 òðóáêè òîêà (ñì. ðèñ. 1.35) áóäåò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îáúåìû æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ïðîèçâîëüíûå ñå÷åíèÿ S1 è S2, îäèíàêîâû: S1v1 = S2v2. 60 Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ íåðàçðûâíîñòè ñòðóè: ïðè ñòàöèîíàðíîì òå÷åíèè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè âåëè÷èíà Sv â ëþáîì ñå÷åíèè îäèíàêîâà: Sv = const, (1.165) ò. å. ñêîðîñòü æèäêîñòè âîçðàñòàåò â ñóæàþùèõñÿ è ïàäàåò â ðàñøèðÿþùèõñÿ ó÷àñòêàõ ñòðóè. Âûäåëèì â ñòàöèîíàðíî òåêóùåé èäåàëüíîé æèäêîñòè òðóáêó òîêà è ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûå ñå÷åíèÿ S1 è S2 (ñì. ðèñ. 1.35). Ïóñòü â ìåñòå ñå÷åíèÿ S1 ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðàâíà v1, äàâëåíèå ð1 è âûñîòà, íà êîòîðîé ýòî ñå÷åíèå ðàñïîëîæåíî, h1. Àíàëîãè÷íî, â ìåñòå ñå÷åíèÿ S2 ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v2, äàâëåíèå ð2 è âûñîòà h2. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ýòèõ ñå÷åíèé âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî rv 12 rv 2 + rgh1 + p1 = 2 + rgh2 + p 2 , 2 2 ãäå r — ïëîòíîñòü æèäêîñòè. Íî òàê êàê ñå÷åíèÿ âûáèðàëèñü ïðîèçâîëüíî, òî ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî rv 2 + rgh + p = const 2 (1.166) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñå÷åíèÿ. Ñîîòíîøåíèå (1.166) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Áåðíóëëè, è îíî ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðèìåíèòåëüíî ê óñòàíîâèâøåìóñÿ òå÷åíèþ èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Âåëè÷èíà ð â ôîðìóëå (1.166) íàçûâàåòñÿ ñòàòè÷åñêèì äàâëåíèåì rv 2 (äàâëåíèå æèäêîñòè íà ïîâåðõíîñòè îáòåêàåìîãî åþ òåëà), — äèíà2 ìè÷åñêèì äàâëåíèåì, rgh — ãèäðîñòàòè÷åñêèì äàâëåíèåì. 1.6. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ 1. Êèíåìàòèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Ñèñòåìû îòñ÷åòà. Òðàåêòîðèÿ, ïåðåìåùåíèå, ïóòü, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå. Ðàâíîìåðíîå è ðàâíîïåðåìåííîå ïðÿìîëèíåéíûå äâèæåíèÿ. 2. Êðèâîëèíåéíîå äâèæåíèå. Íîðìàëüíîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ. 61 3. Äâèæåíèå òî÷êè ïî îêðóæíîñòè. Óãëîâûå ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå. Ñâÿçü ìåæäó ëèíåéíûìè è óãëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè. 4. Äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà è ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà. 5. Ôóíäàìåíòàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ñèëû ðàçëè÷íîé ïðèðîäû (óïðóãèå, ãðàâèòàöèîííûå, ðåàêöèè), âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Ìàññà. Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà. 6. Èìïóëüñ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. 7. Ìîìåíò èìïóëüñà è ìîìåíò ñèëû. Óðàâíåíèå ìîìåíòîâ. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. 8. Âðàùåíèå òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé îñè. Îñíîâíîé çàêîí äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà. Ìîìåíò èíåðöèè. 9. Ðàñ÷åò ìîìåíòà èíåðöèè òåë ïðîñòîé ôîðìû. Òåîðåìà Øòåéíåðà. 10. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè è àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà. 11. Ðàáîòà ïåðåìåííîé ñèëû, ìîùíîñòü. Ïîòåíöèàëüíûå è íåïîòåíöèàëüíûå ïîëÿ. Êîíñåðâàòèâíûå è äèññèïàòèâíûå ñèëû. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. 12. Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Ïîëå òÿãîòåíèÿ, åãî íàïðÿæåííîñòü è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. 13. Ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ òåëà â ïîëå òÿãîòåíèÿ. 14. Ñîóäàðåíèå òåë. Óïðóãîå è íåóïðóãîå âçàèìîäåéñòâèÿ. 15. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå è åãî õàðàêòåðèñòèêè: ñìåùåíèå, àìïëèòóäà, ôàçà, öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà, ïåðèîä, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå. 16. Âåêòîðíûå äèàãðàììû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Ýíåðãèÿ êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ. 17. Ïðóæèííûé è ôèçè÷åñêèé ìàÿòíèêè. 18. Ñëîæåíèå ïàðàëëåëüíûõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé è ðàçíîé ÷àñòîòû. Áèåíèÿ. 19. Ñëîæåíèå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ êîëåáàíèé. Ôèãóðû Ëèññàæó. 62 20. Ñâîáîäíûå çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ. Õàðàêòåðèñòèêè çàòóõàíèÿ: êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ, âðåìÿ ðåëàêñàöèè, äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ, äîáðîòíîñòü êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû. 21. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Ðåçîíàíñ. 22. Âîëíîâîå äâèæåíèå. Óðàâíåíèå ïëîñêîé íåçàòóõàþùåé áåãóùåé âîëíû. Ýíåðãèÿ óïðóãîé âîëíû. Âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè. 23. Ñëîæåíèå (èíòåðôåðåíöèÿ) âîëí. Ñòîÿ÷èå âîëíû. 24. Çàêîí Ïàñêàëÿ. Ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå. Ñèëà Àðõèìåäà. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè. 2. ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ È ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ 2.1. Ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè Ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ (ÌÊÒ) — ó÷åíèå, êîòîðîå îáúÿñíÿåò ñòðîåíèå è ñâîéñòâà âåùåñòâà äâèæåíèåì è âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèö, èç êîòîðûõ îíî ñîñòîèò. ÌÊÒ îñíîâàíà íà ñëåäóþùèõ ïîëîæåíèÿõ: 1) âñå âåùåñòâà ñîñòîÿò èç ÷àñòèö (àòîìîâ è ìîëåêóë); 2) ýòè ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ â íåïðåðûâíîì õàîòè÷åñêîì äâèæåíèè (òàêîå äâèæåíèå ìîëåêóë íàçûâàþò òàêæå òåïëîâûì äâèæåíèåì, ïîñêîëüêó ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ÷àñòèö çàâèñÿò îò ñòåïåíè íàãðåòîñòè òåë); 3) ìåæäó ÷àñòèöàìè ñóùåñòâóþò ñèëû ïðèòÿæåíèÿ è îòòàëêèâàíèÿ. Ýòè ïîëîæåíèÿ ïîäòâåðæäàþòñÿ ÿâëåíèÿìè äèôôóçèè, áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, îñîáåííîñòÿìè ñòðîåíèÿ è ñâîéñòâàìè æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë. Àòîì — íàèìåíüøàÿ ÷àñòèöà õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà. Ìîëåêóëà — íàèìåíüøàÿ óñòîé÷èâàÿ ÷àñòèöà äàííîãî âåùåñòâà, îáëàäàþùàÿ åãî îñíîâíûìè õèìè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Ìîëåêóëà ñîñòîèò èç àòîìîâ. Îòäåëüíûå àòîìû è ìîëåêóëû âèçóàëüíî íåâîçìîæíî íàáëþäàòü äàæå â ñàìûé ìîùíûé îïòè÷åñêèé ìèêðîñêîï ââèäó èõ ìàëîñòè. Ëèíåéíûå ° ðàçìåðû àòîìîâ ñîñòàâëÿþò ïîðÿäêà îäíîãî àíãñòðåìà: 1 A = 10 -10 ì. Íàáëþäåíèå àòîìîâ è ìîëåêóë ñòàëî âîçìîæíûì ñ èçîáðåòåíèåì ýëåêòðîííîãî ìèêðîñêîïà. Äèôôóçèÿ — ïðîöåññ âûðàâíèâàíèÿ ïëîòíîñòåé (èëè êîíöåíòðàöèé) êîíòàêòèðóþùèõ èëè ñàìîïðîèçâîëüíî ñìåøèâàþùèõñÿ âåùåñòâ. 64 Áðîóíîâñêîå äâèæåíèå — íåïðåðûâíîå áåñïîðÿäî÷íîå äâèæåíèå ìàëûõ, âçâåøåííûõ â æèäêîñòè èëè ãàçå ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òâåðäûõ ÷àñòèö. Ýòî äâèæåíèå íå çàâèñèò îò âíåøíèõ ïðè÷èí è îáóñëîâëåíî ìîëåêóëÿðíûì äâèæåíèåì â âåùåñòâå. Ìàêðîñêîïè÷åñêîå òåëî — òåëî, ñîñòîÿùåå èç î÷åíü áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö — àòîìîâ è ìîëåêóë. Èçìåðÿòü ìàññû àòîìîâ è ìîëåêóë óäîáíåå â àòîìíûõ åäèíèöàõ ìàññû. Àòîìíàÿ åäèíèöà ìàññû mu ÷èñëåííî ðàâíà 1/12 ìàññû àòîìà óãëåðîäà (òî÷íåå åãî èçîòîïà 12 6 C): mu = 1 màòîìà 12C = 1, 66 × 10 -27 êã = 1 à. å. ì. 6 12 (2.1) Îòíîñèòåëüíàÿ àòîìíàÿ ìàññà Ar õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà — îòíîøåíèå ìàññû àòîìà ýòîãî ýëåìåíòà ê àòîìíîé åäèíèöå ìàññû: Ar = màòîìà . mu (2.2) Îòíîñèòåëüíàÿ ìîëåêóëÿðíàÿ ìàññà Mr âåùåñòâà — îòíîøåíèå ìàññû ìîëåêóëû ýòîãî âåùåñòâà ê àòîìíîé åäèíèöå ìàññû: Mr = mìîë . mu (2.3) Èç îïðåäåëåíèé îòíîñèòåëüíûõ àòîìíîé è ìîëåêóëÿðíîé ìàññ ñëåäóåò, ÷òî îíè áåçðàçìåðíûå. Êîëè÷åñòâî âåùåñòâà n — ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ÷èñëîì ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ (àòîìîâ èëè ìîëåêóë), èç êîòîðûõ ñîñòîèò âåùåñòâî. Åäèíèöåé êîëè÷åñòâà âåùåñòâà ÿâëÿåòñÿ ìîëü: [n] = ìîëü. 1 ìîëü — êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, â êîòîðîì ñîäåðæèòñÿ ÷èñëî ÷àñòèö, ðàâíîå ÷èñëó àòîìîâ â 0,012 êã óãëåðîäà (èçîòîïà 126 C). ×èñëî ÷àñòèö â îäíîì ìîëå íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé Àâîãàäðî: NA = 6,022 · 1023 ìîëü–1. Ìîëÿðíàÿ ìàññà m — ìàññà îäíîãî ìîëÿ. [m] = êã/ìîëü. Êîëè÷åñòâî âåùåñòâà n ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç ìàññó m âåùåñòâà èëè ÷åðåç ÷èñëî ìîëåêóë N (èëè àòîìîâ): n= m N . = m NA (2.4) 65 Ìàññó ìîëåêóëû ìîæíî îïðåäåëèòü ÷åðåç îòíîñèòåëüíóþ ìîëåêóëÿðíóþ èëè ìîëÿðíóþ ìàññû: mìîë = mu M r = m , NA (2.5) îòêóäà ìîæíî óñòàíîâèòü ñâÿçü ìîëÿðíîé è îòíîñèòåëüíîé ìîëåêóëÿðíîé ìàññû (êã/ìîëü): (2.6) m = mu N A M r = 10 -3 M r . Îò èíòåíñèâíîñòè òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë è èíòåíñèâíîñòè èõ âçàèìîäåéñòâèÿ çàâèñèò àãðåãàòíîå ñîñòîÿíèå âåùåñòâà (òâåðäîå, æèäêîå, ãàçîîáðàçíîå, ïëàçìåííîå). Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòè òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ìîëåêóëàìè âîçðàñòàåò, à ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ óìåíüøàþòñÿ, è òåëî ïåðåõîäèò èç òâåðäîãî ñîñòîÿíèÿ â æèäêîå, èç æèäêîãî â ãàçîîáðàçíîå… Ëþáàÿ ðåàëüíàÿ ìàêðîñêîïè÷åñêàÿ ñèñòåìà — î÷åíü ñëîæíûé îáúåêò, òàê êàê ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Íà÷íåì ðàññìîòðåíèå çàêîíîìåðíîñòåé ìàêðîñèñòåì ñ ñàìîé ïðîñòîé — èäåàëüíîãî ãàçà. Èäåàëüíûé ãàç — ýòî ìîäåëü ãàçà, ìîëåêóëû êîòîðîãî íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé íà ðàññòîÿíèè, è èõ ðàçìåðàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ðåàëüíûå ãàçû ïî ñâîéñòâàì áëèçêè ê èäåàëüíîìó ïðè îáû÷íûõ óñëîâèÿõ. Îñíîâíîå óðàâíåíèå ÌÊÒ (óðàâíåíèå Êëàóçèóñà) Ïðè ñâîåì äâèæåíèè ìîëåêóëû ãàçà óäàðÿþòñÿ î ñòåíêó ñîñóäà, â êîòîðîì çàêëþ÷åí ãàç, ñîçäàâàÿ òåì ñàìûì äàâëåíèå íà ñòåíêó. Ýòî äàâëåíèå ìîæíî íàéòè, èñõîäÿ èç ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî: à) äàâëåíèå ãàçà íå çàâèñèò îò ôîðìû ñîñóäà; á) ñòîëêíîâåíèå ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà ñî ñòåíêàìè ñîñóäà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíàì àáñîëþòíî óïðóãîãî ñòîëêíîâåíèÿ; â) åñëè ãàç íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî âñå íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ìîëåêóë ðàâíîâåðîÿòíû. Ïðèìåíèâ çàêîíû ìåõàíèêè, ñ ó÷åòîì ýòèõ ïðåäïîëîæåíèé ìîæíî ðàññ÷èòàòü äàâëåíèå ãàçà íà ñòåíêó ñîñóäà: 1 1 2 , p = nmìîë v 2 = nmìîë v ñð.êâ 3 3 66 (2.7) ãäå n — êîíöåíòðàöèÿ (÷èñëî ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà), n = N V , [n] = ì–3; — ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà ñêîðîñòè, v2 v 2 = (v 12 + v 22 + K + v 2N ðîñòü, v ñð.êâ = ) N ; vñð.êâ — ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ñêî- v2 . Âûðàæåíèå (2.7) íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì óðàâíåíèåì ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè èäåàëüíûõ ãàçîâ èëè óðàâíåíèåì Êëàóçèóñà. Âíåñÿ ìàññó ìîëåêóëû â óðàâíåíèè (2.7) ïîä çíàê îñðåäíåíèÿ, ìîæíî ïðèéòè ê ñîîòíîøåíèþ p= 2 mìîë v 2 2 n = n e ê ïîñò ìîë , 3 2 3 (2.8) ãäå e ê ïîñò ìîë — ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû. Óìíîæèâ óðàâíåíèå (2.8) íà îáúåì V ñîñóäà, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ãàç, ïîëó÷èì pV = 2 2 N e ê ïîñò ìîë = Wê ïîñò , 3 3 (2.9) ãäå Wê ïîñò — ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ âñåõ ìîëåêóë â îáúåìå V. Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà Ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå òî èëè èíîå ñîñòîÿíèå âåùåñòâà, íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðàìè ñîñòîÿíèÿ. Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ — óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ. Îñíîâíûìè ïàðàìåòðàìè ãàçîîáðàçíîãî ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ îáúåì V, äàâëåíèå ð, ïëîòíîñòü r, êîíöåíòðàöèÿ n è òåìïåðàòóðà. Òåìïåðàòóðà — ýòî ñêàëÿðíàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ èíòåíñèâíîñòü õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèö ñèñòåìû. Òåìïåðàòóðà èçìåðÿåòñÿ â ãðàäóñàõ ñîîòâåòñòâóþùåé øêàëû (Öåëüñèÿ t, °C; Êåëüâèíà T, Ê) è õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü íàãðåòîñòè òåëà. Òåìïåðàòóðà ïî øêàëå Êåëüâèíà Ò íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé èëè òåðìîäèíàìè÷åñêîé. 67 Çà íà÷àëî îòñ÷åòà àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû — àáñîëþòíûé íóëü — ïðèíÿòà òàêàÿ òåìïåðàòóðà, ïðè êîòîðîé ïðåêðàùàåòñÿ õàîòè÷åñêîå ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ÷àñòèö ñèñòåìû. Àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà ñâÿçàíà ñ òåìïåðàòóðîé ïî øêàëå Öåëüñèÿ ñîîòíîøåíèåì: Ò, Ê = t, °C + 273,16, äåëåíèÿ æå øêàë îäèíàêîâû: 1 Ê = 1 °C. Îïûòíûì ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè îáû÷íûõ óñëîâèÿõ ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ òàêèõ ãàçîâ, êàê êèñëîðîä è àçîò, ïðè íåèçìåííîé ìàññå ãàçà õîðîøî ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèþ pV = const, T (2.10) ïðè÷åì ÷åì ðàçðåæåííåé ãàç, òåì òî÷íåå âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèå (2.10) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà. Çàêîí Àâîãàäðî: ïðè îäèíàêîâûõ äàâëåíèÿõ è òåìïåðàòóðå â ðàâíûõ îáúåìàõ ðàçëè÷íûõ ãàçîâ ñîäåðæèòñÿ îäèíàêîâîå ÷èñëî ìîëåêóë.  ÷àñòíîñòè, ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ (t0 = 0 °C, p0 = 1 àòì) îáúåì ìîëÿ Vì èäåàëüíîãî ãàçà ðàâåí 22,4 ë: Vì = 22,4 · 10–3 ì3/ìîëü. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà êîëè÷åñòâî ãàçà ðàâíî îäíîìó ìîëþ, êîíñòàíòà â (2.10) áóäåò îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ ãàçîâ. Åå îáîçíà÷àþò áóêâîé R è íàçûâàþò óíèâåðñàëüíîé ãàçîâîé ïîñòîÿííîé: R= p 0V ì 1, 013 × 10 5 × 22, 4 × 10 -3 Äæ . = = 8, 31 T0 273,15 ìîëü × Ê Òîãäà óðàâíåíèå (2.10) äëÿ îäíîãî ìîëÿ çàïèøåòñÿ â âèäå pV ì = RT . (2.11) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî n ìîëåé ãàçà áóäåò çàíèìàòü ïðîïîðöèîíàëüíî áîëüøèé îáúåì V = nVì, ìîæíî ïðèéòè ê óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàññû èëè êîëè÷åñòâà âåùåñòâà ãàçà, óìíîæèâ (2.11) íà êîëè÷åm ñòâî ìîëåé n = : m m (2.12) pV = RT , m ãäå m — ìàññà ãàçà; m — ìîëÿðíàÿ ìàññà ãàçà. 68 Óðàâíåíèå (2.12) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàññû ãàçà. m Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïëîòíîñòü ãàçà r = , óðàâíåíèþ ñîñòîÿíèÿ ìîæíî V ïðèäàòü âèä p= r RT . m (2.13) Ïîäåëèì óðàâíåíèå (2.12) íà îáúåì è çàìåíèì êîëè÷åñòâî âåùåñòâà NR ÷åðåç ÷èñëî ìîëåêóë (2.4): p = T . Îòíîøåíèå êîíñòàíò N AV R Äæ íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì Áîëüöìàíà. Ñ ó÷åk= = 1, 38 × 10 -23 NA Ê N òîì òîãî, ÷òî = n — êîíöåíòðàöèÿ, ìîæíî çàïèñàòü: V p = nkT. (2.14) Óðàâíåíèå (2.14) ïîêàçûâàåò, ÷òî äàâëåíèå èäåàëüíîãî ãàçà ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ÷èñëîì ìîëåêóë â åäèíèöå îáúåìà è íå çàâèñèò îò ðîäà ìîëåêóë. Èç ôîðìóëû (2.14) âûòåêàåò åùå îäèí ñïðàâåäëèâûé äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà çàêîí — çàêîí Äàëüòîíà äëÿ ñìåñè ãàçîâ. Ïóñòü èìååòñÿ ñìåñü íåñêîëüêèõ, íå âçàèìîäåéñòâóþùèõ äðóã ñ äðóãîì èäåàëüíûõ ãàçîâ. Äîïóñòèì, ÷òî â åäèíè÷íîì îáúåìå ñìåñè ñîäåðæèòñÿ n1 ìîëåêóë ïåðâîãî ãàçà, n2 ìîëåêóë âòîðîãî ãàçà è ò. ä. Òîãäà îáùåå ÷èñëî ìîëåêóë â åäèíè÷íîì îáúåìå n = n1 + n2 + …. Ñîãëàñíî (2.14) äàâëåíèå ãàçà îïðåäåëÿåòñÿ òàê: p = nkT = (n1 + n2 + …) kT = n1kT + n2kT + … = p1 + p2 + …, ãäå ð1, ð2, … — äàâëåíèÿ, êîòîðûå îêàçûâàëè áû ãàçû ýòîé ñìåñè, åñëè áû îíè çàïîëíÿëè îáúåì ïî îòäåëüíîñòè. Ýòè äàâëåíèÿ íàçûâàþòñÿ ïàðöèàëüíûìè.  èòîãå çàêîí Äàëüòîíà ãëàñèò: äàâëåíèå ñìåñè èäåàëüíûõ ãàçîâ ðàâíî ñóììå ïàðöèàëüíûõ äàâëåíèé ãàçîâ, âõîäÿùèõ â ñìåñü, ò. å. ð = ð1 + ð2 + …. (2.15) 69 Èçîïðîöåññû Èçîïðîöåññàìè íàçûâàþòñÿ ïðîöåññû, ïðè êîòîðûõ îäèí èç ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ. Ðàçëè÷àþò èçîòåðìè÷åñêèé (Ò = const), èçîáàðíûé (p = const), èçîõîðíûé (V = const) è äðóãèå ïðîöåññû. Ñôîðìóëèðóåì çàêîíû äëÿ èçîïðîöåññîâ â èäåàëüíîì ãàçå, ïðåäïîpV ëàãàÿ, ÷òî êîëè÷åñòâî âåùåñòâà íåèçìåííî, ò. å. = const. T Ðèñ. 2.1 Èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ. Ïðè T = const ïîëó÷àåì çàêîí Áîéëÿ — Ìàðèîòòà: pV = const. (2.16) Èçîáàðíûé ïðîöåññ. Ïðè p = const ïîëó÷àåì çàêîí Ãåé-Ëþññàêà: V = const. T (2.17) Èçîõîðíûé ïðîöåññ. Ïðè V = const ïîëó÷àåì çàêîí Øàðëÿ: p = const. T (2.18) Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå èçîïðîöåññîâ â êîîðäèíàòàõ (p, V), (p, T) è (V, T) ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 2.1. Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóë Èç ñîîòíîøåíèé (2.7), (2.8) è (2.14) ñëåäóåò: 1 2n 2 p = nmìîë v ñð.êâ = e ê ïîñò ìîë = nkT , 3 3 70 îòêóäà âèäíî, ÷òî ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû ïðîïîðöèîíàëüíà àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå: e ê ïîñò ìîë = 3 kT , 2 (2.19) à äëÿ ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ñêîðîñòè v ñð.êâ = 3kT 3RT . = mìîë m (2.20) Òîëüêî ïîñòóïàòåëüíî äâèæóòñÿ ëèøü îäíîàòîìíûå ìîëåêóëû. Äâóõè ìíîãîàòîìíûå ìîëåêóëû, êðîìå ïîñòóïàòåëüíîãî, ìîãóò ñîâåðøàòü òàêæå âðàùàòåëüíîå è êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèÿ. Ýòè âèäû äâèæåíèÿ ñâÿçàíû ñ íåêîòîðûì çàïàñîì ýíåðãèè, âû÷èñëèòü êîòîðûé ïîçâîëÿåò çàêîí î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû ìîëåêóëû. Ïðè ëþáîì ÷èñëå ñòåïåíåé ñâîáîäû (ñì. ðàçä. 1.1) ìîëåêóëû òðè — ïîñòóïàòåëüíûå, ïðè÷åì íè îäíà èç íèõ íå èìååò ïðåèìóùåñòâà ïåðåä äðóãèìè. Íà òðè ïîñòóïàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû ïðèõîäèòñÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ 3kT 2, ñëåäîâàòåëüíî, íà êàæäóþ ïîñòóïàòåëüíóþ ñòåïåíü ñâîáîäû ïðèõîäèòñÿ â ñðåäíåì îäèíàêîâàÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ 1/2kT.  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû íà êàæäóþ ñòåïåíü ñâîáîäû ìîëåêóëû ïðèõîäèòñÿ â ñðåäíåì îäèíàêîâàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ 1/2kT. Åñëè ìåæäó àòîìàìè â ìîëåêóëå äåéñòâóåò êâàçèóïðóãàÿ ñèëà, òî ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ïðè êîëåáàòåëüíîì äâèæåíèè ñðåäíåå çíà÷åíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ïîòåíöèàëüíîé, ïîýòîìó êîëåáàòåëüíàÿ ñòåïåíü ñâîáîäû îáëàäàåò óäâîåííîé ýíåðãåòè÷åñêîé åìêîñòüþ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñðåäíåé ýíåðãèè ìîëåêóëû ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå e ìîë = i kT , 2 (2.21) ãäå i — ñóììà ÷èñëà ïîñòóïàòåëüíûõ, âðàùàòåëüíûõ è óäâîåííîãî ÷èñëà êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû: i = N ïîñò + N âðàù + 2 N êîëåá . (2.22) 71 Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå 1000 Ê ñâÿçè ìåæäó àòîìàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê æåñòêèå. Äëÿ ìîëåêóë ñ æåñòêîé ñâÿçüþ ìåæäó àòîìàìè i ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû (ïîñòóïàòåëüíûõ è âðàùàòåëüíûõ). Çàêîí Ìàêñâåëëà ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì  ðåçóëüòàòå ìíîãîêðàòíûõ ñîóäàðåíèé ñêîðîñòü êàæäîé ìîëåêóëû èçìåíÿåòñÿ ïî ìîäóëþ è íàïðàâëåíèþ. Îäíàêî èç-çà õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë âñå íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåðîÿòíûìè, ò. å. â ëþáîì íàïðàâëåíèè â ñðåäíåì äâèæåòñÿ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ìîëåêóë. Ñîãëàñíî ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè, êàê áû íè èçìåíÿëèñü ñêîðîñòè ìîëåêóë ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ, ñðåäíÿÿ êâàäðàòè÷íàÿ ñêîðîñòü (2.20) ìîëåêóë ãàçà ìàññîé m â ãàçå, íàõîäÿùåìñÿ â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ïðè T = const, îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â ãàçå, íàõîäÿùåìñÿ â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ, óñòàíàâëèâàåòñÿ íåêîòîðîå ñòàöèîíàðíîå, íå ìåíÿþùååñÿ ñî âðåìåíåì ðàñïðåäåëåíèå ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì, ïîä÷èíÿþùååñÿ âïîëíå îïðåäåëåííîìó çàêîíó. Ýòîò çàêîí òåîðåòè÷åñêè âûâåäåí Äæ. Ìàêñâåëëîì. Ìàêñâåëë ïðåäïîëàãàë, ÷òî ãàç ñîñòîèò èç áîëüøîãî ÷èñëà N îäèíàêîâûõ ìîëåêóë (îíè íàõîäÿòñÿ â ñîñòîÿíèè õàîòè÷åñêîãî òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ïðè îäèíàêîâîé òåìïåðàòóðå) è ÷òî ñèëîâûå ïîëÿ íà ãàç íå äåéñòâóþò. Çàêîí Ìàêñâåëëà îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ôóíêöèþ f (v), íàçûâàåìóþ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì. Åñëè ðàçáèòü äèàïàçîí ñêîðîñòåé ìîëåêóë íà ìàëûå èíòåðâàëû, ðàâíûå dv, òî íà êàæäûé èíòåðâàë ñêîðîñòè áóäåò ïðèõîäèòüñÿ íåêîòîðîå ÷èñëî ìîëåêóë dN(v), èìåþùèõ ñêîðîñòü, çàêëþ÷åííóþ â ýòîì èíòåðâàëå. Ôóíêöèÿ f (v) îïðåäåëÿåò îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî ìîëåêóë dN (v) /N, ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â èíòåðâàëå [v, v + dv] (èëè âåðîÿòíîñòü dP òîãî, ÷òî ñêîðîñòü ìîëåêóëû ïðèíàäëåæèò äàííîìó èíòåðâàëó): dP = dN (v ) = f (v )dv. N (2.23) Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìîëåêóëà èìååò êàêóþ-ëèáî ñêîðîñòü, ðàâíà åäèíèöå: ¥ ò 0 72 f (v )dv = 1. (2.24) Óñëîâèå (2.24) íàçûâàþò óñëîâèåì íîðìèðîâêè. Ïðèìåíÿÿ ìåòîäû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, Ìàêñâåëë íàøåë ôóíêöèþ f(v) — çàêîí äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì (ðèñ. 2.2): æ m v 2 ö÷ (2.25) f (v ) = Av 2 expççç- ìîë ÷÷, çè 2 kT ÷÷ø ãäå k — êîýôôèöèåíò Áîëüöìàíà; A — êîíñòàíòà, íàéäåííàÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè (2.24), áåñêîíå÷íûé âåðõíèé ïðåäåë äëÿ ñêîðîñòè â êîòîðîì îïðàâäàí ââèäó ìàëîñòè ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ äëÿ áîëüøèõ ñêîðî3 æ m ö2 ñòåé, A = 4 pçç ìîë ÷÷÷ . çè 2 pkT ÷ø Ñêîðîñòü, ïðè êîòîðîé ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì ìàêñèìàëüíà, íàçûâàåòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíîé ñêîðîñòüþ vâåð. Çíà÷åíèå íàèáîëåå âåðîÿòíîé ñêîðîñòè ìîæíî íàéòè, èññëåäîâàâ íà ìàêñèìóì ôóíêöèþ (2.25): v âåð = 2 kT 2RT . = mìîë m Ðèñ. 2.2 (2.26) Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìîëåêóëû <v> (ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü) è ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà ñêîðîñòè <v2> îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé: v = 1 N ¥ ò 0 ¥ vdN (v ) = ò vf (v )dv, 0 ¥ v 2 = ò v 2 f (v )dv. 0 Ïðîèçâåäÿ âû÷èñëåíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü: v = 8 kT 8RT , = pmìîë pm (2.27) 73 v2 = 3kT 3RT , = m mìîë (2.28) îòêóäà äëÿ ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ñêîðîñòè ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå (2.20). Ïðèâåäeííûå õàðàêòåðíûå ñêîðîñòè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà â ñëåäóþùèõ ïðîïîðöèÿõ: vâåð : <v> : vñð.êâ = 1 : 1,13 : 1,22. Çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà ïî ñêîðîñòÿì (2.25), ìîæíî, íàïðèìåð, îöåíèòü ÷èñëî ìîëåêóë, ñêîðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â ïðîèçâîëüíîì èíòåðâàëå [v1, v2]: v2 DN = N ò f (v )dv, (2.29) v1 ãäå N — îáùåå ÷èñëî ìîëåêóë. Áàðîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà. Ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà Ïðè âûâîäå çàêîíà Ìàêñâåëëà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë èäåàëüíîãî ãàçà ïî ñêîðîñòÿì ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî íà ìîëåêóëû ãàçà âíåøíèå ñèëû íå äåéñòâóþò. Ïîýòîìó ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü, ÷òî ìîëåêóëû ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû ïî îáúåìó ñîñóäà; òåìïåðàòóðà âåçäå îäèíàêîâà. Íà ñàìîì äåëå ìîëåêóëû ãàçà âñåãäà íàõîäÿòñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ Çåìëè. Åñëè áû íå áûëî òåïëîâîãî äâèæåíèÿ, òî âñå ìîëåêóëû àòìîñôåðíîãî âîçäóõà óïàëè áû íà Çåìëþ, à åñëè áû íå áûëî òÿãîòåíèÿ, òî àòìîñôåðíûé âîçäóõ ðàññåÿëñÿ áû ïî âñåé Âñåëåííîé. Òÿãîòåíèå è òåïëîâîå äâèæåíèå ïðèâîäÿò ãàç â ñîñòîÿíèå, ïðè êîòîðîì åãî êîíöåíòðàöèÿ è äàâëåíèå óáûâàþò ñ âûñîòîé. Ïóñòü èäåàëüíûé ãàç íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè â îäíîðîäíîì ïîëå òÿãîòåíèÿ Çåìëè. Äàâëåíèå ãàçà íà âûñîòå h îáóñëîâëåíî âåñîì âûøåëåæàùèõ ñëîåâ. Îáîçíà÷èì ð äàâëåíèå íà âûñîòå h, òîãäà äàâëåíèå íà âûñîòå h + dh ðàâíî ð + dp, ïðè÷åì åñëè dh > 0, òî dp < 0, òàê êàê âåñ âûøåëåæàùèõ ñëîåâ àòìîñôåðû, à ñëåäîâàòåëüíî, è äàâëåíèå ñ âûñîòîé óáûâàþò. Ðàçíîñòü äàâëåíèé ð è p + dp ðàâíà âåñó ãàçà, çàêëþ÷åííîìó â îáúåìå âåðòèêàëüíîãî öèëèíäðà ñ ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ, ðàâíîé åäèíèöå, è âûñîòîé dh: p – (p + dp) = rgdh, ãäå r — ïëîòíîñòü ãàçà íà âûñîòå h. Îòñþäà 74 dp = -rgdh. (2.30) Èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (2.13) âûðàçèì ïëîòíîñòü è, ïîäñòàâëÿÿ â (2.29), ïîëó÷èì ïðèðàùåíèå äàâëåíèÿ: pgm dp = dh, èíòåãðèðóÿ êîòîðîå (ïîëàãàÿ T = const) ïî âûñîòå îò 0 äî RT p h mg dp h, ïîëó÷èì: ò =dh, èëè p RT ò0 p0 ãàçà p = p0 e - mgh RT , (2.31) ãäå ð è ð0 — äàâëåíèÿ ãàçà íà âûñîòàõ h è h = 0. Ôîðìóëà (2.31) íàçûâàåòñÿ áàðîìåòðè÷åñêîé. Èç íåå ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå óáûâàåò ñ âûñîòîé ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó. Áàðîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü âûñîòó h ñ ïîìîùüþ áàðîìåòðà. Ñïåöèàëüíî ïðîãðàäóèðîâàííûé áàðîìåòð äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî îòñ÷åòà âûñîòû íàä óðîâíåì ìîðÿ íàçûâàþò àëüòèìåòðîì. Åãî øèðîêî ïðèìåíÿþò â àâèàöèè, ïðè âîñõîæäåíèè íà ãîðû. Ïðåîáðàçóÿ â âûðàæåíèè (2.31) ïîêàçàòåëü ñòåïåíè (ïîäåëèâ íà ÷èñëî Àâîãàäðî), ïîëó÷àåì p = p0 e - m ìîë gh kT , (2.32) ãäå mìîëgh = eï — ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû íà âûñîòå h. Ïðè T = const äàâëåíèå p ïðîïîðöèîíàëüíî êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë n (ñì. (2.14)), ïîýòîìó ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî: n = n0 e - m ìîë gh kT = n0 e - eï kT , (2.33) ãäå n è n0 — êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë íà âûñîòàõ h ¹ 0 è h = 0 ñîîòâåòñòâåííî. Áîëüöìàí ïîêàçàë, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå (2.33) ñïðàâåäëèâî íå òîëüêî â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå ñèë çåìíîãî òÿãîòåíèÿ, íî è â ëþáîì ïîòåíöèàëüíîì ïîëå ñèë äëÿ ñîâîêóïíîñòè ëþáûõ îäèíàêîâûõ ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ â ñîñòîÿíèè õàîòè÷åñêîãî òåïëîâîãî äâèæåíèÿ. Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå (2.33) íàçûâàþò çàêîíîì Áîëüöìàíà. 75 ßâëåíèÿ ïåðåíîñà â ãàçàõ Ïðè îòñóòñòâèè ðàâíîâåñèÿ â ãàçå âñåãäà èìååòñÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ íåîäíîðîäíîñòü òåõ èëè èíûõ åãî ïàðàìåòðîâ — ïëîòíîñòè, äàâëåíèÿ, òåìïåðàòóðû. Åñëè òàêîé ãàç ïðåäîñòàâèòü ñàìîìó ñåáå, òî õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå ìîëåêóë ïîñòåïåííî âûðàâíèâàåò ýòè íåîäíîðîäíîñòè è ãàç ïðèõîäèò â ñîñòîÿíèå òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ. ßâëåíèÿ âûðàâíèâàíèÿ ñîïðîâîæäàþòñÿ íàïðàâëåííûì ïåðåíîñîì ðÿäà ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí: ìàññû, èìïóëüñà, ýíåðãèè è ò. ä.— è ïîýòîìó íàçûâàþòñÿ ÿâëåíèÿìè ïåðåíîñà. Ê ÿâëåíèÿì ïåðåíîñà îòíîñÿòñÿ äèôôóçèÿ (îáóñëîâëåííàÿ ïåðåíîñîì ìàññû), òåïëîïðîâîäíîñòü (îáóñëîâëåííàÿ ïåðåíîñîì ýíåðãèè) è âíóòðåííåå òðåíèå èëè âÿçêîñòü (îáóñëîâëåííàÿ ïåðåíîñîì èìïóëüñà).  îñíîâå âñåõ ÿâëåíèé ïåðåíîñà ëåæèò îäèí è òîò æå ìåõàíèçì: áåñïîðÿäî÷íîñòü òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ãàçà, íåïðåðûâíûå ñîóäàðåíèÿ ìåæäó íèìè ïðèâîäÿò ê ïîñòîÿííîìó ïåðåìåøèâàíèþ ÷àñòèö è èçìåíåíèþ èõ ñêîðîñòåé è ýíåðãèé. Åñëè â ãàçå ñóùåñòâóåò ïðîñòðàíñòâåííàÿ íåîäíîðîäíîñòü (ãðàäèåíò) ïëîòíîñòè, òåìïåðàòóðû èëè ñêîðîñòè óïîðÿäî÷åííîãî ïåðåìåùåíèÿ îòäåëüíûõ ñëîåâ ãàçà, òî òåïëîâîå äâèæåíèå ìîëåêóë âûðàâíèâàåò ýòè íåîäíîðîäíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ÿâëåíèÿ ïåðåíîñà âîçíèêàþò âñëåäñòâèå íàëîæåíèÿ õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë îêðóæàþùåé ñðåäû íà óïîðÿäî÷åííîå ïåðåìåùåíèå ìîëåêóë â îòäåëüíûõ ñëîÿõ ãàçà. Äèôôóçèÿ. Äèôôóçèÿ â ãàçå — ýòî ïðîöåññ ïåðåìåøèâàíèÿ ìîëåêóë, ñîïðîâîæäàþùèéñÿ ïåðåíîñîì ìàññû èç ìåñò ñ áîëüøåé êîíöåíòðàöèåé (ïëîòíîñòüþ) äàííûõ ìîëåêóë â ìåñòà ñ ìåíüøåé êîíöåíòðàöèåé ýòèõ ìîëåêóë. Òàêèì îáðàçîì, â ïðîöåññå äèôôóçèè ïåðåíîñèòñÿ ìàññà, à èçìåíÿþùåéñÿ âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòü ãàçà r. ßâëåíèå äèôôóçèè äëÿ õèìè÷åñêè îäíîðîäíîãî ãàçà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ôèêà: J m x = -D dr , dx (2.34) ãäå J m x — ïëîòíîñòü ïîòîêà ìàññû âäîëü îñè x — âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ìàññîé âåùåñòâà, äèôôóíäèðóþùåãî â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèDm íè÷íóþ ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè x: J m x = ; D — êîýôôèDS ^ Dt 76 dr — ãðàäèåíò ïëîòíîñòè, ðàâíûé ñêîðîñòè dx èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè íà åäèíèöó äëèíû x. Êîýôôèöèåíò äèôôóçèè D ÷èñëåííî ðàâåí ïëîòíîñòè ïîòîêà ìàññû ïðè åäèíè÷íîì ãðàäèåíòå ïëîòíîñòè. öèåíò äèôôóçèè, [D] = ì2/ñ; Òåïëîïðîâîäíîñòü. Åñëè â îäíîé îáëàñòè ãàçà ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóë áîëüøå, ÷åì â äðóãîé, òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âñëåäñòâèå ïîñòîÿííûõ ñòîëêíîâåíèé ìîëåêóë ïðîèñõîäèò ïðîöåññ âûðàâíèâàíèÿ ñðåäíèõ êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ìîëåêóë, ò. å., èíûìè ñëîâàìè, âûðàâíèâàíèå òåìïåðàòóð. Ïåðåíîñ ýíåðãèè (â ôîðìå òåïëîòû) ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ôóðüå: J E x = -l dT , dx (2.35) ãäå J E x — ïëîòíîñòü òåïëîâîãî ïîòîêà âäîëü îñè x — âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ýíåðãèåé, ïåðåíîñèìîé â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ DE ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè x: J E x = ; l — êîýôôèöèåíò DS ^ Dt dT òåïëîïðîâîäíîñòè, [l] = Âò/(ì·Ê); — ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû, ðàâíûé dx èçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû íà åäèíèöó äëèíû x. Êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè l ÷èñëåííî ðàâåí ïëîòíîñòè òåïëîâîãî ïîòîêà ïðè åäèíè÷íîì ãðàäèåíòå òåìïåðàòóðû. Âíóòðåííåå òðåíèå (âÿçêîñòü). Âÿçêîñòü æèäêîñòè õàðàêòåðèçóåò òå ñèëû âíóòðåííåãî òðåíèÿ, êîòîðûå èìåþò ìåñòî, êîãäà îòäåëüíûå ñëîè æèäêîñòè äâèæóòñÿ ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè. Íà ðèñ. 2.3 ïîêàçàíû óñëîâíî âûäåëåííûå ñëîè, äâèæóùèåñÿ ñî r r r r ñêîðîñòÿìè v 1 è v 2 = v 1 + dv. Èìåííî ìåæäó òàêèìè ñëîÿìè è âîçíèêàþò ñèëû òðåíèÿ. Ìåõàíèçì ïîÿâëåíèÿ ýòèõ ñèë ìîæíî Ðèñ. 2.3 ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ðåçóëüòàòå òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû æèäêîñòè ïåðåõîäÿò èç îäíîãî ñëîÿ â äðóãîé, ïåðåíîñÿ ïðè ýòîì è èìïóëüñ óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ. Ïðè ýòîì èìïóëüñ óïîðÿäî77 ÷åííîãî äâèæåíèÿ ñëîÿ, êîòîðûé äâèæåòñÿ áûñòðåå, óìåíüøàåòñÿ, à èìïóëüñ ñëîÿ ñ ìåíüøåé ñêîðîñòüþ óâåëè÷èâàåòñÿ, ò. å. ñëîé ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ òîðìîçèòñÿ, à ñëîé ñ ìåíüøåé ñêîðîñòüþ óñêîðÿåòñÿ. À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ìåæäó ñëîÿìè âîçíèêàþò ñèëû âíóòðåííåãî òðåíèÿ. Îïûò ïîêàçàë, ÷òî ñèëà âíóòðåííåãî òðåíèÿ çàâèñèò îò âåëè÷èíû ïîâåðõíîñòè ñëîåâ S æèäêîñòè è îò ãðàäèåíòà ñêîðîñòè æèäêîñòè dv dx (â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ñêîðîñòè): ½dv ½ Fòð = hS ½ ½. ½ dx ½ (2.36) Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè h íàçûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòüþ (êîýôôèöèåíòîì âÿçêîñòè æèäêîñòè). [h] = Ïà·ñ. Ñëåäîâàæ Dv ö÷ ÷. Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè ÷èñëåííî òåëüíî, h= Fòð ççS çè Dx ÷÷ø ðàâåí ñèëå âíóòðåííåãî òðåíèÿ, ïðèõîäÿùåéñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè ïðè ãðàäèåíòå ñêîðîñòè, ðàâíîì åäèíèöå. Âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ñëîåâ ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîöåññ, ïðè êîòîðîì îò îäíîãî ñëîÿ ê äðóãîìó â åäèíèöó âðåìåíè ïåðåäàåòñÿ èìïóëüñ, ðàâíûé ïî ìîäóëþ äåéñòâóþùåé ñèëå. Òîãäà âûðàæåíèå (2.36) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå J px = -h dv , dx (2.37) ãäå J px — ïëîòíîñòü ïîòîêà èìïóëüñà âäîëü îñè x — âåëè÷èíà, îïðåäåëÿåìàÿ ïîëíûì èìïóëüñîì, ïåðåíîñèìûì â åäèíèöó âðåìåíè âäîëü îñè x D ( mv ) . ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ýòîé îñè: J px = DS ^ Dt Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ôîðìóë (2.34), (2.35) è (2.37), îïèñûâàþùèõ ÿâëåíèÿ ïåðåíîñà, ñëåäóåò, ÷òî çàêîíîìåðíîñòè âñåõ ÿâëåíèé ïåðåíîñà ñõîäíû ìåæäó ñîáîé. Ðåàëüíûå ãàçû. Óðàâíåíèå Âàí-äåð-Âààëüñà Ïðè îïèñàíèè ñâîéñòâ ãàçîâ ìû ïîëüçîâàëèñü ìîäåëüþ èäåàëüíîãî ãàçà, ìîëåêóëû êîòîðîãî íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé íà ðàññòîÿíèè, è èõ ðàçìåðàìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. C óâåëè÷åíèåì äàâëåíèÿ è ïîíèæåíèåì òåìïåðàòóðû ïîâåäåíèå ðåàëüíîãî ãàçà îòëè÷àåòñÿ îò ïîâåäåíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà, òàê êàê ñðåäíèå 78 ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè óìåíüøàþòñÿ è ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì âçàèìîäåéñòâèå ìîëåêóë äðóã ñ äðóãîì. Êðîìå òîãî, ñóììàðíûé îáúåì ñàìèõ ìîëåêóë ñòàíîâèòñÿ ñîèçìåðèìûì ñ îáúåìîì ñîñóäà, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ãàç. Èç áîëüøîãî ÷èñëà óðàâíåíèé, ïðåäëîæåííûõ äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðåàëüíûõ ãàçîâ, ñàìûì ïðîñòûì è âìåñòå ñ òåì äàþùèì äîñòàòî÷íî õîðîøèå ðåçóëüòàòû, îêàçàëîñü óðàâíåíèå ãîëëàíäñêîãî ôèçèêà Âàí-äåð-Âààëüñà (1873). Âàí-äåð-Âààëüñ ïðåäëîæèë âíåñòè ïîïðàâêè ê äàâëåíèþ è îáúåìó â óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà (2.11): æç a ö÷ çç p + 2 ÷÷(V ì - b) = RT , çè V ÷ø (2.38) ì ãäå à è b — ïîñòîÿííûå Âàí-äåð-Âààëüñà, îïðåäåëÿåìûå äëÿ êàæäîãî êîíêðåòíîãî ãàçà îïûòíûì ïóòåì. a Ïîïðàâêà 2 ê äàâëåíèþ, ïðèâîäÿùàÿ ê ïîÿâëåíèþ äîïîëíèòåëüíîVì ãî äàâëåíèÿ íà ãàç, íàçûâàåìîãî âíóòðåííèì äàâëåíèåì, îáóñëîâëåíà äåéñòâèåì ñèë ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè ãàçà, à õàðàêòåðèçóåò ñèëû ìåæìîëåêóëÿðíîãî ïðèòÿæåíèÿ. Ïîïðàâêà b — ýòî ïîïðàâêà íà òàê íàçûâàåìûé íåäîñòóïíûé îáúåì, ðàâíûé ó÷åòâåðåííîìó îáúåìó âñåõ ìîëåêóë. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîëè÷åñòâà âåùåñòâà ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òîV = nV ì : æç a¢ ö÷ çç p + 2 ÷÷(V - b¢) = nRT , è V ÷ø (2.39) ãäå a¢ = an 2 , b¢ = bn — ïîñòîÿííûå Âàí-äåð-Âààëüñà äëÿ n ìîëåé. Èñõîäÿ èç óðàâíåíèÿ (2.39), ìîæíî ïîñòðîèòü èçîòåðìû. Òàê êàê óðàâíåíèå Âàí-äåð-Âààëüñà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå òðåòüåé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî îáúåìà V, òî îíî äàåò îäíî èëè òðè âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèÿ V â çàâèñèìîñòè îò p è T. Ãðàôè÷åñêè òåîðåòè÷åñêèå èçîòåðìû Âàí-äåð-Âààëüñà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.4, ãäå çàâèñèìîñòü p îò V äàíà äëÿ ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóð. Ïðè òåìïåðàòóðå T ¢ è äàâëåíèÿõ â ïðåäåëàõ îò p1¢ äî p ¢2 óðàâíåíèå (2.39) èìååò òðè âåùåñòâåííûõ êîðíÿ. Ðàçëè÷èå ìåæäó òðåìÿ âåùåñòâåííûìè ðåøåíèÿìè ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû óìåíüøàåòñÿ. Íà÷èíàÿ 79 ñ îïðåäåëåííîé äëÿ êàæäîãî âåùåñòâà òåìïåðàòóðû Têð, ïðè ëþáîì äàâëåíèè âåùåñòâåííûì îêàçûâàåòñÿ òîëüêî îäíî ðåøåíèå. Òåìïåðàòóðà Têð íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé (òî÷êà Ê íà ðèñ. 2.4). Ïðè òåìïåðàòóðàõ âûøå êðèòè÷åñêîé èçîòåðìû èìåþò ôîðìó, áëèçêóþ ê ãèïåðáîëå ðV = const è îïèñûâàþò ãàçîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå âåùåñòâà (ïî÷òè èäåàëüíûé ãàç). Ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå êðèòè÷åñêîé èçîòåðìû èìåþò ñëîæíóþ ôîðìó è ìîãóò çàõîäèòü äàæå â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ äàâëåíèé. Òàê ëè äåéñòâèòåëüíî âåäåò ñåáÿ ãàç? ÎòÐèñ. 2.4 âåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ýêñïåðèìåíò. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü èçîòåðìó îïûòíûì ïóòåì, íóæíî âçÿòü âåùåñòâî â ãàçîîáðàçíîì ñîñòîÿíèè è íà÷àòü ìåäëåííî ñæèìàòü (â ñîñóäå ñ ïîðøíåì), äåëàÿ îäíîâðåìåííî îòñ÷åòû äàâëåíèÿ è îáúåìà, à òàêæå ñëåäÿ çà òåì, ÷òîáû òåìïåðàòóðà âåùåñòâà îñòàâàëàñü ïîñòîÿííîé. Ðåçóëüòàòû ïîäîáíûõ îïûòîâ ïðè òåìïåðàòóðå íèæå êðèòè÷åñêîé ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2.5. Âíà÷àëå ñ óìåíüøåíèåì îáúåìà äàâëåíèå ãàçà ðàñòåò, ïðè÷åì õîä èçîòåðìû äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Âàí-äåð-Âààëüñà. Îäíàêî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî îáúåìà Vã, ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ èçîòåðìà ïåðåñòàåò ñëåäîâàòü óðàâíåíèþ (2.39). Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî çíà÷åíèÿ îáúåìà, äàâëåíèå â ñîñóäå ïåðåñòàåò èçìåíÿòüñÿ, ñàìî æå âåùåñòâî ïðè ýòîì ïåðåñòàåò áûòü îäíîðîäíûì: ÷àñòü ãàçà êîíäåíñèðóåòñÿ â æèäêîñòü. Ïðîèñõîäèò ðàññëîåíèå âåùåñòâà íà äâå Ðèñ. 2.5 ôàçû: æèäêóþ è ãàçîîáðàçíóþ. Ïî ìåðå äàëüíåéøåãî óìåíüøåíèÿ îáúåìà âñå áîëüøàÿ ÷àñòü âåùåñòâà ïåðåõîäèò â æèäêóþ ôàçó, ïðè÷åì ïåðåõîä ïðîèñõîäèò ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, îáîçíà÷åííîì íà ðèñ. 2.5 pí.ï. Ïîñëå òîãî êàê ïðîöåññ êîíäåíñàöèè âåùåñòâà â æèäêîñòü çàêàí÷èâàåòñÿ (ýòî ïðîèñõîäèò ïðè äîñòèæåíèè îáúåìà Væ), äàëüíåéøåå óìåíüøåíèå îáúåìà íà÷èíàåò ñîïðîâîæäàòüñÿ áûñòðûì ðîñòîì äàâëåíèÿ. Ïðè ýòîì õîä èçîòåðìû ñíîâà ïðèìåðíî ñëåäóåò óðàâíåíèþ Âàí-äåð-Âààëüñà (2.39). Âåùåñòâî â ñîñòîÿíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó ó÷àñòêó, ñíîâà áóäåò îäíîðîäíûì, íî áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé íå ãàç, à æèäêîñòü. 80 Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå Âàí-äåð-Âààëüñà îïèñûâàåò íå òîëüêî ãàçîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå âåùåñòâà, íî îõâàòûâàåò òàêæå ïðîöåññ ïåðåõîäà â æèäêîå ñîñòîÿíèå è ïðîöåññ ñæàòèÿ æèäêîñòè. Ñîïîñòàâëåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé èçîòåðìû ñ èçîòåðìîé Âàíäåð-Âààëüñà ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòè èçîòåðìû õîðîøî ñîâïàäàþò íà ó÷àñòêàõ, îòâå÷àþùèõ îäíîôàçíûì ñîñòîÿíèÿì âåùåñòâà, íî âåäóò ñåáÿ ðàçëè÷íûì îáðàçîì â îáëàñòè ðàññëîåíèÿ íà äâå ôàçû. Âìåñòî S-îáðàçíîãî çàâèòêà íà èçîòåðìå Âàí-äåð-Âààëüñà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ èçîòåðìà èìååò â ýòîé îáëàñòè ïðÿìîëèíåéíûé ãîðèçîíòàëüíûé ó÷àñòîê, êîòîðûé ðàñïîëàãàåòñÿ òàê, ÷òî îõâàòûâàåìûå çàâèòêîì ïëîùàäè îäèíàêîâû (ñì. ðèñ. 2.5).  ñîñòîÿíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ãîðèçîíòàëüíîìó ó÷àñòêó èçîòåðìû, íàáëþäàåòñÿ ðàâíîâåñèå ìåæäó æèäêîé è ãàçîîáðàçíîé ôàçàìè âåùåñòâà. Ãàç (èëè ïàð), íàõîäÿùèéñÿ â ðàâíîâåñèè ñî ñâîåé æèäêîñòüþ, íàçûâàåòñÿ íàñûùåííûì ïàðîì. Äàâëåíèå pí.ï, ïðè êîòîðîì ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ðàâíîâåñèå ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå, íàçûâàåòñÿ äàâëåíèåì (èëè óïðóãîñòüþ) íàñûùåííîãî ïàðà. Ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ãîðèçîíòàëüíûé ó÷àñòîê èçîòåðìû ñîêðàùàåòñÿ, ñòÿãèâàÿñü â òî÷êó ïðè êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðå Têð. Ñîîòâåòñòâåííî, óìåíüøàåòñÿ ðàçëè÷èå â ïëîòíîñòÿõ æèäêîñòè è íàñûùåííîãî ïàðà. Ïðè êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðå ýòî ðàçëè÷èå ïîëíîñòüþ èñ÷åçàåò. Îäíîâðåìåííî èñ÷åçàåò âñÿêîå ðàçëè÷èå ìåæäó æèäêîñòüþ è ïàðîì. Ïðè òåìïåðàòóðàõ âûøå êðèòè÷åñêîé ïîíÿòèå íàñûùåííîãî ïàðà òåðÿåò ñìûñë. Ïðè ýòèõ òåìïåðàòóðàõ íè ïðè êàêèõ äàâëåíèÿõ ñæèæàòü ãàç íåëüçÿ. Îòñþäà âûòåêàåò óñëîâèå ñæèæåíèÿ ãàçîâ: äëÿ ïðåâðàùåíèÿ ãàçà â æèäêîñòü íåîáõîäèìî ñæèìàòü ãàç ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå êðèòè÷åñêîé. 2.2. Òåðìîäèíàìèêà Òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà Òåðìîäèíàìèêà ïåðâîíà÷àëüíî âîçíèêëà êàê íàóêà î ïðåâðàùåíèè òåïëîòû â ðàáîòó. Îäíàêî çàêîíû, ëåæàùèå â îñíîâå òåðìîäèíàìèêè, èìåþò íàñòîëüêî îáùèé õàðàêòåð, ÷òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèå ìåòîäû ñ áîëüøèì óñïåõîì ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìíîãî÷èñëåííûõ ôèçè÷åñêèõ è õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è äëÿ èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ âåùåñòâà è èçëó÷åíèÿ. Ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ è ïðîöåññîâ ïðåâðàùåíèÿ âåùåñòâà òåðìîäèíàìèêà íå âäàåòñÿ â ðàññìîòðåíèå ìèêðîñêîïè÷åñêîé êàðòèíû ÿâëåíèé. 81  îñíîâå òåðìîäèíàìèêè ëåæàò îáùèå ïðèíöèïû, ÿâëÿþùèåñÿ îáîáùåíèåì îïûòíûõ äàííûõ. Îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ òåðìîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà (ÒÄÑ) — ñîâîêóïíîñòü ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë, îáìåíèâàþùèõñÿ ýíåðãèåé êàê ìåæäó ñîáîé, òàê è ñ âíåøíèìè òåëàìè. Íàïîìíèì, ÷òî ìàêðîñêîïè÷åñêîå òåëî — ýòî òåëî, ñîñòîÿùåå èç î÷åíü áîëüøîãî ÷èñëà àòîìîâ è ìîëåêóë. Ïðèìåðîì òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ìîæåò ñëóæèòü ãàç, çàêëþ÷åííûé â öèëèíäð ïîä ïîðøíåì. Ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ ÒÄÑ íå âñåãäà èìåþò îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ (íàïðèìåð, ïðè íàãðåâå â ðàçíûõ ÷àñòÿõ ñèñòåìû òåìïåðàòóðà ðàçíàÿ). Ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì õîòÿ áû îäèí èç ïàðàìåòðîâ íå èìååò îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ íåðàâíîâåñíûì. Òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, êîòîðûå íå îáìåíèâàþòñÿ ñ âíåøíåé ñðåäîé íè ýíåðãèåé, íè âåùåñòâîì, íàçûâàþòñÿ èçîëèðîâàííûìè (çàìêíóòûìè). Åñëè ñèñòåìó, íàõîäÿùóþñÿ â íåðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè, èçîëèðîâàòü, ò. å. ïðåäîñòàâèòü ñàìîé ñåáå, òî îíà ïåðåéäåò â ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå (êîãäà âñå ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ èìåþò îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ, íå èçìåíÿþùèåñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè). Òàêîé ïåðåõîä íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì ðåëàêñàöèè. Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ — ïåðåõîä ñèñòåìû èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Áåñêîíå÷íî ìåäëåííûé ïðîöåññ ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé, òàê êàê ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ óñïåâàþò âûðîâíÿòüñÿ ïî âñåé ñèñòåìå. Òàêîé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ðàâíîâåñíûì (êâàçèñòàòè÷åñêèì). Ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ ðàâíîâåñíîãî ïðîöåññà (íàïðèìåð, çàìåíà ñæàòèÿ ðàñøèðåíèåì) ñèñòåìà áóäåò ïðîõîäèòü òå æå ðàâíîâåñíûå ñîñòîÿíèÿ, ÷òî è ïðè ïðÿìîì õîäå, íî â îáðàòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîâåñíûå ïðîöåññû îáðàòèìû. Êðóãîâûì ïðîöåññîì (èëè öèêëîì) íàçûâàåòñÿ òàêîé ïðîöåññ, ïðè êîòîðîì ñèñòåìà ïîñëå ðÿäà èçìåíåíèé âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, ðàáîòà è òåïëîòà Âñÿêàÿ òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà â ëþáîì ñîñòîÿíèè îáëàäàåò íåêîòîðîé ýíåðãèåé: êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ñèñòåìû êàê öåëîãî, ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé âî âíåøíåì ïîëå ñèë è âíóòðåííåé ýíåðãèåé.  òåðìî82 äèíàìèêå îáû÷íî ðàññ÷èòûâàþò ìàêðîñêîïè÷åñêè íåïîäâèæíûå ñèñòåìû, íå ïîäâåðæåííûå äåéñòâèþ âíåøíèõ ïîëåé. Äëÿ òàêèõ ñèñòåì çíà÷åíèÿ ïîëíîé è âíóòðåííåé ýíåðãèé ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó ïîíÿòèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ â òåðìîäèíàìèêå. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû U ðàâíà ñóììå âñåõ âèäîâ ýíåðãèé äâèæåíèÿ è âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ äàííóþ ñèñòåìó. Íàïðèìåð, âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçîîáðàçíîé ñèñòåìû âêëþ÷àåò â ñåáÿ: – êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé ìîëåêóë; – êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ àòîìîâ â ìîëåêóëå; – ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë ìåæäó ñîáîé è àòîìîâ âíóòðè ìîëåêóëû; – âíóòðèàòîìíóþ ýíåðãèþ (ýíåðãèþ ýëåêòðîííûõ îáîëî÷åê àòîìîâ; ýíåðãèþ äâèæåíèÿ è âçàèìîäåéñòâèÿ íóêëîíîâ â ÿäðàõ àòîìîâ è ò. ä.). Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ — îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, åå çíà÷åíèå íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèì îáðàçîì ñèñòåìà ïðèøëà â äàííîå ñîñòîÿíèå, ò. å. íå çàâèñèò îò âèäà ïðîöåññà ïåðåõîäà. Ïîäîáíî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ìåõàíèêå, âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü êîëè÷åñòâåííî îïðåäåëåíà òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî U0, çàâèñÿùåãî îò âûáîðà «íà÷àëà îòñ÷åòà» âíóòðåííåé ýíåðãèè, ò. å. îò âûáîðà ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðîì âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ïðèíèìàþò ðàâíîé íóëþ. Îäíàêî çíà÷åíèå U0 íåñóùåñòâåííî, òàê êàê â òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ ïðèõîäèòñÿ îïðåäåëÿòü íå àáñîëþòíîå çíà÷åíèå U, à íå çàâèñÿùåå îò U0 èçìåíåíèå ýòîé ýíåðãèè DU â ðàçëè÷íûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññàõ. Ïî òîé æå ïðè÷èíå ïîä âíóòðåííåé ýíåðãèåé îáû÷íî ïîíèìàþò òå åå ñîñòàâëÿþùèå, êîòîðûå èçìåíÿþòñÿ â ðàññìàòðèâàåìûõ ïðîöåññàõ. Òàê, íàïðèìåð, â äàëüíåéøåì ìû áóäåì êàñàòüñÿ ïðîöåññîâ, íå ñîïðîâîæäàþùèõñÿ èçìåíåíèåì âíóòðèàòîìíîé ýíåðãèè.  ñëó÷àå èäåàëüíîãî ãàçà íåò ñèë ìåæìîëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ðàâíà ñóììå ýíåðãèé áåñïîðÿäî÷íîãî (òåïëîâîãî) äâèæåíèÿ âñåõ ìîëåêóë (ñì. ñîîòíîøåíèå (2.21)): U = N e ìîë = nN A i i kT = nRT . 2 2 (2.40) 83 Îáìåí ýíåðãèåé ìåæäó òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé è îêðóæàþùèìè åå òåëàìè ìîæåò ïðîòåêàòü â äâóõ ôîðìàõ: ìàêðîñêîïè÷åñêîé — â ôîðìå ðàáîòû è ìèêðîñêîïè÷åñêîé — â ôîðìå òåïëîîáìåíà. Ðàññìîòðèì ãàç, íàõîäÿùèéñÿ â öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå, çàêðûòîì ïëîòíî ïðèãíàííûì ïîðøíåì (ðèñ. 2.6). Ïóñòü ãàç íà÷àë ìåäëåííî ðàñøèðÿòüñÿ è ïåðåìåñòèë ïîðøåíü íà ðàññòîÿíèå dx, íàñòîëüêî ìàëîå, ÷òî äàâëåíèå p ìîæíî ñ÷èòàòü íåèçìåííûì. Ãàç äåéñòâóåò íà ïîðøåíü ñ ñèëîé F = pS è ñîâåðøàåò ïðè ðàñøèðåíèè íàä ïîðøíåì ýëåìåíòàðíóþ ðàáîòó dA = Fdx = pSdx = pdV , Ðèñ. 2.6 ãäå dV — ïðèðàùåíèå îáúåìà ãàçà. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì ïðè êîíå÷íûõ èçìåíåíèÿõ îáúåìà, âû÷èñëÿåòñÿ ïóòåì ñóììèðîâàíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ðàáîò: V2 A = ò pdV . (2.41) V1 Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë èíòåãðàëà — ïëîùàäü, ïîýòîìó ðàáîòó ãàçà ïðè èçìåíåíèè îáúåìà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè â êîîðäèíàòàõ (p, V) (ðèñ. 2.7). Ðàáîòà À — ýòî êîëè÷åñòâåííàÿ ìåðà èçìåíåíèÿ ýíåðãèè òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè åå ïåðåõîäå èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Ñîâåðøåíèå ðàáîòû ñîïðîâîæäàåòñÿ ïåðåìåùåíèåì âíåøíèõ òåë, âîçäåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó, íàïðèìåð, ïðè ïåðåìåùåíèè ïîðøíÿ, çàêðûâàþùåãî çàêëþ÷åííûé â ñîñóäå ãàç. Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîöåññ Ðèñ. 2.7 ïåðåäà÷è ýíåðãèè óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ. Ñîâåðøåíèå ðàáîòû íàä ñèñòåìîé ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ åå âíóòðåííåé ýíåðãèè. Òåïëîòà Q (êîëè÷åñòâî òåïëîòû) — ýòî òîæå êîëè÷åñòâåííàÿ ìåðà èçìåíåíèÿ ýíåðãèè òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè ïåðåõîäå åå èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Îäíàêî òåïëîîáìåí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîöåññ, íå ñâÿçàííûé ñ ìàêðîñêîïè÷åñêèì ïåðåìåùåíèåì âçàèìîäåéñò84 âóþùèõ òåë. Ýòîò ïðîöåññ ïåðåäà÷è ýíåðãèè íåóïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ îò îäíèõ òåë ê äðóãèì îñóùåñòâëÿåòñÿ çà ñ÷åò îáìåíà ýíåðãèåé íåïîñðåäñòâåííî ìåæäó õàîòè÷åñêè äâèæóùèìèñÿ ÷àñòèöàìè òåë. Òåïëîïåðåäà÷à ìîæåò îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì îáìåíà ýëåêòðîìàãíèòíûì èçëó÷åíèåì. Íàïðèìåð, âîäà â ìîðå ïðîãðåâàåòñÿ äíåì çà ñ÷åò èçëó÷åíèÿ, ïîñûëàåìîãî Ñîëíöåì.  ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ îáà ñïîñîáà ïåðåäà÷è ýíåðãèè òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå (â ôîðìå ðàáîòû è òåïëîòû) ñîïóòñòâóþò äðóã äðóãó. Íàïðèìåð, ïðè íàãðåâàíèè òåëà ðàñøèðÿþòñÿ è ñîâåðøàþò ðàáîòó íàä âíåøíèìè òåëàìè. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êàê è ðàáîòà,— ôóíêöèè ïðîöåññà. Ïîýòîìó ãîâîðèòü î «çàïàñå òåïëà» èëè î «çàïàñå ðàáîòû» â ñèñòåìå áåññìûñëåííî. Âñå òðè âåëè÷èíû — ýíåðãèÿ, ðàáîòà è òåïëîòà â ñèñòåìå ÑÈ èçìåðÿþòñÿ â äæîóëÿõ (Äæ). Ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè Ïðè ñîâåðøåíèè îäíèì òåëîì ðàáîòû A íàä äðóãèì, ðàâíî êàê è ïðè ñîîáùåíèè îäíèì òåëîì äðóãîìó òåïëîòû Q, ýòè òåëà îáìåíèâàþòñÿ âíóòðåííåé ýíåðãèåé — ýíåðãèÿ îäíîãî èç òåë óâåëè÷èâàåòñÿ, à ýíåðãèÿ äðóãîãî íà ñòîëüêî æå óìåíüøàåòñÿ. Ýòî ñëåäóåò èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.  òåðìîäèíàìèêå ýòîò çàêîí íàçûâàåòñÿ ïåðâûì çàêîíîì (íà÷àëîì) òåðìîäèíàìèêè è çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Q = DU + A, (2.42) ãäå Q — êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîäâåäåííîå ê ñèñòåìå; DU — èçìåíåíèå (ïðèðàùåíèå) âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû, DU = U2 – U1; A — ðàáîòà ñèñòåìû íàä âíåøíèìè òåëàìè. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ñîîáùåííîå ñèñòåìå, èäåò íà èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû è íà ñîâåðøåíèå ñèñòåìîé ðàáîòû íàä âíåøíèìè òåëàìè. Ýòî òàêæå îçíà÷àåò, ÷òî íåâîçìîæíî ñîçäàòü äåéñòâóþùèé ìåõàíèçì, êîòîðûé ñîâåðøàë áû ðàáîòó, ïðåâûøàþùóþ ïîëó÷àåìóþ èì èçâíå ýíåðãèþ. Âîîáðàæàåìûé ìåõàíèçì, ñîâåðøàþùèé ðàáîòó, áîëüøóþ ïîëó÷àåìîé ýíåðãèè, íàçûâàåòñÿ âå÷íûì äâèãàòåëåì ïåðâîãî ðîäà. Òîãäà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè ñëåäóþùèì îáðàçîì: âå÷íûé äâèãàòåëü ïåðâîãî ðîäà íåâîçìîæåí. 85 Òåïëîåìêîñòü è âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà Ïåðåäà÷à òåïëîâîé ýíåðãèè òåëàì, êàê ïðàâèëî, ñîïðîâîæäàåòñÿ èçìåíåíèåì èõ òåìïåðàòóðû. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñïîñîáíîñòè òåë ïîâûøàòü ñâîþ òåìïåðàòóðó çà ñ÷åò ïîëó÷åííîãî èçâíå òåïëà ââîäèòñÿ ïîíÿòèå òåïëîåìêîñòè. Òåïëîåìêîñòü — ñêàëÿðíàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñâÿçü ìåæäó êîëè÷åñòâîì ñîîáùåííîãî ñèñòåìå òåïëà è èçìåíåíèåì åå òåìïåðàòóðû. Ðàçëè÷àþò ïîëíóþ, óäåëüíóþ è ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòè. Òåïëîåìêîñòü òåëà Ñòåëà (ïîëíàÿ òåïëîåìêîñòü) (Äæ/Ê) ÷èñëåííî ðàâíà êîëè÷åñòâó òåïëîòû, êîòîðîå íåîáõîäèìî ñîîáùèòü ñèñòåìå, ÷òîáû ïîâûñèòü åå òåìïåðàòóðó íà îäèí ãðàäóñ: C òåëà = dQ . dT (2.43) Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ñ (Äæ/(êã·Ê)) — òåïëîåìêîñòü åäèíèöû ìàññû: dQ . (2.44) c= mdT Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü Ñ (Äæ/(ìîëü·Ê)) — òåïëîåìêîñòü îäíîãî ìîëÿ: dQ . (2.45) C= ndT Ó÷èòûâàÿ, ÷òî n = m , èç ñîïîñòàâëåíèÿ ôîðìóë (2.44) è (2.45) ñëåäóåò: m c= C . m (2.46) Òåïëîåìêîñòü çàâèñèò îò óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäèò íàãðåâ òåëà.  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà ïðîöåññà ðàçëè÷àþò òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå è ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè èçîõîðíîì ïðîöåññå ðàáîòà íå ñîâåðøàåòñÿ, äëÿ ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå ÑV ìîæíî çàïèñàòü: CV = îòêóäà dU = nC V dT . 86 dQ ½½ dU , = ndT ½V = const ndT Îïûòíûì ïóòåì óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ãàçîâ, áëèçêèõ ê èäåàëüíûì, ÑV = const â øèðîêîì èíòåðâàëå òåìïåðàòóð, òîãäà U = nC V ò dT = nC V T + const. Ïîñêîëüêó âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì: U = nC V T . (2.47) Çàïèñàâ äèôôåðåíöèàë îò óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (2.12) äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðè íåèçìåííîì äàâëåíèè, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû ïðè p = const: dA = pdV = nRdT , òîãäà äëÿ ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè Ñp ïîëó÷àåì: Cp = dQ ½½ dU dA nRdT , = + = CV + ndT ½ p= const ndT ndT ndT èëè C p = C V + R. (2.48) Ñîîòíîøåíèå (2.48) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ìàéåðà. Îíî ïîêàçûâàåò, ÷òî ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü èäåàëüíîãî ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè áîëüøå åãî ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå íà âåëè÷èíó óíèâåðñàëüíîé ãàçîâîé ïîñòîÿííîé R. Ñëåäîâàòåëüíî, Ñp âñåãäà áîëüøå ÑV, òàê êàê â èçîáàðíîì ïðîöåññå â îòëè÷èå îò èçîõîðíîãî òåïëîòà, ñîîáùàåìàÿ ãàçó, ðàñõîäóåòñÿ íå òîëüêî íà èçìåíåíèå åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè, íî òàêæå è íà ñîâåðøåíèå ãàçîì ðàáîòû. Ñîïîñòàâëÿÿ (2.48) ñ ïåðâûì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè, ïîëó÷àåì ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå óíèâåðñàëüíîé ãàçîâîé ïîñòîÿííîé R: ýòî ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ðàáîòå ðàñøèðåíèÿ îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà â èçîáàðíîì ïðîöåññå ïðè íàãðåâàíèè åãî íà îäèí ãðàäóñ. Ââåäåì õàðàêòåðíóþ äëÿ êàæäîãî ãàçà âåëè÷èíó g, ðàâíóþ îòíîøåíèþ òåïëîåìêîñòåé ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè è ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå: g= C p CV + R R , = =1+ CV CV CV (2.49) 87 îòêóäà CV = R . g-1 (2.50) Òîãäà äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè (2.47) ìîæíî çàïèñàòü: U= pV nRT . = g-1 g-1 (2.51) Ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó òåïëîåìêîñòüþ èäåàëüíîãî ãàçà è ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóë (êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ òåïëîåìêîñòè èäåàëüíîãî ãàçà). Äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè èäåàëüíîãî ãàçà ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ (2.40) è (2.47): U = nC V T = i nRT , 2 îòêóäà i R, 2 (2.52) i+2 R, 2 (2.53) CV = à ñ ó÷åòîì (2.48) è (2.49): Cp = g= Cp i + 2 . = CV i (2.54)  òàáë. 2.1 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ÑV, Ñp è g, ïîëó÷àþùèåñÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîëåêóë ïî ýòèì ôîðìóëàì. Òàáëèöà 2.1 ×èñëî àòîìîâ â ìîëåêóëå 88 ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû Õàðàêòåð ñâÿçè ìåæäó àòîìàìè ïîñòóïàò. âðàùàò. êîëåáàò. i ÑV Ñp g 1 – 3 – – 3 3R 2 5R 2 1,67 2 Æåñòêàÿ 3 2 – 5 5R 2 7R 2 1,40 2 Óïðóãàÿ 3 2 1 7 7R 2 9R 2 1,29 >2 Æåñòêàÿ 3 3 – 6 6R 2 8R 2 1,33  äåéñòâèòåëüíîñòè òåïëîåìêîñòü èìååò ñëîæíóþ çàâèñèìîñòü îò òåìïåðàòóðû è ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ñîãëàñèå ìåæäó òåîðèåé è ýêñïåðèìåíòîì ìîæíî ïðèçíàòü óäîâëåòâîðèòåëüíûì òîëüêî äëÿ îäíîè äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë â îöåíî÷íûõ çàäà÷àõ. Àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ Àäèàáàòè÷åñêèì (àäèàáàòíûì) íàçûâàåòñÿ ïðîöåññ, ïðè êîòîðîì îòñóòñòâóåò òåïëîîáìåí ìåæäó ñèñòåìîé è îêðóæàþùåé ñðåäîé: Q = 0. Èç ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ òàêèõ ïðîöåññîâ ñïðàâåäëèâî: DU + A = 0, ò. å. ñèñòåìà ìîæåò ñîâåðøàòü ðàáîòó òîëüêî çà ñ÷åò ñâîåé âíóòðåííåé ýíåðãèè: A = –DU. Ê àäèàáàòè÷åñêèì ìîæíî îòíåñòè âñå áûñòðîïðîòåêàþùèå ïðîöåññû. Ëèíèþ, èçîáðàæàþùóþ àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ, íàçûâàþò àäèàáàòîé. Óðàâíåíèå àäèàáàòû èäåàëüíîãî ãàçà ìîæíî ïîëó÷èòü èç óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà è ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè: èëè pV g = const, (2.55) TV g-1 = const, (2.56) îòêóäà âèäíî, ÷òî âåëè÷èíà g — ïîêàçàÐèñ. 2.8 òåëü àäèàáàòû. Íà ðèñ. 2.8 ïðèâåäåíà àäèàáàòà (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) â êîîðäèíàòàõ (p, V). Ïî ñðàâíåíèþ ñ èçîòåðìîé (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ) ñêîðîñòü óáûâàíèÿ ñ óâåëè÷åíèåì îáúåìà ó íåå âûøå, òàê êàê g > 1. Ïîëèòðîïè÷åñêèå ïðîöåññû Ïîëèòðîïè÷åñêèå ïðîöåññû — ýòî ïðîöåññû, â õîäå êîòîðûõ òåïëîåìêîñòü òåëà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé: C = const. (2.57) 89 Ìîæíî ïîêàçàòü (ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà è ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè), ÷òî äàííûé ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè: pV n = const, (2.58) TV n-1 = const, (2.59) èëè ãäå n= C -C p . C -CV (2.60) Óðàâíåíèÿ (2.58) è (2.59) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ïîëèòðîïû, à n — ïîêàçàòåëåì ïîëèòðîïû. Òàáëèöà 2.2 Èçîïðîöåññ p = const T = const n 0 1 Q=0 V = const g ¥ C Cp ¥ 0 CV Âñå ðàññìîòðåííûå ðàíåå èçîïðîöåññû ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ïîëèòðîïè÷åñêîãî ïðîöåññà.  òàáë. 2.2 óêàçàíû çíà÷åíèÿ n è C, ïðè êîòîðûõ ïîëèòðîïè÷åñêèé ïðîöåññ îêàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì ñ îäíèì èç èçîïðîöåññîâ. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ èäåàëüíûì ãàçîì ïðè ðàçëè÷íûõ ïðîöåññàõ Ðàáîòà, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïåðåõîäå èç ñîñòîÿíèÿ 1 â ñîñòîÿíèå 2 êàêèì-ëèáî òåëîì íàä âíåøíèìè òåëàìè, îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (2.41): V2 A12 = ò pdV . V1 Äàâëåíèå ñâÿçàíî ñ îáúåìîì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ (2.12): pV = nRT . Âû÷èñëèì ðàáîòó äëÿ ðàçëè÷íûõ èçîïðîöåññîâ: à) èçîõîðíûé V = const Þ A12 = 0; 90 (2.61) á) èçîáàðíûé V2 p = const Þ A12 = p ò dV = p(V 2 -V1 ) = nR (T 2 - T1 ); (2.62) V1 â) èçîòåðìè÷åñêèé V2 V2 V1 V1 T = const Þ A12 = ò pdV = nRT ò V dV = nRT ln 2 ; V1 V (2.63) ã) àäèàáàòè÷åñêèé Q = 0 Þ A12 = -DU = U1 - U2. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (2.51) äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè, ïîëó÷àåì A12 = g -1 p1V1 pV p V é æV ö ù - 2 2 = 1 1 êê1 - çç 2 ÷÷÷ úú. g - 1 g - 1 g - 1 ê çèV1 ÷ø ú ë û (2.64) Äëÿ ïîëèòðîïè÷åñêîãî ïðîöåññà ïîëó÷àåòñÿ òàêîå æå âûðàæåíèå, åñëè âìåñòî g ïîäñòàâèòü n. Ýíòðîïèÿ Êàçàëîñü áû, â èçîëèðîâàííîé òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå âîçìîæíû ëþáûå ïðîöåññû, â õîäå êîòîðûõ ñîõðàíÿåòñÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ. Îäíàêî ýòî íå òàê. Äåëî â òîì, ÷òî ðàçëè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, îòâå÷àþùèå îäíîé è òîé æå ýíåðãèè, îáëàäàþò ðàçíîé âåðîÿòíîñòüþ. Åñòåñòâåííî, ÷òî èçîëèðîâàííàÿ ñèñòåìà áóäåò ñàìîïðîèçâîëüíî ïåðåõîäèòü èç ìåíåå âåðîÿòíûõ â áîëåå âåðîÿòíûå ñîñòîÿíèÿ ëèáî ïðåáûâàòü ïðåèìóùåñòâåííî â ñîñòîÿíèè, âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ìàêñèìàëüíà. Íàïðèìåð, â îäíîé èç ïîëîâèí èçîëèðîâàííîãî, ðàçäåëåííîãî ïåðåãîðîäêîé ñîñóäà èìååòñÿ ãàç, à â äðóãîé åãî ïîëîâèíå — âàêóóì. Åñëè óáðàòü ïåðåãîðîäêó, ãàç ðàñïðîñòðàíèòñÿ íà âåñü ñîñóä. Òåïëîòà ê ñîñóäó íå ïîäâîäèëàñü, ãàç, ðàñøèðÿÿñü â âàêóóì, ðàáîòû íå ñîâåðøàë. Ñëåäîâàòåëüíî, íå èçìåíèëàñü è âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, ò. å. T = const. Îáðàòíûé ïðîöåññ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ãàç ñàìîïðîèçâîëüíî ñîáðàëñÿ áû â îäíîé èç ïîëîâèí ñîñóäà, íåâîçìîæåí. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ, ïðè êîòîðîì ìîëåêóëû ãàçà ðàñïðåäåëåíû ïðèìåðíî ïîðîâíó ìåæäó îáåèìè ïîëîâèíàìè ñîñóäà, î÷åíü âåëèêà, à âåðîÿòíîñòü âòîðîãî ñîñòîÿíèÿ ïðàêòè÷åñêè ðàâíà íóëþ. 91  ëèòðå âîçäóõà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ ñîäåðæèòñÿ ïðèìåðíî 3 · 1022 ìîëåêóë. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíè ðàñïðåäåëåíû ïîðîâíó ìåæ22 äó ïîëîâèíàìè ñîñóäà â 10 10 ðàç áîëüøå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî âñå îíè îêàæóòñÿ ñ îäíîé ñòîðîíû. Çàìåòèì, ÷òî ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ãàçà íà âåñü îáúåì — íåîáðàòèìûé. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáðàòèìûì ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññ, îáðàòíûé êîòîðîìó ìàëîâåðîÿòåí. ×òîáû îïðåäåëèòü, êàêèå ïðîöåññû ìîãóò ïðîòåêàòü â èçîëèðîâàííîé ñèñòåìå, íóæíî çíàòü âåðîÿòíîñòè ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé ýòîé ñèñòåìû. Âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ñëóæèò äëÿ õàðàêòåðèñòèêè âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé, ïîëó÷èëà íàçâàíèå ýíòðîïèè. Îíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû.  èäåàëå ñàìûì äåòàëüíûì îïèñàíèåì ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû áûëî áû çàäàíèå êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ (èëè ñêîðîñòåé) âñåõ ÷àñòèö, èç êîòîðûõ îáðàçîâàíà ñèñòåìà. Ñòîëü äåòàëüíî îõàðàêòåðèçîâàííîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ìèêðîñîñòîÿíèåì. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ìîæåò áûòü òàêæå çàäàíî ñ ïîìîùüþ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ (ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ), õàðàêòåðèçóþùèõ ñèñòåìó â öåëîì. Îõàðàêòåðèçîâàííîå òàêèì ñïîñîáîì ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ìàêðîñîñòîÿíèåì. Åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ íå èçìåíÿþòñÿ, ò. å. íå èçìåíÿåòñÿ åå ìàêðîñîñòîÿíèå. Âìåñòå ñ òåì ÷àñòèöû äâèæóòñÿ è èçìåíÿþò ñâîé èìïóëüñ â ðåçóëüòàòå ñîóäàðåíèé, ñëåäîâàòåëüíî, ìèêðîñîñòîÿíèå âñå âðåìÿ èçìåíÿåòñÿ. ×èñëî ðàçëè÷íûõ ìèêðîñîñòîÿíèé, ïîñðåäñòâîì êîòîðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ äàííîå ìàêðîñîñòîÿíèå, íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì âåñîì ìàêðîñîñòîÿíèÿ W. Íàïðèìåð, ñòàòèñòè÷åñêèé âåñ ìîëÿ êèñëîðîäà ïðè àòìîñôåðíîì 24 äàâëåíèè è êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå W = 10 6 , 5×10 .  îñíîâå ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè ëåæèò ãèïîòåçà, ñîãëàñíî êîòîðîé âñå ìèêðîñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñíîé òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ðàâíîâåðîÿòíû, ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü ìàêðîñîñòîÿíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñòàòèñòè÷åñêîìó âåñó. Òîãäà â êà÷åñòâå ýíòðîïèè êàê âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùåé âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ, ìîæíî áûëî áû âçÿòü ñàì ñòàòèñòè÷åñêèé âåñ. Íî ýòî íåóäîáíî íå òîëüêî ïî ïðè÷èíå îãðîìíûõ ÷èñåë, íî è ââèäó åãî íåàääèòèâíîñòè (âåðîÿòíîñòè ïåðåìíîæàþòñÿ): W = W 1W 2 . Íî ëîãàðèôì ñòàòèñòè÷åñêîãî âåñà — âåëè÷èíà àääèòèâíàÿ: 92 ln W = ln W 1 + ln W 2 . Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ýíòðîïèè ìîæíî ïðèíÿòü âåëè÷èíó s, ðàâíóþ íàòóðàëüíîìó ëîãàðèôìó ñòàòèñòè÷åñêîãî âåñà: s = ln W. Ïîñêîëüêó ýíòðîïèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, òî îíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ôóíêöèè ïàðàìåòðîâ ñîñòîÿíèÿ.  ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè îáðàòèìîì ïðîöåññå âåëè÷èíà dQ kT ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì ýíòðîïèè s: æ dQ ö ds = çç ÷÷÷ , çè kT ÷ø îáð ãäå dQ — êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå ñèñòåìîé â õîäå îáðàòèìîãî ïðîöåññà; k — êîýôôèöèåíò Áîëüöìàíà; T — òåìïåðàòóðà ñèñòåìû (è íàãðåâàòåëÿ, òàê êàê åäèíñòâåííûé îáðàòèìûé ïðîöåññ, ïðè êîòîðîì ìîæåò ïåðåäàâàòüñÿ òåïëîòà — èçîòåðìè÷åñêèé). Îãðîìíûå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû s äåëàþò åå ìàëîïðèãîäíîé äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ýíòðîïèåé (Äæ/Ê) íàçûâàþò âåëè÷èíó S = ks: S = k ln W. (2.65)  ïðèìåðå ñî ñòàòèñòè÷åñêèì âåñîì ìîëÿ êèñëîðîäà ïðè àòìîñôåð24 íîì äàâëåíèè è êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå W = 10 6 , 5×10 . Ïðè ýòîì, äëÿ ñðàâíåíèÿ: s = 1,5 × 10 25 ; S = 200 Äæ/Ê. Îïðåäåëåíèå ýíòðîïèè (2.65) ëåæèò â îñíîâå åå ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Äëÿ ïðèðàùåíèÿ ýíòðîïèè ïðè îáðàòèìîì ïðîöåññå æ dQ ö dS = çç ÷÷÷ , çè T ÷ø îáð (2.66) ïðè ýòîì äëÿ îáðàòèìîãî ïðîöåññà ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî dQ = 0. T îáð ò 93 Ñîîòíîøåíèå (2.66) ëåæèò â îñíîâå òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ýíòðîïèè. Ñâîéñòâà ýíòðîïèè: 1. Ïåðåõîä ñèñòåìû èç ìåíåå âåðîÿòíîãî ñîñòîÿíèÿ â áîëåå âåðîÿòíîå ñîïðîâîæäàåòñÿ óâåëè÷åíèåì ñòàòèñòè÷åñêîãî âåñà W, à ñëåäîâàòåëüíî, è ýíòðîïèè S, ïîýòîìó ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â õîäå íåîáðàòèìîãî ïðîöåññà ýíòðîïèÿ èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû âîçðàñòàåò: dS > 0. 2. Ýíòðîïèÿ èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè, ìàêñèìàëüíà: W = const Þ dS = 0 Þ S = const. 3. Ýíòðîïèÿ íåèçîëèðîâàííîé ñèñòåìû ìîæåò êàê âîçðàñòàòü, òàê è óáûâàòü; ñîñòîÿíèå, îñóùåñòâëÿåìîå ìíîãèìè ñïîñîáàìè, íàçûâàåòñÿ áåñïîðÿäî÷íûì èëè ñëó÷àéíûì, ïîýòîìó ýíòðîïèÿ — ìåðà áåñïîðÿäêà â ñèñòåìå. 4. Ïðè ñòðåìëåíèè àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû ê íóëþ ýíòðîïèÿ ëþáîãî òåëà òàêæå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ: lim S = 0. T ®0 (2.67) Ñâîéñòâà 1 è 2 ñîñòàâëÿþò âòîðîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè. Ñâîéñòâî 4 íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Íåðíñòà (íàçûâàåìîé èíîãäà òðåòüèì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè). Âûðàæåíèå (2.66) îïðåäåëÿåò íå ñàìó ýíòðîïèþ, à ðàçíîñòü åå çíà÷åíèé â äâóõ ñîñòîÿíèÿõ. Íåðíñò äîêàçàë òåîðåìó (2.67), êîòîðàÿ äàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü ñàìî çíà÷åíèå ýíòðîïèè â ëþáîì ñîñòîÿíèè. Ñîãëàñíî òåîðåìå Íåðíñòà ýíòðîïèÿ ëþáîãî òåëà ïðè àáñîëþòíîì íóëå ðàâíà íóëþ. Íà ýòîì îñíîâàíèè ýíòðîïèÿ â ñîñòîÿíèè ñ òåìïåðàòóðîé T ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: T S=ò 0 dQ . T (2.68) Åñëè èçâåñòíà, íàïðèìåð, òåïëîåìêîñòü òåëà ïðè äàííûõ óñëîâèÿõ êàê ôóíêöèÿ òåìïåðàòóðû, òî ýíòðîïèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå T C (T )dT . (2.69) S=ò T 0 94 ÊÏÄ òåïëîâîé ìàøèíû. Öèêë Êàðíî Ñîçäàíèå è ðàçâèòèå òåðìîäèíàìèêè áûëî âûçâàíî ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìîñòüþ îïèñàíèÿ ðàáîòû è ðàñ÷åòà òåïëîâûõ ìàøèí. Òåïëîâàÿ ìàøèíà (èëè òåïëîâîé äâèãàòåëü) — ýòî ïåðèîäè÷åñêè äåéñòâóþùèé ìåõàíèçì, ñîâåðøàþùèé ðàáîòó çà ñ÷åò ïîëó÷àåìîãî èçâíå êîëè÷åñòâà òåïëîòû. Êðóãîâîé ïðîöåññ (öèêë) òàêîãî äâèãàòåëÿ ñõåìàòè÷íî ïîêàçàí íà ðèñ. 2.9. Ïðèíöèï äåéñòâèÿ òåïëîâûõ ìàøèí çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Òåðìîñòàò (òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, êîòîðàÿ ìîæåò îáìåíèâàòüñÿ òåïëîòîé ñ òåëàìè áåç èçìåíåíèÿ òåìïåÐèñ. 2.9 ðàòóðû) ñ áîëåå âûñîêîé òåìïåðàòóðîé Ò1 (íàçûâàåìûé íàãðåâàòåëåì) ïåðåäàåò çà öèêë ðàáî÷åìó òåëó òåïëîòó Q1, âûçûâàÿ ïîâûøåíèå åãî òåìïåðàòóðû. Ðàáî÷åå òåëî ñîâåðøàåò çà öèêë ðàáîòó A íàä êàêèì-ëèáî ìåõàíè÷åñêèì óñòðîéñòâîì, íàïðèìåð, ïðèâîäèò âî âðàùåíèå òóðáèíó, è äàëåå îòäàåò õîëîäèëüíèêó (òåðìîñòàòó ñ áîëåå íèçêîé òåìïåðàòóðîé Ò2) òåïëîòó Q 2¢ , âîçâðàùàÿñü â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì çà öèêë, îïðåäåëÿåòñÿ ïëîùàäüþ, îõâàòûâàåìîé çàìêíóòîé êðèâîé â êîîðäèíàòàõ (p, V). Âåëè÷èíà Q 2 = -Q 2¢ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïåðåäàâàåìîå õîëîäèëüíèêîì ðàáî÷åìó òåëó, è èìååò îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå. Ò. å. äëÿ òîãî, ÷òîáû ìàøèíà ðàáîòàëà ïîâòîðíûìè öèêëàìè, ÷àñòü ïîëó÷åííîé îò íàãðåâàòåëÿ òåïëîòû íóæíî îòäàòü õîëîäèëüíèêó.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâûì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè (2.42) ïðè îñóùåñòâëåíèè êðóãîâîãî ïðîöåññà èç-çà âîçâðàùåíèÿ ðàáî÷åãî òåëà â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå åãî âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ çà öèêë íå èçìåíÿåòñÿ. Ïîýòîìó ñîâåðøåííàÿ ðàáî÷èì òåëîì ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà ðàâíà ðàçíîñòè ïîäâåäåííîé è îòâåäåííîé òåïëîòû: A = Q1 - Q 2¢ . (2.70) Ýôôåêòèâíîñòü òåïëîâîé ìàøèíû ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü êîýôôèöèåíòîì ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ h, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå ñîâåðøåííîé çà öèêë ðàáîòû A ê ïîëó÷àåìîé îò íàãðåâàòåëÿ çà öèêë òåïëîòå Q1: Q - Q 2¢ A (2.71) h= = 1 < 1. Q1 Q1 95 Åñëè öèêë íàïðàâèòü â äðóãóþ ñòîðîíó, òî ïîëó÷èòñÿ õîëîäèëüíàÿ ìàøèíà. Òàêàÿ ìàøèíà îòáèðàåò çà öèêë îò õîëîäíîãî òåëà êîëè÷åñòâî òåïëà Q2 è îòäàåò ãîðÿ÷åìó òåëó êîëè÷åñòâî òåïëà Q1¢ . Íàä ìàøèíîé çà öèêë äîëæíà áûòü ñîâåðøåíà ðàáîòà A¢. Åå ýôôåêòèâíîñòü õàðàêòåðèçóåòñÿ õîëîäèëüíûì êîýôôèöèåíòîì hõîë = Q2 Q2 . = A¢ Q1¢ - Q 2 (2.72) Ôðàíöóçñêèé èíæåíåð Ñàäè Êàðíî âûâåë òåîðåìó, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ åãî èìåíåì: èç âñåõ ïåðèîäè÷åñêè äåéñòâóþùèõ òåïëîâûõ ìàøèí, èìåþùèõ îäèíàêîâûå òåìïåðàòóðû íàãðåâàòåëåé (Ò1) è õîëîäèëüíèêîâ (Ò2), íàèáîëüøèì ÊÏÄ îáëàäàþò îáðàòèìûå ìàøèíû: híåîáð < hîáð . (2.73) Åäèíñòâåííûì îáðàòèìûì ïðîöåññîì, ïðè êîòîðîì ìîæåò ïîäâîäèòüñÿ òåïëîòà, ÿâëÿåòñÿ èçîòåðìè÷åñêèé, ïîýòîìó îáðàòèìûé öèêë, ñîâåðøàåìûé â òåïëîâîé ìàøèíå ðàáî÷èì òåëîì, ìîæåò ñîñòîÿòü èç èçîòåðì è àäèàáàò. Ðèñ. 2.10 Öèêë, ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîòåðì è äâóõ àäèàáàò, íàçûâàåòñÿ öèêëîì Êàðíî (ðèñ. 2.10) — ýòî öèêë èäåàëüíîé òåïëîâîé ìàøèíû. ÊÏÄ öèêëà Êàðíî îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî òåìïåðàòóðàìè íàãðåâàòåëÿ è õîëîäèëüíèêà: hÊàðíî = T1 - T 2 . T1 (2.74)  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü ÊÏÄ èäåàëüíîé òåïëîâîé ìàøèíû îò òåìïåðàòóðû íàãðåâàòåëÿ, òåìïåðàòóðà õîëîäèëüíèêà 20 °Ñ (êîìíàòíàÿ òåìïåðàòóðà): T1, °Ñ 100 400 800 1200 2500 h, % 21 56 73 80 89 96 Âòîðîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè Ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè íå äàåò íèêàêèõ óêàçàíèé îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ, â êîòîðîì ìîãóò ïðîòåêàòü ïðîöåññû â ïðèðîäå. Îíî íå çàïðåùàåò, íàïðèìåð, ñàìîïðîèçâîëüíûé ïåðåõîä òåïëà îò õîëîäíîãî òåëà ê ãîðÿ÷åìó, õîòÿ â ïðèðîäå òàêèå ïðîöåññû íå íàáëþäàþòñÿ. Îáîáùåíèå îãðîìíîãî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ìàòåðèàëà ïðèâåëî ê íåîáõîäèìîñòè ðàñøèðåíèÿ òåðìîäèíàìèêè: áûëî ñôîðìóëèðîâàíî âòîðîå íà÷àëî. Âòîðîå íà÷àëî ïîçâîëÿåò ñóäèòü î íàïðàâëåíèè ïðîöåññîâ, êîòîðûå ìîãóò ïðîèñõîäèòü â äåéñòâèòåëüíîñòè. Íàèáîëåå î÷åâèäíàÿ ôîðìóëèðîâêà ïðèíàäëåæèò Ðóäîëüôó Êëàóçèóñó (1850): íåâîçìîæåí ïðîöåññ, åäèíñòâåííûì ðåçóëüòàòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïåðåäà÷à òåïëîòû îò õîëîäíîãî òåëà ê ãîðÿ÷åìó. Ôîðìóëèðîâêà Âèëüÿìà Òîìñîíà (ëîðäà Êåëüâèíà) (1851): íåâîçìîæåí ïðîöåññ, åäèíñòâåííûì ðåçóëüòàòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïðåâðàùåíèå òåïëîòû â ýêâèâàëåíòíóþ åé ðàáîòó. Èíûìè ñëîâàìè: íåâîçìîæåí âå÷íûé äâèãàòåëü âòîðîãî ðîäà — ïåðèîäè÷åñêè äåéñòâóþùèé äâèãàòåëü, ñîâåðøàþùèé ðàáîòó çà ñ÷åò îõëàæäåíèÿ îäíîãî èñòî÷íèêà òåïëîòû. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ýíòðîïèè, âòîðîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü êàê çàêîí íåóáûâàíèÿ ýíòðîïèè çàìêíóòîé ñèñòåìû: ýíòðîïèÿ èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû íå ìîæåò óáûâàòü ïðè ëþáûõ ïðîèñõîäÿùèõ â íåé ïðîöåññàõ: (2.75) dS ³ 0, ïðè÷åì çíàê ðàâåíñòâà îòíîñèòñÿ ê îáðàòèìûì ïðîöåññàì, à íåðàâåíñòâà — ê íåîáðàòèìûì. Çäåñü ñóùåñòâåííî, ÷òî ðå÷ü èäåò î çàìêíóòûõ ñèñòåìàõ, òàê êàê â íåçàìêíóòûõ ñèñòåìàõ ýíòðîïèÿ ìîæåò âåñòè ñåáÿ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå ýíòðîïèè (2.65) ïîçâîëÿåò îáúÿñíèòü ïîñòóëèðóåìîå âòîðûì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè âîçðàñòàíèå ýíòðîïèè â çàìêíóòîé ñèñòåìå ïðè íåîáðàòèìûõ ïðîöåññàõ: âîçðàñòàíèå ýíòðîïèè îçíà÷àåò ïåðåõîä ñèñòåìû èç ìåíåå âåðîÿòíûõ â áîëåå âåðîÿòíûå ñîñòîÿíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, âòîðîå íà÷àëî, ÿâëÿÿñü ñòàòèñòè÷åñêèì çàêîíîì, îïèñûâàåò çàêîíîìåðíîñòè õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ çàìêíóòóþ ñèñòåìó.  ñåðåäèíå ÕIÕ âåêà âîçíèêëà ïðîáëåìà òàê íàçûâàåìîé òåïëîâîé ñìåðòè Âñåëåííîé. Ðàññìàòðèâàÿ Âñåëåííóþ êàê çàìêíóòóþ ñèñòåìó è ïðèìåíÿÿ ê íåé âòîðîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè, Êëàóçèóñ ñâåë åãî 97 ñîäåðæàíèå ê óòâåðæäåíèþ, ÷òî ýíòðîïèÿ Âñåëåííîé äîëæíà äîñòèãíóòü ñâîåãî ìàêñèìóìà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñî âðåìåíåì âñå ôîðìû äâèæåíèÿ äîëæíû ïåðåéòè â òåïëîâóþ. Ïåðåõîä æå òåïëîòû îò ãîðÿ÷èõ òåë ê õîëîäíûì ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî òåìïåðàòóðà âñåõ òåë âî Âñåëåííîé ñðàâíÿåòñÿ, ò. å. íàñòóïèò ïîëíîå òåïëîâîå ðàâíîâåñèå, è âñå ïðîöåññû âî Âñåëåííîé ïðåêðàòÿòñÿ — íàñòóïèò òåïëîâàÿ ñìåðòü Âñåëåííîé. Ïîïûòêà èçáåæàòü óêàçàííîãî ïðîòèâîðå÷èÿ ãèïîòåçû òåïëîâîé ñìåðòè Âñåëåííîé áûëà ïðåäïðèíÿòà Áîëüöìàíîì, êîòîðûé ïîêàçàë, ÷òî è â ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ íàáëþäàþòñÿ ôëóêòóàöèè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî íàáëþäàåìàÿ Âñåëåííàÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òàêîé ôëóêòóàöèè, òî ïðîòèâîðå÷èÿ ïàðàäîêñà òåïëîâîé ñìåðòè Âñåëåííîé ñíèìàþòñÿ. Îøèáî÷íîñòü âûâîäà î òåïëîâîé ñìåðòè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî áåññìûñëåííî ïðèìåíÿòü âòîðîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè ê íåçàìêíóòûì ñèñòåìàì, íàïðèìåð ê òàêîé áåçãðàíè÷íîé è áåñêîíå÷íî ðàçâèâàþùåéñÿ ñèñòåìå, êàê Âñåëåííàÿ. Ïîäîáíî òîìó, êàê â îñíîâå ìåõàíèêè ëåæàò çàêîíû Íüþòîíà è âñå çàäà÷è ìîãóò áûòü ðåøåíû ñ èõ ïîìîùüþ, òàê â îñíîâå òåðìîäèíàìèêè ëåæàò äâà çàêîíà — äâà íà÷àëà òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè óòâåðæäàåò òîò ôàêò, ÷òî â ëþáûõ ïðîöåññàõ äîëæåí ñîáëþäàòüñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè, ò. å. ïåðâîå íà÷àëî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôîðìóëèðîâêó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè ïðèìåíèòåëüíî ê òåïëîâûì ïðîöåññàì. Âòîðîå íà÷àëî óòî÷íÿåò ïåðâîå è ïîêàçûâàåò íàïðàâëåíèå ïðîòåêàíèÿ âñåõ ïðîöåññîâ — ñòðåìëåíèå ëþáîé ñèñòåìû ïåðåéòè èç ìåíåå âåðîÿòíûõ â áîëåå âåðîÿòíûå ñîñòîÿíèÿ. 2.3. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ 1. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ. 2. Îñíîâíîå óðàâíåíèå ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ. 3. Òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. 4. Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà. 5. Çàêîí ðàâíîðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû ìîëåêóë. 98 6. Çàêîí Ìàêñâåëëà ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì òåïëîâîãî äâèæåíèÿ. Áàðîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà. Ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà. 7. ßâëåíèÿ ïåðåíîñà. Äèôôóçèÿ, âÿçêîñòü, òåïëîïðîâîäíîñòü. 8. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Ðàáîòà, òåïëîòà, òåïëîåìêîñòü, åå âèäû. 9. Ïîëèòðîïíûé ïðîöåññ, åãî ÷àñòíûå ñëó÷àè: èçîáàðíûé, èçîòåðìè÷åñêèé, àäèàáàòíûé, èçîõîðíûé. 10. Âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Ýíòðîïèÿ. Òåïëîâûå äâèãàòåëè è õîëîäèëüíûå ìàøèíû. Öèêë Êàðíî. 11. Ðåàëüíûå ãàçû. Óðàâíåíèå Âàí-äåð-Âààëüñà. Èçîòåðìû ðåàëüíûõ ãàçîâ. Ôàçîâûå ïðåâðàùåíèÿ. 3. ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ Ýëåêòðîäèíàìèêà — ðàçäåë ôèçèêè, â êîòîðîì èçó÷àþòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå — îäíî èç ÷åòûðåõ âûäåëÿåìûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé, ýòî âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè èëè ìàêðîñêîïè÷åñêèìè çàðÿæåííûìè òåëàìè. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä q — ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñâîéñòâî òåë èëè ÷àñòèö âñòóïàòü â ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Åäèíèöà çàðÿäà — êóëîí: [q ] = Êë. 3.1. Ýëåêòðîñòàòèêà Ýëåêòðîñòàòèêà — ðàçäåë ýëåêòðîäèíàìèêè, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ ñâîéñòâà è âçàèìîäåéñòâèÿ íåïîäâèæíûõ â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêè çàðÿæåííûõ òåë èëè ÷àñòèö, îáëàäàþùèõ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä è åãî ñâîéñòâà Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû áûâàþò äâóõ âèäîâ. Èõ óñëîâíî íàçâàëè ïîëîæèòåëüíûìè è îòðèöàòåëüíûìè; çàðÿäû âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé: îäíîèìåííûå — îòòàëêèâàþòñÿ, ðàçíîèìåííûå — ïðèòÿãèâàþòñÿ. Íîñèòåëÿìè çàðÿäîâ ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû (ìåëü÷àéøèå ÷àñòèöû ìàòåðèè). Íàèìåíüøèé âñòðå÷àþùèéñÿ â ïðèðîäå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíûì çàðÿäîì e: e = 1,6021892 · 10–19 Êë. Ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû: ýëåêòðîí, ïðîòîí è íåéòðîí — íåñóò çàðÿäû –e, +e, 0 ñîîòâåòñòâåííî. Èç ýòèõ ÷àñòèö ïîñòðîåíû àòîìû ëþáîãî âåùåñòâà, ïîýòîìó ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû âõîäÿò â ñîñòàâ âñåõ òåë. 100 Îáû÷íî ýëåêòðîíû è ïðîòîíû èìåþòñÿ â ðàâíûõ êîëè÷åñòâàõ è ðàñïðåäåëåíû â òåëå ñ îäèíàêîâîé ïëîòíîñòüþ.  ýòîì ñëó÷àå àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà çàðÿäîâ â ëþáîì ýëåìåíòàðíîì îáúåìå òåëà ðàâíà íóëþ, âñëåäñòâèå ÷åãî êàæäûé òàêîé îáúåì (è òåëî â öåëîì) îêàçûâàþòñÿ íåéòðàëüíûìè. Âñÿêèé çàðÿä îáðàçóåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ýëåìåíòàðíûõ çàðÿäîâ, ïîýòîìó îí ÿâëÿåòñÿ öåëûì êðàòíûì e: q = ±N e. (3.1) Åñëè ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ìîæåò èìåòü òîëüêî äèñêðåòíûå (ò. å. ðàçäåëåííûå êîíå÷íûìè ïðîìåæóòêàìè) çíà÷åíèÿ, ãîâîðÿò, ÷òî ýòà âåëè÷èíà êâàíòóåòñÿ, ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä êâàíòóåòñÿ. Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ìîãóò âîçíèêàòü è èñ÷åçàòü. Îäíàêî âñåãäà âîçíèêàþò èëè èñ÷åçàþò îäíîâðåìåííî äâà îäèíàêîâûõ çàðÿäà ðàçíûõ çíàêîâ. Ïðèìåð 1. Ýëåêòðîí è ïîçèòðîí (àíòèýëåêòðîí) ïðè âñòðå÷å àííèãèëèðóþò, ò. å. ïðåâðàùàþòñÿ â íåéòðàëüíûå ÷àñòèöû, íàçûâàåìûå ãàììà-ôîòîíàìè. Ïðè ýòîì èñ÷åçàþò çàðÿäû +e è –e. Ïðèìåð 2.  õîäå ïðîöåññà, íàçûâàåìîãî ðîæäåíèåì ïàðû, ãàììà-ôîòîí ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ïðåâðàùàåòñÿ â ïàðó ÷àñòèö — ýëåêòðîí è ïîçèòðîí. Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà: ñóììàðíûé çàðÿä ýëåêòðè÷åñêè èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû íå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ. Çàêîí Êóëîíà Òî÷å÷íûé çàðÿä — çàðÿæåííîå òåëî, ðàçìåðàìè êîòîðîãî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèÿìè äî äðóãèõ òåë. Çàêîí âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ óñòàíîâèë ýêñïåðèìåíòàëüíî Øàðëü Îãþñòåí Êóëîí â 1785 ã. ñ ïîìîùüþ èçîáðåòåííûõ èì êðóòèëüíûõ âåñîâ: ñèëà F âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ íåïîäâèæíûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ, íàõîäÿùèõñÿ â âàêóóìå, íàïðàâëåíà âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé çàðÿäû, ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíàì çàðÿäîâ q1 è q2 è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó íèìè: F=k | q1 || q 2 | , r2 (3.2) ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè k = 9 × 10 9 Í·ì2/Êë2. 101 Äëÿ âåêòîðà ñèëû, äåéñòâóþùåé ñî ñòîðîíû ïåðâîãî çàðÿäà íà âòîðîé (ðèñ. 3.1) ïîëó÷àåòñÿ ñîîòíîøåíèå r q1 q 2 r (3.3) F er , 12 = k Ðèñ. 3.1 r2 r r r r ãäå e r — åäèíè÷íûé íàïðàâëÿþùèé âåêòîð, e r = . r Ïóñòü êðîìå çàðÿäà q èìåþòñÿ åùå çàðÿäû q , q , …, q (ðèñ. 3.2). Òî1 2 N r ãäà ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà F , ñ êîòîðîé íà q äåéñòâóþò âñå N çàðÿäîâ, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé N r r F = å Fi . (3.4) i =1 Ôîðìóëà (3.4) îòðàæàåò ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè ñèë è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì îïûòíûõ ôàêòîâ. Âî ìíîãèå ôîðìóëû ýëåêòðîäèíàìèêè âõîäèò ìíîæèòåëü 4p, ïîýòîìó k èíîãäà óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå k = 1 ( 4 pe 0 ), ãäå e0 = 8,85 · 10–12 Ô/ì — ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ðàöèîíàëèçîâàííàÿ çàïèñü çàêîíà Êóëîíà: r 1 q1 q 2 r F= er . 4 pe 0 r 2 Ðèñ. 3.2 (3.5) Âñÿêèé çàðÿä âîçáóæäàåò â îêðóæàþùåì åãî ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå, êîòîðîå ïðîÿâëÿåò ñåáÿ â òîì, ÷òî íà ïîìåùåííûé â êàêóþ-ëèáî åãî òî÷êó çàðÿä äåéñòâóåò ñèëà. Ìîæíî óâèäåòü àíàëîãèþ çàêîíà Êóëîíà (3.2) è çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ (1.29). Çàðÿäû âçàèìîäåéñòâóþò ïîñðåäñòâîì ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ òàêæå, êàê ìàññû âçàèìîäåéñòâóþò ïîñðåäñòâîì ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ Èññëåäóåì ïîëå íåïîäâèæíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà q ñ ïîìîùüþ òî÷å÷íîãî ïðîáíîãî çàðÿäà q ¢ (ðèñ. 3.3).  ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Êóëîíà, íà ïðîáíûé çàðÿä áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà 102 r æ 1 q r ö÷ F = q¢ çç e ÷. çè 4 pe 0 r 2 r ÷÷ø r Îòíîøåíèå F q ¢ íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû çàðÿäà q ¢, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòèr êîé ïîëÿ. Íàïðÿæåííîñòü E ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷èñëåííî ðàâíà ñèëå, äåéñòâóþùåé íà åäèíè÷-r íûé òî÷å÷íûé çàðÿä. Íàïðàâëåíèå âåêòîðà E ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä: r r F E= . q¢ Ðèñ. 3.3 (3.6) Åäèíèöà èçìåðåíèÿ íàïðÿæåííîñòè â ÑÈ — âîëüò íà ìåòð: [E ] =  ì. Èç ñîîòíîøåíèé (3.4) è (3.6) ñëåäóåò, ÷òî ïîëÿ ñêëàäûâàþòñÿ, íå âîçìóùàÿ äðóã äðóãà: N r r (3.7) E = åEi. i =1 Ýòî ñëåäñòâèå íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè íàïðÿæåííîñòåé. Ïðèìåð. Èç çàêîíà Êóëîíà (3.5) è îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííîñòè (3.6) ìîæíî íàéòè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà: r E òî÷ = 1 q r er . 4 pe 0 r 2 (3.8) r Ïîëå íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì, åñëè âåêòîð E îäèíàêîâ â êàæäîé òî÷êå. Ðàáîòà ïîëÿ ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà. Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ Ïóñòü òî÷å÷íûé çàðÿä q ¢, íàõîäÿùèéñÿ â ïîëå íåïîäâèæíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà q, ïåðåìåñòèëñÿ âäîëü íåêîòîðîé òðàåêòîðèè èç ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2 (ðèñ. 3.4). Íàéäåì ðàáîòó A12, ñîâåðøàåìóþ ïðè ýòîì íàä çàðÿäîì q ¢ ñèëàìè ïîëÿ, â êîòîðîì îí íàõîäèòñÿ. Íà çàðÿä q ¢ äåéñòâóåò r 1 qq¢ r ñèëà F = er . 4 pe 0 r 2 103 Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ýòîé ñèëû r ® 1 qq¢ r ® dA = F × dl = e r × dl, 4 pe 0 r 2 ® ãäå dl — ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå çàðÿäà q ¢. Èç ðèñ 3.4 âèäíî, ÷òî r ® e r × dl = dr — ïðèðàùåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó çàðÿäàìè. Äëÿ ðàáîòû íà ó÷àñòêå 1–2 ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå Ðèñ. 3.4 2 A12 = ò 1 qq ¢ dr 1 qq ¢ 1 qq ¢ , = 2 4 pe 0 r 4 pe 0 r1 4 pe 0 r2 (3.9) îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàáîòà ñèëû çàâèñèò íå îò ïóòè, ïî êîòîðîìó ïåðåìåùàëñÿ çàðÿä q ¢, à ëèøü îò íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ïîëîæåíèé çàðÿäà. Ðàáîòà ïî ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ðàâíà íóëþ (ò. å. ñèëà Êóëîíà ïîòåíöèàëüíà): r ® r ® ò F × dl = ò q¢E × dl = 0, l l r ® ò E × dl = 0. (3.10) l r ® r Âûðàæåíèå ò E × dl íàçûâàåòñÿ öèðêóëÿöèåé âåêòîðà E ïî êîíòóðó l. l r Ñîîòíîøåíèå (3.10) âûðàæàåò òåîðåìó î öèðêóëÿöèè âåêòîðà E : öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ïî ëþáîìó çàìêíóòîìó êîíòóðó ðàâíà íóëþ. Åñëè öèðêóëÿöèÿ âåêòîðíîé õàðàêòåðèñòèêè íåêîòîðîãî ïîëÿ ðàâíà íóëþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîëå ïîòåíöèàëüíî (óñëîâèå ïîòåíöèàëüíîñòè). Ðàáîòà ïîòåíöèàëüíûõ ñèë ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê óáûëü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (ñì. (1.83)): A12 = Wï1 – Wï2. (3.11) Ñîïîñòàâèâ (3.9) è (3.11), ïîëó÷èì äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, êîòîðîé îáëàäàåò çàðÿä q ¢ â ïîëå çàðÿäà q, âûðàæåíèå 104 Wï = 1 qq ¢ + const. 4 pe 0 r Íà áåñêîíå÷íî áîëüøîì ðàññòîÿíèè çàðÿäû íå âçàèìîäåéñòâóþò, ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðè r = ¥ äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íóëü: Wï = 1 qq ¢ . 4 pe 0 r (3.12) Âûðàæåíèå (3.12) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê âçàèìíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ çàðÿäîâ q è q ¢, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè r. Ïîòåíöèàë Ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà j= Wï q¢ (3.13) íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû çàðÿäà q ¢ è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ çàðÿäà q. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì ïîëÿ â äàííîé òî÷êå. Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà q îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì j òî÷ = 1 q , 4 pe 0 r (3.14) ãäå r — ðàññòîÿíèå îò çàðÿäà äî äàííîé òî÷êè ïîëÿ. Ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ñèñòåìîé çàðÿäîâ, ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ïîòåíöèàëîâ, ñîçäàâàåìûõ êàæäûì èç çàðÿäîâ â îòäåëüíîñòè: N j = å ji . (3.15) i =1 Èç îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà (3.13) ñëåäóåò, ÷òî çàðÿä q, íàõîäÿùèéñÿ â òî÷êå ïîëÿ ñ ïîòåíöèàëîì j, îáëàäàåò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé Wï = q j. (3.16) Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòó ñèë ïîëÿ íàä çàðÿäîì q ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ: 105 A12 = Wï1 – Wï2 = q(j1 – j2) = qU, (3.17) ãäå U — íàïðÿæåíèå, U = j1 - j2 = -Dj. Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ íàä çàðÿäîì ñèëàìè ïîëÿ, ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ çàðÿäà íà óáûëü ïîòåíöèàëà. Åäèíèöà èçìåðåíèÿ ïîòåíöèàëà (è íàïðÿæåíèÿ) — âîëüò: [j] = [U] = Â. Îäèí âîëüò ñîîòâåòñòâóåò ïîòåíöèàëó â òàêîé òî÷êå, äëÿ ïåðåìåùåíèÿ â êîòîðóþ èç áåñêîíå÷íîñòè çàðÿäà, ðàâíîãî îäíîìó êóëîíó, íóæíî ñîâåðøèòü ðàáîòó â îäèí äæîóëü: 1  = 1 Äæ/1 Êë.  ôèçèêå ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ åäèíèöåé ðàáîòû è ýíåðãèè, íàçûâàåìîé ýëåêòðîíâîëüòîì (ýÂ) è ðàâíîé ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëàìè ïîëÿ íàä ýëåìåíòàðíûì çàðÿäîì e ïðè ïðîõîæäåíèè èì ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ â îäèí âîëüò: 1 ý = 1,6 · 10–19 Êë · 1  = 1,6 · 10 –19 Äæ.  áûòó æå èñïîëüçóåòñÿ åäèíèöà ðàáîòû êÂò·÷: 1 êÂò · ÷ = 3,6 · 10 6 Äæ. Ñâÿçü íàïðÿæåííîñòè è ïîòåíöèàëà Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ìîæíî îïèñàòü ëèáî ñ ïîìîùüþ âåêòîðr íîé âåëè÷èíû E (ñèëîâîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ), ëèáî ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû j (ýíåðãåòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ). Î÷åâèäíî, ÷òî ýòè âåëè÷èíû äîëæíû áûòü êàê-òî ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì. Ïðè ïåðåìåùåíèè òî÷å÷íîãî çàðÿäà q âäîëü íåêîòîðîãî íàïðàâëåíèÿ ® íà îòðåçîê dl ñèëû ïîëÿ ñîâåðøàò íàä íèì ðàáîòó r ® dA = qE × dl = qE l dl. Èíà÷å ýòó ðàáîòó ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç óáûëü ïîòåíöèàëà: dA = -qdj = -q(¶j ¶l)dl. Ïðèðàâíÿâ îáà âûðàæåíèÿ äëÿ ðàáîòû, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå qE l dl = -q(¶j ¶l)dl, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî E l = -¶j ¶l. 106 (3.18) r Òàêèì îáðàçîì, ïðîåêöèÿ âåêòîðà E íà ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå ðàâíà èçìåíåíèþ ïîòåíöèàëà íà åäèíèöó äëèíû âäîëü ýòîãî íàïðàâëåíèÿ. Âçÿâ â êà÷åñòâå íàïðàâëåíèÿrêîîðäèíàòíûå îñè x, y, z, ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò âåêòîðà E : E x = -¶j ¶x, E y = -¶j ¶y, E z = -¶j ¶z. (3.19) Äëÿ îäíîðîäíîãî ïîëÿ èëè äëÿ îöåíî÷íûõ ðàñ÷åòîâ ìîæíî çàïèñàòü: E= j1 - j 2 U = , l l (3.20) îòêóäà ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíîé åäèíèöà èçìåðåíèÿ «âîëüò íà ìåòð». Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïîëåé Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ìîæíî èçîáðàçèòü ñ ïîìîùüþ ñèëîâûõ ëèíèé è ýêâèïîòåíöèàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé. Ñèëîâûå ëèíèè — âîîáðàæàåìûå ëèíèè, êàñàòåëüíûå ê êîòîðûì â êàæäîé òî÷êå ñîâïàäàþò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè â ýòîé òî÷êå ïîëÿ. Îíè íà÷èíàþòñÿ íà ïîëîæèòåëüíûõ è çàêàí÷èâàþòñÿ íà îòðèöàòåëüíûõ çàðÿäàõ, íå ïåðåñåêàþòñÿ. Ýêâèïîòåíöèàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü (ëèíèÿ) — ïîâåðõíîñòü (ëèíèÿ) ðàâíîãî ïîòåíöèàëà. Íà ðèñ. 3.5 èçîáðàæåíû ñèëîâûå (ñïëîøíûå) è ýêâèïîòåíöèàëüíûå (ïóíêòèðíûå) ëèíèè äëÿ ïîëîæèòåëüíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà (à), îòðèöàòåëüíîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà (á) è äèïîëÿ (â). Äèïîëü — ñèñòåìà äâóõ ðàâíûõ ïî ìîäóëþ, íî ïðîòèâîïîëîæíûõ ïî çíàêó çàðÿäîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà ìàëîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Ïîòîê íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Òåîðåìà Ãàóññà r Ýëåìåíòàðíûé ïîòîê âåêòîðà E ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ïëîùàäüþ dS ñ r íîðìàëüþ n (ðèñ. 3.6) r r (3.21) dF Er = E × ndS = E cos adS = E n dS , r ãäå n — íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè (âíåøíÿÿ äëÿ çàìêíóòûõrïîâåðõíîñòåé). Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè S ïîòîê Ô âåêòîðà E F Er = ò E n dS . (3.22) S 107 Ðèñ. 3.5 Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (3.8). Ëèíèè ïîëÿ â ýòîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íóþ ñèñòåìó ðàäèàëüíûõ ïðÿìûõ, íàïðàâëåííûõ îò çàðÿäà, åñëè îí ïîëîæèòåëåí, è ê çàðÿäó, åñëè îí îòðèöàòåëåí (ñì. ðèñ. 3.5, à è á). Ðàññìîòðèì âîîáðàæàåìóþ ñôåðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü ðàäèóñîì r, â öåíòðå êîòîðîé ïîìåùàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûé òî÷å÷íûé çàðÿä q.  êàæäîé òî÷êå ýòîé ïîâåðõíîñòè 2 E n = (1 4 pe 0 ) q r . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòîê âåêÐèñ. 3.6 r òîðà E ÷åðåç ïîâåðõíîñòü q 1 q 4 pr 2 = . F Er = ò E n dS = E n S = 2 4 pe 0 r e0 S 108 Ýòî âûðàæåíèå íå çàâèñèò îò ðàäèóñà ïîâåðõíîñòè r. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî ëèíèé ïîëÿ íà ëþáîì ðàññòîÿíèè îò çàðÿäà îäíî è òî æå. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ëèíèè íèãäå, êðîìå çàðÿäà, íå íà÷èíàþòñÿ è íå çàêàí÷èâàþòñÿ; íà÷àâøèñü íà ïîëîæèòåëüíîì çàðÿäå, îíè çàêàí÷èâàþòñÿ íà îòðèöàòåëüíîì çàðÿäå (â íàøåì ñëó÷àå íà áåñêîíå÷íîñòè). Èñòî÷íèêàìè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ìîãóò ñëóæèòü òîëüêî çàðÿäû, ïðè÷åì ìîùíîñòü ýòèõ èñòî÷íèêîâ ðàâíà q/e0. Îáîáùèâ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà çàðÿäîâ ëþáîãî çíàêà, ïðèõîäèì ê òåîðåìå Ãàóññà: ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå çàêëþ÷åííûõ âíóòðè ýòîé ïîâåðõíîñòè çàðÿäîâ, äåëåííîé íà e0: F Er = ò E n dS = S 1 e0 å q. (3.23) Äëÿ çàðÿäà, ðàñïðåäåëåííîãî ïî òåëó íåêîòîðûì îáðàçîì, èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà. Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà r (Êë/ì3) — çàðÿä â åäèíèöå îáúåìà, ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà s (Êë/ì2) — çàðÿä íà åäèíèöå ïëîùàäè, ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà t (Êë/ì) — çàðÿä íà åäèíèöå äëèíû: r= dq dq dq ; s = ; t= . dV dS dl (3.24) Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãàóññà ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïîëÿ çàðÿæåííûõ òåë, îáëàäàþùèõ ýëåìåíòàìè ñèììåòðèè: ïîëå áåñêîíå÷íîé îäíîðîäíî çàðÿæåííîé ïëîñêîñòè; ïîëå îäíîðîäíî çàðÿæåííîãî áåñêîíå÷íîãî öèëèíäðà; ïîëå îäíîðîäíî çàðÿæåííîé ñôåðû èëè øàðà. Ïðèìåð 1. Ïîëå áåñêîíå÷íîé ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ïëîñêîñòè ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà s îêàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì (ðèñ. 3.7, à): s . (3.25) E= 2e 0 Ïðèìåð 2. Ïîëå äâóõ ïàðàëëåëüíûõ áåñêîíå÷íûõ ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûõ ïëîñêîñòåé ñ ïîâåðõíîñòíûìè ïëîòíîñòÿìè çàðÿäà s è -s (ðèñ. 3.7, á) ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè (3.7). Ìåæ109 äó ïëîñêîñòÿìè ïîëÿ èìåþò îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå, ñëåâà è ñïðàâà — ïðîòèâîïîëîæíûå. Òàêèì îáðàçîì, íàïðÿæåííîñòü îêàçûâàåòñÿ îòëè÷íîé îò íóëÿ òîëüêî ìåæäó ïëîñêîñòÿìè: s (3.26) E= . e0 Ïðèìåð 3. Ïîëå ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ñôåðû ðàäèóñîì R îêàçûâàåòñÿ òàêèì æå, êàê è ó òî÷å÷íîãî çàðÿäà âíå ñôåðû (ðèñ. 3.7, â). Âíóòðè ïîëå îòñóòñòâóåò (òàê êàê òàì íåò çàðÿäîâ è ñèëîâûì ëèíèÿì íåãäå áûëî áû îêàí÷èâàòüñÿ). Ïóñòü q — çàðÿä ñôåðû, òîãäà Ðèñ. 3.7 é 0, åñëè r < R ; ê Er = ê 1 q ê , åñëè r > R . êë 4 pe 0 r 2 (3.27) Ñ èñïîëüçîâàíèåì (3.18) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëà îò ðàññòîÿíèÿ âíå ñôåðû áóäåò òàêàÿ æå, êàê ó òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Âíóòðè ïîòåíöèàë òàêîé æå, êàê íà ïîâåðõíîñòè, òàê êàê âíóòðè ïîëÿ íåò: é 1 ê ê 4 pe 0 j=ê ê 1 ê êë 4 pe 0 q , åñëè r £ R ; R q , åñëè r > R . r (3.28) Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå â äèýëåêòðèêàõ Äèýëåêòðèêè (èçîëÿòîðû) — âåùåñòâà, â êîòîðûõ çàðÿäû íå ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ óïîðÿäî÷åííî. Çàðÿäû â äèýëåêòðèêå ìîãóò ñìåùàòüñÿ èç ñâîèõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ ëèøü íà ìàëûå ðàññòîÿíèÿ, ïîðÿäêà àòîìíûõ. Àòîìû è ìîëåêóëû ñîñòîÿò èç ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ÿäåð è äâèæóùèõñÿ âîêðóã íèõ îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûõ ýëåêòðîíîâ 110 (ðàçä. 5.1).  çàâèñèìîñòè îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ â íåéòðàëüíîé ìîëåêóëå çàðÿäîâ ðàçíûõ çíàêîâ (ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî ïîëÿ) íàáëþäàþòñÿ äâà òèïà ìîëåêóë. Ó ìîëåêóë îäíîãî òèïà öåíòð òÿæåñòè ýëåêòðîíîâ ñìåùåí îòíîñèòåëüíî öåíòðà òÿæåñòè àòîìíûõ ÿäåð. Òàêèå ìîëåêóëû íàçûâàþòñÿ ïîëÿðíûìè (HCl, H2O). Ó ìîëåêóë äðóãîãî òèïà, íàçûâàåìûõ íåïîëÿðíûìè, âñëåäñòâèå èõ ñèììåòðèè öåíòðû òÿæåñòè ýëåêòðîíîâ è àòîìíûõ ÿäåð ñîâïàäàþò (H2, N2, O2). Ïîëÿðíûå ìîëåêóëû ïîäîáíû ýëåêòðè÷åñêîìó äèïîëþ — ñèñòåìå äâóõ îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî çíàêîì òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ +q è –q, ðàññòîÿíèå l ìåæäó êîòîðûìè ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèÿìè äî òåõ òî÷åê, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîëå ñèñòåìû (ñì. ðèñ. 3.5, â). Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îáà çàðÿäà, íàçûâàåòñÿ îñüþ äèïîëÿ. Îðèåíòàöèþ îñè äèïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå ìîæíî çàäàòü ® ñ ïîìîùüþ âåêòîðà l, ïðîâåäåííîãî îò çàðÿäà –q ê çàðÿäó +q. Ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò äèïîëÿ (äèïîëüíûé ìîìåíò) ® r p = q l. (3.29) Åñëè äèïîëü íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå (ðèñ. 3.8), íà åãî çàðÿäû räåéñòâóþò ðàâíûå ïî ìîäóëþ, ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåír íûå ñèëû +qE è -qE . Ýòè ñèëû îáðàçóþò ïàðó, ïëå÷î êîòîðîé ðàâíî l sin a. Ìîäóëü ìîìåíòà ïàðû ñèë ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñèëû íà ïëå÷î: (3.30) M = qEl sin a = pE sin a. r Âðàùàþùèé ìîìåíò M ïåðïåíäèêóëÿðåí r r r ê âåêòîðàì p è E ; a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè p r è E . Ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî r r r M = p´E. Ðèñ. 3.8 (3.31) Òàêèì îáðàçîì, îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå îêàçûâàåò íà äèïîëü îðèåíòèðóþùåå äåéñòâèå, ñòðåìÿñü óñòàíîâèòü åãî ïî ïîëþ. Ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïîëÿðíûå è íåïîëÿðíûå ìîëåêóëû âåäóò ñåáÿ ïî-ðàçíîìó. Íà ïîëÿðíûå ìîëåêóëû ïîëå îêàçûâàåò â îñíîâíîì îðèåíòèðóþùåå äåéñòâèå, ñòðåìÿñü óñòàíîâèòü èõ äèïîëüíûìè ìîìåíòàìè ïî ïîëþ. Âåëè÷èíó äèïîëüíîãî ìîìåíòà ïîëÿðíîé ìîëåêóëû ïîëå ñóùåñòâåííî íå èçìåíÿåò. Îðèåíòèðóþùåìó äåéñòâèþ ïîëÿ íà ïîëÿðíûå ìîëåêóëû 111 ïðîòèâèòñÿ òåïëîâîå äâèæåíèå, êîòîðîå ñòðåìèòñÿ ðàçáðîñàòü ìîìåíòû ìîëåêóë ðàâíîìåðíî ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì.  ðåçóëüòàòå ïðîòèâîáîðñòâà ýòèõ äâóõ òåíäåíöèé óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðåèìóùåñòâåííàÿ îðèåíòàöèÿ äèïîëüíûõ ìîìåíòîâ ïî ïîëþ, òåì áîëüøàÿ, ÷åì ñèëüíåå ïîëå è ÷åì íèæå òåìïåðàòóðà. Òàêîé âèä ïîëÿðèçàöèè íàçûâàåòñÿ îðèåíòàöèîííîé ïîëÿðèçàöèåé. Äåéñòâèå ïîëÿ íà íåïîëÿðíóþ ìîëåêóëó ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî öåíòð ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ ñìåùàåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïîëÿ, à öåíòð îòðèöàòåëüíûõ çàðÿäîâ — â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó.  ðåçóëüòàòå íåïîëÿðíàÿ ìîëåêóëà ïðèîáðåòàåò èíäóöèðîâàííûé (íàâåäåííûé) äèïîëüíûé ìîìåíò, òî÷íî îðèåíòèðîâàííûé ïî ïîëþ. Òàêàÿ ïîëÿðèçàöèÿ íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîííîé. Âçàèìíîå ñìåùåíèå öåíòðîâ çàðÿäîâ, à ñëåäîâàòåëüíî, è äèïîëüíûé ìîìåíò ïðîïîðöèîíàëüíû íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, ò. å. ñèëå, äåéñòâóþùåé íà çàðÿäû. Íåçàâèñèìî îò òèïà ìîëåêóë äèýëåêòðèêà ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ïîëÿ âåêòîðíàÿ ñóììà äèïîëüíûõ ìîìåíòîâ ìîëåêóë äèýëåêòðèêà ñòàíîâèòñÿ îòëè÷íîé îò íóëÿ. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçàöèåé äèýëåêòðèêà.  ðåçóëüòàòå ïîëÿðèçàöèè äèýëåêòðèêà, ñîñòîÿùåãî èç íåéòðàëüíûõ ìîëåêóë, ïîñëåäíèå ñòàíîâÿòñÿ ýëåêòðè÷åñêèìè äèïîëÿìè, îðèåíòèðîâàííûìè ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûìè êîíöàìè âäîëü ïîëÿ. Ñëåäñòâèåì ýòîãî íà ïðîòèâîïîëîæíûõ ïîâåðõíîñòÿõ ïîëÿðèçîâàííîãî äèýëåêòðèêà âûñòóïàþò íåñêîìïåíñèðîâàííûå (èíäóêöèîííûå) çàðÿäû ðàçíûõ çíàêîâ. Èõ íàçûâàþò ïîëÿðèçàöèîííûìè èëè ñâÿçàííûìè çàðÿäàìè. Ñâîáîäà ïåðåìåùåíèÿ ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ îãðàíè÷åíà, îíè ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ ëèøü âíóòðè ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûõ ìîëåêóë.  îáúåìå äèýëåêòðèêà ïðîèñõîäèò êîìïåíñàöèÿ ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ çàðÿäîâ ìîëåêóë è íèêàêèõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ïîëÿðèçàöèîííûõ çàðÿäîâ íå ïîÿâëÿåòñÿ. Îäíàêî ýòî ñïðàâåäëèâî òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëÿðèçàöèÿ äèýëåêòðèêà îäíîðîäíà (íàïðèìåð, âñëåäñòâèå îäíîðîäíîñòè ïîëÿ è ñàìîãî äèýëåêòðèêà). Åñëè æå ïîëÿðèçàöèÿ íåîäíîðîäíà, òî êîìïåíñàöèè íåò è â äèýëåêòðèêå ìîãóò ïîÿâèòüñÿ îáúåìíûå ïîëÿðèçàöèîííûå (ñâÿçàííûå) çàðÿäû. Ïîìèìî ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûõ ìîëåêóë â äèýëåêòðèêå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ïîëîæèòåëüíî èëè îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûå èîíû. Èçáûòîê èîíîâ òîãî èëè èíîãî çíàêà â êàêîé-ëèáî ÷àñòè äèýëåêòðèêà îçíà÷àåò íàëè÷èå â ýòîé ÷àñòè íåñêîìïåíñèðîâàííûõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ çàðÿäîâ. 112 Òàêèå çàðÿäû íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíûìè. Îíè âîçíèêàþò â äèýëåêòðèêå, íàïðèìåð, ïðè ýëåêòðèçàöèè òðåíèåì. Ê ñâîáîäíûì îòíîñÿòñÿ òàêæå âñå çàðÿäû, íàõîäÿùèåñÿ íà ïðîâîäíèêàõ.  êà÷åñòâå êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿðèçàöèè åñòåñòâåííî âçÿòü äèïîëüíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà äèýëåêòðèêà, êîòîðûé r íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçîâàííîñòüþ äèýëåêòðèêà è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé P (Êë/ì2): r 1 P= DV r å p. (3.32) DV Ïîëÿðèçîâàííûé äèýëåêòðèê ñòàíîâèòñÿ èñòî÷íèêîì ýëåêòðè÷år r ñêîãî ïîëÿ E ¢, êîòîðîå íàêëàäûâàåòñÿ íà âíåøíåå ïîëå E 0 .  èòîãå âîçíèêàåò ïîëå r r r (3.33) E = E 0 + E ¢. r Ìîëåêóëû èñïûòûâàþò äåéñòâèå ñóììàðíîãî ïîëÿ E . Ïîýòîìó è ïîëÿðèçîâàííîñòü äèýëåêòðèêà îïðåäåëÿåòñÿ ýòèì ïîëåì. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî íåçàâèñèìî îò òèïà ìîëåêóë â íå ñëèøêîì ñèëüíûõ ïîëÿõ ïîëÿðèçîâàííîñòü áîëüøèíñòâà èçîòðîïíûõ äèýëåêòðèêîâ (êðîìå ñåãíåòîýëåêòðèêîâ) ïðîïîðöèîíàëüíà íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â ýòîé òî÷êå: r r (3.34) P = Àe 0 E , r ãäå À — íå çàâèñÿùàÿ îò E õàðàêòåðèñòèêà äèýëåêòðèêà, íàçûâàåìàÿ äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ e 0 ââåäåíà â ôîðìóëó (3.34) äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü äèýëåêòðè÷åñêóþ âîñïðèèì÷èâîñòü áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíîé. r Åñëè íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ E äëÿ äàííîé ïîâåðõíîñòè îòëè÷íà îò íóëÿ, òî ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ çàðÿäû îäíîãî çíàêà óõîäÿò âíóòðü, à çàðÿäû äðóãîãî çíàêà âûõîäÿò íàðóæó.  ðåçóëüòàòå â òîíêîì ïîâåðõíîñòíîì ñëîå äèýëåêòðèêà âîçíèêàåò èçáûòîê ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ îäíîãî çíàêà. Íà ïîâåðõíîñòè òåëà ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ íå òîëüêî ñâÿçàííûå, íî è ñâîáîäíûå çàðÿäû. ×òîáû îòëè÷èòü ýòè äâà ñëó÷àÿ, áóäåì ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ îáîçíà÷àòü s, à ïëîòíîñòü ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ — ñèìâîëîì s ¢, àíàëîãè÷íî îáúåìíóþ ïëîòíîñòü ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ — r, à îáúåìíóþ ïëîòíîñòü ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ — ñèìâîëîì r ¢. 113 Ñâÿçü ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ ñ ïîëÿðèçîâàííîñòüþ è íàïðÿæåííîñòüþ: s ¢ = Pn = Àe 0 E n , (3.35) ãäå Pn — ïðîåêöèÿ ïîëÿðèçîâàííîñòè íà âíåøíþþ íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè; En — ïðîåêöèÿ íà âíåøíþþ íîðìàëü íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ âíóòðè äèýëåêòðèêà. Ñâÿçàííûå çàðÿäû, êàê è ëþáûå äðóãèå ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû, ÿâëÿþòñÿ èñòî÷íèêàìè ýëåêòðè÷åñêîãî r ïîëÿ, íà íèõ íà÷èíàþòñÿ èëè îêàí÷èâàþòñÿ ëèíèè íàïðÿæåííîñòè E . r Äëÿ ðàñ÷åòà ïîëåé â äèýëåêòðèêàõ âìåñòî íàïðÿæåííîñòè E áîëåå r óäîáíîé îêàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà D, ñèëîâûå ëèíèè êîòîðîé íà÷èíàþòñÿ èëè îêàí÷èâàþòñÿ òîëüêî íà ñâîáîäíûõ çàðÿäàõ: r r r (3.36) D = e 0 E + P. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ñìåùåíèåì ïîëÿ (ïðåæíåå íàçâàíèå: ýëåêòðè÷åñêàÿ èíäóêöèÿ). Ñâÿçàííûå çàðÿäû íå ÿâëÿþòñÿ èñr òî÷íèêàìè ïîëÿ âåêòîðà D. Èç (3.34) è (3.36) ïîëó÷àåì r r r (3.37) D = e 0 (1 + À)E = e 0 eE , ãäå áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà e =1+À (3.38) íàçûâàåòñÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ âåùåñòâà. Åå îïðåäåëÿþò ýêñïåðèìåíòàëüíî.  âàêóóìå e = 1, â âîçäóõå e » 1, â âîäå e = 81. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü e ïîêàçûâàåò, âî ñêîëüêî ðàç îñëàáëÿåòñÿ ïîëå çà ñ÷åò äèýëåêòðèêà. r Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ D òàêæå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Ãàóññà: ïîòîê ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ñâîáîäíûõ çàðÿäîâ, çàêëþ÷åííûõ âíóòðè ýòîé ïîâåðõíîñòè: F Dr = ò D n dS = å q. S (3.39) r r Âåêòîðû E è D íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ è èçîòðîïíûõ äèýëåêòðè÷åñêèõ ñðåä 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî ñ äèýëåêòðè÷åñêèìè ïðîíè114 öàåìîñòÿìè e1 è e2 äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì (êîr òîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç òåîðåìû Ãàóññà äëÿ D è òåîðåìû î öèðêór ëÿöèè E ). Ïîñêîëüêó èçîòðîïíû, èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè ñëåäóåò, r ñðåäû r r r ÷òî âåêòîðû E 1 è E 2 ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Àíàëîãè÷íî äëÿ D1 è D 2 . r Ëèíèè âåêòîðà D ìîãóò íà÷èíàòüñÿ èëè îêàí÷èâàòüñÿ òîëüêî íà ñâîáîäíûõ r çàðÿäàõ. Ïîýòîìó, åñëè íà ãðàíèöå ðàçäåëà òàêèõ çàðÿäîâ íåò, ëèíèè D ïðîõîäÿò ÷åðåç ãðàíèöó, íå ïðåðûâàÿñü (ðèñ. 3.9), ïðè÷åì èõ íîðìàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå îäèíàêîâû â îáîèõ äèýëåêòðèêàõ (â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè ê ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä): D1n = D2n. (3.40) Èç (3.37) ñëåäóåò, ÷òî íîðìàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå íàïðÿæåííîñòè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì Ðèñ. 3.9 E1n/E2n = e2/e1. (3.41) Äëÿ êàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ïîëó÷àþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ: E1t = E2t, (3.42) D1t/D2t = e1/e2. (3.43) Ñîîòíîøåíèÿ r(3.40)–(3.43) îïðåäåëÿþò óñëîâèÿ, êîòîðûì óäîâëår òâîðÿþò âåêòîðû E è D íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ. Èç íèõ r âûòåêàåò, ÷òî òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà è íîðìàëüíàÿ ñîE r èçìåíÿþòñÿ ñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà D ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà r íåïðåðûâíî. Íîðìàëüíàÿ æå ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà è òàíãåíöèàëüíàÿ E r ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà D ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà èçìåíÿþòñÿ ñêà÷êîì, ò. å. ïðåòåðïåâàþò ðàçðûâ. Ïî ðèñ. 3.9 âèäíî, ÷òî tga = Dt/Dn. Ïîýòîìó D D tga 1 D e = 1t 1n = 1t = 1 . tga 2 D 2 t D 2 n D 2 t e2 (3.44) (3.44) — çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ëèíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ (è ëèíèé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ). 115 Ïðîâîäíèêè â ÝÑÏ Íîñèòåëè çàðÿäà â ïðîâîäíèêàõ ïðèõîäÿò â äâèæåíèå ïîä äåéñòâèåì ñêîëü óãîäíî ìàëîé ñèëû. Ïîýòîìó äëÿ ðàâíîâåñèÿ çàðÿäîâ íà ïðîâîäíèêå íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå äâóõ óñëîâèé (ðèñ. 3.10). 1. Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âíóòðè ïðîâîäíèêà äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ: E âíóòð = 0. (3.45) 2. Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà äîëæíà â êàæäîé òî÷êå áûòü íàïðàâëåíà ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè: E ïîâ = E n . Ðèñ. 3.10 (3.46) Ïåðâîå óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî ïîòåíöèàë âíóòðè ïðîâîäíèêà äîëæåí áûòü ïîñòîÿííûì. Èç âòîðîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå ðàâíîâåñèÿ çàðÿäîâ ïîâåðõíîñòü ïðîâîäíèêà ÿâëÿåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé. Ñîîáùåííûé ïðîâîäíèêó çàðÿä ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà (èíà÷å âíóòðè ïîëå áûëî áû îòëè÷íî îò íóëÿ).  ñëó÷àå ïîëîãî ïðîâîäíèêà èçáûòî÷íûé çàðÿä òàêæå ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî âíåøíåé ïîâåðõíîñòè. Ëèíèÿì ïîëÿ, íà÷àâøèìñÿ (îêîí÷èâøèìñÿ) íà çàðÿäå, íàõîäÿùåìñÿ íà ïîâåðõíîñòè ïîëîñòè, íå íà ÷åì áûëî áû îêîí÷èòüñÿ (íà÷àòüñÿ) — â òåëå ïðîâîäíèêà ëèíèé ïîëÿ íåò, à âíóòðè ïîëîñòè çàðÿäû îòñóòñòâóþò. r Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãàóññà äëÿ âåêòîðà D ìîæíî íàéòè ïîëå ó ïîâåðõíîñòè çàðÿæåííîãî ïðîâîäíèêà: D ïîâ = s, E ïîâ = s , e 0e (3.47) (3.48) ãäå e — äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû, îêðóæàþùåé ïðîâîäíèê. Íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò çàðÿæåííîãî ïðîâîäíèêà ëþáîé ôîðìû ýêâèïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè èìåþò õàðàêòåðíóþ äëÿ ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà ôîðìó ñôåðû (ðèñ. 3.11). Ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê ïðîâîäíèêó ýêâèïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè ñòàíîâÿòñÿ âñå áîëåå ñõîäíûìè ñ ïîâåðõíîñòüþ ïðîâîäíèêà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé. Âáëèçè âûñòóïîâ ýêâèïîòåíöèàëüíûå ïîâåðõíîñòè ðàñïîëàãàþòñÿ ãóùå, à çíà÷èò, è íàïðÿ116 æåííîñòü ïîëÿ çäåñü áîëüøå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïëîòíîñòü çàðÿäà íà âûñòóïàõ îñîáåííî âåëèêà. Ê òàêîìó æå âûâîäó ìîæíî ïðèéòè, ó÷òÿ, ÷òî âñëåäñòâèå âçàèìíîãî îòòàëêèâàíèÿ çàðÿäû ñòðåìÿòñÿ ðàñïîëîæèòüñÿ êàê ìîæíî äàëüøå äðóã îò äðóãà. Ïëîòíîñòü çàðÿäà ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ïîëîæèòåëüíîé êðèâèçíû (âûïóêëîñòè) ïîâåðõíîñòè è óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì îòðèöàòåëüíîé êðèÐèñ. 3.11 âèçíû (âîãíóòîñòè). Îñîáåííî âåëèêà áûâàåò ïëîòíîñòü çàðÿäà íà îñòðèÿõ. Ïðè âíåñåíèè íåçàðÿæåííîãî ïðîâîäíèêà â ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íîñèòåëè r çàðÿäà ïðèõîäÿò â äâèæåíèå: ïîëîæèòåëüíûå â íàïðàâëåíèè âåêòîðà E , îòðèöàòåëüíûå — â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó.  ðåçóëüòàòå íà êîíöàõ ïðîâîäíèêà âîçíèêàþò çàðÿäû ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ, íàçûâàåìûå èíäóöèðîâàííûìè çàðÿäàìè (ðèñ. 3.12). Ïîëå ýòèõ çàðÿäîâ íàïðàâëåíî ïðîòèâîïîëîæíî âíåøíåìó ïîëþ. Ïåðåðàñïðåäåëåíèå íîñèòåëåé çàðÿäà ïðîèñõîäèò äî òåõ ïîð, ïîêà íå îêàæóòñÿ âûïîëíåííûìè óñëîâèÿ (3.45) è (3.46), ò. å. ïîêà íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ âíóòðè ïðîâîäíèêà íå ñòàíåò ðàâíîé íóëþ, à ëèíèè íàïðÿæåííîñòè âíå ïðîâîäíèêà — íîðìàëüíûìè ê åãî ïîâåðõíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, íåçàðÿæåííûé ïðîâîäíèê, âíåñåííûé â ýëåêÐèñ. 3.12 òðè÷åñêîå ïîëå, ðàçðûâàåò ÷àñòü ëèíèé íàïðÿæåííîñòè — îíè îêàí÷èâàþòñÿ íà îòðèöàòåëüíûõ èíäóöèðîâàííûõ çàðÿäàõ è âíîâü íà÷èíàþòñÿ íà ïîëîæèòåëüíûõ. Èíäóöèðîâàííûå çàðÿäû ðàñïîëàãàþòñÿ íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà. Åñëè âíóòðè ïðîâîäíèêà èìååòñÿ ïîëîñòü, òî ïðè ðàâíîâåñíîì ðàñïðåäåëåíèè èíäóöèðîâàííûõ çàðÿäîâ ïîëå âíóòðè íåå ðàâíî íóëþ. Íà ýòîì îñíîâûâàåòñÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ çàùèòà. Êîãäà êàêîé-òî ïðèáîð õîòÿò çàùèòèòü îò âîçäåéñòâèÿ âíåøíèõ ïîëåé, åãî îêðóæàþò ïðîâîäÿùèì ýêðàíîì. Âíåøíåå ïîëå êîìïåíñèðóåòñÿ âíóòðè ýêðàíà âîçíèêàþùèìè íà åãî ïîâåðõíîñòè èíäóöèðîâàííûìè çàðÿäàìè. 117 Ýëåêòðîåìêîñòü Ñîîáùèì íåêîòîðîìó óåäèíåííîìó ïðîâîäíèêó çàðÿä q. Ýòîò çàðÿä ðàñïðåäåëèòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ (3.45) è (3.46). Åñëè ñîîáùèòü ïðîâîäíèêó åùå òàêóþ ïîðöèþ çàðÿäà q, îíà ðàñïðåäåëèòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè òî÷íî òàê æå, êàê ïåðâàÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàçëè÷íûå ïî âåëè÷èíå çàðÿäû ðàñïðåäåëÿþòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè óåäèíåííîãî ïðîâîäíèêà ïîäîáíûì îáðàçîì: îòíîøåíèå ïëîòíîñòåé çàðÿäà â äâóõ ïðîèçâîëüíî âçÿòûõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè ïðè ëþáîé âåëè÷èíå çàðÿäà áóäåò îäíèì è òåì æå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàë óåäèíåííîãî ïðîâîäíèêà ïðîïîðöèîíàëåí íàõîäÿùåìóñÿ íà íåì çàðÿäó: q = C j. Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè C íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîåìêîñòüþ óåäèíåííîãî ïðîâîäíèêà, Ñ = q/j. (3.49) Ïðèìåð. Ñ ó÷åòîì (3.28) ìîæíî íàéòè åìêîñòü øàðà ðàäèóñîì R, ïîãðóæåííîãî â áåçãðàíè÷íûé îäíîðîäíûé è èçîòðîïíûé äèýëåêòðèê ñ ïðîíèöàåìîñòüþ e: (3.50) C øàðà = 4 pe 0 eR. Çà åäèíèöó åìêîñòè ïðèíèìàåòñÿ åìêîñòü òàêîãî ïðîâîäíèêà, ïîòåíöèàë êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ íà 1  ïðè ñîîáùåíèè åìó çàðÿäà â 1 Êë. Ýòà åäèíèöà íàçûâàåòñÿ ôàðàäîì (Ô). Åìêîñòüþ â 1 Ô îáëàäàë áû óåäèíåííûé øàð ðàäèóñîì 9 · 109 ì, ò. å. ðàäèóñîì, â 1500 ðàç áîëüøèì ðàäèóñà Çåìëè. Åìêîñòü óåäèíåííûõ ïðîâîäíèêîâ íåâåëèêà. Íàïðèìåð, øàð òàêèõ ðàçìåðîâ, êàê Çåìëÿ, îáëàäàåò åìêîñòüþ âñåãî ëèøü 700 ìêÔ. Âìåñòå ñ òåì áûâàþò íóæíû óñòðîéñòâà, êîòîðûå ïðè íåáîëüøîì ïîòåíöèàëå íàêàïëèâàëè áû íà ñåáå áîëüøèå çàðÿäû. Òàêèå óñòðîéñòâà íàçûâàþòñÿ êîíäåíñàòîðàìè — äâà ïðîâîäíèêà (îáêëàäêè), ïîìåùåííûå áëèçêî äðóã ê äðóãó. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âíåøíèå òåëà íå âëèÿëè íà åìêîñòü êîíäåíñàòîðà, îáêëàäêàì ïðèäàþò òàêóþ ôîðìó è òàê ðàñïîëàãàþò èõ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà, ÷òîáû ïîëå, ñîçäàâàåìîå íàêàïëèâàåìûìè íà íèõ çàðÿäàìè, áûëî ñîñðåäîòî÷åíî âíóòðè êîíäåíñàòîðà. Ýòîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿþò äâå ïëàñòèíêè, ðàñïîëîæåííûå áëèçêî äðóã ê äðóãó, äâà êîàêñèàëüíûõ öèëèíäðà è äâå êîíöåíòðè÷åñêèå ñôåðû. Ñîîòâåòñòâåííî áûâàþò ïëîñêèå, öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå êîíäåíñàòîðû. Ïîñêîëüêó ïîëå çàêëþ÷åíî âíóòðè êîíäåíñàòîðà, ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ íà÷èíàþòñÿ íà îäíîé îáêëàäêå è çàêàí÷èâàþòñÿ íà äðó118 ãîé. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòîðîííèå çàðÿäû, ñîîáùàåìûå îáêëàäêàì, èìåþò îäèíàêîâóþ âåëè÷èíó è ðàçëè÷íû ïî çíàêó. Åìêîñòü êîíäåíñàòîðà C = q (j 1 - j 2 ) = q U , (3.51) ãäå U — íàïðÿæåíèå ìåæäó îáêëàäêàìè. Ïðèìåð. Ïóñòü ïëîùàäü îáêëàäêè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ðàâíà S, à ðàññòîÿíèå ìåæäó îáêëàäêàìè d << S. Çàçîð ìåæäó îáêëàäêàìè ïðåäïîëàãàåòñÿ çàïîëíåííûì äèýëåêòðèêîì ñ ïðîíèöàåìîñòüþ e.  ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â äèýëåêòðèêå (3.26) E = s e 0 e = q e 0 eS = U d, îòêóäà åìêîñòü ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà S C ïëîñê.êîíä = e 0 e . d (3.52) Ðàñïîëàãàÿ íåêîòîðûì íàáîðîì êîíäåíñàòîðîâ, ìîæíî ïîëó÷èòü ìíîãî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé åìêîñòè, åñëè ïðèìåíèòü ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðîâ â áàòàðåè. Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè (ðèñ. 3.13) îäíà èç îáêëàäîê êàæäîãî êîíäåíñàòîðà èìååò ïîòåíöèàë j1, à äðóãàÿ j2. Ïîýòîìó íà ñîÐèñ. 3.13 åäèíåííûõ âìåñòå îáêëàäêàõ íàêàïëèâàåòñÿ ñóììàðíûé çàðÿä q = å q k = å C k (j 1 - j 2 ) = (j 1 - j 2 )å C k . Ðàçäåëèâ ýòîò çàðÿä íà ïðèëîæåííîå ê áàòàðåå íàïðÿæåíèå U = (j 1 - j 2 ), íàéäåì åìêîñòü áàòàðåè: C = å C k = C1 + C 2 +K + C N . Ðèñ. 3.14 (3.53) Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè (ðèñ. 3.14) ïåðâàÿ îáêëàäêà êàæäîãî ñëåäóþùåãî êîíäåíñàòîðà îáðàçóåò ñî âòîðîé îáêëàäêîé ïðåäûäóùåãî åäèíûé ïðîâîäíèê, íà êîòîðîì ïðè ïîäêëþ÷åíèè íàïðÿæåíèÿ âîçíèêàþò èíäóöèðîâàííûå çàðÿäû –q è +q òàêîé æå âåëè÷èíû, êàê çàðÿä +q íà ïåð119 âîé îáêëàäêå ïåðâîãî êîíäåíñàòîðà è çàðÿä –q íà âòîðîé îáêëàäêå ïîñëåäíåãî êîíäåíñàòîðà. Ïîýòîìó íàïðÿæåíèå íà êàæäîì èç êîíäåíñàòîðîâ Uk = q/Ck. U = åU k = å q 1 = qå . Ck Ck Îòíîøåíèå U ê q äàåò âåëè÷èíó, îáðàòíóþ åìêîñòè áàòàðåè C: 1 1 1 1 1 . =å = + +K+ C C k C1 C 2 CN (3.54) Ýíåðãèÿ çàðÿæåííûõ ïðîâîäíèêîâ Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî êóëîíîâñêèå ñèëû ïîòåíöèàëüíû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ N òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé 1 N (3.55) W = å qi j i , 2 i =1 ãäå ji — ïîòåíöèàë òî÷êè ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ çàðÿä qi. Çàðÿä q, íàõîäÿùèéñÿ íà íåêîòîðîì ïðîâîäíèêå, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ qi. Ïîâåðõíîñòü ïðîâîäíèêà ÿâëÿåòñÿ ýêâèïîòåíöèàëüíîé. Ïîýòîìó ïîòåíöèàë òî÷åê, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ òî÷å÷íûå çàðÿäû qi, îäèíàêîâ è ðàâåí ïîòåíöèàëó j ïðîâîäíèêà. Ýíåðãèÿ ïðîâîäíèêà 1 N 1 N 1 W = å q i j = j å q i = qj. 2 i =1 2 i =1 2 Ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëåíèÿ åìêîñòè (3.49) ýíåðãèÿ óåäèíåííîãî ïðîâîäíèêà qj q 2 Cj 2 . (3.56) W= = = 2 2C 2 Ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà êàê ñèñòåìû çàðÿäîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà îáêëàäêàõ, 1 1 1 W = [(+ q)j 1 + (-q)j 2 ] = q(j 1 - j 2 ) = qU . 2 2 2 Ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëåíèÿ åìêîñòè (3.51) ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà 120 W= qU q 2 CU 2 . = = 2 2C 2 (3.57) Ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Âûðàçèì ýíåðãèþ çàðÿæåííîãî ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà ÷åðåç õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ â çàçîðå ìåæäó îáêëàäêàìè. Ïîäñòàíîâêà (3.52) â (3.57) ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ e 0 eE 2 CU 2 e 0 eSU 2 e 0 e æçU ö÷ = = V. çç ÷÷ Sd = 2 2d 2 è d ÷ø 2 2 W=  ïëîñêîì êîíäåíñàòîðå ïîëå îäíîðîäíî. Ïîýòîìó ýíåðãèÿ ðàñïðåäåëåíà ïî îáúåìó êîíäåíñàòîðà ðàâíîìåðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, â åäèíèöå îáúåìà ïîëÿ ñîäåðæèòñÿ ýíåðãèÿ w= W e 0 eE 2 . = 2 V Ñ ó÷åòîì (3.37) ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå w= D2 e 0 eE 2 ED . = = 2 2 2e 0 e (3.58) Âåëè÷èíà w íàçûâàåòñÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ñîîòíîøåíèå (3.58) ïîëó÷åíî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïîëå îäíîðîäíî. Îäíàêî îíî áóäåò ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Çíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè â êàæäîé òî÷êå, ìîæíî íàéòè ýíåðãèþ ïîëÿ, çàêëþ÷åííóþ â ëþáîì îáúåìå V. Äëÿ ýòîãî íóæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàë: W = ò wdV = ò V V e 0 eE 2 dV . 2 (3.59) 3.2. Ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê Õàðàêòåðèñòèêè è óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà Ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Íîñèòåëÿìè òîêà ìîãóò áûòü ýëåêòðîíû, à òàêæå ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå èîíû, ò. å. àòîìû èëè ìîëåêóëû, ïîòåðÿâ121 øèå ëèáî ïðèñîåäèíèâøèå ê ñåáå îäèí èëè íåñêîëüêî ýëåêòðîíîâ. Çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå òîêà ïðèíÿòî íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ. Íîñèòåëè òîêà íàõîäÿòñÿ â áåñïîðÿäî÷íîì òåïëîâîì äâèæåíèè (v ~ 106 ì/ñ). ×åðåç âîîáðàæàåìóþ ïëîùàäêó ïåðåíîñèòñÿ â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ îäèíàêîâûé çàðÿä, è òîê îòñóòñòâóåò. Ïðè íàëè÷èè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íà õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå íàêëàäûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå íîñèòåëåé — âîçíèêàåò òîê (ïîäîáíî òîìó, êàê â ãàçå íà õàîòè÷åñêîå òåïëîâîå äâèæåíèå ìîëåêóë íàêëàäûâàåòñÿ èõ óïîðÿäî÷åííîå äâèæåíèå — âåòåð). Îòíîøåíèå çàðÿäà, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç íåêîòîðóþ âîîáðàæàåìóþ ïîâåðõíîñòü (íàïðèìåð, ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà), êî âðåìåíè ïðîõîæäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé è íàçûâàåòñÿ ñèëîé òîêà: I= dq . dt (3.60) Òîê, íå èçìåíÿþùèéñÿ ñî âðåìåíåì, íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Åäèíèöåé ñèëû òîêà ÿâëÿåòñÿ àìïåð (À). Ýëåêòðè÷åñêèé òîê ìîæåò áûòü ðàñïðåäåëåí ïî ñå÷åíèþ, ÷åðåç êîòîðîå îí òå÷åò, íåðàâíîìåðíî.  ýòîì ñëó÷àå áîëåå äåòàëüíî òîê ìîæíî r îõàðàêòåðèçîâàòü ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîé âåëè÷èíû j , íàçûâàåìîé ïëîòíîñòüþ òîêà. ×òîáû îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü òîêà â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, íóæíî âçÿòü â ýòîé òî÷êå ýëåìåíòàðíóþ ïëîùàäêó dS ^ , ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê íàïðàâëåíèþ óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ íîñèòåëåé òîêà. Ðàçäåëèâ ñèëó òîêà dI, òåêóùåãî ÷åðåç ýòó ïëîùàäêó, íà dS ^ , ïîëó÷èì ìîäóëü ïëîòíîñòè òîêà (À/ì2): dI . (3.61) j= dS ^ r r Çà íàïðàâëåíèå âåêòîðà j ïðèíèìàåòñÿ íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè u óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ íîñèòåëåé òîêà. r Ïîëå âåêòîðà j ìîæíî èçîáðàçèòü ñ ïîìîùüþ ëèíèé òîêà, êîòîðûå ñòðîÿòñÿ òàê æå, êàê è ëèíèè ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ëèíèè ïîñòîÿííîãî òîêà çàìêíóòû. Åñëè çàäàíî ïîëå âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà, ìîæíî âû÷èñëèòü ñèëó òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç ëþáóþ âîîáðàæàåìóþ ïîâåðõíîñòü S. Äëÿ ýòîãî íóæíî ðàçáèòü S íà ýëåìåíòàðíûå ó÷àñòêè dS, ÷åðåç êîòîðûå òåêóò òîêè: 122 dI = jdS ^ = jdS cos a = j n dS . Ïðîñóììèðîâàâ òîêè ÷åðåç âñå ïëîùàäêè, ïîëó÷èì ñèëó òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S: I = ò j n dS , (3.62) S ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà òîêà ðàâíà ïîòîêó âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà ÷åðåç çàäàííóþ ïîâåðõíîñòü. Ïðèìåð.  ìåòàëëàõ íîñèòåëÿìè òîêà ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîíû (ðèñ. 3.15). Çíàÿ êîíöåíòðàöèþ n (÷èñëî ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ â åäèíèöå Ðèñ. 3.15 îáúåìà) è ñêîðîñòü óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ íîñèòåëåé u, ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ñèëû òîêà: (3.63) I = neuS . Ñêîðîñòü óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ íîñèòåëåé òîêà u íåâåëèêà. Íàïðèìåð, ó îäíîãî èç ëó÷øèõ ïðîâîäíèêîâ — ìåäè ïðè ïðåäåëüíî äîïóñòèìîé òåõíè÷åñêèìè íîðìàìè ïëîòíîñòè òîêà îíà ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 1 ìì/ñ. Äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ è ïîääåðæàíèÿ â ïðîâîäíèêàõ òîêà ïðîâîäèìîñòè íà çàðÿæåííûå ÷àñòèöû äîëæíû äåéñòâîâàòü ñèëû, îáåñïå÷èâàþùèå èõ óïîðÿäî÷åííîå ïåðåìåùåíèå â òå÷åíèå êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè. Êóëîíîâñêèå ñèëû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿäîâ ïðèâîäÿò ê òàêîìó èõ ðàñïðåäåëåíèþ â ïðîâîäíèêå, ïðè êîòîðîì íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âíóòðè ïðîâîäíèêà ðàâíà íóëþ, à ïîòåíöèàëû âñåõ òî÷åê ïðîâîäíèêà îäèíàêîâû. Ïîýòîìó ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå êóëîíîâñêèõ ñèë íå ìîæåò îáåñïå÷èòü ïîñòîÿííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà â ïðîâîäíèêå. Äëÿ òîãî ÷òîáû â ïðîâîäíèêå ìîã ñóùåñòâîâàòü ïîñòîÿííûé òîê ïðîâîäèìîñòè, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé: à) íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ïðîâîäíèêå äîëæíà áûòü îòëè÷íà îò íóëÿ è íå äîëæíà èçìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè; á) öåïü ïîñòîÿííîãî òîêà ïðîâîäèìîñòè äîëæíà áûòü çàìêíóòîé; â) íà ñâîáîäíûå ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ïîìèìî êóëîíîâñêèõ ñèë äîëæíû äåéñòâîâàòü íåýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ñèëû, íàçûâàåìûå ñòîðîííèìè ñèëàìè. Ñòîðîííèå ñèëû ìîãóò áûòü ñîçäàíû èñòî÷íèêàìè òîêà. 123 Çà ñ÷åò ñòîðîííèõ ñèë ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû äâèæóòñÿ âíóòðè èñòî÷íèêà òîêà â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì äåéñòâèþ ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Áëàãîäàðÿ ýòîìó íà êîíöàõ âíåøíåé öåïè ïîääåðæèâàåòñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ è â öåïè èäåò ïîñòîÿííûé ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ðàáîòà, êîòîðàÿ íåîáõîäèìà äëÿ îáåñïå÷åíèÿ óïîðÿäî÷åííîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â ïðîâîäíèêå ïðè ïðîõîæäåíèè ïî íåìó ïîñòîÿííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò ýíåðãèè èñòî÷íèêà òîêà. Ðàáîòà ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäà ïî ïðîâîäíèêó â ïðîöåññå ïðîòåêàíèÿ ïî íåìó ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ñîâåðøàåòñÿ êóëîíîâñêèìè è ñòîðîííèìè ñèëàìè. Ïîëíàÿ ðàáîòà A = A êóë + A ñò . Ïîëíàÿ ðàáîòà, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïåðåìåùåíèè åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà íà ó÷àñòêå 1–2 ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ïî êîòîðîé ïðîòåêàåò ïîñòîÿííûé òîê (ðèñ. 3.16), A12 q = A12êóë q + A12ñò q, ïðè Ðèñ. 3.16 A12êóë = j 1 - j 2 (ñì. (3.17)). q Ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëîé e 12 (ÝÄÑ), äåéñòâóþùåé íà ó÷àñòêå 1–2 öåïè, íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ðàáîòå, êîòîðóþ ñîâåðøàþò ñòîðîííèå ñèëû ïðè ïåðåìåùåíèè íà ó÷àñòêå 1–2 åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà (îò ìèíóñà ê ïëþñó âíóòðè èñòî÷íèêà òîêà): ýòîì 2 e 12 = A12ñò = q ò ® r F ñò × dl 1 q 2 ® r = ò E ñò × dl, (3.64) 1 r ãäå E ñò — íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ñòîðîííèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ âíóòðè èñòî÷íèêà òîêà. Íà ðèñ. 3.16 òàêæå ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåí èñòî÷íèê òîêà; åãî õàðàêòåðèñòèêîé ÿâëÿåòñÿ ÝÄÑ (3.64). Íàïðÿæåíèåì U12 íà ó÷àñòêå öåïè 1–2 íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ÷èñëåííî ðàâíàÿ ïîëíîé ðàáîòå, êîòîðàÿ ñîâåðøàåòñÿ êóëîíîâñêèìè è ñòîðîííèìè ñèëàìè ïðè ïåðåìåùåíèè âäîëü ó÷àñòêà öåïè åäèíè÷íîãî ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2: U 12 = 124 A12 = (j 1 - j 2 ) + e 12 . q (3.65) Ó÷àñòîê öåïè, íà êîòîðîì íå äåéñòâóþò ñòîðîííèå ñèëû, íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì, èíà÷å — íåîäíîðîäíûì. Çàêîí Îìà Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî ñèëà òîêà íà ó÷àñòêå öåïè ïðîïîðöèîíàëüíà íàïðÿæåíèþ: 1 (3.66) I = U. R Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè 1/R, ãäå R — ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà, [R] = Îì. Âûðàæåíèå (3.66) îïðåäåëÿåò çàêîí Îìà (äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ó÷àñòêà öåïè). Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà çàâèñèò îò ìàòåðèàëà ïðîâîäíèêà, åãî ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìû, ðàçìåðîâ è òåìïåðàòóðû. Äëÿ îäíîðîäíîãî öèëèíäðè÷åñêîãî ïðîâîäíèêà äëèíîé l è ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S ñîïðîòèâëåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå l R=r , S (3.67) ãäå r — óäåëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå, [r] = Îì·ì. Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ óäåëüíîìó ñîïðîòèâëåíèþ, íàçûâàåòñÿ óäåëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîñòüþ (ïðîâîäèìîñòüþ) ïðîâîäíèêà: g = 1/r. Íà ðèñ. 3.17 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíî ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå â öåïè. Ðèñ. 3.17 Ñëåäñòâèÿ: 1. Çàêîí Îìà äëÿ îäíîðîäíîãî ó÷àñòêà öåïè: I= U j1 - j 2 . = R R (3.68) 2. Çàêîí Îìà äëÿ çàìêíóòîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ðèñ. 3.18): I= e , R +r (3.69) ãäå r — âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà òîêà. 3. Íàïðÿæåíèå âî âíåøíåé öåïè (ñì. ðèñ. 3.18): U AB = e - Ir. (3.70) 125 Åñëè ïîëíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîäåðæèò íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ èñòî÷íèêîâ òîêà, òî e, äåéñòâóþùàÿ â öåïè, ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ÝÄÑ îòäåëüíûõ èñòî÷íèêîâ òîêà: Ðèñ. 3.18 N e = åei. (3.71) i =1 4.  êàæäîé òî÷êå ïðîâîäíèêà ñïðàâåäëèâ çàêîí Îìà â äèôôåðåíöèàëüíîé (ëîêàëüíîé) ôîðìå: r r 1 r j = E = gE . r (3.72) Ïðàâèëà Êèðõãîôà  îñíîâå ðàñ÷åòà ðàçâåòâëåííûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ëåæàò äâà ïðàâèëà Êèðõãîôà, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ðàññ÷èòàòü òîêè íà ó÷àñòêàõ öåïè. Ðàçâåòâëåííàÿ öåïü — öåïü, ñîäåðæàùàÿ óçëû. Óçëàìè íàçûâàþòñÿ òî÷êè, â êîòîðûõ ñõîäÿòñÿ áîëåå ÷åì äâà ïðîâîäíèêà. Ó÷àñòîê öåïè — öåïü ìåæäó äâóìÿ óçëàìè. Êîíòóð — ëþáàÿ çàìêíóòàÿ öåïü â ðàçâåòâëåííîé öåïè. Ïåðåä ïðèìåíåíèåì ïðàâèë Êèðõãîôà íà ó÷àñòêàõ öåïè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì óêàçûâàþòñÿ íàïðàâëåíèÿ òîêîâ. Ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà (ïðàâèëî óçëîâ): àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå, ðàâíà íóëþ: åI k = 0, (3.73) ïðè ýòîì òîêó, òåêóùåìó ê óçëó, ïðèïèñûâàåòñÿ îäèí çíàê, à òîêó, òåêóùåìó îò óçëà,— äðóãîé çíàê. Óðàâíåíèå (3.73) ìîæíî íàïèñàòü äëÿ âñåõ N óçëîâ. Îäíàêî íåçàâèñèìûìè áóäóò òîëüêî (N – 1) óðàâíåíèå. Âòîðîå ïðàâèëî Êèðõãîôà (ïðàâèëî êîíòóðîâ): äëÿ ïðîèçâîëüíîãî, ìûñëåííî âûäåëåííîãî â ðàçâåòâëåííîé öåïè, çàìêíóòîãî êîíòóðà àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé òîêîâ íà ó÷àñòêàõ öåïè íà èõ ñîïðîòèâëåíèå ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ òîêà â ýòîì æå êîíòóðå: åI 126 k Rk = å e k , (3.74) ïðè ýòîì ïðåäâàðèòåëüíî âûáèðàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îáõîäà ïî êîíòóðó (íàïðèìåð, ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå), òîêàì è ÝÄÑ ïðèïèñûâàþòñÿ çíàêè â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáðàííûì íàïðàâëåíèåì îáõîäà. Åñëè äëÿ êàêîãî-ëèáî òîêà áóäåò ïîëó÷åíî îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå, ýòî áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè îí òå÷åò â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì óêàçàííîìó. Óðàâíåíèå (3.74) ìîæíî ñîñòàâèòü äëÿ âñåõ çàìêíóòûõ êîíòóðîâ, êîòîðûå ìîæíî âûäåëèòü â äàííîé öåïè. Îäíàêî íåçàâèñèìûìè áóäóò óðàâíåíèÿ òîëüêî äëÿ òåõ êîíòóðîâ, êîòîðûå íåëüçÿ ïîëó÷èòü íàëîæåíèåì íà íèõ äðóãèõ êîíòóðîâ. ×èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííûõ ïî ïåðâîìó è âòîðîìó ïðàâèëàì Êèðõãîôà, ðàâíî êîëè÷åñòâó òîêîâ, òåêóùèõ íà ðàçíûõ ó÷àñòêàõ öåïè. Ïîýòîìó åñëè çàäàíû ÝÄÑ è ñîïðîòèâëåíèÿ, òî ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû âñå òîêè. Çàêîí Äæîóëÿ — Ëåíöà Ïðîâîäíèê ïðè ïðîõîæäåíèè ïî íåìó òîêà íàãðåâàåòñÿ. Äæîóëü è íåçàâèñèìî îò íåãî Ëåíö óñòàíîâèëè ýêñïåðèìåíòàëüíî, ÷òî êîëè÷åñòâî âûäåëèâøåéñÿ â ïðîâîäíèêå òåïëîòû ïðîïîðöèîíàëüíî åãî ñîïðîòèâëåíèþ, êâàäðàòó ñèëû òîêà è âðåìåíè: Q = I 2 Rt. Åñëè ñèëà òîêà èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì, òî t Q = ò I 2 Rdt. (3.75) 0 Òåïëîâàÿ ìîùíîñòü P — êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëÿþùååñÿ â ïðîâîäíèêå â åäèíèöó âðåìåíè: P= dQ = I 2 R. dt (3.76) Ñ ïîìîùüþ çàêîíà Îìà ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü: P = I 2 R = IU = U2 . R Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå âåðíî, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî âñÿ ýíåðãèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ â òåïëî. 127 Ìîùíîñòü âñåé öåïè (äëÿ çàìêíóòîé öåïè âìåñòî U íóæíî âçÿòü e) Pöåïè = Ie. (3.77) Óäåëüíàÿ ìîùíîñòü (íà åäèíèöó îáúåìà) Póä = r r P I U = = jE = j × E . Sl S l Ýòî — çàêîí Äæîóëÿ — Ëåíöà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå. Ñ ïîìîùüþ (3.72) ìîæíî åãî ïåðåïèñàòü: Póä = jE = rj 2 = gE 2 . (3.78) 3.3. Ìàãíåòèçì Ìàãíèòíîå ïîëå. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèå òîêè âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé. Ýòî âçàèìîäåéñòâèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç ïîëå, íàçûâàåìîå ìàãíèòíûì. Íàçâàíèå ïðîèñõîäèò îò òîãî, ÷òî, êàê îáíàðóæèë â 1920 ã. Ýðñòåä, ïîëå, âîçáóæäàåìîå òîêîì, îêàçûâàåò îðèåíòèðóþùåå äåéñòâèå íà ìàãíèòíóþ ñòðåëêó.  îïûòå Ýðñòåäà ïðîâîëîêà, ïî êîòîðîé øåë òîê, áûëà íàòÿíóòà íàä ìàãíèòíîé ñòðåëêîé, âðàùàþùåéñÿ íà èãëå. Ïðè âêëþ÷åíèè òîêà ñòðåëêà óñòàíàâëèâàëàñü ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïðîâîëîêå. Èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ òîêà âûçûâàëî ïîâîðîò ñòðåëêè â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Èç îïûòà Ýðñòåäà ñëåäóåò, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå èìååò íàïðàâëåííûé õàðàêòåð è äîëæíî õàðàêòåðèçîâàòüñÿ r âåêòîðíîé âåëè÷èíîé. Ýòó âåëè÷èíó íàçâàëè ìàãíèòíîé èíäóêöèåé B. Ìàãíèòíîå ïîëå, â îòëè÷èå îò ýëåêòðè÷åñêîãî, íå îêàçûâàåò äåéñòâèÿ íà ïîêîÿùèéñÿ çàðÿä. Ñèëà âîçíèêàåò ëèøü òîãäà, êîãäà çàðÿä äâèæåòñÿ. Ïðîâîäíèê ñ òîêîì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíóþ ñèñòåìó çàðÿäîâ, â êîòîðîé çàðÿäû îäíîãî çíàêà äâèæóòñÿ â îäíó ñòîðîíó, à çàðÿäû äðóãîãî çíàêà — â ïðîòèâîïîëîæíóþ (ëèáî ïîêîÿòñÿ). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ïîðîæäàåòñÿ äâèæóùèìèñÿ çàðÿäàìè. Èòàê, äâèæóùèåñÿ çàðÿäû (òîêè) èçìåíÿþò ñâîéñòâà îêðóæàþùåãî èõ ïðîñòðàíñòâà — ñîçäàþò â íåì ìàãíèòíîå ïîëå. Ýòî ïîëå ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî íà äâèæóùèåñÿ â íåì çàðÿäû (òîêè) äåéñòâóþò ñèëû. 128 Ïîäîáíî òîìó, êàê äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ìû èñïîëüçîâàëè ïðîáíûé òî÷å÷íûé çàðÿä, äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðîáíûé òîê, öèðêóëèðóþùèé â ïëîñêîì çàìêíóòîì êîíòóðå î÷åíü ìàëûõ ðàçìåðîâ. Îðèåíòàöèþ êîíòóðà â ïðîñòðàíñòâå áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü íàr ïðàâëåíèåì íîðìàëè n ê êîíòóðó, ñâÿçàííîé ñ íàïðàâëåíèåì òîêà ïðàâèëîì ïðàâîãî âèíòà (ðèñ. 3.19). Òàêóþ íîðìàëü ìû áóäåì íàçûâàòü ïîëîæèòåëüíîé. Ïðè÷èíà èñïîëüçîâàíèÿ ïðîáíîãî êîíòóðà ñ òîÐèñ. 3.19 êîì ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîëå, âîçáóæäàåìîå òîêîì, îêàçûâàåò íà íåãî òàêîå æå îðèåíòèðóþùåå äåéñòâèå, êàê è íà ìàãíèòíóþ ñòðåëêó: ïîëîæèòåëüíàÿ íîðìàëü êîíòóðà ðàçâîðà÷èâàåòñÿ â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è ñåâåðíûé ïîëþñ ìàãíèòíîé ñòðåëêè. Ïðèìåì ýòî r íàïðàâëåíèå çà íàïðàâëåíèå ïîëÿ, ò. å. âåêòîðà B, â äàííîé òî÷êå. Èòàê, ïîìåñòèâ ïðîáíûé êîíòóð â ìàãíèòíîå ïîëå, ìû îáíàðóæèì, ÷òî ïîëå óñòàíàâëèâàåò êîíòóð ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëüþ âäîëü ïîëÿ. Åñëè êîíòóð ïîâåðíóòü òàê, ÷òîáû íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè è ïîëÿ íå ñîâïàäàëè, âîçíèêàåò âðàùàþùèé ìîìåíò, ñòðåìÿùèéñÿ âåðíóòü êîíòóð â ðàâíîâåñíîå ïîëîæåíèå (ðèñ. 3.20). Çíà÷åíèå ìîìåíòà çàâèñèò îò óãëà a ìåæäó íîðìàëüþ è íàïðàâëåíèåì ïîëÿ: âðàùàþùèé ìîìåíò ñèë îêàçûâàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíûì sin a, äîñòèãàÿ íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ Mmax ïðè a = p/2, à ïðè a = 0 ìîìåíò ðàâåí íóëþ. Âðàùàþùèé ìîìåíò çàâèñèò êàê îò ñâîéñòâ ïîëÿ â äàííîé òî÷êå, òàê è îò ñâîéñòâ êîíòóðà. Âíîñÿ â îäíó è òó æå òî÷êó ïîëÿ ðàçíûå ïðîáíûå êîíòóðû, ìû îáíàðóæèì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì a âðàùàþùèé ìîìåíò ïðîïîðöèîíàëåí ñèëå òîêà I â êîíòóðå è ïëîùàäè S Ðèñ. 3.20 êîíòóðà è ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò ôîðìû êîíòóðà. Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïëîñêèé êîíòóð ñ òîêîì îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé p m = IS , êîòîðóþ íàçûâàþò ìàãíèòíûì ìîìåíòîì êîíòóðà. Êðîìå ñèëû òîêà I è ïëîùàäè S êîíòóð õàðàêòåðèçóåòñÿ òàêæå îðèåíòàöèåé â ïðîñòðàíñòâå. Ïîýòîìó ìàãíèòíûé ìîìåíò ñëåäóåò ðàññìàòðè129 âàòü êàê âåêòîð, íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîëîr æèòåëüíîé íîðìàëè n: r r (3.79) p m = ISn, r ãäå n — åäèíè÷íûé âåêòîð. Åäèíèöû èçìåðåíèÿ: [pm] = À·ì2. Íà ïðîáíûå êîíòóðû, îòëè÷àþùèåñÿ çíà÷åíèåì pm, äåéñòâóþò â äàííîé òî÷êå ðàçíûå ïî ìîäóëþ âðàùàþùèå ìîìåíòû Ì. Îäíàêî îòíîøåíèå Ì/pm îêàçûâàåòñÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì a îäíèì è òåì æå. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ìîäóëÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ìîæíî ïðèíÿòü âåëè÷èíó, ðàâíóþ îòíîøåíèþ Ìmax/pm: M (3.80) B = max , pm ãäå Ìmax — íàèáîëüøåå çíà÷åíèå âðàùàþùåãî ìîìåíòà, ïîëó÷àþùååñÿ ïðè a = p/2. Èòàê, ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ åñòü âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, ìîäóëü êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (3.80), à íàïðàâëåíèå çàäàåòñÿ ðàâíîâåñíûì ïîëîæåíèåì ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëè ê êîíòóðó ñ òîêîì. Òîãäà ìîäóëü ìîìåíòà ñèë äëÿ ïðîèçâîëüíîãî óãëà áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåì M = pmBsin a. (3.81) r r Âåêòîð âðàùàþùåãî ìîìåíòà ñèë M ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðàì p m r ïî ïðàâèëó áóðàâ÷èêà: è B, ïðè÷åì åãî íàïðàâëåíèå ìîæíî îïðåäåëèòü r r êðàò÷àéøèé ïîâîðîò áóðàâ÷èêà îò p m ê B ïðèâåäåò ê ïîñòóïàòåëüíîìó ïår ðåìåùåíèþ áóðàâ÷èêà â ñòîðîíó M (ñì. ðèñ. 3.20). Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð r ìîìåíòà r ñèë M ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ r p m è B: r r r (3.82) M = p m ´ B, ìîäóëü æå ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (3.81).  ñîîòâåòñòâèè ñ (3.80) åäèíèöà Â, íàçûâàåìàÿ òåñëà (Òë), ðàâíà ìàãíèòíîé èíäóêöèè îäíîðîäíîãî ïîëÿ, â êîòîðîì íà ïëîñêèé êîíòóð ñ òîêîì, èìåþùèé ìàãíèòíûé ìîìåíò 1 À·ì2, äåéñòâóåò ìàêñèìàëüíûé âðàùàþùèé ìîìåíò, ðàâíûé 1 Í·ì. Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, r êàê è äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî, ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè: ïîëå B, ïîðîæäàå130 ìîå íåñêîëüêèìè äâèæóùèìèñÿ çàðÿäàìè (òîêàìè), ðàâíî âåêòîðíîé r ñóììå ïîëåé B i , ïîðîæäàåìûõ êàæäûì çàðÿäîì (òîêîì) â îòäåëüíîñòè: r r (3.83) B = å Bi . Çàêîí Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà Áèî è Ñàâàð ïðîâåëè â 1820 ã. èññëåäîâàíèå ìàãíèòíûõ ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ òîêàìè, òåêóùèìè ïî òîíêèì ïðîâîäàì ðàçëè÷íîé ôîðìû. Ëàïëàñ ïðîàíàëèçèðîâàë ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, ïîëó÷åííûå Áèî è Ñàâàðîì, è óñòàíîâèë çàâèñèìîñòü, êîòîðàÿ ïîëó÷èëà íàçâàíèå çàêîíà Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà. Ñîãëàñíî ýòîìó çàêîíó ìàãíèòíîå ïîëå ëþáîãî òîêà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî êàê âåêòîðíàÿ ñóììà (ñóïåðïîçèöèÿ) ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ îòäåëüíûìè ýëåìåíòàðíûìè ó÷àñòêàìè òîêà. Äëÿ ìàã® íèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýëåìåíòîì òîêà äëèíîé dl, Ëàïëàñ ïîëó÷èë ôîðìóëó ® r m I dl ´ rr , (3.84) dB = 0 4p r 3 ãäå m0 — ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, m0 = 4p · 10–7 Ãí/ì, ãäå Ãí (ãåíðè) — åäè® íèöà èíäóêòèâíîñòè, ñì. ðàçä. 3.3.7; dl — âåêòîð, ñîâïàäàþùèé ñ ýëåìåíòàðíûì ó÷àñòêîì òîêà è íàïðàâëåííûé â òó ñòîðîíó, â êàêóþ òå÷åò òîê r (ðèñ. 3.21); r — âåêòîð, r ïðîâåäåííûé îò ýëåìåíòà òîêà â òó òî÷êó, â êîòî; r — ìîäóëü ýòîãî âåêòîðà. ðîé îïðåäåëÿåòñÿ d B r Âåêòîð dB ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè, ïðîõî® r äÿùåé ÷åðåç âåêòîðû dl è r (êàê ðåçóëüòàò âåêòîðr íîãî ïðîèçâåäåíèÿ). Íàïðàâëåíèå âåêòîðà dB ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó áóðàâ÷èêà: êðàò÷àéøèé ® r ïîâîðîò áóðàâ÷èêà îò dl ê r ïðèâåäåò ê ïîñòóïà-r òåëüíîìó ïåðåìåùåíèþ áóðàâ÷èêà â ñòîðîíó dB (ñì. ðèñ. 3.21). Ðèñ. 3.21 Ìîäóëü âåêòîðà (3.84) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì r m a , (3.85) |dB|= 4p0 Idlrsin 2 r ® ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r è dl. 131 Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïðèìåðû ïîëåé, êîòîðûå ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ çàêîíà Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà. Ïðèìåð 1. Ïîëå ïðÿìîãî òîêà — òîêà, òåêóùåãî ïî òîíêîìó ïðÿìîìó ïðîâîäó áåñêîíå÷íîé äëèíû. Ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ ïðÿìîãî òîêà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó îõâàòûâàþùèõ ïðîâîä êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé (ðèñ. 3.22, à). Çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîé èíäóêöèè îò ðàññòîÿíèÿ r äî ïðîâîäà âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé B= m 0I . 2 pr (3.86) Ïðèìåð 2. Ïîëå êðóãîâîãî òîêà — òîêà, òåêóùåãî ïî òîíêîìó ïðîâîäíèêó, èìåþùåìó ôîðìó îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R. Ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ êðóãîâîãî òîêà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 3.22, á.  öåíòðå êðóãîâîãî òîêà ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ íàïðàâëåíà r r â ñòîðîíó ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëè n ê êîíòóðó, ò. å. â ñòîðîíó âåêòîðà p m : Ðèñ. 3.22 132 r r m I r m p BO = 0 n = 0 m3 . 2R 2 pR (3.87) Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ íà îñè êðóãîâîãî òîêà çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ r äî öåíòðà (ò. O): r r m pm . (3.88) B(r ) = 0 2p R 2 + r 2 3 2 ( ) Ïîëå êðóãîâîãî òîêà ïîäîáíî ïîëþ ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà (ðèñ. 3.22, â), ïîýòîìó êîíòóð ñ òîêîì è ìàãíèòíàÿ ñòðåëêà âåäóò ñåáÿ îäèíàêîâî â ìàãíèòíîì ïîëå (êîòîðîå îêàçûâàåò íà íèõ îðèåíòèðóþùåå äåéñòâèå). Ïðèìåð 3. Ïîëå ñîëåíîèäà. Ñîëåíîèä — ïðîâîä, íàâèòûé íà öèëèíäðè÷åñêèé êàðêàñ. Ñòðóêòóðà ïîëÿ ñîëåíîèäà êîíå÷íîé äëèíû ïîêàçàíà íà ðèñ. 3.22, ã è òîæå íàïîìèíàåò ïîëå êðóãîâîãî òîêà (êàê ïîëå íåñêîëüêèõ âèòêîâ). Õàðàêòåðèñòèêîé ñîëåíîèäà ÿâëÿåòñÿ êîíöåíòðàöèÿ âèòêîâ n = N l — ÷èñëî âèòêîâ íà åäèíèöó äëèíû.  ó÷åíèè îá ýëåêòðîìàãíåòèçìå áîëüøóþ ðîëü èãðàåò âîîáðàæàåìûé áåñêîíå÷íî äëèííûé ñîëåíîèä, ðàâíîìåðíî îáòåêàåìûé òîêîì. Ó òàêîãî ñîëåíîèäà ïîëå îêàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì è ñîñðåäîòî÷åííûì âíóòðè ñîëåíîèäà: (3.89) B = m 0 nI . Âíå ñîëåíîèäà ïîëå îòñóòñòâóåò. Ïðèìåð 4. Òîê — ñîâîêóïíîñòü óïîðÿäî÷åííî äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå. Ñ ïîìîùüþ çàêîíà Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ, ñîçäàr âàåìîãî îòäåëüíûì òî÷å÷íûì çàðÿäîì q, äâèæóùèìñÿ ñî ñêîðîñòüþ v: r m 0 qvr ´ rr , (3.90) B= 4p r 3 r ãäå r — âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò çàðÿäà â äàííóþ òî÷êó ïîëÿ; r — åãî ìîäóëü (ðèñ. 3.23). Ìîäóëü âåêòîðà (3.90) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì B= m 0 qv sin a, 4p r 2 r r ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè v è r . (3.91) Ðèñ. 3.23 133 Çàêîí Àìïåðà. Ñèëà Ëîðåíöà ® Ñîãëàñíî çàêîíó, óñòàíîâëåííîìó Àìïåðîì, íà ýëåìåíò dl òîêà I ñî r ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ B äåéñòâóåò ñèëà (ñèëà Àìïåðà): r r ® (3.92) dFÀ = I dl ´ B, ìîäóëü ýòîé ñèëû r (3.93) |dFÀ|= IdlB sin a, r ® ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè dl è B. Íàïðàâëåíèå ñèëû Àìïåðà ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó áóðàâ÷èr ® ïåðåìåùåêà: êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò dl ê B ïðèâåäåò ê ïîñòóïàòåëüíîìó r íèþ áóðàâ÷èêà â ñòîðîíó dF (ðèñ. 3.24). Íàïðàâëåíèå ñèëû Àìïåðà ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè: êèñòü ëåâîé ðóêè ðàñïîëîæèòü òàê, ÷òîáû ÷åòûðå âûòÿíóòûõ ïàëüöà ðàñïîëàãàëèñü âäîëü òîêà, à ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ «âõîäèëà» â ëàäîíü. Òîãäà îòîãíóòûé íà 90° áîëüøîé ïàëåö óêàæåò íàïðàâëåíèå ñèëû. Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (3.86) è (3.92) ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñèëó (íà åäèíèöó äëèíû) âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ íàõîäÿùèõñÿ â âàêóóìå ïàðàëÐèñ. 3.24 ëåëüíûõ áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïðÿìûõ òîêîâ. Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó òîêàìè b (ðèñ. 3.25), òî êàæäûé ýëåìåíò òîêà I2 áóäåò íàõîäèòüñÿ â âîçáóæäàåìîì òîêîì I1 ïîëå, ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ êîòîðîãî m I B1 = 0 1 . 2 pb r Óãîë ìåæäó ýëåìåíòîì òîêà I2 è âåêòîðîì B1 ® ïðÿìîé. Òîãäà íà ýëåìåíò dl òîêà I2 áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà r m |dFÀ|= I 2 B1dl = 2p0 I 1bI 2 dl. Äëÿ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà åäèíèöó äëèíû, ïîëó÷àåì: 134 Ðèñ. 3.25 Fl = m 0 I 1I 2 . 2p b (3.94) Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (3.94) óñòàíàâëèâàåòñÿ ýòàëîí ñèëû òîêà â ÑÈ — àìïåð. Àìïåð îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñèëà íåèçìåíÿþùåãîñÿ òîêà, êîòîðûé, ïðîõîäÿ ïî äâóì ïàðàëëåëüíûì ïðÿìîëèíåéíûì ïðîâîäíèêàì áåñêîíå÷íîé äëèíû è íè÷òîæíî ìàëîãî êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ, ðàñïîëîæåííûì íà ðàññòîÿíèè 1 ì îäèí îò äðóãîãî â âàêóóìå, âûçâàë áû ìåæäó ýòèìè ïðîâîäíèêàìè ñèëó, ðàâíóþ 2 · 10 –7 Í íà êàæäûé ìåòð äëèíû. Ñèëà Àìïåðà (3.92) îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå äåéñòâóåò íà íîñèòåëè òîêà. Îò íîñèòåëåé òîêà äåéñòâèå ñèëû ïåðåäàåòñÿ ïðîâîäíèêó, ïî êîòîðîìó îíè ïåðåìåùàþòñÿ. Èç âûðàæåíèÿ äëÿ ñèëû Àìïåðà (3.92) ìîæíî íàéòè ñèëó, äåéñòâóþùóþ ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà r îòäåëüíî âçÿòûé äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ v çàðÿä q (ýòà ñèëà íàçûâàåòñÿ ñèëîé Ëîðåíöà): r r r (3.95) F Ë = qv ´ B. Ìîäóëü ñèëû Ëîðåíöà (3.96) F Ë = qvB sin a, r r ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè v è B. Çàðÿä, äâèæóùèéñÿ âäîëü ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íå èñïûòûâàåò äåéñòâèÿ ñèëû (â ýòîì ñëó÷àå a = 0). Íàïðàâëåíà ìàãíèòíàÿ ñèëà ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè, â êîòîr r ðîé ëåæàò âåêòîðû v è B. Åñëè çàðÿä ïîëîæèòåëåí, íàïðàâëåíèå ñèëû ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè, êàê äëÿ òîêà (çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèÿ òîêà ïðèíÿòî íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ), â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîãî çàðÿäà ñèëà íàïðàâëåíà â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Íà ðèñ. 3.26 ïîêàçàí ïðèìåð îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ñèëû Ëîðåíöà, äåéñòâóþùåé íà ïîëîæèòåëüíûé è îòðèöàòåëüíûé çàðÿäû ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ (íàïðàâëåííîãî îò íàñ). Ìàãíèòíàÿ ñèëà âñåãäà íàïðàâëåíà Ðèñ. 3.26 ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ñêîðîñòè çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, ïîýòîìó îíà ðàáîòû íàä ÷àñòèöåé íå ñîâåðøàåò. Ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâóÿ íà çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó ïîñòîÿííûì ìàãíèòíûì ïîëåì, èçìåíèòü åå ýíåðãèþ íåëüçÿ. Ìàãíèòíàÿ ñèëà ñîçäàåò íîðìàëüíîå óñêîðåíèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû. 135 Ïðèìåð. Åñëè çàðÿä q äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñî r r ñêîðîñòüþ v, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó B, òî ìàãíèòíàÿ ñèëà ñîçäàåò íîðìàëüíîå óñêîðåíèå, ìîäóëü êîòîðîãî an = F qvB = m m (3.97) îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì (a = p/2).  ñëó÷àå, êîãäà ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííûìè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ è íîðìàëüíûì óñêîðåíèåì, òðàåêòîðèåé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü, ðàäèóñ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (1.15): an = v2/R. Ñ ó÷åòîì (3.97) íàõîäèì ðàäèóñ R= mv . qB (3.98) Ðàäèóñ îêðóæíîñòè çàâèñèò îò ñêîðîñòè ÷àñòèöû, ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ è îòíîøåíèÿ çàðÿäà ÷àñòèöû ê åå ìàññå. Îòíîøåíèå q/m íàçûâàåòñÿ óäåëüíûì çàðÿäîì ÷àñòèöû. Ðàçäåëèâ äëèíó îêðóæíîñòè 2pR íà ñêîðîñòü v, ïîëó÷èì ïåðèîä îáðàùåíèÿ ÷àñòèöû, ò. å. âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå íà îäèí îáîðîò: T= 2pm . qB (3.99) Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî ïåðèîä îáðàùåíèÿ ÷àñòèöû íå çàâèñèò îò åå ñêîðîñòè, îí îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî óäåëüíûì çàðÿäîì ÷àñòèöû è ìàãíèòíîé èíäóêöèåé ïîëÿ (ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ëåæèò â îñíîâå äåéñòâèÿ öèêëîòðîíà — öèêëè÷åñêîãî óñêîðèòåëÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö). Ïîòîê è öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè r Ýëåìåíòàðíûé ïîòîê âåêòîðà B ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ïëîùàäüþ dS ñ íîðr ìàëüþ n r r dF Br = B × ndS = B cos adS = B n dS , (3.100) r ãäå n — íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè (âíåøíÿÿ äëÿ çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòåé); a — óãîë ìåæäó âåêr r òîðàìè n è B (ðèñ. 3.27). Äëÿ r ïðîèçâîëüíîé ïîâåðõíîñòè S ïîòîê âåêòîðà B (ìàãíèòíûé ïîòîê) Ðèñ. 3.27 136 F Br = ò B n dS . (3.101) S Åäèíèöåé ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè (ìàãíèòíîãî ïîòîêà) ÿâëÿåòñÿ âåáåð (Âá). r  ïðèðîäå íåò ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ, âñëåäñòâèå ÷åãî ëèíèè B íå èìåþò íè íà÷àëà, íè êîíöà — îíè ëèáî çàìêíóòû, ëèáî óõîäÿò â áåñêîíå÷íîñòü. Ïîýòîìó ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü äîëæåí r áûòü ðàâåí íóëþ (ñêîëüêî ëèíèé âåêòîðà B âõîäèò â çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü, ñòîëüêî æå è âûõîäèò èç íåå). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ïðîèçâîëüíîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè S ò B dS = 0. n (3.102) S r Ýòà ôîðìóëà âûðàæàåò òåîðåìó Ãàóññà äëÿ âåêòîðà B: ïîòîê âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ. r ® r Öèðêóëÿöèþ ò B × dl âåêòîðà B ïî êîíòóðó l l ïðîùå íàéòè íà ïðèìåðå ïîëÿ ïðÿìîãî òîêà (ñì. ðèñ. 3.22, à). Äëÿ ïðîñòîòû âîçüìåì êîíòóð ôîðìû êîíöåíòðè÷åñêîé îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r âîêðóã ïðîâîäíèêà ñ òîêîì â îðòîãîíàëüíîé ïðîâîäíèêó ïëîñêîñòè (ðèñ. 3.28). Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ â êàæäîé òî÷êå êîíòóðà (íà ðàññòîÿíèè r îò Ðèñ. 3.28 ïðîâîäà) íàïðàâëåíà ïî êàñàòåëüíîé ê êîíòóðó r ® m I m I (ñì. (3.86)): B = 0 . Òàêèì îáðàçîì, B × dl = Bdl = 0 dl. Öèðêóëÿöèÿ 2 pr 2 pr r ® m 0I ò B × dl = 2pr ò dl = m 0 I (ãäå ò dl = 2pr — äëèíà îêðóæíîñòè). l l l Íà ñëó÷àé äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîíòóðà è íåñêîëüêèõ òîêîâ ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó: r ® (3.103) B ò × dl = m 0 å I i , l i ãäå å I i — àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ êîíòóðîì. Ïðè i ýòîì òîêè, íàïðàâëåíèÿ êîòîðûõ îáðàçóþò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà ïðà137 âîâèíòîâóþ ñèñòåìó, áåðóòñÿ ñî çíàêîì ïëþñ, òîê ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ áóäåò îòðèöàòåëüíûì. r Òàêèì îáðàçîì, öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà B ïî íåêîòîðîìó êîíòóðó ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ êîíòóðîì, óìíîæåííîé íà m0. Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î öèðêóëÿöèè âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè (â âàêóóìå). Ñðàâíèì ïîòîê è öèðêóëÿöèþ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â âàêóóìå. Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (3.10), (3.23), (3.102), (3.103): r ® 1 ò E n dS = e 0 å q, ò E × dl = 0, S l r ® ò B n dS = 0 , ò B × dl = m 0 å I i . S l i Ñîïîñòàâëåíèå ýòèõ ôîðìóë ïîêàçûâàåò, ÷òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ èìåþò ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûé õàðàêòåð. Èñòî÷íèêàìè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ çàðÿäû q. Ìàãíèòíîå ïîëå íå èìååò èñòî÷íèêîâ. Öèðêóëÿöèÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ðàâíà íóëþ; ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ïîòåíöèàëüíî è ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíî ïîòåíöèàëîì j. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïðîïîðöèîíàëüíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ êîíòóðîì. Ïîýòîìó ìàãíèòíîìó ïîëþ íåëüçÿ ïðèïèñàòü ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë, àíàëîãè÷íûé ïîòåíöèàëó j ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Ïîëå, ó êîòîðîãî öèðêóëÿöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ, íàçûâàåòñÿ âèõðåâûì èëè ñîëåíîèäàëüíûì. Òàêèì îáðàçîì, â òî âðåìÿ êàê ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ïîòåíöèàëüíî, ìàãíèòíîå ïîëå, â îòëè÷èå îò íåãî, ÿâëÿåòñÿ âèõðåâûì. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïðè ïåðåìåùåíèè òîêà â ìàãíèòíîì ïîëå Äîïóñòèì, ÷òî ïðÿìîëèíåéíûé ïðîâîä ñ òîêîì ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå. Ýòî ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ñêîëüçÿùèõ êîíòàêòîâ ìåæäó êîíöàìè ïðîâîäà è îñòàëüíûìè ó÷àñòêàìè çàìêíóòîé öåïè (ðèñ. 3.29). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàìêíóòàÿ öåïü îáðàçóåò ïëîñêèé êîíòóð. Âíåøíåå ïîëå áóäåì ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì è ïåðïåíäèêóëÿðíûì ê ïëîñêîñòè êîíòóðà. Ðèñ. 3.29 138  ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 3.29, íàïðàâëåíèå ïîëÿ è íàïðàâëår íèå ïîëîæèòåëüíîé íîðìàëè n ê êîíòóðó ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó ìàãíèòíûé ïîòîê, ïðîíèçûâàþùèé êîíòóð, ïîëîæèòåëåí è ðàâåí BS (S — ïëîr ùàäü êîíòóðà). Ñèëà F , äåéñòâóþùàÿ íà ïðîâîä â ýòîì ñëó÷àå, íàïðàâëåíà âïðàâî è èìååò ìîäóëü, ðàâíûé IBl. Ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîâîäà âïðàâî íà dx ýòà ñèëà ñîâåðøàåò íàä íèì ïîëîæèòåëüíóþ ðàáîòó dA = Fdx = IBldx = IBdS = IdF, ãäå dS — ïðèðàùåíèå ïëîùàäè êîíòóðà; dÔ — ïðèðàùåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç êîíòóð, êîòîðîå ðàâíî ïîòîêó, «ïåðåñå÷åííîìó» ïðîâîäîì ïðè åãî äâèæåíèè. Âr äàííîì ñëó÷àå dÔ > 0. Ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîâîäà âëåâî ðàáîòà ñèëû F áûëà áû îòðèöàòåëüíîé. Ïðèðàùåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà òàêæå áûëî áû îòðèöàòåëüíûì. Òàê ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå ñîâåðøåííàÿ íàä ïðîâîäîì ðàáîòà ðàâíà ñèëå òîêà, óìíîæåííîé íà ïåðåñå÷åííûé ïðîâîäîì ìàãíèòíûé ïîòîê: dA = IdF. (3.104) Äàííîå ñîîòíîøåíèå îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ ïðîâîäà ëþáîé ôîðìû, à òàêæå â ñëó÷àå íåîäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. ×òîáû ïîëó÷èòü ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ â ìàãíèòíîì ïîëå ïðè êîíå÷íîì ïåðåìåùåíèè ïðîâîäà, íóæíî ïðîñóììèðîâàòü ýëåìåíòàðíûå ðàáîòû (3.104), ñîâåðøàåìûå íà ýëåìåíòàðíûõ ó÷àñòêàõ ïóòè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì, ÷òî (3.105) A = I ò dF = IDF, ãäå DÔ — èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî êîíòóð (èëè ïîòîê, «ïåðåñå÷åííûé» ïðîâîäîì ïðè åãî äâèæåíèè); òîê â ïðîâîäå ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Îòìåòèì, ÷òî ðàáîòà (3.105) ñîâåðøàåòñÿ íå çà ñ÷åò ýíåðãèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ýòî ïîëå îñòàåòñÿ íåèçìåííûì), à çà ñ÷åò èñòî÷íèêà òîêà, ïîääåðæèâàþùåãî ïîñòîÿííîé ñèëó òîêà I. Ìàãíèòíîå ïîëå â âåùåñòâå r Åñëè â ìàãíèòíîå ïîëå B 0 , ñîçäàííîå â âàêóóìå, ïîìåñòèòü êàêîå-ëèáî âåùåñòâî, òî ïîëå èçìåíÿåòñÿ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî âñÿêîå âåùåñòâî ÿâëÿåòñÿ ìàãíåòèêîì, ò. å. ñïîñîáíî ïîä äåéñòâèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðèîáðåòàòü ìàãíèòíûé ìîìåíò (íàìàãíè÷èâàòüñÿ). Íàìàãíè÷åííîå 139 r âåùåñòâî ñîçäàåò äîïîëíèòåëüíîå ïîëå B¢, êîòîðîå ñêëàäûâàåòñÿ ñ ïîëåì r B 0 â ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå r r r (3.106) B = B 0 + B ¢. Èñòèííîå (ìèêðîñêîïè÷åñêîå) ïîëå â ìàãíåòèêå r ñèëüíî èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ ìåæìîëåêóëÿðíûõ ðàññòîÿíèé. Ïîä B ïîäðàçóìåâàåòñÿ óñðåäíåííîå (ìàêðîñêîïè÷åñêîå) ïîëå. Äëÿ îáúÿñíåíèÿ íàìàãíè÷èâàíèÿ òåë Àìïåð ïðåäïîëîæèë, ÷òî â ìîëåêóëàõ âåùåñòâà öèðêóëèðóþò êðóãîâûå òîêè (ìîëåêóëÿðíûå òîêè). Êàæäûé òàêîé òîê îáëàäàåò ìàãíèòíûì ìîìåíòîì è ñîçäàåò â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíîå ïîëå.  îòñóòñòâèå âíåøíåãî ïîëÿ ìîëåêóëÿðíûå òîêè îðèåíòèðîâàíû áåñïîðÿäî÷íûì îáðàçîì, ïîýòîìó îáóñëîâëåííîå èìè ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå â ñðåäíåì ðàâíî íóëþ. Âñëåäñòâèå õàîòè÷åñêîé îðèåíòàöèè ìàãíèòíûõ ìîìåíòîâ îòäåëüíûõ ìîëåêóë ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò òåëà òàêæå ðàâåí íóëþ. Ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ïîëÿ ìàãíèòíûå ìîìåíòû ìîëåêóë ïðèîáðåòàþò ïðåèìóùåñòâåííóþ îðèåíòàöèþ â îäíîì íàïðàâëåíèè, âñëåäñòâèå ÷åãî âåùåñòâî íàìàãíè÷èâàåòñÿ — åãî ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò ñòàíîâèòñÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ. Ìàãíèòíûå ïîëÿ îòäåëüíûõ ìîëåêóëÿðíûõ òîêîâ â ýòîì ñëó÷àå óæå r íå êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, è âîçíèêàåò ïîëå B¢. Íàìàãíè÷åíèå âåùåñòâà åñòåñòâåííî õàðàêòåðèçîâàòü ìàãíèòíûì ìîìåíòîì åäèíèöû îáúåìà. Ýòó âåëè÷èíó íàçûâàþò íàìàãíè÷åííîñòüþ r è îáîçíà÷àþò áóêâîé J : r 1 J= DV r åp m , (3.107) DV r ãäå p m — ìàãíèòíûé ìîìåíò îòäåëüíîé ìîëåêóëû. Ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåì â îáúåìå DV. r ìîëåêóëàì, íàõîäÿùèìñÿ r Ëèíèè ïîëÿ B¢, êàê è ïîëÿ B 0 , ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè, ïîýòîìó ïîòîê r r ìàãíèòíîé èíäóêöèè B¢ (à ñëåäîâàòåëüíî, è B) ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ãàóññà (3.102) ñïðàâåäëèâà íå òîëüêî äëÿ ïîëÿ â âàêóóìå, íî è äëÿr ïîëÿ â âåùåñòâå. êîíòóðó, Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè öèðêóëÿöèþ ïîëÿ B ïî íåêîòîðîìó r êðîìå ñóììû ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òîêîâ, ñîçäàþùèõ ïîëå B 0 , íóæíî òàêæå çíàòü àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó ìîëåêóëÿðíûõròîêîâ, îõâà÷åííûõ ýòèì êîíòóðîì, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, çàâèñèò îò B. 140 Äëÿ r ðàñ÷åòà ìàãíèòíûõ ïîëåé â âåùåñòâå âìåñòî ìàãíèòíîé èíäóêöèè B áîëåå óäîáíîé îêàçûâàåòñÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ âåëè÷èíà r r r B (3.108) H= - J, m0 öèðêóëÿöèÿ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü ñóììîé ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òîêîâ: r ® ò H × dl = å I l i . (3.109) i Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåííîñòüþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. r Ñîîòíîøåíèå (3.109) âûðàæàåò òåîðåìó î öèðêóëÿöèè âåêòîðà : H r öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ H ïî íåêîòîðîìó êîíòóðó ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òîêîâ, îõâàòûâàåìûõ êîíòóðîì. r r Åäèíèöåé íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ H è íàìàãíè÷åííîñòè J ÿâëÿåòñÿ àìïåð íà ìåòð r (À/ì). r Íàìàãíè÷åííîñòü J ïðèíÿòî ñâÿçûâàòü ñ íàïðÿæåííîñòüþ H : r r (3.110) J = cH , ãäå c — áåçðàçìåðíàÿ, õàðàêòåðíàÿ äëÿ äàííîãî ìàãíåòèêà âåëè÷èíà, íàçûâàåìàÿ ìàãíèòíîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ. r Ïîäñòàâèì (3.110) â (3.108) è âûðàçèì H : r r B . (3.111) H= m 0 (1 + c ) Áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà m=1+c (3.112) íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ âåùåñòâà. Ñ ó÷åòîì (3.112) ôîðìóëå (3.111) ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé âèä: r r B . (3.113) H= m 0m  îòëè÷èå îò äèýëåêòðè÷åñêîé âîñïðèèì÷èâîñòè À, êîòîðàÿ ìîæåò èìåòü ëèøü ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü c áû141 âàåò êàê ïîëîæèòåëüíîé, òàê è îòðèöàòåëüíîé. Ïîýòîìó ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü m ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå åäèíèöû. Åñëè ríåêîòîðóþ îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîé ñîçäàíî îäíîðîäíîå ïîëå B 0 , çàïîëíèòü ìàãíåòèêîì, òî ïîëå óñèëèòñÿ â m ðàç: r r (3.114) B = mB 0 . Îòñþäà ôèçè÷åñêèé ñìûñë ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè: m ïîêàçûâàåò, âî ñêîëüêî ðàç óñèëèâàåòñÿ ïîëå â ìàãíåòèêå ïðè âíåñåíèè åãî â ìàãíèòíîå ïîëå. Íàïîìíèì, ÷òî äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïîêàçûâàåò, âî ñêîëüêî ðàç îñëàáëÿåòñÿ ïîëå â äèýëåêòðèêå. r r Âåêòîðû B è H íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ îäíîðîäíûõ è èçîòðîïíûõ ìàãíåòèêîâ 1 è 2 (ðèñ. 3.30) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì. Ðàññóæäåíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê óñòàíîâëåíèþ ýòèõ óñëîâèé, àíàëîãè÷íû ðàññóæäåíèÿì, èçëîæåííûì â ðàçä. 3.1, ïðè óñòàíîâëåíèè óñëîâèé íà ãðàíèöå äâóõ äèýëåêòðèêîâ, èr ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç òåîðåìû Ãàóññà äëÿ r Ðèñ. 3.30 B è òåîðåìû î öèðêóëÿöèè H : B1n = B2n, H1t = H2t, (3.115) m m B 1t H 1n = 1, = 2, m1 m 2 H 2n B2t (3.116) tga 1 m = 1, tga 2 m 2 (3.117) ãäå a1rè a2 r— óãëû, îáðàçóåìûå ñ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà âåêòîðàìè B1 è B 2 ; m1 è m2 — ìàãíèòíûå ïðîíèöàåìîñòè ïåðâîé è âòîðîé ñðåä.  çàâèñèìîñòè îò ÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè âñå ìàãíåòèêè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà òðè ãðóïïû: 1) m £ 1 — äèàìàãíåòèêè (Ag, Au, Cu, …); 2) m ³ 1 — ïàðàìàãíåòèêè (Al, Pt, …); 3) m >> 1 — ôåððîìàãíåòèêè (Fe, Ni, Co, Gd, …). Äèà- è ïàðàìàãíåòèêè ïðèíàäëåæàò ê êàòåãîðèè ñëàáîìàãíèòíûõ âår ùåñòâ, èõ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû ïîëÿ H . 142 Îñîáûé êëàññ ìàãíåòèêîâ îáðàçóþò âåùåñòâà, ñïîñîáíûå îáëàäàòü íàìàãíè÷åííîñòüþ â îòñóòñòâèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïî ñâîåìó íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîìó ïðåäñòàâèòåëþ — æåëåçó — îíè ïîëó÷èëè íàçâàíèå ôåððîìàãíåòèêîâ. Ôåððîìàãíåòèêè ÿâëÿþòñÿ ñèëüíîìàãíèòíûìè âåùåñòâàìè. Èõ íàìàãíè÷åííîñòü íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ïðåâîñõîäèò íàìàãíè÷åííîñòü äèà- è ïàðàìàãíåòèêîâ. Íàìàãíè÷åííîñòü è ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ñëàáîìàãíèòíûõ âåùåñòâ èçìåíÿþòñÿ ñ íàïðÿæåííîñòüþ ïîëÿ ëèíåéíî (ñì. (3.110)). Íàìàãíè÷åír íîñòü ôåððîìàãíåòèêîâ çàâèñèò îò H ñëîæíûì îáðàçîì. Íà ðèñ. 3.31 è 3.32 ïðèâåäåíû êðèâûå íàìàãíè÷èâàíèÿ æåëåçà. Îñíîâíîé èëè íóëåâîé êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ 0–1) íàçûâàåòñÿ êðèâàÿ íàìàãíè÷èâàíèÿ ôåððîìàãíåòèêà, íàìàãíè÷åííîñòü êîòîðîãî ïåðâîíà÷àëüíî áûëà ðàâíà íóëþ. Ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè íàïðÿæåííîñòè HS (ïîðÿäêà 100 À/ì) íàìàãíè÷åííîñòü æåëåçà äîñòèãàåò íàìàãíè÷åííîñòè íàñûùåíèÿ JS. Òàê êàê B = m0(H + J), òî ïî äîñòèæåíèè íàñûùåíèÿ B ïðîäîëæàåò ðàñòè ñ H ïî ëèíåéíîìó çàêîíó (ïðÿìàÿ 1–1¢). Êðîìå íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòè J îò H (èëè B îò H), äëÿ ôåððîìàãíåòèêîâ õàðàêòåðíî ÿâëåíèå ãèñòåðåçèñà. Åñëè äîâåñòè íàìàãíè÷åííîñòü äî íàñûùåíèÿ (òî÷êà 1) è çàòåì óìåíüøàòü íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òî íàìàãíè÷åííîñòü J è èíäóêöèÿ B èçìåíÿþòñÿ íå ïî ïåðâîíà÷àëüíîé êðèâîé 1–0, à ïî êðèâîé 1–2.  ðåçóëüòàòå, êîãäà íàïðÿæåííîñòü âíåøíåãî ïîëÿ ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ (òî÷êà 2), íàìàãíè÷åííîñòü íå èñ÷åçàåò è õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé Jr, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ îñòà- Ðèñ. 3.31 Ðèñ. 3.32 143 òî÷íîé íàìàãíè÷åííîñòüþ. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ èìååò ïðè ýòîì çíà÷åíèå Br, íàçûâàåìîå îñòàòî÷íîé èíäóêöèåé. Èíäóêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü ëèøü ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ HC, íàïðàâëåííîãî ïðîòèâîïîëîæíî ïîëþ, âûçâàâøåìó íàìàãíè÷èâàíèå. Íàïðÿæåííîñòü HC íàçûâàåòñÿ êîýðöèòèâíîé ñèëîé. Ïðè äåéñòâèè íà ôåððîìàãíåòèê ïåðåìåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàìàãíè÷åííîñòü è èíäóêöèÿ èçìåíÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ êðèâîé 1–2–3–4–5–1, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïåòëåé ãèñòåðåçèñà. Ãèñòåðåçèñ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî íàìàãíè÷åííîñòü J ôåððîìàãíåòèêà íå ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé H, îíà çàâèñèò îò ïðåäûñòîðèè îáðàçöà — îò òîãî, â êàêèõ ïîëÿõ îí ïîáûâàë ïðåæäå.  ñâÿçè ñ íåîäíîçíà÷íîñòüþ çàâèñèìîñòè B îò H ïîíÿòèå ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè ïðèìåíÿåòñÿ ëèøü ê îñíîâíîé êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ 0–1–1¢. Ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ôåððîìàãíåòèêîâ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ. Äëÿ êàæäîãî ôåððîìàãíåòèêà èìååòñÿ îïðåäåëåííàÿ òåìïåðàòóðà, íàçûâàåìàÿ òî÷êîé Êþðè, ïðè êîòîðîé îí òåðÿåò ñâîè ôåððîìàãíèòíûå ñâîéñòâà. Ïðè íàãðåâàíèè îáðàçöà âûøå òî÷êè Êþðè ôåððîìàãíåòèê ïðåâðàùàåòñÿ â îáû÷íûé ïàðàìàãíåòèê. Êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ ôåððîìàãíåòèçìà áûëà ðàçðàáîòàíà ôðàíöóçñêèì ôèçèêîì Ï. Âåéññîì. Ñîãëàñíî ïðåäñòàâëåíèÿì Âåéññà ôåððîìàãíåòèêè ïðè òåìïåðàòóðàõ íèæå òî÷êè Êþðè ðàçáèâàþòñÿ íà áîëüøîå ÷èñëî ìàëûõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ îáëàñòåé — äîìåíîâ, ñàìîïðîèçâîëüíî íàìàãíè÷åííûõ äî íàñûùåíèÿ. Ëèíåéíûå ðàçìåðû äîìåíîâ ñîñòàâëÿþò ïîðÿäêà 10–4–10–2 ñì. Ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàãíèòíûå ìîìåíòû îòäåëüíûõ äîìåíîâ îðèåíòèðîâàíû õàîòè÷åñêè è êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà, ïîýòîìó ðåçóëüòèðóþùèé ìàãíèòíûé ìîìåíò ôåððîìàãíåòèêà ðàâåí íóëþ (ôåððîìàãíåòèê íå íàìàãíè÷åí). Âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå îðèåíòèðóåò ïî ïîëþ ìàãíèòíûå ìîìåíòû íå îòäåëüíûõ àòîìîâ, êàê ýòî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå ïàðàìàãíåòèêîâ, à öåëûõ äîìåíîâ. Ïðè îñëàáëåíèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ äî íóëÿ ôåððîìàãíåòèêè ñîõðàíÿþò îñòàòî÷íóþ íàìàãíè÷åííîñòü, òàê êàê òåïëîâîå äâèæåíèå íå â ñîñòîÿíèè áûñòðî äåçîðèåíòèðîâàòü ìàãíèòíûå ìîìåíòû ñòîëü êðóïíûõ îáðàçîâàíèé, êàêèìè ÿâëÿþòñÿ äîìåíû. Ïîýòîìó è íàáëþäàåòñÿ ÿâëåíèå ìàãíèòíîãî ãèñòåðåçèñà. Äëÿ òîãî ÷òîáû ôåððîìàãíåòèê ðàçìàãíèòèòü, íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü êîýðöèòèâíóþ ñèëó; ðàçìàãíè÷èâàíèþ ñïîñîáñòâóþò òàêæå âñòðÿõèâàíèå 144 è íàãðåâàíèå ôåððîìàãíåòèêà. Òî÷êà Êþðè îêàçûâàåòñÿ òîé òåìïåðàòóðîé, âûøå êîòîðîé ïðîèñõîäèò ðàçðóøåíèå äîìåííîé ñòðóêòóðû. Êîëè÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ ôåððîìàãíåòèçìà ðàçâèòà ß. È. Ôðåíêåëåì è Â. Ãåéçåíáåðãîì íà îñíîâå êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ  1831 ã. Ôàðàäåé îòêðûë, ÷òî âî âñÿêîì çàìêíóòîì ïðîâîäÿùåì êîíòóðå ïðè èçìåíåíèè ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ ýòèì êîíòóðîì, âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàþò ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèåé, à âîçíèêàþùèé òîê — èíäóêöèîííûì. Âåëè÷èíà èíäóêöèîííîãî òîêà íå çàâèñèò îò ñïîñîáà, êîòîðûì âûçûâàåòñÿ èçìåíåíèå ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè Ô, è îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü ñêîðîñòüþ èçìåíåíèÿ Ô, ò. å. çíà÷åíèåì dF dt. Ïðè èçìåíåíèè çíàêà dF dt ìåíÿåòñÿ òàêæå íàïðàâëåíèå òîêà. Ïîÿñíèì ñêàçàííîå ñëåäóþùèì ïðèìåðîì. Íà ðèñ. 3.33 èçîáðàæåí êîíòóð 1, ñèëó òîêà â êîòîðîì I1 ìîæíî ìåíÿòü ñ ïîìîùüþ ðåîñòàòà. Òîê I1 ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå, ïðîíèçûâàþùåå êîíòóð 2. Åñëè óâåëè÷èâàòü òîê, òî ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè Ô ÷åðåç êîíòóð 2 áóäåò ðàñòè. Ýòî ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ â êîíòóðå 2 èíäóêöèîííîãî òîêà I2, ðåãèñòðèðóåìîãî ãàëüâàíîìåòðîì. Óìåíüøåíèå òîêà I1 îáóñëîâèò óáûâàíèå ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç âòîðîé êîíòóð, ÷òî ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ â íåì èíäóêöèÐèñ. 3.33 îííîãî òîêà èíîãî íàïðàâëåíèÿ, ÷åì â ïåðâîì ñëó÷àå. Èíäóêöèîííûé òîê I2 ìîæíî âûçâàòü òàêæå, ïðèáëèæàÿ êîíòóð 2 ê ïåðâîìó êîíòóðó èëè óäàëÿÿ âòîðîé êîíòóð îò ïåðâîãî.  îáîèõ ñëó÷àÿõ íàïðàâëåíèÿ âîçíèêàþùåãî òîêà áóäóò ïðîòèâîïîëîæíûìè. Íàêîíåö, ýëåêòðîìàãíèòíóþ èíäóêöèþ ìîæíî âûçâàòü, íå ïåðåìåùàÿ êîíòóð 2 ïîñòóïàòåëüíî, à ïîâîðà÷èâàÿ åãî òàê, ÷òîáû ìåíÿëñÿ óãîë ìåæäó íîðìàëüþ ê êîíòóðó è íàïðàâëåíèåì ïîëÿ. Çàïîëíåíèå âñåãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ïîëå îòëè÷íî îò íóëÿ, îäíîðîäíûì ìàãíåòèêîì ïðèâîäèò, ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëîâèÿõ, ê óâåëè145 ÷åíèþ èíäóêöèîííîãî òîêà â m ðàç. Ýòèì ïîäòâåðæäàåòñÿr òî, ÷òî èíäóêöèîííûé òîê îáóñëîâëåí èçìåíåíèåì íå ïîòîêà âåêòîðà H , à ïîòîêà ìàãr íèòíîé èíäóêöèè B. Ëåíö óñòàíîâèë ïðàâèëî, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî íàéòè íàïðàâëåíèå èíäóêöèîííîãî òîêà. Ïðàâèëî Ëåíöà ãëàñèò, ÷òî èíäóêöèîííûé òîê âñåãäà íàïðàâëåí òàê, ÷òîáû ïðîòèâîäåéñòâîâàòü ïðè÷èíå, åãî âûçûâàþùåé. Åñëè, íàïðèìåð, èçìåíåíèå Ô âûçâàíî ïåðåìåùåíèåì êîíòóðà, òî âîçíèêàåò èíäóêöèîííûé òîê òàêîãî íàïðàâëåíèÿ, ÷òî ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà íåãî âî âíåøíåì ïîëå, ïðîòèâèòñÿ äâèæåíèþ êîíòóðà. Ïðè ïðèáëèæåíèè êîíòóðà 2 ê ïåðâîìó êîíòóðó âîçíèêàåò òîê I 2¢ (ñì. ðèñ. 3.33), êîòîðûé íàïðàâëåí ïðîòèâ òîêà I1, è îíè îòòàëêèâàþòñÿ. Ïðè óäàëåíèè êîíòóðà 2 îò ïåðâîãî êîíòóðà âîçíèêàåò òîê I 2¢¢, ñîíàïðàâëåííûé ñ òîêîì I1, ïîýòîìó îíè ïðèòÿãèâàþòñÿ. Ïóñòü êîíòóð 2 íåïîäâèæåí è òîê èíäóöèðóåòñÿ â íåì ïóòåì èçìåíåíèÿ òîêà I1 â ïåðâîì êîíòóðå.  ýòîì ñëó÷àå èíäóöèðóåòñÿ òîê I2 òàêîãî íàïðàâëåíèÿ, ÷òî ñîçäàâàåìûé èì ñîáñòâåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê ñòðåìèòñÿ îñëàáèòü èçìåíåíèÿ âíåøíåãî ïîòîêà, ïðèâåäøèå ê ïîÿâëåíèþ èíäóêöèîííîãî òîêà. Ïðè óâåëè÷åíèè I1, ò. å. âîçðàñòàíèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà, íàïðàâëåííîãî âïðàâî, âîçíèêíåò òîê I 2¢ , ñîçäàþùèé ïîòîê, íàïðàâëåííûé âëåâî. Ïðè óìåíüøåíèè I1 âîçíèêàåò òîê I 2¢¢, ñîáñòâåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê êîòîðîãî íàïðàâëåí òàê æå, êàê è âíåøíèé ïîòîê, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñòðåìèòñÿ ïîääåðæàòü âíåøíèé ïîòîê íåèçìåííûì. Èíäóêöèîííûå òîêè ìîãóò âîçáóæäàòüñÿ è â ñïëîøíûõ ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêàõ.  ýòîì ñëó÷àå èõ íàçûâàþò òîêàìè Ôóêî èëè âèõðåâûìè òîêàìè. Ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ìàññèâíîãî ïðîâîäíèêà ìàëî, ïîýòîìó òîêè Ôóêî ìîãóò äîñòèãàòü î÷åíü áîëüøîé ñèëû.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì Ëåíöà òîêè Ôóêî âûáèðàþò âíóòðè ïðîâîäíèêà òàêèå ïóòè è íàïðàâëåíèÿ, ÷òîáû ñâîèì äåéñòâèåì âîçìîæíî ñèëüíåå ïðîòèâèòüñÿ ïðè÷èíå, êîòîðàÿ èõ âûçûâàåò. Ïîýòîìó äâèæóùèåñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå õîðîøèå ïðîâîäíèêè èñïûòûâàþò òîðìîæåíèå, îáóñëîâëåííîå âçàèìîäåéñòâèåì òîêîâ Ôóêî ñ ìàãíèòíûì ïîëåì. Ýòèì ïîëüçóþòñÿ äëÿ äåìïôèðîâàíèÿ (óñïîêîåíèÿ) ïîäâèæíûõ ÷àñòåé ãàëüâàíîìåòðîâ, ñåéñìîãðàôîâ è äðóãèõ ïðèáîðîâ. Íà ïîäâèæíîé ÷àñòè ïðèáîðà óêðåïëÿåòñÿ ïðîâîäÿùàÿ (íàïðèìåð, àëþìèíèåâàÿ) ïëàñòèíêà â âèäå ñåêòîðà (ðèñ. 3.34), êîòîðàÿ ââîäèòñÿ â çàçîð ìåæäó ïîëþñàìè ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà. Ïðè äâèæåíèè ïëàñòèíêè â íåé âîçíèêàþò òîêè Ôóêî, âûçûâàþùèå òîðìîæåíèå ñèñòåìû. Ïðåèìóùåñòâî òàêîãî óñòðîéñòâà ñî146 ñòîèò â òîì, ÷òî òîðìîæåíèå âîçíèêàåò ëèøü ïðè äâèæåíèè ïëàñòèíêè è èñ÷åçàåò, êîãäà ïëàñòèíêà íåïîäâèæíà. Ïîýòîìó ýëåêòðîìàãíèòíûé óñïîêîèòåëü íå ïðåïÿòñòâóåò òî÷íîìó ïðèõîäó ñèñòåìû â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Òåïëîâîå äåéñòâèå òîêîâ Ôóêî èñïîëüçóåòñÿ â èíäóêöèîííûõ ïå÷àõ. Òàêàÿ ïå÷ü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàòóøêó, ïèòàåìóþ âûñîêî÷àñòîòíûì òîêîì áîëüøîé ñèëû. Åñëè ïîìåñòèòü Ðèñ. 3.34 âíóòðü êàòóøêè ïðîâîäÿùåå òåëî, â íåì âîçíèêíóò èíòåíñèâíûå âèõðåâûå òîêè, êîòîðûå ìîãóò ðàçîãðåòü òåëî äî ïëàâëåíèÿ. Òàêèì ñïîñîáîì îñóùåñòâëÿþò ïëàâëåíèå ìåòàëëîâ â âàêóóìå, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ìàòåðèàëû èñêëþ÷èòåëüíî âûñîêîé ÷èñòîòû. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ òîêè Ôóêî áûâàþò íåæåëàòåëüíûìè è ïðèõîäèòñÿ ïðèíèìàòü äëÿ áîðüáû ñ íèìè ñïåöèàëüíûå ìåðû. Òàê, íàïðèìåð, ÷òîáû ïðåäîòâðàòèòü ïîòåðè ýíåðãèè íà íàãðåâàíèå òîêàìè Ôóêî ñåðäå÷íèêîâ òðàíñôîðìàòîðîâ, èõ íàáèðàþò èç òîíêèõ ïëàñòèí, ðàçäåëåííûõ èçîëèðóþùèìè ïðîñëîéêàìè. Ïëàñòèíû ðàñïîëàãàþòñÿ òàê, ÷òîáû âîçìîæíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ Ôóêî áûëè ê íèì ïåðïåíäèêóëÿðíûìè. Ïîÿâëåíèå ôåððèòîâ (ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ ñ áîëüøèì ýëåêòðè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì) ñäåëàëî âîçìîæíûì èçãîòîâëåíèå ñåðäå÷íèêîâ ñïëîøíûìè. Äëÿ ñîçäàíèÿ òîêà â öåïè íåîáõîäèìî íàëè÷èå ÝÄÑ. Ïîýòîìó ÿâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ïðè èçìåíåíèÿõ ìàãíèòíîãî ïîòîêà Ô â êîíòóðå âîçíèêàåò ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà èíäóêöèè ei. Ðàññìîòðèì êîíòóð ñ ïîäâèæíûì ïðîâîäîì-ïåðåìû÷êîé, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 3.29. Êîíòóð ñîäåðæèò èñòî÷íèê òîêà ñ ÝÄÑ e. Çà âðåìÿ dt èñòî÷íèê ñîâåðøàåò ðàáîòó dA = Pdt = eIdt, ãäå I — ñèëà òîêà â êîíòóðå, P — ìîùíîñòü, ðàçâèâàåìàÿ èñòî÷íèêîì òîêà (ñì. (3.77)). Êîãäà ïðîâîä íåïîäâèæåí, ðàáîòà ïîëíîñòüþ ïðåâðàùàåòñÿ â äæîóëåâó òåïëîòó dQ = I 2 Rdt. 147 Åñëè æå ïðîâîä äâèæåòñÿ, òî çà âðåìÿ dt ìàãíèòíàÿ ñèëà ñîâåðøèò ðàáîòó, êîòîðàÿ ñîãëàñíî (3.104) ðàâíà IdÔ, ãäå dÔ — ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç çàêðàøåííóþ ïëîùàäêó, ò. å. ïðèðàùåíèå ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç êîíòóð çà âðåìÿ dt (ñì. ðèñ. 3.29). Ýòà ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åò ýíåðãèè èñòî÷íèêà òîêà. Òàêèì îáðàçîì, ïðè äâèæåíèè ïðîâîäà ñîâåðøàåìàÿ èñòî÷íèêîì òîêà ðàáîòà èäåò íå òîëüêî íà âûäåëåíèå òåïëîòû, íî è íà ñîâåðøåíèå íàä ïðîâîäîì ðàáîòû: eIdt = I 2 Rdt + IdF, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî I= e - dF dt . R (3.118) Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè èçìåíåíèè ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç êîíòóð ñèëà òîêà â íåì îêàçûâàåòñÿ òàêîé, êàê åñëè áû, êðîìå ÝÄÑ e èñòî÷íèêà òîêà, â êîíòóðå äåéñòâîâàëà ÝÄÑ, ðàâíàÿ –dÔ/dt. Ýòà ÝÄÑ è åñòü ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà èíäóêöèè. Òàêèì îáðàçîì, ei =- dF . dt (3.119) ×òîáû ïîíÿòü ñìûñë çíàêà «ìèíóñ» râ ôîðìóëå (3.119), ñâÿæåì çíàê ïîòîêå) ei è íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîé èíäóêöèè B (ïðè ïîëîæèòåëüíîì r ïðàâèëîì áóðàâ÷èêà (ïðàâîãî âèíòà): åñëè âåêòîð B íàïðàâëåí «îò íàñ» (ñì. ðèñ. 3.29), òî ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå ei ñîîòâåòñòâóåò îáõîäó ïî êîíòóðó «ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå» (ïðàâûé âèíò). Òàêèì îáðàçîì, åñëè dÔ/dt > 0, òî ñîãëàñíî (3.119) ei < 0, ÷òî îçíà÷àåò íàïðàâëåíèå îáõîäà «ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè», åñëè dÔ/dt < 0, òî ei > 0, ÷òî îçíà÷àåò íàïðàâëåíèå îáõîäà «ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå». Ñîîòíîøåíèå (3.119) íàçûâàþò çàêîíîì Ôàðàäåÿ äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ïóñòü êîíòóð ñîñòîèò èç N âèòêîâ, íàïðèìåð, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîëåíîèä. Ïîñêîëüêó âèòêè ñîåäèíÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî, èíäóöèðóåìàÿ â êîíòóðå ÝÄÑ ei áóäåò ðàâíà ñóììå ÝÄÑ, èíäóöèðóåìûõ â êàæäîì èç âèòêîâ â îòäåëüíîñòè: dF d = - å F. e i = -å dt dt 148 Âåëè÷èíó Y= åF (3.120) íàçûâàþò ïîëíûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì èëè ïîòîêîñöåïëåíèåì. Åå èçìåðÿþò â òåõ æå åäèíèöàõ, ÷òî è ìàãíèòíûé ïîòîê. Åñëè ïîòîê, ïðîíèçûâàþùèé êàæäûé èç âèòêîâ, îäèíàêîâ, òî Y = NF . (3.121) ÝÄÑ, èíäóöèðóåìàÿ â ñëîæíîì êîíòóðå, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé ei =- dY . dt (3.122) Ïðè ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ïîòîêîñöåïëåíèÿ, ðàâíîé 1 Âá/ñ, â êîíòóðå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ, ðàâíàÿ 1 Â. Òåêóùèé â êàêîì-ëèáî êîíòóðå ýëåêòðè÷åñêèé òîê ñîçäàåò ïðîíèçûâàþùèé ýòîò êîíòóð ïîëíûé ìàãíèòíûé ïîòîê Y. Èçìåíåíèÿ ñèëû òîêà ñîïðîâîæäàþòñÿ èçìåíåíèÿìè ìàãíèòíîãî ïîòîêà, âñëåäñòâèå ÷åãî â êîíòóðå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ñàìîèíäóêöèåé. Ñîãëàñíî çàêîíó Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñèëå òîêà, ñîçäàþùåãî ïîëå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òîê I â êîíòóðå è ñîçäàâàåìûé èì ïîëíûé ìàãíèòíûé ïîòîê Y ÷åðåç êîíòóð ïðîïîðöèîíàëüíû äðóã äðóãó: (3.123) Y = LI . Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè L ìåæäó ñèëîé òîêà è ïîëíûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíîñòüþ êîíòóðà. Ïðîïîðöèîíàëüíîñòü ïîòîêà Y ñèëå òîêà I èìååò ìåñòî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü m ñðåäû, êîòîðàÿ îêðóæåíà êîíòóðîì, íå çàâèñèò îò íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ H, ò. å. â îòñóòñòâèå ôåððîìàãíåòèêîâ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå Y ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé ôóíêöèåé îò I. Ïðè íåèçìåííîé ñèëå òîêà ïîëíûé ïîòîê ìîæåò èçìåíÿòüñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ôîðìû è ðàçìåðîâ êîíòóðà. Òàêèì îáðàçîì, èíäóêòèâíîñòü çàâèñèò îò ãåîìåòðèè êîíòóðà (ò. å. îò åãî ôîðìû è ðàçìåðîâ), à òàêæå îò ìàãíèòíûõ ñâîéñòâ m ñðåäû. Åñëè êîíòóð æåñòêèé è âáëèçè íåãî íåò ôåððîìàãíèòíûõ òåë, èíäóêòèâíîñòü ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. Åäèíèöåé èíäóêòèâíîñòè ñëóæèò ãåíðè (Ãí), ðàâíûé èíäóêòèâíîñòè òàêîãî ïðîâîäíèêà, ó êîòîðîãî ïðè ñèëå òîêà â íåì â 1 À âîçíèêàåò ñöåïëåííûé ñ íèì ïîëíûé ìàãíèòíûé ïîòîê â 1 Âá. 149 Îïðåäåëèì èíäóêòèâíîñòü ñîëåíîèäà. Ðàññìîòðèì ñîëåíîèä òàêîé äëèíû, ÷òîáû åãî ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü áåñêîíå÷íûì. Ïðè ïðîòåêàíèè ïî íåìó òîêà I âíóòðè ñîëåíîèäà âîçáóæäàåòñÿ îäíîðîäíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé  = m0mnI (ñì. (3.89) è (3.114)). Ïîòîê ÷åðåç êàæäûé èç âèòêîâ Ô = ÂS, à ïîëíûé ìàãíèòíûé ïîòîê, ñöåïëåííûé ñ ñîëåíîèäîì, Y = NF = nlBS = m 0 mn 2 lSI , (3.124) ãäå n — ÷èñëî âèòêîâ íà åäèíèöó äëèíû; l — äëèíà ñîëåíîèäà; S — ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Ñðàâíåíèå ôîðìóë (3.123) è (3.124) äàåò äëÿ èíäóêòèâíîñòè î÷åíü äëèííîãî ñîëåíîèäà âûðàæåíèå L = m 0 mn 2V , (3.125) ãäå V — îáúåì ñîëåíîèäà, V = lS . Èçìåíåíèÿ ñèëû òîêà â êîíòóðå ñîïðîâîæäàþòñÿ âîçíèêíîâåíèåì ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû ñàìîèíäóêöèè es, êîòîðàÿ â ñëó÷àå, åñëè èíäóêòèâíîñòü îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé (â îòñóòñòâèå ôåððîìàãíåòèêîâ), îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé dI (3.126) e s = -L . dt Çíàê ìèíóñ â ýòîé ôîðìóëå ìîæíî òàêæå îáúÿñíèòü ïðàâèëîì Ëåíöà, ñîãëàñíî êîòîðîìó èíäóêöèîííûé òîê íàïðàâëåí òàê, ÷òîáû ïðîòèâîäåéñòâîâàòü ïðè÷èíå, åãî âûçûâàþùåé.  äàííîì ñëó÷àå ïðè÷èíîé, âûçûâàþùåé es, ÿâëÿåòñÿ èçìåíåíèå ñèëû òîêà â öåïè. Ðàññìîòðèì äâà ðàñïîëîæåííûõ ðÿäîì êîíòóðà 1 è 2 (ñì. ðèñ. 3.33). Òåêóùèé â êîíòóðå 1 òîê ñèëû I1 ñîçäàåò ñâÿçàííûé ñ êîíòóðîì 2 ïîëíûé ìàãíèòíûé ïîòîê Y2 = L21 I 1 . (3.127) Ïðè èçìåíåíèÿõ òîêà I1, â êîíòóðå 2 èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ e i 2 = -L21 dI 1 dt (3.128) (ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êîíòóðû æåñòêèå è ôåððîìàãíåòèêîâ âáëèçè íèõ íåò). 150 Àíàëîãè÷íî, ïðè ïðîòåêàíèè â êîíòóðå 2 òîêà ñèëû I2 âîçíèêàåò ñöåïëåííûé ñ êîíòóðîì 1 ïîòîê Y1 = L12 I 2 . Ïðè èçìåíåíèÿõ òîêà I2, â êîíòóðå 1 èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ e i1 = -L12 dI 2 . dt Êîíòóðû 1 è 2 íàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè, à ÿâëåíèå âîçíèêíîâåíèÿ ÝÄÑ â îäíîì èç êîíòóðîâ ïðè èçìåíåíèè ñèëû òîêà â äðóãîì íàçûâàåòñÿ âçàèìíîé èíäóêöèåé. Êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè L12 è L21 íàçûâàþòñÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòüþ êîíòóðîâ. Ñîîòâåòñòâóþùèé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî â îòñóòñòâèå ôåððîìàãíåòèêîâ ýòè êîýôôèöèåíòû ðàâíû äðóã äðóãó: L12 = L21. Èçìåðÿåòñÿ âçàèìíàÿ èíäóêòèâíîñòü òàêæå â ãåíðè (Ãí).  íàñòîÿùåå âðåìÿ â òåõíèêå íàðÿäó ñ ïîñòîÿííûì òîêîì øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ è ïåðåìåííûé òîê. Âàæíîå ïðåèìóùåñòâî ïåðåìåííîãî òîêà íàä ïîñòîÿííûì ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàïðÿæåíèå ïåðåìåííîãî òîêà ìîæíî äîñòàòî÷íî ëåãêî ïîâûøàòü èëè ïîíèæàòü ïðàêòè÷åñêè áåç ïîòåðü ýíåðãèè ñ ïîìîùüþ òðàíñôîðìàòîðîâ. Òðàíñôîðìàòîðû — ýòî ïðèáîðû, ïðè ïîìîùè êîòîðûõ ïðåîáðàçóåòñÿ íàïðÿæåíèå ïåðåìåííîãî òîêà. Ïðèíöèï ðàáîòû òðàíñôîðìàòîðîâ îñíîâàí íà çàêîíå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ïðîñòåéøèé òðàíñôîðìàòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå îáìîòêè, íàâèòûå íà îäèí è òîò æå ôåððîìàãíèòíûé ñåðäå÷íèê (ðèñ. 3.35). Êîíöû ïåðâîé îáìîòêè ïîäêëþ÷àþòñÿ ê èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî òîêà ñ íàïðÿæåíèåì U1. Ýòà îáìîòêà íàçûâàåòñÿ ïåðâè÷íîé. Ê êîíöàì âòîðîé îáìîòêè, íà êîòîðûõ ñîçäàåòñÿ ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå U2, ïîäêëþ÷àåòñÿ íàãðóçêà, ïîòðåáëÿþùàÿ ýëåêòðîýíåðãèþ. Ýòà îáìîòêà íàçûâàåòñÿ âòîðè÷íîé. Åñëè U2 > U1, òðàíñôîðìàòîð íàçûâàåòñÿ ïîâûøàþùèì. Åñëè U2 < U1, òðàíñôîðìàòîð íàçûâàåòñÿ ïîíèæàþùèì. Ïðè ïîäêëþ÷åíèè ïåðâè÷íîé îáìîòêè ê ñåòè ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ ïî íåé òå÷åò ïåðåìåííûé òîê, ñîçäàþùèé â îáìîòêå ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå è ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê. Âñå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âèòêè ïåðâè÷íîé îáìîòêè, ïðîõîäÿò è ÷åðåç âèòêè âòîðè÷íîé îáìîòêè, ò. å. ïîòîê ÷åðåç îäèí âèòîê âòîðè÷íîé îáìîòêè òî÷íî òàêîé æå, êàê ïîòîê ÷åðåç îäèí âèòîê ïåðâè÷íîé îáìîòêè. Ýòî ïðîèñõîäèò 151 Ðèñ. 3.35 ïîòîìó, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå â ôåððîìàãíåòèêàõ çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ìàãíèòíîå ïîëå â âîçäóõå è âñå çàìêíóòûå ìàãíèòíûå ñèëîâûå ëèíèè ïðàêòè÷åñêè áåç ðàññåÿíèÿ èäóò âíóòðè îáùåãî äëÿ îáìîòîê ñåðäå÷íèêà. Çàìêíóòûé ôåððîìàãíèòíûé ñåðäå÷íèê, ÿâëÿÿñü «ïðîâîäíèêîì ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé», ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàìêíóòóþ «ìàãíèòíóþ öåïü» — ìàãíèòîïðîâîä, âíóòðè êîòîðîãî ïðîõîäÿò âñå ñèëîâûå ëèíèè.  ðåçóëüòàòå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê â ìàãíèòîïðîâîäå ñîçäàåò â îáåèõ îáìîòêàõ ÝÄÑ èíäóêöèè ïðîïîðöèîíàëüíóþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Êîãäà âòîðè÷íàÿ îáìîòêà íè ê ÷åìó íå ïîäêëþ÷åíà (ðåæèì õîëîñòîãî õîäà), ÝÄÑ èíäóêöèè â ïåðâè÷íîé îáìîòêå ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóåò íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ, ïîýòîìó òîê ÷åðåç ïåðâè÷íóþ îáìîòêó íåâåëèê. Íàïðÿæåíèå íà âòîðè÷íîé îáìîòêå â ðåæèìå õîëîñòîãî õîäà îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíòîì òðàíñôîðìàöèè — îòíîøåíèåì ÷èñëà âèòêîâ ïåðâè÷íîé îáìîòêè N1 ê ÷èñëó âèòêîâ âòîðè÷íîé îáìîòêè N2: K= U1 N = 1. U2 N2 (3.129) Ïðè ïîäêëþ÷åíèè âòîðè÷íîé îáìîòêè ê íàãðóçêå ïî íåé íà÷èíàåò òå÷ü òîê. Ýòîò òîê òàêæå ñîçäàåò ìàãíèòíûé ïîòîê â ìàãíèòîïðîâîäå, 152 ïðè÷åì îí íàïðàâëåí ïðîòèâîïîëîæíî ìàãíèòíîìó ïîòîêó, ñîçäàâàåìîìó ïåðâè÷íîé îáìîòêîé.  ðåçóëüòàòå â ïåðâè÷íîé îáìîòêå íàðóøàåòñÿ êîìïåíñàöèÿ ÝÄÑ èíäóêöèè è ÝÄÑ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ òîêà â ïåðâè÷íîé îáìîòêå äî òåõ ïîð, ïîêà ìàãíèòíûé ïîòîê íå äîñòèãíåò ïðàêòè÷åñêè ïðåæíåãî çíà÷åíèÿ.  ýòîì ðåæèìå îòíîøåíèå òîêîâ ïåðâè÷íîé è âòîðè÷íîé îáìîòêè ðàâíî îáðàòíîìó îòíîøåíèþ ÷èñëà âèòêîâ îáìîòîê: I1 N (3.130) = 2, I2 N1 îòíîøåíèå íàïðÿæåíèé â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè îñòàåòñÿ ïðåæíèì.  ðåçóëüòàòå ìîùíîñòü, ïîòðåáëÿåìàÿ îò èñòî÷íèêà â öåïè ïåðâè÷íîé îáìîòêè, ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïåðåäàåòñÿ âî âòîðè÷íóþ. Íàèáîëåå ÷àñòî òðàíñôîðìàòîðû ïðèìåíÿþòñÿ â ýëåêòðîñåòÿõ è â èñòî÷íèêàõ ïèòàíèÿ ðàçëè÷íûõ ïðèáîðîâ. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Ïóñòü èìååòñÿ öåïü, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 3.36. Ïðè çàìêíóòîì êëþ÷å â ñîëåíîèäå óñòàíîâèòñÿ òîê I, êîòîðûé îáóñëîâèò ìàãíèòíîå ïîëå, ñöåïëåííîå ñ âèòêàìè ñîëåíîèäà. Åñëè ðàçîìêíóòü êëþ÷, òî ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå R áóäåò íåêîòîðîå âðåìÿ òå÷ü ïîñòåïåííî óáûâàþùèé òîê, ïîääåðæèâàåìûé âîçíèêàþùåé â ñîëåíîèäå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ òîêîì çà âðåìÿ dt, dA = e s Idt = - dY Idt = -IdY. (3.131) dt Ýòà ðàáîòà èäåò íà ïðèðàùåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ñîïðîòèâëåíèÿ R, îáìîòêè ñîëåÐèñ. 3.36 íîèäà è ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ (ò. å. íà èõ íàãðåâàíèå). Ñîâåðøåíèå ðàáîòû ñîïðîâîæäàåòñÿ îñëàáëåíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïîñêîëüêó íèêàêèõ äðóãèõ èçìåíåíèé â îêðóæàþùèõ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü òåëàõ íå ïðîèñõîäèò, îñòàåòñÿ çàêëþ÷èòü, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì ýíåðãèè, çà ñ÷åò êîòîðîé è ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà (3.131). Òàêèì îáðàçîì, îáîçíà÷èâ ýíåðãèþ ñöåïëåííîãî ñ ñîëåíîèäîì ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåç W, ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî dW = -dA = IdY (3.132) (ðàáîòà dÀ ðàâíà óáûëè ýíåðãèè). 153 Åñëè èíäóêòèâíîñòü ñîëåíîèäà íå çàâèñèò îò I (L = const), òî dY = LdI è âûðàæåíèå (3.132) ïðèíèìàåò âèä dW = LIdI . (3.133) Ïðîèíòåãðèðîâàâ ýòî âûðàæåíèå â ïðåäåëàõ îò 0 äî I, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L, ïî êîòîðîìó òå÷åò òîê I: LI 2 . (3.134) W= 2 Âûðàçèì ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåç âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ñàìî ïîëå.  ñëó÷àå áåñêîíå÷íî äëèííîãî (ïðàêòè÷åñêè î÷åíü äëèííîãî) ñîëåíîèäà H = nI, L = m 0 mn 2V, îòêóäà I= H . n Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ L è I â (3.134), ïîëó÷èì: W= m 0 mH 2 V. 2 (3.135) Ìàãíèòíîå ïîëå áåñêîíå÷íî äëèííîãî ñîëåíîèäà îäíîðîäíî è îòëè÷íî îò íóëÿ òîëüêî âíóòðè ñîëåíîèäà. Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ çàêëþ÷åíà â ïðåäåëàõ ñîëåíîèäà è ðàñïðåäåëåíà ïî åãî îáúåìó ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ w, êîòîðóþ ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàçäåëèâ W íà V: w= m 0 mH 2 . 2 (3.136) Ñ ó÷åòîì (3.113) âûðàæåíèå äëÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè w ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå w= BH B2 . = 2 2m 0 m (3.137) Äàííûå ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷åíû íà ïðèìåðå îäíîðîäíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà, íî îíè ñïðàâåäëèâû è äëÿ íåîäíîðîäíîãî ïîëÿ. 154 ×òîáû íàéòè ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, çàêëþ÷åííóþ â íåêîòîðîì îáúåìå V, íóæíî âû÷èñëèòü èíòåãðàë W = ò wdV = ò V V m 0 mH 2 dV . 2 (3.138) Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà Åñëè íåïîäâèæíûé êîíòóð íàõîäèòñÿ â ïåðåìåííîì ìàãíèòíîì ïîëå, òî ñîãëàñíî îòêðûòèþ Ôàðàäåÿ â êîíòóðå âîçíèêàåò èíäóêöèîííûé òîê, êîòîðûé ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî èçìåíÿþùååñÿ âî âðåìåíè ìàãíèòíîå ïîëå âûçûâàåò â êîíòóðå ïîÿâëåíèå ñòîðîííèõ ñèë. Ýòè ñèëû íå ñâÿçàíû íè ñ õèìè÷åñêèìè, íè ñ òåïëîâûìè ïðîöåññàìè â ïðîâîäíèêå; îíè òàêæå íå ìîãóò áûòü ìàãíèòíûìè ñèëàìè, ïîñêîëüêó òàêèå ñèëû ðàáîòû íàä çàðÿäàìè íå ñîâåðøàþò. Îñòàåòñÿ çàêëþ÷èòü, ÷òî èíäóêöèîííûé òîê îáóñëîâëåí âîçíèêàþùèì â ïðîâîäíèêå ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì (ñòîðîííèõ ñèë), ïðè÷åì öèðêóëÿöèÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñòîðîííèõ ñèë äàåò ÝÄÑ èíäóêöèè: r ® e i = ò E ñò × dl. (3.139) l Äàííîå âûðàæåíèå äëÿ ÝÄÑ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ñîîòíîøåíèÿ (3.64) íà ñëó÷àé çàìêíóòîãî êîíòóðà. Ñîãëàñíî çàêîíó Ôàðàäåÿ (3.119) ìîæåì çàïèñàòü: ei =- dF d = - ò B n dS . dt dt S (3.140) Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå ÷àñòè ôîðìóë (3.139) è (3.140), ïðèäåì ê ñîîòíîøåíèþ r ñò òE l ® × dl = - d B n dS . dt òS (3.141) Ìàêñâåëë ïðåäïîëîæèë, ÷òî èçìåíÿþùååñÿ ñî âðåìåíåì ìàãíèòíîå ïîëå îáóñëîâëèâàåò ïîÿâëåíèå â ïðîñòðàíñòâå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íåçàâèñèìî îò ïðèñóòñòâèÿ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ïðîâîäÿùåãî êîíòóðà. Ïðè÷åì ýòî ïîëå ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïîðîæäàåìîãî íåïîäâèæíûìè 155 çàðÿäàìè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå ïîòåíöèàëüíî, åãî ëèíèè íàïðÿæåííîñòè íà÷èíàþòñÿ è îêàí÷èâàþòñÿ íà çàðÿäàõ. Öèðêóëÿöèÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ïî ëþáîìó çàìêíóòîìó êîíòóðó ðàâíà íóëþ (ñì. (3.10)). Öèðêóëÿöèÿ íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, îáóñëîâëåííîãî èçìåíÿþùèìñÿ ìàãíèòíûì ïîëåì, ñîãëàñíî (3.141) îòëè÷íà îò íóëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòî ïîëå, êàê è ìàãíèòíîå, ÿâëÿåòñÿ âèõðåâûì. Ëèíèè íàïðÿæåííîñòè âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàìêíóòû èëè óõîäÿò â áåñêîíå÷íîñòü. Èòàê, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ìîæåò áûòü êàê ïîòåíöèàëüíûì, òàê è âèõðåâûì.  îáùåì ñëó÷àå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñêëàäûâàåòñÿ èç ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî çàðÿäàìè, è âèõðåâîãî ïîëÿ, îáóñëîâëåííîãî èçìåíÿþùèìñÿ ñî âðåìåíåì ìàãíèòíûì ïîëåì. Èç ñîîòíîøåíèé (3.10) è (3.141) ïîëó÷àåì îáîáùåííóþ òåîðåìó î öèðêóëÿöèè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ: r ® d ò E × dl = - dt ò B dS , (3.142) n l S r ãäå E — ðåçóëüòèðóþùàÿ íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî è âèõðåâîãî ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé. Òàêèì îáðàçîì, ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñóùåñòâóåò íå òîëüêî âîêðóã çàðÿäîâ, íî è ïîðîæäàåòñÿ ïåðåìåííûì ìàãíèòíûì ïîëåì. Ðàññóæäàÿ ïîäîáíûì îáðàçîì, Ìàêñâåëë ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîðîæäàåòñÿ íå òîëüêî òîêîì, íî è ïåðåìåííûì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì. Îí «ïîïðàâèë» òåîðåìó î öèðêóëÿöèè (3.109) ñëåäóþùèì îáðàçîì: r ® ò H × dl = å I i l i + dF Dr dt . (3.143) Âåëè÷èíà F Dr = ò D n dS ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòîê âåêòîðà ýëåêòðè- r S ÷åñêîãî ñìåùåíèÿ D ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S, îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì l. Âåëè÷èíà dF Dr dt åñòü ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ýòîãî ïîòîêà, êîòîðóþ Ìàêñâåëë íàçâàë òîêîì ñìåùåíèÿ: I ñì = 156 dF Dr dt = d D n dS . dt òS (3.144) Óðàâíåíèå (3.143) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå r ® ò H × dl = å I i + I ñì . (3.145) i l Òàêèì îáðàçîì, öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî r ïîëÿ H ïî íåêîòîðîìó êîíòóðó ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òîêîâ è òîêà ñìåùåíèÿ, îõâàòûâàåìûõ êîíòóðîì. Òîê ñìåùåíèÿ — âîîáðàæàåìûé òîê. Ýòî óäîáíàÿ ìîäåëü ÿâëåíèÿ, ïîñêîëüêó ìû ïðèâûêëè ê òîìó, ÷òî ìàãíèòíûå ïîëÿ ñîçäàþòñÿ äâèæóùèìèñÿ çàðÿäàìè èëè òîêàìè. Íàì ïðîùå ñ÷èòàòü, ÷òî èñòî÷íèêîì íåêîòîðîãî äîïîëíèòåëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ íå ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, à íåêîòîðûé òîê ñìåùåíèÿ, äîïîëíèòåëüíûé ê îáû÷íûì òîêàì ïðîâîäèìîñòè. Èòàê, òåïåðü ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî â ïðèñóòñòâèå ïåðåìåííûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé òåêóò òîêè ñìåùåíèÿ, êîòîðûå ïîðîæäàþò ìàãíèòíîå ïîëå, íàðÿäó ñ òîêàìè ïðîâîäèìîñòè. Îòêðûòèå òîêà ñìåùåíèÿ ïîçâîëèëî Ìàêñâåëëó ñîçäàòü åäèíóþ òåîðèþ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ÿâëåíèé. Ýòà òåîðèÿ îáúÿñíèëà âñå èçâåñòíûå â òî âðåìÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå ôàêòû è ïðåäñêàçàëà ðÿä íîâûõ ÿâëåíèé, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðûõ ïîäòâåðäèëîñü âïîñëåäñòâèè. Îñíîâó òåîðèè îáðàçóþò ÷åòûðå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà.  ó÷åíèè îá ýëåêòðîìàãíåòèçìå ýòè óðàâíåíèÿ èãðàþò òàêóþ æå ðîëü, êàê çàêîíû Íüþòîíà â ìåõàíèêå èëè îñíîâíûå çàêîíû (íà÷àëà) â òåðìîäèíàìèêå. Ïåðâóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà îáðàçóþò óðàâíåíèÿ (3.142) è (3.102): r ® d ò E × dl = - dt ò B n dS , l S ò B dS = 0. n S r Ïåðâîå èç ýòèõ óðàâíåíèé ñâÿçûâàåò çíà÷åíèÿ E ñ èçìåíåíèÿìè âåêr òîðà B âî âðåìåíè è ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóùåñòâó, âûðàæåíèåì çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Âòîðîå óðàâíåíèå óêàçûâàåò íà îòñóòñòâèå èñòî÷íèêîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ò. å. ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ. Âòîðóþ ïàðó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà îáðàçóþò óðàâíåíèÿ (3.143) è (3.39): r ® d H ò × dl = åi I i + dt ò D n dS , l S 157 ò D dS = å q. n S Ïåðâîå óðàâíåíèå óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó òîêàìè ïðîâîäèìîñòè è ñìåùåíèÿ è ïîðîæäàåìûì èìè ìàãíèòíûì ïîëåì. Âòîðîå óðàâíåíèå r ïîêàçûâàåò, ÷òî èñòî÷íèêàìè âåêòîðà D ñëóæàò ñòîðîííèå çàðÿäû. Îòìåòèì, ÷òî â ïåðâóþ r r ïàðó óðàâíåíèé âõîäÿò òîëüêî îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîëÿ: E èrB. Âî r âòîðîé æå ïàðå ôèãóðèðóþò òîëüêî âñïîìîãàòåëüíûå âåëè÷èíû: D è H . Äëÿ îïèñàíèÿ ïîëåé â èçîòðîïíûõ r ñðåäàõ r r êr ñèñòåìå íóæíî äîáàâèòü óðàâíåíèÿ ñâÿçè ìåæäó âåêòîðàìè E è D, B è H (ñì. (3.37) è (3.113)): r r r r D = e 0 eE , B = m 0 mH . Ñóùåñòâîâàíèå âçàèìîñâÿçè ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèì è ìàãíèòíûì ïîëÿìè óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ðàçäåëüíîå ðàññìîòðåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé èìååò ëèøü îòíîñèòåëüíûé ñìûñë. Äåéñòâèòåëüíî, ÷èñòî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñîçäàåòñÿ ñèñòåìîé íåïîäâèæíûõ çàðÿäîâ. Îäíàêî åñëè çàðÿäû íåïîäâèæíû îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, òî îòíîñèòåëüíî äðóãèõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì ýòè çàðÿäû äâèæóòñÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîðîæäàþò íå òîëüêî ýëåêòðè÷åñêîå, íî è ìàãíèòíîå ïîëå. Íåïîäâèæíûé ïðîâîä ñ ïîñòîÿííûì òîêîì ñîçäàåò ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå. Îäíàêî îòíîñèòåëüíî äðóãèõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì ýòîò ïðîâîä äâèæåòñÿ. Ïîýòîìó ñîçäàâàåìîå èì ìàãíèòíîå ïîëå â ëþáîé òî÷êå áóäåò èçìåíÿòüñÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîðîæäàòü âèõðåâîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëå, êîòîðîå îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ñèñòåìû îòñ÷åòà îêàçûâàåòñÿ ÷èñòî ýëåêòðè÷åñêèì èëè ÷èñòî ìàãíèòíûì, îòíîñèòåëüíî äðóãèõ ñèñòåì îòñ÷åòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, îáðàçóþùèõ åäèíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Îäíèì èç ñàìûõ âàæíûõ âûâîäîâ, âûòåêàþùèõ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, ÿâëÿåòñÿ âûâîä î âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ìàãíèòíîãî è ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëåé, íå ñâÿçàííûõ ñ êàêèìè-òî ìàòåðèàëüíûìè èñòî÷íèêàìè-çàðÿäàìè. Ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ, ïîðîæäàÿ äðóã äðóãà, ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå. Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî âîçìóùåíèÿ íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíîé. Ðàäèîâîëíû, âèäèìûé ñâåò, èíôðàêðàñíîå, óëüòðàôèîëåòîâîå, ðåíòãåíîâñêîå èçëó÷åíèÿ, g-èçëó÷åíèå — âñå ýòè ÿâëåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé 158 ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, îòëè÷àþùèåñÿ ÷àñòîòàìè êîëåáàíèé ïîëåé è äëèíàìè âîëí. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå (ñêîðîñòü ñâåòà) c = 3 · 108 ì/ñ. Îíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåêòðè÷åñêóþ è ìàãíèòíóþ ïîñòîÿííûå (÷òî ñàìî ïî ñåáå óêàçûâàåò íà ýëåêòðîìàãíèòíóþ ïðèðîäó ñâåòà): c= 1 m 0e 0 . (3.146) 3.4. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ è âîëíû Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð Ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìîãóò âîçíèêàòü â öåïè, ñîäåðæàùåé èíäóêòèâíîñòü è åìêîñòü. Òàêàÿ öåïü íàçûâàåòñÿ êîëåáàòåëüíûì êîíòóðîì. Íà ðèñ. 3.37, à èçîáðàæåíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòàäèè êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà â èäåàëèçèðîâàííîì êîíòóðå ñ ýëåêòðè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì, ðàâíûì íóëþ. Ðèñ. 3.37 Äëÿ òîãî ÷òîáû âûçâàòü êîëåáàíèÿ, ìîæíî ïðèñîåäèíèòü îòêëþ÷åííûé îò èíäóêòèâíîñòè êîíäåíñàòîð ê èñòî÷íèêó òîêà, âñëåäñòâèå ÷åãî íà îáêëàäêàõ âîçíèêíóò ðàçíîèìåííûå çàðÿäû âåëè÷èíîé qm (ïîçèöèÿ 1 íà ðèñ. 3.37, à). Ìåæäó îáêëàäêàìè âîçíèêíåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ýíåðãèÿ 159 êîòîðîãî ðàâíà q 2 (2C ) (ñì. (3.57)). Åñëè çàòåì îòêëþ÷èòü èñòî÷íèê òîêà è çàìêíóòü êîíäåíñàòîð íà èíäóêòèâíîñòü, åìêîñòü íà÷íåò ðàçðÿæàòüñÿ è â êîíòóðå ïîòå÷åò òîê.  ðåçóëüòàòå ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ áóäåò óìåíüøàòüñÿ, çàòî âîçíèêíåò âñå âîçðàñòàþùàÿ ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, îáóñëîâëåííàÿ òîêîì, òåêóùèì ÷åðåç èíäóêòèâíîñòü. Ýòà ýíåðãèÿ ðàâíà LI 2 2 (ñì. (3.134)). Òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå öåïè ðàâíî íóëþ, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, ñêëàäûâàþùàÿñÿ èç ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íå ðàñõîäóåòñÿ íà íàãðåâàíèå è áóäåò îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííîé. Ïîýòîìó â ìîìåíò, êîãäà íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå, à ñëåäîâàòåëüíî, è ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ îáðàùàþòñÿ â íóëü, ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à çíà÷èò, è òîê äîñòèãàþò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ (ïîçèöèÿ 2; íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà òîê òå÷åò çà ñ÷åò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè).  äàëüíåéøåì òîê óìåíüøàåòñÿ è, êîãäà çàðÿäû íà îáêëàäêàõ äîñòèãàþò ïåðâîíà÷àëüíîé âåëè÷èíû qm, ñèëà òîêà ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ (ïîçèöèÿ 3). Çàòåì òå æå ïðîöåññû ïðîòåêàþò â îáðàòíîì ïîðÿäêå (ïîçèöèè 4 è 5), ïîñëå ÷åãî ñèñòåìà ïðèõîäèò â ïåðâîíà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå (ïîçèöèÿ 5) è âåñü öèêë ïîâòîðÿåòñÿ ñíîâà è ñíîâà.  õîäå îïèñàííîãî ïðîöåññà ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþòñÿ (ò. å. êîëåáëþòñÿ) çàðÿä q íà îáêëàäêàõ, íàïðÿæåíèå U íà êîíäåíñàòîðå è ñèëà òîêà I, òåêóùåãî ÷åðåç èíäóêòèâíîñòü. Êîëåáàíèÿ ñîïðîâîæäàþòñÿ âçàèìíûìè ïðåâðàùåíèÿìè ýíåðãèé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé. Íà ðèñ. 3.37, á êîëåáàíèÿì â êîíòóðå ñîïîñòàâëåíû êîëåáàíèÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà. Ñîîáùåíèþ çàðÿäîâ îáêëàäêàì êîíäåíñàòîðà ñîîòâåòñòâóåò âûâåäåíèå ìàÿòíèêà âíåøíåé ñèëîé èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è ñîîáùåíèå åìó ïåðâîíà÷àëüíîãî îòêëîíåíèÿ xm. Ïðè ýòîì âîçíèêàåò ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîé äåôîðìàöèè ïðóæèíû, ðàâíàÿ kx m2 2 (ñì. (1.94)). Ïîçèöèÿ 2 ñîîòâåòñòâóåò ïðîõîæäåíèþ ìàÿòíèêà ÷åðåç ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ.  ýòîò ìîìåíò êâàçèóïðóãàÿ ñèëà ðàâíà íóëþ è ìàÿòíèê ïðîäîëæàåò äâèãàòüñÿ ïî èíåðöèè. Ê ýòîìó âðåìåíè ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà ïîëíîñòüþ ïåðåõîäèò â êèíåòè÷åñêóþ mv 2 2. Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñëåäóåò, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ àíàëîãè÷íà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè óïðóãîé äåôîðìàöèè, à ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ àíàëîãè÷íà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Èíäóêòèâíîñòü L èãðàåò ðîëü ìàññû, à âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ åìêîñòè (1/Ñ) — ðîëü êîýôôèöèåíòà æåñòêîñòè k. Íàêîíåö, çàðÿäó q ñîîòâåòñòâóåò ñìåùåíèå ìàÿòíèêà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ õ, à ñèëå òîêà 160 I — ñêîðîñòü v. Êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, àíàëîãèÿ ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèìè è ìåõàíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà îïèñûâàþùèå èõ ìàòåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Íàéäåì óðàâíåíèå êîëåáàíèé â êîíòóðå áåç ñîïðîòèâëåíèÿ. Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûì òîê, çàðÿæàþùèé êîíäåíñàòîð (ðèñ. 3.38). Òîãäà I= dq . dt (3.147) Ïîñêîëüêó ñîïðîòèâëåíèå R êîíòóðà ðàâíî íóëþ, ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäàõ íåò è íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå j1 - j2 = q/Ñ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíî ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè es = -LdI/dt. Ñëåäîâàòåëüíî, q dI = -L . dt C Ðèñ. 3.38 (3.148) Äëÿ èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.38 ñòàäèè ïðîöåññà çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà j1 - j2 ïîëîæèòåëüíî, à dI/dt îòðèöàòåëüíà (òîê óìåíüøàåòñÿ). Ïîýòîìó ñïðàâà â óðàâíåíèè (3.148) ñòîèò çíàê «ìèíóñ». dI d 2 q Ñäåëàâ çàìåíó = 2 â óðàâíåíèè (3.148) è ïðîèçâåäÿ ïðîñòûå dt dt ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïðèäåì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ d2q 1 + q = 0. 2 LC dt (3.149) Ïîëó÷èëîñü óðàâíåíèå âèäà (1.92) îòíîñèòåëüíî çàðÿäà êîíäåíñàòîðà q. Ñëåäîâàòåëüíî, çàðÿä íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ (êîëåáëåòñÿ) ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó: q = q m cos(w 0 t + a ) (3.150) ñ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé w0 = 1 . (3.151) LC Ýòà ÷àñòîòà íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé êîíòóðà. Äëÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà Òîìñîíà: 161 T = 2p LC . (3.152) Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå îòëè÷àåòñÿ îò çàðÿäà ìíîæèòåëåì 1/Ñ: U= qm cos(w 0 t + a) = U m cos(w 0 t + a). C (3.153) Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ôóíêöèþ (3.150) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ñèëû òîêà: I = -q m w 0 sin(w 0 t + a) = I m cos(w 0 t + a + p 2). (3.154) Òàêèì îáðàçîì, ñèëà òîêà îïåðåæàåò ïî ôàçå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå íà p/2. Èç ôîðìóë (3.153) è (3.154) ñëåäóþò âûðàæåíèÿ äëÿ àìïëèòóä íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå è ñèëû òîêà: Um = qm , I m = qm w 0 . C Âçÿâ îòíîøåíèå ýòèõ àìïëèòóä è çàìåíèâ w0 ïî ôîðìóëå (3.151), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå Um L . (3.155) = Im C Ê ýòîé ôîðìóëå ìîæíî ïðèéòè òàêæå èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ CU m2 2 ðàâíî íàèáîëüøåìó çíà÷åíèþ ýíåðãèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ LI m2 2. Ñâîáîäíûå çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ Âñÿêèé ðåàëüíûé êîíòóð (ðèñ. 3.39) îáëàäàåò ñîïðîòèâëåíèåì. Ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â êîíòóðå, ïîñòåïåííî ðàñõîäóåòñÿ â ýòîì ñîïðîòèâëåíèè íà íàãðåâàíèå, âñëåäñòâèå ÷åãî ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ çàòóõàþò.  ýòîì ñëó÷àå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíà ñóììå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå è íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèè, ðàâíîãî IR: q dI + IR = -L . dt C (3.156) R 2b = , L (3.157) Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå 162 ñ ó÷åòîì (3.151) óðàâíåíèå (3.156) çàïèøåì â âèäå d2q dq + 2b + w 20 q = 0. 2 dt dt (3.158) Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ óðàâíåíèå (3.158) òîæäåñòâåííî ñ óðàâíåíèåì (1.126). Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ôîðìóë (3.157) è (1.125) ñëåäóåò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå R èãðàåò ðîëü êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû r.  ñëó÷àå, êîãäà b < w0, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èìååò âèä q = q 0 e -bt cos(w ç t + a). (3.159) Çäåñü íà÷àëüíûå àìïëèòóäà q0 è ôàçà a îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé; öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé Ðèñ. 3.39 w ç = w 20 - b 2 = 1 LC - R 2 4L2 . (3.160) Ãðàôèê ôóíêöèè (3.159) èçîáðàæåí íà ðèñ. 3.40. Ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ (1.134) l = bT = Ðèñ. 3.40 R 2p pR . = 2L w ç Lw ç (3.161) Äîáðîòíîñòü êîíòóðà (1.136) Q= p Lw ç . = l R (3.162) Âûíóæäåííûå ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ ×òîáû âûçâàòü âûíóæäåííûå ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ, íóæíî, ðàçîðâàâ êîíòóð, ïîäàòü íà îáðàçîâàâøèåñÿ êîíòàêòû ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå (ðèñ. 3.41): (3.163) U = U 0 cos wt. Ýòî íàïðÿæåíèå íóæíî äîáàâèòü ê ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè.  ðåçóëüòàòå ñîîòíîøåíèå (3.156) ïðèìåò âèä 163 q dI + IR = -L + U 0 cos wt dt C èëè q dI + IR + L = U 0 cos wt. dt C (3.164) Îòíîøåíèå q C åñòü íàïðÿæåíèå UC íà êîíäåíñàòîðå, ïðîèçâåäåíèå IR ðàâíî íàïðÿæåíèþ UR íà ñîïðîòèâëåíèè, âûðàæåíèå LdI dt îïðåäåëÿåò íàïðÿæåíèå UL íà èíäóêòèâíîñòè. Ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî Ðèñ. 3.41 U C + U R + U L = U 0 cos wt. (3.165) Òàêèì îáðàçîì, ñóììà íàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ýëåìåíòàõ êîíòóðà ðàâíà â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè íàïðÿæåíèþ, ïðèëîæåííîìó èçâíå (ñì. ðèñ. 3.41). Ñ ó÷åòîì ââåäåííûõ ðàíåå îáîçíà÷åíèé (3.151) è (3.157) óðàâíåíèå (3.164) ïåðåïèøåì â âèäå d2q dq U + 2b + w 20 q = 0 cos wt. 2 L t d dt (3.166) Ýòî íåîäíîðîäíîå (ïðàâàÿ ÷àñòü îòëè÷íà îò íóëÿ) äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Êàê èçâåñòíî èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (3.166) ðàâíî ñóììå îáùåãî ðåøåíèÿ (3.159) îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (3.158), ñîîòâåòñòâóþùåãî äàííîìó íåîäíîðîäíîìó, è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ äàííîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (êîòîðîå ìîæíî íàéòè ïî âèäó ïðàâîé ÷àñòè): q = q m sin(wt - j ) = q m cos(wt - j - p 2). (3.167) Àìïëèòóäó çàðÿäà qm è îòñòàâàíèå ïî ôàçå j ìîæíî íàéòè, íåïîñðåäñòâåííî ïîäñòàâëÿÿ ÷àñòíîå ðåøåíèå (3.167) â óðàâíåíèå (3.166), îòêóäà qm = 164 U0 L (w 2 0 -w 2 ) 2 = + 4b w 2 2 U0 w R + (wL - 1 wC ) 2 2 , (3.168) tgj = w 2 - w 20 wL - 1 wC . = 2bw R (3.169) Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.166), îïèñûâàþùåå èçìåíåíèå çàðÿäà êîíäåíñàòîðà ïðè âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ: q = q 0 e -bt cos(w ç t + a) + q m cos(wt - j - p 2). Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ýòîì óðàâíåíèè èãðàåò çàìåòíóþ ðîëü òîëüêî â íà÷àëüíîé ñòàäèè ïðîöåññà, ïðè òàê íàçûâàåìîì óñòàíîâëåíèè êîëåáàíèé. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè èç-çà ýêñïîíåíöèàëüíîãî ìíîæèòåëÿ e–bt ðîëü ýòîãî ñëàãàåìîãî óìåíüøàåòñÿ, è ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ñîõðàíÿÿ ëèøü âòîðîå ñëàãàåìîå. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ (3.167) îïèñûâàåò óñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé, ðàâíîé ÷àñòîòå ïîäàâàåìîãî íàïðÿæåíèÿ. Ñèëà òîêà ïðè óñòàíîâèâøèõñÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèÿõ â êîíòóðå ìåíÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó çàêîíó: I= dq = I 0 cos(wt - j), dt (3.170) ãäå àìïëèòóäà òîêà I 0 = qm w = U0 R 2 + (wL - 1 wC ) 2 . (3.171) Òîê îòñòàåò îò âíåøíåãî íàïðÿæåíèÿ ïî ôàçå íà óãîë j, îïðåäåëÿåìûé ñîîòíîøåíèåì (3.169). Óñòàíîâèâøèåñÿ âûíóæäåííûå ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîòåêàíèå â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà, îáëàäàþùåé åìêîñòüþ, èíäóêòèâíîñòüþ è ñîïðîòèâëåíèåì. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ àìïëèòóäû ñèëû òîêà (3.171) ìîæíî ôîðìàëüíî òîëêîâàòü êàê çàêîí Îìà äëÿ àìïëèòóäíûõ çíà÷åíèé òîêà è âíåøíåãî íàïðÿæåíèÿ. Ñòîÿùóþ â çíàìåíàòåëå ýòîãî âûðàæåíèÿ âåëè÷èíó, èìåþùóþ ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ, îáîçíà÷àþò áóêâîé Z è íàçûâàþò ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè ïåðåìåííîãî òîêà: I0 = U0 , Z (3.172) 165 Z = R 2 + (wL - 1 wC ) . 2 (3.173) Âåëè÷èíó, ñòîÿùóþ â êðóãëûõ ñêîáêàõ ýòîãî âûðàæåíèÿ, îáîçíà÷àþò X è íàçûâàþò ðåàêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì: X = wL - 1 wC . (3.174) Ïðè ýòîì âåëè÷èíó wL íàçûâàþò èíäóêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, à âåëè÷èíó 1/wC — åìêîñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Èõ îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî XL è XC. Ñîïðîòèâëåíèå R â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè. Òåðìèí «àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå» èñïîëüçóåòñÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî èìåííî íà ýòîì ñîïðîòèâëåíèè ðàññåèâàåòñÿ ýíåðãèÿ â âèäå òåïëà. Èòàê, XL = wL, XC = 1/wC, X = XL – XC, Z = R 2 + X 2 . (3.175) Íàéäåì íàïðÿæåíèÿ íà îòäåëüíûõ ýëåìåíòàõ êîíòóðà: UC = q qm = cos(wt - j - p 2) = U Cm cos(wt - j - p 2), (3.176) C C U R = IR = I 0 R cos(wt - j) = U Rm cos(wt - j), UL = L Ðèñ. 3.42 166 (3.177) dI = -LI 0 w sin(wt - j) = U Lm cos(wt - j + p 2). (3.178) dt Èç ôîðìóë (3.176)–(3.178) âèäíî, ÷òî UR íàõîäèòñÿ â ôàçå ñ òîêîì I (3.170), UC îòñòàåò ïî ôàçå îò I íà p/2, à UL îïåðåæàåò I íà p/2. Âñå ýòî ìîæíî íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ âåêòîðíîé äèàãðàììû (ñì. ðàçä. 1.3), èçîáðàçèâ àìïëèòóäû íàïðÿæåíèé è èõ âåêòîðíóþ ñóììó, ðàâíóþ ñîãëàñíî (3.165) âåêòîðó âíåøíåãî íàïðÿæåíèÿ (ðèñ. 3.42). Ðåçîíàíñíóþ ÷àñòîòó äëÿ çàðÿäà q è íàïðÿæåíèÿ UC íà êîíäåíñàòîðå ìîæíî íàéòè àíàëîãè÷íî ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå (1.142) äëÿ ñìåùåíèÿ ïðè ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ, èññëåäîâàâ ôóíêöèþ (3.168) íà ìàêñèìóì: w ðåçq = w ðåçU C = w 20 - 2b 2 = R2 1 - 2 £w0. LC 2L (3.179) Ðåçîíàíñíûå êðèâûå äëÿ UC èçîáðàæåíû íà ðèñ. 3.43, à (ðåçîíàíñíûå êðèâûå äëÿ q èìåþò òî÷íî òàêîé æå âèä). Ðåçîíàíñíûå êðèâûå äëÿ ñèëû òîêà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 3.43, á. Àìïëèòóäà ñèëû òîêà (3.171) èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðè X = Lw - 1 wC = 0, îòêóäà w ðåçI = 1 LC = w 0 . (3.180) Ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ íà èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè èìåþò ïðè ðåçîíàíñå òîêà îäèíàêîâûå àìïëèòóäû è ïðîòèâîïîëîæíûå ôàçû, òàê ÷òî èõ ñóììà îáðàùàåòñÿ â íóëü, à íàïðÿæåíèå íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì ÝÄÑ èñòî÷íèêà ýíåðãèè. Ðèñ. 3.43 Íà îïèñàííîì ÿâëåíèè îñíîâàíû âñå ðàäèîïðèåìíûå óñòðîéñòâà, íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ñ èçìåíÿåìîé ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé. Ìîùíîñòü â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ìîùíîñòè, âûäåëÿåìîé â öåïè, ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ (3.163) è ñèëû òîêà (3.170): P ( t ) = U ( t )I ( t ) = U 0 cos wtI 0 cos(wt - j), ãäå j îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (3.169): 167 tgj = wL - 1 wC X = , R R îòêóäà ìîæíî ïîëó÷èòü cosj = R . Z (3.181) Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé cos a cos b = 1 1 cos(a - b) + cos(a + b), 2 2 âûðàæåíèþ äëÿ ìãíîâåííîé ìîùíîñòè ìîæíî ïðèäàòü âèä 1 1 P(t) = U 0 I 0 cos j + U 0 I 0 cos(2wt - j). 2 2 Ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå P(t), êîòîðîå ìû ïðîñòî îáîçíà÷èì P. Òàê êàê ñðåäíåå çíà÷åíèå cos (2wt – j) ðàâíî íóëþ, 1 (3.182) P = U 0 I 0 cos j. 2 Åñëè òîê â öåïè íå ñîâåðøàåò ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû, ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü âûäåëÿåòñÿ â àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè â âèäå òåïëà. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå cosj (3.181) â (3.182) ñ ó÷åòîì (3.172), ïîëó÷èì P= RI 02 . 2 (3.183) Òàêóþ æå ìîùíîñòü ðàçâèâàåò ïîñòîÿííûé òîê, ñèëà êîòîðîãî I ÝÔ = I0 . (3.184) 2 Âåëè÷èíà IÝÔ íàçûâàåòñÿ äåéñòâóþùèì (ýôôåêòèâíûì) çíà÷åíèåì ñèëû òîêà. Àíàëîãè÷íî, âåëè÷èíà U ÝÔ = U0 (3.185) 2 íàçûâàåòñÿ äåéñòâóþùèì (ýôôåêòèâíûì) çíà÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ. Äåéñòâóþùèì èëè ýôôåêòèâíûì çíà÷åíèåì ïåðåìåííîãî òîêà íàçûâàåòñÿ òàêîå çíà÷åíèå ïîñòîÿííîãî òîêà, ïðè êîòîðîì íà àêòèâíîì 168 ñîïðîòèâëåíèè âûäåëÿåòñÿ çà ïåðèîä òàêîå æå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êàê è ïðè ïåðåìåííîì òîêå. Àíàëîãè÷íî è äëÿ äåéñòâóþùåãî (ýôôåêòèâíîãî) çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ. Íàïðèìåð, ñòàíäàðòíîå íàïðÿæåíèå â ñåòè 220  — ýòî ýôôåêòèâíîå íàïðÿæåíèå. Ïî ôîðìóëå (3.185) ëåãêî ïîñ÷èòàòü, ÷òî àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå áóäåò ðàâíî 311 Â. Ñ èñïîëüçîâàíèåì äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ôîðìóëå (3.182) äëÿ ñðåäíåé ìîùíîñòè ìîæíî ïðèäàòü âèä P = U ÝÔ I ÝÔ cos j. (3.186)  âûðàæåíèå äëÿ ìîùíîñòè âõîäèò ìíîæèòåëü cosj (3.181), êîòîðûé íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ìîùíîñòè.  òåõíèêå ñòðåìÿòñÿ ñäåëàòü cosj êàê ìîæíî áîëüøå. Ïðè ìàëîì cosj äëÿ âûäåëåíèÿ â öåïè íåîáõîäèìîé ìîùíîñòè íóæíî ïðîïóñêàòü òîê áîëüøåé ñèëû. Ïðè ýòîì âîçðàñòàþò ïîòåðè â ïîäâîäÿùèõ ïðîâîäàõ, è ïðèõîäèòñÿ óâåëè÷èâàòü èõ ñå÷åíèå. Íà ïðàêòèêå óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðåäåëüíî äîïóñòèìîå çíà÷åíèå cosj äëÿ ïðåäïðèÿòèÿ, ïðè äîñòèæåíèè êîòîðîãî âîçìîæíî îòêëþ÷åíèå åãî îò âíåøíåé ñåòè (íàïðèìåð, ïðè cosj ~ 0,85). Äëÿ ïîâûøåíèÿ cosj íåîáõîäèìî, êàê âèäíî èç âåêòîðíîé äèàãðàììû (ñì. ðèñ. 3.42), óðàâíÿòü àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè è èíäóêòèâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Ýòî ìîæåò ïîòðåáîâàòü çíà÷èòåëüíûõ êàïèòàëüíûõ âëîæåíèé íà ïåðåîáîðóäîâàíèå ñòàíî÷íîãî ïàðêà íà ïðåäïðèÿòèè, èçìåíåíèå òåõíîëîãèè. Áûñòðî ïîâûñèòü cos j ìîæíî, óâåëè÷èâàÿ (ñì. (3.181)) àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå, ïîäêëþ÷àÿ íàãðåâàòåëüíûå ýëåìåíòû è îñâåòèòåëüíîå îáîðóäîâàíèå. Âîò ïî÷åìó èíîãäà ìîæíî íàáëþäàòü êàðòèíó âêëþ÷åíèÿ îñâåùåíèÿ íà òåððèòîðèè ïðåäïðèÿòèé â äíåâíîå âðåìÿ â óñëîâèÿõ äîñòàòî÷íîé âèäèìîñòè. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû Ìû çíàåì, ÷òî ïåðåìåííûå ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ âçàèìíî ïîðîæäàþò äðóã äðóãà: ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå ïîðîæäàåò ýëåêòðè÷åñêîå (ñì. óðàâíåíèå (3.142)), ïåðåìåííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïîðîæäàåò ìàãíèòíîå (ñì. óðàâíåíèå (3.143)). Òàêèì îáðàçîì, åñëè âîçáóäèòü ñ ïîìîùüþ êîëåáëþùèõñÿ çàðÿäîâ ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, òî â îêðóæàþùåì çàðÿäû ïðîñòðàíñòâå âîçíèêàåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âçàèìíûõ ïðåâðàùåíèé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå. Ýòîò ïðîöåññ ïåðèîäè÷åñêèé âî âðåìåíè è â ïðîñòðàíñòâå è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âîëíó. 169 Èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ âåêòîðîâ íàïðÿæåír r íîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî E è ìàãíèòíîãî H ïîëåé òàê íàçûâàåìûå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ (ñâÿçàííûå äðóã ñ äðóãîì), êîòîðûå â îäíîìåðíîì ñëó÷àå èìåþò âèä r r 2 é ¶ 2E E ¶ ê , = ee 0 mm 0 ê ¶x 2 ¶t 2 ê (3.187) r r 2 ê ¶ 2H H ¶ ê . = ee 0 mm 0 2 ¶t 2 ëê ¶x Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âîëíó, ïðè÷åì êîðåíü êâàäðàòíûé èç âåëè÷èíû, îáðàòíîé êîýôôèöèåíòó ïðè ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè, äàåò ôàçîâóþ ñêîðîñòü ýòîé âîëíû: c 1 , (3.188) v= = ee 0 mm 0 em ãäå c = 1 e 0 m 0 » 3 × 10 8 ì/ñ — ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âà- êóóìå. Ïîýòîìó Ìàêñâåëë åùå çàäîëãî äî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïîäòâåðæäåíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí âûñêàçàë ãèïîòåçó, ÷òî ñâåò — ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Âïåðâûå ýêñïåðèìåíòàëüíî äîêàçàë ñóùåñòâîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí Ã. Ãåðö â 1888 ã., ñïóñòÿ 9 ëåò ïîñëå ñìåðòè Ìàêñâåëëà. Ïðîñòåéøèìè ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé (3.187) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè (óðàâíåíèÿ ïëîñêîé âîëíû): r r éE = E m cos(wt - kx + a), ê (3.189) r êr êëH = H m cos(wt - kx + a), ãäå öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà âîëíû w = 2pn, âîëíîâîå ÷èñëî k = w v = 2 p l, l — äëèíà âîëíû. Øêàëà ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ãäå ïðåäñòàâëåíî (óïðîùåííî) óñëîâíîå ðàçáèåíèå ïî äëèíàì âîëí íà äèàïàçîíû ðàäèîâîëí, ñâåòîâûõ âîëí, ðåíòãåíîâñêîãî è ãàììà-èçëó÷åíèÿ, èìååò ñëåäóþùèé âèä: 170 Ðàäèîâîëíû Ñâåòîâûå âîëíû R-èçëó÷åíèå g-èçëó÷åíèå 10–3–10–4 ì 10–4–10–9 ì 10–9–6 · 10–12 ì < 6 · 10–12 ì r r Êîëåáàíèÿ âåêòîðîâ E è H ïðîèñõîäÿò ñ îäèíàêîâîé ôàçîé, à àìïëèòóäû ýòèõ âåêòîðîâ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì E m ee 0 = H m mm 0 , (3.190) ò. å. ïî îäíîìó âåêòîðó îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ äðóãîé. Íà ðèñ. 3.44 ïðåäñòàâëåíî ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèÿìè r r (3.189). Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû — ïîïåðå÷íûå âîëíû, âåêòîðû E è H ïîëÿ âîëíû ëåæàò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ r râîëíû. Êðîìå òîãî, âåêòîðû E è H ïîëÿ âîëíû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, òàê ÷òî r âåêòîð r r ñêîðîñòè âîëíû v è âåêòîðû E è H îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó.  ôèêñèðîâàííîé r ròî÷êå ïðîñòðàíÐèñ. 3.44 ñòâà âåêòîðû E è H èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó. Îíè îäíîâðåìåííî óâåëè÷èâàþòñÿ îò íóëÿ,r çàòåì ÷åðåç 1/4 ïåðèîäà r äîñòèãàþò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, ïðè÷åì åñëè E íàïðàâëåí ââåðõ, òî H íàïðàâëåí âïðàâî (ñìîòðèì âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû). Åùå ÷åðåç 1/4 ïåðèîäà îáà âåêòîðà îäíîâðåìåííî îáðàùàþòñÿ â íóëü.r Çàòåì îïÿòü äîñòèãàþò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, íî íà ýòîò ðàç âåêòîð E íàr ïðàâëåí âíèç, à H — âëåâî. È, íàêîíåö, ïî çàâåðøåíèè ïåðèîäà êîëåáàr r íèÿ âåêòîðû ñíîâà îáðàùàþòñÿ â íóëü. Òàêèå èçìåíåíèÿ âåêòîðîâ E è H ïðîèñõîäÿò âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, íî ñî ñäâèãîì ïî ôàçå, îïðåäåëÿåìûì ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè, îòñ÷èòàííûìè âäîëü îñè x. Ðàñïðîñòðàíåíèå âñÿêîé âîëíû ñâÿçàíî ñ ïåðåíîñîì ýíåðãèè. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû òàêæå ïåðåíîñÿò ýíåðãèþ. Ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíåðãèè r ìîæíî ïîëó÷èòü, óìíîæèâ ïëîòíîñòü ýíåðãèè w íà ñêîðîñòü v (ñì. ôîðìóëó (1.156)).  ñëó÷àå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà r r ýíåðãèè ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü áóêâîé S . Ñëåäîâàòåëüíî, ìîäóëü âåêòîðà S S = w v. (3.191) Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñëàãàåòñÿ èç ïëîòíîñòåé ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî (3.58) è ìàãíèòíîãî (3.136) ïîëåé: w = w Er + w Hr = m mH 2 e 0 eE 2 . + 0 2 2 (3.192) 171 r r  âàêóóìå è â íåïðîâîäÿùåé ñðåäå âåêòîðû E è H èçìåíÿþòñÿ â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà â îäèíàêîâîé ôàçå. Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå (3.191) ìåæäó àìïëèòóäàìè íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé ñïðàâåäëèâî è äëÿ èõ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îäèíàêîâà: w Er = w Hr . Ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî w = 2w Er = e 0 eE 2 . Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî E ee 0 = H mm 0 , âûðàæåíèþ äëÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé âèä: w = e 0 em 0 m EH = EH , v à äëÿ ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè: S = wv = EH . r r Âåêòîðû E è H âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû è îáðàçóþò ñ íàïðàâëåíèåì ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû r r ïðàâîâèíòîâóþ ñèñòåìó (ðèñ. 3.45). Ïîýòîìó íàïðàâëåíèå âåêòîðà E ´ H ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïåðåíîñà ýíåðãèè, à ìîäóëü ýòîãî âåêòîðà ðàâåí ÅÍ. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè ìîæíî r rïðåäñòàâèòü êàê âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå E è H : r r r r (3.193) S = wv = E ´ H . r Âåêòîð S íàçûâàåòñÿr âåêòîðîì Ïîéíòèír ãà. Ïîñêîëüêó âåêòîðû E è H èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó êîñèíóñà, ìîäóëü âåêòîðà Ðèñ. 3.45 Ïîéíòèíãà â êàæäîé òî÷êå èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó êâàäðàòà êîñèíóñà. Ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà êîñèíóñà çà ïåðèîä ðàâíî 1/2. Ïîýòîìó ñðåäíåå çíà÷åíèå ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè — èíòåíñèâíîñòè âîëíû I — áóäåò ñëåäóþùåå: I = EmHm/2. (3.194) Ïîãëîùàÿñü â êàêîì-ëèáî òåëå, ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà ñîîáùàåò ýòîìó òåëó íåêîòîðûé èìïóëüñ, ò. å. îêàçûâàåò íà íåãî äàâëåíèå. Ñîîòâåòñòâóþùèé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñëó÷àå èäåàëüíî ïîãëîùàþùåé ïîâåðõíîñòè äàâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ðàâíî åå îáúåìíîé 172 ïëîòíîñòè ýíåðãèè: p = w. Ýòà âåëè÷èíà ïóëüñèðóåò ñ î÷åíü áîëüøîé ÷àñòîòîé. Ïîýòîìó ïðàêòè÷åñêè ìîæåò áûòü èçìåðåíî åå ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, p= w . (3.195) Äëÿ èäåàëüíî îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè äàâëåíèå áóäåò â äâà ðàçà áîëüøå. Ñâåòîâîå äàâëåíèå áûëî èçìåðåíî Ï. Í. Ëåáåäåâûì. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé îêàçàëèñü â ïîëíîì ñîãëàñèè ñ òåîðèåé Ìàêñâåëëà. 3.5. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ 1. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä è åãî ñâîéñòâà. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà. Çàêîí Êóëîíà. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë. 2. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ. Ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé. Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè ïîëåé. Ïîëå ñèñòåìû çàðÿäîâ. 3. Ýíåðãåòè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ — ïîòåíöèàë. Ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà è ñèñòåìû çàðÿäîâ. Ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ïîòåíöèàëîì. 4. Ðàáîòà ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäîâ. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè. Ïîòåíöèàëüíûé õàðàêòåð ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. 5. Ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Òåîðåìà Ãàóññà. Âû÷èñëåíèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ çàðÿæåííûõ ñôåðû è øàðà ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãàóññà. 6. Òåîðåìà Ãàóññà. Âû÷èñëåíèå ïîëÿ çàðÿæåííîé ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ãàóññà. 7. Ïîëÿðèçàöèÿ äèýëåêòðèêîâ. Âåêòîð ïîëÿðèçîâàííîñòè. Ýëåêòðè÷åñêèé äèïîëü. Ýëåêòðè÷åñêèé ìîìåíò äèïîëÿ. Ïîëÿðíûå è íåïîëÿðíûå ìîëåêóëû. 8. Ñâîáîäíûå è ñâÿçàííûå çàðÿäû. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå â äèýëåêòðèêàõ. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è âîñïðèèì÷èâîñòü. Òåîðåìà Ãàóññà äëÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ â äèýëåêòðèêàõ. Âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ. 173 9. Ïðîâîäíèêè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ çàùèòà. Ýëåêòðîåìêîñòü ïðîâîäíèêîâ. Êîíäåíñàòîðû. Ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðîâ. 10. Ýíåðãèÿ çàðÿæåííîãî ïðîâîäíèêà. Ýíåðãèÿ çàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðà. Ýíåðãèÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè. 11. Õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà: ñèëà òîêà, âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà. Çàêîíû Îìà è Äæîóëÿ — Ëåíöà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå. 12. Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè: ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà, íàïðÿæåíèå, ñîïðîòèâëåíèå. 13. Çàêîíû Îìà äëÿ ó÷àñòêîâ öåïè. Ñîåäèíåíèå ñîïðîòèâëåíèé. 14. Ðàáîòà, ìîùíîñòü è òåïëîâîå äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî òîêà. Çàêîí Äæîóëÿ — Ëåíöà. 15. Ðàçâåòâëåííûå öåïè. Ïðàâèëà Êèðõãîôà. 16. Ìàãíèòíîå ïîëå è åãî õàðàêòåðèñòèêè: ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ è íàïðÿæåííîñòü. Çàêîí Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà. 17. Ïðèìåíåíèå çàêîíà Áèî — Ñàâàðà — Ëàïëàñà ê ðàñ÷åòó ìàãíèòíûõ ïîëåé òîêîâ. Ïîëå ïðÿìîëèíåéíîãî è êðóãîâîãî ïðîâîäíèêîâ ñ òîêîì. 18. Äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïðîâîäíèê ñ òîêîì. Ñèëà Àìïåðà. Âçàèìîäåéñòâèå ïàðàëëåëüíûõ òîêîâ. Åäèíèöà ñèëû òîêà â ÑÈ — àìïåð. 19. Äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà äâèæóùèéñÿ çàðÿä. Ñèëà Ëîðåíöà. 20. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âèõðåâîé õàðàêòåð ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Çàêîí ïîëíîãî òîêà. Ìàãíèòíîå ïîëå ñîëåíîèäà. 21. Ìàãíèòíûé ïîòîê. Ðàáîòà ïåðåìåùåíèÿ ïðîâîäíèêà è êîíòóðà ñ òîêîì â ìàãíèòíîì ïîëå. 22. ßâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. ÝÄÑ èíäóêöèè. Çàêîí Ôàðàäåÿ. Ïðàâèëî Ëåíöà. Ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. 23. ßâëåíèå ñàìîèíäóêöèè, ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, èíäóêòèâíîñòü êîíòóðà. 24. Âçàèìíàÿ èíäóêöèÿ. ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè. Òðàíñôîðìàòîðû. 174 25. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà. Ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. 26. Íàìàãíè÷èâàíèå âåùåñòâà. Âåêòîð íàìàãíè÷åííîñòè. Ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü è ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü. 27. Äèà-, ïàðà- è ôåððîìàãíåòèêè. Çàâèñèìîñòü íàìàãíè÷èâàíèÿ ôåððîìàãíåòèêîâ îò íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ è òåìïåðàòóðû (ãèñòåðåçèñ, òî÷êà Êþðè). 28. Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð. Àíàëîãèÿ ìåæäó ìåõàíè÷åñêèìè è ýëåêòðîìàãíèòíûìè êîëåáàíèÿìè. Ïðèìåíåíèå êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà. 29. Ïåðåìåííûé òîê è åãî ïîëó÷åíèå. Àêòèâíîå è ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè. Ìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà. 30. Òîêè ñìåùåíèÿ. Âèõðåâîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Ñèñòåìà óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå. 31. Óðàâíåíèå ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â ñðåäàõ. 32. Ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Âåêòîð Ïîéíòèíãà. Øêàëà ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. 4. ÎÏÒÈÊÀ Îïòèêà — ðàçäåë ôèçèêè, èçó÷àþùèé ñâîéñòâà è ôèçè÷åñêóþ ïðèðîäó ñâåòà, à òàêæå åãî âçàèìîäåéñòâèå ñ âåùåñòâîì. Ñâåò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíîå ÿâëåíèå: â îäíèõ ñëó÷àÿõ îí âåäåò ñåáÿ êàê âîëíà, â äðóãèõ — êàê ïîòîê îñîáûõ ÷àñòèö (ôîòîíîâ). Äâîéñòâåííàÿ ïðèðîäà ñâåòà íàçûâàåòñÿ êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûì äóàëèçìîì. Âîëíîâàÿ îïòèêà — ðàçäåë îïòèêè, â êîòîðîì ñâåò ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, çàíèìàþùàÿ äèàïàçîí øêàëû ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí îò 1 äî 105 íì, âêëþ÷àþùèõ óëüòðàôèîëåòîâóþ (1–400 íì), âèäèìóþ (400–750 íì) è èíôðàêðàñíóþ (750–105 íì) îáëàñòè ñïåêòðà.  âîëíîâîé îïòèêå èçó÷àþòñÿ ÿâëåíèÿ èíòåðôåðåíöèè, äèôðàêöèè è ïîëÿðèçàöèè. Êâàíòîâàÿ îïòèêà — ðàçäåë îïòèêè, â êîòîðîì ñâåò ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïîòîê ôîòîíîâ. Îäíàêî ìíîãèå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, â ÷àñòíîñòè äåéñòâèå îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèÿ î ñâåòîâûõ ëó÷àõ (ãåîìåòðè÷åñêàÿ èëè ëó÷åâàÿ îïòèêà). 4.1. Ýëåìåíòû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà — ðàçäåë îïòèêè, â êîòîðîì èçó÷àþòñÿ çàêîíû ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà íà îñíîâå ïðåäñòàâëåíèé î ñâåòîâûõ ëó÷àõ. Ïîä ñâåòîâûì ëó÷îì ïîíèìàþò ëèíèþ, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïîòîê ñâåòîâîé ýíåðãèè. Îñíîâíûå çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè  ðàìêàõ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè ìîãóò áûòü ïîíÿòû ïðîñòåéøèå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, íàïðèìåð âîçíèêíîâåíèå òåíåé è ïîëó÷åíèå èçîáðàæåíèé â îïòè÷åñêèõ ïðèáîðàõ.  åå îñíîâå ëåæàò ÷åòûðå çàêîíà, óñòàíîâëåííûõ îïûòíûì ïóòåì: 1) çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà; 2) çàêîí íåçàâèñèìîñòè ñâåòîâûõ ïó÷êîâ; 3) çàêîí îòðàæåíèÿ è 4) çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà. 176 Ñîãëàñíî çàêîíó ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà, ñâåò â ïðîçðà÷íîé îäíîðîäíîé ñðåäå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî ïðÿìûì ëèíèÿì. Îïûòíûì äîêàçàòåëüñòâîì ýòîãî çàêîíà ìîãóò ñëóæèòü ðåçêèå òåíè, îòáðàñûâàåìûå íåïðîçðà÷íûìè òåëàìè, îñâåùàåìûìè òî÷å÷íûìè èñòî÷íèêàìè ñâåòà, ò. å. èñòî÷íèêàìè, ðàçìåðû êîòîðûõ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè îñâåùàåìîãî òåëà è ðàññòîÿíèåì äî íåãî. Çàêîí íåçàâèñèìîñòè ñâåòîâûõ ïó÷êîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ðàñïðîñòðàíåíèå âñÿêîãî ñâåòîâîãî ïó÷êà ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò òîãî, åñòü â íåé äðóãèå ïó÷êè ñâåòà èëè íåò. Ñâåòîâîé ïó÷îê, ïðîøåäøèé ÷åðåç êàêóþ-ëèáî îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, âûõîäèò èç íåå îäíèì è òåì æå, íåçàâèñèìî îò òîãî, çàïîëíåíà îíà äðóãèì ñâåòîì èëè íå çàïîëíåíà. Çàêîí íåçàâèñèìîñòè ñâåòîâûõ ïó÷êîâ íåîáõîäèìî äîïîëíèòü óòâåðæäåíèåì, îïðåäåëÿþùèì ñîâìåñòíîå äåéñòâèå ñâåòîâûõ ïó÷êîâ ïðè èõ íàëîæåíèè äðóã íà äðóãà. Îíî ñîñòîèò â òîì, ÷òî îñâåùåííîñòü ýêðàíà, ñîçäàâàåìàÿ íåñêîëüêèìè ñâåòîâûìè ïó÷êàìè, ðàâíà ñóììå îñâåùåííîñòåé, ñîçäàâàåìûõ êàæäûì ïó÷êîì â îòäåëüíîñòè. Íà îñíîâå çàêîíîâ ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ è íåçàâèñèìîñòè ñâåòîâûõ ïó÷êîâ è ñëîæèëîñü ïðåäñòàâëåíèå î ñâåòîâûõ ëó÷àõ.  ìàòåìàòè÷åñêîì ñìûñëå ëó÷ åñòü ëèíèÿ, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñâåò. Ýòî — ìàòåìàòè÷åñêàÿ àáñòðàêöèÿ. Ðåàëüíîå ñóùåñòâîâàíèå èìåþò íå ìàòåìàòè÷åñêèå ëó÷è è áåñêîíå÷íî òîíêèå ïó÷êè ñâåòà, à ïó÷êè êîíå÷íîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, âûðåçàåìûå, íàïðèìåð, äèàôðàãìàìè. Ïîýòîìó ïîä ëó÷îì â ôèçè÷åñêîì ñìûñëå ýòîãî ñëîâà ïîíèìàþò êîíå÷íûé, íî äîñòàòî÷íî óçêèé ñâåòîâîé ïó÷îê, êîòîðûé åùå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü èçîëèðîâàííî îò äðóãèõ ïó÷êîâ. Êîãäà ëó÷ äîñòèãàåò ïëîñêîé ãðàíèöû ðàçäåëà äâóõ ïðîçðà÷íûõ ñðåä, îí ÷àñòè÷íî ïðîõîäèò âî âòîðóþ ñðåäó (ïðåëîìëÿåòñÿ), ÷àñòè÷íî âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî (îòðàæàåòñÿ). Çàêîí îòðàæåíèÿ óòâåðæäàåò, ÷òî ïàäàþùèé è îòðàæåííûé ëó÷è ëåæàò â îäíîé ïëîñr êîñòè ñ íîðìàëüþ n ê ãðàíèöå ðàçäåëà â òî÷êå ïàäåíèÿ (ýòà ïëîñêîñòü íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòüþ ïàäåíèÿ), ïðè÷åì óãîë ïàäåíèÿ a ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ a¢ (ðèñ. 4.1). Çàêîí ïðåëîìëåíèÿ áûë óñòàíîâëåí ýêñïåðèìåíòàëüíî â 1621 ã. ãîëëàíäñêèì ó÷åíûì Ñíåëëèóñîì: ïðåëîìëåííûé ëó÷ ëåæèò â ïëîñÐèñ. 4.1 177 êîñòè ïàäåíèÿ, ïðè÷åì îòíîøåíèå ñèíóñà óãëà ïàäåíèÿ a ê ñèíóñó óãëà ïðåëîìëåíèÿ b äëÿ äàííûõ ñðåä åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò óãëà ïàäåíèÿ (ñì. ðèñ. 4.1), ò. å. sin a = n 21 . sin b (4.1) Ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà n21 íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ âòîðîé ñðåäû îòíîñèòåëüíî ïåðâîé. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû îòíîñèòåëüíî âàêóóìà íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíûì ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ ýòîé ñðåäû. Åãî îáîçíà÷àþò ÷åðåç n, ñíàáæàÿ ýòó áóêâó, åñëè òðåáóåòñÿ, ñîîòâåòñòâóþùèìè èíäåêñàìè. Íàïðèìåð, n1 — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïåðâîé ñðåäû, à n2 — âòîðîé. Îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n21 âûðàæàåòñÿ ÷åðåç àáñîëþòíûå ïîêàçàòåëè n1 è n2 ñîîòíîøåíèåì (4.2) n 21 = n 2 n1 . Câåò ïðåëîìëÿåòñÿ èç-çà ðàçëè÷íîé ñêîðîñòè åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ â ðàçíûõ ñðåäàõ. Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû n ïîêàçûâàåò, âî ñêîëüêî ðàç ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà v â ñðåäå ìåíüøå, ÷åì ñêîðîñòü ñâåòà c â âàêóóìå: n = c v. (4.3) Çíà÷åíèå n äëÿ ñëàáî ïîãëîùàþùèõ (ïðîçðà÷íûõ) òâåðäûõ òåë ìåíÿåòñÿ îò 1,3 äî 4,0; äëÿ æèäêîñòåé — îò 1,2 äî 1,9; äëÿ ãàçîâ (ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ) — îò 1,000035 (Íå) äî 1,000702 (Xe). Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ õàðàêòåðèçóåò îïòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü ñðåäû. Ñðåäà ñ áî¢ëüøèì n íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé, ÷åì ñðåäà ñ ìåíüøèì n (êîòîðàÿ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé). Íà ðèñ. 4.1 ïîêàçàí ïðèìåð ïàäåíèÿ ëó÷à èç ñðåäû, îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé, â ñðåäó, îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíóþ, ïðè ýòîì a > b (â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì (4.1)). Ïðè ïåðåõîäå ñâåòà èç îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû â îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíóþ ëó÷ îòêëîíÿåòñÿ îò íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè (ðèñ. 4.2). Óâåëè÷åíèå óãëà ïàäåíèÿ a ñîïðîâîæäàåòñÿ áîëåå áûñòðûì ðîñòîì óãëà ïðåëîìëåíèÿ b è ïî äîñòèæåíèè óãëîì a çíà÷åíèÿ a ïð = arcsinn 21 178 (4.4) óãîë b ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì p/2. Âåëè÷èíó aïð íàçûâàþò ïðåäåëüíûì óãëîì ïàäåíèÿ. Ïðè óãëàõ ïàäåíèÿ, áîëüøèõ aïð, ñâåò âî âòîðóþ ñðåäó íå ïðîíèêàåò, èíòåíñèâíîñòü îòðàæåííîãî ëó÷à ðàâíà èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíûì âíóòðåííèì îòðàÐèñ. 4.2 æåíèåì. ßâëåíèå ïîëíîãî îòðàæåíèÿ ñâåòà èñïîëüçóåòñÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè — îò ïîëÿðèçàöèîííûõ óñòðîéñòâ äî ñâåòîâîäîâ (îïòîâîëîêíî). Ëèíçû Ëèíçà — ïðîçðà÷íîå òåëî, îãðàíè÷åííîå êðèâîëèíåéíûìè (îáû÷íî ñôåðè÷åñêèìè) ïîâåðõíîñòÿìè (ðèñ. 4.3). Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû O1 è O2 îáðàçóþùèõ ñôåð, íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ. Åñëè òîëùèíà ëèíçû d ìíîãî ìåíüøå ðàäèóñîâ R1 è R2 ñîîòâåòñòâóþùèõ ñôåð, òî òàêàÿ ëèíçà íàçûâàåòñÿ òîíêîé. Ïî ñïîñîáíîñòè îòêëîíÿòü ïðîõîäÿùèå ëó÷è òîíêèå ëèíçû ðàçäåëÿþòñÿ íà ñîáèðàþùèå è ðàññåèâàþùèå, ñõåìàòè÷åñêîå îáîçíà÷åíèå è õîä ëó÷åé êîòîðûõ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 4.4, à Ðèñ. 4.3 è á ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êà O ïåðåñå÷åíèÿ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ñ òîíêîé ëèíçîé íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêèì öåíòðîì ëèíçû. Ëó÷è, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îïòè÷åñêèé öåíòð, íå ïðåëîìëÿþòñÿ. Ïó÷îê ëó÷åé, ïàðàëëåëüíûõ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ñîáèðàþùåé ëèíçû, ïðåëîìëÿÿñü íà ëèíçå, ïåðåñåêàåòñÿ â îä- Ðèñ. 4.4 179 íîé òî÷êå — ãëàâíîì ôîêóñå ëèíçû F. Äëÿ ðàññåèâàþùåé ëèíçû â ôîêóñå ïåðåñåêàþòñÿ ïðîäîëæåíèÿ ëó÷åé (ñì. ðèñ. 4.4). Ó êàæäîé ëèíçû èìååòñÿ 2 ãëàâíûõ ôîêóñà. Ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ôîêóñ, íàçûâàåòñÿ ôîêàëüíîé. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îïòè÷åñêèé öåíòð Ðèñ. 4.5 ëèíçû, íå ñîâïàäàþùàÿ ñ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ, íàçûâàåòñÿ ïîáî÷íîé îïòè÷åñêîé îñüþ. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïîáî÷íîé îïòè÷åñêîé îñè ñ ôîêàëüíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ ïîáî÷íûì ôîêóñîì F¢. Ïó÷îê ëó÷åé, ïàðàëëåëüíûõ ïîáî÷íîé îïòè÷åñêîé îñè ñîáèðàþùåé ëèíçû, ïðåëîìëÿÿñü íà ëèíçå, ïåðåñåêàåòñÿ â ïîáî÷íîì ôîêóñå ëèíçû F¢ (ðèñ. 4.5). Ïîñòðîåíèå èçîáðàæåíèé íà ïðèìåðå ñîáèðàþùåé ëèíçû ïðèâåäåíî íà ðèñ. 4.6. Åñëè ïðåäìåò A1B1 ðàçìåñòèòü îò ëèíçû íà ðàññòîÿíèè ìåíüøå ôîêóñíîãî, òî ëó÷è îò êàæäîé òî÷êè ïðåäìåòà ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ íà ëèíçå îêàæóòñÿ ðàñõîäÿùèìèñÿ, íî èõ ïðîäîëæåíèÿ â îáðàòíóþ ñòîðîíó ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ ðàñïîëîæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ. Òàêîå èçîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ìíèìûì. Èòàê, èçîáðàæåíèå A1¢B1¢ ïðåäìåòà A1B1 îêàçûâàåòñÿ ìíèìûì. Ïî ðèñ. 4.6 òàêæå âèäíî, ÷òî îíî îêàçûâàåòñÿ óâåëè÷åííûì è ïðÿìûì (íåïåðåâåðíóòûì). ÅñÐèñ. 4.6 ëè ïðåäìåò A2B2 ðàçìåñòèòü ìåæäó ôîêóñîì è òî÷êîé, ðàñïîëîæåííîé îò ëèíçû íà ðàññòîÿíèè, ðàâíîì óäâîåííîìó ôîêóñíîìó, òî èçîáðàæåíèå A2¢ B 2¢ îêàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì, óâåëè÷åííûì è ïåðåâåðíóòûì. È, íàêîíåö, åñëè ïðåäìåò A3B3 ðàçìåñòèòü çà äâîéíûì ôîêóñíûì, òî èçîáðàæåíèå A3¢ B 3¢ áóäåò äåéñòâèòåëüíûì, óìåíüøåííûì è ïåðåâåðíóòûì. Ðàññòîÿíèå äî èçîáðàæåíèÿ ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå òîíêîé ëèíçû: 1 1 1 ± =± , a b f 180 (4.5) ãäå a — ðàññòîÿíèå îò ëèíçû äî ïðåäìåòà (ðèñ. 4.7); b — ðàññòîÿíèå îò ëèíçû äî èçîáðàæåíèÿ, çíàê «+» ñòàâèòñÿ (ïîëó÷àåòñÿ), åñëè èçîáðàæåíèå äåéñòâèòåëüíîå, «–» — åñëè èçîáðàæåíèå ìíèìîå; f — ðàññòîÿíèå îò ëèíçû äî ôîêóñà (ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå), çíàê «+» ñòàâèòñÿ (ïîëó÷àåòñÿ), åñëè ëèíçà ñîáèðàþùàÿ, «–» — åñëè ðàññåèâàþùàÿ. Ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (4.5) îïðåäåëÿåò îïòè÷åñêóþ ñèëó ëèíçû D, êîòîðàÿ èçìåðÿåòñÿ â äèîïòðèÿõ (äïòð): D=± 1 . f Ðèñ. 4.7 (4.6) Áëèçîðóêèå ëþäè íîñÿò î÷êè ñ ðàññåèâàþùèìè ëèíçàìè, îïòè÷åñêàÿ ñèëà êîòîðûõ îòðèöàòåëüíà, äàëüíîçîðêèå — ñ ñîáèðàþùèìè ëèíçàìè. Åùå îäíîé õàðàêòåðèñòèêîé ëèíçû ÿâëÿåòñÿ åå ëèíåéíîå óâåëè÷åíèå G= A¢ B ¢ b = . AB a (4.7) Ïðèíöèï Ôåðìà  îäíîðîäíîé ñðåäå ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî.  íåîäíîðîäíîé ñðåäå ñâåòîâûå ëó÷è èñêðèâëÿþòñÿ. Ïóòü, ïî êîòîðîìó ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñâåò â íåîäíîðîäíîé ñðåäå, ìîæåò áûòü íàéäåí ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà, óñòàíîâëåííîãî ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ôåðìà â 1679 ã. Ïðèíöèï Ôåðìà ãëàñèò, ÷òî ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî òàêîìó ïóòè, äëÿ ïðîõîæäåíèÿ êîòîðîãî åìó òðåáóåòñÿ ìèíèìàëüíîå âðåìÿ. Äëÿ ïðîõîæäåíèÿ ó÷àñòêà ïóòè ds ñâåòó íóæíî âðåìÿ dt = ds/v = (1/c) nds. Ñëåäîâàòåëüíî, âðåìÿ t, çàòðà÷èâàåìîå ñâåòîì íà ïðîõîæäåíèå ïóòè îò íåêîòîðîé òî÷êè 1 äî òî÷êè 2, ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå 2 t= 1 nds. c ò1 181 Ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ôåðìà âðåìÿ t äîëæíî áûòü ìèíèìàëüíûì. Ïîñêîëüêó ñ — êîíñòàíòà, äîëæíà áûòü ìèíèìàëüíà âåëè÷èíà 2 L = ò nds, (4.8) 1 êîòîðóþ íàçûâàþò îïòè÷åñêîé äëèíîé ïóòè.  îäíîðîäíîé ñðåäå îïòè÷åñêàÿ äëèíà ïóòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ãåîìåòðè÷åñêîé äëèíû ïóòè s íà ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû n: L = ns. (4.9) Ïðèíöèï Ôåðìà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî òàêîìó ïóòè, îïòè÷åñêàÿ äëèíà êîòîðîãî ìèíèìàëüíà. Çàêîíû îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ìîæíî äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà Ôåðìà. 4.2. Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà Ñâåòîâàÿ âîëíà  âîëíîâîé îïòèêå ïîä ñâåòîì ïîíèìàþò ýëåêòðîìàãíèòíóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â âàêóóìå ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà (ñì. (3.190)) c=1 e 0 m 0 » 3 × 10 8 ì/ñ. Àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû (4.3) ñ ó÷åòîì (3.190) ìîæíî ñâÿçàòü ñ åå ýëåêòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè: n = c v = em » e (4.10) (äëÿ áîëüøèíñòâà ïðîçðà÷íûõ âåùåñòâ m ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû). Ïëîñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ âäîëü îñè õ, ïîêàçàííàÿ íà ðèñ. 3.44, îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (3.190): r r éE = E m cos(wt - kx + a), ê r êr êëH = H m cos(wt - kx + a). 182 Çíà÷åíèå íà÷àëüíîé ôàçû a îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì íà÷àë îòñ÷åòà t èëè x.  ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå êîëåáëþòñÿ äâà âåêòîðà — íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé. Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, ôèçèîëîãè÷åñêîå, ôîòîõèìè÷åñêîå, ôîòîýëåêòðè÷åñêîå è äðóãèå äåéñòâèÿ ñâåòà âûçûâàþòñÿ êîëåáàíèÿìè ýëåêòðè÷åñêîãî âåêòîðà.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì áóäåì â äàëüíåéøåì ãîâîðèòü î òàê íàçûâàåìîì ñâåòîâîì âåêòîðå, ïîäðàçóìåâàÿ ïîä íèì âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. r Îáîçíà÷èì ìîäóëü àìïëèòóäû E m ñâåòîâîãî âåêòîðà áóêâîé A. Çàêîí, ïî êîòîðîìó èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè è â ïðîñòðàíñòâå ïðîåêöèÿ ñâåòîâîãî âåêòîðà (ñì. ðèñ. 3.44), íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñâåòîâîé âîëíû: E y = A cos(wt - kx + a), (4.11) ãäå A — àìïëèòóäà ñâåòîâîé âîëíû. Äëÿ ïëîñêîé âîëíû (4.11), ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ â íåïîãëîùàþùåé ñâåò ñðåäå, A = const. Äëÿ ñôåðè÷åñêîé âîëíû A óáûâàåò êàê 1/r: E= A0 cos(wt - kr + a), r (4.12) ãäå r — ðàññòîÿíèå, îòñ÷èòûâàåìîå âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòîâîé âîëíû. Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà I (ñâåòîâîé âîëíû) ñîãëàñíî (3.194) ïðîïîðöèîíàëüíà àìïëèòóäàì íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé âîëíû, à ñëåäîâàòåëüíî (ñ ó÷åòîì (3.191)), ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó àìïëèòóäû ñâåòîâîé âîëíû: I ~ A2 . (4.13) Äëèíû âîëí âèäèìîãî ñâåòà çàêëþ÷åíû â ïðåäåëàõ: l0 = 400–760 íì. Óëüòðàôèîëåòîâûì íàçûâàåòñÿ èçëó÷åíèå ñ äëèíîé âîëíû, ìåíüøåé 400 íì, èíôðàêðàñíûì — èçëó÷åíèå ñ äëèíîé âîëíû, áîëüøåé 760 íì. Ýòè çíà÷åíèÿ îòíîñÿòñÿ ê ñâåòîâûì âîëíàì â âàêóóìå.  ñëó÷àå êîëåáàíèé ÷àñòîòû n äëèíà âîëíû â âàêóóìå l0 = c/n.  ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n äëèíû ñâåòîâûõ âîëí èíûå: l = v/n = c/nn, îòêóäà l = l0/n. (4.14) 183 Òàêèì îáðàçîì, â âåùåñòâå äëèíà âîëíû â n ðàç ìåíüøå, ÷åì â âàêóóìå.  ñëó÷àå, åñëè àáñîëþòíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû çàâèñèò îò ÷àñòîòû n (äëèíû âîëíû l0) ñâåòà, ãîâîðÿò î äèñïåðñèè ñâåòà. Ñëåäñòâèåì äèñïåðñèè ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå â ñïåêòð (îò êðàñíîãî äî ôèîëåòîâîãî) ïó÷êà áåëîãî ñâåòà ïðè ïðîõîæäåíèè åãî ÷åðåç ïðèçìó. Âîñïîëüçîâàâøèñü óñëîâèåì (3.42) íà ãðàíèöå äâóõ äèýëåêòðèêîâ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè îòðàæåíèè ñâåòîâîé âîëíû îò ãðàíèöû ñðåäû, îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé, ñî ñðåäîé, îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé (ïðè n1 < n2), ôàçà êîëåáàíèé ñâåòîâîãî âåêòîðà ïðåòåðïåâàåò èçìåíåíèå íà p. Ïðè îòðàæåíèè îò ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåäû îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñî ñðåäîé îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé (ïðè n1 > n2) òàêîãî èçìåíåíèÿ ôàçû íå ïðîèñõîäèò. Ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà (ò. å. âîëíà ñ òî÷íî îïðåäåëåííîé ÷àñòîòîé), îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèÿìè (4.11) èëè (4.12), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîöåññ, íå îãðàíè÷åííûé âî âðåìåíè è â ïðîñòðàíñòâå (ñì. ðèñ. 3.44). Òàêàÿ âîëíà ÿâëÿåòñÿ àáñòðàêöèåé è ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçîâàòüñÿ íå ìîæåò.  ðåàëüíîé ñâåòîâîé âîëíå ôàçà (à òàêæå àìïëèòóäà è ÷àñòîòà) èçìåíÿåòñÿ áåñïîðÿäî÷íûì îáðàçîì ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, à òàêæå ïðè ïåðåìåùåíèè îò îäíîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà ê äðóãîé, ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ íàëîæåíèåì âîëí ñ äëèíàìè, çàêëþ÷åííûìè â íåêîòîðîì èíòåðâàëå Dl.  áåëîì ñâåòå Dl îõâàòûâàåò âåñü äèàïàçîí âîñïðèíèìàåìûõ ãëàçîì ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, ò. å. ïðîñòèðàåòñÿ îò 400 äî 760 íì. Ñâåò, ó êîòîðîãî Dl << l, íàçûâàåòñÿ êâàçèìîíîõðîìàòè÷åñêèì (ëàò. «êâàçè» îçíà÷àåò «ìíèìî»). Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà Ïóñòü äâå ñâåòîâûå âîëíû îäèíàêîâîé ÷àñòîòû, íàêëàäûâàÿñü äðóã íà äðóãà, âîçáóæäàþò â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà êîëåáàíèÿ îäèíàêîâîãî íàïðàâëåíèÿ: A1 cos (wt + a1), A2 cos (wt + a2). Àìïëèòóäà A ðåçóëüòèðóþùåãî êîëåáàíèÿ â äàííîé òî÷êå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (1.114): A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(a 2 - a 1 ), à èíòåíñèâíîñòü ñâåòà (ñ ó÷åòîì (4.13)) 184 I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos(a 2 - a 1 ). (4.15) Åñëè ðàçíîñòü ôàç a2 – a1, âîçáóæäàåìûõ âîëíàìè êîëåáàíèé, îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé âî âðåìåíè, òî âîëíû íàçûâàþòñÿ êîãåðåíòíûìè. Èñòî÷íèêè òàêèõ âîëí òàêæå íàçûâàþòñÿ êîãåðåíòíûìè.  áîëåå øèðîêîì ñìûñëå êîãåðåíòíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ñîãëàñîâàííîå ïðîòåêàíèå íåñêîëüêèõ êîëåáàòåëüíûõ èëè âîëíîâûõ ïðîöåññîâ. Êîãåðåíòíîñòü êîëåáàíèé, êîòîðûå ñîâåðøàþòñÿ â îäíîé è òîé æå òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, îïðåäåëÿåìàÿ ñòåïåíüþ ìîíîõðîìàòè÷íîñòè âîëí, íàçûâàåòñÿ âðåìåííî¢é êîãåðåíòíîñòüþ.  ñëó÷àå êîãåðåíòíûõ âîëí cos (a2 – a1) èìååò ïîñòîÿííîå âî âðåìåíè (íî ñâîå äëÿ êàæäîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà) çíà÷åíèå.  òåõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, äëÿ êîòîðûõ cos (a2 – a1) > 0, I áóäåò ïðåâûøàòü I1 + I2; â òî÷êàõ, äëÿ êîòîðûõ cos (a2 – a1) < 0, I áóäåò ìåíüøå I1 + I2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàëîæåíèè êîãåðåíòíûõ ñâåòîâûõ âîëí ïðîèñõîäèò ïåðåðàñïðåäåëåíèå â ïðîñòðàíñòâå ýíåðãèè ñâåòîâûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, â ðåçóëüòàòå ÷åãî â îäíèõ ìåñòàõ âîçíèêàþò ìàêñèìóìû, à â äðóãèõ — ìèíèìóìû èíòåíñèâíîñòè. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ èíòåðôåðåíöèåé ñâåòà. Îñîáåííî îò÷åòëèâî èíòåðôåðåíöèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà èíòåíñèâíîñòü îáåèõ èíòåðôåðèðóþùèõ âîëí îäèíàêîâà: I1 = I2. Òîãäà ñîãëàñíî (4.15) â ìèíèìóìàõ (ïðè (a2 – a1) = p) èíòåíñèâíîñòü I = 0, â ìàêñèìóìàõ (ïðè (a2 – a1) = 0) èíòåíñèâíîñòü I = 4I1. Ó ðåàëüíîé ñâåòîâîé âîëíû ôàçà íåïðåðûâíî õàîòè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå ðàçíîñòü ôàç a2 – a1 íåïðåðûâíî èçìåíÿåòñÿ, ïðèíèìàÿ ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ ëþáûå çíà÷åíèÿ, âñëåäñòâèå ÷åãî ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå cos (a2 – a1) ðàâíî íóëþ. Èíòåíñèâíîñòü â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, íàáëþäàåìàÿ ïðè íàëîæåíèè íåêîãåðåíòíûõ âîëí, ðàâíà ñóììå èíòåíñèâíîñòåé, ñîçäàâàåìûõ êàæäîé èç âîëí â îòäåëüíîñòè: I = I1 + I2. Ïðè îñâåùåíèè êàêîé-ëèáî ïîâåðõíîñòè íåñêîëüêèìè èñòî÷íèêàìè ñâåòà (íàïðèìåð, äâóìÿ ëàìïî÷êàìè), íèêàêîé èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ñ õàðàêòåðíûì äëÿ íåå ÷åðåäîâàíèåì ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ íå íàáëþäàåòñÿ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî åñòåñòâåííûå èñòî÷íèêè ñâåòà íåêîãåðåíòíû. À ñàìî ïîíÿòèå êîãåðåíòíîñòè òðåáóåò áîëåå ïîäðîáíîãî ðàññìîòðåíèÿ. 185 Êîãåðåíòíîñòü è «ìåõàíèçì» èçëó÷åíèÿ ñâåòà àòîìàìè Ïî êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì èçëó÷åíèå ñâåòÿùåãîñÿ òåëà (ãàçà) ñëàãàåòñÿ èç âîëí, èñïóñêàåìûõ åãî àòîìàìè, êîòîðûå èçëó÷àþò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà.  êàæäîì èç òàêèõ àòîìîâ ïðîöåññ èçëó÷åíèÿ êîíå÷åí è äëèòñÿ î÷åíü êîðîòêîå âðåìÿ (t » 10–8 ñ). Âîëíà â âèäå êîðîòêîãî èìïóëüñà íàçûâàåòñÿ âîëíîâûì öóãîì (ñì. ðèñ. 1.30, á). Çà âðåìÿ t óñïåâàåò îáðàçîâàòüñÿ öóã âîëí ïðîòÿæåííîñòüþ ïðèìåðíî 3 ì. Íà äëèíå öóãà óêëàäûâàåòñÿ íåñêîëüêî ìèëëèîíîâ äëèí âîëí (âèäèìîãî ñâåòà). Çà âðåìÿ t âîçáóæäåííûé àòîì âîçâðàùàåòñÿ â íîðìàëüíîå ñîñòîÿíèå è èçëó÷åíèå èì ñâåòà ïðåêðàùàåòñÿ. Âîçáóäèâøèñü âíîâü, àòîì ñíîâà íà÷èíàåò èñïóñêàòü ñâåòîâûå âîëíû, ïðè÷åì ôàçà íîâîãî öóãà íèêàê íå ñâÿçàíà ñ ôàçîé ïðåäûäóùåãî öóãà. Òàê êàê â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ðàçíîñòü ôàç êîëåáàíèé â öóãàõ îò äâóõ òàêèõ íåçàâèñèìûõ àòîìîâ èçìåíÿåòñÿ ïðè êàæäîì íîâîì àêòå èñïóñêàíèÿ, òî âîëíû, ñïîíòàííî èçëó÷àåìûå àòîìàìè ëþáîãî èñòî÷íèêà ñâåòà, íåêîãåðåíòíû. Ôàçà âîëíû îïðåäåëÿåòñÿ íàëîæåíèåì (ñóïåðïîçèöèåé) îãðîìíîãî ÷èñëà öóãîâ, ïîðîæäàåìûõ îòäåëüíûìè àòîìàìè, ïðè÷åì ôàçà ðåçóëüòèðóþùåé âîëíû ïðåòåðïåâàåò ñëó÷àéíûå èçìåíåíèÿ. Ñìåíÿåò äðóã äðóãà â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîå ÷èñëî öóãîâ. Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî öóãîâ ïðîõîäèò ÷åðåç ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó íå ïðåðûâàÿñü. Ïîýòîìó ôàçà âîëíû, îáðàçîâàííîé íàëîæåíèåì îãðîìíîãî ÷èñëà öóãîâ, ïîðîæäàåìûõ îòäåëüíûìè àòîìàìè, íå ìîæåò ñîâåðøàòü áîëüøèõ ñêà÷êîâ. Îíà èçìåíÿåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì íåáîëüøèìè øàãàìè èëè, êàê ãîâîðÿò, ñîâåðøàåò ñëó÷àéíûå áëóæäàíèÿ. Âðåìÿ têîã, çà êîòîðîå ñëó÷àéíîå èçìåíåíèå ôàçû âîëíû äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ ïîðÿäêà p, íàçûâàåòñÿ âðåìåíåì êîãåðåíòíîñòè. Çà ýòî âðåìÿ êîëåáàíèå êàê áû çàáûâàåò ñâîþ ïåðâîíà÷àëüíóþ ôàçó è ñòàíîâèòñÿ íåêîãåðåíòíûì ïî îòíîøåíèþ ê ñàìîìó ñåáå. Ñîîòâåòñòâóþùèé îöåíî÷íûé ðàñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè îáðàòíî èíòåðâàëó ÷àñòîò Dn (äëèí âîëí Dl), ïðåäñòàâëåííûõ â äàííîé ñâåòîâîé âîëíå: têîã » 1/Dn = (1/v) l2/Dl, (4.16) ãäå v — ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû â äàííîé ñðåäå. ×åì øèðå èíòåðâàë ÷àñòîò (äëèí âîëí), ïðåäñòàâëåííûõ â âîëíå, òåì ìåíüøå âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè ýòîé âîëíû. Äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû Dn = 0 è âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè áåñêîíå÷íî âåëèêî. 186 Ïóòü âîëíû â ñðåäå çà âðåìÿ êîãåðåíòíîñòè íàçûâàåòñÿ äëèíîé êîãåðåíòíîñòè: (4.17) l êîã = vt êîã . Äëèíà êîãåðåíòíîñòè — òî ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîì ñëó÷àéíûå èçìåíåíèÿ ôàçû âîëíû äîñòèãàþò çíà÷åíèÿ ïîðÿäêà p.  êà÷åñòâå ïðèìåðà îöåíèì âðåìÿ è äëèíó êîãåðåíòíîñòè äëÿ ñëó÷àÿ l = 500 íì (çåëåíàÿ ÷àñòü ñïåêòðà) è Dl = 1 íì (1/360 ÷àñòü âèäèìîãî ñïåêòðà). Ñîãëàñíî (4.16) è (4.17) têîã » (1/ñ) l2/Dl » 10–12 ñ, l êîã = ct êîã » 0, 3 ìì. ×åì áëèæå âîëíà ê ìîíîõðîìàòè÷åñêîé, òåì áîëüøå åå âðåìÿ è äëèíà êîãåðåíòíîñòè.  ðåàëüíîé ñâåòîâîé âîëíå àìïëèòóäà è ôàçà êîëåáàíèé èçìåíÿþòñÿ íå òîëüêî âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, íî è â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ýòîìó íàïðàâëåíèþ. Êîãåðåíòíîñòü êîëåáàíèé, êîòîðûå ñîâåðøàþòñÿ â äâóõ òî÷êàõ ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâëåíèþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòüþ. Ñëó÷àéíûå èçìåíåíèÿ ðàçíîñòè ôàç â äâóõ òî÷êàõ ýòîé ïëîñêîñòè óâåëè÷èâàþòñÿ ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè. Ðàññòîÿíèå rêîã, íà êîòîðîì ðàçíîñòü ôàç äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ ïîðÿäêà p, íàçûâàåòñÿ äëèíîé ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè èëè ðàäèóñîì êîãåðåíòíîñòè. Âñå ïðîñòðàíñòâî, çàíèìàåìîå âîëíîé, ìîæíî ðàçáèòü íà ÷àñòè, â êàæäîé èç êîòîðûõ âîëíó ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü ìîíîõðîÐèñ. 4.8 ìàòè÷åñêîé, ò. å. îíà îáëàäàåò êîãåðåíòíûìè ñâîéñòâàìè. Îáúåì òàêîé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà, íàçûâàåìûé îáúåìîì êîãåðåíòíîñòè, ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ äëèíû êîãåðåíòíîñòè íà ïëîùàäü êðóãà ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì ðàäèóñó êîãåðåíòíîñòè (ðèñ. 4.8). Èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà îò äâóõ èñòî÷íèêîâ Âîëíû, èçëó÷àåìûå îáû÷íûìè èñòî÷íèêàìè ñâåòà, ÿâëÿþòñÿ íåêîãåðåíòíûìè, âñëåäñòâèå ÷åãî ïîëó÷èòü èíòåðôåðåíöèþ âîëí îò òàêèõ èñòî÷íèêîâ íåëüçÿ. Êîãåðåíòíûå ñâåòîâûå âîëíû ìîæíî ïîëó÷èòü, ðàçäåëèâ (ñ ïîìîùüþ îòðàæåíèé èëè ïðåëîìëåíèé) âîëíó, èçëó÷àåìóþ îäíèì èñòî÷íè187 êîì, íà äâå ÷àñòè. Åñëè çàòåì íàëîæèòü ýòè äâå âîëíû äðóã íà äðóãà, íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèÿ. Ðàçíîñòü îïòè÷åñêèõ äëèí ïóòåé, ïðîõîäèìûõ âîëíàìè, íå äîëæíà ïðåâûøàòü äëèíó êîãåðåíòíîñòè, èíà÷å ðàçíîñòü ôàç íàêëàäûâàþùèõñÿ êîëåáàíèé áóäåò èçìåíÿòüñÿ õàîòè÷åñêèì îáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàçäåëåíèå íà äâå êîãåðåíòíûå âîëíû ïðîèñõîäèò â òî÷êå Î (ðèñ. 4.9). Äî òî÷êè Ð ïåðâàÿ âîëíà ïðîõîäèò â ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n1 ïóòü s1, âòîðàÿ âîëíà ïðîõîäèò â ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n2 ïóòü s2. Åñëè â òî÷êå Î ôàçà êîëåáàíèÿ ðàâíà Ðèñ. 4.9 wt, òî ïåðâàÿ âîëíà âîçáóäèò â òî÷êå Ð êîëåáàíèå A1 cos(w(t – s1/v1)), à âòîðàÿ âîëíà — êîëåáàíèå A2 cos(w(t – s2/v2)), ãäå v1 = c/n1 è v2 = c/n2 — ôàçîâûå ñêîðîñòè âîëí. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü ôàç êîëåáàíèé, âîçáóæäàåìûõ âîëíàìè â òî÷êå Ð, æs s ö w d = wçç 2 - 1 ÷÷÷ = (n 2 s 2 - n1 s1 ). çè v 2 v 1 ÷ø c Çàìåíèâ w/ñ ÷åðåç 2pn/ñ = 2p/l0 (l0 — äëèíà âîëíû â âàêóóìå), âûðàæåíèþ äëÿ ðàçíîñòè ôàç ìîæíî ïðèäàòü âèä d= 2p D, l0 (4.18) ãäå D — âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ðàçíîñòè îïòè÷åñêèõ äëèí ïðîõîäèìûõ âîëíàìè ïóòåé è íàçûâàåìàÿ îïòè÷åñêîé ðàçíîñòüþ õîäà: D = n 2 s 2 - n1 s1 = L2 - L1 . (4.19) Èç (4.18) âèäíî, ÷òî åñëè îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ðàâíà öåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí â âàêóóìå: D = ±ml 0 (m = 0, 1, 2, …), (4.20) òî ðàçíîñòü ôàç d îêàçûâàåòñÿ êðàòíîé 2p è êîëåáàíèÿ, âîçáóæäàåìûå â òî÷êå Ð îáåèìè âîëíàìè, áóäóò ïðîèñõîäèòü ñ îäèíàêîâîé ôàçîé. Òà188 êèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèå (4.20) îïðåäåëÿåò óñëîâèå èíòåðôåðåíöèîííîãî ìàêñèìóìà. Åñëè îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ðàâíà ïîëóöåëîìó ÷èñëó äëèí âîëí â âàêóóìå: D = ±(m + 1 2)l 0 (m = 0, 1, 2, …), (4.21) òî d = ±(2m + 1)p, òàê ÷òî êîëåáàíèÿ â òî÷êå Ð ñîâåðøàþòñÿ â ïðîòèâîôàçå. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèå (4.21) îïðåäåëÿåò óñëîâèå èíòåðôåðåíöèîííîãî ìèíèìóìà. Íàáëþäåíèå èíòåðôåðåíöèè äâóõ âîëí âîçìîæíî ëèøü ïðè îïòè÷åñêèõ ðàçíîñòÿõ õîäà, ìåíüøèõ äëèíû êîãåðåíòíîñòè: D < l êîã . (4.22) Âñå ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà ñâîäÿòñÿ ê îäíîìó — ðàçäåëåíèþ îäíîãî ïó÷êà îò èñòî÷íèêà íà äâå ÷àñòè è äàëüíåéøåìó èõ ñâåäåíèþ â îäíó òî÷êó. Ïðàêòè÷åñêè ýòî ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ùåëåé (ìåòîä Þíãà), çåðêàë (çåðêàëà Ôðåíåëÿ), ïðåëîìëÿþùèõ òåë (áèïðèçìà Ôðåíåëÿ) è ò. ä.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ìåòîä Þíãà. Èñòî÷íèêîì ñâåòà ñëóæèò ÿðêî îñâåùåííàÿ ùåëü S (ðèñ. 4.10), îò êîòîðîé ñâåòîâàÿ âîëíà ïàäàåò íà äâå óçêèå ðàâíîóäàëåííûå ùåëè S1 è S2, ïàðàëëåëüíûå ùåëè S. Òàêèì îáðàçîì, ùåëè S1 è S2 èãðàþò ðîëü êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà. Ðàññìîòðèì äâå êîãåðåíòíûå Ðèñ. 4.10 ñâåòîâûå âîëíû, èñõîäÿùèå îò èñòî÷íèêîâ S1 è S2 (ðèñ. 4.11). Îáëàñòü, â êîòîðîé ýòè âîëíû ïåðåêðûâàþòñÿ, íàçûâàåòñÿ ïîëåì èíòåðôåðåíöèè.  ýòîé îáëàñòè íàáëþäàåòñÿ ÷åðåäîâàíèå ìåñò ñ ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé èíòåíñèâíîñòüþ ñâåòà. Åñëè â ïîëå èíòåðôåðåíöèè âíåñòè ýêðàí, òî íà íåì (îáëàñòü ÂÑ íà ðèñ. 4.10) áóäåò âèäíà èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà, êîòîðàÿ èìååò âèä ÷åðåäóþùèõñÿ ñâåòëûõ è òåìíûõ ïîëîñ. Âû÷èñëèì êîîðäèíàòû ýòèõ ïîëîñ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ýêðàí ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò èñòî÷íèêè S1 è S2. 189 Âîçüìåì íà ýêðàíå êîîðäèíàòðóþ îñü x, íà÷àëî êîîðäèíàò êîòîðîé (ò. O íà ðèñ. 1.11) âûáåðåì ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî èñòî÷íèêîâ S1 è S2. Èñòî÷íèêè áóäåì ñ÷èòàòü êîëåáëþùèìèñÿ â îäèíàêîâîé ôàçå. Ïî ðèñ. 4.11 âèäíî, ÷òî s12 = l 2 + ( x - d 2) , 2 s 22 = l 2 + ( x + d 2) , 2 Ðèñ. 4.11 îòêóäà s - s = (s 2 - s1 )(s 2 + s1 ) = 2 xd. 2 2 2 1 Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçëè÷èìîé èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ðàññòîÿíèå d ìåæäó èñòî÷íèêàìè äîëæíî áûòü çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ l äî ýêðàíà. Ðàññòîÿíèå õ, â ïðåäåëàõ êîòîðîãî îáðàçóþòñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû, òàêæå áûâàåò çíà÷èòåëüíî ìåíüøå l. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî s 2 + s1 » 2 l. Òîãäà s 2 - s1 = xd l. Óìíîæèâ s 2 - s1 íà ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû n, ïîëó÷èì îïòè÷åñêóþ ðàçíîñòü õîäà: D=n xd . l (4.23) Ïîäñòàíîâêà ýòîãî çíà÷åíèÿ D â óñëîâèå (4.20) äàåò, ÷òî ìàêñèìóìû èíòåíñèâíîñòè áóäóò íàáëþäàòüñÿ ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ õ: l x max = ± m l (m = 0, 1, 2, …), d (4.24) ãäå l — äëèíà âîëíû â ñðåäå, çàïîëíÿþùåé ïðîñòðàíñòâî ìåæäó èñòî÷íèêàìè ñâåòà è ýêðàíîì, l = l0/n. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå (4.23) â óñëîâèå (4.21), ïîëó÷èì êîîðäèíàòû ìèíèìóìîâ èíòåíñèâíîñòè: æ x min = ±ççm + çè 1 ö÷ l ÷ l (m = 0, 1, 2, …). 2 ÷÷ø d (4.25) Íàçîâåì ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ìàêñèìóìàìè èíòåíñèâíîñòè ðàññòîÿíèåì ìåæäó èíòåðôåðåíöèîííûìè ïîëîñàìè, à ðàññòîÿíèå 190 ìåæäó ñîñåäíèìè ìèíèìóìàìè èíòåíñèâíîñòè — øèðèíîé èíòåðôåðåíöèîííîé ïîëîñû. Èç ôîðìóë (4.24) è (4.25) ñëåäóåò, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîëîñàìè è øèðèíà ïîëîñû èìåþò îäèíàêîâîå çíà÷åíèå: Dx = l l. d (4.26) Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà ïðè îòðàæåíèè îò òîíêèõ ïëåíîê Ïðè ïàäåíèè ñâåòîâîé âîëíû íà òîíêóþ ïðîçðà÷íóþ ïëåíêó èëè ïëàñòèíêó ïðîèñõîäèò îòðàæåíèå îò îáåèõ ïîâåðõíîñòåé ïëåíêè.  ðåçóëüòàòå âîçíèêàþò äâå ñâåòîâûå âîëíû, êîòîðûå ïðè èçâåñòíûõ óñëîâèÿõ ìîãóò èíòåðôåðèðîâàòü. Ïóñòü íà ïðîçðà÷íóþ ïëîñêîïàðàëëåëüíóþ ïëàñòèíêó ïàäàåò ïëîñêàÿ ñâåòîâàÿ âîëíà, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëó÷åé. Íà ðèñ. 4.12 èçîáðàæåí îäèí èç ëó÷åé ýòîãî ïó÷êà. Ïëàñòèíêà îòáðàñûâàåò ââåðõ äâà ïàðàëëåëüíûõ ïó÷êà ñâåòà ïðèìåðíî îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòè, îäèí èç êîòîðûõ (ïó÷îê 1) îáðàçóåòñÿ çà ñ÷åò îòðàæåíèÿ îò âåðõíåé ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíêè, äðóãîé (ïó÷îê 2) — âñëåäñòâèå îòðàæåíèÿ îò íèæíåé ïîâåðõíîñòè. Ïðè âõîäå â ïëàñòèíêó è ïðè âûõîäå èç íåå âòîðîé ïó÷îê ïðåòåðïåâàåò ïðåëîìëåíèå. Ðèñ. 4.12 Åñëè îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ëó÷åé 1 è 2 ìåíüøå äëèíû êîãåðåíòíîñòè èñõîäíîé âîëíû, òî âîëíû, ïðåäñòàâëåííûå ýòèìè ëó÷àìè, êîãåðåíòíû è ìîãóò èíòåðôåðèðîâàòü. Íà äàëüíåéøåì ïóòè ëó÷åé îò òî÷åê À è  ðàçíîñòü ôàç âîëí 1 è 2 íå èçìåíÿåòñÿ. Ïîýòîìó îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ëó÷åé 1 è 2 D = ns 2 - s1 , (4.27) ãäå n — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëàñòèíêè; s2 — ñóììàðíàÿ äëèíà îòðåçêîâ ÎÑ è ÑÂ; s1 — äëèíà îòðåçêà ÎÀ. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû, îêðóæàþùåé ïëàñòèíêó, ïîëàãàåì ðàâíûì åäèíèöå. Îïòè÷åñêóþ ðàçíîñòü õîäà (4.27) ìîæíî ñ ó÷åòîì çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ (4.1) âûðàçèòü ÷åðåç óãîë ïàäåíèÿ a: D = 2 d n 2 - sin 2 a . Ïðè âû÷èñëåíèè ðàçíîñòè ôàç d ìåæäó êîëåáàíèÿìè â ëó÷àõ 1 è 2 íóæíî, êðîìå îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè õîäà, ó÷åñòü âîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ 191 ôàçû âîëíû ïðè îòðàæåíèè.  òî÷êå Î îòðàæåíèå ïðîèñõîäèò îò ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåäû, îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé, ñî ñðåäîé, îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé. Ïîýòîìó ôàçà âîëíû èçìåíÿåòñÿ íà p.  òî÷êå Ñ îòðàæåíèå ïðîèñõîäèò îò ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåäû, îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé, ñî ñðåäîé, îïòè÷åñêè ìåíåå ïëîòíîé, òàê ÷òî èçìåíåíèÿ ôàçû íå ïðîèñõîäèò.  èòîãå ìåæäó ëó÷àìè 1 è 2 âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíàÿ ðàçíîñòü ôàç, ðàâíàÿ p. Åå ìîæíî ó÷åñòü, äîáàâèâ ê îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè õîäà ïîëîâèíó äëèíû âîëíû â âàêóóìå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì D ¢ = D + l 0 2 = 2 d n 2 - sin 2 a + l 0 2. (4.28) Åñëè íà ïóòè ëó÷åé 1 è 2 ïîñòàâèòü ñîáèðàòåëüíóþ ëèíçó, îíè ñîéäóòñÿ â îäíîé èç òî÷åê ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû è áóäóò èíòåðôåðèðîâàòü (ðîëü ëèíçû ìîæåò èãðàòü õðóñòàëèê ãëàçà, à ðîëü ýêðàíà — ñåò÷àòêà). Ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè çàâèñèò îò çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû (4.28). Óñëîâèå ìàêñèìóìà (4.20) ïðèíèìàåò âèä 2 d n 2 - sin 2 a = (m - 1 2)l 0 , (4.29) ãäå m — öåëîå ÷èñëî. Ïðè ïàäåíèè ïîä óãëàìè, äëÿ êîòîðûõ 2 d n 2 - sin 2 a = ml 0 , (4.30) îòðàæåííûå âîëíû ãàñÿò äðóã äðóãà, òàê ÷òî ñâåò ïðàêòè÷åñêè íå îòðàæàåòñÿ. Åñëè íà ïëàñòèíêó ïàäàåò ðàññåÿííûé (ðàçíîîáðàçíûõ íàïðàâëåíèé) ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò, òî íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû, íàáëþäàåòñÿ ÷åðåäîâàíèå ñâåòëûõ è òåìíûõ ïîëîñ (êîëüöà ñ îáùèì öåíòðîì), ñîîòâåòñòâóþùèõ ëó÷àì, ïàäàþùèì íà ïëàñòèíêó ïîä îïðåäåëåííûì óãëîì. Òàêèå èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû íàçûâàþòñÿ ïîëîñàìè ðàâíîãî íàêëîíà. Åñëè ïàäàþùèé ñâåò íåìîíîõðîìàòè÷åí, ò. å. ñîäåðæèò äèàïàçîí ÷àñòîò (íàïðèìåð, áåëûé ñâåò), òî èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà ïðèîáðåòàåò ðàäóæíóþ îêðàñêó. Åñëè ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò ïàäàåò íà ïëàñòèíêó ïåðåìåííîé òîëùèíû (íàïðèìåð, êëèí), òî äàæå äëÿ ëó÷åé, ïàäàþùèõ ïîä îïðåäåëåííûì óãëîì, íà ýêðàíå âîçíèêíåò ÷åðåäîâàíèå ñâåòëûõ è òåìíûõ ïîëîñ (èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî óñëîâèå ìàêñèìóìà (4.29) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëó÷åé, ïàäàþùèõ íà ïëàñòèíêó 192 â ìåñòàõ ñ îïðåäåëåííîé òîëùèíîé d. Òàêèå ïîëîñû íàçûâàþòñÿ ïîëîñàìè ðàâíîé òîëùèíû. Çàìåòèì, ÷òî èíòåðôåðåíöèÿ îò òîíêèõ ïëåíîê ìîæåò íàáëþäàòüñÿ íå òîëüêî â îòðàæåííîì, íî è â ïðîõîäÿùåì ñâåòå. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì ïîëîñ ðàâíîé òîëùèíû ÿâëÿþòñÿ êîëüöà Íüþòîíà. Îíè ìîãóò íàáëþäàòüñÿ ïðè îòðàæåíèè ñâåòà îò ñîïðèêàñàþùèõñÿ òîëñòîé ïëîñêîïàðàëëåëüíîé ïëàñòèíêè è ïëîñêîâûïóêëîé ëèíçû ñ áîëüøèì ðàäèóñîì êðèâèçíû (ðèñ. 4.13). Ðîëü òîíêîé ïëåíêè, îò ïîâåðõíîñòåé êîòîðîé îòðàæàþòñÿ êîãåðåíòíûå âîëíû, èãðàåò âîçäóøíûé çàçîð ìåæäó ïëàñòèíêîé è ëèíçîé (âñëåäñòâèå áîëüøîé òîëùèíû ïëàñòèíêè è ëèíçû çà ñ÷åò îòðàæåíèé îò äðóãèõ ïîÐèñ. 4.13 âåðõíîñòåé èíòåðôåðåíöèîííûå ïîëîñû íå âîçíèêàþò). Ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñâåòà ïîëîñû ðàâíîé òîëùèíû èìåþò âèä êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé (ðèñ. 4.14), ïðè íàêëîííîì ïàäåíèè — ýëëèïñîâ. Íàéäåì ðàäèóñû êîëåö Íüþòîíà â îòðàæåííîì ñâåòå, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè ïàäåíèè ñâåòà ïî íîðìàëè ê ïëàñòèíêå.  ýòîì ñëó÷àå îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ðàâíà óäâîåííîé òîëùèíå b çàçîðà (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â çàçîðå n = 1). Ïî ðèñ. 4.13 ìîæíî îïðåäåëèòü, ÷òî R 2 = (R - b ) 2 + r 2 » R 2 - 2Rb + r 2 , ãäå R — ðàäèóñ êðèâèçíû ëèíçû; r — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âñåì òî÷êàì êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò îäèíàêîâûé çàçîð b. Ââèäó ìàëîñòè b ìû ïðåíåáðåãëè b2 ïî ñðàâíåíèþ ñ 2Rb. Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî b = r 2 2R. Ðèñ. 4.14 Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì (4.28) è (4.29) äëÿ ñâåòëûõ êîëåö â îòðàæåííîì ñâåòå ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ëó÷åé ïîëó÷àåì (ó÷èòûâàÿ ïîòåðþ ïîëóâîëíû ïðè îòðàæåíèè îò îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé ñðåäû): 2 b = r 2 R = (m - 1 2)l 0 , îòêóäà 193 rñâåòë = Rl 0 æççè 2 m - 1ö÷÷÷ø 2 (m = 1, 2, …). (4.31) Èç (4.30) ïîëó÷àåì óñëîâèå äëÿ òåìíûõ êîëåö (â îòðàæåííîì ñâåòå): ròåìí = Rl 0 m (m = 1, 2, …). (4.32)  ìåñòå êàñàíèÿ ïëàñòèíêè è ëèíçû íàáëþäàåòñÿ ìèíèìóì èíòåíñèâíîñòè, îáóñëîâëåííûé èçìåíåíèåì ôàçû íà p ïðè îòðàæåíèè ñâåòîâîé âîëíû îò ïëàñòèíêè (îïòè÷åñêè áîëåå ïëîòíîé). 4.3. Äèôðàêöèÿ Ïðèíöèï Ãþéãåíñà — Ôðåíåëÿ Ïîä äèôðàêöèåé ïîíèìàþò ëþáîå îòêëîíåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí âáëèçè ïðåïÿòñòâèé îò çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè (íàïðèìåð, îãèáàíèå âîëíàìè âñòðå÷åííûõ ïðåïÿòñòâèé). Âîçíèêíîâåíèå äèôðàêöèè ìîæíî îáúÿñíèòü ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà Ãþéãåíñà, êîòîðûì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ôðîíòà âîëíû â ìîìåíò âðåìåíè t + Dt ïî èçâåñòíîìó ïîëîæåíèþ ôðîíòà â ìîìåíò âðåìåíè t: êàæäàÿ òî÷êà ôðîíòà âîëíû ñëóæèò öåíòðîì (èñòî÷íèêîì) âòîðè÷íûõ âîëí, à îãèáàþùàÿ ýòèõ âîëí äàåò ïîëîæåíèå ôðîíòà âîëíû â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè (ðèñ. 4.15). Ïóñòü íà ïëîñêóþ ïðåãðàäó ñ îòâåðñòèåì ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé åé ôðîíò âîëíû (ðèñ. 4.16). Ïî Ãþéãåíñó, êàæäàÿ òî÷êà âûäåëÿåìîãî îòâåðñòèåì ó÷àñòêà âîëíîâîãî ôðîíòà ñëóæèò öåíòðîì Ðèñ. 4.15 âòîðè÷íûõ âîëí, êîòîðûå â îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé ñðåäå áóäóò ñôåðè÷åñêèìè. Ïîñòðîèâ îãèáàþùóþ âòîðè÷íûõ âîëí, ìû óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî çà îòâåðñòèåì âîëíà ïðîíèêàåò â îáëàñòü ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè (íà ðèñ. 4.16 ãðàíèöû ýòîé îáëàñòè ïîêàçàíû ïóíêòèðîì), îãèáàÿ êðàÿ ïðåãðàäû. Îäíàêî ïðèíöèï Ãþéãåíñà íå äàåò íèêàêèõ óêàçàíèé îá àìÐèñ. 4.16 194 ïëèòóäå, à ñëåäîâàòåëüíî, è îá èíòåíñèâíîñòè âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ýòîò íåäîñòàòîê áûë óñòðàíåí Ôðåíåëåì, êîòîðûé äîïîëíèë ïðèíöèï Ãþéãåíñà: âòîðè÷íûå èñòî÷íèêè (èçëó÷àþùèå ïðåèìóùåñòâåííî ïî íîðìàëè ê ôðîíòó âîëíû) êîãåðåíòíû ìåæäó ñîáîé, à íîâîå ïîëîæåíèå ôðîíòà âîëíû — ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè âîëí îò âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ. Èíà÷å ãîâîðÿ, ëþáàÿ âîëíà — ðåçóëüòàò ñóïåðïîçèöèè êîãåðåíòíûõ âòîðè÷íûõ âîëí, èçëó÷àåìûõ ôèêòèâíûìè (âòîðè÷íûìè) èñòî÷íèêàìè. Óòî÷íåíèå Ôðåíåëåì ïðèíöèïà Ãþéãåíñà «ñòèðàåò» ðàçëè÷èå ìåæäó ÿâëåíèÿìè èíòåðôåðåíöèè è äèôðàêöèè. Ïîä èíòåðôåðåíöèåé ñëåäóåò ïîíèìàòü ñóïåðïîçèöèþ êîãåðåíòíûõ âîëí îò êîíå÷íîãî ÷èñëà èñòî÷íèêîâ, à ïîä äèôðàêöèåé — îò áåñêîíå÷íîãî (ðàñïðåäåëåííûõ ðàâíîìåðíî ïî íåêîòîðîé ÷àñòè ôðîíòà âîëíû èëè âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè). Ðàçëè÷àþò äâà âèäà äèôðàêöèè. Åñëè èñòî÷íèê ñâåòà è òî÷êà íàáëþäåíèÿ P ðàñïîëîæåíû îò ïðåïÿòñòâèÿ íàñòîëüêî äàëåêî, ÷òî ëó÷è, ïàäàþùèå íà ïðåïÿòñòâèå, è ëó÷è, èäóùèå â òî÷êó P, îáðàçóþò ïðàêòè÷åñêè ïàðàëëåëüíûå ïó÷êè, ãîâîðÿò î äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà èëè î äèôðàêöèè â ïàðàëëåëüíûõ ëó÷àõ.  ïðîòèâíîì Ðèñ. 4.17 ñëó÷àå ãîâîðÿò î äèôðàêöèè Ôðåíåëÿ. Äèôðàêöèþ Ôðàóíãîôåðà ìîæíî íàáëþäàòü, ïîìåñòèâ çà èñòî÷íèêîì ñâåòà S è ïåðåä òî÷êîé íàáëþäåíèÿ P ïî ëèíçå òàê, ÷òîáû òî÷êè S è P îêàçàëèñü â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé ëèíçû (ðèñ. 4.17). Çîíû Ôðåíåëÿ Ìåòîä Ôðåíåëÿ îáúÿñíÿåò ïðÿìîëèíåéíîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â ñâîáîäíîé îò ïðåïÿòñòâèé îäíîðîäíîé ñðåäå. ×òîáû ïîêàçàòü ýòî, ðàññìîòðèì äåéñòâèå ñôåðè÷åñêîé ñâåòîâîé âîëíû îò òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà S â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà Ð (ðèñ. 4.18). Âîëíîâàÿ ïîâåðõíîñòü ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé SP. Ôðåíåëü ïðåäëîæèë îðèãèíàëüíûé ìåòîä ðàçáèåíèÿ âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè. Îíà ðàçáèâàåòñÿ íà êîëüöåâûå çîíû, ïîñòðîåííûå òàê, ÷òî ðàññòîÿíèÿ îò êðàåâ ñîñåäíèõ çîí äî òî÷êè P îòëè÷àþòñÿ íà l/2 (l — äëèíà ñâåòîâîé âîëíû â òîé ñðåäå, â êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âîëíà). Êîëå195 áàíèÿ, ïðèõîäÿùèå â òî÷êó Ð îò àíàëîãè÷íûõ òî÷åê äâóõ ñîñåäíèõ çîí, ïðîòèâîïîëîæíû ïî ôàçå, òàê êàê ðàçíîñòü õîäà îò ýòèõ çîí äî òî÷êè Ð ðàâíà l/2. Ïðè íàëîæåíèè ýòè êîëåáàíèÿ âçàèìíî îñëàáëÿþò äðóã äðóãà. Ðåçóëüòèðóþùàÿ àìïëèòóäà â òî÷êå Ð âûðàçèòñÿ ñóììîé: À = À1 – À2 + À3 – À4 + …. (4.33) Ðèñ. 4.18 Âåëè÷èíà àìïëèòóäû Àk çàâèñèò îò ïëîùàäè k-é çîíû è óãëà ìåæäó âíåøíåé íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè çîíû è ïðÿìîé, íàïðàâëåííîé èç ýòîé òî÷êè â òî÷êó Ð. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïëîùàäè âñåõ çîí Ôðåíåëÿ ðàâíîâåëèêè è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîùíîñòè èçëó÷åíèÿ âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ îäèíàêîâû. Íî ñ óâåëè÷åíèåì k âîçðàñòàåò óãîë ìåæäó íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè è íàïðàâëåíèåì â òî÷êó Ð, ÷òî ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ k-é çîíû â äàííîì íàïðàâëåíèè, ò. å. ê óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû Àk ïî ñðàâíåíèþ ñ àìïëèòóäàìè ïðåäûäóùèõ çîí. Àìïëèòóäà Àk óìåíüøàåòñÿ òàêæå âñëåäñòâèå óâåëè÷åíèÿ ðàññòîÿíèÿ îò çîíû äî òî÷êè Ð ñ ðîñòîì íîìåðà çîíû.  èòîãå A1 > A2 > A3 > A4 >K> Ak >K. (4.34) Âñëåäñòâèå áîëüøîãî ÷èñëà çîí óáûâàíèå Àk íîñèò ìîíîòîííûé õàðàêòåð è ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Ak = 196 A k -1 + A k +1 . 2 (4.35) Ïåðåïèñàâ (4.33) â âèäå A= A1 æç A1 A ö æA A ö + ç - A2 + 3 ÷÷÷ + çç 3 - A4 + 5 ÷÷÷+..., 2 èç 2 2 ÷ø çè 2 2 ÷ø (4.36) îáíàðóæèâàåì, ÷òî ñîãëàñíî (4.35) âûðàæåíèÿ â ñêîáêàõ ðàâíû íóëþ è óðàâíåíèå (4.33) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó A = A1 2. (4.37) Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî êîëåáàíèÿ, âûçûâàåìûå â òî÷êå Ð ïîëíîñòüþ îòêðûòîé ñôåðè÷åñêîé âîëíîâîé ïîâåðõíîñòüþ, èìåþò òàêóþ æå àìïëèòóäó, êàê åñëè áû äåéñòâîâàëà òîëüêî ïîëîâèíà öåíòðàëüíîé çîíû Ôðåíåëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñâåò îò èñòî÷íèêà S â òî÷êó Ð ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ î÷åíü óçêîãî ïðÿìîãî êàíàëà, ò. å. ïðÿìîëèíåéíî. Åñëè íà ïóòè âîëíû ïîñòàâèòü íåïðîçðà÷íûé ýêðàí ñ îòâåðñòèåì, îñòàâëÿþùèì îòêðûòîé òîëüêî öåíòðàëüíóþ çîíó Ôðåíåëÿ, àìïëèòóäà â òî÷êå P áóäåò ðàâíà A1, ò. å. â äâà ðàçà ïðåâçîéäåò àìïëèòóäó (4.37). Ñîîòâåòñòâåííî èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå P áóäåò â ýòîì ñëó÷àå â ÷åòûðå ðàçà áîëüøå, ÷åì ïðè îòñóòñòâèè ïðåãðàä ìåæäó òî÷êàìè S è P. Ïóñòü âîëíà îò èñòî÷íèêà S âñòðå÷àåò íà ïóòè íåïðîçðà÷íûé ýêðàí ñ êðóãëûì îòâåðñòèåì (ðèñ. 4.19, à). Ðåçóëüòàò äèôðàêöèè íàáëþäàåòñÿ íà ýêðàíå, ïàðàëëåëüíîì ïëîñêîñòè îòâåðñòèÿ. Äèôðàêöèîííûé ýôôåêò â òî÷êå Ð ýêðàíà, ðàñïîëîæåííîé ïðîòèâ öåíòðà îòâåðñòèÿ, çàâèñèò îò òîãî, ñêîëüêî çîí Ôðåíåëÿ óêëàäûâàåòñÿ íà îòêðûòîé ÷àñòè âîëíîâîãî ôðîíòà. Åñëè â îòâåðñòèè óêëàäûâàåòñÿ ðîâíî k çîí Ôðåíåëÿ, òî àìïëèòóäà À = À1 – À2 + À3 – À4 + … ± Àk. (4.38) Ðèñ. 4.19 197 Åñëè ÷èñëî çîí k íåâåëèêî, òî àìïëèòóäû êîëåáàíèé â òî÷êå Ð îò äâóõ ñîñåäíèõ çîí ìàëî îòëè÷àþòñÿ ïî âåëè÷èíå, à ðåçóëüòàò îïðåäåëÿåòñÿ ÷åòíîñòüþ èëè íå÷åòíîñòüþ ÷èñëà k. Åñëè ÷èñëî îòêðûòûõ çîí ÷åòíî, òî êîëåáàíèÿ îò ñîñåäíèõ çîí ïîãàøàþò äðóã äðóãà è â òî÷êå Ð íàáëþäàåòñÿ ìèíèìóì èíòåíñèâíîñòè, åñëè æå ÷èñëî çîí íå÷åòíî, òî îäíà çîíà îêàçûâàåòñÿ íåêîìïåíñèðîâàííîé è â òî÷êå Ð íàáëþäàåòñÿ ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè (êàê îò îäíîé çîíû). Ðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà íà ýêðàíå â ñëó÷àå íå÷åòíîãî ÷èñëà çîí ïðèâåäåíî íà ðèñ. 4.19, á; â ñëó÷àå ÷åòíîãî — íà ðèñ. 4.19, â. Ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà çîí k àìïëèòóäà Àk ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (Àk << À1). Íèêàêîé èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû íà ýêðàíå íå áóäåò — ñâåò â ýòîì ñëó÷àå ïðàêòè÷åñêè ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òàê æå, êàê è ïðè îòñóòñòâèè ýêðàíà ñ îòâåðñòèåì, ò. å. ïðÿìîëèíåéíî. Îòñþäà ñëåäóåò âûâîä î òîì, ÷òî ñëåäñòâèÿ âîëíîâûõ ïðåäñòàâëåíèé è ïðåäñòàâëåíèé î ïðÿìîëèíåéíîì ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòà íà÷èíàþò ñîâïàäàòü òîãäà, êîãäà ÷èñëî îòêðûòûõ çîí âåëèêî. Ïðè ðàçìåùåíèè ìåæäó èñòî÷íèêîì S è ýêðàíîì êðóãëîãî íåïðîçðà÷íîãî äèñêà çàêðûâàåòñÿ îäíà èëè íåñêîëüêî ïåðâûõ çîí Ôðåíåëÿ. Åñëè äèñê çàêðîåò k çîí Ôðåíåëÿ, òî â òî÷êå Ð àìïëèòóäà ñóììàðíîé âîëíû æA A A ö A = Ak +1 - Ak + 2 + Ak + 3 -K = k +1 + çç k +1 - Ak + 2 + k + 3 ÷÷÷+K ç è 2 2 2 ø÷ Òàê êàê âûðàæåíèÿ â ñêîáêàõ ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíûìè íóëþ (ñì. (4.35)), ïîëó÷àåì: A A = k +1 . 2 Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå êðóãëîãî íåïðîçðà÷íîãî äèñêà â öåíòðå êàðòèíû (òî÷êà Ð) ïðè ëþáîì (êàê ÷åòíîì, òàê è íå÷åòíîì) k ïîëó÷àåòñÿ ñâåòëîå ïÿòíî. Åñëè äèñê çàêðûâàåò ëèøü ÷àñòü ïåðâîé çîíû Ôðåíåëÿ, òåíü íà ýêðàíå îòñóòñòâóåò, îñâåùåííîñòü âî âñåõ òî÷êàõ òàêàÿ æå, êàê è ïðè îòñóòñòâèè ïðåãðàäû. Èíòåíñèâíîñòü öåíòðàëüíîãî ìàêñèìóìà îñëàáåâàåò ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðîâ äèñêà (Ak+1 << A1). Åñëè äèñê çàêðûâàåò ìíîãî çîí Ôðåíåëÿ, èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè ïðàêòè÷åñêè âñþäó ðàâíà íóëþ è ëèøü âáëèçè ãðàíèö íàáëþäàåòñÿ ñëàáàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ÿâëåíèåì äèôðàêöèè è ïîëüçîâàòüñÿ çàêîíîì ïðÿìîëèíåéíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà. 198 Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè Ïóñòü ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ùåëü øèðèíîé b. Ðàññìîòðèì ëó÷è, èäóùèå îò âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ íà îòêðûòîé ÷àñòè âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ïîä óãëîì j (ðèñ. 4.20). Åñëè ðàçíîñòü õîäà îò êðàåâ ùåëè ðàâíà ± kl, îòêðûòóþ ÷àñòü âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè ìîæíî ðàçáèòü íà 2k ðàâíûõ ïî øèðèíå çîí (çîí Ôðåíåëÿ), ïðè÷åì ðàçíîñòü õîäà îò êðàåâ êàæäîé çîíû ðàâíà l/2 (ðèñ. 4.21). Êîëåáàíèÿ, ïîñûëàåìûå â òî÷êó íàáëþäåíèÿ P ñîîòâåòñòâóþùèìè ó÷àñòêàìè äâóõ ñîñåäíèõ çîí (íàïðèìåð, ïîìå÷åííûõ êðåñòèêàìè ó÷àñòêàìè çîí 1 è 2), íàõîäÿòñÿ â ïðîòèâîôàçå. Ïîýòîìó Ðèñ. 4.20 êîëåáàíèÿ îò êàæäîé ïàðû ñîñåäíèõ çîí âçàèìíî ïîãàøàþò äðóã äðóãà è ðåçóëüòèðóþùàÿ àìïëèòóäà â òî÷êå P ðàâíà íóëþ. Ïðè D = ±(2k + 1)l/2 ÷èñëî çîí íå÷åòíîå, äåéñòâèå îäíîé èç íèõ îêàæåòñÿ íåêîìïåíñèðîâàííûì, òàê ÷òî áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè. Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ äëÿ ðàçíîñòè õîäà îò êðàåâ ùåëè (ñì. ðèñ. 4.20) D = bsinj, Ðèñ. 4.21 óñëîâèÿ ìàêñèìóìîâ è ìèíèìóìîâ ïðè äèôðàêöèè íà ùåëè ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: æ 1ö óñëîâèÿ max: (4.39) b sin j = ±ççm + ÷÷÷l (m = 0, 1, 2, …); çè 2 ÷ø óñëîâèÿ min: bsinj = ±kl (k = 1, 2, 3, …).  ñåðåäèíå ñèììåòðè÷íîé äèôðàêöèîííîé êàðòèíû, ñîñòîÿùåé èç ÷åðåäóþùèõñÿ ñâåòëûõ è òåìíûõ ïîëîñ, âñåãäà îáðàçóåòñÿ ìàêñèìóì îñâåùåííîñòè (ïðè j = 0 ùåëü äåéñòâóåò êàê îäíà çîíà Ôðåíåëÿ). Èíòåíñèâíîñòü I ñâåòà íà ýêðàíå çàâèñèò îò óãëà äèôðàêöèè (ðèñ. 4.22), (4.40) Ðèñ. 4.22 199 ïðè ýòîì èíòåíñèâíîñòü âòîðîãî ìàêñèìóìà ñîñòàâëÿåò îêîëî 4 % îò èíòåíñèâíîñòè öåíòðàëüíîãî. Äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà Äèôðàêöèîííîé ðåøåòêîé íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü áîëüøîãî ÷èñëà îäèíàêîâûõ, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà îäíî è òî æå ðàññòîÿíèå ùåëåé (ðèñ. 4.23). Ðàññòîÿíèå d ìåæäó ñåðåäèíàìè ñîñåäíèõ ùåëåé íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé èëè ïåðèîäîì ðåøåòêè. Ðèñ. 4.23 Íà äèôðàêöèîííîé ðåøåòêå îñóùåñòâëÿåòñÿ ìíîãîëó÷åâàÿ èíòåðôåðåíöèÿ êîãåðåíòíûõ ïó÷êîâ ñâåòà, èäóùèõ îò âñåõ ùåëåé (ñì. ðèñ. 4.23, à). Åñëè êàæäàÿ ùåëü â îäíîì íàïðàâëåíèè íå ðàñïðîñòðàíÿåò ñâåò, òî îí íå áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ è ïðè áîëüøåì êîëè÷åñòâå ùåëåé, òî åñòü óñëîâèå ìèíèìóìà (4.40) äëÿ ùåëè ñïðàâåäëèâî è äëÿ ðåøåòêè. Ðàçíîñòè õîäà ëó÷åé îò äâóõ ñîñåäíèõ ùåëåé îäèíàêîâû â ïðåäåëàõ âñåé äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè (ñì. ðèñ. 4.23, á): D = dsinj. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü ôàç d = 2p D 2p = d sin j, l l ãäå l — äëèíà âîëíû â äàííîé ñðåäå. Äëÿ òåõ íàïðàâëåíèé, äëÿ êîòîðûõ d = ±2pm, ò. å. ïðè óñëîâèè dsinj = ±ml (m = 0, 1, 2, …), 200 (4.41) êîëåáàíèÿ îò îòäåëüíûõ ùåëåé âçàèìíî óñèëèâàþò äðóã äðóãà. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (4.41) îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèÿ ìàêñèìóìîâ èíòåíñèâíîñòè, íàçûâàåìûõ ãëàâíûìè. ×èñëî m äàåò òàê íàçûâàåìûé ïîðÿäîê ãëàâíîãî ìàêñèìóìà. Ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà òîëüêî îäèí, ìàêñèìóìîâ ïåðâîãî, âòîðîãî è ò. ä.— ïî äâà. Êðîìå ìèíèìóìîâ, îïðåäåëÿåìûõ óñëîâèåì (4.40), â ïðîìåæóòêàõ ìåæäó ñîñåäíèìè ãëàâíûìè ìàêñèìóìàìè èìååòñÿ ïî (N – 1)-ìó äîáàâî÷íîìó ìèíèìóìó (N — ÷èñëî ùåëåé). Ýòè ìèíèìóìû âîçíèêàþò â òåõ íàïðàâëåíèÿõ, äëÿ êîòîðûõ êîëåáàíèÿ îò îòäåëüíûõ ùåëåé âçàèìíî ïîãàøàþò äðóã äðóãà. Íàïðàâëåíèÿ äîáàâî÷íûõ ìèíèìóìîâ îïðåäåëÿþòñÿ óñëîâèåì k¢ (4.42) d sin j = ± l N (k¢ = 1, 2, …, N – 1, N + 1, …, 2 N – 1, 2N + 1, …), k¢ ïðèíèìàåò âñå öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, êðîìå 0, N, 2N, …, ò. å. êðîìå òåõ, ïðè êîòîðûõ óñëîâèå (4.42) ïåðåõîäèò â óñëîâèå (4.41). Ìåæäó äîïîëíèòåëüíûìè ìèíèìóìàìè ðàñïîëàãàþòñÿ ñëàáûå âòîðè÷íûå ìàêñèìóìû. Õàðàêòåðèñòèêè ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà Èç ôîðìóëû (4.41) ñëåäóåò, ÷òî íàïðàâëåíèÿ íà ãëàâíûå ìàêñèìóìû çàâèñÿò îò äëèíû ñâåòîâîé âîëíû (çà èñêëþ÷åíèåì ìàêñèìóìà íóëåâîãî ïîðÿäêà ïðè m = 0). Ïîýòîìó ðåøåòêà â êàæäîì ïîðÿäêå (m ¹ 0) ðàçëàãàåò ïàäàþùèé íà íåå ñâåò â ñïåêòð, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ïðèáîðîì. Íàèáîëüøåå îòêëîíåíèå â êàæäîì ïîðÿäêå èñïûòûâàåò êðàñíàÿ ÷àñòü ñïåêòðà (áîëåå äëèííîâîëíîâàÿ). Îñíîâíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ëþáîãî ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà ÿâëÿþòñÿ óãëîâàÿ äèñïåðñèÿ è ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü. Óãëîâàÿ äèñïåðñèÿ D õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ïðîñòðàíñòâåííîãî (óãëîâîãî) ðàçäåëåíèÿ âîëí ñ ðàçëè÷íûìè l è îïðåäåëÿåò óãëîâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ñïåêòðàëüíûìè ëèíèÿìè, îòëè÷àþùèìèñÿ ïî äëèíå âîëíû íà åäèíèöó (íàïðèìåð, íà 1 íì). Ïî îïðåäåëåíèþ D= dj . dl (4.43) Âçÿâ äèôôåðåíöèàë îò ñîîòíîøåíèÿ (4.41) ïðè äàííîì m, íàõîäèì äëÿ ðåøåòêè: 201 dcosjdj = mdl, îòêóäà D= m . d cos j (4.44) Âèäíî, ÷òî äëÿ çàäàííîãî ïîðÿäêà m ñïåêòðà óãëîâàÿ äèñïåðñèÿ òåì áîëüøå, ÷åì ìåíüøå ïåðèîä d ðåøåòêè. Êðîìå òîãî, D ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì óãëà äèôðàêöèè j. Âîçìîæíîñòü ðàçðåøåíèÿ (ò. å. ðàçäåëüíîãî âîñïðèÿòèÿ) äâóõ áëèçêèõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé çàâèñèò íå òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè (êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ äèñïåðñèåé ïðèáîðà), íî òàêæå è îò øèðèíû ñïåêòðàëüíîãî ìàêñèìóìà. Íà ðèñ. 4.24 ïîêàçàíà ðåçóëüòèðóþùàÿ èíòåíñèâíîñòü (ñïëîøíûå êðèâûå), íàáëþäàþùàÿñÿ ïðè íàëîæåíèè äâóõ áëèçêèõ ìàêñèìóìîâ (ïóíêòèðíûå êðèâûå).  ñëó÷àå (à) îáà ìàêñèìóìà âîñïðèíèìàþòñÿ êàê îäèí.  ñëó÷àå (á) ìåæäó ìàêñèìóìàìè ëåæèò ìèíèìóì. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ, ïðåäëîæåííîìó Ðýëååì, ñïåêòðàëüíûå ëèíèè Ðèñ. 4.24 ðàçíûõ äëèí âîëí, íî îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòè ñ÷èòàþòñÿ ïîëíîñòüþ ðàçðåøåííûìè, åñëè ñåðåäèíà îäíîãî ìàêñèìóìà (äëÿ äëèíû âîëíû l) ñîâïàäàåò ñ êðàåì äðóãîãî — ñ ìèíèìóìîì äëÿ äëèíû âîëíû l + dl (ñì. ðèñ. 4.24, á).  ýòîì ñëó÷àå ìåæäó äâóìÿ ìàêñèìóìàìè âîçíèêàåò ïðîâàë, ñîñòàâëÿþùèé îêîëî 20 % îò èíòåíñèâíîñòè â ìàêñèìóìàõ, è ëèíèè åùå âîñïðèíèìàþòñÿ ðàçäåëüíî. Òàêîå âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ìàêñèìóìîâ ïîëó÷àåòñÿ ïðè îïðåäåëåííîì (äëÿ äàííîãî ïðèáîðà) çíà÷åíèè dl. Ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòüþ R ñïåêòðàëüíîãî ïðèáîðà íàçûâàþò áåçðàçìåðíóþ âåëè÷èíó l (4.45) R= , dl ãäå dl — íàèìåíüøàÿ ðàçíîñòü äëèí âîëí äâóõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé â îêðåñòíîñòè l, ïðè êîòîðîé ýòè ëèíèè âîñïðèíèìàþòñÿ åùå â ñïåêòðå ðàçäåëüíî, ò. å. ðàçðåøàþòñÿ. Èòàê, ñîãëàñíî êðèòåðèþ Ðýëåÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìàêñèìóì m-ãî ïîðÿäêà ëèíèè ñ äëèíîé âîëíû l + dl (ñì. ðèñ. 4.24, á) ñîâïàäàë ïî íàïðàâëåíèþ ñ ïåðâûì äîáàâî÷íûì ìèíèìóìîì ëèíèè l (k¢ = mN + 1). Òîãäà ñ ïîìîùüþ óñëîâèé (4.41) è (4.42) ïîëó÷àåì: 202 æ 1ö d sin j m = m(l + dl ) = ççm + ÷÷÷l, çè N ÷ø îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî R = mN . (4.46) Èòàê, ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè ïðîïîðöèîíàëüíà ïîðÿäêó ñïåêòðà m è ÷èñëó ùåëåé N. 4.4. Ïîëÿðèçàöèÿ Åñòåñòâåííûé è ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò  åñòåñòâåííîì ñâåòå êîëåáàíèÿ ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèé áûñòðî è áåñïîðÿäî÷íî ñìåíÿþò äðóã äðóãà (ðèñ. 4.25). Ñâåò, â êîòîðîì íàïðàâëåíèÿ êîëåáàíèé óïîðÿäî÷åíû êàêèì-ëèáî îáðàçîì, íàçûâàåòñÿ ïîëÿðèçîâàííûì. Åñëè êîëåáàíèÿ ñâåòîâîãî âåêòîðà ïðîèñõîäÿò òîëüêî â îäíîé ïëîñêîñòè, ñâåò íàçûâàþò ïëîñêî- èëè ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííûì. Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ñâåòîâîé âåêòîð è ëó÷, íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàöèè ëèíåéíî-ïîëÿðèçîâàííîé âîëíû. Ïëîñêîïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ìîæíî ïîëóÐèñ. 4.25 ÷èòü èç åñòåñòâåííîãî ñ ïîìîùüþ ïðèáîðîâ, íàçûâàåìûõ ïîëÿðèçàòîðàìè. Ýòè ïðèáîðû ñâîáîäíî ïðîïóñêàþò êîëåáàíèÿ, ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè, íàçûâàåìîé ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàòîðà, è ïîëíîñòüþ çàäåðæèâàþò êîëåáàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê ýòîé ïëîñêîñòè. Êîëåáàíèå ñ àìïëèòóäîé A, ñîâåðøàþùååñÿ â ïëîñêîñòè, îáðàçóþùåé óãîë j ñ ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàòîðà, ìîæíî ðàçëîæèòü íà äâà êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäàìè A|| = A cos j è A^ = A sin j (ðèñ. 4.26; ëó÷ ïåðïåíäèêóëÿðåí ê ïëîñêîñòè ðèñóíêà). Ïåðâîå êîëåáàíèå ïðîõîäèò ÷åðåç ïðèáîð, âòîðîå — çàäåðæèâàåòñÿ. Èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåé âîëíû ïðîïîðöèîíàëüíà A||2 = A 2 cos 2 j, ò. å. Ðèñ. 4.26 ðàâíà Icos2j, ãäå I — èíòåíñèâíîñòü êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé À. Ñëåäîâàòåëüíî, êîëåáàíèå, ïàðàëëåëüíîå ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàòîðà, íåñåò ñ ñîáîé äîëþ èíòåíñèâíîñòè, ðàâíóþ cos2j.  åñòåñò203 âåííîì ñâåòå âñå çíà÷åíèÿ j ðàâíîâåðîÿòíû. Ïîýòîìó äîëÿ ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ïîëÿðèçàòîð, ðàâíà ñðåäíåìó çíà÷åíèþ cos2j, ò. å. 1/2. Ïðè âðàùåíèè ïîëÿðèçàòîðà âîêðóã íàïðàâëåíèÿ åñòåñòâåííîãî ëó÷à èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà îñòàåòñÿ îäíîé è òîé æå, èçìåíÿåòñÿ ëèøü ïëîñêîñòü ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, âûõîäÿùåãî èç ïðèáîðà. Ïóñòü íà ïîëÿðèçàòîð ïàäàåò ïëîñêîïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ñ àìïëèòóäîé À0 è èíòåíñèâíîñòüþ I0 (ðèñ. 4.27). Ñêâîçü ïðèáîð ïðîéäåò ñîñòàâëÿþùàÿ êîëåáàíèé ñ àìïëèòóäîé À0cosj, ãäå j — óãîë ìåæäó ïëîñêîñòüþ êîëåáàíèé ïàäàþùåãî ñâåòà è ïëîñêîñòüþ ïîëÿðèçàòîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà I îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì Ðèñ. 4.27 I = I0cos2j. (4.47) Ñîîòíîøåíèå (4.47) íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Ìàëþñà. Ïîñòàâèì íà ïóòè åñòåñòâåííîãî ëó÷à äâà ïîëÿðèçàòîðà, ïëîñêîñòè êîòîðûõ îáðàçóþò óãîë j. Èç ïåðâîãî ïîëÿðèçàòîðà âûõîäèò ïëîñêîïîëÿðèçîâàííûé ñâåò, èíòåíñèâíîñòü êîòîðîãî I0 ñîñòàâëÿåò ïîëîâèíó èíòåíñèâíîñòè åñòåñòâåííîãî ñâåòà Iåñò. Ñîãëàñíî çàêîíó Ìàëþñà èç âòîðîãî ïîëÿðèçàòîðà âûõîäèò ñâåò èíòåíñèâíîñòüþ I0 cos2j. Òàêèì îáðàçîì, èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç äâà ïîëÿðèçàòîðà, I= 1 I åñò cos 2 j. 2 Ìàêñèìàëüíàÿ èíòåíñèâíîñòü, ðàâíàÿ 1/2 Iåñò, ïîëó÷àåòñÿ ïðè j = 0 (ïîëÿðèçàòîðû ïàðàëëåëüíû). Ïðè j = p/2 èíòåíñèâíîñòü ðàâíà íóëþ — ñêðåùåííûå ïîëÿðèçàòîðû ñâåòà íå ïðîïóñêàþò. Ñâåò, â êîòîðîì êîëåáàíèÿ îäíîãî íàïðàâëåíèÿ ïðåîáëàäàþò íàä êîëåáàíèÿìè äðóãèõ íàïðàâëåíèé, íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííûì. Òàêîé ñâåò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñìåñü åñòåñòâåííîãî è ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîãî. Åñëè ïðîïóñòèòü ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò ÷åðåç ïîëÿðèçàòîð, òî ïðè âðàùåíèè ïðèáîðà âîêðóã íàïðàâëåíèÿ ëó÷à èíòåíñèâíîñòü ïðîøåäøåãî ñâåòà èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò Imax äî Imin, ïðè÷åì ïåðåõîä îò îäíîãî èç ýòèõ çíà÷åíèé ê äðóãîìó ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïîâîðîòå íà óãîë j = p/2 (çà îäèí ïîëíûé ïîâîðîò äâà ðàçà äîñòèãàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå è äâà ðàçà ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèÿ èíòåíñèâíîñòè). ×àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííûé ñâåò õàðàêòåðèçóåòñÿ ñòåïåíüþ ïîëÿðèçàöèè P: 204 P= I max - I min . I max + I min (4.48) Äëÿ ïëîñêîïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà Imin = 0 è Ð = 1; äëÿ åñòåñòâåííîãî ñâåòà Imax = Imin è Ð = 0. Ïîëÿðèçàöèÿ ïðè îòðàæåíèè è ïðåëîìëåíèè Åñëè óãîë ïàäåíèÿ ñâåòà íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðèêîâ (íàïðèìåð, íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëÿííîé ïëàñòèíêè) íå ðàâåí íóëþ, îòðàæåííûé è ïðåëîìëåííûé ëó÷è îêàçûâàþòñÿ ÷àñòè÷íî ïîëÿðèçîâàííûìè.  îòðàæåííîì ëó÷å ïðåîáëàäàþò êîëåáàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ (íà ðèñ. 4.28 ýòè êîëåáàíèÿ îáîçíà÷åíû òî÷êàìè), â ïðåëîìëåííîì ëó÷å — êîëåáàíèÿ, ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ (íà ðèñ. 4.28 îíè èçîáðàæåíû äâóñòîðîííèìè ñòðåëêàìè). Ðèñ. 4.28 Ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè çàâèñèò îò óãëà ïàäåíèÿ. Ïðè óãëå ïàäåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ (4.49) tga Áð = n 21 (ãäå n21 — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âòîðîé ñðåäû îòíîñèòåëüíî ïåðâîé), îòðàæåííûé ëó÷ ïîëíîñòüþ ïîëÿðèçîâàí, ò. å. îí ñîäåðæèò òîëüêî êîëåáàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê ïëîñêîñòè ïàäåíèÿ (ñì. ðèñ. 4.28, á). Ñòåïåíü ïîëÿðèçàöèè ïðåëîìëåííîãî ëó÷à ïðè óãëå ïàäåíèÿ, ðàâíîì aÁð, äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, îäíàêî ýòîò ëó÷ îñòàåòñÿ ïîëÿðèçîâàííûì òîëüêî ÷àñòè÷íî. 205 Ñîîòíîøåíèå (4.49) íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Áðþñòåðà. Óãîë aÁð íàçûâàåòñÿ óãëîì Áðþñòåðà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ïàäåíèè ñâåòà ïîä óãëîì Áðþñòåðà îòðàæåííûé è ïðåëîìëåííûé ëó÷è âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà ïðè äâîéíîì ëó÷åïðåëîìëåíèè Ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà ÷åðåç âñå ïðîçðà÷íûå êðèñòàëëû, çà èñêëþ÷åíèåì ïðèíàäëåæàùèõ ê êóáè÷åñêîé ñèñòåìå, íàáëþäàåòñÿ ÿâëåíèå, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî ïàäàþùèé íà êðèñòàëë ëó÷ ðàçäåëÿåòñÿ íà äâà ëó÷à, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè è â ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ýòî ÿâëåíèå, ïîëó÷èâøåå íàçâàíèå äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ, âïåðâûå íàáëþäàëîñü â 1669 ã. Áàðòîëèíîì äëÿ èñëàíäñêîãî øïàòà. Êðèñòàëëû, îáëàäàþùèå äâîéíûì ëó÷åïðåëîìëåíèåì, ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà îäíîîñíûå è äâóîñíûå. Ó îäíîîñíûõ êðèñòàëëîâ îäèí èç ïðåëîìëåííûõ ëó÷åé ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó ïðåëîìëåíèÿ, â ÷àñòíîñòè îí ëåæèò â îäíîé ïëîñêîñòè ñ ïàäàþùèì ëó÷îì è íîðìàëüþ ê ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè. Ýòîò ëó÷ íàçûâàåòñÿ îáûêíîâåííûì è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé î. Äëÿ äðóãîãî ëó÷à, íàçûâàåìîãî íåîáûêíîâåííûì (åãî îáîçíà÷àþò áóêâîé å), îòíîøåíèå ñèíóñîâ óãëà ïàäåíèÿ è óãëà ïðåëîìëåíèÿ íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ïðè èçìåíåíèè óãëà ïàäåíèÿ. Äàæå ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè ñâåòà íà êðèñòàëë íåîáûêíîâåííûé ëó÷ îòêëîíÿåòñÿ îò íîðìàëè (ðèñ. 4.29). Êðîìå òîãî, íåîáûêíîâåííûé ëó÷ íå ëåæèò, êàê ïðàâèëî, â îäíîé ïëîñêîñòè ñ ïàäàþùèì ëó÷îì è íîðìàëüþ ê ïðåëîìëÿþùåé ïîâåðõíîñòè. Ïðèìåðàìè îäíîîñíûõ êðèñòàëëîâ ÿâëÿþòñÿ èñëàíäñêèé øïàò, êâàðö è òóðìàëèí (ìèíåðàë ñëîæíîãî ñîñòàâà). Ó äâóîñíûõ êðèñòàëëîâ (ñëþäà, ãèïñ) îáà ëó÷à íåîáûêíîâåííûå — ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ó íèõ çàâèñÿò îò íàïðàâëåíèÿ â êðèñòàëëå.  äàëüíåéøåì ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì Ðèñ. 4.29 òîëüêî îäíîîñíûõ êðèñòàëëîâ. Ó îäíîîñíûõ êðèñòàëëîâ èìååòñÿ íàïðàâëåíèå, âäîëü êîòîðîãî îáûêíîâåííûé è íåîáûêíîâåííûé ëó÷è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ, íå ðàçäåëÿÿñü. Ýòî íàïðàâëåíèå íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêîé îñüþ êðèñòàëëà. Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî îïòè÷åñêàÿ îñü — ýòî íå ïðÿìàÿ ëèíèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç êàêóþ-òî òî÷êó êðèñòàëëà, 206 à îïðåäåëåííîå íàïðàâëåíèå â êðèñòàëëå. Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ äàííîìó íàïðàâëåíèþ, ÿâëÿåòñÿ îïòè÷åñêîé îñüþ êðèñòàëëà. Ëþáàÿ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç îïòè÷åñêóþ îñü, íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì ñå÷åíèåì èëè ãëàâíîé ïëîñêîñòüþ êðèñòàëëà. Îáû÷íî ãëàâíîå ñå÷åíèå âûáèðàþò ïðîõîäÿùèì ÷åðåç ñâåòîâîé ëó÷. Èññëåäîâàíèå îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé ïîêàçûâàåò, ÷òî îáà ëó÷à ïîëíîñòüþ ïîëÿðèçîâàíû âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ (ñì. ðèñ. 4.29). Ïëîñêîñòü êîëåáàíèé îáûêíîâåííîãî ëó÷à ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ãëàâíîìó ñå÷åíèþ êðèñòàëëà.  íåîáûêíîâåííîì ëó÷å êîëåáàíèÿ ñâåòîâîãî âåêòîðà ñîâåðøàþòñÿ â ïëîñêîñòè, ñîâïàäàþùåé ñ ãëàâíûì ñå÷åíèåì. Ïî âûõîäå èç êðèñòàëëà îáà ëó÷à îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî íàïðàâëåíèåì ïîëÿðèçàöèè, òàê ÷òî íàçâàíèÿ «îáûêíîâåííûé» è «íåîáûêíîâåííûé» ëó÷è èìåþò ñìûñë òîëüêî âíóòðè êðèñòàëëà.  íåêîòîðûõ êðèñòàëëàõ îäèí èç ëó÷åé ïîãëîùàåòñÿ ñèëüíåå äðóãîãî. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ äèõðîèçìîì. Î÷åíü ñèëüíûì äèõðîèçìîì â âèäèìûõ ëó÷àõ îáëàäàåò êðèñòàëë òóðìàëèíà.  íåì îáûêíîâåííûé ëó÷ ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïîãëîùàåòñÿ íà äëèíå 1 ìì.  êðèñòàëëàõ ñóëüôàòà éîäèñòîãî õèíèíà îäèí èç ëó÷åé ïîãëîùàåòñÿ íà ïóòè ïðèìåðíî â 0,1 ìì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî èñïîëüçîâàíî äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ïîëÿðèçàöèîííîãî óñòðîéñòâà, íàçûâàåìîãî ïîëÿðîèäîì. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öåëëóëîèäíóþ ïëåíêó, â êîòîðóþ ââåäåíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûõ êðèñòàëëèêîâ ñóëüôàòà éîäèñòîãî õèíèíà. Íà ÿâëåíèè äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ îñíîâàíî äåéñòâèå ïîëÿðèçàöèîííîãî óñòðîéñòâà, íàçûâàåìîãî ïðèçìîé Íèêîëÿ (èëè ïðîñòî íèêîëåì). Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèçìó èç èñëàíäñêîãî øïàòà (ðèñ. 4.30), ðàçðåçàííóþ Ðèñ. 4.30 ïî äèàãîíàëè è ñêëååííóþ êàíàäñêèì áàëüçàìîì. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n êàíàäñêîãî áàëüçàìà ëåæèò ìåæäó ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ îáûêíîâåííîãî è íåîáûêíîâåííîãî ëó÷åé â èñëàíäñêîì øïàòå (no > n > ne). Óãîë ïàäåíèÿ ïîäáèðàåòñÿ òàêèì, ÷òîáû îáûêíîâåííûé ëó÷ ïðåòåðïåâàë íà ïðîñëîéêå áàëüçàìà ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå è îòêëîíÿëñÿ â ñòîðîíó, íåîáûêíîâåííûé æå ëó÷ ñâîáîäíî ïðîõîäèë ÷åðåç ýòó ïðîñëîéêó è âûõîäèë èç ïðèçìû. 207 4.5. Òåïëîâîå èçëó÷åíèå Òåïëîâîå èçëó÷åíèå è åãî õàðàêòåðèñòèêè Èçâåñòíî, ÷òî òåëà, íàãðåòûå äî âûñîêèõ òåìïåðàòóð, ñâåòÿòñÿ. Ïîýòîìó òåïëîâûì èçëó÷åíèåì ìîæíî íàçâàòü ñâå÷åíèå, îáóñëîâëåííîå ñòåïåíüþ íàãðåòîñòè òåë. Áîëåå ñòðîãî òåïëîâûì èçëó÷åíèåì íàçûâàåòñÿ èñïóñêàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí çà ñ÷åò èõ âíóòðåííåé ýíåðãèè, ò. å. çà ñ÷åò òåïëîâîãî äâèæåíèÿ àòîìîâ è ìîëåêóë. Âñå îñòàëüíûå âèäû ñâå÷åíèÿ (âîçáóæäàåìûå çà ñ÷åò ëþáîãî âèäà ýíåðãèè, êðîìå âíóòðåííåé) îáúåäèíÿþòñÿ ïîä íàçâàíèåì ëþìèíåñöåíöèÿ. Òåïëîâîå èçëó÷åíèå ñâîéñòâåííî âñåì òåëàì ïðè òåìïåðàòóðå âûøå 0 Ê è èìååò ñïëîøíîé ñïåêòð ÷àñòîò, ïîëîæåíèå ìàêñèìóìà êîòîðîãî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû. Ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ èçëó÷àþòñÿ êîðîòêèå (âèäèìûå è óëüòðàôèîëåòîâûå) ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, ïðè íèçêèõ — ïðåèìóùåñòâåííî äëèííûå (èíôðàêðàñíûå). Åñëè ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè ìåæäó òåëîì è èçëó÷åíèåì îñòàåòñÿ íåèçìåííûì äëÿ êàæäîé äëèíû âîëíû, ñîñòîÿíèå ñèñòåìû òåëî — èçëó÷åíèå ðàâíîâåñíîå. Òåïëîâîå èçëó÷åíèå — åäèíñòâåííûé âèä èçëó÷åíèÿ, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàâíîâåñíûì. Âñå äðóãèå âèäû èçëó÷åíèé — íåðàâíîâåñíûå. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ. Ïîòîê èçëó÷åíèÿ ÔT (Âò) — ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó ýíåðãèè, èçëó÷àåìîé íàãðåòûì òåëîì (ñî âñåé ïîâåðõíîñòè) â åäèíèöó âðåìåíè,— ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ òåëà: FT = dW èçëó÷ . dt (4.50) Ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñâåòèìîñòü òåëà RT (Âò/ì2) — ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ ñ åäèíèöû ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè íàãðåòîãî òåëà (âî âñåì èíòåðâàëå ÷àñòîò èëè äëèí âîëí): dF T d 2W èçëó÷ . (4.51) RT = = dS dSdt Ïîòîê èçëó÷åíèÿ è ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñâåòèìîñòü — ôóíêöèè òåìïåðàòóðû (÷òîáû ïîä÷åðêíóòü ýòî, èõ ñíàáäèëè èíäåêñîì T). Èçëó÷åíèå íàãðåòîãî òåëà ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå Ò ñîñòîèò èç âîëí ðàçëè÷íûõ ÷àñòîò (äëèí âîëí), ïðè÷åì ýíåðãèÿ â ñïåêòðå ðàñïðåäåëåíà íåðàâíîìåðíî. 208 Èñïóñêàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü (ïðåæíåå íàçâàíèå — ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãåòè÷åñêîé ñâåòèìîñòè) — ìîùíîñòü èçëó÷åíèÿ ñ åäèíèöû ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè òåëà â èíòåðâàëå ÷àñòîò åäèíè÷íîé øèðèíû Rn,T (Äæ/ì2) (äëèí âîëí åäèíè÷íîé øèðèíû Rl,T (Âò/ì3)): R n ,T = dRT ,[ n , n+ dn ] , dn (4.52) R l ,T = dRT ,[ l , l+ dl ] . dl (4.53) Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãåòè÷åñêóþ ñâåòèìîñòü, íàçûâàåìóþ â ýòîì ñëó÷àå èíòåãðàëüíîé, ìîæíî íàéòè ñëåäóþùèì îáðàçîì: ¥ ¥ 0 0 RT = ò R n ,T dn = ò R l ,T dl. (4.54) Äëèíà âîëíû è ÷àñòîòà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì l = c/n. Âçÿâ äèôôåðåíöèàë, ïîëó÷àåì: c dl = - 2 dn. n Çíàê ìèíóñ îçíà÷àåò, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì îäíîé âåëè÷èíû äðóãàÿ óáûâàåò. Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóþò äëèíû èíòåðâàëîâ, çíàê ìèíóñ ìîæíî îïóñòèòü. Èòàê, èíòåðâàëó äëèí âîëí dl â îêðåñòíîñòè äëèíû âîëíû l (÷àñòîòû n) ñîîòâåòñòâóåò èíòåðâàë ÷àñòîò dn: dl = c l2 d n = dn. c n2 (4.55) Åñëè èíòåðâàëû dn è dl, âõîäÿùèå â âûðàæåíèÿ (4.52) è (4.53), ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (4.55), ò. å. îòíîñÿòñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ó÷àñòêó ñïåêòðà, òî âåëè÷èíû dRT ,[ n , n+ dn ] è dRT ,[ l , l+ dl ] äîëæíû ñîâïàäàòü: R n ,T dn = R l ,T dl. (4.56) Èç ñîîòíîøåíèé (4.55) è (4.56) ïîëó÷àåì ñâÿçü èñïóñêàòåëüíûõ ñïîñîáíîñòåé: l2 n2 èëè R l ,T = R n ,T . (4.57) R n ,T = R l ,T c c 209 Ñïîñîáíîñòü òåë ïîãëîùàòü ïàäàþùåå èçëó÷åíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîãëîùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ òåëà An,T, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ äîëåé ïîòîêà èçëó÷åíèÿ, ïîãëîùåííîãî òåëîì â èíòåðâàëå ÷àñòîò åäèíè÷íîé øèðèíû: dF Tïîãë ,[ n , n+ dn ] . (4.58) An ,T = dF T ,[ n , n+ dn ] Òåëî, ñïîñîáíîå ïîãëîùàòü âñå ïàäàþùåå èçëó÷åíèå, íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ÷åðíûì, äëÿ íåãî An,÷T º 1.  ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò àáñîëþòíî ÷åðíûõ òåë, íî ìîæíî íàéòè òåëà, î÷åíü áëèçêèå ïî ñâîèì ñâîéñòâàì ê àáñîëþòíî ÷åðíûì òåëàì (ñàæà, ÷åðíûé áàðõàò). Íàèáîëåå ñîâåðøåííîé ìîäåëüþ àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà ñëóæèò íåáîëüøîå îòâåðñòèå â íåïðîçðà÷íîé ñòåíêå çàìêíóòîé ïëîñêîñòè. Òåëî, ïîëíîñòüþ îòðàæàþùåå ïàäàþùåå íà íåãî èçëó÷åíèå âñåõ äëèí âîëí, íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî áåëûì. Òåëî, äëÿ êîòîðîãî ïîãëîùàòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü îäèíàêîâà äëÿ âñåõ ÷àñòîò è çàâèñèò òîëüêî îò òåìïåðàòóðû, íàçûâàþò ñåðûì: An,ñT = AT = const < 1. Çàêîíû òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ Ìåæäó èñïóñêàòåëüíîé è ïîãëîùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòÿìè ëþáîãî òåëà èìååòñÿ ñâÿçü, êîòîðàÿ âûðàæàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì R n ,T = rn ,T . An ,T (4.59) Ñîîòíîøåíèå (4.59) íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Êèðõãîôà: îòíîøåíèå èñïóñêàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè ëþáîãî òåëà ê åãî ïîãëîùàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ íå çàâèñèò îò ïðèðîäû òåëà; îíî ÿâëÿåòñÿ äëÿ âñåõ òåë óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû (äëèíû âîëíû) è òåìïåðàòóðû. Ôóíêöèÿ rn,T íàçûâàåòñÿ óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèåé Êèðõãîôà, êîòîðàÿ, ïî ñóòè, õàðàêòåðèçóåò èñïóñêàòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà (òàê êàê An,÷T º 1). Èç çàêîíà Êèðõãîôà ñëåäóåò, ÷òî ÷åì áîëüøå òåëî ïîãëîùàåò, òåì áîëüøå îíî è èçëó÷àåò ýíåðãèè (ïðè îäèíàêîâûõ ÷àñòîòå è òåìïåðàòóðå). Êðîìå òîãî, åñëè òåëî íå ïîãëîùàåò ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû êàêîé-òî ÷àñòîòû, òî îíî èõ è íå èçëó÷àåò. Èíòåãðàëüíóþ ýíåðãåòè÷åñêóþ ñâåòèìîñòü â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: 210 ¥ RT = ò An ,T rn ,T dn. (4.60) 0 Äëÿ ñåðîãî òåëà: ¥ RTñ = AT ò rn ,T dn = AT R e , (4.61) 0 ãäå Re — ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñâåòèìîñòü ÷åðíîãî òåëà, êîòîðàÿ çàâèñèò òîëüêî îò òåìïåðàòóðû: ¥ R e = ò rn ,T dn. (4.62) 0 Èç çàêîíà Êèðõãîôà ñëåäóåò, ÷òî îñíîâíîé çàäà÷åé ïðè îïèñàíèè òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ ÿâëÿëîñü íàõîæäåíèå çàâèñèìîñòè èñïóñêàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà îò òåìïåðàòóðû è ÷àñòîòû (äëèíû âîëíû), òàê êàê îíà óíèâåðñàëüíà äëÿ âñåõ òåë. Çàâèñèìîñòü ýíåðãåòè÷åñêîé ñâåòèìîñòè ÷åðíîãî òåëà îò òåìïåðàòóðû áûëà ïîëó÷åíà Ä. Ñòåôàíîì (1879) èç àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, à çàòåì Ë. Áîëüöìàíîì (1884) — òåîðåòè÷åñêèì ïóòåì. Ýòè ó÷åíûå óñòàíîâèëè, ÷òî ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñâåòèìîñòü àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà ïðîïîðöèîíàëüíà åãî àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå â ÷åòâåðòîé ñòåïåíè: R e = sT 4 , (4.63) ãäå s = 5,67 · 10–8 Âò/ (ì2·Ê4) — ïîñòîÿííàÿ Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà. Ôîðìóëà (4.63) íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà. Çàêîí Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà íå íåñåò èíôîðìàöèè î ñïåêòðàëüíîì ñîñòàâå èçëó÷åíèÿ ÷åðíîãî òåëà. Èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ êðèâûõ çàâèñèìîñòè rn,T (rl,T) îò ÷àñòîòû n (äëèíû âîëíû l) ïðè ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ (ðèñ. 4.31) ñëåäóåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè â ñïåêòðå ÷åðíîãî òåëà ÿâëÿåòñÿ íåðàâíîìåðíûì. Âñå êðèâûå èìåþò ÿðêî âûðàæåííûé ìàêñèìóì, êîòîðûé ïðè óâåëè÷åíèè òåìïåðàòóðû ñìåùàåòñÿ â ñòîðîíó áîëåå êîðîòêèõ âîëí. Çàâèñèìîñòü äëèíû âîëíû lm, ñîîòâåòñòâóþùåé ìàêñèìóìó ôóíêöèè rl,T, îò òåìïåðàòóðû áûëà óñòàíîâëåíà íåìåöêèì ôèçèêîì Â. Âèíîì (1893) è ïîëó÷èëà íàçâàíèå çàêîíà Ðèñ. 4.31 ñìåùåíèÿ Âèíà: 211 b lm = , T (4.64) ãäå b = 2,9 · 10–3 ì·Ê — ïîñòîÿííàÿ Âèíà. Çàêîí ñìåùåíèÿ Âèíà, òàêèì îáðàçîì, óñòàíàâëèâàåò: äëèíà âîëíû, íà êîòîðóþ ïðèõîäèòñÿ ìàêñèìóì èñïóñêàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðå ýòîãî òåëà. Ýòîò çàêîí îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó äîëÿ ýíåðãèè, ïðèõîäÿùåéñÿ íà âèäèìûå ëó÷è, âîçðàñòàåò è ñâå÷åíèå òåëà ïðè íàãðåâàíèè ïåðåõîäèò îò êðàñíîãî ê áåëîìó êàëåíèþ. Ïîïûòêè ïîëó÷èòü òåîðåòè÷åñêè âèä ôóíêöèè rn,T (rl,T) (ôîðìóëà Ðýëåÿ — Äæèíñà, çàêîí èçëó÷åíèÿ Âèíà) íà îñíîâå ïðåäñòàâëåíèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè íå óâåí÷àëèñü óñïåõîì. Ïðàâèëüíîå (ñîãëàñóþùååñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè) âûðàæåíèå äëÿ èñïóñêàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè ÷åðíîãî òåëà áûëî íàéäåíî â 1990 ã. íåìåöêèì ôèçèêîì Ì. Ïëàíêîì. Äëÿ ýòîãî åìó ïðèøëîñü îòêàçàòüñÿ îò óñòàíîâèâøåãîñÿ ïîëîæåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, ñîãëàñíî êîòîðîìó ýíåðãèÿ ëþáîé ñèñòåìû ìîæåò èçìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíî, ò. å. ïðèíèìàòü ëþáûå, ñêîëü óãîäíî áëèçêèå çíà÷åíèÿ. Ãèïîòåçà Ïëàíêà: àòîìû òåëà èçëó÷àþò ýíåðãèþ íå íåïðåðûâíî â âèäå âîëí, à îòäåëüíûìè ïîðöèÿìè — êâàíòàìè, ïðè÷åì ýíåðãèÿ e îäíîãî êâàíòà ïðîïîðöèîíàëüíà åãî ÷àñòîòå n: e = hn, (4.65) –34 ãäå h = 6,625 · 10 Äæ·ñ — êîíñòàíòà, ïîëó÷èâøàÿ íàçâàíèå ïîñòîÿííîé Ïëàíêà. Èñõîäÿ èç ýòîãî ïðåäïîëîæåíèÿ, Ì. Ïëàíê ïîëó÷èë ðàñïðåäåëåíèå äëÿ èñïóñêàòåëüíîé ñïîñîáíîñòè àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà: rn ,T = 2 phn 3 1 , 2 hn kT c -1 e (4.66) ãäå c — ñêîðîñòü ñâåòà; k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà. Âûðàæåíèå (4.66) ïîëó÷èëî íàçâàíèå ôîðìóëû Ïëàíêà. Ñ ó÷åòîì (4.57), à òàêæå âûðàçèâ ÷àñòîòó ÷åðåç äëèíó âîëíû n = c/l, ôîðìóëó Ïëàíêà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå 2 phc 2 1 . (4.67) rl ,T = 5 hc lkT -1 l e 212 Èç ôîðìóëû Ïëàíêà ìîæíî ïîëó÷èòü âñå çàêîíû òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ, â ÷àñòíîñòè (4.63) è (4.64). Ôîðìóëà Ïëàíêà — ïîëíîå ðåøåíèå îñíîâíîé çàäà÷è òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ, ïîñòàâëåííîé Êèðõãîôîì, îíà áëåñòÿùå ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè ïî ðàñïðåäåëåíèþ ýíåðãèè â ñïåêòðå èçëó÷åíèÿ ÷åðíîãî òåëà âî âñåì èíòåðâàëå ÷àñòîò è òåìïåðàòóð. Òåîðåòè÷åñêèé âûâîä ýòîé ôîðìóëû Ì. Ïëàíê èçëîæèë â 1900 ã. íà çàñåäàíèè íåìåöêîãî ôèçè÷åñêîãî îáùåñòâà. Ýòîò äåíü çíàìåíîâàë ðîæäåíèå êâàíòîâîé ôèçèêè. 4.6. Ôîòîýôôåêò Âèäû ôîòîýëåêòðè÷åñêîãî ýôôåêòà Ãèïîòåçà Ïëàíêà, áëåñòÿùå ðåøèâøàÿ çàäà÷ó èçëó÷åíèÿ àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà, ïîëó÷èëà äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ïðè îáúÿñíåíèè ôîòîýôôåêòà. Ýòî ÿâëåíèå áûëî îòêðûòî â 1887 ã. Ã. Ãåðöåì, êîòîðûé, îáëó÷àÿ óëüòðàôèîëåòîâûìè ëó÷àìè íàõîäÿùèåñÿ ïîä íàïðÿæåíèåì ýëåêòðîäû, íàáëþäàë óñêîðåíèå ïðîöåññà ðàçðÿäà. Ïîçäíåå áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè÷èíîé äàííîãî ÿâëåíèÿ ñòàëî ïîÿâëåíèå ïðè îáëó÷åíèè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Âíåøíèé ôîòîýëåêòðè÷åñêèé ýôôåêò (ôîòîýôôåêò) — ÿâëåíèå èñïóñêàíèÿ ýëåêòðîíîâ âåùåñòâîì ïîä äåéñòâèåì ñâåòà.  1888–1890 ãã. À. Ã. Ñòîëåòîâ ïðîâåë ñèñòåìàòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå âíåøíåãî ôîòîýôôåêòà è óñòàíîâèë ñëåäóþùèå åãî çàêîíîìåðíîñòè: – íàèáîëåå ýôôåêòèâíîå äåéñòâèå îêàçûâàþò óëüòðàôèîëåòîâûå ëó÷è; – ïîä äåéñòâèåì ñâåòà âåùåñòâî òåðÿåò òîëüêî îòðèöàòåëüíûå çàðÿäû; – ñèëà òîêà, âîçíèêàþùåãî ïîä äåéñòâèåì ñâåòà (ôîòîòîêà), ïðîïîðöèîíàëüíà åãî îñâåùåííîñòè. Âíóòðåííèé ôîòîýôôåêò — ýòî ÿâëåíèå óâåëè÷åíèÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ïîëóïðîâîäíèêîâ è äèýëåêòðèêîâ ïîä äåéñòâèåì ñâåòà. Íà ýòîì ÿâëåíèè îñíîâàíî äåéñòâèå ôîòîñîïðîòèâëåíèé (ôîòîðåçèñòîðîâ), ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ ïàäàåò ñ óâåëè÷åíèåì îñâåùåííîñòè. Ïîä äåéñòâèåì ñâåòà ýëåêòðîíû ìîãóò ñîâåðøàòü ïåðåõîäû âíóòðè ïîëóïðîâîäíèêà èëè äèýëåêòðèêà èç ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé â ñâîáîäíûå áåç âûëåòà íàðóæó.  ðåçóëüòàòå êîíöåíòðàöèÿ íîñèòåëåé òîêà âíóòðè 213 òåëà óâåëè÷èâàåòñÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ôîòîïðîâîäèìîñòè (ïîâûøåíèþ ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ïîëóïðîâîäíèêà èëè äèýëåêòðèêà ïðè åãî îñâåùåíèè) èëè ê âîçíèêíîâåíèþ ÝÄÑ. Âåíòèëüíûé ôîòîýôôåêò — ðàçíîâèäíîñòü âíóòðåííåãî ôîòîýôôåêòà — âîçíèêíîâåíèå ÝÄÑ (ôîòîÝÄÑ) ïðè îñâåùåíèè êîíòàêòà äâóõ ðàçíûõ ïîëóïðîâîäíèêîâ èëè ïîëóïðîâîäíèêà è ìåòàëëà (ïðè îòñóòñòâèè âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ). Âåíòèëüíûé ôîòîýôôåêò îòêðûâàåò ïóòè äëÿ ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîëíå÷íîé ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêóþ (ñîëíå÷íûå áàòàðåè). Çàêîíû âíåøíåãî ôîòîýôôåêòà Ïðèíöèïèàëüíàÿ ñõåìà äëÿ èññëåäîâàíèÿ ôîòîýôôåêòà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 4.32. Äâà ýëåêòðîäà â âàêóóìíîé òðóáêå (âàêóóìíûé ôîòîýëåìåíò) ïîäêëþ÷åíû ê áàòàðåå Á òàê, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèîìåòðà R ìîæíî èçìåíÿòü ïîäàâàåìîå íà ýëåêòðîäû íàïðÿæåíèå. Òîê, âîçíèêàþùèé ïðè îñâåùåíèè êàòîäà ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì (÷åðåç êâàðöåâîå îêîøå÷êî, ïðîïóñêàþùåå óëüòðàôèîëåò), èçìåðÿåòñÿ âêëþ÷åííûì â öåïü ãàëüâàíîìåòðîì G. Äàííàÿ óñòàíîâêà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ôîòîýôôåêòà — çàâèñèìîñòè ôîòîòîêà I, îáðàçóåìîãî ïîòîêîì ýëåêòðîíîâ, èñïóñêàåìûõ êàòîäîì ïîä äåéñòâèåì ñâåòà, îò íàïðÿæåÐèñ. 4.32 íèÿ U ìåæäó ýëåêòðîäàìè ïðè ðàçëè÷íûõ ñâåòîâûõ ïîòîêàõ è ÷àñòîòå ñâåòà n. Âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè âàêóóìíîãî ôîòîýëåìåíòà ïðè îñâåùåíèè ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì ïðèâåäåíû íà ðèñ. 4.33 äëÿ äâóõ çíà÷åíèé ñâåòîâîãî ïîòîêà (Ô1 > Ô2). Âèäíî, ÷òî ïðè íåèçìåííîé îñâåùåííîñòè ôîòîòîê ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ è ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè íàïðÿæåíèÿ äîñòèãàåò íàñûùåíèÿ, êîãäà âñå ýëåêòðîíû, èñïóùåííûå êàòîäîì, ïîïàäàþò íà àíîä. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà òîêà íàñûùåíèÿ Ií îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì ýëåêòðîíîâ, èñïóñêàåìûõ êàòîäîì â åäèíèöó âðåìåíè ïîä äåéñòâèåì ñâåòà. Ñ óâåëè÷åíèåì îñâåùåííîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ è çíà÷åíèå òîêà íàñûùåíèÿ. Ïðè U = 0 ôîòîòîê íå èñ÷åçàåò, ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîíû, âûáèòûå èç êàòîäà ïîä äåéñòâèåì ñâåòà, îáëàäàþò íåêîòîðîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ (è ýíåðãèåé) è ìîãóò äîñòèãàòü àíîäà áåç âíåøíåãî ïîëÿ. 214 Äëÿ òîãî ÷òîáû ôîòîòîê ñòàë ðàâíûì íóëþ, íåîáõîäèìî ïðèëîæèòü íåêîòîðîå îòðèöàòåëüíîå (çàäåðæèâàþùåå) íàïðÿæåíèå –Uç. Ïðè òàêîì íàïðÿæåíèè íè îäíîìó èç ýëåêòðîíîâ, äàæå îáëàäàþùåìó ïðè âûëåòå èç êàòîäà íàèáîëüøèì çíà÷åíèåì ñêîðîñòè vmax, íå óäàåòñÿ ïðåîäîëåòü çàäåðæèâàþùåå ïîëå è äîñòèãíóòü àíîäà. Ïîýòîìó ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî 2 mv max = eU ç , 2 Ðèñ. 4.33 (4.68) ãäå m — ìàññà ýëåêòðîíà. Òàêèì îáðàçîì, èçìåðèâ çàäåðæèâàþùåå íàïðÿæåíèå Uç, ìîæíî îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ôîòîýëåêòðîíîâ. Íà îñíîâàíèè îáîáùåíèÿ ïîëó÷åííûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ áûëè ñôîðìóëèðîâàíû òðè çàêîíà ôîòîýôôåêòà. 1. Çàêîí Ñòîëåòîâà: ïðè ôèêñèðîâàííîé ÷àñòîòå ïàäàþùåãî ñâåòà (n = const) ÷èñëî ôîòîýëåêòðîíîâ, âûðûâàåìûõ èç êàòîäà â åäèíèöó âðåìåíè, ïðîïîðöèîíàëüíî èíòåíñèâíîñòè ñâåòà (ñâåòîâîìó ïîòîêó Ô). 2. Ìàêñèìàëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ Wê max (ìàêñèìàëüíàÿ íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü vmax) âûðâàííûõ ñâåòîì ýëåêòðîíîâ íå çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè ïàäàþùåãî ñâåòà (îò ñâåòîâîãî ïîòîêà), à îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî åãî ÷àñòîòîé. 3. Äëÿ êàæäîãî âåùåñòâà ñóùåñòâóåò òàê íàçûâàåìàÿ êðàñíàÿ ãðàíèöà ôîòîýôôåêòà, ò. å. òàêàÿ ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòîòà nmin ñâåòà, íèæå êîòîðîé ôîòîýôôåêò íåâîçìîæåí. ×àñòîòà nmin çàâèñèò îò õèìè÷åñêîé ïðèðîäû âåùåñòâà è ñîñòîÿíèÿ åãî ïîâåðõíîñòè. Èíîãäà âûäåëÿþò 4-é çàêîí: âíåøíèé ôîòîýôôåêò áåçûíåðöèîíåí, ò. å. íàñòóïàåò ïðàêòè÷åñêè ñðàçó ïîñëå íà÷àëà îñâåùåíèÿ. Óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà äëÿ ôîòîýôôåêòà Ñ òî÷êè çðåíèÿ âîëíîâîé òåîðèè ñâåòà îáúÿñíèòü çàêîíû ôîòîýôôåêòà íåâîçìîæíî. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðèè ýëåêòðîíû äîëæíû ïîñòåïåííî íàêàïëèâàòü ýíåðãèþ, «ðàñêà÷èâàÿñü» â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ñâåòîâîé âîëíû, è ýòîò ïðîöåññ äîëæåí çàâèñåòü îò àìïëèòóäû ñâåòîâîé âîëíû 215 (ñâåòîâîãî ïîòîêà), ïðè ýòîì âðåìÿ «ðàñêà÷êè» ñîñòàâëÿëî áû ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ìèíóò. Ýòîò âûâîä ïðîòèâîðå÷èò áåçûíåðöèîííîñòè ôîòîýôôåêòà è íåçàâèñèìîñòè ýíåðãèè âûðâàííûõ ýëåêòðîíîâ îò ñâåòîâîãî ïîòîêà. Êðîìå òîãî, ñîâåðøåííî íåïîíÿòíî ñóùåñòâîâàíèå ìèíèìàëüíîé ÷àñòîòû ñâåòà, íåîáõîäèìîé äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ôîòîýôôåêòà, òàê êàê ñîãëàñíî âîëíîâîé òåîðèè ñâåò ëþáîé ÷àñòîòû, íî äîñòàòî÷íî áîëüøîé èíòåíñèâíîñòè (ïðîïîðöèîíàëüíîé ñâåòîâîìó ïîòîêó Ô) äîëæåí áûë áû âûðûâàòü ýëåêòðîíû èç ìåòàëëà.  1905 ã. À. Ýéíøòåéí, îïèðàÿñü íà ðàáîòû Ì. Ïëàíêà ïî èçëó÷åíèþ íàãðåòûõ òåë, ïðåäëîæèë êâàíòîâóþ òåîðèþ ôîòîýôôåêòà.  îñíîâó ýòîé òåîðèè ïîëîæåíî äâå èäåè. 1. Ñâåò íå òîëüêî èçëó÷àåòñÿ, íî òàêæå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå è ïîãëîùàåòñÿ âåùåñòâàìè â âèäå îòäåëüíûõ ïîðöèé ýíåðãèè — êâàíòîâ ýíåðãèè hn. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ íóæíî ðàññìàòðèâàòü íå êàê íåïðåðûâíûé âîëíîâîé ïðîöåññ, à êàê ïîòîê ëîêàëèçîâàííûõ â ïðîñòðàíñòâå äèñêðåòíûõ êâàíòîâ, äâèæóùèõñÿ ñî ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â âàêóóìå c. Ýòè êâàíòû ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ áûëè íàçâàíû ôîòîíàìè. 2. Ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ ñâåòà âåùåñòâîì ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî ôîòîíû ïåðåäàþò âñþ ñâîþ ýíåðãèþ ýëåêòðîíàì âåùåñòâà, ïðè÷åì êàæäûé êâàíò ïîãëîùàåòñÿ òîëüêî îäíèì ýëåêòðîíîì. Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåññ ïîãëîùåíèÿ ñâåòà ïðîèñõîäèò ïðåðûâíî êàê â ïðîñòðàíñòâå, òàê è âî âðåìåíè. Ýòè èäåè Ýéíøòåéíà ëåãëè â îñíîâó êâàíòîâîé òåîðèè ñâåòà, êîòîðàÿ ïîçâîëèëà óñïåøíî îáúÿñíèòü çàêîíû ôîòîýôôåêòà è ìíîãèå äðóãèå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, íå óêëàäûâàþùèåñÿ â ðàìêè êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé òåîðèè. Îñíîâûâàÿñü íà âûøåèçëîæåííûõ èäåÿõ è ïðèìåíèâ ê ôîòîýôôåêòó çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, Ýéíøòåéí ïðåäëîæèë óðàâíåíèå, êîòîðîå óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó ýíåðãèåé êâàíòà hn, âîçáóæäàþùåãî ôîòîýôôåêò, ðàáîòîé Àâûõ (ðàáîòà âûõîäà), êîòîðàÿ çàòðà÷èâàåòñÿ íà âûõîä 2 ýëåêòðîíà èç ìåòàëëà, è ìàêñèìàëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé mv max 2 âûëåòàþùåãî ýëåêòðîíà. Óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà èìååò ñëåäóþùèé âèä: hn = Aâûõ + 216 2 mv max , 2 (4.69) ãäå Àâûõ — ðàáîòà âûõîäà (íàèìåíüøàÿ ýíåðãèÿ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñîîáùèòü ýëåêòðîíó äëÿ òîãî, ÷òîáû óäàëèòü åãî èç òâåðäîãî èëè æèäêîãî òåëà â âàêóóì; çàâèñèò îò ïðèðîäû è ñîñòîÿíèÿ ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà). Óðàâíåíèå (4.69) îáúÿñíÿåò âñå ñâîéñòâà è çàêîíû ôîòîýôôåêòà. Áåçûíåðöèîííîñòü ôîòîýôôåêòà îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïåðåäà÷à ýíåðãèè ïðè ñòîëêíîâåíèè ôîòîíà ñ ýëåêòðîíîì ïðîèñõîäèò ïî÷òè ìãíîâåííî; êàæäûé êâàíò ïîãëîùàåòñÿ òîëüêî îäíèì ýëåêòðîíîì, ïîýòîìó ÷èñëî âûðâàííûõ ôîòîýëåêòðîíîâ äîëæíî áûòü ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëó ïîãëîùåííûõ ôîòîíîâ, ò. å. ñâåòîâîìó ïîòîêó. Èç óðàâíåíèÿ (4.69) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ôîòîýëåêòðîíà ëèíåéíî âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ è íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû ñâåòîâîãî ïîòîêà (÷èñëà ôîòîíîâ), òàê êàê íè ðàáîòà âûõîäà Àâûõ, íè ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ n îò ñâåòîâîãî ïîòîêà íå çàâèñÿò. Ôîðìóëà (4.69) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòîòà ñâåòà nmin, íåîáõîäèìàÿ äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ ôîòîýôôåêòà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàâåíñòâó íóëþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ôîòîýëåêòðîíîâ: n min = Aâûõ h èëè l max = hc . Aâûõ (4.70) Ýòà ìèíèìàëüíàÿ ÷àñòîòà ñâåòà (ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà âîëíû), íàçûâàåìàÿ «êðàñíîé ãðàíèöåé», îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ðàáîòîé âûõîäà ýëåêòðîíà èç ìåòàëëà, îíà çàâèñèò ëèøü îò õèìè÷åñêîé ïðèðîäû âåùåñòâà è ñîñòîÿíèÿ åãî ïîâåðõíîñòè. Âåëè÷èíà çàäåðæèâàþùåãî íàïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèé (4.68) è (4.69): hn - Aâûõ . (4.71) Uç = e Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà çàäåðæèâàþùåãî íàïðÿæåíèÿ çàâèñèò òîëüêî îò ÷àñòîòû ïàäàþùåãî ñâåòà (íå çàâèñèò îò ñâåòîâîãî ïîòîêà). 4.7. Êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé äóàëèçì Äóàëèçì ñâîéñòâ ñâåòà. Ôîòîíû Ñîãëàñíî êâàíòîâûì ãèïîòåçàì Ïëàíêà è Ýéíøòåéíà ñâåò èñïóñêàåòñÿ, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è ïîãëîùàåòñÿ â âèäå êâàíòîâ ýíåðãèè — ôîòîíîâ. Âñå îïòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîíÿòû è îáúÿñíåíû 217 íà îñíîâå ýòîé ãèïîòåçû, ñîñòàâëÿþò ïðåäìåò èçó÷åíèÿ êâàíòîâîé îïòèêè. Èòàê, ñâåò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíîå ÿâëåíèå, ñî÷åòàþùåå â ñåáå ñâîéñòâà ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû è ïîòîêà ÷àñòèö — ôîòîíîâ. Òàêîå ñî÷åòàíèå íàçûâàåòñÿ êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâûì äóàëèçìîì. Êàê è ëþáàÿ äðóãàÿ ÷àñòèöà ìàòåðèè, ôîòîí îáëàäàåò ýíåðãèåé è èìïóëüñîì. Êîðïóñêóëÿðíûå õàðàêòåðèñòèêè ôîòîíà — ýíåðãèÿ e è èìïóëüñ ðô îêàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè ñ âîëíîâûìè — ÷àñòîòîé n è äëèíîé âîëíû l. Ýíåðãèÿ ôîòîíà ïðîïîðöèîíàëüíà ÷àñòîòå ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ (îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèíå âîëíû), ÷àñòèöåé êîòîðîãî îí ÿâëÿåòñÿ: hc (4.72) e = hn = , l ãäå h — ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, c — ñêîðîñòü ñâåòà. Èìïóëüñ ôîòîíà ñâÿçàí ñ åãî ýíåðãèåé ñîîòíîøåíèåì pô = e hn h = = . c c l (4.73) Òàêîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó èìïóëüñîì è ýíåðãèåé âîçìîæíî òîëüêî äëÿ ÷àñòèö ñ íóëåâîé ìàññîé, äâèæóùèõñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà c. Ìàññà ôîòîíà ðàâíà íóëþ: mô = 0, (4.74) è ôîòîí âñåãäà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà: vô = c. (4.75) Òàêèå íåîáû÷íûå ñâîéñòâà îçíà÷àþò, ÷òî ôîòîí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòèöó îñîáîãî ðîäà, îòëè÷íóþ îò òàêèõ ÷àñòèö, êàê ýëåêòðîí, ïðîòîí, è ò. ï., êîòîðûå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü, äâèãàÿñü ñî ñêîðîñòÿìè, ìåíüøèìè c, è äàæå ïîêîÿñü. Íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî ôîòîíû äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ c íå òîëüêî â âàêóóìå, íî è â âåùåñòâå. «Çàìåäëåíèå» ñâåòà â âåùåñòâå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç âåùåñòâî ôîòîíû ïîãëîùàþòñÿ àòîìàìè è çàòåì èñïóñêàþòñÿ âíîâü. Ìåæäó àêòàìè ïîãëîùåíèÿ è èñïóñêàíèÿ ïðîõîäèò íåêîòîðîå âðåìÿ, âñëåäñòâèå ÷åãî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ôîòîíîâ â âåùåñòâå îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå c. 218 Èòàê, ñâåò (è ëþáîå äðóãîå ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå) îáíàðóæèâàåò óäèâèòåëüíîå åäèíñòâî, êàçàëîñü áû, âçàèìíî èñêëþ÷àþùèõ ñâîéñòâ — íåïðåðûâíîñòè (âîëíû) è äèñêðåòíîñòè (ôîòîíû), êîòîðûå âçàèìíî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà. Äåéñòâèòåëüíî, òàêèå ÿâëåíèÿ, êàê èíòåðôåðåíöèÿ, äèôðàêöèÿ, ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà óáåäèòåëüíî ïîäòâåðæäàþò âîëíîâóþ (ýëåêòðîìàãíèòíóþ) ïðèðîäó ñâåòà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èçëó÷åíèå àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà, ôîòîýôôåêò è äðóãèå ÿâëåíèÿ ñëóæàò äîêàçàòåëüñòâîì êâàíòîâûõ (êîðïóñêóëÿðíûõ) ïðåäñòàâëåíèé î ñâåòå êàê î ïîòîêå ôîòîíîâ. Ïðè÷åì ñ óìåíüøåíèåì äëèíû âîëíû (óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû) âñå áîëåå îò÷åòëèâî ïðîÿâëÿþòñÿ êâàíòîâûå ñâîéñòâà ñâåòà, à ñ óâåëè÷åíèåì äëèíû âîëíû (óìåíüøåíèåì ÷àñòîòû) îñíîâíóþ ðîëü èãðàþò åãî âîëíîâûå ñâîéñòâà. Òàêèì îáðàçîì, åñëè «ïåðåìåùàòüñÿ» ïî øêàëå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â ñòîðîíó áîëåå êîðîòêèõ âîëí (îò ðàäèîâîëí äî g-ëó÷åé), òî âîëíîâûå ñâîéñòâà ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ áóäóò ïîñòåïåííî óñòóïàòü ìåñòî âñå áîëåå îò÷åòëèâî ïðîÿâëÿþùèìñÿ êâàíòîâûì ñâîéñòâàì.  ðàçä. 5.2 ìû óâèäèì, ÷òî êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé äóàëèçì ïðèñóù íå òîëüêî ñâåòîâûì ÷àñòèöàì, íî è ÷àñòèöàì âåùåñòâà (ýëåêòðîíàì, ïðîòîíàì, àòîìàì è ò. ä.). Äàâëåíèå ñâåòà Èç íàëè÷èÿ ó ôîòîíà èìïóëüñà âûòåêàåò, ÷òî ñâåò, ïàäàþùèé íà êàêîå-ëèáî òåëî, äîëæåí îêàçûâàòü íà ýòî òåëî äàâëåíèå, ðàâíîå èìïóëüñó, ñîîáùàåìîìó ôîòîíàìè åäèíèöå ïîâåðõíîñòè â åäèíèöó âðåìåíè. Äàâëåíèå ñâåòà íà ïîâåðõíîñòü ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå ïåðåäà÷è èìïóëüñà ïðè ïîãëîùåíèè è îòðàæåíèè ñâåòà ïîâåðõíîñòüþ. Ðàññ÷èòàåì äàâëåíèå, îêàçûâàåìîå íà ïëîñêóþ ïîâåðõíîñòü ïàäàþùèì íîðìàëüíî ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîâûì ïîòîêîì ñ ÷àñòîòîé n. Ïóñòü â åäèíèöó âðåìåíè íà åäèíèöó ïëîùàäè òåëà ïàäàåò NtS ôîòîíîâ. Ïðè êîýôôèöèåíòå îòðàæåíèÿ r (êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ðàâåí îòíîøåíèþ ýíåðãèè îòðàæåííîé ê ýíåðãèè ïàäàþùåé) ñâåòà îò ïîâåðõíîñòè òåëà rNtS ôîòîíîâ îòðàçèòñÿ, à (1 – r) NtS — ïîãëîòèòñÿ. Êàæäûé ïîãëîùåííûé ôîòîí ïåðåäàåò ïîâåðõíîñòè èìïóëüñ hn c, à êàæäûé îòðàæåííûé ïåðåäàåò äâîéíîé èìïóëüñ 2hn c. Òîãäà äàâëåíèå ñâåòà p íà ïîâåðõíîñòü (êàê èçìåíåíèå èìïóëüñà â åäèíèöó âðåìåíè) áóäåò ñëåäóþùèì: p= 2 hn hn hn rN tS + (1 - r)N tS = (1 + r) N tS , c c c 219 ãäå hnNtS = WtS — ýíåðãèÿ âñåõ ôîòîíîâ, ïàäàþùèõ íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè â åäèíèöó âðåìåíè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî äëÿ äàâëåíèÿ, ïðîèçâîäèìîãî ñâåòîì ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè íà ïîâåðõíîñòü, ïîëó÷àåì: p= WtS (1 + r). c Çàìåòèì, ÷òî WtS c = w — îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ. Òîãäà äëÿ äàâëåíèÿ ñâåòà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì: p = w(1 + r), (4.76) ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ âûðàæåíèåì (3.195) äëÿ äàâëåíèÿ, ñëåäóþùèì èç ýëåêòðîìàãíèòíîé òåîðèè. Ñâåòîâîå äàâëåíèå íè÷òîæíî ìàëî. Òàê, ïðÿìûå ñîëíå÷íûå ëó÷è â ÿðêèé äåíü îêàçûâàþò ïðè ïîëíîì ïîãëîùåíèè äàâëåíèå 4 · 10–7 Í/ì2. Áëàãîäàðÿ ñòîëü ìàëîé âåëè÷èíå çàìåòèòü ñâåòîâîå äàâëåíèå òðóäíî. Âïåðâûå ýêñïåðèìåíòàëüíî ñâåòîâîå äàâëåíèå íà òâåðäûå òåëà áûëî îáíàðóæåíî è èçìåðåíî ðóññêèì ôèçèêîì Ï. Í. Ëåáåäåâûì â 1901 ã. 4.8. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ 1. Îñíîâíûå çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Ëèíçû. 2. Ñâåò êàê ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà (ÝÌÂ). Ïîïåðå÷íûé õàðàêòåð ÝÌÂ. Óðàâíåíèå ÝÌÂ. Âîëíîâîå óðàâíåíèå. Äëèíà âîëíû. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà. 3. Çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ÝÌ íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ. Ïðèíöèï Ôåðìà. Ãåîìåòðè÷åñêèå è îïòè÷åñêèå äëèíà ïóòè è ðàçíîñòü õîäà. 4. Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà. Óñëîâèÿ ïîëó÷åíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Óñëîâèÿ ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà ïðè èíòåðôåðåíöèè. 5. Êîãåðåíòíîñòü. Ïîëó÷åíèå êîãåðåíòíûõ âîëí. Îïûò Þíãà. Ðàñ÷åò èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû îò äâóõ èñòî÷íèêîâ. 6. Èíòåðôåðåíöèÿ â òîíêèõ ïëåíêàõ. Ëèíèè ðàâíîãî íàêëîíà è ëèíèè ðàâíîé òîëùèíû. Êîëüöà Íüþòîíà. 7. Äèôðàêöèÿ ñâåòà. Ïðèíöèï Ãþéãåíñà — Ôðåíåëÿ. Ìåòîä çîí Ôðåíåëÿ. 220 8. Äèôðàêöèÿ Ôðåíåëÿ íà ïðîñòåéøèõ ïðåãðàäàõ (äèàôðàãìà, äèñê). Çîííûå ïëàñòèíêè. 9. Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè è íà äèôðàêöèîííîé ðåøåòêå. 10. Äèñïåðñèÿ è ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè. 11. Ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà. Âèäû ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà. Ïîëÿðèçàòîðû. Çàêîí Ìàëþñà. 12. Ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà ïðè îòðàæåíèè è ïðåëîìëåíèè. Çàêîí Áðþñòåðà. 13. Òåïëîâîå èçëó÷åíèå, åãî õàðàêòåðèñòèêè. Àáñîëþòíî ÷åðíîå òåëî. 14. Ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè â ñïåêòðå èçëó÷åíèÿ àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà. Çàêîíû Êèðõãîôà, Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà, Âèíà. 15. Ãèïîòåçà è ôîðìóëà Ïëàíêà. 16. Ôîòîýôôåêò. Çàêîíû ôîòîýôôåêòà. Óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà. 17. Ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ôîòîíà. Ñâåòîâîå äàâëåíèå. 5. ÎÑÍÎÂÛ ÀÒÎÌÍÎÉ È ßÄÅÐÍÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 5.1. Ñòðîåíèå àòîìà Åùå â àíòè÷íûå âðåìåíà âîçíèêëî ïðåäñòàâëåíèå îá àòîìàõ êàê íåäåëèìûõ ìåëü÷àéøèõ ÷àñòèöàõ âåùåñòâà («àòîìîñ» — íåðàçëîæèìûé). Ê íà÷àëó XVIII â. ñóùåñòâîâàíèå àòîìîâ áûëî äîêàçàíî, íî àòîìû ïî-ïðåæíåìó ñ÷èòàëèñü íåäåëèìûìè.  1869 ã. Ä. È. Ìåíäåëååâ ðàçðàáîòàë Ïåðèîäè÷åñêóþ ñèñòåìó ýëåìåíòîâ, îòðàæàþùóþ åäèíóþ ïðèðîäó àòîìîâ. Íàïðàøèâàëñÿ âûâîä î òîì, ÷òî àòîì èìååò ñëîæíîå ñòðîåíèå. Êîãäà áûëî äîêàçàíî, ÷òî ýëåêòðîí ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ëþáîãî àòîìà, âñòàë âîïðîñ î ñòðîåíèè àòîìà. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ñâîéñòâ ýëåêòðîíà è ðàäèîàêòèâíîñòè ïîçâîëèëè ñòðîèòü êîíêðåòíûå ìîäåëè àòîìà. Çàêîíîìåðíîñòè â àòîìíûõ ñïåêòðàõ Èçëó÷åíèå íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ äðóã ñ äðóãîì àòîìîâ ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ñïåêòð èñïóñêàíèÿ àòîìîâ íàçûâàåòñÿ ëèíåé÷àòûì. Íà ðèñ. 5.1 ïðåäñòàâëåíà ÷àñòü ñïåêòðà àòîìàðíîãî âîäîðîäà â îáëàñòè âèäèìîãî ñâåòà ñ óêàçàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ äëèí âîëí â Àíã° = 10–10 ì). Ñïåêòðû äðóãèõ ýëåñòðåìàõ (1A ìåíòîâ îêàçûâàþòñÿ áîëåå ñëîæíûìè.  îòëè÷èå îò ëèíåé÷àòûõ ñïåêòðîâ àòîìîâ ìîëåêóëÿðíûå ñïåêòðû ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñîñòîÿùèìè èç ñïëîøíûõ ïîëîñ. Òåì íå ìåíåå Ðèñ. 5.1 ïðè çíà÷èòåëüíîì óâåëè÷åíèè îáíàðóæèâàåòñÿ, ÷òî ïîëîñû ñîñòîÿò èç áîëüøîãî ÷èñëà òåñíî ðàñïîëîæåííûõ ëèíèé, ïîýòîìó ñïåêòðû ìîëåêóë íîñÿò íàçâàíèå ïîëîñàòûõ ñïåêòðîâ. Èçó÷åíèå àòîìíûõ ñïåêòðîâ ïîñëóæèëî êëþ÷îì ê ïîçíàíèþ ñòðîåíèÿ àòîìîâ. Ïðåæäå âñåãî áûëî çàìå÷åíî, ÷òî ëèíèè â ñïåêòðàõ àòîìîâ ðàñïîëîæåíû íå áåñïîðÿäî÷íî, à îáúåäèíÿþòñÿ â ãðóïïû èëè, êàê èõ íà222 çûâàþò, ñåðèè ëèíèé. Îò÷åòëèâåå âñåãî ýòî îáíàðóæèâàåòñÿ â ñïåêòðå ïðîñòåéøåãî àòîìà — âîäîðîäà.  ðàìêàõ êàæäîé ñåðèè ëèíèé ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíèÿìè çàêîíîìåðíî óáûâàåò ïî ìåðå ïåðåõîäà îò áîëåå äëèííûõ âîëí ê áîëåå êîðîòêèì (ñì. ðèñ. 5.1). Øâåéöàðñêèé ó÷åíûé È. Áàëüìåð (1885) ïîäîáðàë ýìïèðè÷åñêóþ ôîðìóëó, îïèñûâàþùóþ âñå èçâåñòíûå â òî âðåìÿ ñïåêòðàëüíûå ëèíèè àòîìà âîäîðîäà â âèäèìîé îáëàñòè ñïåêòðà: æ1 1 1ö = Rçç 2 - 2 ÷÷÷ çè 2 l n ÷ø (n = 3, 4, 5, …), ãäå R = 1,10 · 107 ì–1 — ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà. Òàê êàê ÷àñòîòà n = c/l, òî ýòà ôîðìóëà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà è äëÿ ÷àñòîò.  äàëüíåéøåì áûëè îáíàðóæåíû ñåðèè ëèíèé â óëüòðàôèîëåòîâîé è èíôðàêðàñíîé îáëàñòÿõ ñïåêòðà. Âñå ñåðèè ëèíèé â ñïåêòðå àòîìà âîäîðîäà ìîãóò áûòü îïèñàíû îäíîé ôîðìóëîé, íàçûâàåìîé îáîáùåííîé ôîðìóëîé Áàëüìåðà: æ 1 1ö n = R ¢ çç 2 - 2 ÷÷÷, çè m n ÷ø (5.1) ãäå R ¢ = Rc = 3,293 · 1015 ñ–1 òàêæå íàçûâàþò ïîñòîÿííîé Ðèäáåðãà. Öåëîå ÷èñëî m îïðåäåëÿåò íîìåð ñåðèè. Ïðè ò = 1 ïîëó÷àåòñÿ ñåðèÿ ëèíèé, ðàñïîëîæåííàÿ â óëüòðàôèîëåòîâîé ÷àñòè ñïåêòðà — ñåðèÿ Ëàéìàíà; ïðè ò = 2 íàáëþäàåòñÿ ñåðèÿ Áàëüìåðà, ðàñïîëîæåííàÿ â âèäèìîé ÷àñòè ñïåêòðà; ïðè ò = 3 — ñåðèÿ Ïàøåíà è ò. ä.; ï ïðèíèìàåò öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ íà÷èíàÿ ñ (ò + 1) è îïðåäåëÿåò îòäåëüíûå ëèíèè â êàæäîé ñåðèè. Ìîäåëè àòîìà Ïåðâàÿ ìîäåëü àòîìà ïðèíàäëåæèò Äæ. Òîìñîíó (1903). Ñîãëàñíî ýòîé ìîäåëè àòîì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïðåðûâíî çàðÿæåííûé ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì øàð ðàäèóñîì ïîðÿäêà 10–10 ì, âíóòðè êîòîðîãî îêîëî ñâîèõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ êîëåáëþòñÿ ýëåêòðîíû; îòðèöàòåëüíûé ñóììàðíûé çàðÿä ýëåêòðîíîâ ðàâåí ïîëîæèòåëüíîìó çàðÿäó øàðà, ïîýòîìó àòîì â öåëîì íåéòðàëåí. ×åðåç íåñêîëüêî ëåò áûëî äîêàçàíî, ÷òî àòîì óñòðîåí èíà÷å. Ýòî îòêðûòèå ïðèíàäëåæèò àíãëèéñêîìó ôèçèêó Ðåçåðôîðäó. Îí èññëåäîâàë ïðîõîæäåíèå a-÷àñòèö â âåùåñòâå ÷åðåç çîëîòóþ ôîëüãó òîëùèíîé ïðèìåðíî 1 ìêì (a-÷àñòèöû — ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûå ÷àñòèöû ñ çàðÿäîì +2å è ìàññîé, ïðèìåðíî â 7300 ðàç áîëüøåé 223 ìàññû ýëåêòðîíà). Ïðîõîäÿ ÷åðåç ôîëüãó, îñíîâíàÿ ÷àñòü ýòèõ ÷àñòèö íåçíà÷èòåëüíî îòêëîíèëàñü (ñîãëàñíî ïðåäëîæåííîé Òîìñîíîì ìîäåëè àòîìà). Íî ñîâåðøåííî íåîæèäàííî îêàçàëîñü, ÷òî ïðèìåðíî 1 ÷àñòèöà èç 20 000 âîçâðàùàåòñÿ íàçàä â ñòîðîíó èñòî÷íèêà. Ëåãêèå ýëåêòðîíû íå ìîãóò ñóùåñòâåííî èçìåíèòü äâèæåíèå òÿæåëûõ è áûñòðûõ ÷àñòèö. Çíà÷èòåëüíîå îòêëîíåíèå a-÷àñòèö îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî îíè íàòàëêèâàþòñÿ íà òÿæåëóþ ÷àñòèöó ñ ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì. Îáúåì ýòîé òÿæåëîé ÷àñòèöû î÷åíü ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ îáúåìîì àòîìà, òàê êàê ñèëüíî îòêëîíÿþòñÿ ëèøü íåìíîãèå a-÷àñòèöû. ×òîáû îáúÿñíèòü ðåçóëüòàòû îïûòîâ, Ðåçåðôîðä â 1911 ã. ïðåäëîæèë ïðèíöèïèàëüíî íîâóþ ìîäåëü àòîìà, íàïîìèíàþùóþ ïî ñòðîåíèþ Ñîëíå÷íóþ ñèñòåìó — ïëàíåòàðíóþ (ÿäåðíóþ) ìîäåëü àòîìà. Ñîãëàñíî ýòîé ìîäåëè ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííàÿ ÷àñòü àòîìà íå ðàñïðåäåëåíà ïî âñåìó åãî îáúåìó, à ñîñðåäîòî÷åíà â ÷ðåçâû÷àéíî ìàëîì îáúåìå — ÿäðå àòîìà (ðàçìåð — 10-15–10-14 ì). Âîêðóã ïîëîæèòåëüíîãî ÿäðà, èìåþùåãî çàðÿä Ze (Z — ïîðÿäêîâûé íîìåð ýëåìåíòà â ñèñòåìå Ìåíäåëååâà, å — ýëåìåíòàðíûé çàðÿä), ïî çàìêíóòûì îðáèòàì äâèæóòñÿ ýëåêòðîíû, ïîäîáíî ïëàíåòàì âîêðóã Ñîëíöà, îáðàçóÿ ýëåêòðîííóþ îáîëî÷êó àòîìà. Òàê êàê àòîìû íåéòðàëüíû, òî çàðÿä ÿäðà ðàâåí ñóììàðíîìó çàðÿäó ýëåêòðîíîâ, ò. å. âîêðóã ÿäðà äîëæíî âðàùàòüñÿ Z ýëåêòðîíîâ.  àòîìå äåéñòâóþò ýëåêòðè÷åñêèå (êóëîíîâñêèå) ñèëû. Ýëåêòðîí äâèæåòñÿ âîêðóã ÿäðà ïî êðóãîâîé îðáèòå ðàäèóñîì r (ñ öåíòðîñòðåìèòåëüíûì óñêîðåíèåì). Ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ ýëåêòðîí äîëæåí íåïðåðûâíî èçëó÷àòü ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, òåðÿòü ýíåðãèþ íà èçëó÷åíèå è óïàñòü íà ÿäðî. Îäíàêî ýòîãî íå ïðîèñõîäèò. Äðóãàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ÷àñòîòà èçëó÷àåìîãî ýëåêòðîíîì ñâåòà ðàâíà ÷àñòîòå êîëåáàíèé ýëåêòðîíà â àòîìå (èëè ÷èñëó îáîðîòîâ â îäíó ñåêóíäó), òî èçëó÷àåìûé ñâåò ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ýëåêòðîíà ê ÿäðó äîëæåí íåïðåðûâíî èçìåíÿòü ñâîþ ÷àñòîòó. Ñîîòâåòñòâåííî, ñïåêòð èçëó÷àåìîãî ñâåòà äîëæåí áûòü ñïëîøíûì (â íåì äîëæíû ïðèñóòñòâîâàòü âñå ÷àñòîòû). Íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò îïûòó. Àòîì èçëó÷àåò âîëíû âïîëíå îïðåäåëåííûõ ÷àñòîò, òèïè÷íûõ äëÿ äàííîãî õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà, è õàðàêòåðèçóåòñÿ ñïåêòðîì, ñîñòîÿùèì èç îòäåëüíûõ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé — ëèíåé÷àòûì ñïåêòðîì (ñì. ðèñ. 5.1). Òàêèì îáðàçîì, â ðàìêàõ ìîäåëè àòîìà Ðåçåðôîðäà íå ìîãëè áûòü îáúÿñíåíû óñòîé÷èâîñòü àòîìà è ëèíåé÷àòûå ñïåêòðû åãî èçëó÷åíèÿ. 224 Ïðîòèâîðå÷èÿ ìîäåëè Ðåçåðôîðäà îêàçàëîñü âîçìîæíûì ðàçðåøèòü, ëèøü îòêàçàâøèñü îò ðÿäà ïðèâû÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Ïîñòóëàòû Áîðà Äàòñêèé ôèçèê Íèëüñ Áîð â 1913 ã. ïðåäïðèíÿë ñìåëóþ ïîïûòêó îáúÿñíèòü ðåçóëüòàòû àíàëèçà ñïåêòðà àòîìà âîäîðîäà. Ýòî áûëà ïåðâàÿ ïîïûòêà ïîñòðîèòü êà÷åñòâåííî íîâóþ (êâàíòîâóþ) òåîðèþ àòîìà. Ïðåäïîëîæåíèå Áîðà çàêëþ÷àëîñü â òîì, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ òåîðèÿ ïðîñòî íåïðèìåíèìà ê ýëåêòðîíó, äâèæóùåìóñÿ âîêðóã ÿäðà. Åñëè óìíîæèòü îáå ÷àñòè ôîðìóëû (5.1) íà ïîñòîÿííóþ Ïëàíêà h è ââåñòè îáîçíà÷åíèå Wn = -hR ¢ n 2 , èìåþùåå ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè, òî ìîæíî íàïèñàòü hn = Wn – Wm. Áîð ïðåäïîëîæèë, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà íå òåðÿåòñÿ íà èçëó÷åíèå, êîãäà îí äâèæåòñÿ ïî ëþáîé èç ðàçðåøåííûõ îðáèò. Ýëåêòðîí èçëó÷àåò ýíåðãèþ òîëüêî òîãäà, êîãäà îí ñîâåðøàåò ïåðåõîä ìåæäó äâóìÿ ðàçðåøåííûìè îðáèòàìè. Ýíåðãèÿ èñïóùåííîãî ôîòîíà â òî÷íîñòè ðàâíà ðàçíîñòè ýíåðãèé ýëåêòðîíà íà ýòèõ îðáèòàõ. ×òîáû äîêàçàòü ïðàâèëüíîñòü ýòèõ ïðåäïîëîæåíèé, Áîð ïîïûòàëñÿ âû÷èñëèòü ýíåðãèè ýòèõ ñîñòîÿíèé. Îêàçàëîñü, ÷òî ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä äèñêðåòíûõ ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè «íà îðáèòàõ» òîëüêî ïðè òîì ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ìîìåíò èìïóëüñà êâàíòóåòñÿ, ò. å. ìîæåò ïðèíèìàòü ðÿä äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé.  èòîãå â îñíîâó ñâîåé òåîðèè Áîð ïîëîæèë äâà ïîñòóëàòà. Ïåðâûé ïîñòóëàò (ïîñòóëàò ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé): ñóùåñòâóþò ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ àòîìà, íàõîäÿñü â êîòîðûõ, îí íå èçëó÷àåò ýíåðãèþ. Ýòèì ñòàöèîíàðíûì ñîñòîÿíèÿì ñîîòâåòñòâóþò âïîëíå îïðåäåëåííûå (ñòàöèîíàðíûå) îðáèòû, ïî êîòîðûì äâèæóòñÿ ýëåêòðîíû. Ïðè äâèæåíèè ïî ñòàöèîíàðíûì îðáèòàì ýëåêòðîíû, íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå ó íèõ óñêîðåíèÿ, íå èçëó÷àþò ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí.  ýòîì óòâåðæäåíèè çàêëþ÷àåòñÿ îòêàç îò ñëåäñòâèÿ èç ýëåêòðîäèíàìèêè, ÷òî óñêîðåííî äâèæóùèéñÿ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä âñåãäà èçëó÷àåò ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. 225 Ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ êðóãîâûõ îðáèò óòâåðæäàåò, ÷òî â ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè àòîìà ýëåêòðîí, äâèãàÿñü ïî êðóãîâîé îðáèòå, äîëæåí èìåòü äèñêðåòíûå (êâàíòîâàííûå) çíà÷åíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà: Ln = me v n rn = nh, (5.2) ãäå me — ìàññà ýëåêòðîíà; vn — ñêîðîñòü ýëåêòðîíà íà n-é îðáèòå; rn — ðàäèóñ n-é îðáèòû ýëåêòðîíà; n = 1, 2, 3, …; h = h 2p, h — ïîñòîÿííûå Ïëàíêà. Âòîðîé ïîñòóëàò (ïðàâèëî ÷àñòîò): ïðè ïåðåõîäå àòîìà èç îäíîãî ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå èñïóñêàåòñÿ èëè ïîãëîùàåòñÿ îäèí ôîòîí. Ýíåðãèÿ ôîòîíà ðàâíà ðàçíîñòè ýíåðãèé àòîìà â äâóõ åãî ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèÿõ: (5.3) hn nm = Wn - Wm , ãäå nnm — ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ, Wn è Wm — ýíåðãèè àòîìà â ðàññìàòðèâàåìûõ ñîñòîÿíèÿõ. Ñóùåñòâîâàíèå äèñêðåòíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé àòîìà ïîäòâåðæäàåòñÿ îïûòàìè, îñóùåñòâëåííûìè â 1914 ã. Ôðàíêîì è Ãåðöåì. Áîðîâñêàÿ òåîðèÿ âîäîðîäíîãî àòîìà  àòîìå âîäîðîäà íà ýëåêòðîí, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ vn ïî êðóãîâîé îðáèòå ðàäèóñîì rn (ðèñ. 5.2), ñî ñòîðîíû ÿäðà (ïðîòîíà) äåéñòâóåò ñèëà Êóëîíà (3.3), êîòîðàÿ ñîçäàåò öåíòðîñòðår ìèòåëüíîå (íîðìàëüíîå) óñêîðåíèå a n .  ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðûì çàêîíîì Íüþòîíà (1.43) ìîæåì çàïèñàòü: v2 1 e2 . (5.4) me n = rn 4 pe 0 rn2 Ðèñ. 5.2 Ðåøàÿ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ (5.2) è (5.4), ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ðàäèóñà n-é ñòàöèîíàðíîé îðáèòû: rn = r1 n 2 , ãäå n = 1, 2, 3, …, (5.5) à ðàäèóñ ïåðâîé ðàçðåøåííîé îðáèòû ýëåêòðîíà, íàçûâàåìûé ïåðâûì áîðîâñêèì ðàäèóñîì, r1 = 226 e 0 h2 °. = 0,528 A pme e 3 Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà ñêëàäûâàåòñÿ èç åãî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (mev2/2) è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ÿäðà (–e2/4pe0r). Èç (5.4) ñëåäóåò, ÷òî me v 2 = e 2 (4 pe 0 r), ïîýòîìó ìîæåì çàïèñàòü: W= me v 2 e2 e2 . =2 4 pe 0 r 8 pe 0 r (5.6) Ïîäñòàâëÿÿ êâàíòîâàííûå äëÿ ðàäèóñà n-é ñòàöèîíàðíîé îðáèòû çíà÷åíèÿ (5.5) â (5.6), ïîëó÷èì, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî ñëåäóþùèå äîçâîëåííûå äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ: Wn = -W1 1 n2 (n = 1, 2, 3, …). (5.7) Öåëîå ÷èñëî n â âûðàæåíèè (5.7), îïðåäåëÿþùåå ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè àòîìà, íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì. Ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñ n = 1 ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì (íîðìàëüíûì) ñîñòîÿíèåì: W1 = - me e 4 = -13,55 ýÂ. 8 h 2 e 20 Ñîñòîÿíèÿ ñ n > 1 ÿâëÿþòñÿ âîçáóæäåííûìè. Ýíåðãåòè÷åñêèé óðîâåíü, ñîîòâåòñòâóþùèé îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþ àòîìà, íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì (íîðìàëüíûì) óðîâíåì; âñå îñòàëüíûå óðîâíè ÿâëÿþòñÿ âîçáóæäåííûìè. Îòðèöàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ýíåðãèè ýëåêòðîíà â àòîìå ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî îí íàõîäèòñÿ â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè, ò. å. ïðèíàäëåæèò äàííîìó àòîìó. Ýíåðãèÿ àòîìà âîäîðîäà ñ óâåëè÷åíèåì n âîçðàñòàåò, à ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè ñáëèæàþòñÿ.  ïðåäåëå ïðè n ® ¥ ýíåðãèÿ àòîìà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ: lim W = 0. n®¥ Íóëåâàÿ ýíåðãèÿ àòîìà ñîîòâåòñòâóåò åãî èîíèçàöèè (îòðûâó îò íåãî ýëåêòðîíà). Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ èîíèçàöèè àòîìà âîäîðîäà (ýíåðãèÿ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñîîáùèòü àòîìó äëÿ âûñâîáîæäåíèÿ ýëåêòðîíà) Wi = –W1 = 13,55 ýÂ. Ñîãëàñíî âòîðîìó ïîñòóëàòó Áîðà (5.3) ïðè ïåðåõîäå àòîìà âîäîðîäà èç ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ n â ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå ò (ñ ìåíüøåé ýíåðãèåé) èñïóñêàåòñÿ êâàíò ýíåðãèè: 227 hn = Wn - Wm = îòêóäà ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ n= me e 4 8 h 3 e 20 me e 4 8 h 2 e 20 æç 1 1 ö÷ çç 2 - 2 ÷÷, èn m ÷ø çæç 1 - 1 ö÷÷. çè m 2 n 2 ÷÷ø (5.8) Ñîïîñòàâèâ äàííîå ñîîòíîøåíèå ñ ôîðìóëîé Áàëüìåðà (5.1), ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ïîñòîÿííîé Ðèäáåðãà R¢: R¢ = me e 4 W = i. 3 2 h 8h e 0 (5.9) Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (5.8) m = 1 è n = 2, 3, 4, …, ïîëó÷èì ãðóïïó ëèíèé, îáðàçóþùèõ ñåðèþ Ëàéìàíà è ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåõîäàì ýëåêòðîíîâ ñ âîçáóæäåííûõ óðîâíåé (n = 2, 3, 4, …) íà îñíîâíîé (ðèñ. 5.3). Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àþòñÿ ñåðèè Áàëüìåðà, Ïàøåíà è äð. Òåîðèÿ Áîðà áûëà ïåðâûì øàãîì â ñîçäàíèè êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå àòîìíîé ôèçèêè ïîêàçàëî ñïðàâåäëèâîñòü ïîñòóëàòîâ Áîðà íå òîëüêî äëÿ àòîìîâ, íî è äëÿ äðóãèõ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì — äëÿ ìîëåêóë è àòîìíûõ ÿäåð. Ýòà ÷àñòü òåîðèè Áîðà ñîõðàíèëàñü ïðè äàëüíåéøåì ðàçâèòèè êâàíòîâîé òåîðèè. Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ ìîäåëüþ àòîìà Áîðà, îñíîâàííîé íà ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå Ðèñ. 5.3 228 ïî çàêîíàì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ïðè íàëîæåíèè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé êâàíòîâàíèÿ. Âñêîðå âûÿñíèëîñü, ÷òî ýëåêòðîíàì ïðèñóùè ñâîéñòâà, íå ñîãëàñóþùèåñÿ ñ ïðåäñòàâëåíèåì îá èõ ïëàíåòàðíîì äâèæåíèè. 5.2. Âîëíîâûå ñâîéñòâà âåùåñòâà Èçó÷åíèå ñòðîåíèÿ àòîìà ïðèâåëî ê âûâîäó, ÷òî ïîâåäåíèå ýëåêòðîíîâ â àòîìå ïðîòèâîðå÷èò çàêîíàì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, ò. å. çàêîíàì, óñòàíîâëåííûì â îïûòàõ ñ òåëàìè ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ðàçìåðîâ.  ÷àñòíîñòè, ñóùåñòâîâàíèå äèñêðåòíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé ýëåêòðîííîé îáîëî÷êè àòîìà, çàêîíîìåðíîñòè ïåðåõîäà ìåæäó óðîâíÿìè è çàïîëíåíèÿ ýòèõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé íåâîçìîæíî áûëî îáúÿñíèòü, ïîëüçóÿñü êëàññè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè ìåõàíèêè è çàêîíàìè ýëåêòðîìàãíåòèçìà. Êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé äóàëèçì ñâîéñòâ âåùåñòâà Ñ êëàññè÷åñêèõ ïîçèöèé îêàçàëîñü íåâîçìîæíûì îáúÿñíèòü äèôðàêöèþ ýëåêòðîíîâ. Äåëî â òîì, ÷òî ýëåêòðîíû, êàê è ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû, ñïîñîáíû îáíàðóæèâàòü äèôðàêöèþ — ÿâëåíèå, ñâîéñòâåííîå òîëüêî âîëíàì. Äèôðàêöèîííîé ðåøåòêîé äëÿ ýëåêòðîíîâ ñëóæèò êðèñòàëë. Ïó÷îê ýëåêòðîíîâ, îòðàæåííûé îò êðèñòàëëà èëè ïðîïóùåííûé ÷åðåç íåãî, ïîïàäàÿ íà ôîòîïëåíêó, îáíàðóæèâàåò òèïè÷íóþ êàðòèíó äèôðàêöèîííûõ ìàêñèìóìîâ. Ðàçáåðåì ýòî ÿâëåíèå íà äâóõ îïûòàõ ñ äèôðàêöèåé ýëåêòðîíîâ íà îäíîé è íà äâóõ ùåëÿõ.  ïåðâîì îïûòå ïîòîê ýëåêòðîíîâ, ïðåäâàðèòåëüíî ðàçîãíàííûé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå äî îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè, ïðîõîäèò ÷åðåç ùåëü (ðèñ. 5.4). Çà ýêðàíîì ïîìåùàåòñÿ ôîòîïëåíêà, ïîçâîëÿþùàÿ ñóäèòü î ðàñïðåäåëåíèè ýëåêòðîíîâ â ïðîñòðàíñòâå ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ èìè ùåëè (ïî ñòåïåíè çàòåìíåíèÿ).  ýòîì îïûòå ñëåäîâàëî áû ïîëàãàòü, ÷òî ÷èñëî îòêëîíåííûõ îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ ýëåêòðîíîâ, âî-ïåðâûõ, áûëî áû íåâåëèêî, à âî-âòîðûõ, ìîíîòîííî óáûâàëî áû ñ óâåëè÷åíèåì óãëà îòêëîíåíèÿ. Îäíàêî íàáëþäàåòñÿ òèïè÷íàÿ äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà ñ øèðîêèì öåíòðàëüíûì ìàêñèìóìîì. Ðèñ. 5.4 229 Âî âòîðîì îïûòå ïîòîê ìîíîýíåðãåòè÷åñêèõ ýëåêòðîíîâ íàïðàâèëè íà äâå ùåëè, ïðîäåëàííûå â íåïðîçðà÷íîì ýêðàíå (ðèñ. 5.5). Ýòè ùåëè ñíàáæåíû çàòâîðàìè. Åñëè îñòàâèòü îòêðûòîé òîëüêî ïåðâóþ ùåëü, òî ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ (îòäåëüíûé ýëåêòðîí íà ôîòîïëåíêå ñîçäàåò ìàëåíüêîå ïÿòíî) â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ýêðàíà èìååò âèä, óêàçàííûé íà ðèñ. 5.5, à (çäåñü íå óêàçàíû ìåíåå âàæíûå äîïîëíèòåëüíûå ìàêñèìóìû). Åñëè áû áûëà îòêðûòà òîëüêî âòîðàÿ ùåëü, ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ îñòàëîñü áû òàêèì æå, íî òîëüêî ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðèâàÿ ñìåñòèëàñü áû âíèç íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå ðàññòîÿíèþ ìåæäó ùåëÿìè (ñì. ðèñ. 5.5, á). Åñëè ñëîæèòü ýòè Ðèñ. 5.5 ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ïîëó÷àåòñÿ êðèâàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 5.5, â. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå æå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ïðè äâóõ îòêðûòûõ ùåëÿõ, èçîáðàæåííîå íà ðèñ. 5.5, ã, èìååò ñîâåðøåííî èíîé âèä. Åñëè èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî ýëåêòðîí — ÷àñòèöà, òî íàäî äîïóñòèòü, ÷òî êàæäûé ýëåêòðîí ïðîõîäèò òîëüêî ÷åðåç îäíó ùåëü. Äëÿ íåãî íåñóùåñòâåííî — îòêðûòà èëè çàêðûòà äðóãàÿ ùåëü. Åñëè òàê, òî êîãäà îòêðûòû îáå ùåëè, ðàñïðåäåëåíèå ïÿòåí íà ïëåíêå äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü ðèñ. 5.5, â. Âåäü ýëåêòðîí «íå ÷óâñòâóåò», îòêðûòà èëè çàêðûòà äðóãàÿ ùåëü, ÷åðåç êîòîðóþ îí íå ïðîõîäèò. Åãî ïîâåäåíèå çà ýêðàíîì â òîì è äðóãîì ñëó÷àå íå äîëæíî çàâèñåòü îò ñîñåäíåé ùåëè. Îïûò æå ïîêàçûâàåò ñîâåðøåííî èíîå. Êàðòèíà îïûòà ñ äâóìÿ îòêðûòûìè ùåëÿìè âîâñå íå ñîâïàäàåò ñ êàðòèíîé íàëîæåíèÿ äâóõ ïåðâîíà÷àëüíûõ ïëåíîê. Çäåñü íàáëþäàåòñÿ òèïè÷íàÿ êàðòèíà èíòåðôåðåíöèè îò äâóõ ùåëåé ñ öåíòðàëüíûì ìàêñèìóìîì (ñì. ðèñ. 5.5, ã). Ýëåêòðîíû âåäóò ñåáÿ, êàê âîëíû, ïðè÷åì òàê, êàê åñëè áû êàæäûé ýëåêòðîí (à íå ïó÷îê!) ïðåäñòàâëÿë ñîáîé âîëíó è èíòåðôåðèðîâàë ñàì ñ ñîáîé. Ïðè òàêîì äîïóùåíèè ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî ïðè äâóõ îòêðûòûõ ùåëÿõ êàæäûé ýëåêòðîí ïðîõîäèò ÷åðåç îáå ùåëè ñðàçó! Òàêîå äîïóùåíèå ïåðåâîðà÷èâàåò âñå íàøè óñòàíîâèâøèåñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ îá ýëåêòðîíàõ. Êîíå÷íî, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìû äî ñèõ ïîð îøèáàëèñü, ðàññìàòðèâàÿ ýëåêòðîíû êàê ÷àñòèöû, è òåïåðü íåîáõîäèìî èñïðàâèòü îøèáêó: ñìîòðåòü íà íèõ êàê íà âîëíû, êîòîðûå ñïîñîáíû ïðîõîäèòü øèðîêèå ïî230 ëîñû ïðîñòðàíñòâà, â ÷àñòíîñòè, ïðîõîäèòü ÷åðåç äâå (è íåñêîëüêî!) ùåëåé ñðàçó. Îäíàêî â òîì-òî è ïàðàäîêñ, ÷òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ñ èíûõ òî÷åê çðåíèÿ íå ïðîõîäèò. Âåäü åñëè ýëåêòðîí ïðîõîäèò ÷åðåç îáå ùåëè ñðàçó, òî, êàæåòñÿ, åãî ìîæíî óëîâèòü îäíîâðåìåííî çà òîé è äðóãîé ùåëüþ. Ýëåêòðîí êàê áû ðàçäåëèòñÿ íà ïîëîâèíêè, è ìû â ñîñòîÿíèè ýòè ïîëîâèíêè îáíàðóæèòü çà ùåëÿìè. Îïûò íè÷åãî ïîäîáíîãî íèãäå è íèêîãäà íå ïîêàçûâàåò. Ýëåêòðîí íåäåëèì! Íèêòî è íèêîãäà íå íàáëþäàë ÷àñòè ýëåêòðîíà, îí âñåãäà âûñòóïàåò êàê öåëîå. Åñëè âîîáðàçèòü, ÷òî çà ùåëÿìè ñòîÿò ìèíèàòþðíûå ñ÷åò÷èêè, óëàâëèâàþùèå ýëåêòðîíû, òî ñ÷åò÷èêè íèêîãäà íå ñòàíóò ðàáîòàòü îäíîâðåìåííî. Îíè áóäóò ðàáîòàòü ïîî÷åðåäíî, óëàâëèâàÿ ëèøü öåëûå ýëåêòðîíû, à ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ýëåêòðîíû âîâñå íå ïðîõîäÿò îáå ùåëè ñðàçó, à âñåãäà ïðîõîäÿò ëèøü êàêóþ-òî îäíó ùåëü. Òàêèì îáðàçîì, ìû çàïóòûâàåìñÿ â ïðîòèâîðå÷èÿõ, è ñòàíîâèòñÿ ñîâåðøåííî íåÿñíûì, êàê æå ïîíèìàòü ýëåêòðîíû, à òàêæå è äðóãèå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû, òàê êàê èõ ïîâåäåíèå â äàííîì îòíîøåíèè àíàëîãè÷íî ýëåêòðîíàì. Âàæíûé øàã â ðàçúÿñíåíèè ýòèõ ïðîòèâîðå÷èé áûë ñäåëàí â 1924 ã. ôðàíöóçñêèì ôèçèêîì Ëóè äå Áðîéëåì: îí âûäâèíóë è îáîñíîâàë ãèïîòåçó î òîì, ÷òî íå òîëüêî ôîòîíû, íî è ëþáûå äðóãèå ÷àñòèöû îáëàäàþò âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå íå ó÷èòûâàþòñÿ êëàññè÷åñêèìè çàêîíàìè, íî èãðàþò ñóùåñòâåííóþ ðîëü â àòîìíûõ ÿâëåíèÿõ. Äå Áðîéëü îáîáùèë ñîîòíîøåíèÿ äëÿ èìïóëüñà p = hn/c = h/l è ýíåðãèè W = hn ôîòîíà, ïðåäïîëîæèâ, ÷òî îíè èìåþò óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð äëÿ ëþáûõ ÷àñòèö, îáëàäàþùèõ èìïóëüñîì è ýíåðãèåé (ýëåêòðîíîâ, ïðîòîíîâ, àòîìîâ è äð.). Äâèæåíèå ñâîáîäíîé (â îòñóòñòâèå âíåøíåãî ñèëîâîãî ïîëÿ) ÷àñòèöû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê âîëíîâîé ïðîöåññ ñ äëèíîé âîëíû l, îïðåäåëÿåìîé ïî ôîðìóëå äå Áðîéëÿ: l = h p, (5.10) W = hn. (5.11) è ýíåðãèåé W: Åñëè òåïåðü ñ ýòîé íîâîé òî÷êè çðåíèÿ ïîñìîòðåòü íà îïèñàíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû è ïîïûòàòüñÿ îáúÿñíèòü ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ êðóãîâûõ îðáèò Áîðà, òî ïîñëåäíåå ïîëó÷àåò ñëåäóþùóþ ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ: ñîãëàñíî äå Áðîéëþ, âîçìîæíûìè îêàçûâàþòñÿ òîëüêî òå êðóãîâûå îðáèòû, íà êîòîðûõ óêëàäûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî âîëí äå Áðîéëÿ, ò. å. 231 2pr = n. l (5.12) Ïðèíèìàÿ äàëåå âî âíèìàíèå, ÷òî l = h mv, èç (5.12) ïîëó÷àåì áîðîâñêîå ïðàâèëî êâàíòîâàíèÿ êðóãîâûõ îðáèò (5.2). Ãèïîòåçà äå Áðîéëÿ áûëà ïîäòâåðæäåíà ýêñïåðèìåíòàëüíî äëÿ ïó÷êà ýëåêòðîíîâ àìåðèêàíñêèìè ôèçèêàìè Ê. Äýâèññîíîì è Ë. Äæåðìåðîì â 1927 ã. Ðîññèéñêèé ôèçèê Â. À. Ôàáðèêàíò äîêàçàë, ÷òî âîëíîâûå ñâîéñòâà ÷àñòèö íå ÿâëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè èõ êîëëåêòèâà, à ïðèñóùè êàæäîé ÷àñòèöå â îòäåëüíîñòè. Âïîñëåäñòâèè äèôðàêöèîííûå ÿâëåíèÿ îáíàðóæèëè òàêæå äëÿ íåéòðîíîâ, ïðîòîíîâ, àòîìíûõ è ìîëåêóëÿðíûõ ïó÷êîâ. Ýòî îêîí÷àòåëüíî äîêàçàëî íàëè÷èå âîëíîâûõ ñâîéñòâ ìèêðî÷àñòèö è ïîçâîëèëî îïèñûâàòü äâèæåíèå ìèêðî÷àñòèö â âèäå âîëíîâîãî ïðîöåññà, õàðàêòåðèçóþùåãîñÿ îïðåäåëåííîé äëèíîé âîëíû, ðàññ÷èòûâàåìîé ïî ôîðìóëå äå Áðîéëÿ. Îòêðûòèå âîëíîâûõ ñâîéñòâ ìèêðî÷àñòèö ïðèâåëî ê ïîÿâëåíèþ è ðàçâèòèþ íîâûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ ñòðóêòóðû âåùåñòâ, òàêèõ, êàê ýëåêòðîíîãðàôèÿ è íåéòðîíîãðàôèÿ, à òàêæå ê âîçíèêíîâåíèþ íîâîé îòðàñëè íàóêè — ýëåêòðîííîé îïòèêè. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî íàëè÷èÿ âîëíîâûõ ñâîéñòâ ìèêðî÷àñòèö ïðèâåëî ê âûâîäó î òîì, ÷òî ïåðåä íàìè óíèâåðñàëüíîå ÿâëåíèå, îáùåå ñâîéñòâî ìàòåðèè. Íî òîãäà âîëíîâûå ñâîéñòâà äîëæíû áûòü ïðèñóùè è ìàêðîñêîïè÷åñêèì òåëàì. Ïî÷åìó æå îíè íå îáíàðóæåíû ýêñïåðèìåíòàëüíî? Íàïðèìåð, ÷àñòèöå ìàññîé 1 ã, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ 1 ì/ñ, ñîîòâåòñòâóåò âîëíà äå Áðîéëÿ ñ l = 6,62 · 10–31 ì. Òàêàÿ äëèíà âîëíû ëåæèò çà ïðåäåëàìè äîñòóïíîé íàáëþäåíèþ îáëàñòè (ïåðèîäè÷åñêèõ ñòðóêòóð ñ ïåðèîäîì ~ 10–31 ì íå ñóùåñòâóåò). Ïîýòîìó êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, êîòîðàÿ áûëà ïîñòðîåíà íà íàáëþäåíèÿõ íàä ìàêðîòåëàìè è â êîòîðîé î âîëíîâûõ ñâîéñòâàõ òåë äàæå è íå ïîäîçðåâàëè, ïðåêðàñíî óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷àì, âîçíèêàþùèì ïðè èññëåäîâàíèè äâèæåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë. È èìåííî ïîýòîìó êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà íåïðèãîäíà äëÿ òðàêòîâêè àòîìíûõ ÿâëåíèé. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ýòîãî òèïà íåëüçÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ ìåõàíèêîé Íüþòîíà è íåîáõîäèìî ðàçðàáîòàòü áîëåå ñîâåðøåííóþ ìåõàíèêó, êîòîðàÿ ó÷èòûâàëà áû âîëíîâûå ñâîéñòâà âåùåñòâà. Ýòà çàäà÷à ðåøåíà ê èñõîäó 20-õ ãã. XX â. Îñíîâíûå çàñëóãè â åå ðåøåíèè ïðèíàäëåæàò Âåðíåðó Ãåéçåíáåðãó, Ýðâèíó Øåðäèíãåðó, Ïîëþ Äèðàêó. 232 Âîëíîâàÿ èëè êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà — ýòî ñîâîêóïíîñòü çàêîíîâ äâèæåíèÿ ÷àñòèö âåùåñòâà, ó÷èòûâàþùàÿ èõ âîëíîâûå ñâîéñòâà. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ íàïðàâëåíèé ðàçâèòèÿ ñîâðåìåííîé ôèçèêè.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå èçó÷àþòñÿ çàêîíîìåðíîñòè ÿâëåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ â ìèêðîìèðå — â ïðåäåëàõ ðàçìåðîâ ïîðÿäêà 10-15–10-10 ì. Îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè ÿâëÿþòñÿ àòîìû, ìîëåêóëû, êðèñòàëëû, à òàêæå àòîìíûå ÿäðà è ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû. Ôèçè÷åñêèìè îñíîâàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè ÿâëÿþòñÿ: à) ïðåäñòàâëåíèÿ Ïëàíêà î êâàíòàõ ýíåðãèè; á) ïðåäñòàâëåíèÿ Ýéíøòåéíà î ôîòîíàõ; â) èäåè äå Áðîéëÿ î âîëíîâûõ ñâîéñòâàõ ÷àñòèö âåùåñòâà. Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè Äëÿ âîëíû ëþáîé ïðèðîäû ïðåäñòàâëåíèå î òîì, ÷òî îíà èìååò íåêîòîðûå êîîðäèíàòû, íàõîäèòñÿ â îïðåäåëåííîì ìåñòå ïðîñòðàíñòâà, ëèøåíî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Íàïðèìåð, åñëè âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ ïî ïîâåðõíîñòè âîäû, äîñòèãëà ëîäêè, òî íå èìååò ñìûñëà óòâåðæäàòü, ÷òî âîëíà íàõîäèòñÿ òîëüêî â òîì ìåñòå, ãäå îíà âñòðåòèëàñü ñ ëîäêîé. Êëàññè÷åñêèå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè äâèæóòñÿ ïî îïðåäåëåííûì òðàåêòîðèÿì, òàê ÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè òî÷íî ôèêñèðîâàíû èõ êîîðäèíàòû è èìïóëüñû. Ýëåêòðîí, ïðîòîí, íåéòðîí è ò. ä. òàêæå íàçûâàþò ÷àñòèöàìè. Îäíàêî ýòè êâàíòîâûå ÷àñòèöû (èëè ìèêðî÷àñòèöû) ðàäèêàëüíî îòëè÷àþòñÿ îò êëàññè÷åñêèõ. Îäíî èç îñíîâíûõ ðàçëè÷èé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà íå äâèæåòñÿ ïî òðàåêòîðèè, è íåïðàâîìåðíî ãîâîðèòü îá îäíîâðåìåííûõ çíà÷åíèÿõ åå êîîðäèíàòû è èìïóëüñà. Ýòî âûòåêàåò èç êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîãî äóàëèçìà. Íå èìååò ñìûñëà ãîâîðèòü î «äëèíå âîëíû â äàííîé òî÷êå», à ïîñêîëüêó èìïóëüñ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äëèíó âîëíû, òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòèöà ñ îïðåäåëåííûì èìïóëüñîì èìååò ïîëíîñòüþ íåîïðåäåëåííóþ êîîðäèíàòó. È íàîáîðîò, åñëè ÷àñòèöà çàíèìàåò òî÷íî îïðåäåëåííîå ïîëîæåíèå, òî åå Ðèñ. 5.6 èìïóëüñ ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ íåîïðåäåëåííûì. Êîãäà ÷àñòèöà M, îáëàäàþùàÿ âîëíîâûìè ñâîéñòâàìè, äâèæåòñÿ âäîëü îñè x, åå êîîðäèíàòà íà ýòîé îñè ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ëèøü ñ òî÷íîñòüþ Dx, íàçûâàåìîé íåîïðåäåëåííîñòüþ êîîðäèíàòû ÷àñòèöû (ðèñ. 5.6). 233  êîíöå 20-õ ãã. XX â. Â. Ãåéçåíáåðãîì è Í. Áîðîì áûë ñôîðìóëèðîâàí ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè: îáúåêò ìèêðîìèðà íåâîçìîæíî îäíîâðåìåííî ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ õàðàêòåðèçîâàòü è êîîðäèíàòîé, è èìïóëüñîì. Íåîïðåäåëåííîñòè æå êîîðäèíàò è êîìïîíåíò èìïóëüñà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè: DxDp x ³ h, DyDp y ³ h, DyDp y ³ h, (5.13) êîòîðûå íàçûâàþò ñîîòíîøåíèÿìè íåîïðåäåëåííîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâåäåíèå íåîïðåäåëåííîñòè êîîðäèíàòû ÷àñòèöû è íåîïðåäåëåííîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïîíåíòû åå èìïóëüñà èìååò ïîðÿäîê âåëè÷èíû ïîñòîÿííîé Ïëàíêà. Äàííîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî òàêæå ïðîèëëþñòðèðîâàòü íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Ïîïûòàåìñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèå êîîðäèíàòû ñâîáîäíî ëåòÿùåé ìèêðî÷àñòèöû, ïîñòàâèâ íà åå ïóòè ùåëü øèðèíîé Dx, ðàñïîëîæåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû (ðèñ. 5.7). Äî ïðîõîæäåíèÿ ÷àñòèöû ÷åðåç ùåëü åå ñîñòàâëÿþùàÿ èìïóëüñà px èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ (ùåëü ïî óñëîâèþ ïåðïåíäèêóëÿðíà ê èìïóëüñó), òàê ÷òî Dpx = 0, çàòî êîîðäèíàòà x ÷àñòèöû ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííî íåîïðåäåëåííîé.  ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ ÷àñòèöû ÷åðåç ùåëü ïîëîæåíèå ìåíÿåòñÿ. Âìåñòî ïîëíîé íåîïðåäåëåííîñòè êîîðäèíàòû x ïîÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü Dx, íî ýòî äîñòèãàåòñÿ öåíîé Ðèñ. 5.7 óòðàòû îïðåäåëåííîñòè çíà÷åíèÿ px. Äåéñòâèòåëüíî, âñëåäñòâèå äèôðàêöèè èìååòñÿ íåêîòîðàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷àñòèöà áóäåò äâèãàòüñÿ â ïðåäåëàõ óãëà 2j, ãäå j — óãîë, ñîîòâåòñòâóþùèé ïåðâîìó äèôðàêöèîííîìó ìèíèìóìó (ìàêñèìóìàìè âûñøèõ ïîðÿäêîâ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîñêîëüêó èõ èíòåíñèâíîñòü ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ èíòåíñèâíîñòüþ öåíòðàëüíîãî ìàêñèìóìà). Òàêèì îáðàçîì, ïîÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü: Dpx = psinj. Êðàþ öåíòðàëüíîãî äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà (ïåðâîìó ìèíèìóìó), ïîëó÷àþùåìóñÿ îò ùåëè øèðèíîé Dx (ñì. (4.40)), ñîîòâåòñòâóåò óãîë j, äëÿ êîòîðîãî 234 Dxsinj = l = h/p. Èç ïîñëåäíèõ äâóõ ñîîòíîøåíèé ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé: DxDpx = h. Ïîñêîëüêó ÷àñòü ýëåêòðîíîâ îòêëîíÿåòñÿ íà óãîë, áîëüøèé, ÷åì j, òî ïîÿâëÿåòñÿ çíàê íåðàâåíñòâà, êàê è â ñîîòíîøåíèÿõ (5.13). Èíîãäà ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé ïîëó÷àåò ñëåäóþùåå òîëêîâàíèå: â äåéñòâèòåëüíîñòè ó ìèêðî÷àñòèöû èìåþòñÿ òî÷íûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ, îäíàêî îùóòèìîå äëÿ òàêîé ÷àñòèöû âîçäåéñòâèå èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà íå ïîçâîëÿåò òî÷íî îïðåäåëèòü ýòè çíà÷åíèÿ. Òàêîå òîëêîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííî íåïðàâèëüíûì. Ïðè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ âîëíîâàÿ ïðèðîäà ÷àñòèö. Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé óêàçûâàåò, â êàêîé ìåðå ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ïîíÿòèÿìè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ïðèìåíèòåëüíî ê ìèêðî÷àñòèöàì, â ÷àñòíîñòè, ñ êàêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ãîâîðèòü î òðàåêòîðèÿõ ìèêðî÷àñòèö. Äâèæåíèå ïî òðàåêòîðèè õàðàêòåðèçóåòñÿ âïîëíå îïðåäåëåííûìè çíà÷åíèÿìè êîîðäèíàò è ñêîðîñòè â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïîäñòàâèâ â ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé âìåñòî px (â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè) ïðîèçâåäåíèå mvx, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå DxDvx = h/m, ïîçâîëÿþùåå îöåíèòü ãðàíèöû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. ×åì áîëüøå ìàññà ÷àñòèöû, òåì ìåíüøå íåîïðåäåëåííîñòè åå êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ òåì áîëüøåé òî÷íîñòüþ ïðèìåíèìî ïîíÿòèå òðàåêòîðèè. Äëÿ ìàêðî÷àñòèö íåîïðåäåëåííîñòè çíà÷åíèé x è vx îáû÷íî îêàçûâàþòñÿ çà ïðåäåëàìè òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí, òàê ÷òî ïðàêòè÷åñêè èõ äâèæåíèå áóäåò íåîòëè÷èìî îò äâèæåíèÿ ïî òðàåêòîðèè. Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîëîæåíèé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Îäíîãî ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ðÿä âàæíûõ ðåçóëüòàòîâ.  ÷àñòíîñòè, îíî ïîçâîëÿåò îáúÿñíèòü òîò ôàêò, ÷òî ýëåêòðîí íå ïàäàåò íà ÿäðî àòîìà, à òàêæå îöåíèòü ðàçìåðû ïðîñòåéøåãî àòîìà è ìèíèìàëüíî âîçìîæíóþ ýíåðãèþ ýëåêòðîíà â òàêîì àòîìå. Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè ïîêàçàë, ÷òî â ìèêðîìèðå äàëåêî íå âñåãäà ïðàâîìåðíà ïîñòàíîâêà òåõ âîïðîñîâ, êîòîðûå âïîëíå åñòåñòâåííû â êëàññè÷åñêîé òåîðèè, ÷òî íóæåí ïðèíöèïèàëüíî íîâûé ïîäõîä ê ñàìîìó îïèñàíèþ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì. 235 5.3. Àòîìíîå ÿäðî Ñîñòàâ è õàðàêòåðèñòèêè àòîìíîãî ÿäðà Àòîì ñîñòîèò èç ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîãî ÿäðà è îêðóæàþùèõ åãî ýëåêòðîíîâ. Àòîìíûå ÿäðà èìåþò ðàçìåðû ïðèìåðíî 10–14–10–15 ì (ëèíåéíûå ðàçìåðû àòîìà ~ 10–10 ì). Àòîìíîå ÿäðî ñîñòîèò èç ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö — ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ. Ïðîòîííî-íåéòðîííàÿ ìîäåëü ÿäðà áûëà ïðåäëîæåíà ðîññèéñêèì ôèçèêîì Ä. Ä. Èâàíåíêî â 1932 ã., à âïîñëåäñòâèè ðàçâèòà Â. Ãåéçåíáåðãîì. Ïðîòîí ð èìååò ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä, ðàâíûé çàðÿäó ýëåêòðîíà, è ìàññó òp = 1,6726 · 10–27 êã » 1836 me, ãäå me — ìàññà ýëåêòðîíà. Íåéòðîí n — íåéòðàëüíàÿ ÷àñòèöà ñ ìàññîé mn = 1,6749 · 10–27 êã » 1839 òe. Ìàññó ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ ÷àñòî âûðàæàþò â äðóãèõ åäèíèöàõ — â àòîìíûõ åäèíèöàõ ìàññû (2.1). Ìàññû ïðîòîíà è íåéòðîíà ðàâíû ïðèáëèçèòåëüíî îäíîé àòîìíîé åäèíèöå ìàññû. Ïðîòîíû è íåéòðîíû íàçûâàþòñÿ íóêëîíàìè (îò ëàò. nucleus — ÿäðî). Îáùåå ÷èñëî íóêëîíîâ â àòîìíîì ÿäðå íàçûâàåòñÿ ìàññîâûì ÷èñëîì À). Ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ÿäðà íå èìåþò ðåçêèõ ãðàíèö.  öåíòðå ÿäðà ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííàÿ ïëîòíîñòü ÿäåðíîãî âåùåñòâà, è îíà ïîñòåïåííî óìåíüøàåòñÿ äî íóëÿ ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà. Èç-çà îòñóòñòâèÿ ÷åòêî îïðåäåëåííîé ãðàíèöû ÿäðà åãî «ðàäèóñ» îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàññòîÿíèå îò öåíòðà, íà êîòîðîì ïëîòíîñòü ÿäåðíîãî âåùåñòâà óìåíüøàåòñÿ â äâà ðàçà. Ñðåäíåå ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ìàòåðèè äëÿ áîëüøèíñòâà ÿäåð îêàçûâàåòñÿ íå ïðîñòî ñôåðè÷åñêèì. Áîëüøèíñòâî ÿäåð äåôîðìèðîâàíî. ×àñòî ÿäðà èìåþò ôîðìó âûòÿíóòûõ èëè ñïëþùåííûõ ýëëèïñîèäîâ. Àòîìíîå ÿäðî õàðàêòåðèçóåòñÿ çàðÿäîì Ze, ãäå Z — çàðÿäîâîå ÷èñëî ÿäðà, ðàâíîå ÷èñëó ïðîòîíîâ â ÿäðå è ñîâïàäàþùåå ñ ïîðÿäêîâûì íîìåðîì õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà â Ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìå õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ Ìåíäåëååâà. ßäðî îáîçíà÷àåòñÿ òåì æå ñèìâîëîì, ÷òî è íåéòðàëüíûé àòîì: AZ X, ãäå X — ñèìâîë õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà; Z — àòîìíûé íîìåð (÷èñëî ïðîòîíîâ â ÿäðå); À — ìàññîâîå ÷èñëî (÷èñëî íóêëîíîâ â ÿäðå). Ìàññîâîå ÷èñëî À ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî ìàññå ÿäðà â àòîìíûõ åäèíèöàõ ìàññû. Òàê êàê àòîì íåéòðàëåí, òî çàðÿä ÿäðà Z îïðåäåëÿåò è ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â àòîìå. Çàðÿä ÿäðà îïðåäåëÿåò ñïåöèôèêó äàííîãî õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà, 236 ò. å. îïðåäåëÿåò ÷èñëî ýëåêòðîíîâ â àòîìå, êîíôèãóðàöèþ ýëåêòðîííûõ îáîëî÷åê, âåëè÷èíó è õàðàêòåð âíóòðèàòîìíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. ßäðà ñ îäèíàêîâûìè çàðÿäîâûìè ÷èñëàìè Z, íî ñ ðàçíûìè ìàññîâûìè ÷èñëàìè À (ò. å. ñ ðàçíûìè ÷èñëàìè íåéòðîíîâ N = A – Z), íàçûâàþòñÿ èçîòîïàìè, à ÿäðà ñ îäèíàêîâûìè À, íî ðàçíûìè Z — èçîáàðàìè. Íàïðèìåð, âîäîðîä (Z = l) èìååò òðè èçîòîïà: 11 H — ïðîòèé (Z = l, N = 0), 12 H — äåéòåðèé (Z = l, N = 1), 13 H — òðèòèé (Z = l, N = 2), îëîâî — äåñÿòü èçîòîïîâ è ò. ä.  ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ èçîòîïû îäíîãî è òîãî æå õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà îáëàäàþò îäèíàêîâûìè õèìè÷åñêèìè è ïî÷òè îäèíàêîâûìè ôèçè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ñòðîãî îãðàíè÷èâàåò çíà÷åíèÿ ýíåðãèé, êîòîðûìè ìîãóò îáëàäàòü ñîñòàâíûå ÷àñòè ÿäåð. Ñîâîêóïíîñòè ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ â ÿäðàõ ìîãóò íàõîäèòüñÿ òîëüêî â îïðåäåëåííûõ äèñêðåòíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèÿõ, õàðàêòåðíûõ äëÿ äàííîãî èçîòîïà. Êîãäà ýëåêòðîí â àòîìå ïåðåõîäèò èç áîëåå âûñîêîãî â áîëåå íèçêîå ýíåðãåòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå, ðàçíîñòü ýíåðãèé èçëó÷àåòñÿ â âèäå ôîòîíà. Ýíåðãèÿ ýòèõ ôîòîíîâ èìååò ïîðÿäîê íåñêîëüêèõ ýëåêòðîí-âîëüò. Äëÿ ÿäåð ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè ëåæàò â èíòåðâàëå ïðèìåðíî îò 1 äî 10 ÌýÂ. Ïðè ïåðåõîäàõ ìåæäó ýòèìè óðîâíÿìè èñïóñêàþòñÿ ôîòîíû î÷åíü áîëüøèõ ýíåðãèé (g-êâàíòû). ßäåðíûå ñèëû. Ýíåðãèÿ ñâÿçè àòîìíûõ ÿäåð Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî àòîìíûå ÿäðà ÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûìè îáðàçîâàíèÿìè. Ìåæäó ñîñòàâëÿþùèìè ÿäðî íóêëîíàìè äåéñòâóþò îñîáûå, ñïåöèôè÷åñêèå äëÿ ÿäðà ñèëû, çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþùèå êóëîíîâñêèå ñèëû îòòàëêèâàíèÿ ìåæäó ïðîòîíàìè. Îíè íàçûâàþòñÿ ÿäåðíûìè ñèëàìè. Ñ ïîìîùüþ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî ðàññåÿíèþ íóêëîíîâ íà ÿäðàõ, ÿäåðíûì ïðåâðàùåíèÿì è ò. ä. äîêàçàíî, ÷òî ÿäåðíûå ñèëû íàìíîãî ïðåâûøàþò ãðàâèòàöèîííûå è ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ è íå ñâîäÿòñÿ ê íèì. ßäåðíûå ñèëû îòíîñÿòñÿ ê êëàññó òàê íàçûâàåìûõ ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ÿäåðíûõ ñèë: 1) ÿäåðíûå ñèëû ÿâëÿþòñÿ ñèëàìè ïðèòÿæåíèÿ; 2) ÿäåðíûå ñèëû ÿâëÿþòñÿ êîðîòêîäåéñòâóþùèìè — èõ äåéñòâèå ïðîÿâëÿåòñÿ òîëüêî íà ðàññòîÿíèÿõ ïðèìåðíî 10–15 ì. Ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íóêëîíàìè ÿäåðíûå ñèëû áûñòðî óìåíüøàþòñÿ äî íó237 ëÿ, à ïðè ðàññòîÿíèÿõ, ìåíüøèõ èõ ðàäèóñà äåéñòâèÿ, îêàçûâàþòñÿ ïðèìåðíî â 100 ðàç áîëüøå êóëîíîâñêèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ ìåæäó ïðîòîíàìè íà òîì æå ðàññòîÿíèè; 3) ÿäåðíûì ñèëàì ñâîéñòâåííà çàðÿäîâàÿ íåçàâèñèìîñòü: ÿäåðíûå ñèëû, äåéñòâóþùèå ìåæäó äâóìÿ ïðîòîíàìè èëè äâóìÿ íåéòðîíàìè, èëè, íàêîíåö, ìåæäó ïðîòîíîì è íåéòðîíîì, îäèíàêîâû ïî âåëè÷èíå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÿäåðíûå ñèëû èìåþò íåýëåêòðè÷åñêóþ ïðèðîäó; 4) ÿäåðíûì ñèëàì ñâîéñòâåííî íàñûùåíèå, ò. å. êàæäûé íóêëîí â ÿäðå âçàèìîäåéñòâóåò òîëüêî ñ îãðàíè÷åííûì ÷èñëîì áëèæàéøèõ ê íåìó íóêëîíîâ; 5) ÿäåðíûå ñèëû íå ÿâëÿþòñÿ öåíòðàëüíûìè, ò. å. äåéñòâóþùèìè ïî ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé öåíòðû âçàèìîäåéñòâóþùèõ íóêëîíîâ. Ìàññó ÿäåð î÷åíü òî÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ ìàññ-ñïåêòðîìåòðîâ — èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ, ðàçäåëÿþùèõ ñ ïîìîùüþ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé ïó÷êè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö (îáû÷íî èîíîâ) ñ ðàçíûìè óäåëüíûìè çàðÿäàìè q/m. Ìàññ-ñïåêòðîìåòðè÷åñêèå èçìåðåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ìàññà ÿäðà ìåíüøå, ÷åì ñóììà ìàññ ñîñòàâëÿþùèõ åãî íóêëîíîâ. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè îáúåäèíåíèè íóêëîíîâ â ÿäðî âûäåëÿåòñÿ ýíåðãèÿ — ýíåðãèÿ ñâÿçè àòîìíîãî ÿäðà. Ýíåðãèÿ ïîêîÿ ÷àñòèöû ñâÿçàíà ñ åå ìàññîé ñîîòíîøåíèåì Ýéíøòåéíà W0 = mc2. Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ ïîêîÿùåãîñÿ ÿäðà ìåíüøå ñóììàðíîé ýíåðãèè íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîêîÿùèõñÿ íóêëîíîâ. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè âûòåêàåò è îáðàòíîå: äëÿ ðàçäåëåíèÿ ÿäðà íà ñîñòàâíûå ÷àñòè íåîáõîäèìî çàòðàòèòü òàêîå æå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, êîòîðîå âûäåëÿåòñÿ ïðè åãî îáðàçîâàíèè. Ýíåðãèÿ ñâÿçè Wñâ àòîìíîãî ÿäðà ðàâíà òîé ðàáîòå, êîòîðóþ íóæíî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ðàçäåëèòü îáðàçóþùèå ÿäðî íóêëîíû è óäàëèòü èõ äðóã îò äðóãà íà òàêèå ðàññòîÿíèÿ, ïðè êîòîðûõ îíè ïðàêòè÷åñêè íå âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì. Ìåðîé ýíåðãèè ñâÿçè ÿâëÿåòñÿ äåôåêò ìàññû ÿäðà — ðàçíîñòü ìåæäó ñóììàðíîé ìàññîé (âçÿòûõ ïî îòäåëüíîñòè) íóêëîíîâ, îáðàçóþùèõ ÿäðî, è ìàññîé ÿäðà: Dm = [Zmp + (À – Z)mn] – mÿ, (5.14) ãäå òp, òn, òÿ — ñîîòâåòñòâåííî ìàññû ïðîòîíà, íåéòðîíà è ÿäðà. Íà ýòó âåëè÷èíó óìåíüøàåòñÿ ìàññà âñåõ íóêëîíîâ ïðè îáðàçîâàíèè èç íèõ àòîìíîãî ÿäðà.  òàáëèöàõ îáû÷íî ïðèâîäÿòñÿ íå ìàññû ÿäåð òÿ, à ìàññû àòîìîâ. Äîáàâëÿÿ è âû÷èòàÿ ìàññó âñåõ ýëåêòðîíîâ â àòîìå, âûðàæåíèå äëÿ äåôåêòà ìàññû ÿäðà ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó 238 Dm = ZmÍ + (A – Z)mn – màòîìà, (5.15) ãäå mÍ — ìàññà àòîìà âîäîðîäà. Äëÿ ýíåðãèè ñâÿçè ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå Wñâ = Dmc2. (5.16) Ýíåðãèÿ ñâÿçè, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà îäèí íóêëîí, ò. å. Wñâ/A, íàçûâàåòñÿ óäåëüíîé ýíåðãèåé ñâÿçè. Íà ðèñ. 5.8 èçîáðàæåíà ïðèìåðíàÿ çàâèñèìîñòü óäåëüíîé ýíåðãèè ñâÿçè Wñâ/A îò ìàññîâîãî ÷èñëà A. Ñèëüíåå âñåãî ñâÿçàíû íóêëîíû â ÿäðàõ ñ ìàññîâûìè ÷èñëàìè ïîðÿäêà 50–60 (ò. å. äëÿ ýëåìåíòîâ îò Ñr äî Zn). Ýíåðãèÿ ñâÿçè äëÿ ýòèõ ÿäåð äîñòèãàåò 8,7 ÌýÂ/íóêëîí. Ñ ðîñòîì À óäåëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè ïîñòåïåííî óìåíüøàåòñÿ; äëÿ ñàìîãî òÿæåëîãî ïðèðîäíîãî ýëåìåíòà — óðàíà — îíà ñîñòàâëÿåò 7,5 ÌýÂ/íóêëîí. Òàêàÿ çàâèñèìîñòü óäåëüíîé ýíåðãèè ñâÿçè îò ìàññîâîãî ÷èñëà äåëàåò ýíåðãåòè÷åñêè âîçìîæíûìè äâà ïðîöåññà: 1) äåëåíèå òÿæåëûõ ÿäåð íà íåñêîëüêî áîëåå ëåãêèõ è 2) ñëèÿíèå (ñèíòåç) ëåãêèõ ÿäåð â îäíî ÿäðî. Îáà ïðîöåññà äîëæíû ñîÐèñ. 5.8 ïðîâîæäàòüñÿ âûäåëåíèåì áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ýíåðãèè. Òàê, íàïðèìåð, äåëåíèå îäíîãî ÿäðà ñ ìàññîâûì ÷èñëîì À = 240 (óäåëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè ðàâíà 7,5 ÌýÂ/íóêëîí) íà äâà ÿäðà ñ ìàññîâûìè ÷èñëàìè À = 120 (óäåëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè ðàâíà 8,5 ÌýÂ/íóêëîí) ïðèâåëî áû ê âûñâîáîæäåíèþ ýíåðãèè â 240 ÌýÂ. Ñëèÿíèå äâóõ ÿäåð òÿæåëîãî âîäîðîäà 12 H â ÿäðî ãåëèÿ 42 He ïðèâåëî áû ê âûäåëåíèþ ýíåðãèè, ðàâíîé 24 ÌýÂ. Äëÿ ñðàâíåíèÿ óêàæåì, ÷òî ïðè ñîåäèíåíèè îäíîãî àòîìà óãëåðîäà ñ äâóìÿ àòîìàìè êèñëîðîäà (ñãîðàíèå óãëÿ äî ÑÎ2) âûäåëÿåòñÿ ýíåðãèÿ ïîðÿäêà 5 ýÂ. ßäðà ñî çíà÷åíèÿìè ìàññîâîãî ÷èñëà À îò 50 äî 60 ÿâëÿþòñÿ ýíåðãåòè÷åñêè íàèáîëåå âûãîäíûìè.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ: ïî÷åìó ÿäðà ñ èíûìè çíà÷åíèÿìè À îêàçûâàþòñÿ ñòàáèëüíûìè? Îòâåò çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàçäåëèòüñÿ íà íåñêîëüêî ÷àñòåé, òÿæåëîå ÿäðî äîëæíî ïðîéòè ÷åðåç ðÿä ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé, ýíåðãèÿ êîòîðûõ ïðåâûøàåò ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ÿäðà. Ñëåäîâà239 òåëüíî, äëÿ ïðîöåññà äåëåíèÿ ÿäðó òðåáóåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ýíåðãèÿ (ýíåðãèÿ àêòèâàöèè), êîòîðàÿ çàòåì âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî, ïðèïëþñîâûâàÿñü ê ýíåðãèè, âûäåëÿþùåéñÿ ïðè äåëåíèè çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ýíåðãèè ñâÿçè.  îáû÷íûõ óñëîâèÿõ ÿäðó íåîòêóäà âçÿòü ýíåðãèþ àêòèâàöèè, âñëåäñòâèå ÷åãî òÿæåëûå ÿäðà íå ïðåòåðïåâàþò ñïîíòàííîãî äåëåíèÿ. Ýíåðãèÿ àêòèâàöèè ìîæåò áûòü ñîîáùåíà òÿæåëîìó ÿäðó çàõâà÷åííûì èì äîïîëíèòåëüíûì íåéòðîíîì. Ïðîöåññ äåëåíèÿ ÿäåð óðàíà èëè ïëóòîíèÿ ïîä äåéñòâèåì çàõâàòûâàåìûõ ÿäðàìè íåéòðîíîâ ëåæèò â îñíîâå äåéñòâèÿ ÿäåðíûõ ðåàêòîðîâ è àòîìíîé áîìáû. Äëÿ ñëèÿíèÿ ëåãêèõ ÿäåð â îäíî ÿäðî îíè äîëæíû ïðèáëèçèòüñÿ äðóã ê äðóãó íà î÷åíü áëèçêîå ðàññòîÿíèå (~ 10–15 ì). Òàêîìó ñáëèæåíèþ ÿäåð ïðåïÿòñòâóåò êóëîíîâñêîå îòòàëêèâàíèå ìåæäó íèìè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðåîäîëåòü ýòî îòòàëêèâàíèå, ÿäðà äîëæíû äâèãàòüñÿ ñ îãðîìíûìè ñêîðîñòÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè òåìïåðàòóðàì ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñîò ìèëëèîíîâ êåëüâèí. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðîöåññ ñèíòåçà ëåãêèõ ÿäåð íàçûâàåòñÿ òåðìîÿäåðíîé ðåàêöèåé. Òåðìîÿäåðíûå ðåàêöèè ïðîòåêàþò â íåäðàõ Ñîëíöà è çâåçä.  çåìíûõ óñëîâèÿõ ïîêà áûëè îñóùåñòâëåíû íåóïðàâëÿåìûå òåðìîÿäåðíûå ðåàêöèè ïðè âçðûâàõ âîäîðîäíûõ áîìá. Ðàäèîàêòèâíîñòü. Çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà Ðàäèîàêòèâíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ñàìîïðîèçâîëüíîå ïðåâðàùåíèå îäíèõ àòîìíûõ ÿäåð â äðóãèå, ñîïðîâîæäàåìîå èñïóñêàíèåì ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Òàêèå ïðåâðàùåíèÿ ïðåòåðïåâàþò òîëüêî íåñòàáèëüíûå ÿäðà. Ê ÷èñëó ðàäèîàêòèâíûõ ïðîöåññîâ îòíîñÿòñÿ: 1) a-ðàñïàä; 2) b-ðàñïàä (â òîì ÷èñëå ýëåêòðîííûé çàõâàò); 3) g-èçëó÷åíèå ÿäåð; 4) ñïîíòàííîå äåëåíèå òÿæåëûõ ÿäåð; 5) ïðîòîííàÿ ðàäèîàêòèâíîñòü. Àòîìíîå ÿäðî, èñïûòûâàþùåå ðàäèîàêòèâíûé ðàñïàä, íàçûâàåòñÿ ìàòåðèíñêèì, âîçíèêàþùåå ÿäðî — äî÷åðíèì. Ðàäèîàêòèâíîñòü, íàáëþäàþùàÿñÿ ó ÿäåð, ñóùåñòâóþùèõ â ïðèðîäíûõ óñëîâèÿõ, íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé. Ðàäèîàêòèâíîñòü ÿäåð, ïîëó÷åííûõ ïîñðåäñòâîì ÿäåðíûõ ðåàêöèé, íàçûâàåòñÿ èñêóññòâåííîé. Ìåæäó èñêóññòâåííîé è åñòåñòâåííîé ðàäèîàêòèâíîñòüþ íåò ïðèíöèïèàëüíîãî ðàçëè÷èÿ. Ïðîöåññ ðàäèîàêòèâíîãî ïðåâðàùåíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîä÷èíÿåòñÿ îäíèì è òåì æå çàêîíàì. Åñòåñòâåííàÿ ðàäèîàêòèâíîñòü áûëà îòêðûòà â 1896 ã. Áåêêåðåëåì. Áîëüøîé âêëàä â èçó÷åíèå ðàäèîàêòèâíûõ âåùåñòâ âíåñëè ñóïðóãè Ïüåð Êþðè è Ìàðèÿ Ñêëîäîâñêàÿ-Êþðè. 240 Ðàäèîàêòèâíîå èçëó÷åíèå áûâàåò òðåõ òèïîâ: a-, b-, g-èçëó÷åíèå. a-Èçëó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòîê ÿäåð ãåëèÿ 42 He: çàðÿä a-÷àñòèöû ðàâåí +2å, à ìàññà ïðèìåðíî 4 à. å. ì. a-×àñòèöà îòêëîíÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì è ìàãíèòíûì ïîëÿìè, îáëàäàåò âûñîêîé èîíèçèðóþùåé ñïîñîáíîñòüþ è ìàëîé ïðîíèêàþùåé ñïîñîáíîñòüþ (íàïðèìåð, ïîãëîùàåòñÿ ñëîåì àëþìèíèÿ òîëùèíîé ïðèìåðíî 0,05 ìì). b-Èçëó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòîê ýëåêòðîíîâ èëè ïîçèòðîíîâ. b-×àñòèöà îòêëîíÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì è ìàãíèòíûì ïîëÿìè, åå èîíèçèðóþùàÿ ñïîñîáíîñòü çíà÷èòåëüíî ìåíüøå (ïðèìåðíî íà äâà ïîðÿäêà), à ïðîíèêàþùàÿ ñïîñîáíîñòü ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì ó a-÷àñòèö (ïîãëîùàåòñÿ ñëîåì àëþìèíèÿ òîëùèíîé ïðèìåðíî 2 ìì). g-Èçëó÷åíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîðîòêîâîëíîâîå ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå ñ ìàëîé äëèíîé âîëíû l < 10–10 ì è âñëåäñòâèå ýòîãî ÿðêî âûðàæåííûìè êîðïóñêóëÿðíûìè ñâîéñòâàìè, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ïîòîêîì g-êâàíòîâ (ôîòîíîâ); g-èçëó÷åíèå íå îòêëîíÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì è ìàãíèòíûì ïîëÿìè, îáëàäàåò îòíîñèòåëüíî ñëàáîé èîíèçèðóþùåé ñïîñîáíîñòüþ è î÷åíü áîëüøîé ïðîíèêàþùåé ñïîñîáíîñòüþ (íàïðèìåð, ïðîõîäèò ÷åðåç ñëîé ñâèíöà òîëùèíîé 5 ñì), ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êðèñòàëëû îáíàðóæèâàåò äèôðàêöèþ. Òåîðèÿ ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà ñòðîèòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òî ðàñïàä ÿâëÿåòñÿ ñïîíòàííûì ïðîöåññîì, ïîä÷èíÿþùèìñÿ çàêîíàì ñòàòèñòèêè. Òàê êàê îòäåëüíûå ðàäèîàêòèâíûå ÿäðà ðàñïàäàþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëî ÿäåð, ðàñïàâøèõñÿ â ñðåäíåì çà èíòåðâàë âðåìåíè îò t äî t + dt, ïðîïîðöèîíàëüíî ïðîìåæóòêó âðåìåíè dt è ÷èñëó N íåðàñïàâøèõñÿ ÿäåð ê ìîìåíòó âðåìåíè t: dN = –lNdt, ãäå l — ïîñòîÿííàÿ äëÿ äàííîãî ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà âåëè÷èíà, íàçûâàåìàÿ ïîñòîÿííîé ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà; çíàê ìèíóñ óêàçûâàåò, ÷òî îáùåå ÷èñëî ðàäèîàêòèâíûõ ÿäåð â ïðîöåññå ðàñïàäà óìåíüøàåòñÿ, ò. å. ïðèðàùåíèå ÷èñëà íåðàñïàâøèõñÿ ÿäåð dN < 0. Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà: N = N 0 e - lt , (5.17) ãäå N — ÷èñëî íåðàñïàâøèõñÿ ÿäåð â ìîìåíò âðåìåíè t; N0 — íà÷àëüíîå ÷èñëî íåðàñïàâøèõñÿ ÿäåð â ìîìåíò âðåìåíè t = 0. Çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî 241 ðàñïàäà (5.17) êîíñòàòèðóåò, ÷òî ÷èñëî íåðàñïàâøèõñÿ ÿäåð óáûâàåò ñî âðåìåíåì ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó. ×èñëî ðàñïàäîâ, ïðîèñõîäÿùèõ ñ ÿäðàìè âåùåñòâà â åäèíèöó âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ àêòèâíîñòüþ À èçîòîïà: ½dN ½ A = ½ ½ = lN , [A] = Áê (áåêêåðåëü). ½ dt ½ (5.18) Âíåñèñòåìíîé åäèíèöåé àêòèâíîñòè ÿâëÿåòñÿ îäèí êþðè (Êè): 1 Êè = 3,7 · 1010 Áê. Èíòåíñèâíîñòü ïðîöåññà ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà õàðàêòåðèçóþò äâå âåëè÷èíû: ñðåäíåå âðåìÿ æèçíè t ðàäèîàêòèâíîãî ÿäðà è ïåðèîä ïîëóðàñïàäà T 1 2 . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäíåå âðåìÿ æèçíè t ðàäèîàêòèâíîãî ÿäðà åñòü âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ ïîñòîÿííîé ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà l: 1 t= . l (5.19) Ïåðèîä ïîëóðàñïàäà T 1 2 — âðåìÿ, çà êîòîðîå èñõîäíîå ÷èñëî ðàäèîàêòèâíûõ ÿäåð óìåíüøàåòñÿ âäâîå. Ñîãëàñíî (5.17) - lT 1 N0 2 , = N 0e 2 îòêóäà T 12 = ln 2 0, 693 . = l l (5.20) Ïåðèîäû ïîëóðàñïàäà äëÿ åñòåñòâåííî-ðàäèîàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ êîëåáëþòñÿ îò äåñÿòèìèëëèîííûõ äîëåé ñåêóíäû äî ìíîãèõ ìèëëèàðäîâ ëåò. Ñ ó÷åòîì (5.20) çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà (5.17) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â áîëåå óäîáíîì äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ âèäå: - N = N02 t T1 2 . (5.21) Ðàäèîàêòèâíûé ðàñïàä ïðîèñõîäèò â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè ñìåùåíèÿ, ïîçâîëÿþùèìè óñòàíîâèòü, êàêîå ÿäðî âîçíèêàåò â ðåçóëüòàòå ðàñïàäà äàííîãî ìàòåðèíñêîãî ÿäðà. a-Ðàñïàä åñòü ñàìîïðîèçâîëüíûé ïðîöåññ èñïóñêàíèÿ ÿäðàìè a-÷àñòèö, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ìàññîâîå ÷èñëî ÿäðà A óìåíüøàåòñÿ íà ÷åòûðå, à çàðÿäîâîå ÷èñëî Z óìåíüøàåòñÿ íà äâà. Ïðàâèëî ñìåùåíèÿ: 242 A Z X® A- 4 Z -2 Y + 42 He, (5.22) ãäå AZ X — ìàòåðèíñêîå ÿäðî; Y — ñèìâîë äî÷åðíåãî ÿäðà; 42 He — ÿäðî ãåëèÿ (a-÷àñòèöà). Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ðàñïàä èçîòîïà óðàíà ñ îáðàçîâàíèåì òîðèÿ: 238 92 U® 234 90 Th + 42 He. Ñêîðîñòè, ñ êîòîðûìè a-÷àñòèöû âûëåòàþò èç ðàñïàâøåãîñÿ ÿäðà, ñîñòàâëÿþò ïîðÿäêà 107 ì/ñ. b-Ðàñïàä åñòü ñàìîïðîèçâîëüíûé ïðîöåññ, â êîòîðîì íåñòàáèëüíîå ÿäðî AZ X ïðåâðàùàåòñÿ â ÿäðî Z +1A X èëè Z -1A X. Êîíå÷íûì ðåçóëüòàòîì ýòîãî ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ ïðåâðàùåíèå â ÿäðå íåéòðîíà â ïðîòîí èëè ïðîòîíà â íåéòðîí. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî b-ðàñïàä åñòü íå âíóòðèÿäåðíûé, à âíóòðèíóêëîííûé ïðîöåññ. Ïðè íåì, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèñõîäÿò áîëåå ãëóáîêèå èçìåíåíèÿ âåùåñòâà, ÷åì ïðè a-ïðåâðàùåíèè. Òðåáîâàíèå âûïîëíåíèÿ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà ïðåäïîëàãàåò îáðàçîâàíèå â ïðîöåññå ðàñïàäà óíèêàëüíîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû — íåéòðèíî n èëè àíòèíåéòðèíî ~ n. Ãèïîòåçà î åå ñóùåñòâîâàíèè âûñêàçàíà Â. Ïàóëè â 1932 ã., à âïåðâûå îáíàðóæåíà ëèøü â 1956 ã. Ðàçëè÷àþò òðè âèäà b-ðàñïàäà: 1) ýëåêòðîííûé b–-ðàñïàä, â êîòîðîì ÿäðî èñïóñêàåò ýëåêòðîí, à ïîòîìó çàðÿäîâîå ÷èñëî Z óâåëè÷èâàåòñÿ íà åäèíèöó; íåéòðîí â ÿäðå ïðåâðàùàåòñÿ â ïðîòîí: A (5.23) n Þ 1 n ® 1 p + 0e + ~ n; X ® A Y + 0e + ~ Z +1 Z -1 +1 0 -1 2) ïîçèòðîííûé b+-ðàñïàä, â êîòîðîì ÿäðî èñïóñêàåò ïîçèòðîí, à ïîòîìó çàðÿäîâîå ÷èñëî Z óìåíüøàåòñÿ íà åäèíèöó; ïðîòîí â ÿäðå ïðåâðàùàåòñÿ â íåéòðîí: A Z X® A Z -1 Y+ 0 +1 e+n Þ 1 +1 p ® 10 n + 0 +1 e + n; (5.24) 3) ýëåêòðîííûé çàõâàò (e-çàõâàò), â êîòîðîì ÿäðî ïîãëîùàåò îäèí èç ýëåêòðîíîâ ýëåêòðîííîé îáîëî÷êè, à ïîòîìó çàðÿäîâîå ÷èñëî Z óìåíüøàåòñÿ íà åäèíèöó; ïðîòîí â ÿäðå ïðåâðàùàåòñÿ â íåéòðîí: A Z X+ 0 -1 e® A Z -1 Y+n Þ 1 +1 p+ 0 -1 e ® 10 n + n. (5.25) Ðàñïàä ÿäåð îáû÷íî ñîïðîâîæäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèåì g-ëó÷åé. 243 Ïðàâèëà ñìåùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íè÷åì èíûì, êàê ñëåäñòâèåì äâóõ çàêîíîâ, âûïîëíÿþùèõñÿ ïðè ðàäèîàêòèâíûõ ðàñïàäàõ: çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà è çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññîâîãî ÷èñëà: ñóììà çàðÿäîâ (ìàññîâûõ ÷èñåë) âîçíèêàþùèõ ÿäåð è ÷àñòèö ðàâíà çàðÿäó (ìàññîâîìó ÷èñëó) èñõîäíîãî ÿäðà. Âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà ÿäðà ìîãóò áûòü, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàäèîàêòèâíûìè. Ýòî ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ öåïî÷êè èëè ðÿäà ðàäèîàêòèâíûõ ïðåâðàùåíèé, çàêàí÷èâàþùèõñÿ ñòàáèëüíûì ýëåìåíòîì. Ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ, îáðàçóþùèõ òàêóþ öåïî÷êó, íàçûâàåòñÿ ðàäèîàêòèâíûì ñåìåéñòâîì. ßäåðíûå ðåàêöèè. Ýëåìåíòû ÿäåðíîé ýíåðãåòèêè ßäåðíîé ðåàêöèåé íàçûâàåòñÿ ïðîöåññ âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìíîãî ÿäðà ñ ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöåé èëè ñ äðóãèì ÿäðîì, ïðèâîäÿùèé ê ïðåîáðàçîâàíèþ ÿäðà (èëè ÿäåð). Âçàèìîäåéñòâèå ðåàãèðóþùèõ ÷àñòèö âîçíèêàåò ïðè ñáëèæåíèè èõ äî ðàññòîÿíèé ïîðÿäêà 10–15 ì áëàãîäàðÿ äåéñòâèþ ÿäåðíûõ ñèë. Ïðè ðàññìîòðåíèè ÿäåðíûõ ðåàêöèé (êàê è äðóãèõ ïðîöåññîâ) èñïîëüçóþòñÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, èìïóëüñà, ìîìåíòà èìïóëüñà, ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà è ðÿäà äðóãèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì âèäîì ÿäåðíîé ðåàêöèè ÿâëÿåòñÿ âçàèìîäåéñòâèå ëåãêîé ÷àñòèöû à ñ ÿäðîì X, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî îáðàçóåòñÿ ëåãêàÿ ÷àñòèöà b è ÿäðî Y: Õ + à ® Y + b + Q, (5.26) ãäå âåëè÷èíà Q ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýíåðãèþ, âûäåëÿþùóþñÿ â ðåçóëüòàòå ðåàêöèè (åå, êàê è â õèìèè, ÷àñòî âêëþ÷àþò â óðàâíåíèå ñàìîé ðåàêöèè). Ðåàêöèÿ íàçûâàåòñÿ ýêçîòåðìè÷åñêîé, åñëè Q > 0 (ñ âûäåëåíèåì ýíåðãèè), è ýíäîòåðìè÷åñêîé, åñëè Q < 0 (ñ ïîãëîùåíèåì ýíåðãèè). Êîëè÷åñòâî âûäåëÿþùåéñÿ ýíåðãèè íàçûâàåòñÿ ýíåðãèåé ðåàêöèè. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ ìàññ (âûðàæåííûõ â ýíåðãåòè÷åñêèõ åäèíèöàõ) èñõîäíûõ è êîíå÷íûõ ÷àñòèö: ö÷ 2 çæ ÷ Q = ççå miíà÷ - å m êîí j ÷c , ÷÷ø çè i j (5.27) ãäå c — ñêîðîñòü ñâåòà. Óðàâíåíèå ðåàêöèè ïðèíÿòî òàêæå çàïèñûâàòü â ñîêðàùåííîì âèäå: Õ (à, b) Y. 244 (5.28)  ñêîáêàõ óêàçûâàþòñÿ ó÷àñòâóþùèå â ðåàêöèè ëåãêèå ÷àñòèöû, ñíà÷àëà èñõîäíàÿ, çàòåì êîíå÷íàÿ.  êà÷åñòâå ëåãêèõ ÷àñòèö à è b ìîãóò ôèãóðèðîâàòü íåéòðîí (n), ïðîòîí (ð), äåéòðîí (d), a-÷àñòèöà (a) è g-ôîòîí (g).  1936 ã. Í. Áîð óñòàíîâèë, ÷òî ðåàêöèè, âûçûâàåìûå íå î÷åíü áûñòðûìè ÷àñòèöàìè, ïðîòåêàþò â äâà ýòàïà. Ïåðâûé ýòàï çàêëþ÷àåòñÿ â çàõâàòå ïðèáëèçèâøåéñÿ ê ÿäðó X ÷àñòèöû à è â îáðàçîâàíèè ïðîìåæóòî÷íîãî ÿäðà Ï, íàçûâàåìîãî ñîñòàâíûì ÿäðîì. Ýíåðãèÿ, ïðèâíåñåííàÿ ÷àñòèöåé à (îíà ñëàãàåòñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû è ýíåðãèè åå ñâÿçè ñ ÿäðîì), çà î÷åíü êîðîòêîå âðåìÿ ïåðåðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó âñåìè íóêëîíàìè ñîñòàâíîãî ÿäðà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ýòî ÿäðî îêàçûâàåòñÿ â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè. Íà âòîðîì ýòàïå ñîñòàâíîå ÿäðî èñïóñêàåò ÷àñòèöó b. Ñèìâîëè÷åñêè òàêîå ïðîòåêàíèå ðåàêöèè çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Õ + à ® Ï ® Y + b. (5.29) Åñëè èñïóùåííàÿ ÷àñòèöà òîæäåñòâåííà ñ çàõâà÷åííîé (b º à), ïðîöåññ (5.27) íàçûâàþò ðàññåÿíèåì.  ñëó÷àå, êîãäà ýíåðãèÿ ÷àñòèöû b ðàâíà ýíåðãèè ÷àñòèöû à (Wb = Wà), ðàññåÿíèå ÿâëÿåòñÿ óïðóãèì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ò. å. ïðè Wb ¹ Wà) — íåóïðóãèì. ßäåðíàÿ ðåàêöèÿ èìååò ìåñòî, åñëè ÷àñòèöà b íå òîæäåñòâåííà ñ ÷àñòèöåé à. ßäåðíûå ðåàêöèè êëàññèôèöèðóþòñÿ: 1) ïî ðîäó ó÷àñòâóþùèõ ÷àñòèö: ïîä äåéñòâèåì íåéòðîíîâ; ïîä äåéñòâèåì çàðÿæåííûõ ÷àñòèö (ïðîòîíîâ, a-÷àñòèö è äð.); ïîä äåéñòâèåì g-êâàíòîâ; 2) ïî ýíåðãèè âûçûâàþùèõ èõ ÷àñòèö: ìàëûå ýíåðãèè ~ 1 ý (ñ íåéòðîíàìè); ñðåäíèå ýíåðãèè ~ 1 Ìý (ñ g-êâàíòàìè, a-÷àñòèöàìè); âûñîêèå ýíåðãèè ~ 103 Ìý (ðîæäåíèå íîâûõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö); 3) ïî ðîäó ó÷àñòâóþùèõ â íèõ ÿäåð: íà ëåãêèõ ÿäðàõ (À < 50); íà ñðåäíèõ ÿäðàõ (50 < À < 100); íà òÿæåëûõ ÿäðàõ (À > 100); 4) ïî õàðàêòåðó ÿäåðíûõ ïðåâðàùåíèé: ñ èñïóñêàíèåì íåéòðîíîâ; ñ èñïóñêàíèåì çàðÿæåííûõ ÷àñòèö; ðåàêöèè çàõâàòà (èçëó÷àåòñÿ g-êâàíò). Îäíèì èç äâóõ ïðèíöèïèàëüíî âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ îñâîáîæäåíèÿ ÿäåðíîé ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ äåëåíèå òÿæåëûõ ÿäåð.  1939 ã. íåìåöêèìè ó÷åíûìè Î. Ãàíîì è Ô. Øòðàññìàíîì áûëî îòêðûòî äåëåíèå ÿäåð óðàíà. Ïðîäîëæàÿ èññëåäîâàíèÿ, íà÷àòûå Ôåðìè, îíè óñòàíîâèëè, ÷òî ïðè áîìáàðäèðîâêå óðàíà íåéòðîíàìè âîçíèêàþò ýëåìåíòû ñðåäíåé ÷àñòè 245 ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìû — ðàäèîàêòèâíûå èçîòîïû áàðèÿ (Z = 56), êðèïòîíà (Z = 36) è äð. 235 Óðàí âñòðå÷àåòñÿ â ïðèðîäå â âèäå äâóõ èçîòîïîâ: 238 92 U (99,3 %) è 92 U (0,7 %). Ïðè áîìáàðäèðîâêå íåéòðîíàìè ÿäðà îáîèõ èçîòîïîâ ìîãóò ðàñùåïëÿòüñÿ íà äâà îñêîëêà. Ïðè ýòîì ðåàêöèÿ äåëåíèÿ 235 92 U íàèáîëåå èíòåíñèâíî èäåò íà ìåäëåííûõ (òåïëîâûõ) íåéòðîíàõ, â òî âðåìÿ êàê ÿäðà 238 92 U âñòóïàþò â ðåàêöèþ äåëåíèÿ òîëüêî ñ áûñòðûìè íåéòðîíàìè ñ ýíåðãèåé ïîðÿäêà 1 ÌýÂ. Îñíîâíîé èíòåðåñ äëÿ ÿäåðíîé ýíåðãåòèêè ïðåäñòàâëÿåò ðåàêöèÿ äåëåíèÿ ÿäðà 235 92 U. Òèïè÷íàÿ ðåàêöèÿ äåëåíèÿ ýòîãî ÿäðà ñîïðîâîæäàåòñÿ èñïóñêàíèåì âòîðè÷íûõ íåéòðîíîâ: 235 92 U + 10 n ® 139 56 Ba + 94 36 Kr + 3 10 n. (5.30) Ýíåðãèÿ, âûäåëÿþùàÿñÿ ïðè äåëåíèè îäíîãî ÿäðà óðàíà, îãðîìíà — ïîðÿäêà 200 ÌýÂ, ÷òî ñîñòàâëÿåò 0,9 ÌýÂ/íóêëîí. Ïðè ïîëíîì äåëåíèè âñåõ ÿäåð, ñîäåðæàùèõñÿ â 1 ã óðàíà, âûäåëÿåòñÿ òàêàÿ æå ýíåðãèÿ, êàê è ïðè ñãîðàíèè 3 ò óãëÿ èëè 2,5 ò íåôòè. Ïðè äåëåíèè ÿäðà óðàíà-235, êîòîðîå âûçâàíî ñòîëêíîâåíèåì ñ íåéòðîíîì, îñâîáîæäàåòñÿ 2–3 íåéòðîíà. Ïðè áëàãîïðèÿòíûõ óñëîâèÿõ ýòè íåéòðîíû ìîãóò ïîïàñòü â äðóãèå ÿäðà óðàíà è âûçâàòü èõ äåëåíèå. Íà ýòîì ýòàïå ïîÿâÿòñÿ óæå îò 4 äî 9 íåéòðîíîâ, ñïîñîáíûõ âûçâàòü íîâûå ðàñïàäû ÿäåð óðàíà è ò. ä. Òàêîé ëàâèíîîáðàçíûé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ öåïíîé ðåàêöèåé. Öåïíàÿ ðåàêöèÿ â óðàíå ñ ïîâûøåííûì ñîäåðæàíèåì óðàíà-235 ìîæåò ðàçâèâàòüñÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàññà óðàíà ïðåâîñõîäèò òàê íàçûâàåìóþ êðèòè÷åñêóþ ìàññó. Äëÿ ÷èñòîãî óðàíà-235 êðèòè÷åñêàÿ ìàññà ñîñòàâëÿåò îêîëî 50 êã. Êðèòè÷åñêóþ ìàññó óðàíà ìîæíî âî ìíîãî ðàç óìåíüøèòü, åñëè èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìûå çàìåäëèòåëè íåéòðîíîâ. Íàèëó÷øèìè çàìåäëèòåëÿìè íåéòðîíîâ ÿâëÿþòñÿ òÿæåëàÿ âîäà D2O, ãðàôèò, ÿäðà êîòîðîãî íå ïîãëîùàþò íåéòðîíîâ. Ïðè óïðóãîì âçàèìîäåéñòâèè ñ ÿäðàìè äåéòåðèÿ èëè óãëåðîäà íåéòðîíû çàìåäëÿþòñÿ äî òåïëîâûõ ñêîðîñòåé. Ïðèìåíåíèå çàìåäëèòåëåé íåéòðîíîâ è ñïåöèàëüíîé îáîëî÷êè èç áåðèëëèÿ, êîòîðàÿ îòðàæàåò íåéòðîíû, ïîçâîëÿåò ñíèçèòü êðèòè÷åñêóþ ìàññó. Óñòðîéñòâî, â êîòîðîì ïîääåðæèâàåòñÿ óïðàâëÿåìàÿ ðåàêöèÿ äåëåíèÿ ÿäåð, íàçûâàåòñÿ ÿäåðíûì (èëè àòîìíûì) ðåàêòîðîì (ðèñ. 5.9). 246 Ðèñ. 5.9 Ïåðâûé ÿäåðíûé ðåàêòîð áûë ïîñòðîåí â 1942 ã. â ÑØÀ ïîä ðóêîâîäñòâîì Ý. Ôåðìè.  íàøåé ñòðàíå ïåðâûé ðåàêòîð áûë ïîñòðîåí â 1946 ã. ïîä ðóêîâîäñòâîì È. Â. Êóð÷àòîâà, ïåðâàÿ â ìèðå àòîìíàÿ ýëåêòðîñòàíöèÿ íà ìåäëåííûõ íåéòðîíàõ — â Îáíèíñêå â 1954 ã. ìîùíîñòüþ 5 ÌÂò. Òîïëèâîì ÿâëÿåòñÿ îáîãàùåííàÿ ñìåñü èçîòîïîâ óðàíà ñ ïîâûøåííûì ñîäåðæàíèåì óðàíà-235 (äî 3 %).  àêòèâíóþ çîíó ââîäÿòñÿ ðåãóëèðóþùèå ñòåðæíè, ñîäåðæàùèå êàäìèé èëè áîð, êîòîðûå èíòåíñèâíî ïîãëîùàþò íåéòðîíû. Ââåäåíèå ñòåðæíåé â àêòèâíóþ çîíó ïîçâîëÿåò óïðàâëÿòü ñêîðîñòüþ öåïíîé ðåàêöèè. Àêòèâíàÿ çîíà îõëàæäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîêà÷èâàåìîãî òåïëîíîñèòåëÿ, â êà÷åñòâå êîòîðîãî ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ âîäà èëè ìåòàëë ñ íèçêîé òåìïåðàòóðîé ïëàâëåíèÿ (íàïðèìåð, íàòðèé, èìåþùèé òåìïåðàòóðó ïëàâëåíèÿ 98 °C).  ïàðîãåíåðàòîðå òåïëîíîñèòåëü ïåðåäàåò òåïëîâóþ ýíåðãèþ âîäå, ïðåâðàùàÿ åå â ïàð âûñîêîãî äàâëåíèÿ. Ïàð íàïðàâëÿåòñÿ â òóðáèíó, ñîåäèíåííóþ ñ ýëåêòðîãåíåðàòîðîì. Èç òóðáèíû ïàð ïîñòóïàåò â êîíäåíñàòîð. Âî èçáåæàíèå óòå÷êè ðàäèàöèè êîíòóðû òåïëîíîñèòåëÿ I è ïàðîãåíåðàòîðà II ðàáîòàþò ïî çàìêíóòûì öèêëàì. Òóðáèíà àòîìíîé ýëåêòðîñòàíöèè ÿâëÿåòñÿ òåïëîâîé ìàøèíîé c ÊÏÄ ~ 30 %. Îñòàëüíàÿ ýíåðãèÿ óíîñèòñÿ âîäîé, îõëàæäàþùåé êîí247 äåíñàòîð. Ýòî ïðèâîäèò ê ëîêàëüíîìó ïåðåãðåâó åñòåñòâåííûõ âîäîåìîâ è ïîñëåäóþùåìó âîçíèêíîâåíèþ ýêîëîãè÷åñêèõ ïðîáëåì. Îäíàêî ãëàâíàÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò â îáåñïå÷åíèè ïîëíîé ðàäèàöèîííîé áåçîïàñíîñòè. Ïîñëå àâàðèé íà íåêîòîðûõ ÀÝÑ, â ÷àñòíîñòè íà ÀÝÑ â Ïåíñèëüâàíèè (ÑØÀ, 1979 ã.) è íà ×åðíîáûëüñêîé ÀÝÑ (ÑÑÑÐ, 1986 ã.), ïðîáëåìà áåçîïàñíîñòè ÿäåðíîé ýíåðãåòèêè ñòàëà îñîáåííî îñòðîé. Íàðÿäó ñ ÿäåðíûì ðåàêòîðîì íà ìåäëåííûõ íåéòðîíàõ áîëüøîé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ðåàêòîðû, ðàáîòàþùèå íà áûñòðûõ íåéòðîíàõ.  òàêèõ ðåàêòîðàõ ÿäåðíûì ãîðþ÷èì ÿâëÿåòñÿ îáîãàùåííàÿ ñìåñü, ñîäåðæàùàÿ íå ìåíåå 15 % èçîòîïà 235 92 U. Ïðåèìóùåñòâî ðåàêòîðîâ íà áûñòðûõ íåéòðîíàõ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè èõ ðàáîòå ÿäðà óðàíà-238, ïîãëîùàÿ íåéòðîíû, ïîñðåäñòâîì äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ b-ðàñïàäîâ ïðåâðàùàþòñÿ â ÿäðà ïëóòîíèÿ, êîòîðûå çàòåì ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ÿäåðíîãî òîïëèâà: íà 1 êã óðàíà-235 ïîëó÷àåòñÿ äî 1,5 êã ïëóòîíèÿ. Ïåðâàÿ àòîìíàÿ ñòàíöèÿ íà áûñòðûõ íåéòðîíàõ ìîùíîñòüþ 350 ÌÂò ïîñòðîåíà â ã. Øåâ÷åíêî íà áåðåãó Êàñïèéñêîãî ìîðÿ. Íîâîâîðîíåæñêàÿ ÀÝÑ èìååò ìîùíîñòü 1500 ÌÂò. Âòîðîé ïóòü îñâîáîæäåíèÿ ÿäåðíîé ýíåðãèè ñâÿçàí ñ ðåàêöèÿìè ñèíòåçà, äàþùèìè íàèáîëüøóþ ýíåðãèþ íà åäèíèöó ìàññû. Ïðè ñëèÿíèè ëåãêèõ ÿäåð äåéòåðèÿ è òðèòèÿ è îáðàçîâàíèè íîâîãî ÿäðà âûäåëÿåòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè: 2 1 H + 13 H ® 42 He + 10 n + Q, (5.31) ãäå Q = 17,6 Ìý = 3,5 ÌýÂ/íóêëîí. Êîëè÷åñòâî äåéòåðèÿ â ñòàêàíå ïðîñòîé âîäû ýêâèâàëåíòíî 60 ë áåíçèíà. Êîëè÷åñòâî äåéòåðèÿ â îêåàíñêîé âîäå 4 · 1013 ò, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèè 1017 ÌÂò·ãîä. Ðåàêöèè ñëèÿíèÿ ëåãêèõ ÿäåð íàçûâàþòñÿ òåðìîÿäåðíûìè ðåàêöèÿìè, òàê êàê îíè ìîãóò ïðîòåêàòü òîëüêî ïðè î÷åíü âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ: 108–109 Ê. Ïðè òàêîé òåìïåðàòóðå âåùåñòâî íàõîäèòñÿ â ïîëíîñòüþ èîíèçèðîâàííîì ñîñòîÿíèè, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ïëàçìîé. Ïåðâàÿ òåðìîÿäåðíàÿ ðåàêöèÿ â ÑÑÑÐ îñóùåñòâëåíà â 1953 ã., ÷åðåç ïîëãîäà — â ÑØÀ. Óïðàâëÿåìûå òåðìîÿäåðíûå ðåàêöèè äàäóò ÷åëîâå÷åñòâó íîâûé ýêîëîãè÷åñêè ÷èñòûé è ïðàêòè÷åñêè íåèñ÷åðïàåìûé èñòî÷íèê ýíåðãèè. Îäíàêî ïîëó÷åíèå ñâåðõâûñîêèõ òåìïåðàòóð è óäåðæàíèå ïëàçìû, íàãðåòîé äî ìèëëèàðäà ãðàäóñîâ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé 248 òðóäíåéøóþ íàó÷íî-òåõíè÷åñêóþ çàäà÷ó íà ïóòè îñóùåñòâëåíèÿ óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà. Íà äàííîì ýòàïå ðàçâèòèÿ íàóêè è òåõíèêè óäàëîñü îñóùåñòâèòü òîëüêî íåóïðàâëÿåìóþ ðåàêöèþ ñèíòåçà â âîäîðîäíîé áîìáå. Âûñîêàÿ òåìïåðàòóðà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ÿäåðíîãî ñèíòåçà, äîñòèãàåòñÿ çäåñü ñ ïîìîùüþ âçðûâà îáû÷íîé óðàíîâîé èëè ïëóòîíèåâîé áîìáû. Ó÷åíûå ðÿäà ñòðàí íàñòîé÷èâî ðàáîòàþò íàä èçûñêàíèåì ñïîñîáîâ îñóùåñòâëåíèÿ óïðàâëÿåìîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçà.  íàñòîÿùåå âðåìÿ â ðàìêàõ ìåæäóíàðîäíîãî ïðîåêòà âî Ôðàíöèè ñòðîèòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûé òåðìîÿäåðíûé ðåàêòîð. 5.4. Ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû  íà÷àëå 30-õ ãã. ÕÕ â. ôèçèêà íàøëà ïðèåìëåìîå îïèñàíèå ñòðîåíèÿ âåùåñòâà íà îñíîâå ÷åòûðåõ òèïîâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö — ïðîòîíîâ, íåéòðîíîâ, ýëåêòðîíîâ è ôîòîíîâ. Äîáàâëåíèå ïÿòîé ÷àñòèöû — íåéòðèíî — ïîçâîëèëî îáúÿñíèòü òàêæå ïðîöåññû ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà. Êàçàëîñü, ÷òî íàçâàííûå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû ÿâëÿþòñÿ ïåðâîêèðïè÷èêàìè ìèðîçäàíèÿ. Íî ýòà êàæóùàÿñÿ ïðîñòîòà âñêîðå èñ÷åçëà — áûë îáíàðóæåí ïîçèòðîí, ïðåäñêàçàííûé Äèðàêîì.  1936 ã. ñðåäè ïðîäóêòîâ âçàèìîäåéñòâèÿ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé ñ âåùåñòâîì áûë îòêðûò ïåðâûé ìåçîí. Ïîñëå ýòîãî óäàëîñü íàáëþäàòü ìåçîíû èíîé ïðèðîäû, à òàêæå äðóãèå íåîáû÷íûå ÷àñòèöû. Ýòè ÷àñòèöû ðîæäàëèñü ïîä äåéñòâèåì êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé äîâîëüíî ðåäêî. Îäíàêî ïîñëå òîãî, êàê áûëè ïîñòðîåíû óñêîðèòåëè, ïîçâîëÿþùèå ïîëó÷àòü ÷àñòèöû áîëüøèõ ýíåðãèé, óäàëîñü îòêðûòü áîëåå 300 íîâûõ ÷àñòèö. ×òî æå òîãäà ïîíèìàòü ïîä ñëîâîì «ýëåìåíòàðíàÿ»? «Ýëåìåíòàðíàÿ» — ëîãè÷åñêèé àíòèïîä «ñëîæíîé». Ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû — çíà÷èò ïåðâè÷íûå, äàëåå íåðàçëîæèìûå ÷àñòèöû, èç êîòîðûõ ñîñòîèò âñÿ ìàòåðèÿ. Ê ñîðîêîâûì ãîäàì XX â. áûë èçâåñòåí óæå ðÿä ïðåâðàùåíèé «ýëåìåíòàðíûõ» ÷àñòèö. ×èñëî ÷àñòèö ïðîäîëæàåò ðàñòè. Áîëüøàÿ èõ ÷àñòü íåñòàáèëüíà. Ñðåäè äåñÿòêîâ èçâåñòíûõ ìèêðî÷àñòèö âñåãî íåñêîëüêî óñòîé÷èâûõ, íåñïîñîáíûõ ê ñàìîïðîèçâîëüíûì ïðåâðàùåíèÿì. Íå ÿâëÿåòñÿ ëè óñòîé÷èâîñòü ïî îòíîøåíèþ ê ñàìîïðîèçâîëüíûì ïðåâðàùåíèÿì ïðèçíàêîì ýëåìåíòàðíîñòè? ßäðî äåéòåðèÿ (äåéòðîí) ñîñòîèò èç ïðîòîíà è íåéòðîíà. Êàê ÷àñòèöà äåéòðîí ñîâåðøåííî óñòîé÷èâ.  òî æå âðåìÿ ñîñòàâíàÿ ÷àñòü äåéòðî249 íà, íåéòðîí, b-ðàäèîàêòèâåí, ò. å. íåóñòîé÷èâ. Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîíÿòèÿ óñòîé÷èâîñòè è ýëåìåíòàðíîñòè — íå òîæäåñòâåííû.  ñîâðåìåííîé ôèçèêå òåðìèí «Ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû» îáû÷íî óïîòðåáëÿåòñÿ äëÿ íàèìåíîâàíèÿ áîëüøîé ãðóïïû ìåëü÷àéøèõ ÷àñòèö ìàòåðèè (êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ àòîìàìè èëè àòîìíûìè ÿäðàìè). Âñå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû îáëàäàþò èñêëþ÷èòåëüíî ìàëûìè ìàññàìè è ðàçìåðàìè. Ó áîëüøèíñòâà èç íèõ ìàññà ñîîòâåòñòâóåò ìàññå ïðîòîíà — 1,6 · 10-27 êã (çàìåòíî ìåíüøå ëèøü ìàññà ýëåêòðîíà 0,9 · 10-30 êã). Ìèêðîñêîïè÷åñêèå ðàçìåðû è ìàññû ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö îáóñëîâëèâàþò êâàíòîâûå çàêîíîìåðíîñòè èõ ïîâåäåíèÿ. Íàèáîëåå âàæíîå êâàíòîâîå ñâîéñòâî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö — ñïîñîáíîñòü ðîæäàòüñÿ è óíè÷òîæàòüñÿ (èñïóñêàòüñÿ è ïîãëîùàòüñÿ) ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ äðóãèìè ÷àñòèöàìè. Èçâåñòíû ÷åòûðå òèïà ðàçëè÷íûõ ïî ñâîåé ïðèðîäå âçàèìîäåéñòâèé ìåæäó ÷àñòèöàìè: ãðàâèòàöèîííîå, ýëåêòðîìàãíèòíîå, ñèëüíîå è ñëàáîå. Êàêîâû îñîáåííîñòè ÷åòûðåõ ïåðå÷èñëåííûõ âèäîâ âçàèìîäåéñòâèÿ? Íàèáîëåå ñèëüíûì ÿâëÿåòñÿ âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÿäåðíûìè ÷àñòèöàìè («ÿäåðíûå ñèëû»), ïîýòîìó åãî ïðèíÿòî íàçûâàòü ñèëüíûì. Óæå îòìå÷àëîñü, ÷òî ÿäåðíûå ñèëû äåéñòâóþò ëèøü ïðè âåñüìà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ ìåæäó ÷àñòèöàìè: ðàäèóñ äåéñòâèÿ ïîðÿäêà 10 –15 ì. Ñëåäóþùèì ïî âåëè÷èíå ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå. Îíî ìåíüøå ñèëüíîãî íà äâà ïîðÿäêà. Íî ñ ðàññòîÿíèåì îíî ìåíÿåòñÿ ìåäëåííåå, êàê 1/r2, òàê ÷òî ðàäèóñ äåéñòâèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñèë áåñêîíå÷åí. Äàëåå ñëåäóåò ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå, îáóñëîâëåííîå ó÷àñòèåì â ðåàêöèÿõ íåéòðèíî. Ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ýòî âçàèìîäåéñòâèå ìåíüøå ñèëüíîãî â 1014 ðàç. Ïî-âèäèìîìó, ðàäèóñ äåéñòâèÿ çäåñü òàêîé æå, êàê è â ñëó÷àå ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ñàìîå ìàëîå èç èçâåñòíûõ âçàèìîäåéñòâèé — ãðàâèòàöèîííîå. Îíî ìåíüøå ñèëüíîãî íà 39 ïîðÿäêîâ — â 1039 ðàç! Ñ ðàññòîÿíèåì ãðàâèòàöèîííûå ñèëû óáûâàþò ñòîëü æå ìåäëåííî, êàê è ýëåêòðîìàãíèòíûå, òàê ÷òî èõ ðàäèóñ äåéñòâèÿ òàêæå áåñêîíå÷åí.  êîñìîñå îñíîâíàÿ ðîëü ïðèíàäëåæèò ãðàâèòàöèîííûì âçàèìîäåéñòâèÿì, òàê êàê ðàäèóñ äåéñòâèÿ ñèëüíûõ è ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé íè÷òîæåí. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ èãðàþò îãðàíè÷åííóþ ðîëü ïîòîìó, ÷òî ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ ñòðåìÿòñÿ ê îáðàçîâàíèþ íåéòðàëüíûõ ñèñòåì. Ãðàâèòàöèîííûå ñèëû — âñåãäà ñèëû ïðèòÿæåíèÿ. Èõ íåëüçÿ ñêîìïåíñèðîâàòü ñèëîé îáðàòíîãî çíàêà, îò íèõ íåëüçÿ ýêðàíèðîâàòüñÿ. Îòñþäà — èõ äîìèíèðóþùàÿ ðîëü â êîñìîñå. 250  ðåàêöèÿõ, îáóñëîâëåííûõ âçàèìîäåéñòâèÿìè ÷àñòèö, ãðàâèòàöèîííûå ñèëû ïðàêòè÷åñêè íèêàêîé ðîëè íå èãðàþò. Ïåðå÷èñëåííûå âçàèìîäåéñòâèÿ èìåþò, ïî-âèäèìîìó, ðàçíóþ ïðèðîäó, ò. å. íå ñâîäÿòñÿ îäíî ê äðóãîìó.  íàñòîÿùåå âðåìÿ íåò âîçìîæíîñòè ñóäèòü, èñ÷åðïûâàþò ëè óêàçàííûå âçàèìîäåéñòâèÿ âñå èìåþùèåñÿ â ïðèðîäå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ó êàæäîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû åñòü ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé àíòè÷àñòèöà. Àíòè÷àñòèöà — ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà, èìåþùàÿ òå æå çíà÷åíèÿ ìàññû è ïðî÷èõ ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê, ÷òî è îñíîâíàÿ ÷àñòèöà, íî îòëè÷àþùàÿñÿ îò íåå çíàêîì íåêîòîðûõ õàðàêòåðèñòèê âçàèìîäåéñòâèé (ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà è äð.). Ïðèìåð: ýëåêòðîí è ïîçèòðîí. Êëàññ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ó÷àñòâóþùèõ â ñèëüíîì âçàèìîäåéñòâèè, íàçûâàåòñÿ àäðîíàìè (ïðîòîí, íåéòðîí è äð.). Êëàññ ÷àñòèö, íå îáëàäàþùèõ ñèëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì, íàçûâàåòñÿ ëåïòîíàìè. Ê ëåïòîíàì îòíîñÿòñÿ ýëåêòðîí, ìþîí, íåéòðèíî, òÿæåëûé ëåïòîí è ñîîòâåòñòâóþùèå èì àíòè÷àñòèöû. Ïðè ñòîëêíîâåíèè ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû îíè ìîãóò âçàèìíî óíè÷òîæèòüñÿ — «àííèãèëèðîâàòü». Àííèãèëÿöèÿ — èñ÷åçíîâåíèå (ïðåâðàùåíèå) ÷àñòèöû è ñîîòâåòñòâóþùåé åé àíòè÷àñòèöû ñ îáðàçîâàíèåì äâóõ g-êâàíòîâ. Ïðè ýòîì ñîáëþäàþòñÿ âñå èçâåñòíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ — ýíåðãèè, èìïóëüñà, ìîìåíòà èìïóëüñà, çàðÿäîâ. Äëÿ ðîæäåíèÿ ïàðû ýëåêòðîí — ïîçèòðîí íåîáõîäèìî èçðàñõîäîâàòü ýíåðãèþ, íå ìåíüøóþ ñóììû ñîáñòâåííûõ ýíåðãèé ýòèõ ÷àñòèö, ò. å. ~ 106 ýÂ. Ïðè àííèãèëÿöèè òàêîé ïàðû ýòà ýíåðãèÿ ëèáî îòäàåòñÿ ñ ïîðîæäàåìûì ïðè àííèãèëÿöèè èçëó÷åíèåì, ëèáî ðàñïðåäåëÿåòñÿ ñðåäè äðóãèõ ÷àñòèö. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà ñëåäóåò, ÷òî çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà íå ìîæåò âîçíèêíóòü áåç òîãî, ÷òîáû íå âîçíèêëà äðóãàÿ ñ çàðÿäàìè îáðàòíûõ çíàêîâ (÷òîáû ñóììàðíûé çàðÿä âñåé ñèñòåìû ÷àñòèö íå ìåíÿëñÿ). Ïðèìåðîì òàêîé ðåàêöèè ÿâëÿåòñÿ ðåàêöèÿ ïðåâðàùåíèÿ íåéòðîíà â ïðîòîí ñ îäíîâðåìåííûì îáðàçîâàíèåì ýëåêòðîíà è âûëåòîì àíòèíåéòðèíî: 1 n . n ® 1 p + 0e + 0 ~ 0 1 -1 0 e Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ïðè ýòîì ïðåâðàùåíèè ñîõðàíÿåòñÿ. Òî÷íî òàê æå ñîõðàíÿåòñÿ îí ïðè ïðåâðàùåíèè ôîòîíà â ïàðó ýëåêòðîí — ïîçèòðîí èëè ïðè ðîæäåíèè òàêîé æå ïàðû â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ äâóõ ýëåêòðîíîâ. Ñóùåñòâóåò ãèïîòåçà, ÷òî âñå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû ÿâëÿþòñÿ êîìáèíàöèÿìè òðåõ îñíîâíûõ ÷àñòèö, íàçûâàåìûõ êâàðêàìè, è èõ àíòè÷àñ251 òèö.  ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè êâàðêè íå áûëè îáíàðóæåíû (íåñìîòðÿ íà ìíîãî÷èñëåííûå èõ ïîèñêè íà óñêîðèòåëÿõ âûñîêèõ ýíåðãèé, â êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ è îêðóæàþùåé ñðåäå). Íåâîçìîæíî îïèñàòü ñâîéñòâà è ïðåâðàùåíèÿ ìèêðî÷àñòèö áåç êàêîé-ëèáî èõ ñèñòåìàòèçàöèè. Ñèñòåìàòèçàöèè, ïîñòðîåííîé íà îñíîâå ñòðîãîé òåîðèè, íåò. Äâå îñíîâíûå ãðóïïû ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ñîñòàâëÿþò ñèëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèå (àäðîíû) è ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþùèå (ëåïòîíû) ÷àñòèöû. Àäðîíû äåëÿòñÿ íà ìåçîíû è áàðèîíû. Áàðèîíû ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà íóêëîíû è ãèïåðîíû. Ê ëåïòîíàì îòíîñÿòñÿ ýëåêòðîíû, ìþîíû è íåéòðèíî. Íèæå ïðèâåäåíû âåëè÷èíû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ñèñòåìàòèçèðóþò ìèêðî÷àñòèöû. 1. Ìàññîâîå, èëè áàðèîííîå, ÷èñëî À. Ìíîãî÷èñëåííûå ôàêòû, íàáëþäàåìûå â ïðîöåññå äåëåíèÿ ÿäåð, ðîæäåíèÿ ïàðû íóêëîí è àíòèíóêëîí, ïîçâîëÿþò óòâåðæäàòü, ÷òî â ëþáîì ïðîöåññå ÷èñëî íóêëîíîâ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì. Âñåì áàðèîíàì ïðèïèñûâàþò ÷èñëî À = +1, êàæäîé àíòè÷àñòèöå — À = -1. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ áàðèîííîãî çàðÿäà âûïîëíÿåòñÿ òî÷íî âî âñåõ ÿäåðíûõ ïðîöåññàõ. Êðàòíûìè çíà÷åíèÿìè áàðèîííîãî ÷èñëà îáëàäàþò ñëîæíûå ÷àñòèöû. Ó âñåõ ìåçîíîâ è ëåïòîíîâ áàðèîííîå ÷èñëî ðàâíî íóëþ. 2. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä q ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî åäèíèö ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà (â åäèíèöàõ ïîëîæèòåëüíîãî çàðÿäà ïðîòîíà), ïðèñóùåãî ÷àñòèöå. 3. Èçîòîïè÷åñêèé ñïèí (íå èìååò îòíîøåíèÿ ê ðåàëüíîìó ñïèíó). Ñèëû, äåéñòâóþùèå ìåæäó íóêëîíàìè â ÿäðå, ïî÷òè íå çàâèñÿò îò òèïà íóêëîíîâ, ò. å. ÿäåðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ð–ð, ð–n è n–n îäèíàêîâû. Ýòà ñèììåòðèÿ ÿäåðíûõ ñèë ïðèâîäèò ê ñîõðàíåíèþ âåëè÷èíû, íàçûâàåìîé èçîòîïè÷åñêèì ñïèíîì. Èçîñïèí ñîõðàíÿåòñÿ â ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ è íå ñîõðàíÿåòñÿ â ïðîöåññàõ, âûçâàííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûì è ñëàáûì âçàèìîäåéñòâèåì. 4. Ñòðàííîñòü. ×òîáû îáúÿñíèòü, ïî÷åìó íå ïðîèñõîäÿò íåêîòîðûå ïðîöåññû ñ ó÷àñòèåì àäðîíîâ, Ì. Ãåëë-Ìàíí è Ê. Íèøèäæèìà â 1953 ã. ïðåäëîæèëè ââåñòè íîâîå êâàíòîâîå ÷èñëî, êîòîðîå îíè íàçâàëè ñòðàííîñòüþ. Ñòðàííîñòü ñòàáèëüíûõ àäðîíîâ ëåæèò â ïðåäåëàõ îò –3 äî +3 (öåëûå ÷èñëà). Ñòðàííîñòü ëåïòîíîâ íå îïðåäåëåíà.  ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ ñòðàííîñòü ñîõðàíÿåòñÿ. 5. Ñïèí. Õàðàêòåðèçóåò ìîìåíò èìïóëüñà ÷àñòèöû. 252 6. ×åòíîñòü. Âíóòðåííåå ñâîéñòâî ÷àñòèöû, ñâÿçàííîå ñ åå ñèììåòðèåé ïî îòíîøåíèþ ê ïðàâîìó è ëåâîìó. Äî íåäàâíåãî âðåìåíè ôèçèêè ïîëàãàëè, ÷òî ðàçëè÷èÿ ìåæäó ïðàâûì è ëåâûì íåò. Âïîñëåäñòâèè îêàçàëîñü, ÷òî îíè íåðàâíîöåííû äëÿ âñåõ ïðîöåññîâ ñëàáîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ýòî ñòàëî îäíèì èç íàèáîëåå óäèâèòåëüíûõ îòêðûòèé â ôèçèêå.  êëàññè÷åñêîé ôèçèêå âåùåñòâî è ôèçè÷åñêîå ïîëå ïðîòèâîïîñòàâëÿëèñü äðóã äðóãó êàê äâà âèäà ìàòåðèè. Âåùåñòâî ñëàãàåòñÿ èç ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ýòî âèä ìàòåðèè, îáëàäàþùåé ìàññîé ïîêîÿ. Ó âåùåñòâà ñòðóêòóðà äèñêðåòíà, ó ïîëÿ íåïðåðûâíà. Íî êâàíòîâàÿ ôèçèêà ïðèâåëà ê íèâåëèðîâàíèþ ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.  êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà ÷àñòèöû äåéñòâóþò ñèëîâûå ïîëÿ — ãðàâèòàöèîííîå è ýëåêòðîìàãíèòíîå. Äðóãèõ ïîëåé êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà íå çíàëà.  êâàíòîâîé ôèçèêå çà ïîëÿìè âèäÿò èñòèííûõ ïåðåíîñ÷èêîâ âçàèìîäåéñòâèÿ — êâàíòû ýòèõ ïîëåé, ò. å. ÷àñòèöû. Äëÿ êëàññè÷åñêèõ ïîëåé ýòî ãðàâèòîíû è ôîòîíû. Êîãäà ïîëÿ äîñòàòî÷íî ñèëüíû è êâàíòîâ ìíîãî, ìû ïåðåñòàåì ðàçëè÷àòü èõ êàê îòäåëüíûå ÷àñòèöû è âîñïðèíèìàåì êàê ïîëå. Íîñèòåëÿìè ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ÿâëÿþòñÿ ãëþîíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ëþáàÿ ìèêðî÷àñòèöà (ýëåìåíò âåùåñòâà) îáëàäàåò äâîéñòâåííîé êîðïóñêóëÿðíî-âîëíîâîé ïðèðîäîé. 5.5. Ýëåìåíòû êîñìîëîãèè Êîñìîëîãèÿ — ýòî ó÷åíèå î Âñåëåííîé. Ïðåäìåòîì êîñìîëîãèè ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå èñòîðèè Âñåëåííîé, åå ñòðîåíèÿ è ýâîëþöèè. Êîñìîëîãèÿ òåñíî ñâÿçàíà ñ îáùåé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè, òàê êàê âî Âñåëåííîé ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ áîëüøèìè ðàññòîÿíèÿìè, âûñîêèìè ñêîðîñòÿìè è îãðîìíûìè ìàññàìè. Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ëàáîðàòîðèè íåëüçÿ ïðîâåñòè äåòàëüíûé êîíòðîëèðóåìûé êîñìîëîãè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò — ïðèõîäèòñÿ èçó÷àòü îáúåêòû, êîòîðûå ëåæàò íà ôàíòàñòè÷åñêèõ ðàññòîÿíèÿõ îò íàñ è íà êîòîðûå ìû íèêàê íå ìîæåì âëèÿòü. Âûâîäû êîñìîëîãèè îñíîâûâàþòñÿ íà çàêîíàõ ôèçèêè, äàííûõ àñòðîíîìèè, ôèëîñîôñêèõ ïðèíöèïàõ. Âàæíåéøèì ôèëîñîôñêèì ïîñòóëàòîì ÿâëÿåòñÿ ïîëîæåíèå, ñîãëàñíî êîòîðîìó çàêîíû ôèçèêè (ïðèðîäû), óñòàíîâëåííûå (÷àùå âñåãî) íà îñíîâå îïûòîâ íà ïëàíåòå Çåìëÿ, ìîãóò áûòü ýêñòðàïîëèðîâàíû íà âñþ Âñåëåííóþ. Ýéíøòåéí ïîêàçàë, ÷òî îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè ìîæåò îáúÿñíèòü ñóùåñòâîâàíèå ñòàòè÷åñêîé Âñåëåííîé, ò. å. Âñåëåííîé, êîòîðàÿ 253 íå èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì (èäåÿ Àðèñòîòåëÿ î âå÷íîé íå èçìåíÿþùåéñÿ Âñåëåííîé).  òî âðåìÿ êàçàëîñü, ÷òî Âñåëåííàÿ ñòàòè÷åñêàÿ, è ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷èë âñåîáùåå ïðèçíàíèå. Îäíàêî â 1923 ã. ñîâåòñêèì ó÷åíûì À. À. Ôðèäìàíîì áûëà ñîçäàíà òåîðèÿ ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé, à â 1929 ã. Õàááë îáíàðóæèë, ÷òî â êîñìîñå «âñå ðàçáåãàåòñÿ», Âñåëåííàÿ ðàñøèðÿåòñÿ. Ïî ñîâðåìåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì, ãàëàêòèêè ðàçáåãàþòñÿ ñî ñêîðîñòÿìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè ðàññòîÿíèÿì äî íèõ. Ïðåäïîëîæåíèå îá îáðàçîâàíèè Âñåëåííîé â ðåçóëüòàòå ãèãàíòñêîãî âçðûâà (òåîðèÿ áîëüøîãî âçðûâà) áûëî âïåðâûå âûñêàçàíî Ã. Ãàìîâûì â 1948 ã. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðèè, ïðèìåðíî 1010 ëåò íàçàä (ñïóñòÿ âñåãî îäíó ñîòóþ ñåêóíäû ïîñëå «íà÷àëà»), âñå âåùåñòâî è âñÿ ýíåðãèÿ ñîâðåìåííîé Âñåëåííîé áûëè ñêîíöåíòðèðîâàíû â îäíîì ñãóñòêå ñ ïëîòíîñòüþ ñâûøå 1025 ã/ñì3 (â òðèëëèîíû ðàç âûøå ïëîòíîñòè âîäû) è òåìïåðàòóðîé ñâûøå 1016 Ê.  ýòèõ óñëîâèÿõ íå ìîãëè ñóùåñòâîâàòü íè ÿäðà, íè òåì áîëåå àòîìû. ×óäîâèùíîå ðàäèàöèîííîå äàâëåíèå âíóòðè ñãóñòêà ïðèâåëî ê åãî íåîáû÷àéíî áûñòðîìó ðàñøèðåíèþ — «áîëüøîìó âçðûâó». ×åðåç íåñêîëüêî ìèíóò ðàñøèðåíèå Âñåëåííîé è åå îõëàæäåíèå äîñòèãëè òàêîé ñòåïåíè, ÷òî ñòàëî âîçìîæíûì îáðàçîâàíèå ÿäåð. Ïðîñòðàíñòâî áûëî çàïîëíåíî îáëàêîì èç ðàñêàëåííûõ ãàçîâ è îñëåïëÿþùèì ñâåòîì. Ñâåò, èçëó÷åííûé ïåðâîíà÷àëüíûì ãàçîâûì îáëàêîì, âñå åùå «áðîäèò» âî Âñåëåííîé. Ïðåòåðïåâ ñèëüíûå èçìåíåíèÿ, îí ñåé÷àñ çàìåòåí â âèäå ìèêðîâîëíîâîãî ôîíà — «ðåëèêòîâîãî èçëó÷åíèÿ». Âñå ýëåìåíòû Âñåëåííîé îáðàçîâàëèñü â ðåçóëüòàòå ÿäåðíûõ ðåàêöèé â ïåðâûå ìîìåíòû ïîñëå áîëüøîãî âçðûâà. ×åðåç ìèëëèàðä ëåò íà÷àëîñü îáðàçîâàíèå ãàëàêòèê, çâåçä è ñòàáèëüíîãî âåùåñòâà â ñîâðåìåííîì âèäå. Çâåçäû íå ðàññåÿíû âî âñåëåííîé ðàâíîìåðíî, à ñãðóïïèðîâàíû â îòäåëüíûå «îñòðîâà» — ãàëàêòèêè. Êàæäàÿ ãàëàêòèêà âêëþ÷àåò â ñåáÿ â ñðåäíåì áîëåå 100 ìëðä çâåçä, à òàêæå ìåæçâåçäíûé ãàç è ìåæçâåçäíóþ ïûëü. Ãàëàêòèêè îáû÷íî èìåþò ôîðìó ñïèðàëè èëè ýëëèïñà. Äèàìåòð èõ ìîæåò äîñòèãàòü 105 ñâåòîâûõ ëåò. Ìëå÷íûé ïóòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó òàêóþ ãàëàêòèêó, òó ñàìóþ «Ãàëàêòèêó», êîòîðàÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ (â êà÷åñòâå íåçíà÷èòåëüíîé ïåðèôåðèéíîé çâåçäû) è íàøå Ñîëíöå.  íàñòîÿùåå âðåìÿ Âñåëåííàÿ ðàñøèðÿåòñÿ, íî áóäåò ëè ýòî ðàñøèðåíèå ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî, òàê ÷òî â ïðåäåëå ïëîòíîñòü âåùåñòâà âî Âñåëåííîé ñòàíåò áåñêîíå÷íî ìàëîé? Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè äàåò îïðåäåëåííûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðèè, ñóùåñò254 âóåò íåêîòîðàÿ êðèòè÷åñêàÿ ìàññà Âñåëåííîé. Åñëè äåéñòâèòåëüíàÿ ìàññà Âñåëåííîé ìåíüøå êðèòè÷åñêîé, ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ âåùåñòâà âî Âñåëåííîé áóäåò íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû îñòàíîâèòü ðàñøèðåíèå, è îíî áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè äåéñòâèòåëüíàÿ ìàññà Âñåëåííîé ïðåâîñõîäèò êðèòè÷åñêóþ, ãðàâèòàöèîííîå ïðèòÿæåíèå, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, çàìåäëèò ðàñøèðåíèå, ïðèîñòàíîâèò åãî è çàòåì ïðèâåäåò ê ñæàòèþ.  ýòîì ñëó÷àå Âñåëåííóþ îæèäàåò êîëëàïñ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî âíîâü îáðàçóåòñÿ ñãóñòîê. Âñå áóäåò ãîòîâî äëÿ íîâîãî áîëüøîãî âçðûâà è íîâîãî ðàñøèðåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, Âñåëåííàÿ äîëæíà ïóëüñèðîâàòü ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ìàêñèìàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ è êîëëàïñà. Ñîäåðæèò ëè Âñåëåííàÿ äîñòàòî÷íóþ ìàññó (â ôîðìå âåùåñòâà è ýíåðãèè) äëÿ òîãî, ÷òîáû ñòàëà âîçìîæíîé åå ïóëüñàöèÿ? Ïðèáëèçèòåëüíîå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà â çâåçäàõ, ãàëàêòè÷åñêèõ ïûëè è ãàçå ìîæíî îöåíèòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Ìîæíî îöåíèòü òàêæå ýíåðãèþ èçëó÷åíèÿ çâåçä, ìàãíèòíûõ ïîëåé â êîñìè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, äâèæåíèÿ îáëàêîâ ãàçà, êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé è íåéòðèíî. Âñå ýòî, âìåñòå âçÿòîå, îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå êðèòè÷åñêîé ìàññû.  âû÷èñëåíèÿõ ñóùåñòâóåò, îäíàêî, áîëüøàÿ íåîïðåäåëåííîñòü, ïîñêîëüêó ìû íå çíàåì êîëè÷åñòâà âåùåñòâà â ìåæãàëàêòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå. Ìû íå çíàåì ñêîëüêî-íèáóäü òî÷íî ìàññó èëè ðàçìåðû Âñåëåííîé. Ìû íå çíàåì, áóäåò ëè íàáëþäàåìîå ðàñøèðåíèå Âñåëåííîé ïðîäîëæàòüñÿ áåñêîíå÷íî èëè, â êîíöå êîíöîâ, ïðåêðàòèòñÿ è ñìåíèòñÿ ñæàòèåì. Ìû íå çíàåì, ñóùåñòâóåò ëè âî Âñåëåííîé â êàêèõ-ëèáî çíà÷èòåëüíûõ êîëè÷åñòâàõ àíòèâåùåñòâî. Ñóùåñòâóþò ëè àíòèãàëàêòèêè? Ìû íå çíàåì ïðèðîäû êâàçàðîâ, èçëó÷àþùèõ ãèãàíòñêóþ ýíåðãèþ. Ìû çíàåì ñëèøêîì ìàëî î äåòàëÿõ ýâîëþöèè çâåçä. Ìû î÷åíü ìàëî çíàåì î ïðîèñõîæäåíèè Âñåëåííîé, õîòÿ èìåþùèåñÿ äàííûå óêàçûâàþò íà òî, ÷òî åå ðàñøèðåíèå — ýòî ðåçóëüòàò ïðîèñøåäøåãî îêîëî 10 ìèëëèàðäîâ ëåò íàçàä ÷óäîâèùíîãî âçðûâà, ìîùü êîòîðîãî íåâîçìîæíî ñåáå ïðåäñòàâèòü. Íî îòêóäà âçÿëîñü ýòî ãèãàíòñêîå êîëè÷åñòâî èçíà÷àëüíîé ýíåðãèè? 5.6. Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ 1. Ðàçâèòèå ïðåäñòàâëåíèé î ñòðîåíèè àòîìà. Ìîäåëè Òîìñîíà è Ðåçåðôîðäà. Ñïåêòðû èçëó÷åíèÿ è ïîãëîùåíèÿ â àòîìàõ âîäîðîäà. 2. Ïîñòóëàòû Áîðà. Êâàíòîâàíèå îðáèò. Áîðîâñêàÿ òåîðèÿ àòîìà âîäîðîäà. 255 3. Âîëíîâûå ñâîéñòâà âåùåñòâà. Ãèïîòåçà äå Áðîéëÿ. Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòè. 4. Õàðàêòåðèñòèêè è ñîñòàâ àòîìíîãî ÿäðà. Èçîòîïû. 5. Óñòîé÷èâîñòü àòîìíûõ ÿäåð. Ýíåðãèÿ ñâÿçè. Äåëåíèå òÿæåëûõ ÿäåð è ñèíòåç ëåãêèõ. ßäåðíàÿ ýíåðãåòèêà. 6. Ðàäèîàêòèâíîñòü. Çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà. 7. Ñîâðåìåííàÿ ôèçè÷åñêàÿ êàðòèíà ìèðà: âåùåñòâî è ïîëå. Àòîìíî-ìîëåêóëÿðíîå ñòðîåíèå âåùåñòâà. Ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû: ëåïòîíû, àäðîíû. Êâàðêè. Âçàèìîïðåâðàùåíèå ÷àñòèö. Ãðàâèòàöèîííîå, ýëåêòðîìàãíèòíîå, ñëàáîå è ñèëüíîå ÿäåðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ýëåìåíòû êîñìîëîãèè. ×àñòü II ÌÀÒÅÐÈÀËÛ ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ 1. ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÈÇÓ×ÅÍÈß ÔÈÇÈÊÈ Ìåòîäèêà èçó÷åíèÿ ôèçèêè íà çàî÷íîì îòäåëåíèè â êîðíå îòëè÷àåòñÿ îò ìåòîäèê äëÿ äíåâíîé ôîðìû îáó÷åíèÿ. Òàê, åñëè íà äíåâíîì îòäåëåíèè îñíîâíûìè ôîðìàìè îáó÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ ëåêöèè, ïðàêòè÷åñêèå è ëàáîðàòîðíûå çàíÿòèÿ, ãäå ïðåïîäàâàòåëü èçëàãàåò ïðîãðàììíûé ìàòåðèàë, ðåøàåò ñî ñòóäåíòàìè çàäà÷è, ïðîâîäèò ëàáîðàòîðíûå çàíÿòèÿ, ïðîâåðÿåò çíàíèÿ ñòóäåíòîâ, òî ó÷åáíûé ïðîöåññ íà çàî÷íîì îòäåëåíèè ñâÿçàí ñ óãëóáëåííîé ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòîé è ïðåäóñìàòðèâàåò: 1) èçó÷åíèå ìàòåðèàëà ïðîãðàììû ïî ó÷åáíèêàì èëè ó÷åáíûì ïîñîáèÿì; 2) ñàìîñòîÿòåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷; 3) âûïîëíåíèå êîíòðîëüíûõ ðàáîò; 4) âûïîëíåíèå ëàáîðàòîðíûõ ðàáîò; 5) ñäà÷ó çà÷åòîâ è ýêçàìåíîâ. Äëÿ óñïåøíîãî îâëàäåíèÿ ìàòåðèàëîì è ñäà÷è ýêçàìåíîâ ïî ôèçèêå íåîáõîäèìî ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ íåñêîëüêèìè ïðàâèëàìè. 1. Ñëåäóåò èçó÷àòü êóðñ ñèñòåìàòè÷åñêè â òå÷åíèå âñåãî ó÷åáíîãî ãîäà. Ïîïûòêà èçó÷èòü ôèçèêó â ñæàòûå ñðîêè ïåðåä ýêçàìåíîì íå äàñò ãëóáîêèõ, ïðî÷íûõ çíàíèé è ïðèâåäåò ê íåóäà÷å. 257 2. Âûáðàâ êàêîå-ëèáî ó÷åáíîå ïîñîáèå â êà÷åñòâå îñíîâíîãî äëÿ îïðåäåëåííîé ÷àñòè êóðñà, ïðèäåðæèâàéòåñü äàííîãî ïîñîáèÿ ïðè èçó÷åíèè âñåé ÷àñòè èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, åå öåëîãî ðàçäåëà. Çàìåíà îäíîãî ïîñîáèÿ äðóãèì â ïðîöåññå èçó÷åíèÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê óòðàòå ëîãè÷åñêîé ñâÿçè ìåæäó îòäåëüíûìè âîïðîñàìè. Íî åñëè âûáðàííîå ïîñîáèå íå äàåò ïîëíîãî èëè ÿñíîãî îòâåòà íà íåêîòîðûå âîïðîñû ïðîãðàììû, íåîáõîäèìî îáðàùàòüñÿ ê äðóãèì ó÷åáíûì ïîñîáèÿì. 3. Ïðè ÷òåíèè ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ñîñòàâëÿéòå êîíñïåêò, â êîòîðîì çàïèñûâàéòå çàêîíû è ôîðìóëû, âûðàæàþùèå ýòè çàêîíû, îïðåäåëåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí è èõ åäèíèö, äåëàéòå ÷åðòåæè è ðåøàéòå òèïîâûå çàäà÷è. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ Ìåæäóíàðîäíîé ñèñòåìîé åäèíèö (ÑÈ). 4. Ñàìîñòîÿòåëüíóþ ðàáîòó íàä êóðñîì íåîáõîäèìî ïîäâåðãàòü ñèñòåìàòè÷åñêîìó êîíòðîëþ. Äëÿ ýòîãî ïîñëå èçó÷åíèÿ î÷åðåäíîãî ðàçäåëà ñëåäóåò ñòàâèòü âîïðîñû è îòâå÷àòü íà íèõ. Ïðè ýòîì íàäî èñïîëüçîâàòü ðàáî÷óþ ïðîãðàììó êóðñà. 5. Î÷åíü ïîëåçíî ïðîñëóøàòü óñòàíîâî÷íûé êóðñ ëåêöèé, îðãàíèçóåìûõ äëÿ ñòóäåíòîâ-çàî÷íèêîâ, à òàêæå ïîëüçîâàòüñÿ î÷íûìè êîíñóëüòàöèÿìè ïðåïîäàâàòåëåé. 2. ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÐÅØÅÍÈÞ ÇÀÄÀ× Ðåøåíèå çàäà÷ ïî ôèçèêå ñïîñîáñòâóåò áîëåå ãëóáîêîìó ïîíèìàíèþ èçó÷àåìîãî ìàòåðèàëà è ïîìîãàåò çàêðåïëåíèþ â ïàìÿòè ïîíÿòèé, ôîðìóëèðîâîê, îïðåäåëåíèé, ôîðìóë è ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ, ðàçâèâàåò ó ñòóäåíòîâ ëîãè÷åñêîå ìûøëåíèå, íàâûê â ïðèìåíåíèè ïîëó÷åííûõ çíàíèé äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíûõ âîïðîñîâ, èìåþùèõ ïðàêòè÷åñêîå è ïîçíàâàòåëüíîå çíà÷åíèå. Ïîýòîìó â ïîñîáèè ïðèâîäèòñÿ ñïèñîê òðåíèðîâî÷íûõ çàäà÷, ðàáîòà íàä êîòîðûìè çàêðåïèò çíàíèÿ è íàâûêè ñòóäåíòîâ. Çàäà÷è ïî ôèçèêå ðàçíîîáðàçíû, è äàòü åäèíûé ðåöåïò äëÿ èõ ðåøåíèÿ íåâîçìîæíî. Óìåíèå ðåøàòü çàäà÷è ïðèîáðåòàåòñÿ â ïðîöåññå ñèñòåìàòè÷åñêèõ óïðàæíåíèé. Ìîæíî ëèøü óêàçàòü óñëîâèÿ, ñîáëþäåíèå êîòîðûõ íåîáõîäèìî äëÿ óñïåøíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷.  îñíîâó êàæäîé ôèçè÷åñêîé çàäà÷è ïîëîæåí òîò èëè èíîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðîÿâëåíèÿ îáùèõ çàêîíîâ ôèçèêè. Ïîýòîìó áåç òâåðäîãî çíàíèÿ òåîðèè íåëüçÿ ðàññ÷èòûâàòü íà óñïåøíîå ðåøåíèå è àíàëèç äàæå ñàìûõ ïðîñòûõ çàäà÷. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íåîáõîäèìî: 1) õîðîøî âíèêíóòü â óñëîâèå çàäà÷è è óñòàíîâèòü, êàêèå ôèçè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè ëåæàò â åå îñíîâå; 2) çàïèñàòü âñå äàííûå â çàäà÷å ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû â îäíîé ñèñòåìå åäèíèö (â ñèñòåìå åäèíèö ÑÈ); 3) åñëè ïîçâîëÿåò õàðàêòåð çàäà÷è, îáÿçàòåëüíî ñäåëàòü ÷åðòåæ, ïîÿñíÿþùèé åå ñóùíîñòü; 4) çàïèñàòü çàêîíû è ôîðìóëû, íà êîòîðûõ áàçèðóåòñÿ ðåøåíèå, è äàòü ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó ýòèõ çàêîíîâ, ðàçúÿñíèòü áóêâåííûå îáîçíà÷åíèÿ; 5) åñëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ïðèìåíÿåòñÿ ôîðìóëà, ïîëó÷åííàÿ äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, íå âûðàæàþùàÿ êàêîé-íèáóäü ôèçè÷åñêèé çà259 êîí èëè íå ÿâëÿþùàÿñÿ îïðåäåëåíèåì êàêîé-íèáóäü ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, òî åå ñëåäóåò âûâåñòè; 6) îñîáîå âíèìàíèå ñëåäóåò îáðàùàòü íà âåêòîðíûé õàðàêòåð ìíîãèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Äëÿ ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ òàêèõ âåëè÷èí íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü íå òîëüêî èõ ÷èñëîâîå çíà÷åíèå, íî è íàïðàâëåíèå; 7) ïîëó÷èòü ðåøåíèå çàäà÷è â îáùåì âèäå, òî åñòü âûðàçèòü èñêîìóþ âåëè÷èíó â áóêâåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ âåëè÷èí, çàäàííûõ â óñëîâèè çàäà÷è. Ïðàâèëüíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è â îáùåì âèäå ìîæíî ïðîâåðèòü, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ðàçìåðíîñòåé (íàèìåíîâàíèé). Ïðè ïðàâèëüíîì ðåøåíèè ðàçìåðíîñòü ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ èñêîìîé âåëè÷èíû. Íåñîáëþäåíèå ýòîãî óñëîâèÿ (îíî íåîáõîäèìî, íî íåäîñòàòî÷íî) ñâèäåòåëüñòâóåò îá îøèáêå, äîïóùåííîé â õîäå ðåøåíèÿ; 8) ðåøåíèå çàäà÷è ñëåäóåò ñîïðîâîæäàòü êðàòêèìè, íî èñ÷åðïûâàþùèìè ïîÿñíåíèÿìè; 9) ïîäñòàâèòü ÷èñëîâûå äàííûå â ïîëó÷åííûå äëÿ èñêîìûõ âåëè÷èí ôîðìóëû, ïðîèçâåñòè ñ íèìè íåîáõîäèìûå äåéñòâèÿ. Ïðîàíàëèçèðîâàòü ðåçóëüòàò (îöåíèòü åãî ïðàâäîïîäîáíîñòü); 10) ïðîâîäÿ àðèôìåòè÷åñêèå ðàñ÷åòû, íóæíî èñïîëüçîâàòü ïðàâèëà ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé, ïîçâîëÿþùèå ýêîíîìèòü âðåìÿ áåç óùåðáà äëÿ òî÷íîñòè. Òî÷íîñòü îòâåòà íå äîëæíà ïðåâûøàòü òî÷íîñòè, ñ êîòîðîé äàíû èñõîäíûå âåëè÷èíû.  òåõ çàäà÷àõ, ãäå òðåáóåòñÿ íà÷åðòèòü ãðàôèê, ñëåäóåò ðàöèîíàëüíî âûáðàòü ìàñøòàá è íà÷àëî êîîðäèíàò. Óìåíèå ðåøàòü çàäà÷è ïðèîáðåòàåòñÿ äëèòåëüíûìè è ñèñòåìàòè÷åñêèìè óïðàæíåíèÿìè. Ïðè ïîäãîòîâêå ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû ñëåäóåò ïîñëå èçó÷åíèÿ êàæäîé òåìû ðåøèòü çàäà÷è èç ðàçäåëà «Òðåíèðîâî÷íûå çàäà÷è». Îíè ñîäåðæàò ýëåìåíòû çàäà÷, ïðåäëàãàåìûõ äëÿ êîíòðîëüíûõ ðàáîò. Çàäà÷è äëÿ òðåíèðîâêè íåñêîëüêî ïðîùå òåõ, êîòîðûå âõîäÿò â êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ, è ïðèçâàíû ïîäãîòîâèòü ñòóäåíòà ê âûïîëíåíèþ êîíòðîëüíîé ðàáîòû. Ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ êðàéíå ïîëåçíî è íåîáõîäèìî. Ïðè îôîðìëåíèè êîíòðîëüíûõ ðàáîò íóæíî ïîìíèòü ñëåäóþùåå: 1) êîíòðîëüíûå ðàáîòû äëÿ ïðîâåðêè îôîðìëÿþòñÿ â îáû÷íîé ó÷åíè÷åñêîé òåòðàäè ñèíèìè èëè ÷åðíûìè ÷åðíèëàìè; 260 2) òåêñò çàäà÷è èç êîíòðîëüíîãî çàäàíèÿ ïåðåïèñûâàåòñÿ ïîëíîñòüþ è âûïèñûâàþòñÿ ñòîëáèêîì çíà÷åíèÿ âåëè÷èí ñ èõ ñòàíäàðòíûìè îáîçíà÷åíèÿìè è ðàçìåðíîñòÿìè. Ðàçìåðíîñòè óêàçûâàþòñÿ â ÑÈ; 3) ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íåîáõîäèìî ïðèäåðæèâàòüñÿ ïðàâèë, ïðèâåäåííûõ âûøå; 4) êà÷åñòâåííûå çàäà÷è îáúÿñíÿþòñÿ íå îäíîñëîæíî, à äàåòñÿ èñ÷åðïûâàþùèé îòâåò, îñíîâàííûé íà ôèçè÷åñêèõ çàêîíàõ. 3. Î ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÕ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈßÕ ×èñëîâûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ÿâëÿþòñÿ áîëüøåé ÷àñòüþ ïðèáëèæåííûìè. Ïðåæäå ÷åì âåñòè ðàçãîâîð î ïðàâèëàõ ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé, äàäèì îïðåäåëåíèå çíà÷àùåé öèôðû ÷èñëà. Çíà÷àùèìè öèôðàìè ÷èñëà íàçûâàþòñÿ âñå åãî öèôðû, êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ ëåâåå ïåðâîé, îòëè÷íîé îò íóëÿ öèôðû, à òàêæå êðîìå íóëåé, ñòîÿùèõ â êîíöå ÷èñëà âçàìåí íåèçâåñòíûõ èëè îòáðîøåííûõ öèôð. Íóëü â êîíöå ÷èñëà ìîæåò áûòü çíà÷àùèì, åñëè îí ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâèòåëåì ñîõðàíåííîãî äåñÿòè÷íîãî ðàçðÿäà. Òàêèìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ìíîãèå êîíñòàíòû, ïðèâîäèìûå â ñïðàâî÷íèêàõ. Íàïðèìåð: óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 9,81 ì/ñ2, ÷èñëî ïè p = 3,14, ìàññà ýëåêòðîíà me = 9,1 · 10–31 êã è ò. ï. Ïðè áîëåå òî÷íîì âû÷èñëåíèè èëè èçìåðåíèè ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí áóäóò ñîäåðæàòü áîëüøåå ÷èñëî çíà÷àùèõ öèôð g = 9,80655 ì/ñ2, p = 3,1416, ò = 9,106 · 10–31 êã. Îäíàêî è ýòè çíà÷åíèÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿþòñÿ ïðèáëèæåííûìè èëè â ñèëó íåäîñòàòî÷íîé òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ, èëè â ñèëó òîãî, ÷òî ïîëó÷åíû ïóòåì îêðóãëåíèÿ åùå áîëåå òî÷íûõ çíà÷åíèé. ×àñòî íåîïûòíûå ëèöà äîáèâàþòñÿ ïðè âû÷èñëåíèÿõ ïîëó÷åíèÿ òàêîé òî÷íîñòè ðåçóëüòàòîâ, êîòîðàÿ ñîâåðøåííî íå îïðàâäûâàåòñÿ òî÷íîñòüþ èñïîëüçîâàííûõ äàííûõ. Ýòî ïðèâîäèò ê áåñïîëåçíîé çàòðàòå òðóäà è âðåìåíè. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð. Ïóñòü òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ïëîòíîñòü r âåùåñòâà íåêîòîðîãî òåëà. Ïðè âçâåøèâàíèè òåëà íà âåñàõ ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01 ã îïðåäåëèëè ìàññó òåëà m = (9, 38 ± 0, 01) ã. Çàòåì ñ òî÷íîñòüþ V = (3, 46 ± 0, 01) ì 3 . äî 0,01 ì3 áûë èçìåðåí îáúåì òåëà Áåç êðèòè÷åñêîãî ïîäõîäà ê âû÷èñëåíèÿì ìîæíî ïîëó÷èòü òàêîé ðåçóëüòàò: m 9, 38 êã r= = = 2, 71098 3 . V 3, 46 ì 262 Íî ÷èñëà 9,38 è 3,46 — ïðèáëèæåííûå. Ïîñëåäíèå öèôðû â ýòèõ ÷èñëàõ ñîìíèòåëüíûå. Ýòè ÷èñëà ïðè èçìåðåíèè ìîãëè áûòü ïîëó÷åíû òàêèìè: ïåðâîå — 9,39 èëè 9,37, âòîðîå — 3,45 èëè 3,47.  ñàìîì äåëå, ïðè âçâåøèâàíèè ñ óêàçàííîé âûøå òî÷íîñòüþ ìîãëà áûòü äîïóùåíà îøèáêà íà 0,01 êàê â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ ìàññû, òàê è â ñòîðîíó åå óìåíüøåíèÿ. Òî æå ñàìîå è â îòíîøåíèè îáúåìà. Òàêèì îáðàçîì, ïëîòíîñòü òåëà, åñëè åå âû÷èñëÿòü ñ òî÷íîñòüþ äî ïÿòîãî äåñÿòè÷íîãî çíàêà, êàê ýòî ñäåëàíî âûøå, ìîãëà îêàçàòüñÿ r = 9,39/3,45 = 2,7214 ã/ñì3 èëè r = 9,37/3,47 = 2,70029 ã/ñì3. Ñðàâíåíèå âñåõ òðåõ ðåçóëüòàòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî îíè îòëè÷àþòñÿ óæå âòîðûìè äåñÿòè÷íûìè çíàêàìè è ÷òî äîñòîâåðíûì ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïåðâûé äåñÿòè÷íûé çíàê, à âòîðîé — ñîìíèòåëüíûì. Öèôðû, âûðàæàþùèå îñòàëüíûå äåñÿòè÷íûå çíàêè, ñîâåðøåííî ñëó÷àéíû è ñïîñîáíû ëèøü ââåñòè â çàáëóæäåíèå ïîëüçîâàòåëÿ âû÷èñëåííûìè ðåçóëüòàòàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà ïî âû÷èñëåíèþ áîëüøèíñòâà çíàêîâ çàòðà÷åíà âïóñòóþ. Âî èçáåæàíèå áåñïîëåçíûõ çàòðàò òðóäà è âðåìåíè ïðèíÿòî âû÷èñëÿòü êðîìå äîñòîâåðíûõ çíàêîâ åùå òîëüêî îäèí ñîìíèòåëüíûé.  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå íàäî áûëî âåñòè âû÷èñëåíèå äî âòîðîãî äåñÿòè÷íîãî çíàêà: r= m 9, 38 ã/ñì3 = 2,71 ã/ñì3. = V 3, 46 Ïðèáëèæåííûå âû÷èñëåíèÿ ñëåäóåò âåñòè ñ ñîáëþäåíèåì ñëåäóþùèõ ïðàâèë. 1. Ïðè ñëîæåíèè è âû÷èòàíèè ïðèáëèæåííûõ ÷èñåë îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò îêðóãëÿþò òàê, ÷òîáû îí íå èìåë çíà÷àùèõ öèôð â òåõ ðàçðÿäàõ, êîòîðûå îòñóòñòâóþò õîòÿ áû â îäíîì èç ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, ïðè ñëîæåíèè ÷èñåë 4,462 + 2,38 + 1,17273 + 1,0262 = 9,04093 ñëåäóåò ñóììó îêðóãëèòü äî ñîòûõ äîëåé, ò. å. ïðèíÿòü åå ðàâíîé 9,04, òàê êàê ñëàãàåìîå 2,38 çàäàíî ñ òî÷íîñòüþ äî ñîòûõ äîëåé. 2. Ïðè óìíîæåíèè (äåëåíèè) ñëåäóåò îêðóãëèòü ñîìíîæèòåëè òàê, ÷òîáû â íèõ ñîäåðæàëîñü íà îäíó çíà÷àùóþ öèôðó áîëüøå, ÷åì èõ èìååò ñîìíîæèòåëü ñ íàèìåíüøèì ÷èñëîì òàêèõ öèôð. Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ïåðåìíîæåíèÿ (äåëåíèÿ) ñëåäóåò îêðóãëèòü òàê, ÷òîáû â íåì ñîäåðæàëîñü òàêîå æå êîëè÷åñòâî çíà÷àùèõ öèôð, ñêîëüêî èõ áûëî â ñîìíîæèòåëå ñ íàèìåíüøèì ÷èñëîì çíà÷àùèõ öèôð. Íàïðèìåð, âìåñòî âûðàæåíèÿ 3, 723 × 2, 4 × 5,1846 ñëåäóåò âû÷èñëÿòü âûðàæåíèå 3, 72 × 2, 4 × 5,18 » 46. 3. Ïðè âîçâåäåíèè â êâàäðàò èëè êóá ñëåäóåò â ñòåïåíè áðàòü ñòîëüêî çíà÷àùèõ öèôð, ñêîëüêî èõ èìååòñÿ â îñíîâàíèè ñòåïåíè. Íàïðèìåð, 1, 32 2 » 1, 74. 263 4. Ïðè èçâëå÷åíèè êâàäðàòíîãî èëè êóáè÷åñêîãî êîðíÿ â ðåçóëüòàòå ñëåäóåò áðàòü ñòîëüêî çíà÷àùèõ öèôð, ñêîëüêî èõ â ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè. Íàïðèìåð, 1,17 » 1, 08. 5. Ïðè âû÷èñëåíèè ñëîæíûõ âûðàæåíèé ñëåäóåò ïðèìåíÿòü óêàçàííûå ïðàâèëà â ñîîòâåòñòâèè ñ âèäîì ïðîèçâîäèìûõ äåéñòâèé. Ïðè ýòîì â ïðîìåæóòî÷íûõ ðåçóëüòàòàõ ñëåäóåò ñîõðàíÿòü íà îäíó çíà÷àùóþ öèôðó áîëüøå, ÷åì óêàçàíî â ïðàâèëàõ. Íàïðèìåð, âû÷èñëèì äðîáü: (3, 2 + 17, 062) 3, 7 (5,1 × 2, 007 × 10 ) 3 » 20, 26 × 1, 92 38, 90 » 3, 8 × 10 -3 . » 3 3 10, 2 × 10 10, 2 × 10 Ñîìíîæèòåëè 5,1 è 3,2 èìåþò íàèìåíüøåå ÷èñëî çíà÷àùèõ öèôð — äâå. Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò âñåõ âû÷èñëåíèé äîëæåí îêðóãëÿòüñÿ äî äâóõ çíà÷àùèõ öèôð. 4. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ È ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ 4.1. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ¹ 1. Àâòîìîáèëü ïðîåõàë ïîëîâèíó ïóòè ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷, îñòàâøóþñÿ ÷àñòü ïóòè îí ïîëîâèíó âðåìåíè äâèãàëñÿ ñî ñêîðîñòüþ 35 êì/÷, à ïîñëåäíèé ó÷àñòîê — ñî ñêîðîñòüþ 45 êì/÷. Íàéòè ñðåäíþþ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ íà âñåì ïóòè. Íàéòè ñòîèìîñòü ïîåçäêè, åñëè àâòîìîáèëü íàõîäèëñÿ â ïóòè 2 ÷. Ñðåäíèé ðàñõîä áåíçèíà 10 ë íà 100 êì ïóòè. Ñòîèìîñòü 1 ë áåíçèíà ïðèíÿòü ðàâíîé 23 ðóá. Ðåøåíèå Ïóñòü çà âðåìÿ T àâòîìîáèëü ïðîøåë âåñü ïóòü L, òîãäà ñðåäíþþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå v = L L , = T t1 + t 2 + t 3 (1) ãäå t1 , t 2 , t 3 — âðåìÿ äâèæåíèÿ íà ïåðâîì, âòîðîì è òðåòüåì ó÷àñòêàõ ïóòè ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëàãàåì, ÷òî íà êàæäîì ó÷àñòêå àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî.  ýòîì ñëó÷àå t1 = l1 l l L = , t2 = 2 , t3 = 3 . v 1 2v 1 v2 v3 (2) Ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è l 2 + l 3 = L 2. Ïîäñòàâèì â ïîñëåäíåå âûðàæåíèå çíà÷åíèÿ l 2 è l 3 , ïîëó÷åííûå èç (2): L v 2 t2 + v 3 t3 = . 2 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïî óñëîâèþ çàäà÷è t 2 = t 3 , äëÿ ýòèõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè ïîëó÷èì: 265 t2 = t3 = L . 2(v 2 + v 3 ) (3) Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ t1 èç (2), äëÿ t 2 è t 3 èç (3) â èñõîäíóþ ôîðìóëó (1). Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà L è ïðåîáðàçîâàíèé, äëÿ ñðåäíåé ñêîðîñòè ïîëó÷èì: v = 2v 1 (v 2 + v 3 ) v 2 + v 3 + 2v 1 . (4) Çíà÷åíèÿ ñêîðîñòåé v 1 , v 2 , v 3 ïðè ïîäñòàíîâêå â ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó (4) ìîæíî íå ïåðåâîäèòü â ñèñòåìó ÑÈ.  ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èì: v = 2 × 60(45 + 35) 45 + 35 + 2 × 60 = 48 êì/÷. Íàéäåì ïóòü, ïðîéäåííûé àâòîìîáèëåì L = v × t = 48 × 2 = 92 êì. Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî àâòîìîáèëü èçðàñõîäîâàë 9,2 ë áåíçèíà, òîãäà ñòîèìîñòü ïîåçäêè N = 9, 2 × 23 = 211, 6 ðóá. ¹ 2. Òåëî âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè ïî çàêîíó: j = 10 + 20t – 2t2. Íàéòè âåëè÷èíó ïîëíîãî óñêîðåíèÿ òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè 0,1 ì îò îñè âðàùåíèÿ, äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t = 4 ñ. Ðåøåíèå Êàæäàÿ òî÷êà âðàùàþùåãîñÿ òåëà îïèñûâàåò îêðóæíîñòü. Ïîëíîå óñêîðåíèå òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïî êðèâîé ëèíèè, ìîæåò áûòü íàéäåíî êàê r ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà òàíãåíöèàëüíîãî a t , íàïðàâëåííîãî ïî êàñàòåëür íîé ê òðàåêòîðèè, è íîðìàëüíîãî a n , íàïðàâëåííîãî ê öåíòðó îêðóæíîñòè. Òîãäà ìîäóëü ïîëíîãî óñêîðåíèÿ a = a t2 + a n2 . (1) Òàíãåíöèàëüíîå è íîðìàëüíîå óñêîðåíèÿ òî÷êè âðàùàþùåãîñÿ òåëà âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè: 266 àt = eR, (2) an = w2R, (3) ãäå e — óãëîâîå óñêîðåíèå òåëà; R — ðàññòîÿíèå äî òî÷êè îò îñè âðàùåíèÿ; w — óãëîâàÿ ñêîðîñòü òåëà. Ïîäñòàâëÿÿ ôîðìóëû (2) è (3) â (1), íàõîäèì a = e 2R 2 + w 4R 2 = R e 2 + w 4 . (4) Óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùàþùåãîñÿ òåëà ðàâíà ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò óãëà ïîâîðîòà ïî âðåìåíè: w = dj dt = 20 - 4 t.  ìîìåíò âðåìåíè t = 4 ñ óãëîâàÿ ñêîðîñòü w = (20 – 4 · 4) = 4 ðàä/ñ. Óãëîâîå óñêîðåíèå âðàùàþùåãîñÿ òåëà ðàâíî ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îò óãëîâîé ñêîðîñòè ïî âðåìåíè: e = dw dt = -4 ðàä/ñ2. Ýòî âûðàæåíèå íå ñîäåðæèò àðãóìåíòà âðåìåíè t, ñëåäîâàòåëüíî, óãëîâîå óñêîðåíèå èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ w è e â ôîðìóëó (4), ïîëó÷èì à = (-4 ) 2 + 4 4 = 1, 65 ì/ñ2. ¹ 3. Èç îðóäèÿ âûëåòàåò ñíàðÿä ñî ñêîðîñòüþ v0 = 1000 ì/ñ ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó (ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü). Îïðåäåëèòü: ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäúåìà, âðåìÿ äâèæåíèÿ, äàëüíîñòü ïîëåòà ñíàðÿäà. Ðåøåíèå Òðàåêòîðèåé äâèæåíèÿ ñíàðÿäà áóäåò ïàðàáîëà. Äâèæåíèå òåëà, áðîøåííîãî ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó, ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñëîæíîå, ñîñòîÿùåå èç äâóõ ïðîñòûõ: ðàâíîìåðíîãî — â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè è ðàâíîïåðåìåííîãî — â âåðòèêàëüíîì. Ýòî îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîòîìó, ÷òî ïîëíîå óñêîðåíèå òåëà (óñêîðåíèå ñâîáîäíîr ãî ïàäåíèÿ g) íàïðàâëåíî âåðòèêàëüíî âíèç. Íà ÷åðòåæå îáîçíà÷èì îñè x è y, òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ, íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü v0, óãîë áðîñàíèÿ a, ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäúåìà h, äàëüíîñòü ïîëåòà S. Ðàçëîæèì âåêòîð r v 0 íà ãîðèçîíòàëüíóþ è âåðòèêàëüíóþ ñîñòàâëÿþùèå (ñïðîåöèðóåì íà îñè êîîðäèíàò) v0x = v0cosa, v0y = v0sina. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò è ïðîåêöèé âåêòîðà ñêîðîñòè. Ïî ãîðèçîíòàëè (âäîëü îñè x): v x = v 0 x = v 0 cos a, (1) 267 x = v x t = v 0 cos at, (2) ãäå t — òåêóùåå âðåìÿ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà. Ïî âåðòèêàëè (âäîëü îñè y): v y = v 0 y - gt = v 0 sin a - gt, y = v0 yt - gt 2 gt 2 . = v 0 sin at 2 2 (3) (4) Ýòî äâèæåíèå ðàâíîïåðåìåííîå. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè ïðîåêöèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè íà îñü 0y ðàâíà íóëþ. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (3) ìîæíî íàéòè âðåìÿ ïîäúåìà: v 0 y v 0 sin a . (5) t ïîä = = g g Ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäúåìà íàéäåì èç óðàâíåíèÿ (4), ïîäñòàâèâ â íåãî âìåñòî y âûñîòó h è âðåìÿ ïîäúåìà: h= v 02 y v 02 sin 2 a . = 2g 2g (6) Âðåìÿ ïîëåòà ìîæíî òàêæå íàéòè èç óðàâíåíèÿ (4), åñëè ó÷åñòü, ÷òî ïðè ïðèçåìëåíèè ñíàðÿä èìååò íóëåâóþ âåðòèêàëüíóþ êîîðäèíàòó (y = 0): 2v 0 y 2v 0 sin a . (7) t ïîë = = g g Ñðàâíèâ ôîðìóëû (5) è (7), ïðèäåì ê âûâîäó, ÷òî t ïîë = 2 t ïîä . Äàëüíîñòü ïîëåòà îïðåäåëÿåòñÿ èç ôîðìóëû (2) ïóòåì ïîäñòàíîâêè â íåå âûðàæåíèÿ (7): 2v 2 sinacosa v 02 sin2a . (8) S= 0 = g g Ïîäñòàâèì â ôîðìóëû (6)–(8) èñõîäíûå äàííûå, ñäåëàåì ðàñ÷åò è ïîëó÷èì: h = 25 × 10 3 ì; tïîë = 100 ñ; S = 86, 6 × 10 3 ì. ¹ 4. Ëèôò îïóñêàåòñÿ âíèçr è ïåðåä îñòàíîâêîé äâèæåòñÿ çàìåäëåííî. Îïðåäåëèòü, ñ êàêîé ñèëîé P (âåñ òåëà) áóäåò äàâèòü íà ïîë ëèôòà ÷å268 ëîâåê ìàññîé 60 êã, åñëè óñêîðåíèå ëèôòà ðàâíî 4 ì/ñ2. Îïðåäåëèòü â ïðîöåíòàõ çàïàñ ïðî÷íîñòè òðîñà ëèôòà â äàííûé ìîìåíò, åñëè òðîñ ðàññ÷èòàí íà ìàêñèìàëüíóþ íàãðóçêó Pmax = 1000 Í. Ðåøåíèå Ñäåëàåì ÷åðòåæ, íà êîòîðîì óêàæåì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òåëî, óñêîðåíèå òåëà, ñèëó âåñà èr ñèñòåìó îòñ÷åòà. Ïî 3-ìó çàêîíó Íüþòîíà r P = -N . Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â âåêòîðíîé ôîðìå â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì çàäà÷è: r r r (1) mg + N = ma. Ñïðîåöèðóåì âñå âåêòîðû â óðàâíåíèè (1) íà âûáðàííóþ îñü êîîðäèíàò è çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â ñêàëÿðíîé ôîðìå: N – mg = ma. Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî âûðàçèòü N: N = mg + ma. Ñëåäîâàòåëüíî, P = g(m + a). Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëîâûå äàííûå, ïîëó÷èì: Ð = 60(4 + 9,8) = 840 Í. Çàïàñ ïðî÷íîñòè îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå d= Pmax - P 1000 - 840 100 % = 100 % = 16 %. Pmax 1000 ¹ 5. Òåëåæêó ìàññîé 3 ò ïîäíèìàþò â ãîðó, íàêëîí êîòîðîé 30°. Êàêîâà ñòîèìîñòü ïîäúåìà òåëåæêè íà âûñîòó 25 ì, åñëè èçâåñòíî, ÷òî òåëåæêà äâèãàëàñü ñ óñêîðåíèåì 0,2 ì/ñ2? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ïðèíÿòü ðàâíûì 0,1. Öåíà 1 êÂò·÷ ýíåðãèè ðàâíà 2 ðóá. Ðåøåíèå Ñäåëàåì ÷åðòåæ, íà êîòîðîì óêàæåì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òåëî, óñêîðåíèå òåëà è ñèñòå269 ìó îòñ÷åòà. Òàê êàê ñèëû íàïðàâëåíû ïîä óãëîì äðóã ê äðóãó, òî ñèñòåìó îòñ÷åòà ñîñòàâèì èç äâóõ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñåé x è y, ðàçâåðíóâ åå òàê, ÷òîáû îäíà îñü áûëà íàïðàâëåíà âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè, à äðóãàÿ — ïåðïåíäèêóëÿðíî åé. Ðàáîòó ïîñòîÿííîé ñèëû Fò îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå (1) A = FòS cosb, r r ãäå b — óãîë ìåæäó âåêòîðîì ñèëû Fò è âåêòîðîì ïåðåìåùåíèÿ S . Âåêòîð r r Fò ñîíàïðàâëåí ñ âåêòîðîì S , ïîýòîìó óãîë b = 0 è cosb = 1 (ñì. ðèñóíîê). Èç ðèñóíêà îïðåäåëèì ïåðåìåùåíèå òåëåæêè: S= H 25 = = 50 ì. sin a sin 30° Íà òåëî äåéñòâóþò ÷åòûðå ñèëû. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â âåêòîðíîé ôîðìå: r r r r r (2) mg + Fò + Fòð + N = ma. Ñïðîåöèðóåì óðàâíåíèå (2) íà îñè êîîðäèíàò è çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñèëû òðåíèÿ: (3) õ: mgsina – Fò + Fòð + 0 = –ma, y: – mg cosa + N = 0, (4) Fòð = mN, (5) ãäå m — êîýôôèöèåíò òðåíèÿ. Ðåøèì ñèñòåìó óðàâíåíèé (3)–(5) îòíîñèòåëüíî Fò: Fò = mg sina + mmg cosa + ma = m(g sina + mg cosa + a), è ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â (1): A = FòS = m(g sina + mg cosa + a) S. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé ïîëó÷èì: A = 3 · 103(0,2 + 10 · 0,5 + 0,1 · 10 · 0,87)50 = 0,9 · 10 6 Äæ. Èçâåñòíî, ÷òî 1 êÂò·÷ = 3,6 · 106 Äæ. Òîãäà ñòîèìîñòü ïîäúåìà òåëåæêè N = 270 0,9 × 10 6 × 2 » 0,5 ðóá. 3, 6 × 10 6 ¹ 6. Æåëåçíîäîðîæíàÿ ïëàòôîðìà ñ óñòàíîâëåííûì íà íåé îðóäèåì äâèæåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v0 = 1 ì/ñ. Ìàññà ïëàòôîðìû âìåñòå ñ îðóäèåì Ì = 2 · 104 êã. Èç îðóäèÿ âûïóñêàåòñÿ ñíàðÿä ïî õîäó ïëàòôîðìû ñî ñêîðîñòüþ u1 = 800 ì/ñ ïîä óãëîì a = 30° ê ãîðèçîíòó. Ìàññà ñíàðÿäà m = 20 êã. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ u2 áóäåò äâèãàòüñÿ ïëàòôîðìà ïîñëå âûñòðåëà? Ðåøåíèå Ñõåìàòè÷åñêèé ÷åðòåæ ñ óêàçàíèåì èìïóëüñîâ òåë ñèñòåìû äî è ïîñëå âûñòðåëà, à òàêæå ñèñòåìû îòñ÷åòà ïðèâåäåí íà ðèñóíêå. Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â âåêòîðíîé ôîðìå: r r r r m1v 1 + m2 v 2 = m1 u 1 + m2 u 2 . Ñïðîåöèðóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íà êîîðäèíàòíóþ îñü: (M – m)v0 + mv0 = (M – m)u2 + mu1cosa. Çàòåì ðàçðåøèì äàííîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî u2: u2 = Mv 0 - mu 1cosa . M -m Ïîäñòàâëÿÿ èñõîäíûå äàííûå, ïîëó÷èì: u2 = 2 × 10 4 × 1 - 20 × 800 × 0, 866 » 0, 308 ì/ñ. 2 × 10 4 - 20 ¹ 7. Ëþñòðà âåñîì 98 Í âèñèò íà öåïè, êîòîðàÿ âûäåðæèâàåò íàãðóçêó 196 Í. Íà êàêîé ìàêñèìàëüíûé óãîë a ìîæíî îòêëîíèòü ëþñòðó îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ÷òîáû ïðè ïîñëåäóþùèõ êîëåáàíèÿõ öåïü íå îáîðâàëàñü (ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü)? Ðåøåíèå Êîëåáàíèÿ ëþñòðû áóäóò ïðîèñõîäèòü ïî äóãå îêðóæíîñòè, òàêèì îáðàçîì, ëþñòðà ñîâåðøàåò âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå. Íà ëþñòðó äåéñòâór r þò äâå êîíñåðâàòèâíûå ñèëû: ñèëà òÿæåñòè mg è ñèëà íàòÿæåíèÿ öåïè Fí . 271 Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ëþñòðû ìîæíî èñïîëüçîâàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè. Íà ÷åðòåæå ïîêàçàíî ïîëîæåíèå ëþñòðû â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè I è ïîëîæåíèå ëþñòðû â íèæíåé òî÷êå òðàåêòîðèè II (ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû). Ïîëîæåíèå I õàðàêòåðèçóåòñÿ ìàêñèìàëüíûì óãëîì îòêëîíåíèÿ ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ a èëè ìàêñèìàëüíîé âûñîòîé ïîäúåìà òåëà h íàä ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ (ñì. ðèñóíîê).  ïîëîæåíèè II óêàæåì ñèëû òÿæåñòè è íàòÿæåíèÿ, âåêòîðû íîðìàëüíîãî óñêîðåíèÿ è ñêîðîñòè. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè òåëîì ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèëà íàòÿæåíèÿ öåïè áóäåò ìàêñèìàëüíîé. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà â òî÷êå I áóäåò ðàâíà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Wï = mgh.  ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ II, íàïðîòèâ, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ áóäåò ðàâíà íóëþ, íî êèíåòè÷åñêàÿ îêàæåòñÿ ìàêñèìàëüíîé: Wê = mv 2 2.  ýòîì ñëó÷àå çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðèìåò âèä mgh = mv 2 . 2 (1) Äëÿ íèæíåé òî÷êè òðàåêòîðèè çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ïðîåêöèè íà ìãíîâåííóþ êîîðäèíàòíóþ îñü x (ñì. ðèñóíîê): Fí + mg = ma n . (2) Íîðìàëüíîå (öåíòðîñòðåìèòåëüíîå) óñêîðåíèå ñâÿçàíî ñî ñêîðîñòüþ èçâåñòíîé ôîðìóëîé: a n = v 2 r, ãäå r = l, l — äëèíà íèòè. Òîãäà óðàâíåíèå (2) ïåðåïèøåì â âèäå Fí - mg = mv 2 . l (3) Èç óðàâíåíèÿ (1) âûðàçèì mv2 è ïîäñòàâèì â (3): Fí - mg = 2 mgh . l (4) Èç òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ (ñì. ðèñóíîê): BC = AB cos a = l cos a, òîãäà 272 h = l - l cos a = l(1 - cos a). Âûñîòó ïîäíÿòèÿ h ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (4) è íàéäåì a: Fí - mg = 2 mg(1 - cos a), cos a = 3mg - Fí , 2 mg cosa = 0,5; a = 60°. ¹ 8. Êîëåñî àâòîìîáèëÿ ðàäèóñîì 0,4 ì, èìåþùåå ìàññó 10 êã, ðàñêðó÷åíî äî ÷àñòîòû âðàùåíèÿ 60 îá/ìèí è ïðåäîñòàâëåíî ñàìîìó ñåáå. Ïîä äåéñòâèåì òðåíèÿ âàëà êîëåñà î ïîäøèïíèêè îíî îñòàíîâèëîñü ÷åðåç 1 ìèí 20 ñ. Îïðåäåëèòü ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ âàëà êîëåñà î ïîäøèïíèêè è ðàáîòó ñèëû òðåíèÿ. Ðåøåíèå Èñïîëüçóåì îñíîâíîå óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ Ìt = Iw2 – Iw1, ãäå Ì — òîðìîçÿùèé ìîìåíò; t — âðåìÿ äåéñòâèÿ òîðìîçÿùåãî ìîìåíòà; I — ìîìåíò èíåðöèè êîëåñà; w2 — êîíå÷íàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü; w1 — íà÷àëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü. Ðåøàÿ óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî Ì, ïîëó÷èì: I (w 2 - w 1 ) . Íàéäåì ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí è ïîäñòàâèì èõ M= t â âûðàæåíèå äëÿ M: mR 2 10( 0, 4 ) 2 = = 0, 8 êã/ì2, 2 2 I= w1 = 2 pn 2 × 3,14 × 60 = = 6, 28 ðàä/ñ, 60 60 M= 0, 8( 0 - 6, 28 ) = -0, 0628 Í·ì, 80 ãäå çíàê «ìèíóñ» îçíà÷àåò, ÷òî ìîìåíò Ì — òîðìîçÿùèé. 273 Ðàáîòà ñèëû òðåíèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå A = M × Dj, ãäå Dj — óãëîâîå ïåðåìåùåíèå êîëåñà (óãîë ïîâîðîòà êîëåñà îò íà÷àëüíîãî ìîìåíòà äî ïîëíîé îñòàíîâêè). Âû÷èñëèì Dj ïî ôîðìóëå Dj = w 1 t + et 2 2, ãäå e = w 2 - w 1 0 - 6, 28 = = -0, 0785 ðàä/ñ2. t 80 Òîãäà: 0, 0785 × 80 2 = 251, 2 ðàä, 2 A = -0, 0628 × 251, 2 = -15, 8 Äæ. Dj = 6, 28 × 80 - ¹ 9. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m = 0,01 êã ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó ñèíóñà ñ ïåðèîäîì Ò = 2 ñ è íà÷àëüíîé ôàçîé j0, ðàâíîé íóëþ. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè W = 0,1 ìÄæ. Òðåáóåòñÿ: íàéòè àìïëèòóäó À êîëåáàíèé; íàïèñàòü çàêîí äàííûõ êîëåáàíèé x = f(t); íàéòè íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ñèëû Fmax, äåéñòâóþùåé íà òî÷êó. Ðåøåíèå Çàïèøåì çàêîí ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé: x = A sin wt. Òàê êàê çàêîí íå äàåò âîçìîæíîñòè îïðåäåëèòü àìïëèòóäó À, îáðàòèìñÿ ê óñëîâèþ çàäà÷è è âîñïîëüçóåìñÿ ïîëíîé ýíåðãèåé W. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè Å ðàâíà, íàïðèìåð, åå ìàêñèìàëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè Wê.max: W = Wê.max = 2 mv max . 2 Ñêîðîñòü v êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè ìîæíî îïðåäåëèòü, âçÿâ ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ ñìåùåíèÿ õ ïî âðåìåíè v = dx dt = Aw coswt, ãäå vmax = Aw. Ïîäñòàâèì çíà÷åíèå v max â ôîðìóëó äëÿ ýíåðãèè W = mA 2 w 2 2, íàéäåì àìïëèòóäó êîëåáàíèé: 1 2W . A= w m Âûðàçèì àìïëèòóäó ÷åðåç ïåðèîä Ò, ó÷èòûâàÿ, ÷òî w = A= 274 T 2p 2W . m 2p : T Ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: w = p = 3,14 ðàä/ñ, A= 1 2 × 10 = 0, 045 ì. 3,14 10 -2 Íàïèøåì çàêîí ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé äëÿ äàííîé òî÷êè: õ = 0,045sinpt. Âçÿâ ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ ñêîðîñòè ïî âðåìåíè, ìîæíî íàéòè óñêîðåíèå êîëåáëþùåéñÿ òî÷êè: a= dv = - Aw 2 sinwt. dt Ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå (ïðè sinwt = 1) |amàõ| = Aw2. Èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà |Fmax| = ma = mAw2. Ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: Fmax = 0,01 · 0,045 · 3,14 2 Í = 4,44 · 10–3 Í. ¹ 10. Âîäà äâèæåòñÿ â òðóáå äèàìåòðîì d1 = 2,5 ñì ñî ñêîðîñòüþ v 1 = 1 ì/ñ.  òðóáó âðåçàí êðàí äèàìåòðîì d 2 = 1 ñì. Îïðåäåëèòü ñòîèìîñòü âîäû, âûòåêøåé èç êðàíà çà 1 ÷, åñëè öåíà 1 ì3 âîäû ðàâíà 16 ðóá. Ðåøåíèå Äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ïîòîêà íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñïðàâåäëèâî óñëîâèå íåðàçðûâíîñòè ñòðóè: v 1S 1 = v 2 S 2 , (1) ãäå v 2 — ñêîðîñòü âûòåêàíèÿ ñòðóè âîäû èç êðàíà: S 1 è S 2 — ñîîòâåòñòâåííî ïëîùàäè ñå÷åíèÿ òðóáû è êðàíà, êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì: S1 = pd12 pd 2 , S2 = 2 . 4 4 (2) Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò: v 2 = v1 S1 d , èëè ñ ó÷åòîì (2): v 2 = v 1 1 . S2 d2 (3) 275 Òåïåðü ìîæíî îïðåäåëèòü îáúåì âîäû, âûòåêøåé èç êðàíà: V = v 2 tS 2 , (4) ãäå t — âðåìÿ âûòåêàíèÿ âîäû. Ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó (4) ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿ èç (2) è (3), ïîëó÷èì: V= pd1 d 2 4 v 1 t. Òîãäà ñòîèìîñòü âûòåêøåé âîäû N = 16V = 4 pd1 d 2 v 1 t = 4 × 3,14 × 0, 025 × 0, 01 × 1 × 3600 = 11, 3 ðóá. ¹ 11. Îïðåäåëèòü ÷èñëî N ìîëåêóë âîäû, ñîäåðæàùèõñÿ â îáúåìå V = 1 ìì3, è ìàññó ò1 ìîëåêóëû âîäû. Ñ÷èòàÿ óñëîâíî, ÷òî ìîëåêóëû âîäû èìåþò âèä øàðèêîâ, ñîïðèêàñàþùèõñÿ äðóã ñ äðóãîì, íàéòè äèàìåòð d ìîëåêóëû. Ðåøåíèå ×èñëî N ìîëåêóë, ñîäåðæàùèõñÿ â íåêîòîðîé ìàññå m, ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëà Àâîãàäðî NA íà êîëè÷åñòâî âåùåñòâà n: N = nN A . Òàê êàê êîëè÷åñòâî ìîëåé âåùåñòâà n = m m , ãäå m — ìîëÿðíàÿ ìàññà, òî m N = N A . Âûðàçèâ â ýòîé ôîðìóëå ìàññó êàê ïðîèçâåäåíèå ïëîòíîñòè m íà îáúåì V, ïîëó÷èì: rV (1) N = N A. m Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó (1) ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí: r = 103 êã/ì3; V = 1 ìì3 = 10–9 ì3, m = 18 · 10–3 êã/ìîëü; NA = 6,02 ´ 10 3 × 10 -9 ´ 1023 ìîëü–1 è ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: N = 6, 02 × 10 23 = 18 × 10 -3 = 3,34 · 1019 ìîëåêóë. Ìàññó îäíîé ìîëåêóëû ìîæíî íàéòè äåëåíèåì ìîëÿðíîé ìàññû íà ÷èñëî Àâîãàäðî: m1 = m N A . Ïîäñòàâèâ ñþäà ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ m è NÀ, 18 × 10 -3 êã = 2,99 · 10–26 êã. íàéäåì ìàññó ìîëåêóëû âîäû: m1 = 6, 02 × 10 23 276 Åñëè ìîëåêóëû âîäû ïëîòíî ïðèëåãàþò äðóã ê äðóãó, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íà êàæäóþ ìîëåêóëó ïðèõîäèòñÿ îáúåì (êóáè÷åñêàÿ ÿ÷åéêà) V1 = d3, ãäå d — äèàìåòð ìîëåêóëû. Îòñþäà d = 3 V1 . (2) Îáúåì V1 íàéäåì, ðàçäåëèâ ìîëÿðíûé îáúåì Vm íà ÷èñëî ìîëåêóë â ìîëå, ò. å. íà ÷èñëî Àâîãàäðî NA: V1 = Vm N A . Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ V1 â ôîðìóëó (2): d = 3 Vm N A . Âõîäÿùèé â ýòó ôîðìóëó ìîëÿðíûé îáúåì îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì Vm = m/r. Òîãäà èñêîìûé äèàìåòð ìîëåêóëû d=3 m . rN A (3) Ïîäñòàâèì ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí â ôîðìóëó (3) è ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: d=3 18 × 10 -3 ì = 3,11 · 10–10 ì = 311 íì. 3 23 10 × 6, 02 × 10 ¹ 12.  áàëëîíå îáúåìîì V = 10 ë íàõîäèòñÿ ãåëèé ïîä äàâëåíèåì ð1 = 1 ÌÏà ïðè òåìïåðàòóðå Ò1 = 300 Ê. Äëÿ íàäóâàíèÿ âîçäóøíûõ øàðèêîâ èç áàëëîíà áûëî èñïîëüçîâàíî Dò = 10 ã ãåëèÿ, ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà â áàëëîíå ïîíèçèëàñü äî Ò2 = 290 Ê. Îïðåäåëèòü äàâëåíèå ð2 ãåëèÿ, îñòàâøåãîñÿ â áàëëîíå. Ðåøåíèå Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà, ïðèìåíèâ åãî ê êîíå÷íîìó ñîñòîÿíèþ ãàçà: p 2V = m2 RT 2 , m (1) ãäå ò2 — ìàññà ãåëèÿ â áàëëîíå â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè; m — ìîëÿðíàÿ ìàññà ãåëèÿ (ñì. ñïðàâî÷íûå òàáëèöû â ïðèëîæåíèè èëè òàáëèöó Ä. È. Ìåíäåëååâà); R — óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. Èç óðàâíåíèÿ (1) âûðàçèì èñêîìîå äàâëåíèå p2: 277 p2 = m2 RT 2 . m V (2) Ìàññó ãåëèÿ ò2 âûðàçèì ÷åðåç ìàññó ãåëèÿ â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ò1 è ìàññó Dm ãåëèÿ, âçÿòîãî èç áàëëîíà: m2 = m1 – Dm. (3) Ìàññó ò1 íàéäåì òàêæå èç óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà, ïðèìåíèâ åãî ê íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ: m1 = mp1V . RT1 (4) Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (3) è (4) ïîñëåäîâàòåëüíî â ôîðìóëó (1), íàéäåì: ö RT æ mp V p 2 = çç 1 - Dm÷÷÷ 2 , çè RT1 ÷ø mV èëè ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñîêðàùåíèÿ: p2 = T2 Dm RT 2 . p1 T1 m V Âûðàçèì âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â ýòó ôîðìóëó, â åäèíèöàõ ÑÈ: ð1 = 1 ÌÏà = 106 Ïà, Dm = 10 ã = 10–2 êã, V = 10–2 ì3. Ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: p2 = 290 6 10 -2 8, 31 × 290 10 = 365 êÏà. 300 4 × 10 -3 10 -2 ¹ 13. Äëÿ ïðèíÿòèÿ âîäíûõ ïðîöåäóð â âàííó áûëî íàáðàíî 80 ë ãîðÿ÷åé âîäû ïðè òåìïåðàòóðå tâ = 80 °Ñ. Ñêîëüêî ëüäà, âçÿòîãî ïðè òåìïåðàòóðå të = –10 °Ñ, íàäî äîáàâèòü â âàííó, ÷òîáû òåìïåðàòóðà ñìåñè ñòàëà êîìôîðòíîé, ò. å. tê = 40 °Ñ. Ðåøåíèå Ïðè äîáàâëåíèè ëüäà â âàííó ëåä ñíà÷àëà íàãðåâàåòñÿ äî òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ (tïë = 0 °Ñ), à çàòåì ïëàâèòñÿ, ïðåâðàùàÿñü â âîäó. Ïîëó÷èâøàÿñÿ èçî ëüäà âîäà íàãðåâàåòñÿ äî êîíå÷íîé òåìïåðàòóðû tê = 40 °Ñ. 278 Ëåä è ïîëó÷èâøàÿñÿ èç íåãî âîäà ïîãëîùàþò òåïëî, êîòîðîå îòäàåò ãîðÿ÷àÿ âîäà, èçíà÷àëüíî íàõîäèâøàÿñÿ â âàííîé. Óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå c ë më (t ïë - t ë ) + lmë + c â më (t ê - t ïë ) = c â mâ (t â - t ê ), (1) ãäå ïåðâîå è òðåòüå ñëàãàåìûå â ëåâîé ÷àñòè îïèñûâàþò ñîîòâåòñòâåííî ïðîöåññû íàãðåâà ëüäà è âîäû, ïîëó÷èâøåéñÿ èçî ëüäà; âòîðîå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà îïèñûâàåò ïðîöåññ ïëàâëåíèÿ ëüäà; â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ñòîèò âûðàæåíèå äëÿ êîëè÷åñòâà òåïëîòû, îòäàííîãî ãîðÿ÷åé âîäîé.  óðàâíåíèè (1) ñòîÿò ðàçíîñòè òåìïåðàòóð, à ñàìè òåìïåðàòóðû ìîæíî áðàòü â ãðàäóñàõ Öåëüñèÿ. Ñäåëàåì ïðåîáðàçîâàíèÿ è âûðàçèì èç (1) ìàññó ëüäà: më = c âr âV (t â - t ê ) . c ë (t ïë - t ë ) + l + c â (t ê - t ïë ) (2) Çíà÷åíèÿ óäåëüíûõ òåïëîåìêîñòåé âîäû c â , ëüäà c ë , óäåëüíîé òåïëîòû ïëàâëåíèÿ ëüäà l, òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ ëüäà tïë è ïëîòíîñòè âîäû r â áåðóòñÿ èç ñïðàâî÷íûõ òàáëèö (ñì. ïðèëîæåíèå). Ïîäñòàâèì ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (2) è ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: 4200 × 1000 × 0, 08(80 - 40) » 25,6 êã. mâ = 2100(0 - (-10)) + 335 000 + 4200(40 - 0) ¹ 14. Êèñëîðîä ìàññîé ò = 2 êã çàíèìàåò îáúåì V1 = 1 ì3 è íàõîäèòñÿ ïîä äàâëåíèåì p1 = 0,2 MÏà. Ãàç áûë íàãðåò ñíà÷àëà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè äî îáúåìà V2 = 3 ì3, à çàòåì ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå äî äàâëåíèÿ p3 = 0,5 ÌÏà. Ñ÷èòàÿ êèñëîðîä èäåàëüíûì ãàçîì, íàéòè èçìåíåíèå åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè DU, ñîâåðøåííóþ èì ðàáîòó À è òåïëîòó Q, ïåðåäàííóþ êèñëîðîäó. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ïðîöåññà â êîîðäèíàòàõ PV. Ðåøåíèå Êà÷åñòâåííî ãðàôèê ïðîöåññà, ïðîèñõîäÿùåãî ñ ãàçîì, ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå. Íà ó÷àñòêå 1–2 ñ êèñëîðîäîì ïðîèñõîäèò èçîáàðíûé ïðîöåññ, ïðè êîòîðîì èçìåíÿåòñÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà è ãàç ñîâåðøàåò ïîëîæèòåëüíóþ ðàáîòó. Íà ó÷àñòêå 2–3 ñ êèñëîðîäîì ïðîèñõîäèò èçî279 õîðíûé ïðîöåññ, êîòîðûé òàêæå ñîïðîâîæäàåòñÿ èçìåíåíèåì âíóòðåííåé ýíåðãèè, íî ðàáîòà ïðè ýòîì ðàâíà íóëþ. Ïîëíîå èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà â ïðîöåññå 1–2–3 îïðåäåëÿåòñÿ èçìåíåíèåì òåìïåðàòóðû è âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé DU = i R m(T 3 - T1 ), 2m (1) ãäå i — ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóë ãàçà (äëÿ äâóõàòîìíûõ ìîëåêóë êèñëîðîäà i = 5); m — ìîëÿðíàÿ ìàññà êèñëîðîäà (ñì. ñïðàâî÷íûå òàáëèöû (ñì. ïðèëîæåíèå) èëè òàáëèöó Ä. È. Ìåíäåëååâà). Ïîëíàÿ ðàáîòà â ïðîöåññå 1–2–3 ðàâíà ðàáîòå ðàñøèðåíèÿ ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì A = p(V 2 -V1 ) = R m (T 2 - T1 ). m (2) Òåìïåðàòóðó ãàçà â òî÷êàõ 1, 2 è 3 íàéäåì èç óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà: pVm . (3) T= mR Ïîäñòàâëÿÿ äàííûå â çàäà÷å çíà÷åíèÿ â âûðàæåíèå (3) è âûïîëíÿÿ àðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ, ïîëó÷èì: T1 = 2 × 10 5 × 1 × 32 × 10 -3 = 385 Ê, 2 × 8, 31 T2 = 2 × 10 5 × 3 × 32 × 10 -3 = 1155 Ê, 2 × 8, 31 T3 = 5 × 10 5 × 3 × 32 × 10 -3 = 2887 Ê. 2 × 8, 31 Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå (1) è (2) ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí, íàéäåì: DU = 280 5 8, 31 2(2887 - 385) = 3,24 × 10 6 Äæ = 3,24 ÌÄæ , -3 2 32 × 10 A = 8, 31 2 (1155 - 385) = 0,400 × 10 6 Äæ = 0,4 ÌÄæ . -3 32 × 10 Ñîãëàñíî ïåðâîìó íà÷àëó òåðìîäèíàìèêè òåïëîòà Q, ïåðåäàííàÿ ãàçó, ðàâíà ñóììå èçìåíåíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè DU è ðàáîòû À: Q = DU + À, ñëåäîâàòåëüíî: Q = 0,4 · 106 + 3,24 · 106 = 3,64 · 106 Äæ = 3,64 ÌÄæ. ¹ 15. Òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ èäåàëüíîé òåïëîâîé ìàøèíû Ò1 = 500 Ê. Îïðåäåëèòü òåðìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ (ÊÏÄ) ìàøèíû è òåìïåðàòóðó Ò2 åå îõëàäèòåëÿ, åñëè çà ñ÷åò êàæäîãî êèëîäæîóëÿ òåïëîòû, ïîëó÷åííîé îò íàãðåâàòåëÿ, ìàøèíà ñîâåðøàåò ïîëåçíóþ ðàáîòó À = 350 Äæ. Ðåøåíèå Òåðìè÷åñêèé ÊÏÄ òåïëîâîé ìàøèíû âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé h= A T1 - T 2 , = Q1 T1 (1) ãäå À — ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ðàáî÷èì òåëîì òåïëîâîé ìàøèíû; Q1 — òåïëîòà, ïîëó÷åííàÿ îò íàãðåâàòåëÿ. Ïîäñòàâèâ ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ â ïåðâóþ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (1), ïîëó÷èì: h= 350 = 0, 35. 1000 Èñïîëüçóÿ âòîðóþ ÷àñòü ôîðìóëû (1), ìîæíî îïðåäåëèòü òåìïåðàòóðó îõëàäèòåëÿ Ò2: Ò2 = Ò1(1 – h) = 500(1 – 0,35) = 325 Ê. 4.2. Òðåíèðîâî÷íûå çàäà÷è 1. Òðè ÷åòâåðòè ïóòè àâòîìîáèëü ïðîåõàë ñî ñêîðîñòüþ v 1 = 60 êì/÷, îñòàëüíóþ ÷àñòü ïóòè — ñî ñêîðîñòüþ v 2 = 80 êì/÷. Íàéòè êîëè÷åñòâî èçðàñõîäîâàííîãî áåíçèíà, åñëè àâòîìîáèëü íàõîäèëñÿ â ïóòè 1 ÷, ñðåäíèé ðàñõîä òîïëèâà íà 100 êì ïóòè ñîñòàâëÿåò 10 ë. (Îòâåò: 6,4 ë.) 281 2. Òî÷êà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 4 ì. Çàêîí åå äâèæåíèÿ âûðàæàåòñÿ óðàâíåíèåì S = A + Bt2, ãäå À = 6 ì,  = –2 ì/ñ2. Íàéòè: 1) ìîìåíò âðåìåíè t, êîãäà íîðìàëüíîå óñêîðåíèå òî÷êè àn = 9 ì/ñ2, 2) ñêîðîñòü v, òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå àt è ïîëíîå óñêîðåíèå òî÷êè à â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè. (Îòâåò: 1,5 ñ; –6 ì/c; –4 ì/c2; 9,84 ì/ñ2.) 3. Êàìåíü, áðîøåííûé ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó, äâàæäû áûë íà îäíîé âûñîòå, ñïóñòÿ 3 è 5 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. Íàéòè íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü êàìíÿ è ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäúåìà. (Îòâåò: 80 ì/ñ; 80 ì.) 4.  ïîäúåìíèêå (ëèôòå), ïîäíèìàþùåìñÿ ñ óñêîðåíèåì 2 ì/ñ2, íàõîäèòñÿ ðàáî÷èé ìàññîé 60 êã. Îïðåäåëèòü â ïðîöåíòàõ çàïàñ ïðî÷íîñòè òðîñà ïîäúåìíèêà, åñëè ìàêñèìàëüíàÿ íàãðóçêà, íà êîòîðóþ îí ðàññ÷èòàí, ðàâíà 1000 Í. (Îòâåò: 28 %.) 5. Àâòîìîáèëü ìàññîé 4 ò äâèæåòñÿ â ãîðó ñ óñêîðåíèåì 0,2 ì/ñ2. Íàéòè ðàáîòó ñèëû òÿãè äâèãàòåëÿ ïðè ïîäúåìå àâòîìîáèëÿ íà âûñîòó 20 ì, åñëè óêëîí ãîðû ðàâåí 30°, à êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ 0,04. (Îòâåò: 888 êÄæ.) 6.  ëîäêå ìàññîé Ì = 240 êã ñòîèò ÷åëîâåê ìàññîé m = 60 êã. Ëîäêà ïëûâåò ñî ñêîðîñòüþ v = 2 ì/ñ. ×åëîâåê ïðûãàåò ñ ëîäêè â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ u = 4 ì/c (îòíîñèòåëüíî ëîäêè). Íàéòè ñêîðîñòü ëîäêè ïîñëå ïðûæêà ÷åëîâåêà: 1) âïåðåä ïî äâèæåíèþ ëîäêè; 2) â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ äâèæåíèþ ëîäêè. (Îòâåò: 1 ì/ñ; 3 ì/ñ.) 7. Øàðèê ìàññîé 100 ã ïîäâåøåí íà íèòè, âûäåðæèâàþùåé ñèëó íàòÿæåíèÿ 1,1 Í. Íà êàêîé óãîë îò âåðòèêàëè íóæíî îòêëîíèòü øàðèê, ÷òîáû îí îáîðâàë íèòü, ïðîõîäÿ ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ (ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü)? (Îòâåò: 18,2°.) 8. Äâóì îäèíàêîâûì êîëåñàì, íàõîäÿùèìñÿ â ïîêîå, ñîîáùèëè îäèíàêîâóþ óãëîâóþ ñêîðîñòü w = 63 ðàä/ñ è ïðåäîñòàâèëè èõ ñàìèì ñåáå. Ïîä äåéñòâèåì ñèë òðåíèÿ ïåðâîå êîëåñî îñòàíîâèëîñü ÷åðåç îäíó ìèíóòó, à âòîðîå ñäåëàëî äî ïîëíîé îñòàíîâêè N = 300 îá. Íà êàêîå êîëåñî äåéñòâóåò áîëüøèé ìîìåíò ñèë òðåíèÿ è âî ñêîëüêî ðàç? (Îòâåò: íà ïåðâîå êîëåñî áîëüøå â 1,2 ðàçà.) 9. Òî÷êà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñîãëàñíî çàêîíó: õ = Àsin wt, ãäå À = 5 ñì, w = 2 ðàä/ñ. Íàéòè ìîìåíò âðåìåíè (áëèæàéøèé ê íà÷àëó îòñ÷åòà), â êîòîðûé ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òî÷êè Wï = 10–4 Äæ, à âîçâðàùàþùàÿ ñèëà F = 5 · 10–3 Í. Îïðåäåëèòü òàêæå ôàçó êîëåáàíèé â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè. (Îòâåò: 2,04 ñ; 4,07 ðàä.) 282 10. Ýêîíîìè÷åñêèé óùåðá ïðè ïîëíîì ðàçðûâå òðóáû ìàãèñòðàëüíîãî âîäîïðîâîäà ñîñòàâèë 50 òûñ. ðóá., èç êîòîðûõ 30 % ñîñòàâëÿåò ñòîèìîñòü âûòåêøåé âîäû. Óòå÷êà âîäû áûëà ëèêâèäèðîâàíà ÷åðåç ÷àñ ïîñëå íà÷àëà àâàðèè. Çíàÿ, ÷òî äèàìåòð òðóáû ðàâåí 30 ñì, îïðåäåëèòü ñêîðîñòü âûòåêàíèÿ âîäû èç òðóáû. Ïîòîê âîäû ñ÷èòàòü óñòàíîâèâøèìñÿ. Ñòîèìîñòü îäíîãî êóáîìåòðà âîäû ïðèíÿòü ðàâíîé 10 ðóá. (Îòâåò: 6,4 ì/ñ.) 11. Íà èçäåëèå, ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî 20 ñì2, íàíåñåí ñëîé ñåðåáðà òîëùèíîé 1 ìêì. Ñêîëüêî àòîìîâ ñåðåáðà ñîäåðæèòñÿ â ïîêðûòèè? r = 10 500 êã/ì3; m = 0,108 êã/ìîëü. (Îòâåò: 117 · 1018.) 12.  áàëëîíå îáúåìîì 0,2 ì3 íàõîäèòñÿ ãåëèé ïðè äàâëåíèè 0,1 ÌÏà è òåìïåðàòóðå 17 °Ñ. Ìàññó ãåëèÿ â áàëëîíå óâåëè÷èëè, ïðè ýòîì åãî äàâëåíèå ïîâûñèëîñü äî 0,3 ÌÏà, à òåìïåðàòóðà — äî 47 °Ñ. Íà ñêîëüêî óâåëè÷èëàñü ìàññà ãåëèÿ? Ìîëÿðíàÿ ìàññà ãåëèÿ 4 ã/ìîëü. (Îòâåò: 0,057 êã.) 13. Êàêîâà ñòîèìîñòü íàãðåâà 5 ë âîäû îò 10 °Ñ äî êèïåíèÿ â àëþìèíèåâîé êàñòðþëå ìàññîé 800 ã, åñëè ñòîèìîñòü 1 êÂò·÷ ïîòðà÷åííîé ýíåðãèè ðàâíà 1 ðóá. 67 êîï. Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü àëþìèíèÿ 920 Äæ/(êã·Ê), âîäû — 4200 Äæ/(êã·Ê). (Îòâåò: 91 êîï.) 14. Äëÿ ïîâûøåíèÿ òåìïåðàòóðû ãàçà, èìåþùåãî ìàññó 20 êã è ìîëÿðíóþ ìàññó 0,028 êã/ìîëü, íà 50 Ê ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè íåîáõîäèìî çàòðàòèòü êîëè÷åñòâî òåïëîòû 1 ÌÄæ. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ñëåäóåò îòíÿòü îò ýòîãî ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå, ÷òîáû åãî òåìïåðàòóðà ïîíèçèëàñü íà 50 Ê? (Îòâåò: 703 êÄæ.) 15. Êàêîâà ñòîèìîñòü äèçåëüíîãî òîïëèâà, êîòîðîå ïîòðåáóåòñÿ òðàêòîðó ñ ÊÏÄ 30 % äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàáîòû 3,78 · 107 Äæ? Óäåëüíàÿ òåïëîòà ñãîðàíèÿ òîïëèâà 4,2 · 107 Äæ/êã, ïëîòíîñòü 800 êã/ì3. Öåíà îäíîãî ëèòðà ãîðþ÷åãî 17 ðóá. çà ëèòð. (Îòâåò: 63 ðóá. 75 êîï.) 5. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÅÒÈÇÌ 5.1. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ¹ 1. Òðè òî÷å÷íûõ çàðÿäà q1 = q2 = q3 = 1 íÊë ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Êàêîé çàðÿä q4 íóæíî ïîìåñòèòü â öåíòðå òðåóãîëüíèêà, ÷òîáû óêàçàííàÿ ñèñòåìà çàðÿäîâ íàõîäèëàñü â ðàâíîâåñèè? Ðåøåíèå Âñå òðè çàðÿäà, ðàñïîëîæåííûõ ïî âåðøèíàì òðåóãîëüíèêà, íàõîäÿòñÿ â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî âûÿñíèòü, êàêîé çàðÿä ñëåäóåò ïîìåñòèòü â öåíòðå òðåóãîëüíèêà, ÷òîáû êàêîé-íèáóäü îäèí èç òðåõ çàðÿäîâ, íàïðèìåð q1, íàõîäèëñÿ â ðàâíîâåñèè. Çàðÿä q1 áóäåò íàõîäèòüñÿ â ðàâíîâåñèè, åñëè âåêòîðíàÿ ñóììà äåéñòâóþùèõ íà íåãî ñèë ðàâíà íóëþ (ðèñóíîê): r r r r r (1) F2 + F3 + F4 = F23 + F4 = 0, r r r ãäå F2 , F3 , F4 — ñèëû, ñ êîòîðûìè ñîîòâåòñòâåííî äåéñòâóþò íà çàðÿä q1 r r r çàðÿäû q2, q3, q4; F23 — ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë F2 è F3 . r r Òàê êàê ñèëû F23 è F4 íàïðàâëåíû ïî îäíîé ïðÿìîé â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, òî âåêòîðíîå ðàâåíñòâî (1) ìîæíî çàìåíèòü ñêàëÿðíûì ðàâåíñòâîì F23 – F4 = 0, îòêóäà F4 = F23. Âûðàçèâ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå F23 ÷åðåç F2 è F3 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî F3 = F2, ïîëó÷èì F4 = F23 = 2F2 cos(a 2). Ïðèìåíÿÿ çàêîí Êóëîíà è èìåÿ â âèäó, ÷òî q2 = q3 = q1, íàéäåì q1 q 4 q12 a 2 cos , îòêóäà = 2 4 pe 0 r12 4 pe 0 r 2 284 q4 = q1r12 a 2 cos . 2 2 r (2) Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå (a = 60°) ñëåäóåò, ÷òî r1 = r a 2 cos 2 = r r . = 2 cos 30° 3 Ñ ó÷åòîì ýòîãî ôîðìóëà (2) ïðèìåò âèä q 4 = q1 . 3 Ïîäñòàâèâ ÷èñëîâîå çíà÷åíèå q1 = 1 íÊë = 10–9 Êë, ïîëó÷èì: q4 = 10 -9 3 = 5, 77 × 10 -10 = 577 ïÊë. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðàâíîâåñèå ñèñòåìû çàðÿäîâ áóäåò íåóñòîé÷èâûì. ¹ 2. Äâà òî÷å÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäà q1 = 1 íÊë è q2 = –2 íÊë íàõîäÿòñÿ â âîçäóõå íà ðàññòîÿíèè d = 10 ñì äðóã îò äðóãà. Îïðåäåëèòü íàïðÿr æåííîñòü E è ïîòåíöèàë j ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýòèìè çàðÿäàìè â òî÷êå À, óäàëåííîé îò çàðÿäà q1 íà ðàññòîÿíèå r1 = 9 ñì è îò çàðÿäà q2 íà r2 = 7 ñì. Ðåøåíèå Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé, êàæäûé çàðÿä ñîçäàåò ïîëå íåçàâèñèìî îò ïðèñóòñòâèÿ â ïðîñòðàíñòâå äðóãèõ çàðÿäîâ (ðèñóíîê). Ïîýòîìó íàïðÿr æåííîñòü E ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â èñêîìîé òî÷êå ìîæåò áûòü íàéäåíà êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà íàïðÿr r æåííîñòåé E 1 è E 2 ïîëåé, ñîçäàâàåìûõ r êàæäûì r r çàðÿäîì â îòäåëüíîñòè: E = E 1 + E 2 . Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî â âîçäóõå (e = 1): 285 — çàðÿäîì q1 E1 = q1 , 4 pe 0 r12 (1) E2 = q2 . 4 pe 0 r22 (2) — çàðÿäîì q2 r Âåêòîð E 1 (ñì. ðèñóíîê) íàïðàâëåí ïî ñèëîâîé ëèíèè îò çàðÿäà q1, r òàê êàê çàðÿä q1 ïîëîæèòåëåí; âåêòîð E 2 íàïðàâëåí òàêæå ïî ñèëîâîé ëèíèè, íî ê çàðÿäó q2, òàê êàê çàðÿä q2 îòðèöàòåëåí. Àáñîëþòíîå çíà÷åíèå âåêòîðà Å íàéäåì êàê ñëåäñòâèå èç òåîðåìû êîñèíóñîâ: (3) E = E 12 + E 22 + 2E 1E 2 cos a , r r ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè E 1 è E 2 , êîòîðûé ìîæåò áûòü íàéäåí èç òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè r1, r2 è d ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ: d 2 = d - r 2 - r22 . = r12 + r22 - 2r1r2 cos(p - a) = r12 + r22 + 2r1r2 cos a, cos a = 2 1 2r1r2  äàííîì ñëó÷àå âî èçáåæàíèå ãðîìîçäêèõ çàïèñåé óäîáíî çíà÷åíèå cosa âû÷èñëèòü îòäåëüíî: (0,1) - (0, 09) - (0, 07) 2 cos a = 2 2 × 0, 09 × 0, 07 2 = -0, 238. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå Å1 èç ôîðìóëû (1) è E2 èç ôîðìóëû (2) â ðàâåíñòâî (3) è âûíîñÿ îáùèé ìíîæèòåëü 1/(4pe0) çà çíàê êîðíÿ, ïîëó÷èì: E= 1 4 pe 0 q12 q 22 qq + + 2 12 22 cos a . 4 4 r1 r2 r1 r2 (4) Ïîäñòàâèì ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí â ôîðìóëó (4) è ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: E = 9 × 10 9 (10-9 ) (0, 04) 2 4 + (2 × 10-9 ) (0, 07) 4 2 +2 10 -9 × 2 × 10 -9 (0, 09) × (0, 07) = 3,58 êÂ/ì. 286 2 2 (-0, 238) = Ïðè âû÷èñëåíèè Å çíàê çàðÿäà q2 îïóùåí, òàê êàê çíàê çàðÿäà îïðår äåëÿåò íàïðàâëåíèå âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè, à íàïðàâëåíèå E 2 áûëî ó÷òåíî ïðè åãî ãðàôè÷åñêîì èçîáðàæåíèè (ñì. ðèñóíîê).  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëåé ïîòåíöèàë j ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî äâóìÿ çàðÿäàìè q1 è q2, ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ïîòåíöèàëîâ, ò. å. j = j1 + j2. (5) Ïîòåíöèàë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî â âàêóóìå òî÷å÷íûì çàðÿäîì q íà ðàññòîÿíèè r îò íåãî, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé j= q . 4 pe 0 r (6)  íàøåì ñëó÷àå ñîãëàñíî ôîðìóëàì (5) è (6) ïîëó÷èì j= q1 q2 1 , èëè j = + 4 pe 0 4 pe 0 r1 4 pe 0 r2 æç q1 q 2 ö÷ çç + ÷÷. è r1 r2 ÷ø Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî âûðàæåíèå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, ïîëó÷èì: æ 10 -9 -2 × 10 -9 ÷ö ÷÷ = -157 Â. j = 9 × 10 9 ççç + 0, 07 ÷÷ø çè 0, 09 ¹ 3. Òî÷å÷íûé çàðÿä q = 25 íÊë íàõîäèòñÿ â ïîëå, ñîçäàííîì ïðÿìûì áåñêîíå÷íûì öèëèíäðîì ðàäèóñîì R = 1 ñì, ðàâíîìåðíî çàðÿæåííûì, ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ s = 0,2 íÊë/ñì2. Îïðåäåëèòü ñèëó F, äåéñòâóþùóþ íà çàðÿä, åñëè åãî ðàññòîÿíèå îò îñè öèëèíäðà r = 10 ñì. Ðåøåíèå ×èñëåííîå çíà÷åíèå ñèëû F, äåéñòâóþùåé íà òî÷å÷íûé çàðÿä q, íàõîäÿùèéñÿ â ïîëå, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå F = qE, (1) ãäå Å — íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî çàðÿæåííûì öèëèíäðîì. Êàê èçâåñòíî, íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ áåñêîíå÷íî äëèííîãî ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîãî öèëèíäðà 287 E= t , 2 pe 0 r (2) ãäå t — ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà. Âûðàçèì ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü t ÷åðåç ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü s. Äëÿ ýòîãî âûäåëèì ýëåìåíò öèëèíäðà äëèíîé l è âûðàçèì íàõîäÿùèéñÿ íà íåì çàðÿä q äâóìÿ ñïîñîáàìè: q = sS = 2spRl; q = tl. Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ ðàâåíñòâ è ñîêðàòèâ íà l, ïîëó÷èì t = 2p · Rs. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ôîðìóëà (2) ïðèìåò âèä E = Rs e 0 r. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â (1), ïîëó÷èì èñêîìóþ ñèëó F: F= qRs . e 0r (3) Ïîäñòàâèì â (3) ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí: 2,5 × 10 -8 × 2 × 10 -6 × 1 H = 5, 65 × 10 -4 H = 565 ìêÍ. -12 8, 85 × 10 × 10 r r Íàïðàâëåíèå ñèëû F ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì íàïðÿæåííîñòè E , à ïîñëåäíÿÿ íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà. F= ¹ 4. Îïðåäåëèòü óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U, êîòîðóþ äîëæåí ïðîéòè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ýëåêòðîí, îáëàäàþùèé ñêîðîñòüþ v1 = 106 ì/ñ, ÷òîáû ñêîðîñòü åãî âîçðîñëà â n = 2 ðàçà. Ðåøåíèå Óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìîæíî íàéòè, âû÷èñëèâ ðàáîòó À ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Ýòà ðàáîòà îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì çàðÿäà ýëåêòðîíà å íà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U: À = eU. (1) Ðàáîòà ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ â äàííîì ñëó÷àå ðàâíà èçìåíåíèþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà: A = Wê 2 - Wê1 = mv 22 mv 12 , 2 2 (2) ãäå Wê1 è Wê2 — êèíåòè÷åñêèå ýíåðãèè ýëåêòðîíà äî è ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ óñêîðÿþùåãî ïîëÿ; m — ìàññà ýëåêòðîíà; v1 è v2 — åãî íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ ñêîðîñòè. 288 Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå ÷àñòè ðàâåíñòâ (1) è (2), ïîëó÷èì eU = mv 22 mv 12 , 2 2 eU = èëè mn 2 v 12 mv 12 , 2 2 ãäå n = v2/v1. Îòñþäà èñêîìàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U= mv 12 2 (n - 1 . 2e ) (3) Ïîäñòàâèì ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí â ôîðìóëó (3): U= 9,1 × 10 -2 (10 6 ) 2 × 1, 6 × 10 -19 2 (2 2 - 1) = 8,53 Â. ¹ 5. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ1 = 3 ìêÔ çàðÿæåí äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U1 = 40 Â. Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ îò èñòî÷íèêà òîêà êîíäåíñàòîð ñîåäèíåí ïàðàëëåëüíî ñ äðóãèì íåçàðÿæåííûì êîíäåíñàòîðîì åìêîñòüþ Ñ2 = 5 ìêÔ. Êàêàÿ ýíåðãèÿ W èçðàñõîäóåòñÿ íà îáðàçîâàíèå èñêðû â ìîìåíò ïðèñîåäèíåíèÿ âòîðîãî êîíäåíñàòîðà? Ðåøåíèå Ýíåðãèÿ W, èçðàñõîäîâàííàÿ íà îáðàçîâàíèå èñêðû, W = W1 – W2, (1) ãäå W1 — ýíåðãèÿ, êîòîðîé îáëàäàë ïåðâûé êîíäåíñàòîð äî ïðèñîåäèíåíèÿ ê íåìó âòîðîãî êîíäåíñàòîðà; W2 — ýíåðãèÿ, êîòîðóþ èìååò áàòàðåÿ, ñîñòàâëåííàÿ èç ïåðâîãî è âòîðîãî êîíäåíñàòîðîâ. Ýíåðãèÿ çàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå W= CU 2 , 2 (2) ãäå Ñ — åìêîñòü êîíäåíñàòîðà èëè áàòàðåè êîíäåíñàòîðîâ; U — ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. Âûðàçèâ â ôîðìóëå (1) ýíåðãèè W1 è W2 ïî ôîðìóëå (2) è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî îáùàÿ åìêîñòü ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ ðàâíà ñóììå åìêîñòåé îòäåëüíûõ êîíäåíñàòîðîâ, ïîëó÷èì 2 C 1U 12 (C 1 + C 2 )U 2 , W= 2 2 (3) 289 ãäå U2 — ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íà çàæèìàõ áàòàðåè ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êîíäåíñàòîðîâ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî çàðÿä ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ âòîðîãî êîíäåíñàòîðà îñòàåòñÿ ïðåæíèì, âûðàçèì ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U2 ñëåäóþùèì îáðàçîì: U2 = q C 1U 1 . = C1 + C 2 C1 + C 2 Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå U2 â ôîðìóëó (3): W= 2 2 C 1U 12 (C 1 + C 2 )C 1 U 1 C U2 C 12U 12 . = 1 1 2 2 2 2(C 1 + C 2 ) 2(C 1 + C 2 ) Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé èìååì: W= 1 C 1C 2 U 12 . 2 C1 + C 2 Ïîäñòàâèì ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ è âû÷èñëèì W: W= 1 3 × 10 -5 × 5 × 10 -6 1600 = 1,5 ìÄæ. 2 3 × 10 -6 + 5 × 10 -6 ¹ 6. Ïîòåíöèîìåòð ñ ñîïðîòèâëåíèåì Rï = 100 Îì ïîäêëþ÷åí ê áàòàðåå, ÝÄÑ êîòîðîé e = 160  è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r = 50 Îì. Îïðåäåëèòü ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà ñ ñîïðîòèâëåíèåì RV = 500 Îì, ñîåäèíåííîãî ñ îäíîé èç êëåìì ïîòåíöèîìåòðà è ïîäâèæíûì êîíòàêòîì, óñòàíîâëåííûì ïîñåðåäèíå ïîòåíöèîìåòðà. Êàêîâà ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òåìè æå òî÷êàìè ïîòåíöèîìåòðà ïðè îòêëþ÷åíèè âîëüòìåòðà? Ðåøåíèå Ïîêàçàíèå U1 âîëüòìåòðà, ïîäêëþ÷åííîãî ê òî÷êàì À è  (ðèñóíîê), îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå U 1 = I1 R 1 , (1) ãäå I1 — ñèëà òîêà â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè; R1 — ñîïðîòèâëåíèå ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ âîëüòìåòðà è ïîëîâèíû ïîòåíöèîìåòðà. 290 Ñèëó òîêà I1 íàéäåì ïî çàêîíó Îìà äëÿ âñåé öåïè: I1 = e , R +r (2) ãäå R — ñîïðîòèâëåíèå âíåøíåé öåïè, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó äâóõ ñîïðîòèâëåíèé: R (3) R = ï + R1 . 2 Ñîïðîòèâëåíèå R1 ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ìîæåò áûòü íàéäåíî Rï RV 1 1 2 ïî ôîðìóëå . Ïîäñòàâèâ ÷èñëîâûå = + , îòêóäà R1 = R1 R V Rï R ï + 2R V 100 × 500 çíà÷åíèÿ, íàéäåì R1 = = 45,5 Îì. 100 + 2 × 500 Èç âûðàæåíèé (2) è (3) îïðåäåëèì ñèëó òîêà: I1 = e Rï + R1 + r 2 = 150 = 1, 03 À. 50 + 45,5 + 50 Åñëè ïîäñòàâèòü çíà÷åíèÿ I1 è R1 â ôîðìóëó (1), òî ìîæíî îïðåäåëèòü ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà: U1 = 1,03 · 45,5  = 46,9 Â. Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òî÷êàìè À è  ïðè îòêëþ÷åííîì âîëüòìåòðå ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ñèëû òîêà I2 íà ïîëîâèíó ñîïðîòèâëåíèÿ ïîR e Rï òåíöèîìåòðà: U 2 = I 2 ï = . Ïîäñòàâëÿÿ â ýòó ôîðìóëó ÷èñëî2 Rï + r 2 150 100 âûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì U 2 = = 50 B. 100 + 50 2 ¹ 7. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòîèò èç äâóõ ãàëüâàíè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, òðåõ ñîïðîòèâëåíèé è ãàëüâàíîìåòðà (ðèñóíîê).  ýòîé öåïè R1 = 100 Îì, R2 = 50 Îì, R3 = 20 Îì, ÝÄÑ ýëåìåíòà e1 = 2 Â. Ãàëüâàíîìåòð ðåãèñòðèðóåò òîê I3 = 50 ìÀ, èäóùèé â íàïðàâëåíèè, óêàçàííîì ñòðåëêîé. Îïðåäåëèòü ÝÄÑ e2 âòîðîãî ýëåìåíòà. Ñîïðîòèâëåíèåì ãàëüâàíîìåòðà è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì ýëåìåíòîâ ïðåíåáðå÷ü. Ðåøåíèå Âûáåðåì íàïðàâëåíèÿ òîêîâ è íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðîâ ÀFDCBÀ è AFGHA, êàê îíè ïîêàçàíû íà ðèñóíêå. 291 Ïî ïåðâîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà äëÿ óçëà F èìååì: I1 – I2 – I3 = 0. (1) Ïî âòîðîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà èìååì äëÿ êîíòóðà ÀFDCBÀ: I1R1 + I2R2 = e1. (2) Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ êîíòóðà AFGHA: I1R1 + I3R3 = e2. (3) Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé â ôîðìóëû (1), (2) è (3) ïîëó÷èì: I1 – I2 = 0,05, 50I1 + 25I2 = 1, 100I1 + 0,05 · 20 = e2. Ïåðåíåñÿ â ýòèõ óðàâíåíèÿõ íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû â ëåâûå ÷àñòè, à èçâåñòíûå — â ïðàâûå, ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé: I1 – I2 = 0,05; 50I1 + 25I2 = 1; 100I1 – e2 = –1. Ýòó ñèñòåìó ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè ìîæíî ðåøèòü îáû÷íûìè ïðèåìàìè àëãåáðû, íî òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü òîëüêî îäíî íåèçâåñòíîå e2 èç òðåõ, òî âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì Êðàìåðà. Ñîñòàâèì è âû÷èñëèì îïðåäåëèòåëü D ñèñòåìû: 1 -1 0 1 -1 D = 50 25 0 = (-1) = -(25 + 50) = -75. 50 25 100 0 -1 Ñîñòàâèì è âû÷èñëèì îïðåäåëèòåëü De2: 1 -1 0, 05 50 25 50 1 25 1 - (-1) + 0, 05 = 1 =1 De 2 = 50 25 100 -1 0 -1 100 0 100 0 -1 = -25 - 50 - 125 = -300. 292 Ðàçäåëèâ îïðåäåëèòåëü De2 íà îïðåäåëèòåëü D, íàéäåì ÷èñëîâîå çíà÷åíèå ÝÄÑ e2: e 2 = -300 (-75) = 4 Â. ¹ 8. Àìïåðìåòðîì, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî R à = 0, 02 Îì, ðàññ÷èòàííûì íà ìàêñèìàëüíóþ ñèëó òîêà I a = 1A, òðåáóåòñÿ èçìåðèòü ñèëó òîêà â öåïè I ö = 10 A. ×åìó äîëæíî áûòü ðàâíî ñîïðîòèâëåíèå øóíòà, ïîäêëþ÷åííîãî ê àìïåðìåòðó? Ðåøåíèå Êàæäûé àìïåðìåòð ðàññ÷èòûâàþò íà îïðåäåëåííóþ ìàêñèìàëüíóþ ñèëó òîêà. Íî âîçìîæíî ðàñøèðèòü ïðåäåëû èçìåðåíèÿ äàííûì ïðèáîðîì â n ðàç (I ö = nI a ). Äëÿ ýòîãî ïàðàëëåëüíî àìïåðìåòðó ïðèñîåäèíÿþò ïðîâîäíèê, ÷åðåç êîòîðûé ïðîõîäèò ÷àñòü èçìåðÿåìîãî òîêà (ðèñóíîê). Ñîïðîòèâëåíèå ýòîãî ïðîâîäíèêà, íàçûâàåìîãî øóíòîì, ðàññ÷èòûâàþò òàê, ÷òîáû ñèëà òîêà ÷åðåç àìïåðìåòð íå ïðåâûøàëà åãî ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ, à îñòàëüíàÿ ÷àñòü òîêà øëà ÷åðåç øóíò. Ïðè ýòîì èçìåíèòñÿ öåíà äåëåíèÿ øêàëû àìïåðìåòðà. Ïðèìåíèì ôîðìóëû äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ïðîâîäíèêîâ ê ó÷àñòêó öåïè, ñîñòîÿùåìó èç øóíòà è àìïåðìåòðà: I ø = I ö - I à = nI a - I a , U ø = U à èëè I a Ra = I øRø . Ðåøàÿ ñîâìåñòíî ýòè óðàâíåíèÿ, íàéäåì ñîïðîòèâëåíèå øóíòà: Rø = Rà Ià R 0, 02 = à = = 2, 2 ìÎì. Iö -Ià n - 1 10 - 1 ¹ 9. Âîëüòìåòð, ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîãî R â = 500 Îì, ðàññ÷èòàí íà ìàêñèìàëüíîå íàïðÿæåíèå â U â = 100 Â. Êàêîå äîïîëíèòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå íåîáõîäèìî ïîäêëþ÷èòü ïîñëåäîâàòåëüíî âîëüòìåòðó, ÷òîáû ïðåäåë åãî èçìåðåíèé óâåëè÷èëñÿ äî U = 1000 Â? Ðåøåíèå Ïóñòü íåîáõîäèìî èçìåðèòü íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå R (ðèñóíîê), êîòîðîå çàâåäîìî ïðåâûøàåò ïðåäåë èçìåðåíèÿ âîëüòìåòðà â n ðàç (U = nU â ). ×òîáû óâåëè÷èòü ïðåäåëû èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ âîëüòìåòðîì, ïîñëåäîâàòåëüíî åìó ïîäêëþ÷àþò äîïîëíèòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå R ä . 293 Ïðèìåíèì çàêîíû ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ïðîâîäíèêîâ ê ó÷àñòêó öåïè, ñîäåðæàùåìó âîëüòìåòð è äîïîëíèòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå: U =Uâ +Uä, I â = I ä Uâ Uä èëè , = Râ Rä ãäå U ä — íàïðÿæåíèå íà äîïîëíèòåëüíîì ñîïðîòèâëåíèè. Îòñþäà äëÿ çíà÷åíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïîëó÷èì Rä = Uä U -U â Râ = R â = (n - 1)R â = (10 - 1)500 = 4,5 êÎì. Uâ Uâ ¹ 10. Ýëåêòðè÷åñêèé ÷àéíèê èìååò äâà íàãðåâàòåëÿ ñ ðàçëè÷íûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè. Ïðè âêëþ÷åíèè îäíîãî èç íèõ âîäà â ÷àéíèêå çàêèïàåò ÷åðåç t1 = 15 ìèí, ïðè âêëþ÷åíèè äðóãîãî — ÷åðåç t2 = 30 ìèí. Íàãðåâàòåëè â ÷àéíèêå ìîæíî âêëþ÷àòü äâóìÿ ñïîñîáàìè: ïîñëåäîâàòåëüíî è ïàðàëëåëüíî. Ïðè êàêîì âêëþ÷åíèè íàãðåâàòåëåé âîäà â ÷àéíèêå çàêèïèò áûñòðåå è âî ñêîëüêî ðàç? Ðåøåíèå Äëÿ íàãðåâà äàííîé ìàññû âîäû ïðè çàäàííûõ óñëîâèÿõ íåîáõîäèìî âñåãäà îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q. Ýëåêòðè÷åñêèé ÷àéíèê âêëþ÷àåòñÿ â áûòîâóþ ýëåêòðè÷åñêóþ ñåòü, ò. å. âî âñåõ ñëó÷àÿõ íàïðÿæåíèå íà íàãðåâàòåëÿõ ÷àéíèêà áóäåò îäèíàêîâî. Ïóñòü R1 è R 2 — ñîîòâåòñòâåííî ñîïðîòèâëåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî íàãðåâàòåëåé. Òîãäà èç çàêîíà Äæîóëÿ — Ëåíöà ñëåäóåò: – ïðè âêëþ÷åíèè 1-ãî íàãðåâàòåëÿ Q = U2 t1 ; R1 (1) – ïðè âêëþ÷åíèè 2-ãî íàãðåâàòåëÿ Q = U2 t2 ; R2 (2) – ïðè âêëþ÷åíèè 2 íàãðåâàòåëåé îäíîâðåìåííî Q = 294 U2 t, R (3) ãäå R — ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå äâóõ îäíîâðåìåííî âêëþ÷åííûõ íàãðåâàòåëåé. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè íàãðåâàòåëåé R = R1 + R 2 , ïðè R1 R 2 ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè R = . Ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ R1 + R 2 â ôîðìóëó (3): Q= U 2 (R1 + R 2 ) U2 t ïàð , t ïîñ , Q = R1 R 2 R1 + R 2 (4) ãäå t ïîñ è t ïàð — ñîîòâåòñòâåííî âðåìÿ íàãðåâà ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì è ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè íàãðåâàòåëåé. Ïðèðàâíÿåì ïðàâûå ÷àñòè â ôîðìóëàõ (4), ñîêðàòèì â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèè êâàäðàò íàïðÿæåíèÿ è âûðàçèì îòíîøåíèå âðåìåí íàãðåâà: t ïîñ (R1 + R 2 ) R 2 + 2R1R 2 + R 22 R R = = 1 =2+ 1 + 2. t ïàð R1 R 2 R1 R 2 R2 R1 2 (5) Èç (5) âèäíî, ÷òî îòíîøåíèå âðåìåí íàãðåâà çàâèñèò îò îòíîøåíèé ñîïðîòèâëåíèé íàãðåâàòåëåé, êîòîðûå ìîæíî îòûñêàòü ïîñëå ïðèðàâíèâàíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé âûðàæåíèé (1), (2) è ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ: R1 t R t (6) = 1, 2 = 2. R2 t 2 R1 t1 Ïîäñòàâëÿåì âûðàæåíèÿ (6) â óðàâíåíèå (5) è ïðîèçâîäèì âû÷èñëåíèÿ: 15 30 t ïîñ t t =2+ 1 + 2 =2+ + = 4,5. 30 15 t ïàð t2 t1 Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè íàãðåâàòåëåé âîäà â ÷àéíèêå çàêèïèò â 4,5 ðàçà áûñòðåå, ÷åì ïðè ïàðàëëåëüíîì èõ ñîåäèíåíèè. ¹ 11. Äâà áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïðîâîäà D è Ñ, ïî êîòîðûì òåêóò â îäíîì íàïðàâëåíèè òîêè ñèëîé I = 60 À, ðàñïîëîæåíû íàr ðàññòîÿíèè d = 10 ñì äðóã îò äðóãà. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ B ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ïðîâîäíèêàìè â òî÷êå À (ðèñóíîê), îòñòîÿùåé îò îñè îäíîãî ïðîâîäíèêà íà ðàññòîÿíèå r1 = 5 ñì, îò îñè äðóãîãî — íà r2 = 12 ñì. 295 Ðåøåíèå r Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàãíèòíîé èíäóêöèè B â òî÷êå À âîñïîëüçóåìñÿ r ïðèíöèïîì r r ñóïåðïîçèöèè ìàãíèòíûõ ïîëåé: B = B1 + B 2 . Ìîäóëü âåêr òîðà B ñîãëàñíî ðèñóíêó ìîæåò áûòü íàéäåí èç òåîðåìû êîñèíóñîâ, â äàííîì ñëó÷àå èìåþùåé âèä B = B12 + B 22 - 2B1B 2 cos(p - a) = (1) = B12 + B 22 + 2B1B 2 cosa, r r ãäå a — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r rB 1 è B 2. Ìàãíèòíûå èíäóêöèè B1 è B2 âûðàæàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç ñèëó òîêà I è ðàññòîÿíèÿ r1 è r2 îò ïðîâîäîâ äî òî÷êè À: Â1 = m0I/(2pr1); B2 = m0I/(2pr2). Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ Â1 è Â2 â ôîðìóëó (1), ïîëó÷àåì B= m 0I 2p 1 1 2 + 2 + cosa . 2 r1r2 r1 r2 (2) Âû÷èñëèì cosa ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ (Ða = ÐDAC êàê óãëû ñ ñîîòâåòñòâåííî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ñòîðîíàìè), d 2 = r12 + r22 - 2r1r2 cos a, ãäå d — ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîâîäàìè. Îòñþäà cosa = r12 + r22 - d 2 ; 2r1r2 cosa = 5 2 + 12 2 - 10 2 23 . = 2 × 5 × 12 40 Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó (2) ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí è ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: B= 4 × 3,14 × 10 -7 × 60 1 1 2 23 = 308 ìêÒë. + + 2 2 × 2 × 3,14 0 , 05 0 , 12 40 0, 05 0,12 ¹ 12. Ïî äâóì ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì ïðîâîäàì äëèíîé l = 2 ì êàæäûé, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè d = 20 ñì äðóã îò äðóãà, òåêóò îäèíàêîâûå òîêè I = 1 êÀ. Âû÷èñëèòü ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ òîêîâ. 296 Ðåøåíèå Âçàèìîäåéñòâèå äâóõ ïðîâîäîâ, ïî êîòîðûì òåêóò òîêè, îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷åðåç ìàãíèòíîå ïîëå. Êàæäûé òîê ñîçäàåò ìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå äåéñòâóåò íà äðóãîé ïðîâîä. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáà òîêà (îáîçíà÷èì èõ I1 è I2) òåêóò â îäíîì íàïðàâëåíèè (ðèñóíîê). Òîê I1 ñîçäàåò â ìåñòå ðàñïîëîæåíèÿ âòîðîãî ïðîâîäàr (ñ òîêîì I2) ìàãíèòíîå ïîëå, íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè B1 îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó áóðàâ÷èêà. Ìîäóëü ìàãíèòíîé èíäóêöèè Â1 çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì B1 = m 0I . 2 pd (1) Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ïåðâîãî ïðîâîäíèêà ïîñòîÿííî íà âñåì ïðîòÿæåíèè âòîðîãî ïðîâîäíèêà. Ñîãëàñíî çàêîíó Àìïåðà, íà âòîðîé ïðîâîä äåéñòâóåò ñèëà F = I 2 B1 l sin a. Òàê êàê ïðîâîäíèê r ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðó B, òî sin a = 1, òîãäà F = I 2 B1 l. Ïîäñòàâèâ â ýòî âûðàæåíèå çíà÷åíèå Â1, äëÿ ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ òîêîâ ïîëó÷èì: F= m 0 I 1I 2 l. 2 pd m 0I 2l . 2 pd 4 p × 10 -7 (10 3 ) 2 2,5 Ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: F = = 2,5 H. 2 p × 0, 2 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî I1 = I2 = I, èìååì: F = ¹ 13. Ïðîòîí, ïðîøåäøèé óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U = 600 Â, âëåòåë â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé  = 0,3 Òë è íà÷àë äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè. Âû÷èñëèòü ðàäèóñ R îêðóæíîñòè. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíûé ìîìåíò ðm ýêâèâàëåíòíîãî êðóãîâîãî òîêà. Ðåøåíèå Äâèæåíèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå (ðèñóíîê) ïðîèñõîäèò ïî îêðóæíîñòè òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ÷àñòèöà âëåòèò â ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî ëè297 r r r íèÿì èíäóêöèè: v ^ B. Òàê êàê ñèëà Ëîðåíöà ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó v, r òî îíà ñîîáùàåò ÷àñòèöå (ïðîòîíó) íîðìàëüíîå óñêîðåíèå an. Ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, r r (1) Fë = ma n , ãäå m — ìàññà ïðîòîíà. Íà ðèñóíêå òðàåêòîðèÿ ïðîòîíà ñîâìåùåíà ñ ïëîñêîñòüþ ÷åðòåæà è äàíî (ïðîèçâîëüíî) íàïðàâëåíèå âåêòîðà ñêîðîr r ñòè v. Ñèëó Ëîðåíöà íàïðàâèì ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó v ê öåíòðó îêr r ðóæíîñòè (âåêòîðû an è Fë ñîíàïðàâëåíû). Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ëåâîé ðóêè, îïðåäåëèì íàïðàâëåíèå ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé (íàïðàâëåíèå r âåêòîðà B). Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå (1) â ñêàëÿðíîé ôîðìå (â ïðîåêöèè íà ðàäèóñ): Fë = man. (2) r r  ñêàëÿðíîé ôîðìå Fë = qvBsina.  íàøåì ñëó÷àå v^B è sina = 1, òî2 ãäà Fë = qvB. Òàê êàê íîðìàëüíîå óñêîðåíèå an = v /R, òî âûðàæåíèå (2) ïåðåïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: qvB = mv2/R. Îòñþäà âûðàçèì ðàäèóñ îêðóæíîñòè: R = mv/(qB). (3) Ñêîðîñòü ïðîòîíà íàéäåì, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâÿçüþ ìåæäó ðàáîòîé ñèë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è èçìåíåíèåì êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïðîòîíà, ò. å. À = DW, èëè q(j1 – j2) = W2 – W1, ãäå (j1 – j2) = U — óñêîðÿþùàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ (èëè óñêîðÿþùåå íàïðÿæåíèå); W1 è W2 — íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ êèíåòè÷åñêèå ýíåðãèè ïðîòîíà. Ïðåíåáðåãàÿ íà÷àëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ïðîòîíà W1 » 0 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî W2 = mv2/2, ïîëó÷èì qU = mv2/2. Íàéäåì èç ýòîãî âûðàæåíèÿ ñêîðîñòü v = 2qU m è ïîäñòàâèì åå â ôîðìóëó (3), â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì R= 1 B Ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: R = 2 mU . q (4) 1 2 × 1, 67 × 10 -27 × 600 = 0,0118 ì. 0, 3 1, 6 × 10 -19 Äâèæåíèå ïðîòîíà ïî îêðóæíîñòè ýêâèâàëåíòíî òîêó, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì I ýêâ = q T , ãäå Ò — ïåðèîä 298 åãî îáðàùåíèÿ. Ïåðèîä îáðàùåíèÿ ìîæíî íàéòè ÷åðåç ñêîðîñòü ýëåêòðîíà è ïóòü, ïðîõîäèìûé ýëåêòðîíîì çà ïåðèîä Ò = (2pR)/v. Òîãäà I ýêâ = qv . 2pR (5) Ïî îïðåäåëåíèþ ìàãíèòíûé ìîìåíò êîíòóðà ñ òîêîì âûðàæàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (6) Pm = IýêâS, ãäå S — ïëîùàäü, îãðàíè÷åííàÿ îêðóæíîñòüþ, îïèñûâàåìîé ïðîòîíîì, S = pR2. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå òîêà Iýêâ èç (5) è ïëîùàäü îêðóæíîñòè S â ôîðìóëó (6), ïîëó÷èì: qv 1 (7) pR 2 = qvR. Pm = 2 pR 2 Èç ôîðìóëû (3) âûðàçèì ñêîðîñòü ïðîòîíà â âèäå v = qBR m. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â (7), äëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà Pm ïðîòîíà èìååì: Pm = q 2 BR 2 (2 m). Ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: Pm = (1, 6 × 10-19 × 0, 0118) 2 × 1, 672 × 10 -27 2 0, 3 = 3, 2 × 10 -16 À·ì2. ¹ 14. Êîðîòêàÿ êàòóøêà, ñîäåðæàùàÿ N = 103 âèòêîâ, ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé n = 10 ñ–1 îòíîñèòåëüíî îñè ÀÑ, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè êàòóøêè è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ëèíèÿì èíäóêöèè îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ( = 0,04 Òë) (ðèñóíîê). Îïðåäåëèòü ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ÝÄÑ èíäóêöèè ei äëÿ òåõ ìîìåíòîâ âðåìåíè, êîãäà ïëîñêîñòü êàòóøêè ñîñòàâëÿåò óãîë a = 60° ñ ëèíèÿìè ïîëÿ. Ïëîùàäü S êàòóøêè ðàâíà 100 ñì2. Ðåøåíèå Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ÝÄÑ èíäóêöèè ei îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì Ôàðàäåÿ: ei =- dY . dt (1) 299 Ïîòîêîñöåïëåíèå Y = NÔ, ãäå N — ÷èñëî âèòêîâ êàòóøêè, ïðîíèçûâàåìûõ ìàãíèòíûì ïîòîêîì Ô. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëó (1), ïîëó÷èì: dF . (2) e i = -N dt Ïðè âðàùåíèè êàòóøêè ìàãíèòíûé ïîòîê Ô, ïðîíèçûâàþùèé êàòóøêó, èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó Ô = BScosj = BScoswt, (3) r ãäår  — ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ; S — ïëîùàäü êàòóøêè; j — óãîë ìåæäó n è B; w — óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ. Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó (2) âûðàæåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà (3) è âîçüìåì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè. Íàéäåì ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ÝÄÑ èíäóêöèè: ei = wNBSsinwt. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ w êàòóøêè ñâÿçàíà ñ ÷àñòîòîé âðàùåíèÿ n ñîîòíîøåíèåì w = 2pn è ÷òî óãîë wt = (p/2 – a) (ñì. ðèñóíîê), sin (p/2 – a) = cosa, ïîëó÷èì: eI = 2pnNBScosa. Ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: ei = 2 · 3,14 · 10 · 10 3 · 0,04 · 10–2 · 0,5 = 25,1 Â. ¹ 15. Ïëîñêèé êâàäðàòíûé êîíòóð ñî ñòîðîíîé à = 10 ñì, ïî êîòîðîìó òå÷åò òîê I = 100 À, ñâîáîäíî óñòàíîâèëñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ( = 1 Òë). Îïðåäåëèòü ðàáîòó À, ñîâåðøàåìóþ âíåøíèìè ñèëàìè ïðè ïîâîðîòå êîíòóðà îòíîñèòåëüíî îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíó åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí, íà óãîë j = 90°. Ïðè ïîâîðîòå êîíòóðà ñèëà òîêà â íåì ïîääåðæèâàåòñÿ íåèçìåííîé. Ðåøåíèå Ðàáîòà âíåøíèõ ñèë ïî ïåðåìåùåíèþ êîíòóðà ñ òîêîì â ìàãíèòíîì ïîëå ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ñèëû òîêà â êîíòóðå íà èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî êîíòóð: À = –IDÔ = I(Ô1 – Ô2), ãäå Ô1, Ô2 — ìàãíèòíûé ïîòîê äî è ïîñëå ïåðåìåùåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî. Ô1 = BScos0° = BS; Ô 2 = BS cos90° = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, 300 À = IBS = IBa2. Ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: À = 100 · 1(0,1)2 = 1 Äæ. ¹ 16. Íà æåëåçíûé ñòåðæåíü äëèíîé 50 ñì è ñå÷åíèåì 2 ñì2 íàìîòàí â îäèí ñëîé ïðîâîä òàê, ÷òî íà êàæäûé ñàíòèìåòð äëèíû ñòåðæíÿ ïðèõîäèòñÿ 20 âèòêîâ. Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñåðäå÷íèêå ñîëåíîèäà, åñëè ñèëà òîêà â îáìîòêå 0,5 À. Ðåøåíèå Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L, ïî îáìîòêå êîòîðîãî òå÷åò òîê I, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé W= 1 2 LI . 2 (1) Èíäóêòèâíîñòü ñîëåíîèäà çàâèñèò îò ÷èñëà âèòêîâ íà åäèíèöó äëèíû n, îò îáúåìà ñåðäå÷íèêà V è îò ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè m ñåðäå÷íèêà, ò. å. L = mm0n2V, ãäå m0 — ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ìàãíèòíóþ ïðîíèöàåìîñòü ìîæíî âûðàçèòü ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: m = B (m 0 H ), ãäå  — èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, Í — íàïðÿæåííîñòü. Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó (1) âûðàæåíèå èíäóêòèâíîñòè L è ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè. Âûðàçèâ îáúåì ñåðäå÷íèêà ÷åðåç äëèíó l è ñå÷åíèå S, ïîëó÷èì: 1B 2 2 W= n I Sl. 2H Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàéäåì ïî ôîðìóëå Í = nI = 2 · 103 · 0,5 = 103 À/ì. Çíà÷åíèþ Í = 103 À/ì â æåëåçå ñîîòâåòñòâóåò èíäóêöèÿ  = 1,3 Òë (ñì. ãðàôèê çàâèñèìîñòè ìåæäó Í è  â ïðèëîæåíèè). Ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: W= 1 1, 3 (2 × 10 3 2 10 3 ) (0,5) 2 2 × 210 -4 × 0,5 = 0,065 Äæ. 5.2. Òðåíèðîâî÷íûå çàäà÷è 1. Äâà øàðèêà ìàññîé m = 1 ã êàæäûé ïîäâåøåíû íà íèòÿõ, âåðõíèå êîíöû êîòîðûõ ñîåäèíåíû âìåñòå. Äëèíà êàæäîé íèòè l = 10 ñì. Êàêèå 301 îäèíàêîâûå çàðÿäû íàäî ñîîáùèòü øàðèêàì, ÷òîáû íèòè ðàçîøëèñü íà óãîë a = 60°? (Îòâåò: 79 íÊë.) 2. Ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿäàìè q1 = 1 íÊë è q2 = 1,6 íÊë d = 5 ñì. Îïr ðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü E è ïîòåíöèàë j ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýòèìè çàðÿäàìè â òî÷êå, îòñòîÿùåé íà r1 = 3 ñì îò çàðÿäà q1 è íà r2 = 4 ñì îò çàðÿäà q2. (Îòâåò: 13,5 êÂ/ì; 657 Â.) 3. Äëèííàÿ ïðÿìàÿ òîíêàÿ ïðîâîëîêà èìååò ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé çàðÿä. Âû÷èñëèòü ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü t çàðÿäà, åñëè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ íà ðàññòîÿíèè d = 0,5 ì îò ïðîâîëîêè ïðîòèâ åå ñåðåäèíû E = 2 Â/ñì. (Îòâåò: 5,55 íÊë/ì.) 4. Êàêóþ óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U äîëæåí ïðîéòè ýëåêòðîí, ÷òîáû ïîëó÷èòü ñêîðîñòü v = 8 · 106 ì/ñ? (Îòâåò: 182 Â.) 5. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ1 = 6 Ô çàðÿäèëè äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U = 1,6 ê è îòêëþ÷èëè îò èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ. Çàòåì ê êîíäåíñàòîðó ïðèñîåäèíèëè âòîðîé, íåçàðÿæåííûé êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ2 = 4 Ô. Êàêîâà ñòîèìîñòü ýíåðãèè, ïîòåðÿííîé ïðè ñîåäèíåíèè êîíäåíñàòîðîâ, åñëè öåíà ýëåêòðîýíåðãèè 2 ðóá. çà 1 êÂò·÷? (Îòâåò: 1 ðóá. 71 êîï.) 6. Ñîïðîòèâëåíèå R1 = 5 Îì, âîëüòìåòð è èñòî÷íèê òîêà ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî. Âîëüòìåòð ïîêàçûâàåò íàïðÿæåíèå U1 = 10 Â. Åñëè çàìåíèòü ñîïðîòèâëåíèå R1 íà R2 = 12 Îì, òî âîëüòìåòð ïîêàæåò íàïðÿæåíèå U2 = 12 Â. Îïðåäåëèòü ÝÄÑ è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà òîêà. Òîêîì ÷åðåç âîëüòìåòð ïðåíåáðå÷ü. (Îòâåò: 14 Â; 2 Îì.) 7. Ñòîèìîñòü òåïëà, êîòîðîå êîìíàòà òåðÿåò â ñóòêè, ðàâíà 10 ðóá. Êàêîå ñîïðîòèâëåíèå äîëæíî áûòü ó ýëåêòðè÷åñêîé ïå÷è, ÷òîáû ïîääåðæèâàòü òåìïåðàòóðó êîìíàòû íåèçìåííîé? Ïå÷ü âêëþ÷àåòñÿ â ñåòü ñ íàïðÿæåíèåì 220 Â, öåíó 1 êÂò·÷ ýëåêòðîýíåðãèè ïðèíÿòü ðàâíîé 2 ðóá. (Îòâåò: 232,3 Îì.) 8. Ïî äâóì äëèííûì ïðîâîäàì òåêóò â îäèíàêîâîì íàïðàâëåíèè òîêè I1 = 10 A è I2 = 15 A. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîâîäàìè à = 10 ñì. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü Í ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êå, óäàëåííîé îò ïåðâîãî ïðîâîäà íà ðàññòîÿíèå r1 = 8 ñì è îò âòîðîãî íà r2 = 6 ñì. (Îòâåò: 44,5 À/ì.) 9.  îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé  = 0,01 Òë ïîìåùåí ïðÿìîé ïðîâîäíèê äëèíîé l = 20 ñì (ïîäâîäÿùèå ïðîâîäà íàõîäÿòñÿ âíå ïîëÿ). Îïðåäåëèòü ñèëó F, äåéñòâóþùóþ íà ïðîâîäíèê, åñëè ïî íåìó òå÷åò òîê ñèëîé I = 5 À, à óãîë j ìåæäó íàïðàâëåíèåì òîêà è âåêòîðîì ìàãíèòíîé èíäóêöèè ðàâåí 30°. (Îòâåò: 50 ìÍ.) 302 10. Ðàìêà ñ òîêîì ñèëîé I = 5 À ñîäåðæèò N = 20 âèòêîâ òîíêîãî ïðîâîäà. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíûé ìîìåíò ðm ðàìêè ñ òîêîì, åñëè åå ïëîùàäü S = 10 ñì2. (Îòâåò: 0,1 À·ì2.) 11. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó n îáðàùåíèÿ ýëåêòðîíà ïî êðóãîâîé îðáèòå â ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé  = 1 Òë. (Îòâåò: 2,8 · 10 10 ñ–1.) 12. Ðàìêà ïëîùàäüþ S = 50 ñì2, ñîäåðæàùàÿ N = 100 âèòêîâ, ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ( = 40 ìÒë). Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ ÝÄÑ èíäóêöèè emax, åñëè îñü âðàùåíèÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè ðàìêè è ïåðïåíäèêóëÿðíà ëèíèÿì èíäóêöèè, à ðàìêà âðàùàåòñÿ ñ ÷àñòîòîé n = 96 îá/ìèí. (Îòâåò: 2,01 Â.) 13. Ïî ïðîâîäíèêó, ñîãíóòîìó â âèäå êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à = 10 ñì, òå÷åò òîê ñèëîé I = 20 À. Ïëîñêîñòü êâàäðàòà ïåðïåíäèêóëÿðíà ñèëîâûì ëèíèÿì ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îïðåäåëèòü ðàáîòó À, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü äëÿ òîãî, ÷òîáû óäàëèòü ïðîâîäíèê çà ïðåäåëû ïîëÿ. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ  = 0,1 Òë. Ïîëå ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì. (Îòâåò: 0,02 Äæ.) 14. Ïî îáìîòêå ñîëåíîèäà èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,2 Ãí òå÷åò òîê ñèëîé I = 10 À. Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ W ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîëåíîèäà. (Îòâåò: 10 Äæ.) 6. ÎÏÒÈÊÀ. ÎÑÍÎÂÛ ÀÒÎÌÍÎÉ È ßÄÅÐÍÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 6.1. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ¹ 1. Ïîä êàêèì óãëîì äîëæåí ïàäàòü ëó÷ èç âîçäóõà (n1 = 1) íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà (n2 = 1,5), ÷òîáû óãîë ïðåëîìëåíèÿ b áûë â 2 ðàçà ìåíüøå óãëà ïàäåíèÿ a (ðèñóíîê)? Ðåøåíèå Çàïèøåì çàêîí ïðåëîìëåíèÿ: sin a n = n 21 = 2 . sin b n1 Èç óñëîâèÿ çàäà÷è èçâåñòíî, ÷òî a = 2b, òîãäà çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó sin 2b 2 sin b sin b = = 2 cos b = n 2 , sin b sin b îòêóäà ñ ïîìîùüþ êàëüêóëÿòîðà ñ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ìîæíî îòûñêàòü óãîë ïðåëîìëåíèÿ: b = 41, 4°.  ýòîì ñëó÷àå óãîë ïàäåíèÿ a = 82, 8°. ¹ 2. Êàêèì äîëæíî áûòü ðàññòîÿíèå ìåæäó îáúåêòèâîì ôîòîàïïàðàòà è ôîòîïëåíêîé ïðè ñúåìêå îáúåêòà, ðàñïîëîæåííîãî íà ðàññòîÿíèè, ðàâíîì 2 ì îò îáúåêòèâà ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì, ðàâíûì 1,35 ñì? Ðåøåíèå Äëÿ ëèíçû ôîòîàïïàðàòà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó òîíêîé ëèíçû: 1 1 1 = + , f a b 304 (1) ãäå f — ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû; a — ðàññòîÿíèå îò ëèíçû äî ïðåäìåòà; b — ðàññòîÿíèå îò ëèíçû äî èçîáðàæåíèÿ (â íàøåì ñëó÷àå äî ôîòîïëåíêè). Âûðàçèì èç ôîðìóëû (1) èñêîìîå ðàññòîÿíèå b, ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ è ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: b= fa 0, 0135 × 2 = 0, 0136 ì. = 2 - 0, 0135 a- f ¹ 3. Îò äâóõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ S1 è S2 (l = 0,8 ìêì) ëó÷è ïîïàäàþò íà ýêðàí. Íà ýêðàíå íàáëþäàåòñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà. Êîãäà íà ïóòè îäíîãî èç ëó÷åé ïåðïåíäèêóëÿðíî åìó ïîìåñòèëè ìûëüíóþ ïëåíêó ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,33 (ñì. ðèñóíîê), èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà èçìåíèëàñü íà ïðîòèâîïîëîæíóþ. Ïðè êàêîé íàèìåíüøåé òîëùèíå dmin ïëåíêè ýòî âîçìîæíî? Ðåøåíèå Èçìåíåíèå èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû íà ïðîòèâîïîëîæíóþ îçíà÷àåò, ÷òî íà òåõ ó÷àñòêàõ, ãäå íàáëþäàëèñü èíòåðôåðåíöèîííûå ìàêñèìóìû, ñòàëè íàáëþäàòüñÿ èíòåðôåðåíöèîííûå ìèíèìóìû. Òàêîé ñäâèã èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû âîçìîæåí ïðè èçìåíåíèè îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè õîäà ëó÷åé íà íå÷åòíîå ÷èñëî ïîëîâèí äëèí âîëí, ò. å. l D2 – D1 = (2k + 1) , (1) 2 ãäå D1 — îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà ëó÷åé äî âíåñåíèÿ ïëåíêè; D2 — îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà òåõ æå ëó÷åé ïîñëå âíåñåíèÿ ïëåíêè; k = 0, ±1, ±2, …. Íàèìåíüøåé òîëùèíå dmin ïëåíêè ñîîòâåòñòâóåò k = 0. Ïðè ýòîì ôîðìóëà (1) ïðèìåò âèä l D2 – D1 = . 2 (2) Âûðàçèì îïòè÷åñêèå ðàçíîñòè õîäà D2 è D1. Èç ðèñóíêà ñëåäóåò: D 1 = l 1 - l 2 , D 2 = [(l 1 - d min ) + nd min ]- l 2 = (l 1 - l 2 ) + d min (n - 1). Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ D2 è D1 â ôîðìóëó (2): 305 l 2 (l 1 - l 2 ) + d min (n - 1) - (l 1 - l 2 ) = , òîãäà d min = l . 2(n - 1) Ïîäñòàâèì ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ è íàéäåì: d min = 0, 8 = 1, 21 ìêì. 2(1, 33 - 1) ¹ 4. Íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó íîðìàëüíî ê åå ïîâåðõíîñòè ïàäàåò ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò. Ïåðèîä ðåøåòêè d = 2 ìêì. Êàêîãî íàèáîëüøåãî ïîðÿäêà äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì äàåò ýòà ðåøåòêà â ñëó÷àå êðàñíîãî (l1 = 0,7 ìêì) è ôèîëåòîâîãî (l2 = 0,41 ìêì) ñâåòà? Ðåøåíèå Íà îñíîâàíèè èçâåñòíîé ôîðìóëû äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè íàïèøåì âûðàæåíèå ïîðÿäêà äèôðàêöèîííîãî ìàêñèìóìà: m= d sinj , l (1) ãäå d — ïåðèîä ðåøåòêè; j — óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì íà äèôðàêöèîííûé ìàêñèìóì è íîðìàëüþ ê ðåøåòêå; l — äëèíà âîëíû ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî ñâåòà. Òàê êàê sinj íå ìîæåò áûòü áîëüøå 1, òî, êàê ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóëû (1), ÷èñëî m íå ìîæåò áûòü áîëüøå d/l, ò. å. m £ d/l. (2) Ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó (2) ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì: äëÿ êðàñíûõ ëó÷åé m £ 2/0,7 = 2,86; äëÿ ôèîëåòîâûõ ëó÷åé m £ 2/0,41 = 4,88. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî ïîðÿäîê ìàêñèìóìîâ ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, òî äëÿ êðàñíîãî ñâåòà mmax = 2, äëÿ ôèîëåòîâîãî mmax = 4. ¹ 5. Åñòåñòâåííûé ëó÷ ñâåòà ïàäàåò íà ïîëèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü ñòåêëÿííîé ïëàñòèíû, ïîãðóæåííîé â æèäêîñòü. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëàñòèíû n2 = 1,5. Îòðàæåííûé îò ïëàñòèíû ëó÷ îáðàçóåò óãîë j = 97° ñ ïàäàþùèì ëó÷îì (ðèñóíîê). Îïðåäåëèòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n1 æèäêîñòè, åñëè îòðàæåííûé ñâåò ìàêñèìàëüíî ïîëÿðèçîâàí. 306 Ðåøåíèå Ñîãëàñíî çàêîíó Áðþñòåðà ëó÷ ñâåòà, îòðàæåííûé îò äèýëåêòðèêà, ìàêñèìàëüíî ïîëÿðèçîâàí â òîì ñëó÷àå, åñëè òàíãåíñ óãëà ïàäåíèÿ ÷èñëåííî ðàâåí îòíîñèòåëüíîìó ïîêàçàòåëþ ïðåëîìëåíèÿ n21: tga = n 21 = n2 . n1 Òàê êàê óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ, òî a = j/2 è, ñëåäîâàòåëüíî, tgj/2 = n2/n1, îòêóäà n1 = n2 . tg j 2 Ïîäñòàâèâ ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì n1 = 1,5 1,5 = = 1, 33. tg(97 2) 1,13 ¹ 6. Äâà íèêîëÿ N1 è N2 ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òî óãîë ìåæäó èõ ïëîñêîñòÿìè ïðîïóñêàíèÿ a = 60°. Îïðåäåëèòü, âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèòñÿ èíòåíñèâíîñòü I0 åñòåñòâåííîãî ñâåòà: 1) ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç îäèí íèêîëü N1; 2) ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç îáà íèêîëÿ. Êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ ñâåòà â íèêîëå k = 0,05. Ïîòåðè íà îòðàæåíèå ñâåòà íå ó÷èòûâàòü. Ðåøåíèå Åñòåñòâåííûé ñâåò, ïàäàÿ íà ãðàíü ïðèçìû Íèêîëÿ (ðèñóíîê), ðàñùåïëÿåòñÿ âñëåäñòâèå äâîéíîãî ëó÷åïðåëîìëåíèÿ íà äâà ëó÷à: îáûêíîâåííûé o è íåîáûêíîâåííûé e. Îáà ëó÷à îäèíàêîâû ïî èíòåíñèâíîñòè è ïîëíîñòüþ ïîëÿðèçîâàíû. Ïëîñêîñòü êîëåáàíèé íåîáûêíîâåííîãî 307 ëó÷à ëåæèò â ïëîñêîñòè ÷åðòåæà (ïëîñêîñòü ãëàâíîãî ñå÷åíèÿ). Ïëîñêîñòü êîëåáàíèé îáûêíîâåííîãî ëó÷à ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà. Îáûêíîâåííûé ëó÷ o âñëåäñòâèå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ îò ãðàíèöû À îòáðàñûâàåòñÿ íà çà÷åðíåííóþ ïîâåðõíîñòü ïðèçìû è ïîãëîùàåòñÿ åþ. Íåîáûêíîâåííûé ëó÷ å ïðîõîäèò ÷åðåç ïðèçìó, óìåíüøàÿ ñâîþ èíòåíñèâíîñòü âñëåäñòâèå ïîãëîùåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ïåðâóþ ïðèçìó, I1 = I 0 (1 - k ) . 2 Îòíîñèòåëüíîå óìåíüøåíèå èíòåíñèâíîñòè ñâåòà ïîëó÷èì, ðàçäåëèâ èíòåíñèâíîñòü I0 åñòåñòâåííîãî ñâåòà, ïàäàþùåãî íà ïåðâûé íèêîëü, íà èíòåíñèâíîñòü I1 ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà: 2 I0 I0 . = = 1 1- k I1 I 0 (1 - k ) 2 (1) Ïîäñòàâèâ â (1) ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, íàéäåì: I0 2 = = 2,1. I 1 1 - 0, 05 Ïëîñêîïîëÿðèçîâàííûé ëó÷ ñâåòà èíòåíñèâíîñòüþ I1 ïàäàåò íà âòîðîé íèêîëü N2 è òàêæå ðàñùåïëÿåòñÿ íà äâà ëó÷à ðàçëè÷íîé èíòåíñèâíîñòè: îáûêíîâåííûé è íåîáûêíîâåííûé. Îáûêíîâåííûé ëó÷ ïîëíîñòüþ ïîãëîùàåòñÿ ïðèçìîé, ïîýòîìó åãî èíòåíñèâíîñòü íàñ íå èíòåðåñóåò. Èíòåíñèâíîñòü íåîáûêíîâåííîãî ëó÷à I2, âûøåäøåãî èç ïðèçìû N2, îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì Ìàëþñà (áåç ó÷åòà ïîãëîùåíèÿ ñâåòà âî âòîðîì íèêîëå): I2 = I1cos2a, ãäå a — óãîë ìåæäó ïëîñêîñòüþ êîëåáàíèé â ïîëÿðèçîâàííîì ëó÷å è ïëîñêîñòüþ ïðîïóñêàíèÿ íèêîëÿ N2. Ó÷èòûâàÿ ïîòåðè èíòåíñèâíîñòè íà ïîãëîùåíèå âî âòîðîì íèêîëå, ïîëó÷èì: I2 = I1(1 – k)cos2a. Èñêîìîå óìåíüøåíèå èíòåíñèâíîñòè ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà ÷åðåç îáà íèêîëÿ íàéäåì, ðàçäåëèâ èíòåíñèâíîñòü I0 åñòåñòâåííîãî ñâåòà íà èíòåíñèâíîñòü I2 ñâåòà, ïðîøåäøåãî ñèñòåìó èç äâóõ íèêîëåé: 308 I0 I0 = . I2 I 1 (1 - k )cos 2 a Çàìåíÿÿ îòíîøåíèå I0/I1 åãî âûðàæåíèåì ïî ôîðìóëå (1), ïîëó÷èì: I0 2 = . I 2 (1 - k )2 cos 2 a Ïîäñòàâëÿÿ äàííûå, ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: I0 2 = = 8, 86. I 2 (1 - 0, 05)2 cos 2 60° Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ñâåòà ÷åðåç äâà íèêîëÿ èíòåíñèâíîñòü åãî óìåíüøèòñÿ â 8,86 ðàçà. ¹ 7. Äëèíà âîëíû, íà êîòîðóþ ïðèõîäèòñÿ ìàêñèìóì ýíåðãèè â ñïåêòðå èçëó÷åíèÿ àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà, l0 = 0,58 ìêì. Îïðåäåëèòü ýíåðãåòè÷åñêóþ ñâåòèìîñòü R0 ïîâåðõíîñòè òåëà. Ðåøåíèå Ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñâåòèìîñòü R0 àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà ïðîïîðöèîíàëüíà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû è âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé R0 = sÒ4, (1) ãäå s — ïîñòîÿííàÿ Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà; Ò — òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ òåìïåðàòóðà. Òåìïåðàòóðó Ò ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ çàêîíà ñìåùåíèÿ Âèíà l0 = b/Ò, (2) ãäå b — ïîñòîÿííàÿ çàêîíà ñìåùåíèÿ Âèíà. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2) è (1), ïîëó÷èì æ bö R 0 = sçç ÷÷÷ . çè l ÷ø 4 (3) Âûïèøåì ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ýòó ôîðìóëó: s = 5,67 · 10–8 Âò/ (ì2·Ê4), b = 2,90 · 10–3 ìÊ, l0 = 5,8 · 10–7 ì è, ïîäñòàâèâ ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ â ôîðìóëó (3), ïðîèçâåäåì âû÷èñëåíèÿ: 309 æ 2, 90 × 10 -3 ö÷ ÷ 3,54 × 10 7 Âò/ì2 = 35, 4 ÌÂò/ì2. R 0 = 5, 67 × 10 -8 ççç -7 ÷ çè 5, 8 × 10 ÷÷ø 4 ¹ 8. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü vmax ôîòîýëåêòðîíîâ, âûðûâàåìûõ ñ ïîâåðõíîñòè ñåðåáðà óëüòðàôèîëåòîâûìè ëó÷àìè ñ äëèíîé âîëíû l = 0,155 ìêì. Ðåøåíèå Ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ôîòîýëåêòðîíîâ ìîæíî îïðåäåëèòü èç óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà äëÿ ôîòîýôôåêòà: hn = À + Wmax, (1) ãäå hn = hñ/l — ýíåðãèÿ êâàíòà èçëó÷åíèÿ, ïàäàþùåãî íà ïîâåðõíîñòü ìåòàëëà; À — ðàáîòà âûõîäà ýëåêòðîíà èç ñåðåáðà (ñì. òàáëèöó Ï.9); Wmax — ìàêñèìàëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ôîòîýëåêòðîíà. Ìàêñèìàëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà ìîæåò áûòü âûðàæåíà ïî êëàññè÷åñêîé ôîðìóëå: Wmax = 2 m0 v max , 2 (2) ãäå m0 — ìàññà ïîêîÿ ýëåêòðîíà. Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (1) ýíåðãèþ êâàíòà èçëó÷åíèÿ, îïðåäåëåííóþ ÷åðåç ñêîðîñòü ñâåòà c è äëèíó âîëíû l, à òàêæå âûðàæåíèå (2) äëÿ ìàêñèìàëüíîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ôîòîýëåêòðîíà. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì: ö æ hc 2çç - A÷÷÷ çè l ø÷ . (3) v max = m0 Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé â ôîðìóëó (3) ïðîèçâîäèì âû÷èñëåíèÿ è äëÿ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè ôîòîýëåêòðîíîâ íàõîäèì çíà÷åíèå ö æ 6, 63 × 10 -34 × 3 × 10 8 -18 ÷ ÷÷ 2ççç 0 75 10 , × çè 155 × 10 -9 ø÷÷ = 1,08 × 10 6 ì/ñ. v max = 9,1 × 10 -31 310 ¹ 9. Ýëåêòðîí â àòîìå âîäîðîäà ïåðåøåë ñ ÷åòâåðòîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ íà âòîðîé. Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ èñïóùåííîãî ïðè ýòîì ôîòîíà. Ðåøåíèå Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ôîòîíà âîñïîëüçóåìñÿ ñåðèàëüíîé ôîðìóëîé äëÿ âîäîðîäîïîäîáíûõ èîíîâ: æ1 1 1 ö÷ = RZ 2 ççç 2 - 2 ÷÷, çè n1 l n 2 ÷ø (1) ãäå l — äëèíà âîëíû ôîòîíà; R — ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà; Z — çàðÿä ÿäðà â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ (ïðè Z = 1 ôîðìóëà ïåðåõîäèò â ñåðèàëüíóþ ôîðìóëó äëÿ âîäîðîäà); n1 — íîìåð îðáèòû, íà êîòîðóþ ïåðåøåë ýëåêòðîí; n2 — íîìåð îðáèòû, ñ êîòîðîé ïåðåøåë ýëåêòðîí (n1 è n2 — ãëàâíûå êâàíòîâûå ÷èñëà). Ýíåðãèÿ ôîòîíà W âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé W = hc/l. Ïîýòîìó, óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1) íà hc, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ôîòîíà: æ1 1 ö÷ W = RhcZ 2 ççç 2 - 2 ÷÷. çè n1 n 2 ÷ø Òàê êàê âåëè÷èíà Rhc åñòü ýíåðãèÿ èîíèçàöèè Wi àòîìà âîäîðîäà, òî æ1 1 ö÷ W = Wi Z 2 ççç 2 - 2 ÷÷. çè n1 n 2 ÷ø Âû÷èñëåíèÿ âûïîëíèì âî âíåñèñòåìíûõ åäèíèöàõ: Wi = 13,6 ýÂ; Z = 1 (çàðÿä ÿäðà àòîìà âîäîðîäà â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ, ãäå çà åäèíèöó çàðÿäà ïðèíÿòî àáñîëþòíîå çíà÷åíèå çàðÿäà ýëåêòðîíà); n1 = 2; n2 = 4. æ1 1ö 3 W = 13, 6 × 1 2 çç 2 - 2 ÷÷÷ = 13, 6 = 2,55 ýÂ. çè 2 16 4 ÷ø ¹ 10. Âû÷èñëèòü äåôåêò ìàññû è ýíåðãèþ ñâÿçè ÿäðà ëèòèÿ 73 Li. Ðåøåíèå Ìàññà ÿäðà âñåãäà ìåíüøå ñóììû ìàññ ñâîáîäíûõ (íàõîäÿùèõñÿ âíå ÿäðà) ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ, èç êîòîðûõ ÿäðî îáðàçîâàëîñü. Äåôåêò ìàñ311 ñû ÿäðà Dm è åñòü ðàçíîñòü ìåæäó ñóììîé ìàññ ñâîáîäíûõ íóêëîíîâ (ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ) è ìàññîé ÿäðà, ò. å. Dm = Zm p + ( A - Z )mn - m, (1) ãäå Z — àòîìíûé íîìåð (÷èñëî ïðîòîíîâ â ÿäðå); À — ìàññîâîå ÷èñëî (÷èñëî íóêëîíîâ â ÿäðå); mð, mn, m — ñîîòâåòñòâåííî ìàññû ïðîòîíà, íåéòðîíà è ÿäðà.  ñïðàâî÷íûõ òàáëèöàõ âñåãäà äàþòñÿ ìàññû íåéòðàëüíûõ àòîìîâ, íî íå ÿäåð, ïîýòîìó ôîðìóëó (1) öåëåñîîáðàçíî ïðåîáðàçîâàòü òàê, ÷òîáû â íåå âõîäèëà ìàññà Ì íåéòðàëüíîãî àòîìà. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìàññà íåéòðàëüíîãî àòîìà ðàâíà ñóììå ìàññ ÿäðà è ýëåêòðîíîâ, ñîñòàâëÿþùèõ íåéòðàëüíóþ îáîëî÷êó àòîìà: Ì = m + Zme, îòêóäà m = Ì – Zme. Âûðàçèâ â ðàâåíñòâå (1) ìàññó ÿäðà ïî ïîñëåäíåé ôîðìóëå, ïîëó÷èì Dm = Zmp + (A – Z) mn – M + Zme, èëè Dm = Z(mp + me) + (A – Z) mn – M. Çàìå÷àÿ, ÷òî må + mp = MH, ãäå MH — ìàññà àòîìà âîäîðîäà, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì: Dm = ZM H + ( A - Z )mn - M . (2) Ïîäñòàâèâ â âûðàæåíèå (2) ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ìàññ (èç ñïðàâî÷íûõ òàáëèö (ñì. ïðèëîæåíèå)), ïîëó÷èì: Dm = [3 × 1, 00783 + (7 - 3)1, 00867 - 7 × 0,1601] = 0, 04216 à. å. ì. Ýíåðãèåé ñâÿçè DW ÿäðà íàçûâàåòñÿ ýíåðãèÿ, êîòîðàÿ â òîé èëè èíîé ôîðìå âûäåëÿåòñÿ ïðè îáðàçîâàíèè ÿäðà èç ñâîáîäíûõ íóêëîíîâ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìàññû è ýíåðãèè W = ñ2Dm, (3) èëè ñ2 = W/Dm = 9 · 1016 Äæ/êã. Åñëè âû÷èñëèòü ýíåðãèþ ñâÿçè, ïîëüçóÿñü âíåñèñòåìíûìè åäèíèöàìè, òî ñ2 = 931 ÌýÂ/à. å. ì. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ôîðìóëà (3) ïðèìåò âèä W = 931 Dm. (4) Ïîäñòàâèâ ðàíåå íàéäåííîå çíà÷åíèå äåôåêòà ìàññû ÿäðà â ôîðìóëó (4), ïîëó÷èì: W = 931 · 0,04216 Ìý = 39,2 ÌýÂ. 312 ¹ 11. Ïðè ñîóäàðåíèè a-÷àñòèöû ñ ÿäðîì áîðà 105 B ïðîèçîøëà ÿäåðíàÿ ðåàêöèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé îáðàçîâàëîñü äâà íîâûõ ÿäðà. Îäíî èç íèõ — ÿäðî àòîìà âîäîðîäà 11 H. Îïðåäåëèòü ïîðÿäêîâûé íîìåð è ìàññîâîå ÷èñëî âòîðîãî ÿäðà, äàòü ñèìâîëè÷åñêóþ çàïèñü ÿäåðíîé ðåàêöèè è îïðåäåëèòü åå ýíåðãåòè÷åñêèé ýôôåêò. Ðåøåíèå Îáîçíà÷èì íåèçâåñòíîå ÿäðî ñèìâîëîì AZ X. Òàê êàê a-÷àñòèöà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÿäðî ãåëèÿ 42 He, çàïèñü ðåàêöèè èìååò âèä 4 10 1 A 2 He + 5 B ® 1 H + Z X. Ïðèìåíèâ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà íóêëîíîâ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå 4 + 10 = 1 + À, îòêóäà À = 13. Ïðèìåíèâ çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà, ïîëó÷èì óðàâíåíèå 2 + 5 = 1 + Z, îòêóäà Z = 6. Ñëåäîâàòåëüíî, íåèçâåñòíîå ÿäðî ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì èçîòîïà àòîìà óãëåðîäà 136 C. Ýíåðãåòè÷åñêèé ýôôåêò Q ÿäåðíîé ðåàêöèè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Q = 931[(mHe + mB) – (mH + mC)]. Çäåñü â ïåðâûõ êðóãëûõ ñêîáêàõ óêàçàíû ìàññû èñõîäíûõ ÿäåð, âî âòîðûõ ñêîáêàõ — ìàññû ÿäåð — ïðîäóêòîâ ðåàêöèè. Ïðè ÷èñëîâûõ ïîäñ÷åòàõ ïî ýòîé ôîðìóëå ìàññû ÿäåð çàìåíÿþò ìàññàìè íåéòðàëüíûõ àòîìîâ. Âîçìîæíîñòü òàêîé çàìåíû âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé. ×èñëî ýëåêòðîíîâ â ýëåêòðîííîé îáîëî÷êå íåéòðàëüíîãî àòîìà ðàâíî åãî çàðÿäîâîìó ÷èñëó Z. Ñóììà çàðÿäîâûõ ÷èñåë èñõîäíûõ ÿäåð ðàâíà ñóììå çàðÿäîâûõ ÷èñåë ÿäåð — ïðîäóêòîâ ðåàêöèè. Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåêòðîííûå îáîëî÷êè ÿäåð ãåëèÿ è áîðà ñîäåðæàò âìåñòå ñòîëüêî æå ýëåêòðîíîâ, ñêîëüêî èõ ñîäåðæàò ýëåêòðîííûå îáîëî÷êè ÿäåð óãëåðîäà è âîäîðîäà. Ïðè âû÷èòàíèè ñóììû ìàññ íåéòðàëüíûõ àòîìîâ óãëåðîäà è âîäîðîäà èç ñóììû ìàññ àòîìîâ ãåëèÿ è áîðà ìàññû ýëåêòðîíîâ âûïàäóò è ìû ïîëó÷èì òîò æå ðåçóëüòàò, êàê åñëè áû áðàëè ìàññû ÿäåð. Ïîäñòàâèì ìàññû àòîìîâ, âçÿòûå èç ñïðàâî÷íîé òàáëèöû, â ðàñ÷åòíóþ ôîðìóëó: Q = 931[(4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335)] = 4,06 ÌýÂ. ¹ 12. Îïðåäåëèòü íà÷àëüíóþ àêòèâíîñòü ðàäèîàêòèâíîãî ïðåïàðàòà ìàãíèÿ 27Mg ìàññîé m = 0,2 ìêã, à òàêæå åãî àêòèâíîñòü À ÷åðåç âðåìÿ t = 6 ÷. Ïåðèîä ïîëóðàñïàäà T1/2 ìàãíèÿ ñ÷èòàòü èçâåñòíûì. 313 Ðåøåíèå Àêòèâíîñòü À èçîòîïà õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà è ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó ÿäåð, ðàñïàäàþùèõñÿ â åäèíèöó âðåìåíè: A = -dN dt, ãäå dN — ÷èñëî ÿäåð, ðàñïàâøèõñÿ çà âðåìÿ dt. Ñîãëàñíî îñíîâíîìó çàêîíó ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà - dN dt = lN , ãäå l — ïîñòîÿííàÿ ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà. Òàê êàê N = N 0 e - lt , ãäå N0 — ÷èñëî íå ðàñïàâøèõñÿ ÿäåð â ìîìåíò âðåìåíè, ïðèíÿòûé çà íà÷àëüíûé, òî A = lN 0 e - lt . Íà÷àëüíàÿ àêòèâíîñòü ïðè t = 0 À0 = lN0. (1) Ïîýòîìó çàêîí èçìåíåíèÿ àêòèâíîñòè ñî âðåìåíåì âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé A = A 0 e - lt . (2) Íà÷àëüíóþ àêòèâíîñòü îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå (1). Âõîäÿùàÿ â ýòó ôîðìóëó ïîñòîÿííàÿ ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà l ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ïåðèîä ïîëóðàñïàäà ñîîòíîøåíèåì l = ln 2/T1/2 = 0,693/T1/2. Äëÿ 27Mg ïåðèîä ïîëóðàñïàäà T1/2 = 10 ìèí = 600 ñ. Ñëåäîâàòåëüíî, l = 0,693/600 ñ–1 = 1,15 · 10–3 ñ–1. ×èñëî ðàäèîàêòèâíûõ àòîìîâ N0, ñîäåðæàùèõñÿ â èçîòîïå, ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëà Àâîãàäðî NA íà êîëè÷åñòâî âåùåñòâà n äàííîãî èçîm òîïà: N 0 = nN A = N A , ãäå m — ìàññà èçîòîïà; m — ìîëÿðíàÿ ìàññà. m Âûðàçèâ â ýòîé ôîðìóëå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí â ñèñòåìå Ñè, ïîëó÷èì: N0 = 0, 2 × 10 -9 × 6, 02 × 10 23 = 4,46 · 1015 ÿäåð. -3 27 × 10 Âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå (1) íà÷àëüíóþ àêòèâíîñòü èçîòîïà: À0 = lN0 = 1,15 · 10–3 · 4,46 · 1015 = 5,13 · 1012 Áê. Àêòèâíîñòü ÷åðåç 6 ÷ (6 ÷ = 2,16 · 10 4 ñ) ïîëó÷èì ïî ôîðìóëå (2): -3 A = A0 e - lt = 5,13 × 10 12 × e -1, 5×10 314 ×2 ,16×10 4 = 81, 3 Áê. 6.2. Òðåíèðîâî÷íûå çàäà÷è 1. Ëó÷ ïàäàåò íà ïîâåðõíîñòü âîäû (n = 1,33) ïîä óãëîì 40°. Ïîä êàêèì óãëîì äîëæåí óïàñòü ëó÷ íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà (n = 1,5), ÷òîáû óãîë ïðåëîìëåíèÿ îêàçàëñÿ òàêèì æå? (Îòâåò: 46,5°.) 2. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì 30 ñì íàäî ïîñòàâèòü ýêðàí, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷åòêîå èçîáðàæåíèå ñâå÷è? Ðàññòîÿíèå îò ñâå÷è äî ëèíçû ðàâíî 40 ñì. (Îòâåò: 1,2 ì.) 3. Íà ìûëüíóþ ïëåíêó ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n = 1,33 ïàäàåò ïî íîðìàëè ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 0,6 ìêì. Îòðàæåííûé ñâåò â ðåçóëüòàòå èíòåðôåðåíöèè èìååò íàèáîëüøóþ ÿðêîñòü. Êàêîâà âîçìîæíàÿ íàèìåíüøàÿ òîëùèíà dmin ïëåíêè? (Îòâåò: 0,113 ìêì.) 4. Äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà, îñâåùåííàÿ íîðìàëüíî ïàäàþùèì ìîíîõðîìàòè÷åñêèì ñâåòîì, îòêëîíÿåò ñïåêòð òðåòüåãî ïîðÿäêà íà óãîë j1 = 30°. Íà êàêîé óãîë j2 îòêëîíÿåò îíà ñïåêòð ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà? (Îòâåò: 41°50¢.) 5. Óãîë ïðåëîìëåíèÿ ëó÷à â æèäêîñòè b = 35°. Îïðåäåëèòü ïîêàçàòåëü n ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îòðàæåííûé ëó÷ ìàêñèìàëüíî ïîëÿðèçîâàí. (Îòâåò: 1,43.) 6. Íà ñêîëüêî óìåíüøàåòñÿ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ïðèçìó Íèêîëÿ, åñëè ïîòåðè ñâåòà ñîñòàâëÿþò 10 %? (Îòâåò: 55 %.) 7. Äëèíà âîëíû, íà êîòîðóþ ïðèõîäèòñÿ ìàêñèìóì ýíåðãèè èçëó÷åíèÿ àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà, l0 = 0,6 ìêì. Îïðåäåëèòü òåìïåðàòóðó Ò òåëà. (Îòâåò: 4820 Ê.) 8. Íà ïëàñòèíó ïàäàåò ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ñâåò (l = 0,42 ìêì). Ôîòîòîê ïðåêðàùàåòñÿ ïðè çàäåðæèâàþùåé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U = 0,95 Â. Îïðåäåëèòü ðàáîòó À âûõîäà ýëåêòðîíîâ ñ ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû. (Îòâåò: 2 ýÂ.) 9. Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ e ôîòîíà, èñïóñêàåìîãî ïðè ïåðåõîäå ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà ñ òðåòüåãî ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ íà îñíîâíîé óðîâåíü. (Îòâåò: 12,1 ýÂ.) 10. Âû÷èñëèòü ýíåðãèþ ñâÿçè Wñâ ÿäðà äåéòåðèÿ 12 H è òðèòèÿ 13 H. (Îòâåò: 2,22 ÌýÂ; 8,47 ÌýÂ). 11. Âû÷èñëèòü ýíåðãåòè÷åñêèé ýôôåêò Q ðåàêöèè 9 4 12 1 4 Be + 2 He ® 6 C + 0 n (Îòâåò: 5,71 ÌýÂ.) 12. Îïðåäåëèòü ÷èñëî N àòîìîâ ðàäèîàêòèâíîãî ïðåïàðàòà éîäà 131 53 I ìàññîé m = 0,5 ìêã, ðàñïàâøèõñÿ â òå÷åíèå âðåìåíè: 1) t1 = 1 ìèí; 2) t2 = 7 ñóò. (Îòâåò: 1,38 · 10 11; 1,04 · 1015.) 315 7. ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ ÍÎÌÅÐ ÇÀÄÀ×È ÍÎÌÅÐ ÂÀÐÈÀÍÒÀ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 134 144 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149 0. Àâòîìîáèëü ïðîåõàë ïåðâóþ ïîëîâèíó ïóòè ñî ñêîðîñòüþ 36 êì/÷, à âòîðóþ — ñî ñêîðîñòüþ 15 ì/ñ. Íàéòè ñðåäíþþ ñòîèìîñòü ïîåçäêè, åñëè àâòîìîáèëü íàõîäèëñÿ â ïóòè 2 ÷. Ñðåäíèé ðàñõîä áåíçèíà — 10 ë íà 100 êì ïóòè. Ñòîèìîñòü 1 ë. áåíçèíà ïðèíÿòü ðàâíîé 23 ðóá. 1. Ìîòîöèêë äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 6 ì. Çàêîí åãî äâèæåíèÿ âûðàæàåòñÿ óðàâíåíèåì S = A + Bt2, ãäå À = 4 ì,  = 3 ì/ñ2. Íàéòè ìîìåíò âðåìåíè t, êîãäà íîðìàëüíîå óñêîðåíèå ìîòîöèêëà àn = 6 ì/ñ2. 2. Ìÿ÷ áðîñèëè ñî ñêîðîñòüþ 10 ì/ñ ïîä óãëîì 40° ê ãîðèçîíòó. Îïðåäåëèòü, íà êàêóþ âûñîòó ïîäíèìåòñÿ ìÿ÷. 3. Ïîåçä ïåðâóþ ïîëîâèíó ïóòè øåë ñî ñêîðîñòüþ, â 1,5 ðàçà áîëüøåé, ÷åì âòîðóþ ïîëîâèíó ïóòè. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ïîåçäà 54 êì/÷. Íà ñêîëüêî ñêîðîñòü ïîåçäà íà ïåðâîé ïîëîâèíå ïóòè áîëüøå, ÷åì íà âòîðîé? 4. Ñ êàêèì ìèíèìàëüíûì ïî ìîäóëþ óñêîðåíèåì äîëæåí äâèãàòüñÿ àâòîìîáèëü äëÿ îñòàíîâêè ïåðåä ïåðåêðåñòêîì, åñëè åãî ñêîðîñòü â íà÷àëå òîðìîæåíèÿ 72 êì/÷, à ðàññòîÿíèå äî ïåðåêðåñòêà 50 ì? 316 5. Ïóëÿ âûïóùåíà ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 = 200 ì/ñ ïîä óãëîì a = 60° ê ïëîñêîñòè ãîðèçîíòà. Îïðåäåëèòü äàëüíîñòü ïîëåòà ïóëè S. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. 6. Òðè ÷åòâåðòè ñâîåãî ïóòè àâòîìîáèëü ïðîøåë ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷, à îñòàëüíóþ ÷àñòü ïóòè — ñî ñêîðîñòüþ 80 êì/÷. Íàéòè ñðåäíþþ ñòîèìîñòü ïîåçäêè, åñëè àâòîìîáèëü íàõîäèëñÿ â ïóòè 2 ÷. Ñðåäíèé ðàñõîä áåíçèíà 10 ë íà 100 êì ïóòè. Ñòîèìîñòü 1 ë áåíçèíà ïðèíÿòü ðàâíîé 23 ðóá. 7. Êàêóþ ñêîðîñòü ïðèîáðåòàåò íà ïóòè 200 ì ïîåçä, íà÷èíàþùèé ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîóñêîðåííîå äâèæåíèå ñ óñêîðåíèåì 1 ì/ñ2? 8. Ïåðâûé ðàç òåëî áðîøåíî ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó, âòîðîé — ïîä óãëîì 60° ê ãîðèçîíòó ñ òàêîé æå ñêîðîñòüþ.  êàêîì ñëó÷àå äàëüíîñòü ïîëåòà áîëüøå? 9. Êàññîâàÿ ìàøèíà äëÿ ïîäñ÷åòà êóïþð ïðîòÿãèâàåò êóïþðû ñ ïîìîùüþ âðàùàþùåãîñÿ âàëà äèàìåòðîì 5 ñì ñ ÷àñòîòîé âðàùåíèÿ 500 îá/ìèí. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ âûëåòàþò êóïþðû èç ìàøèíû? 10. Îïðåäåëèòü, âûäåðæèò ëè òðîñ ëèôòà ïîäúåì ãðóçà ìàññîé 70 êã ñ óñêîðåíèåì 4 ì/ñ2, åñëè òðîñ ðàññ÷èòàí íà ìàêñèìàëüíóþ íàãðóçêó â Pmax = 1000 Í. 11. Âàãîí ìàññîé 20 ò ïåðåìåùàþò íà ðàññòîÿíèå 1 êì. Êàêîâà ñòîèìîñòü ïåðåìåùåíèÿ âàãîíà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âàãîí äâèãàëñÿ ðàâíîìåðíî? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ïðèíÿòü ðàâíûì 0,2. Öåíà 1 êÂò·÷ ýíåðãèè ðàâíà 2 ðóá. 12. Ãðóç âåñîì 9,8 êÍ ïîäíèìàþò íà òðîñå, êîòîðûé âûäåðæèâàåò íàãðóçêó 19,6 êÍ. Íà êàêîé ìàêñèìàëüíûé óãîë a îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìîæíî äîïóñòèòü îòêëîíåíèå ãðóçà ïîðûâîì âåòðà, ÷òîáû ïðè ïîñëåäóþùèõ êîëåáàíèÿõ òðîñ íå îáîðâàëñÿ (ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðè êîëåáàíèÿõ ãðóçà ïðåíåáðå÷ü)? 13.rËèôò îïóñêàåòñÿ âíèç ñ óñêîðåíèåì 2 ì/ñ2. Îïðåäåëèòü, ñ êàêîé ñèëîé P (âåñ òåëà) áóäåò äàâèòü íà ïîë ëèôòà ÷åëîâåê ìàññîé 80 êã. 14. Âû÷èñëèòü ñòîèìîñòü ðàáîòû, ñîâåðøàåìîé ïðè ðàâíîóñêîðåííîì ïîäúåìå ãðóçà ìàññîé 100 êã íà âûñîòó 4 ì çà 2 ñ. Öåíà 1 êÂò·÷ ýíåðãèè ðàâíà 2 ðóá. 15. Åìêîñòü ñ öåìåíòíûì ðàñòâîðîì ìàññîé 100 êã ïîäâåøåíà íà âåðåâêå, âûäåðæèâàþùåé ñèëó íàòÿæåíèÿ 1,1 êÍ. Íà êàêîé ìàêñèìàëüíûé óãîë a îò âåðòèêàëè ìîæíî äîïóñòèòü îòêëîíåíèå åìêîñòè, ÷òîáû ïðè ïðîõîæäåíèè åé ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âåðåâêà íå îáîðâàëàñü? 317 16.  ïîäúåìíèêå, ïîäíèìàþùåìñÿ ñ óñêîðåíèåì 1 ì/ñ2, íàõîäèòñÿ ðàáî÷èé ìàññîé 80 êã. Îïðåäåëèòü çàïàñ ïðî÷íîñòè òðîñà ïîäúåìíèêà, åñëè ìàêñèìàëüíàÿ íàãðóçêà, íà êîòîðóþ îí ðàññ÷èòàí, ðàâíà 2000 Í. 17. Àâòîìîáèëü ìàññîé 2 ò äâèæåòñÿ â ãîðó ñ óñêîðåíèåì 0,3 ì/ñ2. Íàéòè ðàáîòó ñèëû òÿãè äâèãàòåëÿ ïðè ïîäúåìå àâòîìîáèëÿ íà âûñîòó 30 ì, åñëè óêëîí ãîðû ðàâåí 20°, à êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ 0,02. 18. Îïðåäåëèòü ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå òîðìîçíîãî ïóòè àâòîìîáèëÿ, íà÷àâøåãî òîðìîæåíèå íà ãîðèçîíòàëüíîì ó÷àñòêå øîññå ïðè ñêîðîñòè äâèæåíèÿ 80 êì/÷. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ðàâåí 0,5. 19. Àâòîìîáèëü ìàññîé 1,5 ò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 100 êì/÷ ïî âûïóêëîìó ìîñòó. Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ ÿâëÿåòñÿ äóãîé îêðóæíîñòè ðàäèóñîì 100 ì. Ñ êàêîé ñèëîé äàâèò àâòîìîáèëü íà ìîñò â åãî âåðõíåé òî÷êå? 20. Æåëåçíîäîðîæíàÿ ïëàòôîðìà ñ óñòàíîâëåííûì íà íåé îðóäèåì äâèæåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v0 = 2 ì/ñ. Ìàññà ïëàòôîðìû âìåñòå ñ îðóäèåì Ì = 1 · 104 êã. Èç îðóäèÿ âûïóñêàåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî ñíàðÿä ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ ïëàòôîðìû ñî ñêîðîñòüþ u1 = 800 ì/ñ. Ìàññà ñíàðÿäà m = 20 êã. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ u2 áóäåò äâèãàòüñÿ ïëàòôîðìà ïîñëå âûñòðåëà? 21. Êîëåñî àâòîìîáèëÿ ðàäèóñîì 0,3 ì, èìåþùåå ìàññó 20 êã, áûëî ðàñêðó÷åíî äî ÷àñòîòû âðàùåíèÿ 1 îá/ñ è ïðåäîñòàâëåíî ñàìîìó ñåáå. Ïîä äåéñòâèåì òðåíèÿ êîëåñî îñòàíîâèëîñü ÷åðåç 90 ñ. Îïðåäåëèòü ðàáîòó ñèë òðåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà êîëåñî. 22. Äåâî÷êà ìàññîé m = 30 êã êà÷àåòñÿ íà âåðåâî÷íîé êà÷åëè ñ ïåðèîäîì Ò = 1 ñ. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êà÷àþùåéñÿ äåâî÷êè W = 450 Äæ. Íàéòè ìàêñèìàëüíîå ãîðèçîíòàëüíîå îòêëîíåíèå äåâî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñ÷èòàòü, ÷òî äåâî÷êà íà êà÷åëè ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ïî çàêîíó ñèíóñà ñ íà÷àëüíîé ôàçîé, ðàâíîé íóëþ. 23. Âîäà äâèæåòñÿ â òðóáå äèàìåòðîì d1 = 5 ñì ñî ñêîðîñòüþ v 1 = 50 ì ñ.  òðóáå èç-çà êîððîçèè îáðàçîâàëîñü îòâåðñòèå äèàìåòðîì d 2 = 5 ñì. Îïðåäåëèòü ñòîèìîñòü âîäû, âûòåêøåé èç îòâåðñòèÿ çà ñóòêè, åñëè öåíà 1 ì3 âîäû ðàâíà 16 ðóá. 24. Òåïëîâîç ìàññîé 130 ò ïðèáëèæàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 2 ì/ñ ê íåïîäâèæíîìó ñîñòàâó ìàññîé 1170 ò. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ áóäåò äâèãàòüñÿ ñîñòàâ ïîñëå ñöåïëåíèÿ ñ òåïëîâîçîì? 25. Àâòîìîáèëüíîìó êîëåñó, íàõîäÿùåìóñÿ â ïîêîå, ñîîáùèëè óãëîâóþ ñêîðîñòü w = 62,8 ðàä/ñ. Ïîä äåéñòâèåì ñèë òðåíèÿ êîëåñî îñòàíî318 âèëîñü, ñäåëàâ äî ïîëíîé îñòàíîâêè 300 îáîðîòîâ. Îïðåäåëèòü ðàáîòó ñèë òðåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà êîëåñî, åñëè ìàññà êîëåñà 15 êã, åãî äèàìåòð 50 ñì. 26. Òî÷êà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñîãëàñíî çàêîíó õ = 10 cospt. Íàéòè ìîìåíò âðåìåíè (áëèæàéøèé ê íà÷àëó îòñ÷åòà), â êîòîðûé ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òî÷êè Wï = 10–3 Äæ, à âîçâðàùàþùàÿ ñèëà F = 2 · 10–4 Í. 27. Ýêîíîìè÷åñêèé óùåðá ïðè ïîëíîì ðàçðûâå òðóáû ìàãèñòðàëüíîãî âîäîïðîâîäà ñîñòàâèë 100 òûñ. ðóá., èç êîòîðûõ 40 % ñîñòàâëÿåò ñòîèìîñòü âûòåêøåé âîäû. Èçâåñòíî, ÷òî äèàìåòð òðóáû ðàâåí 40 ñì, à ñêîðîñòü âûòåêàíèÿ âîäû èç òðóáû 5 ì/ñ, îïðåäåëèòü âðåìÿ ëèêâèäàöèè óòå÷êè âîäû. Ïîòîê âîäû ñ÷èòàòü óñòàíîâèâøèìñÿ. Ñòîèìîñòü îäíîãî êóáîìåòðà âîäû ïðèíÿòü ðàâíîé 10 ðóá. 28.  êîíòåéíåð ìàññîé 800 êã, êàòÿùèéñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ïóòè ñî ñêîðîñòüþ 0,2 ì/ñ, íàñûïàëè ñâåðõó 200 êã ùåáíÿ. Íà ñêîëüêî óìåíüøèëàñü ñêîðîñòü êîíòåéíåðà? 29. Ñòîèìîñòü âîäû, âûòåêøåé èç êðàíà äèàìåòðîì d1 = 1,5 ñì, ðàâíà 20 ðóá. Êðàí âðåçàí â òðóáó äèàìåòðîì d1 = 2,5 ñì. Âîäà äâèæåòñÿ â òðóáå ñî ñêîðîñòüþ v 1 = 1 ì ñ. Îïðåäåëèòü âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî áûë îòêðûò êðàí, åñëè öåíà 1 ì3 âîäû ðàâíà 16 ðóá. 30. Îïðåäåëèòü ÷èñëî N ìîëåêóë, ñîäåðæàùèõñÿ â 0,5 ë ýòèëîâîãî ñïèðòà (C2H5OH). Ñ÷èòàÿ óñëîâíî, ÷òî ìîëåêóëû ñïèðòà èìåþò âèä øàðèêîâ, ïëîòíî ñîïðèêàñàþùèõñÿ äðóã ñ äðóãîì, íàéòè äèàìåòð d ìîëåêóëû. 31.  áàëëîíå îáúåìîì V = 20 ë íàõîäèòñÿ ìîëåêóëÿðíûé âîäîðîä ïîä äàâëåíèåì ð1 = 1 ÌÏà, ïðè òåìïåðàòóðå Ò1 = 300 Ê. Èç áàëëîíà èñïîëüçîâàíî Dò = 6 ã ãàçà, ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà â áàëëîíå ïîíèçèëàñü äî Ò2 = 273 Ê. Îïðåäåëèòü äàâëåíèå ð2 âîäîðîäà, îñòàâøåãîñÿ â áàëëîíå. 32. Êèñëîðîä ìàññîé ò = 0,8 êã çàíèìàåò åìêîñòü îáúåìîì V1 = 50 ë, ãäå íàõîäèòñÿ ïîä äàâëåíèåì p1 = 1 MÏà. Ãàç íàãðåâàþò ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè. Îáúåì ãàçà â ýòîì ïðîöåññå óâåëè÷èâàåòñÿ â ïîëòîðà ðàçà. Ñ÷èòàÿ êèñëîðîä èäåàëüíûì ãàçîì, íàéòè òåïëîòó Q, ïåðåäàííóþ êèñëîðîäó. 33. Íà þâåëèðíîå èçäåëèå, ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî 2 ñì2, íàíåñåí ñëîé ïëàòèíû òîëùèíîé 1 ìêì. Ñêîëüêî àòîìîâ ïëàòèíû ñîäåðæèòñÿ â ïîêðûòèè? 34.  ïðîìûøëåííîé åìêîñòè îáúåìîì 200 ë íàõîäèòñÿ ãåëèé ïðè äàâëåíèè 100 êÏà è òåìïåðàòóðå 290 Ê.  åìêîñòü äîáàâèëè ãåëèé, ïðè 319 ýòîì åãî äàâëåíèå ïîâûñèëîñü äî 300 êÏà, à òåìïåðàòóðà — äî 320 Ê. Íà ñêîëüêî óâåëè÷èëàñü ìàññà ãåëèÿ? 35. Ñòîèìîñòü ïîâûøåíèÿ òåìïåðàòóðû àçîòà â ïðîìûøëåííîé óñòàíîâêå íà 50 Ê ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ðàâíà 56 êîï. Êàêîâà ñòîèìîñòü òåïëîâîé ýíåðãèè, êîòîðóþ îòäàñò ãàç, åñëè åãî îõëàäèòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå íà òå æå 50 Ê? Ìàññà àçîòà â ïðîìûøëåííîé óñòàíîâêå ðàâíà 20 êã. Öåíà 1 êÂò·÷ ýíåðãèè ðàâíà 2 ðóá. 36. Êàêîå äàâëåíèå íà ñòåíêè ñîñóäà îêàçûâàë áû èäåàëüíûé ãàç ñ êîíöåíòðàöèåé 100 ìëðä ìîëåêóë â ìì3 ïðè ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ìîëåêóë 1 êì/ñ è ìàññå ìîëåêóëû 3 · 10 –27 êã? 37. Îïðåäåëèòü ÷èñëî ìîëåêóë, ñîäåðæàùèõñÿ â 100 ìîëÿõ ðòóòè. Ñ÷èòàÿ óñëîâíî, ÷òî ìîëåêóëû ðòóòè èìåþò âèä øàðèêîâ, ïëîòíî ñîïðèêàñàþùèõñÿ äðóã ñ äðóãîì, íàéòè äèàìåòð d ìîëåêóëû. Ìîëÿðíàÿ ìàññà ðòóòè 0,2 êã/ìîëü. 38.  öèëèíäðå ïîä ëåãêî ïîäâèæíûì ïîðøíåì íàõîäèòñÿ ãàç ïðè äàâëåíèè 0,2 ÌÏà è òåìïåðàòóðå 27 °Ñ. Êàêîé ìàññû ãðóç íóæíî ïîëîæèòü íà ïîðøåíü ïîñëå íàãðåâàíèÿ ãàçà äî òåìïåðàòóðû 50 °Ñ, ÷òîáû îáúåì ãàçà â öèëèíäðå îñòàëñÿ íåèçìåííûì? Ïëîùàäü ïîðøíÿ 30 ñì 2. 39.  ïðîìûøëåííîé óñòàíîâêå êèñëîðîä íàãðåâàåòñÿ ïðè íåèçìåííîì äàâëåíèè ð = 80 êÏà. Åãî îáúåì óâåëè÷èâàåòñÿ îò V1 = 1 ì3 äî V2 = 3 ì3. Îïðåäåëèòü ñòîèìîñòü òàêîãî íàãðåâàíèÿ, åñëè öåíà 1 êÂò·÷ ïîòðà÷åííîé ýíåðãèè ðàâíà 2 ðóá. 40. Äëÿ ïðèíÿòèÿ âîäíûõ ïðîöåäóð â âàííó áûëî íàáðàíî 60 ë ãîðÿ÷åé âîäû ïðè òåìïåðàòóðå tâ = 90 °Ñ. Ñêîëüêî ëüäà, âçÿòîãî ïðè òåìïåðàòóðå të = –5 °Ñ, íàäî äîáàâèòü â âàííó, ÷òîáû òåìïåðàòóðà ñìåñè tñ = 50 °Ñ? 41. Òåìïåðàòóðà íàãðåâàòåëÿ èäåàëüíîé òåïëîâîé ìàøèíû Ò1 = 650 Ê. Îïðåäåëèòü òåìïåðàòóðó Ò2 îõëàäèòåëÿ òåïëîâîé ìàøèíû, åñëè çà ñ÷åò êàæäîãî êèëîäæîóëÿ òåïëîòû, ïîëó÷åííîé îò íàãðåâàòåëÿ, ìàøèíà ñîâåðøàåò ïîëåçíóþ ðàáîòó À = 400 Äæ. 42. Êàêîâà ñòîèìîñòü íàãðåâà 10 ë âîäû îò 20 °Ñ äî êèïåíèÿ â æåëåçíîé êàñòðþëå ìàññîé 1 êã, åñëè ñòîèìîñòü 1 êÂò·÷ ïîòðà÷åííîé ýíåðãèè ðàâíà 2 ðóá.? 43. Êàêîâà ñòîèìîñòü áåíçèíà, êîòîðûé ïîòðåáóåòñÿ àâòîìîáèëþ ñ ÊÏÄ 25 % äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàáîòû 40 ÌÄæ? Óäåëüíàÿ òåïëîòà ñãîðàíèÿ òîïëèâà 4,4 · 107 Äæ/êã, ïëîòíîñòü 800 êã/ì3. Öåíà îäíîãî ëèòðà ãîðþ÷åãî 22 ðóá. çà 1 ë. 44. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèëîñü ïðè îõëàæäåíèè ñòàëüíîé äåòàëè ìàññîé 32 êã, åñëè åå òåìïåðàòóðà èçìåíèëàñü îò 1115 äî 15 °Ñ? 320 45. Êàêîâ ÊÏÄ õîëîäèëüíèêà, åñëè äëÿ îõëàæäåíèÿ 2 ë âîäû îò 282,5 Ê äî òî÷êè çàìåðçàíèÿ ïîòðåáîâàëîñü èñïàðèòü 73 ã ôðåîíà? Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ ôðåîíà 1,68 ÌÄæ/êã. 46. Êàêîâà ñòîèìîñòü ïëàâëåíèÿ è ïîñëåäóþùåãî íàãðåâà äî 20 °Ñ 5 êã ëüäà, âçÿòîãî ïðè òåìïåðàòóðå –1 °Ñ, åñëè ñòîèìîñòü 1 êÂò·÷ ïîòðà÷åííîé ýíåðãèè ðàâíà 2 ðóá.? 47. Ñóäíî íà ïîäâîäíûõ êðûëüÿõ ðàçâèâàåò ìîùíîñòü 1500 êÂò. Ðàñõîä òîïëèâà íà 1 êì ïóòè ñîñòàâëÿåò 5 êã ïðè ñêîðîñòè ñóäíà 72 êì/÷. Óäåëüíàÿ òåïëîòà ñãîðàíèÿ òîïëèâà 50 ÌÄæ/êã. Êàêîâ ÊÏÄ äâèãàòåëÿ? 48. Ñêîëüêî âðåìåíè ðàáîòàë äâèãàòåëü ìîòîöèêëà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñãîðåëî 0,25 êã áåíçèíà ñ óäåëüíîé òåïëîòîé ñãîðàíèÿ 46 · 106 Äæ/êã? ÊÏÄ äâèãàòåëÿ 20 %, åãî ìîùíîñòü 6400 Âò. 49. ÊÏÄ äâèãàòåëÿ 25 %. Çà 1 ÷ ðàáîòû äâèãàòåëÿ ñãîðåëî 2 ë áåíçèíà. Óäåëüíàÿ òåïëîòà ñãîðàíèÿ áåíçèíà 46 · 106 Äæ/êã, åãî ïëîòíîñòü 800 êã/ì3. Êàêóþ ìîùíîñòü ðàçâèâàåò äâèãàòåëü? 50. ×åòûðå òî÷å÷íûõ çàðÿäà q1 = q2 = q3 = q4 = 1 íÊë ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ êâàäðàòà. Êàêîé çàðÿä q íóæíî ïîìåñòèòü â öåíòðå êâàäðàòà, ÷òîáû óêàçàííàÿ ñèñòåìà çàðÿäîâ íàõîäèëàñü â ðàâíîâåñèè? 51. Äâà òî÷å÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäà q1 = 2 íÊë è q2 = –1 íÊë íàõîäÿòñÿ â âîçäóõå íà ðàññòîÿíèè d = 5 ñì äðóã îò äðóãà. Îïðåäåëèòü íàr ïðÿæåííîñòü E ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýòèìè çàðÿäàìè â òî÷êå À, óäàëåííîé îò çàðÿäà q1 íà ðàññòîÿíèå r1 = 4 ñì è îò çàðÿäà q2 íà ðàññòîÿíèå r2 = 3 ñì. 52. Äâà òî÷å÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäà q1 = –2 íÊë è q2 = 1 íÊë íàõîäÿòñÿ â âîçäóõå íà ðàññòîÿíèè d = 10 ñì äðóã îò äðóãà. Îïðåäåëèòü ïîòåíöèàë ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýòèìè çàðÿäàìè â òî÷êå À, óäàëåííîé îò çàðÿäà q1 íà ðàññòîÿíèå r1 = 6 ñì è îò çàðÿäà q2 íà ðàññòîÿíèå r2 = 8 ñì. 53. Òî÷å÷íûé çàðÿä q = 10 íÊë íàõîäèòñÿ â ïîëå, ñîçäàííîì ïðÿìîé áåñêîíå÷íîé íèòüþ, ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîé ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ t = 0,2 íÊë/ñì. Îïðåäåëèòü ñèëó F, äåéñòâóþùóþ íà çàðÿä, åñëè åãî ðàññòîÿíèå îò íèòè r = 10 ñì. 54. Äâà øàðèêà ìàññîé m = 10 ã êàæäûé ïîäâåøåíû íà íèòÿõ, âåðõíèå êîíöû êîòîðûõ ñîåäèíåíû âìåñòå. Äëèíà êàæäîé íèòè l = 1 ì. Êàêèå îäèíàêîâûå çàðÿäû íàäî ñîîáùèòü øàðèêàì, ÷òîáû íèòè ðàçîøëèñü íà óãîë a = 30°? 55. Îäèíàêîâûå ïî ìîäóëþ, íî ðàçíûå ïî çíàêó çàðÿäû q1 è q2 íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 5 ñì äðóã îò äðóãà. Ìîäóëü âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýòèìè çàðÿäàìè â òî÷êå, îòñòîÿùåé 321 íà 3 ñì îò çàðÿäà q1 è íà 4 ñì îò çàðÿäà q2, E = 13,5 êÂ/ì. Îïðåäåëèòü âåëè÷èíû çàðÿäîâ q1 è q2. 56. Îäèíàêîâûå çàðÿäû q1 è q2 íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 10 ñì äðóã îò äðóãà. Ïîòåíöèàë ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýòèìè çàðÿäàìè â òî÷êå, îòñòîÿùåé íà 6 ñì îò çàðÿäà q1 è íà 8 ñì îò çàðÿäà q2, j = 657 Â. Îïðåäåëèòü âåëè÷èíû çàðÿäîâ q1 è q2. 57. Áåñêîíå÷íî äëèííàÿ ïðÿìàÿ òîíêàÿ ïðîâîëîêà èìååò ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûé çàðÿä. Âû÷èñëèòü ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü t çàðÿäà, åñëè íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ íà ðàññòîÿíèè d = 0,1 ì îò ïðîâîëîêè E = 1 Â/ì. 58. Òðè îäèíàêîâûõ òî÷å÷íûõ çàðÿäà ïî 20 íÊë ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Íà êàæäûé çàðÿä äåéñòâóåò ñèëà 10 ìÍ. Íàéòè äëèíó ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà. 59. Êàêîé óãîë ñ âåðòèêàëüþ ñîñòàâèò íèòü, íà êîòîðîé âèñèò øàðèê ìàññîé 25 ìã, åñëè ïîìåñòèòü øàðèê â ãîðèçîíòàëüíîå îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ 35 Â/ì, ñîîáùèâ åìó çàðÿä 7 ìêÊë? 60. Îïðåäåëèòü óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U, êîòîðóþ äîëæåí ïðîéòè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ïðîòîí, îáëàäàþùèé ñêîðîñòüþ v1 = 104 ì/ñ, ÷òîáû ñêîðîñòü åãî âîçðîñëà â n = 4 ðàçà. 61. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ1 = 1 ìêÔ áûë çàðÿæåí äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U1 = 10 Â. Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ îò èñòî÷íèêà òîêà êîíäåíñàòîð áûë ñîåäèíåí ïàðàëëåëüíî ñ äðóãèì íåçàðÿæåííûì êîíäåíñàòîðîì åìêîñòüþ Ñ2 = 6 ìêÔ. Êàêàÿ ýíåðãèÿ W èçðàñõîäóåòñÿ íà îáðàçîâàíèå èñêðû â ìîìåíò ïðèñîåäèíåíèÿ âòîðîãî êîíäåíñàòîðà? 62. Ýëåêòðîí ïðîøåë óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U = 200 Â. Êàêóþ ñêîðîñòü ïðèîáðåòàåò ïðè ýòîì ýëåêòðîí? 63. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ1 = 3 Ô çàðÿäèëè äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U = 2 ê è îòêëþ÷èëè îò èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ. Çàòåì ê êîíäåíñàòîðó ïðèñîåäèíèëè âòîðîé, íåçàðÿæåííûé êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ2 = 2 Ô. Êàêîâà ñòîèìîñòü ýíåðãèè, ïîòåðÿííîé ïðè ñîåäèíåíèè êîíäåíñàòîðîâ, åñëè öåíà ýëåêòðîýíåðãèè 2 ðóá. çà 1 êÂò·÷? 64. Ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ãîðèçîíòàëüíûìè ïëàñòèíàìè ñ ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ 0,7 ê íàõîäèòñÿ âî âçâåøåííîì ñîñòîÿíèè êàïåëüêà ìàñëà, ðàäèóñ êîòîðîé 1,5 ìêì. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè 0,4 ñì, ïëîòíîñòü ìàñëà 800 êã/ì3. Íàéòè çàðÿä êàïëè. 65. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 20 ìêÔ, çàðÿæåííûé äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ 100 Â, ñîåäèíèëè ïàðàëëåëüíî ñ çàðÿæåííûì äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ 40  êîíäåíñàòîðîì, åìêîñòü êîòîðîãî íåèçâåñòíà (ñîåäèíèëè 322 îäíîèìåííî çàðÿæåííûå îáêëàäêè êîíäåíñàòîðîâ). Íàéòè åìêîñòü âòîðîãî êîíäåíñàòîðà, åñëè ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðîâ ïîñëå ñîåäèíåíèÿ îêàçàëàñü ðàâíîé 80 Â. 66. Ïîòåíöèàëû äâóõ ïðîâîäíèêîâ îòíîñèòåëüíî Çåìëè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 24 Â è –8 Â. Êàêóþ ðàáîòó íóæíî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïåðåíåñòè çàðÿä +8 íÊë ñî âòîðîãî ïðîâîäíèêà íà ïåðâûé? 67. Êîíäåíñàòîð ýëåêòðîåìêîñòüþ Ñ1 = 0,6 ìêÔ áûë çàðÿæåí äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U1 = 300  è ñîåäèíåí ïàðàëëåëüíî ñî âòîðûì êîíäåíñàòîðîì ýëåêòðîåìêîñòüþ C2 = 0,4 ìêÔ, çàðÿæåííûì äî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U2 = 160 Â. Íàéòè çàðÿä, ïåðåòåêøèé ñ ïëàñòèí ïåðâîãî êîíäåíñàòîðà íà âòîðîé. 68.  îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàïðÿæåííîñòüþ Å = 200 Â/ì âëåòàåò âäîëü ñèëîâûõ ëèíèé ýëåêòðîí ñî ñêîðîñòüþ v0 = 2 · 106 ì/ñ. Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå l, êîòîðîå ïðîéäåò ýëåêòðîí äî òî÷êè, â êîòîðîé åãî ñêîðîñòü áóäåò ðàâíà ïîëîâèíå íà÷àëüíîé. 69. Äâà êîíäåíñàòîðà åìêîñòÿìè Ñ1 = 5 ìêÔ è Ñ2 = 8 ìêÔ ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî, è íà íèõ ïîäàíî îáùåå íàïðÿæåíèå 80 Â. Îïðåäåëèòü çàðÿäû q1 è q2 êîíäåíñàòîðîâ è ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U1 è U2 ìåæäó èõ îáêëàäêàìè. 70. Ñîïðîòèâëåíèå R1 = 5 Îì, âîëüòìåòð è èñòî÷íèê òîêà ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî. Âîëüòìåòð ïîêàçûâàåò íàïðÿæåíèå U1 = 10 Â. Åñëè çàìåíèòü ñîïðîòèâëåíèå R1 íà R2 = 12 Îì, òî âîëüòìåòð ïîêàæåò íàïðÿæåíèå U2 = 12 Â. Îïðåäåëèòü ÝÄÑ è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà òîêà. Òîêîì ÷åðåç âîëüòìåòð ïðåíåáðå÷ü. 71. ÝÄÑ àâòîìîáèëüíîãî àêêóìóëÿòîðà e = 12 Â, âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r = 5 Îì. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü àâòîìîáèëÿ ïîòðåáëÿåò ìîùíîñòü Ð = 100 Âò. Îïðåäåëèòü ñèëó òîêà I â öåïè. 72. Ñîãëàñíî èíñòðóêöèè ìàêñèìàëüíàÿ ìîùíîñòü, ïîòðåáëÿåìàÿ ñòèðàëüíîé ìàøèíîé, ñîñòàâëÿåò 2,2 êÂò. Íà êàêîé òîê äîëæíû áûòü ðàññ÷èòàíû ïðîâîäà áûòîâîé ýëåêòðè÷åñêîé ñåòè, åñëè íàïðÿæåíèå â íåé 220 Â. Îïðåäåëèòü ñòîèìîñòü îäíîé ñòèðêè ïðè ìàêñèìàëüíîé ìîùíîñòè, åñëè âðåìÿ öèêëà ñòèðêè 2 ÷, à öåíà 1 êÂò·÷ ýëåêòðîýíåðãèè ðàâíà 2 ðóá. 73.  ñåòü ñ íàïðÿæåíèåì U = 100  ïîäêëþ÷èëè êàòóøêó ñ ñîïðîòèâëåíèåì R1 = 2 êÎì è âîëüòìåòð, ñîåäèíåííûå ïîñëåäîâàòåëüíî. Ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà U1 = 80 Â. Êîãäà êàòóøêó çàìåíèëè äðóãîé, âîëüòìåòð ïîêàçàë U2 = 60 Â. Îïðåäåëèòü ñîïðîòèâëåíèå R2 äðóãîé êàòóøêè. 323 74. Ê áàòàðåéêå, èìåþùåé ÝÄÑ e = 1,5  è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r = 1 Îì, ïîäêëþ÷åíà ëàìïî÷êà ñ ñîïðîòèâëåíèåì R = 9 Îì. Íàéòè íàïðÿæåíèå íà ëàìïî÷êå. 75. Ïðîâîäà áûòîâîé ýëåêòðè÷åñêîé ñåòè ðàññ÷èòàíû íà ñèëó 10 À ïðè íàïðÿæåíèè 220 Â. Îïðåäåëèòü ñòîèìîñòü íàãðåâà âîäû â ýëåêòðè÷åñêîì ÷àéíèêå äî êèïåíèÿ, åñëè ÷àéíèê, ïîòðåáëÿÿ ìàêñèìàëüíóþ ìîùíîñòü, íàãðåâàåò âîäó çà 10 ìèí. Öåíó 1 êÂò·÷ ýëåêòðîýíåðãèè ïðèíÿòü ðàâíîé 2 ðóá. 76. Äâà ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðà ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè 40 è 10 Îì ïîäêëþ÷åíû ê èñòî÷íèêó òîêà ñ ÝÄÑ 10 Â. Òîê â öåïè 1 À. Íàéòè âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà. 77. Ñòîèìîñòü íàãðåâà âîäû â ýëåêòðè÷åñêîì ÷àéíèêå äî êèïåíèÿ 10 êîï. ×àéíèê âêëþ÷àåòñÿ â áûòîâóþ ýëåêòðè÷åñêóþ ñåòü ñ íàïðÿæåíèåì 220 Â. Îïðåäåëèòü ñîïðîòèâëåíèå íàãðåâàòåëüíîãî ýëåìåíòà ÷àéíèêà, åñëè âðåìÿ íàãðåâà ðàâíî 15 ìèí. Öåíó 1 êÂò·÷ ýëåêòðîýíåðãèè ïðèíÿòü ðàâíîé 2 ðóá. 78. Èñòî÷íèê òîêà ïèòàåò 100 ëàìï, ðàññ÷èòàííûõ íà íàïðÿæåíèå 220  è ñîåäèíåííûõ ïàðàëëåëüíî. Ñîïðîòèâëåíèå êàæäîé ëàìïû 1,2 êÎì, ñîïðîòèâëåíèå ïîäâîäÿùèõ ïðîâîäîâ 4 Îì, âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà 0,8 Îì. Êàêîé äîëæíà áûòü ÝÄÑ èñòî÷íèêà äëÿ òîãî, ÷òîáû ëàìïû ãîðåëè â ïîëíûé íàêàë? 79. Äëÿ ïîääåðæàíèÿ ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðû êîìíàòû èñïîëüçóåòñÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ ïå÷ü, ñîïðîòèâëåíèå íàãðåâàòåëüíîãî ýëåìåíòà êîòîðîé ðàâíî 300 Îì. Ïå÷ü âêëþ÷àåòñÿ â áûòîâóþ ñåòü ñ íàïðÿæåíèåì 220 Â. Îïðåäåëèòü ñòîèìîñòü òåïëà, ïîòåðÿííîãî êîìíàòîé çà ñóòêè, åñëè öåíà 1 êÂò·÷ ýëåêòðîýíåðãèè ðàâíà 2 ðóá. 80. Äâà èîíà ðàçíûõ ìàññ ñ îäèíàêîâûìè çàðÿäàìè âëåòåëè â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå è ñòàëè äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòÿì ðàäèóñàìè R1 = 3 ñì è R2 = 1,73 ñì. Îïðåäåëèòü îòíîøåíèå ìàññ èîíîâ, åñëè îíè ïðîøëè îäèíàêîâóþ óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. 81. Äâà áåñêîíå÷íî äëèííûõ ïðîâîäà, ïî êîòîðûì òåêóò â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ òîêè ñèëîé I = 60 À, ðàñïîëîæåíû íà ðàññòîÿíèè d = 15 ñì r äðóã îò äðóãà. Îïðåäåëèòü ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ B ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ïðîâîäíèêàìè â òî÷êå À, îòñòîÿùåé îò îñè îäíîãî ïðîâîäíèêà íà ðàññòîÿíèå r1 = 9 ñì, îò îñè äðóãîãî — íà ðàññòîÿíèå r2 = 12 ñì. 82. Ïî äâóì ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì ïðîâîäàì äëèíîé l = 1 ì êàæäûé, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè d = 10 ñì äðóã îò äðóãà, òåêóò îäèíàêî324 âûå òîêè. Ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîâîäíèêîâ F = 3 H. Âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ òîêîâ, òåêóùèõ ïî ïðîâîäàì. 83. Ýëåêòðîí, ïðîøåäøèé óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ U = 1 êÂ, âëåòåë â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå è íà÷àë äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 1 ñì. Îïðåäåëèòü èíäóêöèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. 84. Ïî äâóì áåñêîíå÷íî äëèííûì ïðîâîäàì òåêóò â îäèíàêîâîì íàïðàâëåíèè òîêè I1 = 1 A è I2 = 5 A. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîâîäàìè à = 0,1 ì. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü Í ìàãíèòíîãî ïîëÿ â òî÷êå, óäàëåííîé îò ïåðâîãî ïðîâîäà íà ðàññòîÿíèå r1 = 80 ìì è îò âòîðîãî — íà ðàññòîÿíèå r2 = 60 ìì. 85.  îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé  = 1 ìÒë ïîìåùåí ïðÿìîé ïðîâîäíèê äëèíîé l = 1 ì (ïîäâîäÿùèå ïðîâîäà íàõîäÿòñÿ âíå ïîëÿ). Îïðåäåëèòü ñèëó F, äåéñòâóþùóþ íà ïðîâîäíèê, åñëè ïî íåìó òå÷åò òîê ñèëîé I = 10 À, à óãîë j ìåæäó íàïðàâëåíèåì òîêà è âåêòîðîì ìàãíèòíîé èíäóêöèè ðàâåí 45°. 86. Îïðåäåëèòü ïåðèîä îáðàùåíèÿ ýëåêòðîíà ïî êðóãîâîé îðáèòå â ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé  = 1 ìÒë. 87. Ïî ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîìó ïðîâîäíèêó äëèíîé 20 ñì è ìàññîé 4 ã òå÷åò òîê ñèëîé 10 À. Íàéòè èíäóêöèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, â êîòîðîå íóæíî ïîìåñòèòü ïðîâîäíèê, ÷òîáû ñèëà òÿæåñòè óðàâíîâåñèëàñü ñèëîé Àìïåðà. 88. Ïî äâóì áåñêîíå÷íî äëèííûì ïðÿìîëèíåéíûì ïàðàëëåëüíûì ïðîâîäíèêàì, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè 15 ñì, â îäíîì íàïðàâëåíèè òåêóò òîêè 4 è 6 À. Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå îò ïðîâîäíèêà ñ ìåíüøèì òîêîì äî ãåîìåòðè÷åñêîãî ìåñòà òî÷åê, â êîòîðîì íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà íóëþ. 89. Ïî äâóì ïðÿìûì ïàðàëëåëüíûì ïðîâîäàì, íàõîäÿùèìñÿ íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè à = 10 ñì äðóã îò äðóãà, òåêóò îäèíàêîâûå òîêè ïî 100 À.  ïðîâîäàõ íàïðàâëåíèÿ òîêîâ ñîâïàäàþò. Âû÷èñëèòü ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà åäèíèöó äëèíû êàæäîãî ïðîâîäà. 90. Ìàãíèòíûé ìîìåíò ðàìêè, ïî êîòîðîé òå÷åò òîê I = 10 À, ðm = 1 À·ì2. Ðàìêà ñ òîêîì ñîäåðæèò N = 20 âèòêîâ òîíêîãî ïðîâîäà. Îïðåäåëèòü ïëîùàäü ðàìêè. 91.  îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî ðàâíà 0,1 Òë, âðàùàåòñÿ êàòóøêà, ñîñòîÿùàÿ èç 200 âèòêîâ. Îñü âðàùåíèÿ êàòóøêè ïåðïåíäèêóëÿðíà åå îñè è íàïðàâëåíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïåðèîä îáðàùåíèÿ êàòóøêè ðàâåí 0,2 ñ, ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êàòóøêè 4 ñì2. Íàéòè ìàêñèìàëüíóþ ÝÄÑ èíäóêöèè âî âðàùàþùåéñÿ êàòóøêå. 325 92. Êâàäðàòíûé êîíòóð ñî ñòîðîíîé à = 10 ñì, â êîòîðîì òå÷åò òîê I = 6 À, íàõîäèòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ( = 0,8 Òë) ïîä óãëîì a = 60° ê ëèíèÿì èíäóêöèè. Êàêóþ ðàáîòó À íóæíî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïðè íåèçìåííîé ñèëå òîêà â êîíòóðå èçìåíèòü åãî ôîðìó íà îêðóæíîñòü? 93. Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âíóòðè ñîëåíîèäà W = 100 Äæ. Îïðåäåëèòü íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñîëåíîèäå, åñëè íà îäèí ñàíòèìåòð äëèíû ñîëåíîèäà íàìîòàíî 200 âèòêîâ ïðîâîäà. Èíäóêòèâíîñòü ñîëåíîèäà L = 0,4 Ãí. 94.  îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî ðàâíà 0,1 Òë, âðàùàåòñÿ êàòóøêà, ñîñòîÿùàÿ èç 200 âèòêîâ. Îñü âðàùåíèÿ êàòóøêè ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè ñèììåòðèè êàòóøêè è íàïðàâëåíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ìàêñèìàëüíàÿ ÝÄÑ èíäóêöèè â êàòóøêå ðàâíà 0,3 Â. Íàéòè ïåðèîä îáðàùåíèÿ êàòóøêè, åñëè ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êàòóøêè 4 ñì 2. 95. Ïëîñêèé êîíòóð ñ òîêîì I = 5 À ñâîáîäíî óñòàíîâèëñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ( = 0,4 Òë). Ïëîùàäü êîíòóðà S = 200 ñì2. Ïîääåðæèâàÿ òîê â êîíòóðå íåèçìåííûì, åãî ïîâåðíóëè îòíîñèòåëüíî îñè, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè êîíòóðà, íà óãîë a = 30°. Îïðåäåëèòü ñîâåðøåííóþ ïðè ýòîì ðàáîòó À. 96. Íà ñòàëüíîé ñòåðæåíü äëèíîé 100 ñì è ñå÷åíèåì 1 ñì2 íàìîòàí â îäèí ñëîé ïðîâîä òàê, ÷òî íà êàæäûé ñàíòèìåòð äëèíû ñòåðæíÿ ïðèõîäèòñÿ 100 âèòêîâ. Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñåðäå÷íèêå ñîëåíîèäà, åñëè ñèëà òîêà â îáìîòêå 0,1 À. 97. Êâàäðàòíàÿ ðàìêà èç ìåäíîé ïðîâîëîêè ñå÷åíèåì 1 ìì2 ïîìåùåíà â ìàãíèòíîå ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó  = Â0sin wt, ãäå Â0 = 0,01 Òë, w = 2p/Ò, Ò = 0,02 ñ. Ïëîùàäü ðàìêè 25 ñì2. Ïëîñêîñòü ðàìêè ïåðïåíäèêóëÿðíà íàïðàâëåíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Íàéòè íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ÝÄÑ èíäóêöèè, âîçíèêøåé â ðàìêå. 98. Âèòîê, â êîòîðîì ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ ñèëà òîêà I = 60 À, ñâîáîäíî óñòàíîâèëñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ( = 20 ìÒë). Äèàìåòð âèòêà d = 10 ñì. Êàêóþ ðàáîòó À íóæíî ñîâåðøèòü äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîâåðíóòü âèòîê îòíîñèòåëüíî îñè, ñîâïàäàþùåé ñ äèàìåòðîì, íà óãîë a = p/3 ðàä? 99. Êàêóþ ðàáîòó ñîâåðøàåò ñèëà Àìïåðà ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîâîäíèêà äëèíîé l = 20 ñì íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åãî äëèíå â ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B = 0,5 Òë, åñëè ïî ïðîâîäíèêó òå÷åò òîê I = 10 À è ïðîâîäíèê äâèæåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñèëîâûì ëèíèÿì ìàãíèòíîãî ïîëÿ? 326 100. Ïëîñêîå çåðêàëî ïîâîðà÷èâàþò íà óãîë, ðàâíûé 27°. Íà êàêîé óãîë ïîâåðíåòñÿ îòðàæåííûé îò çåðêàëà ëó÷? 101. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû, åñëè ïðè ðàññòîÿíèè 40 ñì îò ëèíçû äî ïðåäìåòà äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå ïîëó÷àåòñÿ íà ðàññòîÿíèè 120 ñì îò ëèíçû. 102. Ñîëíå÷íûå ëó÷è ñîñòàâëÿþò ñ ãîðèçîíòîì óãîë 40°. Ïîä êàêèì óãëîì ê ãîðèçîíòó íàäî ðàñïîëîæèòü ïëîñêîå çåðêàëî, ÷òîáû íàïðàâèòü ëó÷è ãîðèçîíòàëüíî? Óãîë îòñ÷èòûâàåòñÿ îò îòðàæàþùåé ïîâåðõíîñòè. 103. Îïðåäåëèòü ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû, åñëè ïðè ðàññòîÿíèè 20 ñì îò ëèíçû äî ïðåäìåòà ìíèìîå èçîáðàæåíèå ïîëó÷àåòñÿ íà ðàññòîÿíèè 10 ñì îò ëèíçû. 104. Ëó÷ ïàäàåò íà ïîâåðõíîñòü âîäû (n = 1,33) ïîä óãëîì 40°. Ïîä êàêèì óãëîì äîëæåí óïàñòü ëó÷ íà ïîâåðõíîñòü ñòåêëà (n = 1,5), ÷òîáû óãîë ïðåëîìëåíèÿ îêàçàëñÿ òàêèì æå? 105. Îïðåäåëèòü îïòè÷åñêóþ ñèëó ëèíçû, åñëè ïðè ðàññòîÿíèè 40 ñì îò ëèíçû äî ïðåäìåòà äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå ïîëó÷àåòñÿ íà ðàññòîÿíèè 120 ñì îò ëèíçû. 106. Ñîëíå÷íûé ñâåò ïàäàåò íà ïîâåðõíîñòü âîäû (n = 1,33) â ñîñóäå. Êàêîâû óãëû ïàäåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ, åñëè óãîë îòðàæåíèÿ 30°? 107. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì 30 ñì íàäî ïîñòàâèòü ýêðàí, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷åòêîå èçîáðàæåíèå ñâå÷è? Ðàññòîÿíèå îò ñâå÷è äî ëèíçû 40 ñì. 108. Íàéòè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà â ñêèïèäàðå, åñëè ïðè óãëå ïàäåíèÿ 45° óãîë ïðåëîìëåíèÿ 30°. 109. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñâå÷îé è ñòåíêîé 1 ì. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ñâå÷è íóæíî ïîìåñòèòü ëèíçó ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì 9 ñì, ÷òîáû íà ñòåíå ïîëó÷èëîñü ðåçêîå óìåíüøåííîå èçîáðàæåíèå ñâå÷è? 110. Íà ìûëüíóþ ïëåíêó ïîä óãëîì 30° ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê áåëûõ ëó÷åé.  îòðàæåííîì ñâåòå ïëåíêà êàæåòñÿ êðàñíîé (l = 0,7 · 10–6 ì). Êàêîâà âîçìîæíàÿ íàèìåíüøàÿ òîëùèíà ïëåíêè? 111. Äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà îñâåùåíà áåëûì ñâåòîì, ïàäàþùèì íîðìàëüíî. Ñïåêòðû 2-ãî è 3-ãî ïîðÿäêîâ ÷àñòè÷íî íàêëàäûâàþòñÿ äðóã íà äðóãà. Íà êàêóþ äëèíó âîëíû â ñïåêòðå 3-ãî ïîðÿäêà íàêëàäûâàåòñÿ ñåðåäèíà æåëòîé ÷àñòè 2-ãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ äëèíå âîëíû 0,575 ìêì? 112. Óãîë ïðåëîìëåíèÿ ëó÷à â æèäêîñòè b = 35°. Îïðåäåëèòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îòðàæåííûé ëó÷ ìàêñèìàëüíî ïîëÿðèçîâàí. 327 113. Ïó÷îê áåëîãî ñâåòà ïàäàåò íîðìàëüíî íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó, òîëùèíà êîòîðîé d = 0,4 ìêì. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà n = 1,5. Êàêèå äëèíû âîëí, ëåæàùèå â ïðåäåëàõ âèäèìîãî ñïåêòðà (îò 400 äî 700 íì), óñèëèâàþòñÿ â îòðàæåííîì ïó÷êå? 114. Íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó ñ ÷àñòîòîé 2000 ëèíèé íà 1 ñì ïàäàåò ñâåò ñ äëèíîé âîëíû l = 5 · 10–5 ñì. Ýêðàí ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè 30 ñì îò ðåøåòêè. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêà. 115. Âî ñêîëüêî ðàç îñëàáëÿåòñÿ ñâåò, ïðîõîäÿ ÷åðåç äâà íèêîëÿ, ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè êîòîðûõ ñîñòàâëÿþò óãîë 30°, åñëè â êàæäîì èç íèêîëåé â îòäåëüíîñòè òåðÿåòñÿ 10 % ïàäàþùåãî íà íåãî ñâåòîâîãî ïîòîêà? 116. Íà ñòåêëÿííóþ ïëàñòèíêó íàíåñåí òîíêèé ñëîé âåùåñòâà (n = 1,4). Ïëàñòèíêà îñâåùàåòñÿ ïó÷êîì ïàðàëëåëüíûõ ëó÷åé (l = 0,54 ìêì), ïàäàþùèõ íà ïëàñòèíêó íîðìàëüíî. Êàêóþ òîëùèíó äîëæåí èìåòü ñëîé, ÷òîáû îòðàæåííûå ëó÷è èìåëè íàèìåíüøóþ ÿðêîñòü (nñò = 1,5)? 117. Äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà øèðèíîé 12 ìì ñîäåðæèò 4800 øòðèõîâ. Îïðåäåëèòü: 1) ÷èñëî ìàêñèìóìîâ â ñïåêòðå äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè äëÿ äëèíû âîëíû l = 5,5 · 10–7 ì; 2) ïåðèîä äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè. 118.  íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ïëîñêîñòè êîëåáàíèé ïîëÿðèçàòîðà è àíàëèçàòîðà ñîâïàäàþò. Íà êàêîé óãîë ñëåäóåò ïîâåðíóòü àíàëèçàòîð, ÷òîáû â òðè ðàçà óìåíüøèòü èíòåíñèâíîñòü ñâåòà, ïðèõîäÿùåãî ê íåìó îò ïîëÿðèçàòîðà. Ïîòåðÿìè ñâåòà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. 119. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ êîãåðåíòíûìè èñòî÷íèêàìè ñâåòà (l = 0,5 ìêì) ðàâíî 0,1 ìì. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñâåòëûìè ïîëîñàìè íà ýêðàíå â ñðåäíåé ÷àñòè èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ðàâíî 1 ñì. Îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêîâ ñâåòà äî ýêðàíà. 120. Èç ñìîòðîâîãî îêîøêà ïå÷è çà 5 ìèí èçëó÷àåòñÿ 6,3 êêàë. Ïëîùàäü îêîøêà ðàâíà 3 ñì2. Ïðèíèìàÿ, ÷òî îêîøêî èçëó÷àåò, êàê àáñîëþòíî ÷åðíîå òåëî, îïðåäåëèòü òåìïåðàòóðó ïå÷è. 121. Êðàñíàÿ ãðàíèöà ôîòîýôôåêòà äëÿ öèíêà lê = 310 íì. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ôîòîýëåêòðîíîâ â ýëåêòðîíâîëüòàõ, åñëè íà öèíê ïàäàþò ëó÷è ñ äëèíîé âîëíû l = 200 íì. 122. Òåìïåðàòóðà çà÷åðíåííîãî øàðèêà èçìåíÿåòñÿ ïðè îñòûâàíèè îò 27 äî 20 °Ñ. Íà ñêîëüêî èçìåíèëàñü äëèíà âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàêñèìóìó èçëó÷àòåëüíîé ñïîñîáíîñòè? 123. Íà ôîòîýëåìåíò ñ êàòîäîì èç ëèòèÿ ïàäàþò ëó÷è ñ äëèíîé âîëíû l = 200 íì. Íàéòè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå çàäåðæèâàþùåé ðàçíîñòè 328 ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íóæíî ïðèëîæèòü ê ôîòîýëåìåíòó, ÷òîáû ïðåêðàòèòü ôîòîòîê. 124. Âîëüôðàìîâàÿ íèòü íàêàëèâàåòñÿ â âàêóóìå òîêîì 1 À äî òåìïåðàòóðû 1000 Ê. Ïðè êàêîì òîêå íèòü íàêàëèòñÿ äî 3000 Ê? Ïîòåðÿìè ýíåðãèè ïðåíåáðå÷ü. 125. Íà ìåòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíó íàïðàâëåí ïó÷îê óëüòðàôèîëåòîâûõ ëó÷åé (l = 0,25 ìêì). Ôîòîòîê ïðåêðàùàåòñÿ ïðè ìèíèìàëüíîé çàäåðæèâàþùåé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ 0,96 Â. Îïðåäåëèòü ðàáîòó âûõîäà ýëåêòðîíîâ èç ìåòàëëà. 126. Ðàñêàëåííàÿ ìåòàëëè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü S = 10 ñì2 èçëó÷àåò â 1 ìèí 4 · 104 Äæ ýíåðãèè. Òåìïåðàòóðà ïîâåðõíîñòè ðàâíà 2500 Ê. Êàêîâî îòíîøåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ ñâåòèìîñòåé ýòîé ïîâåðõíîñòè è ÷åðíîãî òåëà ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå? 127. Íà ìåòàëëè÷åñêóþ ïëàñòèíêó ïàäàåò ìîíîõðîìàòè÷åñêèé ïó÷îê ñâåòà ñ äëèíîé âîëíû 0,413 ìêì. Ïîòîê ôîòîýëåêòðîíîâ, âûðûâàåìûõ ñ ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà, ïîëíîñòüþ çàäåðæèâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ 1 Â. Îïðåäåëèòü ðàáîòó âûõîäà è êðàñíóþ ãðàíèöó ôîòîýôôåêòà. 128. Êàêîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè èçëó÷àåò 1 ñì2 çàòâåðäåâàþùåãî ñâèíöà â 1 ñ? Îòíîøåíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ ñâåòèìîñòåé ïîâåðõíîñòè ñâèíöà è àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà äëÿ ýòîé òåìïåðàòóðû ñ÷èòàòü ðàâíûì 0,6, tçàòâ.ñâ = 327 °Ñ. 129. Íà ôîòîýëåìåíò ñ êàòîäîì èç ðóáèäèÿ ïàäàþò ëó÷è ñ äëèíîé âîëíû 100 íì. Íàéòè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå çàäåðæèâàþùåé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íóæíî ïðèëîæèòü ê ôîòîýëåìåíòó, ÷òîáû ïðåêðàòèòü ýìèññèþ ôîòîýëåêòðîíîâ. 130. Îïðåäåëèòü íàèáîëüøóþ è íàèìåíüøóþ äëèíû âîëí â ïåðâîé èíôðàêðàñíîé ñåðèè âîäîðîäà (ñåðèÿ Ïàøåíà). 131. Íàéòè ðàäèóñ ïåðâîé áîðîâñêîé îðáèòû ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà. 132. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ ýíåðãèþ ôîòîíà ñåðèè Áàëüìåðà â ñïåêòðå èçëó÷åíèÿ àòîìàðíîãî âîäîðîäà. 133. Äâóõçàðÿäíûé èîí ëèòèÿ Li++ ïåðåøåë ñî âòîðîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ íà ïåðâûé. Îïðåäåëèòü äëèíó âîëíû, èñïóñêàåìóþ ïðè ýòîì ïåðåõîäå. 134. Íàéòè ýíåðãèþ è ïîòåíöèàë èîíèçàöèè äâóõçàðÿäíîãî èîíà ëèòèÿ Li++. 135. Êàêîâà êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà íà ïåðâîé áîðîâñêîé îðáèòå? 329 136. Íàéòè ïåðèîä îáðàùåíèÿ íà ïåðâîé áîðîâñêîé îðáèòå. 137. Íàéòè ñêîðîñòü ýëåêòðîíà íà ïåðâîé áîðîâñêîé îðáèòå. 138. Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ ôîòîíà, èñïóñêàåìîãî àòîìîì âîäîðîäà ïðè ïåðåõîäå ýëåêòðîíà ñî âòîðîé îðáèòû íà ïåðâóþ. 139. Îïðåäåëèòü äëèíó âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùóþ òðåòüåé ëèíèè ñåðèè Áàëüìåðà. 140. Âî ñêîëüêî ðàç îòëè÷àåòñÿ óäåëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè (ýíåðãèÿ ñâÿçè, ðàññ÷èòàííàÿ íà îäèí íóêëîí) äëÿ ÿäåð 32 He è 13 H? 141. Ïðè ÿäåðíîé ðåàêöèè â ýíåðãîáëîêå àòîìíîé ýëåêòðîñòàíöèè äåôåêò ìàññû ñîñòàâèë 1 ã. Ñêîëüêî âûäåëèëîñü ïðè ýòîì ýíåðãèè? Êàêîâà ñòîèìîñòü âûäåëèâøåéñÿ ýíåðãèè, åñëè öåíà 1 êÂò·÷ ðàâíà 2 ðóá. 142. Êàêàÿ äîëÿ íà÷àëüíîãî êîëè÷åñòâà àòîìîâ ðàñïàäàåòñÿ çà îäèí ãîä â ðàäèîàêòèâíîì èçîòîïå òîðèÿ 232 90 Th? 143. Íàïèñàòü íåäîñòàþùåå îáîçíà÷åíèå â ÿäåðíîé ðåàêöèè: X + 11 H ® 22 11 Na + 42 He. 144. Âî ñêîëüêî ðàç îòëè÷àåòñÿ óäåëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè (ýíåðãèÿ ñâÿçè, ðàññ÷èòàííàÿ íà îäèí íóêëîí) äëÿ ÿäåð 73 Li è 74 Âå? 145. Ìîùíîñòü àòîìíîãî ýíåðãîáëîêà ïðè ïîòðåáëåíèè â ñóòêè 2 êã èçîòîïà óðàíà 235 92 U ðàâíà 3,2 ÌÂò. Ïðè îäíîì äåëåíèè ÿäðà îñâîáîæäàåò–13 ñÿ 3,2 · 10 Äæ ýíåðãèè. Êàêîâ êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ ÀÝÑ? Êàêîâà ñòîèìîñòü ïîëó÷åííîé ýíåðãèè, åñëè öåíà 1 êÂò·÷ ðàâíà 2 ðóá.? 146. Ïðè áîìáàðäèðîâêå èçîòîïà àçîòà 147 N íåéòðîíàìè ïîëó÷àåòñÿ èçîòîï óãëåðîäà 146 Ñ, êîòîðûé îêàçûâàåòñÿ ìèíóñ b-ðàäèîàêòèâíûì. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ ýòèõ ðåàêöèé. 147. Çà ñóòêè àêòèâíîñòü íóêëèäà óìåíüøèëàñü îò 3,2 äî 0,2 Áê. Îïðåäåëèòü ïåðèîä ïîëóðàñïàäà ýòîãî íóêëèäà. 148. Êàêóþ íàèìåíüøóþ ýíåðãèþ íóæíî çàòðàòèòü, ÷òîáû ðàçäåëèòü íà îòäåëüíûå íóêëîíû ÿäðî 74 Be? 149. Êàêàÿ ÷àñòèöà èñïóñêàåòñÿ â ðåçóëüòàòå áîìáàðäèðîâêè ÿäåð àçîòà 147 N íåéòðîíîì, åñëè â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëîñü ÿäðî 105 Â? Íàïèñàòü óðàâíåíèå ðåàêöèè. 8. ÒÅÑÒ ÄËß ÏÐÎÂÅÐÊÈ ÇÍÀÍÈÉ Ïåðìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Äèñöèïëèíà: Ôèçèêà (äëÿ ýêîíîìèñòîâ) ×èñëî çàäàíèé: 25, âðåìÿ òåñòèðîâàíèÿ 90 ìèíóò Òåñò ¹ 1 1. Ïðàâèëüíàÿ ðàçìåðíîñòü óãëîâîãî óñêîðåíèÿ â ñèñòåìå ÑÈ… 1) ì/c2; 2) c–1; 3) c–2; 4) c–3; 5) ðàä/ñ2. 2. Åñëè a t è a n — òàíãåíöèàëüíàÿ è íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùèå óñêîðåíèÿ, òî äëÿ ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ïî îêðóæíîñòè ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ: 1) a t = 0, a n = const; 2) a t = 0, a n = 0; 3) a t = a n = const; 4) a t = 0, a n ¹ const; 5) a t = const, a n = const. 3. Âåëîñèïåäèñò ïðîåõàë ïåðâóþ ïîëîâèíó ïóòè ñî ñêîðîñòüþ vl = 20 êì/÷, âòîðóþ ïîëîâèíó ïóòè — ñî ñêîðîñòüþ v2 = 10 êì/÷. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âåëîñèïåäèñòà… 1) 16,1 êì/÷; 2) 13,3 êì/÷; 3) 15,0 êì/÷; 4) 4,5 ì/c; 5) 3,3 ì/c. 4. Ïðàâèëüíàÿ rôîðìóëà ìîìåíòà èìïóëüñà… r r r r r r r 1) L = mvr; 2) L = mvr; 3) L = Jw; 4) L = J w; 5) L = mrv. 5. Ìîìåíò èìïóëüñà òåëà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé îñè èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó L = ct 3 2 . Çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè âåëè÷èíû ìîìåíòà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëî, ïðàâèëüíî îòðàæåíà íà ãðàôèêå… 331 6. Ñïëîøíîé è ïîëûé (òðóáêà) öèëèíäðû, èìåþùèå îäèíàêîâûå ìàññû è ðàäèóñû, ñêàòûâàþòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ ñ ãîðêè âûñîòîé h. Òîãäà âåðíûì óòâåðæäåíèåì îòíîñèòåëüíî âðåìåíè ñêàòûâàíèÿ ê îñíîâàíèþ ãîðêè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå: 1) áûñòðåå ñêàòèòñÿ ïîëûé öèëèíäð; 2) áûñòðåå ñêàòèòñÿ ñïëîøíîé öèëèíäð; 3) îáà òåëà ñêàòÿòñÿ îäíîâðåìåííî; 4) çàäà÷à íå ðåøàåìà, òàê êàê íåò óãëà íàêëîíà; 5) çàäà÷à íå ðåøàåìà, òàê êàê íåò ðàçìåðîâ. 7. Òåëî ìàññîé 2 êã ïîäíÿòî íàä Çåìëåé. Åãî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ 0,1 êÄæ. Åñëè íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òåëà ðàâíà íóëþ è ñèëàìè ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé îíî óïàäåò íà Çåìëþ, ñîñòàâèò… 1) 10 ì/ñ; 2) 14 ì/ñ; 3) 20 ì/ñ; 4) 30 ì/ñ; 5) 40 ì/ñ. 8. Ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó èçìåíÿåòñÿ… 1) àìïëèòóäà; 2) ÷àñòîòà; 3) ïåðèîä; 4) ôàçà; 5) ñìåùåíèå. 9. Óðàâíåíèå ïëîñêîé ñèíóñîèäàëüíîé âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùåéñÿ âäîëü îñè Ox ñî ñêîðîñòüþ 500 ì/ñ, èìååò âèä x = 0, 01 sin(10 3 t - kx . ) –1 Âîëíîâîå ÷èñëî k (ì ) ðàâíî… 1) 5; 2) 2; 3) 0,5; 4) 10; 5) 1,57. 10. Ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóë ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå Ò çàâèñèò îò èõ ñòðóêòóðû. Ïðè óñëîâèè, ÷òî èìåþò ìåñòî òîëüêî ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå äâèæåíèÿ, ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóë êèñëîðîäà (Î2) ðàâíà… 1) kT/2; 2) 7kT/2; 3) 3kT/2; 4) 3kT; 5) 5kT/2. 11. ÊÏÄ äâèãàòåëÿ âíóòðåííåãî ñãîðàíèÿ â ã. Ïåðìè âûøå â ñëåäóþùåå âðåìÿ ãîäà: 1) âåñíîé; 2) ëåòîì; 3) îñåíüþ; 4) çèìîé; 5) íå çàâèñèò îò âðåìåíè ãîäà. 12. Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà âîäû 20 °Ñ â ÷àéíèêå îáúåìîì V = 1 ë; òåïëîåìêîñòü âîäû ñ = 4,19 êÄæ/(êã·Ê); ÊÏÄ íàãðåâàòåëÿ h = 0,8; ñòîè332 ìîñòü 1 êÂò·÷ ýëåêòðîýíåðãèè 2 ðóá. Öåíà íàãðåâà âîäû äî êèïåíèÿ ñîñòàâèò… 1) 26 êîï.; 2) 0,38 ðóá.; 3) 124 êîï.; 4) 2,8 ðóá.; 5) 90 êîï. 13. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñîçäàíî îäèíàêîâûìè ïî âåëè÷èíå òî÷å÷íûìè çàðÿäàìè q1 è q2 (ðèñóíîê). Åñëè q1 = -q, q 2 = + q, à ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿäàìè è îò q2 äî òî÷êè Ñ ðàâíî a, òî âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â òî÷êå Ñ îðèåíòèðîâàí â íàïðàâëåíèè… 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) ïðàâèëüíîãî íàïðàâëåíèÿ íåò. 14. Ýëåêòðîí, ïðîéäÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ 1 ÌÂ, äîïîëíèòåëüíî ïîëó÷èò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ… 1) 8 · 10–14 Äæ; 2) 16 · 10–14 Äæ; 3) 16 · 10–26 Äæ; 4) 8 · 10–26 Äæ; 5) 625 · 10–22 Äæ. 15. Ôîðìóëà äëÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîâîäíèêà ñå÷åíèåì S è äëèíîé l èìååò âèä… 1) R = rS l; 2) R = l (Sr); 3) R = S (rl); 4) R = rlS ; 5) R = rl S . 16. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû ñå÷åíèÿ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîëèíåéíûõ äëèííûõ ïðîâîäíèêîâ ñ îäèíàêîâî íàïðàâëåííûìè òîêà-r ìè, ïðè÷åì J1 = 2J2. Èíäóêöèÿ B ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà íóëþ â íåêîòîðîé òî÷êå ó÷àñòêà…. 1) a; 2) b; 3) c; 4) d; 5) òàêîé òî÷êè íåò. 17. Íà ðèñóíêå ïîêàçàíà òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà ïîä äåéñòâèåì ñèëû Ëîðåíöà. Ìàãíèòíûå ñèëîâûå ëèíèè íàïðàâëåíû… 1) ââåðõ; 2) âíèç; 3) îò íàñ; 4) íà íàñ; 5) âëåâî. 18. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî íåêîòî333 ðûé çàìêíóòûé êîíòóð, îò âðåìåíè. ÝÄÑ èíäóêöèè â êîíòóðå îòðèöàòåëüíà è ïî ìîäóëþ ìàêñèìàëüíà íà èíòåðâàëå… 1) E; 2) D; 3) C; 4) A; 5) Â. 19. Åäèíèöà èçìåðåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà â ñèñòåìå ÑÈ… 1) ýðñòåä; 2) âåáåð; 3) ôàðàäà; 4) òåñëà; 5) âîëüò. 20. Áåëûé ñâåò ìîæíî ðàçëàãàòü â ñïåêòð… 1) ïëîñêèì çåðêàëîì; 2) ðàññåèâàþùåé òîíêîé ëèíçîé; 3) ñîáèðàþùåé òîíêîé ëèíçîé; 4) ïðèçìîé; 5) âñåìè ïåðå÷èñëåííûìè ïðèáîðàìè. 21. Íà ïóòè åñòåñòâåííîãî ñâåòà ïîìåùåíû äâå ïëàñòèíêè òóðìàëèíà (ðèñóíîê). Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ïëàñòèíêè 1 ñâåò ïîëíîñòüþ ïîëÿðèçîâàí. Åñëè J1 è J2 — èíòåíñèâíîñòè ñâåòà, ïðîøåäøåãî ïëàñòèíêè 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî, è J2 = 0, òî óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè OO è O¢O¢ ðàâåí… 1) 0°; 2) 30°; 3) 45°; 4) 60°; 5) 90°. 22. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû äâå âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè âàêóóìíîãî ôîòîýëåìåíòà. Åñëè Å — îñâåùåííîñòü ôîòîêàòîäà, à n — ÷àñòîòà ïàäàþùåãî íà íåãî ñâåòà, òî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: 1) n1 > n 2 , E 1 = E 2 ; 2) n1 < n 2 , E 1 = E 2 ; 3) n1 = n 2 , E 1 > E 2 ; 4) n1 = n 2 , E 1 < E 2 ; 5) n1 = n 2 , E 1=E 2 . 23. Óêàæèòå ïðàâèëüíûé âèä çàêîíà òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà: 1) R e = s T 4 ; 2) R e = sT ; 334 3) R e = sT 2 ; 4) R e = sT 3 ; 5) R e = sT 4 . 24. Âûáåðèòå óòâåðæäåíèå, îòíîñÿùååñÿ ê a-èçëó÷åíèþ: 1) îòðèöàòåëüíûé çàðÿä, áîëüøàÿ ïðîíèêàþùàÿ ñïîñîáíîñòü; 2) ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä, ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì ãåëèÿ; 3) ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä, ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì âîäîðîäà; 4) íå èìååò çàðÿäà, íå âçàèìîäåéñòâóåò ñ ïîëÿìè, ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì ãåëèÿ; 5) íå èìååò çàðÿäà, íå âçàèìîäåéñòâóåò ñ ïîëÿìè, î÷åíü áîëüøàÿ ïðîíèêàþùàÿ ñïîñîáíîñòü. 25. Ó÷àñòíèêàìè ñèëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ÿâëÿþòñÿ… 1) ôîòîíû; 2) ýëåêòðîíû; 3) ïðîòîíû è íåéòðîíû; 4) òîëüêî ïðîòîíû; 5) a-÷àñòèöû. ÂÎÏÐÎÑÛ ÄËß ÏÎÄÃÎÒÎÂÊÈ Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ 1. Êèíåìàòèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Ñèñòåìû îòñ÷åòà. Òðàåêòîðèÿ, ïåðåìåùåíèå, ïóòü, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå. Ðàâíîìåðíîå è ðàâíîïåðåìåííîå ïðÿìîëèíåéíûå äâèæåíèÿ. 2. Êðèâîëèíåéíîå äâèæåíèå. Íîðìàëüíîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ. 3. Äâèæåíèå òî÷êè ïî îêðóæíîñòè. Óãëîâûå ïåðåìåùåíèå, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå. Ñâÿçü ìåæäó ëèíåéíûìè è óãëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè. 4. Äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà è ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà. 5. Ôóíäàìåíòàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ñèëû ðàçëè÷íîé ïðèðîäû (óïðóãèå, ãðàâèòàöèîííûå, òðåíèÿ), âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Ìàññà. Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà. 6. Èìïóëüñ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. 7. Äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ: ìîìåíò ñèëû, ìîìåíò èíåðöèè. Îïðåäåëåíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè òåë ïðîñòîé ôîðìû. Òåîðåìà Øòåéíåðà. Îñíîâíîé çàêîí äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. 8. Ðàáîòà ïåðåìåííîé ñèëû, ìîùíîñòü. Ïîòåíöèàëüíûå è íåïîòåíöèàëüíûå ïîëÿ. Êîíñåðâàòèâíûå è äèññèïàòèâíûå ñèëû. Êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. 9. Ñîóäàðåíèå òåë. Óïðóãîå è íåóïðóãîå âçàèìîäåéñòâèÿ. 10. Êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå è åãî õàðàêòåðèñòèêè: ñìåùåíèå, àìïëèòóäà, ôàçà, öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà, ïåðèîä, ñêîðîñòü, óñêîðåíèå, ñèëà, ýíåðãèÿ. 11. Âåêòîðíûå äèàãðàììû äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. 12. Ñëîæåíèå ïàðàëëåëüíûõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé ÷àñòîòû. Áèåíèÿ. 336 13. Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ. Ðåçîíàíñ. 14. Âîëíîâîå äâèæåíèå. Óðàâíåíèå ïëîñêîé íåçàòóõàþùåé áåãóùåé âîëíû. Ýíåðãèÿ óïðóãîé âîëíû. Âåêòîð ïëîòíîñòè ïîòîêà ýíåðãèè. 15. Òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà. Ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ. 16. Îñíîâíîå óðàâíåíèå ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ (óðàâíåíèå Êëàóçèóñà). Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà). 17. Ýíåðãèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Ðàáîòà, òåïëîòà, òåïëîåìêîñòü, åå âèäû. 18. Îñíîâíûå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû èäåàëüíîãî ãàçà. Ïîëèòðîïíûé ïðîöåññ, åãî ÷àñòíûå ñëó÷àè: èçîáàðíûé, èçîòåðìè÷åñêèé, àäèàáàòíûé, èçîõîðíûé. 19. Âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè. Ýíòðîïèÿ. Òåïëîâûå äâèãàòåëè è õîëîäèëüíûå ìàøèíû. Öèêë Êàðíî. 20. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä è åãî ñâîéñòâà. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà. Çàêîí Êóëîíà. Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è åå ôèçè÷åñêèé ñìûñë. 21. Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ. Ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé. Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè ïîëåé. Ïîëå ñèñòåìû çàðÿäîâ. 22. Ðàáîòà ñèë ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ ïî ïåðåìåùåíèþ çàðÿäîâ. Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè. Ïîòåíöèàëüíûé õàðàêòåð ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. 23. Ýíåðãåòè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ — ïîòåíöèàë. Ïîòåíöèàë ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà è ñèñòåìû çàðÿäîâ. Ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ïîòåíöèàëîì. 24. Ïðîâîäíèêè â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ çàùèòà. Ýëåêòðîåìêîñòü ïðîâîäíèêîâ. Êîíäåíñàòîðû. 25. Õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà: ñèëà òîêà, âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà. Çàêîíû Îìà è Äæîóëÿ — Ëåíöà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå. 337 26. Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè: ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà, ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, íàïðÿæåíèå, ñîïðîòèâëåíèå. 27. Çàêîíû ïîñòîÿííîãî òîêà äëÿ ó÷àñòêîâ öåïè. Ðàçâåòâëåííûå öåïè. Ïðàâèëà Êèðõãîôà è èõ ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå. 28. Ìàãíèòíîå ïîëå, ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ. 29. Äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïðîâîäíèê ñ òîêîì. Ñèëà Àìïåðà. Âçàèìîäåéñòâèå ïàðàëëåëüíûõ òîêîâ. 30. Äåéñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà äâèæóùèéñÿ çàðÿä. Ñèëà Ëîðåíöà. 31. Ìàãíèòíûé ïîòîê. Ðàáîòà ïåðåìåùåíèÿ ïðîâîäíèêà ñ òîêîì â ìàãíèòíîì ïîëå. 32. ßâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. ÝÄÑ èíäóêöèè. Çàêîí Ôàðàäåÿ. Ïðàâèëî Ëåíöà. Ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü ÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. 33. ßâëåíèå ñàìîèíäóêöèè, ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, èíäóêòèâíîñòü êîíòóðà. Ýêñòðàòîêè çàìûêàíèÿ è ðàçìûêàíèÿ. 34. Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð. Àíàëîãèÿ ìåæäó ìåõàíè÷åñêèìè è ýëåêòðîìàãíèòíûìè êîëåáàíèÿìè. Ïðèìåíåíèå êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà. 35. Ïåðåìåííûé òîê è åãî ïîëó÷åíèå. Àêòèâíîå è ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèÿ öåïè. Ìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà. 36. Ñâåò êàê ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà (ÝÌÂ). Èíòåðôåðåíöèÿ ñâåòà. Óñëîâèÿ ïîëó÷åíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. Óñëîâèÿ ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà ïðè èíòåðôåðåíöèè. 37. Êîãåðåíòíîñòü. Èíòåðôåðåíöèÿ â òîíêèõ ïëåíêàõ. Êîëüöà Íüþòîíà. 38. Äèôðàêöèÿ ñâåòà. Ïðèíöèï Ãþéãåíñà — Ôðåíåëÿ. Ìåòîä çîí Ôðåíåëÿ. Äèôðàêöèÿ Ôðåíåëÿ íà ïðîñòåéøèõ ïðåãðàäàõ. 39. Äèôðàêöèÿ Ôðàóíãîôåðà. Äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà, åå ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü. 40. Ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà. Âèäû ïîëÿðèçîâàííîãî ñâåòà. Çàêîí Ìàëþñà. 41. Ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà ïðè îòðàæåíèè è ïðåëîìëåíèè. Çàêîí Áðþñòåðà. 42. Òåïëîâîå èçëó÷åíèå, åãî õàðàêòåðèñòèêè. Àáñîëþòíî ÷åðíîå òåëî. 43. Ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè â ñïåêòðå èçëó÷åíèÿ àáñîëþòíî ÷åðíîãî òåëà. Çàêîíû Êèðõãîôà, Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà, Âèíà. 338 44. Ôîòîýôôåêò. Çàêîíû ôîòîýôôåêòà. 45. Ðàçâèòèå ïðåäñòàâëåíèé î ñòðîåíèè àòîìà. Ìîäåëè Òîìñîíà è Ðåçåðôîðäà. Ñïåêòðû èçëó÷åíèÿ è ïîãëîùåíèÿ â àòîìàõ âîäîðîäà. 46. Ïîñòóëàòû Áîðà. Êâàíòîâàíèå îðáèò. Áîðîâñêàÿ òåîðèÿ àòîìà âîäîðîäà. 47. Õàðàêòåðèñòèêè àòîìíîãî ÿäðà. Àòîìíàÿ åäèíèöà ìàññû. Èçîòîïû. Ñîñòàâ àòîìíîãî ÿäðà. 48. Óñòîé÷èâîñòü àòîìíûõ ÿäåð. Ýíåðãèÿ ñâÿçè. Äåëåíèå òÿæåëûõ ÿäåð è ñèíòåç ëåãêèõ. Òåðìîÿäåðíàÿ ýíåðãèÿ. 49. Ðàäèîàêòèâíîñòü. Çàêîí ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Òðîôèìîâà Ò. È. Êóðñ ôèçèêè: ó÷åá. ïîñîáèå / Ò. È. Òðîôèìîâà.— 3-å èçä., èñïð.— Ì.: Âûñø. øê, 2003.— 542 ñ. 2. ×åðòîâ À. Ã. Çàäà÷íèê ïî ôèçèêå äëÿ âòóçîâ / À. Ã. ×åðòîâ.— 4-å èçä., èñïð.— Ì.: Èíòåãðàë — Ïðåññ, 2003.— 640 ñ. 3. Âîëüêåíøòåéí Â. Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî îáùåìó êóðñó ôèçèêè: ó÷åá. ïîñîáèå / Â. Ñ. Âîëüêåíøòåéí.— 11-å èçä., ïåðåðàá.— Ì.: Íàóêà: Ôèçìàòëèò, 2003.— 328 ñ. 4. Äåòëàô À. À. Êóðñ ôèçèêè: ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ / À. À. Äåòëàô.— 2-å èçä., èñïð. è äîï.— Ì.: Âûñø. øê., 2003.— 718 ñ. 340 Ïðèëîæåíèå ÑÏÐÀÂÎ×ÍÛÅ ÄÀÍÍÛÅ È ÒÀÁËÈÖÛ Òàáëèöà Ï.1 Ôèçè÷åñêèå ïîñòîÿííûå (îêðóãëåííûå çíà÷åíèÿ) Îáîçíà÷åíèÿ Çíà÷åíèå Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ Ôèçè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ g 9,81 ì/ñ2 Ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ g 6,67 · 10–11 ì3/(êã·ñ2) ×èñëî Àâîãàäðî NA 6,02 · 1023 ìîëü–1 Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R 8,31 Äæ/(ìîëü·Ê) Ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà k 1,38 · 10–23 Äæ/Ê Ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå ñ 3 · 108 ì/ñ Ýëåìåíòàðíûé çàðÿä å 1,6 · 10–19 Êë Ìàññà ïîêîÿ ýëåêòðîíà me 9,1 · 10–31 êã Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ e0 8,86 · 10–12 Ô/ì Ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ m0 4p · 10–7 Ã/ì Ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà h 6,63 · 10–34 Äæ·ñ h 1,05 · 10–34 Äæ·ñ R 3,29 · 1015 ñ–1 Ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà 1,097 · 107 ì–1 Ïîñòîÿííàÿ Ñòåôàíà — Áîëüöìàíà s 5,67 · 10–8 Âò/(ì2·Ê4) Ïîñòîÿííàÿ çàêîíà ñìåùåíèÿ Âèíà Ñ 2,90 · 10–3 ì·Ê Òàáëèöà Ï.2 Íåêîòîðûå åäèíèöû èçìåðåíèÿ Íàçâàíèå Ýëåêòðîí-âîëüò Âàòò-÷àñ Îáîçíà÷åíèå Çíà÷åíèå â ÑÈ ý 1,6 · 10–19 Äæ Âò·÷ 3,6 · 103 Äæ 341 Îêîí÷àíèå òàáë. Ï.2 Íàçâàíèå Îáîçíà÷åíèå Ìèëëèìåòð ðòóòíîãî ñòîëáà Çíà÷åíèå â ÑÈ ìì. ðò. ñò. 133 Ïà 1,67 · 10–27 êã Àíãñòðåì à. å. ì. ° A Êàëîðèÿ êàë 4,19 Äæ Àòîìíàÿ åäèíèöà ìàññû 10–10 ì Òàáëèöà Ï.3 Íåêîòîðûå àñòðîíîìè÷åñêèå âåëè÷èíû Íàèìåíîâàíèå Çíà÷åíèå Ðàäèóñ Çåìëè 6,37 · 106 ì Ìàññà Çåìëè 5,98 · 1024 êã Ðàäèóñ Ñîëíöà 6,95 · 108 ì Ìàññà Ñîëíöà 1,98 · 1030 êã Ðàäèóñ Ëóíû 1,74 · 106 ì Ìàññà Ëóíû 7,33 · 1022 êã Ðàññòîÿíèå îò öåíòðà Çåìëè äî öåíòðà Ñîëíöà 1, 49 · 1011 ì Ðàññòîÿíèå îò öåíòðà Çåìëè äî öåíòðà Ëóíû 3,84 · 108 ì Òàáëèöà Ï.4 Ñâîéñòâà íåêîòîðûõ æèäêîñòåé Ïëîòíîñòü, êã/ì3 Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè 20 °Ñ, Äæ/(êã·Ê) Áåíçîë 0,88 1720 Âîäà 1,00 4190 Æèäêîñòü Ãëèöåðèí 1,20 2430 Êàñòîðîâîå ìàñëî 0,9 1800 Êåðîñèí 0,8 2140 Ðòóòü 13,6 138 Ñïèðò 0,9 2510 342 Òàáëèöà Ï.5 Ñâîéñòâà íåêîòîðûõ òâåðäûõ òåë Âåùåñòâî Àëþìèíèé Ïëîòíîñòü, 103 êã/ì3 Òåìïåðàòóðà ïëàâ- Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü, Äæ/(êã·Ê) ëåíèÿ, °Ñ Óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ, 105 Äæ/êã 2,6 659 896 3,22 Æåëåçî 7,9 1530 500 2,72 Ëàòóíü 8,4 900 386 – Ëåä 0,9 0 2100 3,35 Ìåäü 8,6 1100 395 1,76 Îëîâî 7,2 232 230 0,586 21,4 1770 117 1,13 Ïëàòèíà Ïðîáêà 0,2 – 2050 – Ñâèíåö 11,3 327 126 0,226 Ñòàëü 7,7 1300 460 – Öèíê 7,0 420 391 1,17 10,5 960 234 0,88 Ñåðåáðî Òàáëèöà Ï.6 Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü äèýëåêòðèêîâ Âîñê 7,8 Ïàðàôèí 2 Ýáîíèò Ïàðàôèíèðîâàííàÿ áóìàãà Âîäà 81 Ñëþäà 6 Êåðîñèí 2 Ñòåêëî 6 Ìàñëî 5 Ôàðôîð 6 2,6 2 Òàáëèöà Ï.7 Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêîâ (ïðè 0 °Ñ), ìêÎì·ì Àëþìèíèé 0,025 Íèõðîì 100 Ãðàôèò 0,039 Ðòóòü 0,94 Æåëåçî 0,087 Ñâèíåö 0,22 Ìåäü 0,017 Ñòàëü 0,10 343 Ðèñ. Ï.1. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ìàãíèòíîé èíäóêöèè  îò íàïðÿæåííîñòè Í Òàáëèöà Ï.8 Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ Âåùåñòâî Ïîêàçàòåëü Âåùåñòâî Ïîêàçàòåëü Âîäà 1,33 Ñòåêëî 1,50 Ãëèöåðèí 1,47 Àëìàç 2,42 Òàáëèöà Ï.9 Ðàáîòà âûõîäà ýëåêòðîíîâ Ðàáîòà âûõîäà Ìåòàëë Äæ ý Êàëèé 3,5 · 10 –19 2,2 Ñåðåáðî 7,5 · 10–19 4,7 6,4 · 10 –19 4,0 6,9 · 10 –19 4,31 Öèíê Æåëåçî 344 Òàáëèöà Ï.10 Ìàññà è ýíåðãèÿ ïîêîÿ íåêîòîðûõ ÷àñòèö m ×àñòèöà êã Å0 à. å. ì. –31 Äæ Ìý 0,00055 8,16 · 10 –14 0,511 1,00728 1,50 · 10–10 938 Äåéòðîí 3,35 · 10 –27 2,01355 3,00 · 10 –10 1876 a-÷àñòèöà 6,64 · 10–27 4,00149 5,96 · 10–10 3733 1,00867 –10 939 Ýëåêòðîí 9,11 · 10 Ïðîòîí 1,672 · 10–27 Íåéòðîí 1,675 · 10 –27 1,51 · 10 Òàáëèöà Ï.11 Ïåðèîäû ïîëóðàñïàäà ðàäèîàêòèâíûõ èçîòîïîâ Èçîòîï Ñèìâîë Êàëüöèé 45 20 Óðàí 238 92 Ïåðèîä ïîëóðàñïàäà 164 ñóò. Ca 4,5 · 109 ëåò U 131 53 I 8 ñóò. Àêòèíèé 225 89 Ac 10 ñóò. Ðàäîí 222 86 Rn 3,8 ñóò. Éîä Òàáëèöà Ï.12 Ìàññû èçîòîïîâ, à. å. ì. Èçîòîï 1 1 Ìàññà Èçîòîï 12 6 Ìàññà H 1,00783 C 12,0 2 1 H 2,01410 14 7 N 14,00307 3 1 H 3,01605 16 8 O 15,99491 He 4,00260 17 8 O 16,99913 4 2 6 3 7 3 7 4 9 4 Li Li Be Be 10 5 B 6,01513 20 10 Ne 20,18300 7,01601 27 13 Al 26,98154 7,01693 30 14 9,01218 210 84 Si Po 29,973377 209,98297 10,01294 345 Òàáëèöà Ï.13 Ìíîæèòåëè è ïðèñòàâêè äëÿ îáðàçîâàíèÿ äåñÿòè÷íûõ êðàòíûõ è äîëüíûõ åäèíèö Îáîçíà÷åíèå ïðèñòàâêè Ìíîæèòåëü ýêñà Ïðèñòàâêà Ý 1018 ïåòà Ï 1015 òåðà Ò 1012 ãèãà à 109 ìåãà Ì 106 êèëî ê 103 ãåêòî ã 102 äåêà äà 101 äåöè ä 10–1 ñàíòè ñ 10–2 ìèëëè ì 10–3 ìèêðî ìê 10–6 íàíî í 10–9 ïèêî ï 10–12 ôåìòî ô 10–15 àòòî à 10–18 Ó÷åáíîå èçäàíèå Âîòèíîâ Ãåîðãèé Íèêîëàåâè÷, Ïåðìèíîâ Àíàòîëèé Âèêòîðîâè÷ ÔÈÇÈÊÀ Ó÷åáíîå ïîñîáèå Ðåäàêòîð è êîððåêòîð Î. Í. Äîâáèëêèíà Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 09.10.2008. Ôîðìàò 60 ´ 90/16. Óñë. ïå÷. ë. 21,75. Òèðàæ 250 ýêç. Çàêàç ¹ 233/2009. Èçäàòåëüñòâî Ïåðìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà. Àäðåñ: 614990, ã. Ïåðìü, Êîìñîìîëüñêèé ïðîñïåêò, 29, ê. 113. Òåë. (342) 219-80-33.
