Министерство образования Российской Федерации Кубанский Государственный технологический университет Кафедра прикладной математики МАТЕМАТИКА I часть Методические указания и контрольные задания для студентов МИППС первого курса технических специальностей заочной формы обучения Краснодар Издательство КубГТУ 2003 Составители: Горшкова С.Н., канд. физ.-мат. наук, доц., Данович Л.М., канд. техн. наук, доц., Арутюнян А.С., ст.преп., Наумова Н.А., ст.преп., Петрушина И.И., ст.преп. УДК 517 Математика: Методические указания и контрольные задания для студентов МИППС первого курса технических специальностей заочной формы обучения/ Кубан.гос.ун-т; сост. С.Н.Горшкова, Л.М.Данович, А.С.Арутюнян, Н.А.Наумова, И.И.Петрушина.- Краснодар,2003г. Приведены основные теоретические положения, даны необходимые формулы, разобраны типовые задачи, предложены контрольные задания. Печатается по решению Редакционно-издательского Кубанского государственного технологического университета. Рецензенты: Терещенко И.В., канд.физ.-мат. наук, Алешин В.И., канд. техн. наук. 2 совета Программа курса высшей математики Тема 1. Элементы векторной и линейной алгебры. Определители второго и третьего порядков, их свойства, вычисление. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Матрицы, действия над ними, обратная матрица, решение систем линейных уравнений матричным способом. Векторы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства, приложения. Тема 2. Элементы аналитической геометрии. Прямая на плоскости. Различные формы уравнения прямой. Прямая в пространстве. Плоскость в пространстве. Их взаимное расположение. Тема 3. Введение в анализ. Понятие функции. Предел функции, основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Тема 4. Дифференциальное исчисление. Производная функции, ее геометрический, механический и химический смысл. Основные правила и формулы дифференцирования. Производная сложной, обратной функции. Производные высших порядков. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Условия монотонности функций. Необходимое и достаточное условия экстремума. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты. Общая схема исследования функции. Тема 5. Функции нескольких переменных. Понятие функции двух и более переменных. Область определения, пределы, непрерывность. Частные производные первого и второго порядков. Экстремумы функции двух переменных. Скалярное поле, градиент, производная по направлению, связь между ними. Основная литература 1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1,2. М.: Наука, 1978 г 2. Шнейдер В.Е. и др./ Краткий курс высшей математики, / Шнейдер В.Е., Слуцкий И.А., Шумов А.С. - М.: Высш.шк., 1975 г. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980 г. Дополнительная литература 1. Игнатова А.В. и др. Курс высшей математики. М.: Высш.шк., 1964 г. 2. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков, 1965 г. Справочная литература (задачники) 1. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.:Наука,1975 г. 2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1964 г. 3 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определители. Системы Выражение вида a1b2 − b2 a1 называется определителем второго порядка и обозначается: ∆= a1 b1 a2 b2 = a1b2 − a2b1 . Рассмотрим систему: a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 где ∆= ∆1 = a1 b1 a2 b2 c1 b1 c2 b2 1 -- главный определитель, , ∆2 = a1 c1 a2 c2 -- вспомогательные определители. Они получаются заменой в главном определителе колонки коэффициентов при х (∆1) и при y (∆2) колонкой свободных членов. Решение системы по правилу Крамера имеет вид: x= ∆1 ∆ , y = 2 , ∆ ≠ 0. ∆ ∆ Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 и вычисляемое по правилу Саррюса: ∆ = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 − a31a22 a13 − a32 a23a11 − a21a12 a33 . • • • + • • • • • • • • • • • • • • • _ Произведение этих элементов берем с противоположными знаками Произведение этих элементов берем со своими знаками Для систем трех уравнений с тремя неизвестными a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a x + a y + a z = b 32 33 3 31 правило Крамера имеет вид: x= ∆1 ∆ ∆ , y= 2,z= 3, ∆ ∆ ∆ 30 где a11 a12 a13 ∆ = a21 a22 a31 a32 b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 a23 , ∆1 = b2 a22 a23 , ∆ 2 = a21 b2 a23 , ∆ 3 = a21 a22 a33 a32 a33 a33 b3 a31 b3 a31 a32 b1 b2 , ∆ ≠ 0 b3 Пример (см.задание III) Найти решение системы с помощью правила Крамера. 2 x − 4 y + 9 z = 28 7 x + 3 y − 6 z = −1 7 x + 9 y − 9 z = 5 Решение. 2 −4 9 ∆ = 7 3 − 6 = 2 ⋅ 3 ⋅ ( − 9) + ( − 4) ⋅ ( − 6) ⋅ 7 + 7 ⋅ 9 ⋅ 9 − 7 ⋅ 3 ⋅ 9 − 9 ⋅ ( − 6) ⋅ 2 − 7 ⋅ ( − 4) ⋅ ( − 9) = 7 9 −9 = −54 + 168 + 567 − 189 + 108 − 252 = 348, 28 − 4 9 ∆1 = − 1 3 − 6 = 28 ⋅ 3 ⋅ (−9) + (−4) ⋅ (−6) ⋅ 5 + (−1) ⋅ 9 ⋅ 9 − 5 ⋅ 3 ⋅ 9 − 9 ⋅ (−6) ⋅ 29 − (−1) ⋅ (−4) ⋅ (−9) = 5 9 −9 = −756 + 120 − 81 − 135 + 1512 + 36 = 696, 2 28 9 ∆ 2 = 7 − 1 − 6 = 2 ⋅ (−1) ⋅ (−9) + 28 ⋅ (−6) ⋅ 7 + 7 ⋅ 5 ⋅ 9 − 7 ⋅ (−1) ⋅ 9 − 5 ⋅ (−6) ⋅ 2 − 7 ⋅ 28 ⋅ (−9) = 7 5 −9 = 18 − 1176 + 315 + 63 + 60 + 1764 = 1044, 2 − 4 28 ∆3 = 7 3 − 1 7 9 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + (−4) ⋅ (−1) ⋅ 7 + 7 ⋅ 9 ⋅ 28 − 7 ⋅ 3 ⋅ 28 − 9 ⋅ (−1) ⋅ 2 − 7 ⋅ (−4) ⋅ 5 = 5 = 30 + 28 + 1764 − 588 + 18 + 140 = 1392, ∆ 696 ∆ 1044 ∆ 1392 x= 1 = = 2, y = 2 = = 3, z = 3 = = 4. ∆ 348 ∆ 348 ∆ 348 Ответ: (2, 3, 4). ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Векторы Вектором называется направленный отрезок прямой или упорядоченная пара точек (про которые известно, какая первая – начало, какая вторая – конец). 31 r r Обозначают: АВ или a . Векторы, расположенные на одной rпрямой или на параллельных r прямых, называются коллинеарными: a ↑↓ b . r r Если a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) , то a = x12 + y12 + z12 - длина вектора; r r a ± b = ( x1 ± x2 , y1 ± y2 , z1 ± z2 ) ; r k ⋅ a = (kx1 , ky1 , kz1 ) , k- число; r x y z r 4) a ↑↓ b ⇔ 1 = 1 = 1 . x2 y2 z2 1) 2) 3) Если заданы две точки A(x1, y1, z1) , B(x2, y2, z2), то r 1) AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ); 2) если r AC r = λ , тогда координаты точки С, делящей отрезок в CB заданном отношении, находится по формулам: x= x1 + λx 2 , 1+ λ y= y1 + λy2 z + λz 2 , z= 1 1+ λ 1+ λ В частности, если С – середина отрезка, то xc = x1 + x2 , 2 yc = y1 + y2 z +z , zc = 1 2 . 2 2 Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается: r r r r r ∧r a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos(a , b ) . r r Если заданы координаты векторов a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) , то r r a ⋅ b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 , - координатная форма скалярного произведения. Из (1) следует: r r r∧ r a ⋅b cos(a b ) = r r = a⋅b x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x + y12 + z12 x22 + y122 + z22 2 1 Пример (см. задание 1.1, 1.2 ) Даны точки А1(1, -1, 2), А2(2,r1, 3), rА3(-2, 4, 2). Найти: 1) длины векторов A1 A2 , A1 A3 , r r 2) угол между ребрами A1 A2 , A1 A3 . Решение. Найдем координаты векторов: r A1 A2 =(2-1, 1-(-1), 3-2)=(1, 2, 1), 32 . (1) r A1 A3 =(-2, 4-(-1), 2-2)=(-3, 5, 0). Тогда длины векторов: r A1 A2 = 12 + 2 2 + 12 = 1 + 4 + 1 = 6 , r A1 A3 = (−3) 2 + 52 + 0 2 = 9 + 25 = 34 , r r r ∧ r A1 A2 ⋅ A1 A3 1 ⋅ (−3) + 2 ⋅ 5 + 1 ⋅ 0 cos( A1 A2 , A1 A3 ) = = r r = 6 ⋅ 34 A1 A2 ⋅ A1 A3 r ∧ r 7 7 = . 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 17 2 51 7 . 2 51 Тогда ( A1 A2 , A1 A3 ) = arccos Замечание. Если получите cos ϕ=-a, где 0<a≤1 (a-const), то ϕ = π-arccos a. Векторное произведение r r r Векторным произведением векторов a и b называется вектор c , обладающий следующими свойствами: r r r r 1) c ⊥a , c ⊥b ; r r r r ∧ r 2) c = a ⋅ b ⋅ sin(a , b ) ; 3) вектор направлен так, как направлен винт при вращении его по кратчайшему расстоянию от первого перемножаемого вектора ко второму. Из определения следует: r r r r 1) a × b = −b × a ; r r r r 2) S = a × b - площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b . r 1 r r r a × b - площадь треугольника, построенного на векторах a и b . 2 r r Если заданы координаты векторов a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ) , то r r y1 z1 x1 z1 x1 y1 a × b = ;− ; y z x z x y 2 2 2 2 2 2 3) S∆ = r r r i r r j k r y1 или a × b = x1 y1 z1 = i y2 r x1 r x1 z1 −j +k z2 x2 z2 x2 z1 y1 y2 , x2 y2 z2 r r r где i , j , k - единичные векторы на осях ОХ, ОY, OZ. Пример (см.задание 1.4) Найти площадь грани А1А2А3, если А1(-1,2,0), А2(-2,0,4), А3 (-3,3,0). Решение. r r А1 А2 (−1,−2,4), А1 А3 (−2,1,0) . 33 r r − 2 4 −1 4 −1 − 2 = (−4;−8;−5) . ; ; 1 0 − 2 0 − 2 1 Тогда А1 А2 × А1 А3 = r r А1 А2 × А1 А3 = (−4) 2 + 82 + (−5) 2 = 16 + 64 + 25 = 105 . Площадь грани равна: S∆A A A = 1 2 Ответ: S∆A A A = 1 2 3 3 1 105 . 2 1 105 . 2 Смешанное произведение r r Если вектор a умножить векторно на вектор b , а потом r r r получившийся вектор a × b скалярно умножить на вектор c , то полученное число называетсяr смешанным произведением трех векторов. r r Обозначается: ab c . Если r известны координаты векторов r r a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ), c ( x3 , y3 , z z ) , то x1 r rr ab c = x2 x3 y1 z1 y2 y3 z2 . z3 Можно доказать, что модуль смешанного произведенияr численно равен r r объему параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c , как на сторонах, т.е. r rr V = ab c - объем параллелепипеда. V = 1 r rr a b c - объем пирамиды. 6 Пример (см.задание 1.5) Найти объем пирамиды с вершинами А1(0,-1,2), А2(-1,0,6), А3(-2,1,0), А4(0,1,4). Решение. r r r A1 A2 (−1,1,4), A1 A3 (−2,2,2), A1 A4 (0,2,2) . −1 1 4 r r r A1 A2 A1 A3 A1 A4 = − 2 2 2 = −4 − 16 − 4 + 4 = −20 . 0 2 2 Тогда объем пирамиды: r r 1 r 1 1 A1 A2 A1 A3 A1 A4 = ⋅ − 20 = 3 . 6 6 3 1 Ответ: V = 3 . 3 V = 34 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Прямая на плоскости x − x1 y − y1 = m n каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную точку r A1(x1, y1), параллельно вектору l (m, n) . r l - направляющий вектор. x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1 - уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки A(x1, y1), A(x2, y2). y-y1=k(x-x1) уравнение пучка прямых с центром A(x1, y1 ) и угловым коэффициентом k. y=kx+b уравнение прямой с угловым коэффициентом. уравнение прямой, A(x-x1)+B(y-y1)=0 проходящей через точку A1 ( x1 , y1 ) r перпендикулярно вектору N ( A, B) . r N - нормаль прямой. После упрощения последнего уравнения получаем: Ax+By+C=0 - общее уравнение прямой, где C=-(Ax1+By1). A B Угловой коэффициент прямой находим по формуле k = − . Угол между двумя прямыми равен углу между их нормалями или направляющими векторами (см. скалярное произведение). Если k1 , k2 - угловые коэффициенты двух прямых, то при k1 = k2 - прямые параллельны, при k2 = − 1 - прямые перпендикулярны. k1 Пример Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3, 4): а) параллельно прямой 2x-5y+1=0, b) перпендикулярно прямой 2x-5y+1=0. Решение. 35 r а) 2x-5y+1=0; N (2,−5); A = 2, B = −5 . k1 = − A 2 2 =− = . B −5 5 2 5 Если прямые параллельны, то k1 = k2 = . 2 5 Используем уравнение y-y1=k(x-x1), где k = , М(3, 4). 2 5 y-4= (x-3); 5(y-4)=2(y-3); 2x+5y+14=0. b) Если прямые перпендикулярны, то k2 = − 1 5 =− . k1 2 5 y − 4 = − ( x − 3) ; 2 2( y − 4) = −5( x − 3) ; 5 x + 2 y − 23 = 0 . Прямая в пространстве x − x1 y − y1 z − z1 = = m n p каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку Ar1(x1, y1, z1), параллельно вектору l (m; n; p) . r l -- направляющий вектор. Замечание. Если обращается в ноль одна из координат направляющего вектора, например m , то уравнение прямой принимает вид: x = x1 y − y1 z − z1 - n = p это прямая, лежащая в плоскости x=x1. Если равны нулю две координаты направляющего вектора, например m=n=0, то уравнение прямой примет вид: x = x1 - эта прямая есть пересечение двух плоскостей x=x1 y = y1 есть параллельна оси OZ. 36 и y=y1, то x − x1 y − y1 z − z1 = = -- уравнение x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 прямой, проходящей через две точки A1 ( x1 , y1 , z1 ), A2 ( x2 , y2 , z2 ) . Пример (см. задание 1.6) Составим уравнение прямых А1, А2 и А1А3. А1(2, 0, 3), А2(-1, 0, 8), А3(0, 2, 4). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: x − x1 y − y1 = ; x2 − x1 y2 − y1 x−2 y −0 z −3 = = ; −1− 2 0 − 0 8 − 3 x−2 y −0 z −3 = = -- уравнение прямой A1A2. −3 0 5 Эта прямая лежит в плоскости y = 0 (т.е. в плоскости OXZ) и ее уравнение можно записать так: y = 0 x − 2 z −3 . − 3 = 5 Плоскость в пространстве A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = 0 - уравнение плоскости, проходящей через точку A1 ( x1 , y1 , z1 ) , перпендикулярно r вектору N ( A, B, C ) - нормали к плоскости. x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 x3 − x1 y2 − y1 y3 − y1 z2 − z1 = 0 -- уравнение z3 − z1 плоскости, проходящей через три заданные точки A1 ( x1 , y1 , z1 ), A2 ( x2 , y2 , z2 ), A3 ( x3 , y3 , z3 ) . Если две плоскости заданы общими уравнениями: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B 2 y + C2 z + D2 = 0, то по уравнениям двух плоскостей можно определить их нормали r v N1 ( A1 , B1 , C1 ), N ( A2 , B2 , C2 ) . 37 На основании теоремы об углах, образованных взаимно перпендикулярными сторонами, один из углов между плоскостями можно определить как угол между нормалями по формуле: cos ϕ = r r N1 ⋅ N 2 r r N1 ⋅ N 2 A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 2 A12 + B12 + C1 ⋅ A22 + B22 + C22 . Пример (см.задание 1.7) Составить уравнение плоскости А1А2А3, если А1(2, 0, ,3), А2(-1, 0, 8), А3(0,2,4). Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки: x − x1 x2 − x1 x3 − x1 y − y1 y2 − y1 y3 − y1 x−2 z − z1 z2 − z1 = 0 , z3 − z1 z −3 y −1− 2 0 − 0 8 − 3 = 0 , 0−2 2−0 4−3 x−2 y z −3 −3 −2 0 2 5 1 = 0. Раскроем определитель: (x-2)·0+y·5·(-2)+(z-3)·(-3)·2-(z-3)·0-(x-2)·2·5-y·(-3)·1=0; -10(x-2)-7y-6(z-3)=0; -10x-7y-6z+38=0 – уравнение плоскости А1А2А3. Прямая и плоскость в пространстве x − x1 y − y1 z − z1 r = = , l (m, n, p ) m n p r и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 , N ( A, B, C ) 1. Острый угол между прямой определяется по формуле: sin ϕ = Am + Bn + Cp A + B + C 2 ⋅ m2 + n2 + p 2 2 2 . 2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид: Am+Bn+Cp=0. 3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид: A B C = = . m n p Пример1 (см. задание 1.3) 38 Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3, если А1(2, 0, ,3), А2(-1,0,8), А3(0, 2, 4) А4(0, 5, 6). Решение. 1. Составим уравнение плоскости А1А2А3, как плоскости, проходящей через три точки (мы сделали это в предыдущем примере). Уравнение плоскости А1А2А3 имеет вид: 10x+7y+6z-38=0. r N (10,7,6) - нормаль к плоскости, r N = 10 2 + 7 2 + 6 2 = 185 . r 2. A1 A4 (−2,5,3), r A1 A4 = (−2) 2 + 52 + 32 = 38 . r r N ⋅ A1 A4 10 ⋅ (−2) + 7 ⋅ 5 + 6 ⋅ 3 33 . sin ϕ = r = r = 185 ⋅ 38 185 ⋅ 38 N ⋅ A1 A4 ϕ = arcsin 33 . 185 ⋅ 38 Пример 2(см. задание 1.8) Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. 1. Составим уравнение грани А1А2А3 (мы составляли его ранее – см. предыдущий пример). 10x+7y+6z-38=0. r N (10,7,6) - нормаль к плоскости. 2. Составим уравнение высоты, опущенной из А4. Прямая А4 М ⊥ плоскости А1А2А3, следовательно, нормаль к плоскости есть ее направляющий вектор r r l = N (10,7,6) . Используем каноническое уравнение прямой в пространстве: x − x1 y − y1 z − z1 = = , А4(0, 5, 6). m n1 p x−0 y −5 z −6 = = -- уравнение высоты. 10 71 61 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Пределы 1. Функция называется бесконечно малой при х→а , если lim f ( x) = 0 . x→a 39 2. Функция называется бесконечно большой при х→а, если она по модулю больше любого наперед заданного положительного числа. Символическая запись: lim f ( x) = ∞ . x→a 3. Если f(x) – бесконечно большая функция при х→а, то 1 -- бесконечно f ( x) малая функция при х→а. 4. Если f(x)≠0 – бесконечно малая функция при х→а, то 1 -- бесконечно f ( x) большая функция при х→а. Примеры x3 + 1 0 = lim = 0 , 2 x +`1 x −1 2 x 2 − 5 x + 10 const = ∞ , 2) lim = 2 x →5 x − 25 беск.мал.ф. 1) xlim → −1 3) lim x →π cos 3x const = 0 . = ctgx беск.больш.ф. Неопределенность ∞ ∞ Чтобы раскрыть неопределенность такого вида, надо числитель и знаменатель почленно разделить на неизвестное слагаемое в наивысшей степени. Пример (см.задание IV.а) 2 x3 x 3 2+ 1 2 2+0 2 3 + 2x + x ∞ x x x = = = lim 3 = lim = . lim 3 x →∞ 5 x + 3 x → ∞ x → ∞ 3 5x 3 + 3 3 5+ 3 5+0 5 ∞ x x x 3 Для контроля следует помнить: 1) если степени многочленов в числителе и знаменателе равны, то предел равен отношению старших коэффициентов (коэффициент при высших степенях); 2) если степень числителя выше степени знаменателя, то предел равен бесконечности; 3) если степень числителя ниже степени знаменателя, то предел равен нулю. Неопределенность 1) lim x←a 0 0 P( x) 0 = , Q( x) 0 где P(x), Q(x) – многочлены. В этом случае надо числитель и знаменатель разделить на (х-а) один или несколько раз. Пример (см. задание IV. b) 40 1 2( x − 5)( x − ) 2 x − 11x + 5 0 2 = lim 2 x − 1 = 9 = 3 lim 2 = = lim x → 5 x −7 x + 10 x ← 5 x →5 x − 2 ( x − 5)( x − 2) 3 0 2 2 x − 11x + 5 = 0 2 x1, 2 = 1 ± 121 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 11 ± 81 11 ± 9 1 = = , x1 = 5, x2 = 4 4 4 2 тогда 2x2-11x+5=2(x-x1)(x-x2)=2(x-5)(x-1/2). x 2 − 7 x + 10 = 0 x1, 2 = 7 ± 49 − 4 ⋅ 10 7 ± 9 7 ± 3 = = , x1 = 5, x2 = 2 2 2 2 тогда x2-7x+10=(x-5)(x-2); 2) если 0 и есть иррациональность, то числитель и знаменатель надо 0 домножить на сопряженную величину. Пример ( )( ) 2 + x − 2 0 2−x −2 2+ x +2 2+ x−4 = = lim = lim = x → 2 x → 2 x−2 ( x − 2) 2 + x + 2 ( x − 2) 2 + x + 2 0 x−2 1 = lim = ; x → 2 ( x − 2) 2+ x +2 4 lim x→2 ( ( ) ( ) 3) первый замечательный предел: lim α →0 sin α α =1 позволяет раскрывать неопределенность 0 . 0 Следствия: lim arcsin α =1 α tgα lim =1 α →0 α arctgα lim =1 x →α α α →0 Примеры (см. задание IV.c) x x x 1 sin sin 1 1 0 2 = 2 2 = . 0 = 2 lim x ← 0 2 x x x2 2 2 2 2 3x 5x 3 5x 3 0 ( 2. lim 3x ⋅ ctg 5 x ) = [0 ⋅ ∞ ] = lim = = 3 lim = lim = . x →0 x → 0 tg 5 x x → 0 5tg 5 x 5 x → 0 tg 5 x 5 0 1 − cos x 0 1. lim = = lim x →0 x2 0 x →0 2 sin 2 41 ) Неопределенность 1∞ Неопределенность такого вида раскрывается с помощью второго замечательного предела: n 1 1 lim 1 + = lim (1 + α ) α = e . β →0 n →∞ n Пример x −1 lim x →∞ x + 3 x+2 x −1 = [1 ] = lim 1 + − 1 x+3 x+2 ∞ x →∞ −4 x+3 x+3 − 4 −4 = lim 1 + x →∞ x + 2 x −1− x − 3 = lim1 + x →∞ x+3 x+2 = ( x + 2) lim = ex→∞ − 4 x −8 x+3 = e− 4 Непрерывность функции в точке Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х=х0, если выполнены условия: 1) функция определена в точке х=х0 и в некоторой окрестности содержащей эту точку; 2) функция имеет предел в этой точке, то есть lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) x → x0 − 0 x → x0 + 0 x → x0 (существуют и равны между собой односторонние пределы); 3) предел функции равен значению функции в этой точке: lim f ( x) = f ( x0 ) . x ← x0 Если нарушается хотя бы одно из этих условий, тогда х0 – точка разрыва функции. Если оба односторонних предела существуют и являются конечными числами, не выполнено третье условие, то х0 – точка разрыва первого рода. Все остальные точки разрыва – второго рода. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Производная Производной функции y=f(x) точке х0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ∆х при произвольном стремлении ∆х к нулю, то есть: ∆y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = lim . ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x y| ( x0 ) = lim Выясним геометрический смысл производной. Напомним, что касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей. tgβ = ∆y , где β -- угол наклона касательной ∆x к оси ОХ. 42 При ∆х →0, точка М→М0, секущая приближается к своему предельному положению – к касательной, то есть lim β = α , ∆x → 0 ∆y = tgα . ∆x → 0 ∆x lim tgβ = lim ∆x → 0 Тогда y′( x0 ) = tgα , то есть производная в точке х0 численно равна тангенсу угла касательной к графику кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0 . Для сложной функции справедливы формулы: 1.C ′ = 0 2.(CU )′ = CU ′ 3.(U ± V )′ = U ′ ± V ′ 4.(UV )′ = U ′V + UV ′ ′ U U ′V − UV ′ 5. = , V ≠0 V2 V ′ 6. U n = nU n −1 ⋅ U ′ ′ 7. a U = a U ln a ⋅ U ′ ′ 8. e U = e U U ′ 9.(sin U )′ = cos U ⋅ U ′ 10.(cos U )′ = − sin U ⋅ U ′ 1 U′ sin 2 U 1 13.(arcsin U )′ = U′ 1−U 2 1 14.(arccos U )′ = − U′ 1−U 2 1 15.(arctgU )′ = U′ 1+U 2 1 16.(log a U )′ = U′ U ln a 1 17.(ln U )′ = U ′ U 1 18.(arcctgU )′ = − U′ 1+U 2 12.(ctgU )′ = − ( ) ( ) ( ) 11.(tgU )′ = 1 U′ cos 2 U Примеры (см.задание V) 1) y = cos x 2 ⋅ ln 2 x y′ = (cos x 2 )′ ln 2 x + cos x 2 (ln 2 x)′ = − sin x 2 ⋅ ( x 2 )′ ⋅ ln 2 x + cos x 2 ⋅ 2 ln x ⋅ (ln x)′ = 1 = −2 x ⋅ sin x 2 ln x + cos x 2 2 ln x ⋅ ; x 5 ln(sin x) 2) y = 3 2 ; x ′ 2 −1 2 1 −2 −2 y′ = x 3 ⋅ 5 ln(sin x) = 5 ⋅ − x 3 ln(sin x) + 5 x 3 ⋅ ⋅ cos x ; 3 sin x x2 e 3) y = arcsin x 2 2 1 e x ⋅ 2 x ⋅ arcsin x − e x ⋅ 1 − x2 . y′ = 2 arcsin x 43 Производные высших порядков Пусть функция y=f(x) имеет производную f /(x). Допустим, что эта функция тоже имеет производную. Тогда первая производная от первой производной называется производной второго порядка: y//=(y/)/ или d 2 y d dy = . dx 2 dx dx Производная от второй производной, называется третьей производной и т.д. Пример если она существует, d2y , если y=x2 lnx. 2 dx dy 1 y/= = 2 x ln x + x 2 = 2 x ln x + x , dx x 2 d y 1 y//= 2 = (2 x ln x + x)′ = 2 ln x + 2 x + 1 = 2 ln x + 3 . dx x Найти Исследование функции и построение графика Исследование проведем по следующему плану: 1. Область определения функции (О.Д.З.) 2. Точки пересечения графика функции с осями координат: х=0, y=? y=0, x=? 3. Исследуем функцию на четность или нечетность. Если область определения функции симметрична относительно х=0 и f(-x)=f(x), то функция четная и ее график симметричен относительно оси OY. Если область определения функции симметрична относительно х=0 и f(-x)=-f(x), то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Если не выполнены условия четности и нечестности, то функция общего вида, ее дальнейшее исследование проводим на всей оси О.Д.З. 4. Исследуем функцию на непрерывность, ищем точки разрыва, если они есть. 5. Асимптоты. Асимптотой называется прямая, расстояние от которой до переменной точки графика стремится к нулю при удалении этой точки по графику от начала координат. 1) если х0 -- есть точка разрыва функции II рода, то прямая х=х0 есть вертикальная асимптота графика функции; 2) наклонные асимптоты графика имеют вид y=kx+b, где k = lim x →∞ f ( x) , b = lim ( f ( x) − kx) x →∞ x 44 и эти пределы конечны. Если хотя бы один предел не существует или равен бесконечности, то график функции не имеет наклонных асимптот. Если k=0, b – конечное число, то y=b есть горизонтальная асимптота. 6. Интервалы монотонности. Экстремумы. 1) находим y/(x); 2) находим критические точки из условия: y′ = 0 или y′ не существует. 3) исследуем знак производной слева и справа от критических точек: если f (x) непрерывна и f ′( x) > 0 на (a, b), то f (x) возрастает, если f ′( x) < 0 , то f (x) убывает. Если производная при переходе через критическую точку х0 меняет свой знак с «+» на «-», то х0 – точка максимума, а если с «-» на «+» точка минимума функции. 6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. График функции называется выпуклым (вогнутым) на (a, b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале. 1) находим y′′(x) ; 2) ищем критические точки второго рода – точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует; 3) исследуем знак второй производной слева и справа от критических точек второго рода: если функция дважды дифференцируема на (a; b) и f ′′( x) > 0 ( f ′′( x) < 0) , то график функции на этом интервале вогнутый (выпуклый). 45 Точка графика непрерывной функции, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба графика функции. 4) ищем точки перегиба графика функции: если при переходе через х0 вторая производная f ′′(x) меняет свой знак, то в точке с абсциссой х0 график функции имеет точку перегиба. 8. При необходимости ищем несколько дополнительных точек. 9. Строим график функции. Замечание. Рекомендуем начать построение графика функции со второго пункта предложенного плана. Примеры (см. задание VI) I. Исследовать функцию и построить ее график: y = 2x + 1 . x + x +1 2 1) x 2 + x + 1 ≠ 0 при х∈ R , так как D=1-4=-3<0. D ( y ) : (−∞;+∞) ; 2) найдем точки пересечения графика с осями координат: x=0, y=1; y=0, x=- 0,5; − 2x + 1 - функция общего вида; x2 − x + 1 4) функция непрерывна на (−∞,+∞) , точек разрыва нет; 3) y (− x) = 5) вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: f ( x) 2x + 1 = lim = 0, x ← ±∞ x x( x 2 + x + 1) 2x + 1 b = lim( f ( x) − kx) = lim 2 = 0. x±∞ x → ±∞ x + x + 1 k = lim x → ±∞ Следовательно, y=0 – горизонтальная асимптота; 6) исследуем функцию на возрастание и убывание. y′ = = (2 x + 1)′( x 2 + x + 1) − ( x 2 + x + 1)′(2 x + 1) 2( x 2 + x + 1) − (2 x + 1)(2 x + 1) = = ( x 2 + x + 1) 2 ( x 2 + x + 1) 2 2x2 + 2x + 2 − 4x2 − 2x − 1 − 2x2 − 2x + 1 = ( x 2 + x + 1) 2 ( x 2 + x + 1) 2 y′ = 0; − 2 x 2 − 2 x + 1 = 0; 2 x 2 + 2 x − 1 = 0 ; − 2 ± 4 + 4 ⋅ 2 ⋅ 1 − 2 ± 12 − 2 ± 2 3 − 1 ± 3 = = = 4 4 4 2 −1+ 3 −1− 3 x1 = , x2 = -- критические точки. 2 2 x1, 2 = Исследуем знак производной слева и справа от этих точек: 46 х= −1− 3 2 ⋅ (−1,37) + 1 ≈ −1,37 -- точка минимума; ymin≈ ≈ −1,15 , 2 (−1,37) 2 − 1,37 + 1 x= −1+ 3 2 ⋅ 0,37 + 1 ≈ 0,37 -- точка максимума; ymax ≈ ≈ 1,15 . 2 (0,37) 2 + 0,37 + 1 7) ′ − 2 x 2 − 2 x + 1 (−4 x − 2)( x 2 + x + 1) 2 − 2( x 2 + x + 1)(2 x + 1)(−2 x 2 − 2 x + 1) = y′′ = 2 = 2 ( x 2 + x + 1) 4 ( x + x + 1) − 2(2 x + 1)( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 1 − 2 x 2 − 2 x + 1) − 2(2 x + 1)(− x 2 − x + 2) 2(2 x + 1)( x 2 + x − 2) = = = ; ( x 2 + x + 1) 4 ( x 2 + x + 1)3 ( x 2 + x + 1)3 Критические точки второго y′′ = 0 ⇒ 2 x + 1 = 0 или x1 = − 1 , 2 рода найдем из уравнения: x + x−2 = 0; 2 −1± 1+ 4 ⋅ 2 ; 2 x2 = −2, x3 = 1 x2,3 = Исследуем знак второй производной слева и справа от этих точек: x = −2; x = − 1 2 ; x = 1 -- абсциссы точек перегиба графика функции. y ( − 2) = ( − 2) ⋅ 2 + 1 = −1 (−2) 2 + (−2) + 1 1 2 − + 1 2 y (− 1 2) = =0 2 1 1 − − +1 2 2 2 ⋅1 + 1 y (1) = 1 =1 1 +1+1 -- ординаты точек перегиба графика функции. 47 2 1 ( 2x+ 1) 2 x + x+ 1 10 5 0 5 10 1 2 x II. Исследовать функцию и построить ее график: y = ( x − 1) 2 . ( x + 1)3 1) x + 1 ≠ 0, x ≠ 1 , D( y ) = (−∞;−1) ∪ (−1;+∞) ; 2) найдем точки пересечения графика с осями координат: x=0, y=1 - с осью ОY, y=0, x=1 - c осью ОХ; 3) функция общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно начала координат; 4) х=-1 – точка разрыва второго рода, так как ( x − 1) 2 (−1 − α − 1) 2 ( −2 − α ) 2 4 + 4α + α 2 4 = lim = lim = lim = lim = −∞, x → −1− 0 ( x + 1) 3 α → 0 ( −1 − α + 1)3 α → 0 + ( −α ) 3 α →0 + −α3 −0 ( x − 1) 2 (−1 + α − 1) 2 ( −2 + α ) 2 4 + 4α + α 2 4 lim = lim = = lim = lim = +∞; x → −1+ 0 ( x + 1) 3 α → 0 + ( −1 + α + 1)3 α → 0 + ( +α )3 α →0 + +α3 +0 5) а) х=-1 вертикальная асимптота, так как х=-1 – точка разрыва второго рода; б) наклонные асимптоты: x2 2x 1 − + f ( x) ( x − 1) 2 x2 − 2x + 1 0 x4 x4 x4 k = lim = lim = lim = lim = =0 4 3 2 2 3 4 3 2 x → ±∞ x → ±∞ x ( x + 1) x →∞ x + 3x + 3x + x x →∞ x 3 x 3x x x 1 + 4 + 4 + 4 4 x x x x x2 2x 1 − + x2 − 2 x + 1 0 x3 x3 x3 b = lim( f ( x) − kx) = lim 3 = lim = = 0. 3 2 2 x±∞ x → ±∞ x + 3 x + 3 x + 1 x →∞ x 3x 3x 1 1 + 3 + 3+ 3 3 x x x x Следовательно, y=0 – горизонтальная асимптота; 6) исследуем функцию на возрастание и убывание. 48 y′ = (( x − 1) 2 )′( x + 1)3 − ( x − 1) 2 (( x + 1)3 )′ 2( x − 1)( x + 1)3 − ( x − 1) 2 ⋅ 3( x + 1) 2 = = (( x + 1)3 ) 2 ( x + 1)6 ( x + 1) 2 ( x − 1)(2( x + 1) − 3( x − 1)) ( x − 1)(5 − x) = = ; ( x + 1) 6 ( x + 1) 4 y′ = 0; ( x − 1)(5 − x) = 0; x1 = 1, x2 = 5 -- критические точки. Исследуем знак производной слева и справа от этих точек: х=1 - точка минимума; ymin=y(1)=0, x=5 - точка максимума; ymax=y(5)= 2 ; 27 7) исследуем функцию на выпуклость – вогнутость. ′ ( x − 1)(5 − x) (6 − 2 x)( x + 1) 4 − (6 x − 5 − x 2 ) ⋅ 4( x + 1)3 = = y′′ = 4 (( x + 1) 4 ) 2 ( x + 1) ( x + 1)3 ((6 − 2 x)( x + 1) − 4(6 x − 5 − x 2 )) 2 x 2 − 20 x + 26 2( x 2 − 10 x + 13) = = = ; ( x + 1)8 ( x + 1)5 ( x + 1)5 Критические точки второго рода найдем из уравнения: y′′ = 0 ⇒ x 2 − 10 x + 13 = 0 ; x1, 2 = 5 ± 12 , x1, 2 = 5 ± 2 3 , x1 = 5 + 2 3 ≈ 8,4, x2 = 5 − 2 3 ≈ 1,6 Исследуем знак второй производной слева и справа от этих точек: x1 = 5 + 2 3 ≈ 8,4, x2 = 5 − 2 3 ≈ 1,6 -- абсциссы точек перегиба графика функции. y (5 − 2 3 ) ≈ 0,02 y (5 + 2 3 ) ≈ 0,066 -- ординаты точек перегиба графика функции. 49 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ На практике часто встречаемся с величинами, значения которых зависят от нескольких величин, изменяющихся независимо друг от друга. Рассмотрим простейший случай, когда таких независимых переменных две. Пусть М – некоторое множество пар ( x, y ) действительных чисел. Функцией двух переменных называется правило (закон), по которому каждой паре чисел ( x, y ) ∈ М ставится в соответствие единственное число z ∈ Z , при условии, что каждое z ∈ Z соответствует хотя бы одной паре ( x, y ) ∈ М . x,y – независимые переменные; М – область определения; Z – область значений; Z = f ( x, y ) Так как каждой паре ( x, y ) соответствует единственная точка P(x, y) и обратно, то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки Р. Если функция двух переменных задана с помощью аналитического выражения (формулы) без каких-либо дополнительных условий относительно области определения, то областью определения принято считать множество таких точек плоскости Оxy (пар ( x, y ) ), для которых это аналитическое выражение имеет смысл и дает действительное значение функции. Пример: функция z = x + 3y x− y определена для всех точек ( x, y ) плоскости Оxy, кроме точек прямой x-y=0. Частные производные Рассмотрим функцию двух переменных Z = f ( x, y ) . Зафиксируем одну из переменных, например, пусть y = y0 . Тогда f ( x, y0 ) -- функция одной переменной х. ∆ x Z = f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) -- частное приращение функции Z = f ( x, y ) по переменной х. 50 Аналогично, если зафиксируем х=х0, то ∆ y Z = f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) -- частное приращение функции Z = f ( x, y ) по переменной y. Если существуют конечные пределы, то: ∆xZ ∂Z = f x′( x0 , y0 ) = -∆x → 0 ∆x ∂x lim называется частной производной по х (или частной производной первого порядка); lim ∆y → 0 ∆ yZ ∆y = f y′ ( x0 , y0 ) = ∂Z -∂y называется частной производной по y. Выводы: 1. Частная производная функции двух переменных по одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему это приращение аргументу, когда приращение аргумента стремится к нулю. 2. Частные производные в точке (x0, y0) – это числа, зависящие от координат точки, в которой вычисляются, то есть в общем случае это функция двух переменных. 3. Частная производная определяется как производная функции одной переменной (другую переменную фиксировали), поэтому для частных производных справедливы все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной. Следует помнить, что при нахождении частной производной какому-либо аргументу, все аргументы считаются постоянными. Примеры 1) z = x 2 + xy 3 + y + 1 ; ∂z ∂z = 2 x + y3 , = 3 xy 2 + 1 . ∂x ∂y x 2) z = ; y ∂z 1 ∂z x = , =− 2. ∂x y ∂y y Частные производные высших порядков Частные производные первого порядка есть функции двух переменных и, в свою очередь, могут иметь частные производные. Если существуют частные производные от частных производных по x и y, то их называют частными производными второго порядка и обозначают: 51 ∂z ∂ 2 ∂ z ∂x = z′′ ; ∂ z = = xx ∂x ∂y 2 ∂x 2 2 ∂z ∂ ∂y = z′′ ; y ∂y ∂z ∂z ∂ ∂ 2 ∂y ∂ z ∂ z ∂x = = z′yx′ ; = = z′xy′ . ∂y ∂y∂x ∂x ∂x∂y 2 Частные производные, вычисленные по различным аргументам, называются смешанными. Теорема. Если смешанные производные есть непрерывные функции, то они равны между собой: z′xy′ = z′yx′ . Аналогично определяются производные третьего и более порядков. Производная по направлению. Градиент Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины. Примеры Тело, имеющее в каждой точке определенное значение температуры – скалярное поле. Неоднородное тело, каждой точке которой соответствует определенная плотность – скалярное поле плотности. Во всех этих случаях скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения (координат) точки М в пространстве, то есть u = f ( M ) = f ( x, y, z ) -- это функция трех переменных, она называется функцией поля. И обратно, всякая функция трех переменных u=f(x, y, z) задает некоторое скалярное поле. Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных z=f(x, y). Рассмотрим скалярное поле u=f(x, y, z). Вектор, координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в заданной точке, называется градиентом функции в этой точке. → r r r grad f ( M 0 ) = f x′( M 0 )i + f y′ ( M 0 ) j + f z′( M 0 )k или → grad f ( M 0 ) = ( f x′( M 0 ); f y′ ( M 0 ); f z′( M 0 )) r Рассмотрим некоторый вектор s и на нем две точки M0(x0, y0, z0) и r M 1 ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) . Найдем приращение функции в направлении s : ∆ S u = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) . 52 Производной по направлению называется следующий предел, если он существует: ∂u ∆ u = lim S . ∂s ∆s → 0 ∆s ∂u = f x′( M 0 ) cos α + f y′ ( M 0 ) cos β + f z′( M 0 ) cos γ ∂s x y z где cosα = 2 2 2 , cos β = 2 2 2 , cos γ = 2 2 2 -x +y +z x +y +z x +y +z r направляющие косинусы вектора s ; α, β, γ -- углы, которые образует вектор с осями координат. Для функции двух переменных эти формулы принимают вид: ∂u = f x′( Р0 ) cosα + f y′ ( Р0 ) cos β или ∂s так как cos β = cos(900 − α ) = sin α . ∂u = f x′( Р0 ) cosα + f y′ ( Р0 ) sin α , ∂s Между градиентом и производной по направлению в одной и той же точке существует связь. Теорема. Скалярное произведение градиента функции на вектор некоторого направления равно производной данной функции в направлении этого вектора: → r ∂u grad u ( M 0 ) ⋅ s = . ∂s Следствие. Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента (обосновать самостоятельно, используя определение скалярного произведения и r считая, что s = 1 ). Выводы: 1. Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, численно равный скорости этого возрастания: → grad u ( M 0 ) = ∂u . ∂s 2. Производная по направлению – это скорость изменения функции в r направлении s : если ∂u > 0 , то функция в этом направлении ∂s возрастает, ∂u < 0 , то функция убывает. ∂s r s s r 3. Если вектор s совпадает с одним из векторов i , j , k , то производная если по направлению этого вектора совпадает с соответствующей частной производной. 53 r s Например, если s = j , тогда cosα = 0, cos β = 1, cos γ = 0, ∂u = f y′ ( M 0 ) . ∂s Пример (см. задание VII) r Даны функция z = ln( x 2 + y 2 ) , точка А(1, 2) и вектор a (−3,4) . → Найти: 1) grad z ( A) ; 2) ∂z . ∂a Решение. 1) найдем частные производные функции и вычислим их в точке А. 2x 2y 2 2 2⋅2 4 , z ′y = 2 , z′x ( A) = = , z′y ( A) = = . 2 x2 + y2 x +y 1+ 4 5 1+ 4 5 → 2 4 Тогда grad z (A) = , . 5 5 r 2) Найдем направляющие косинусы вектора a (−3,4) : −3 x 3 y 4 cosα = = = − , cos β = = . 2 2 2 2 5 5 9 + 16 x +y x +y z′x = ∂u 2 3 4 4 − 6 + 16 2 = f x′( A) cos α + f y′ ( A) cos β = ⋅ − + ⋅ = = . ∂a 5 5 5 5 25 5 → 2 4 Ответ: grad z (A) = , ; 5 5 ∂z 2 = . ∂a 5 Тогда Ниже приведены задания для контрольной работы. Номер варианта соответствует последней цифре Вашего шифра. Из каждого задания необходимо выполнить пример, номер которого совпадает с номером Вашего варианта. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради. Следует указать свой шифр и номер варианта. Условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением. Отмеченные рецензентом ошибки необходимо исправить в конце работы, сделав работу над ошибками. Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена. 54 ЗАДАНИЕ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ I По координатам вершины пирамиды А1А2А3А4 найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. 1. А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0) 2. А1(4, 4, 10), А2(4,10, 2), А3(2, 8, 4), А4(9, 6, 4) 3. А1(4, 6, 5), А2(9, 6, 4), А3(2,10,10), А4(7, 5, 9) 4. А1(3, 5, 4), А2(8, 7, 4), А3(5,10, 4), А4(4, 7, 8) 5. А1(10, 6, 6), А2(-2, 8, 2), А3(6, 8, 9), А4(7,10, 3) 6. А1(1, 8, 2), А2(5, 2, 6), А3(5, 7, 4), А4(4,10, 9) 7. А16, 6, 5), А2(4, 9, 5), А3(4, 6,11), А4(6, 9, 3) 8. А1(7, 2, 2), А2(5, 7, 7), А3(5, 3, 1), А4(2, 3, 7) 9. А1(8, 6, 4), А2(10, 5, 5), А3(5, 6, 8), А4(8,10, 7) 10. А1(7, 7, 3), А2(6, 5, 8), А3(3, 5, 8), А4(8, 4, 1) II 1. Даны вершины треугольника АВС: А(-3, 1), В(0, 4), С(2, 5). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины С к стороне АВ. 2. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями: x+y=2 (AB), 2x-y=-2 (AC), x-2y=2 (BC). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС. 3. Даны вершины треугольника АВС: А(4, -2), В(3, -1), С(2, 6). Написать уравнение средней линии ∆АВС, параллельной стороне АС. 4. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями: x+y-3=0 (AB), y-2x=0 (AC), x-y-1=0 (BC). Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС. 5. Даны вершины четырехугольника A(0, 6), B(7,12), C(6, 2), D(2, 2). Найти точку пересечения его диагоналей. 6. Даны вершины треугольника АВС: А(0, 4), В(-3, 2), С(2, 6). Написать уравнение медианы, проведенной из точки В. 7. Даны вершины треугольника АВС: А(2, 4), В(-2, 5), С(-1, 2). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС. 8. Даны вершины трапеции A(-2,-3), B(-3, 1), C(7, 7), D(3, 0). Написать уравнение средней линии трапеции. 9. В треугольнике MNP написать уравнение медианы, проведенной из вершины М, если известно, что М(4, -1), N(2, 3), P(-4, -2). 10. Стороны треугольника лежат на прямых: 55 x-y=-2 (AB), x+y=1 (BC), x-2y=1 (AC). Написать уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. III Решить систему линейных уравнений, используя формулы Крамера. 3x1 + 2 x2 + x3 = 5 1. 2 x1 + 3x2 + x3 = 1 2 x + x + 3x = 11 3 1 2 x1 − 2 x2 + 3x3 = 6 2. 2 x1 + 3x2 − 4 x3 = 20 3x − 2 x − 5 x = 6 2 3 1 x1 + 2 x2 − x3 = 2 3. 8 x1 + 3x2 − 6 x3 = 5 4 x1 + x2 − 3 x3 = 2 x1 + x2 + 2 x3 = −1 4. 2 x1 − x2 + 2 x3 = −4 4 x + x + 4 x = −2 2 3 1 2 x1 − x2 − x3 = 4 5. 3x1 + 4 x2 − 2 x3 = 11 3 x1 − 2 x2 + 4 x3 = 11 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 = 8 6. 2 x1 − x2 − 3x3 = −4 x1 + 5 x2 + x3 = 0 x1 + x2 − x3 = 1 7. 8 x1 + 3x2 − 6 x3 = 2 4 x1 + x2 − 3 x3 = 3 x1 − 4 x2 − 2 x3 = −3 8. 3x1 + x2 + x3 = 5 3 x1 − 5 x2 − 6 x3 = −9 7 x1 − 5 x2 = 31 9. 4 x1 + 11x3 = −43 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = −20 x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31 10. 5 x1 + x2 + 2 x3 = 20 3 x1 − x2 + x3 = 9 IV Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 3x4 − 2 x2 + 5 2 x 4 + 3x3 − 4 x + 1 1 − 2 x + 5x2 lim 2 x → ∞ 3x − 4 x + 7 7 + 4 x − 3x 2 lim 2 x→∞ 5x + 2 x + 1 2 x3 + 3x 2 − 2 lim 3 x → ∞ 7 x + 5 x 2 + 3x − 4 2 x5 − 4 x 2 + 7 lim 5 x →∞ 3x + 3x 4 + 2 x 4 x2 − 5 lim 2 x →∞ 8x + 3x + 7 x2 + 2 x − 3 x 2 + 8 x + 15 x2 − 2 x − 8 lim 2 x→4 2 x − 9 x + 4 3x 2 + x − 2 lim x → −1 x2 − 1 x 2 + 7 x + 10 lim 2 x → −2 x − x − 6 x 2 − 25 lim 2 x → 5 2 x − 17 x + 35 x 2 + 7 x + 12 lim 2 x → −4 x − x − 20 a) lim x →∞ b) xlim → −3 a) b) a) a) a) a) a) lim x→∞ 10 x 3 + 5 x 2 − 3 x 12 − 3 x + 4 x 2 − 4 x 3 b) b) b) b) b) lim x →3 5 x 2 − 13 x − 6 x2 − 9 56 x tgx sin 2 x 1 − cos 4 x c) lim x →0 5x2 c) lim x →0 (tg13x ⋅ ctg 3x ) c) lim x →0 10 x 2 1 − cos 8 x cos 4 x − 1 c) lim x →0 3x 2 c) lim x →0 sin 2 3 x x ⋅ tg 5 x x tgx c) lim x → 0 1 − cos 5 x c) lim x →0 8. 9. 10. 4 x5 + 3x − 1 a) lim x →∞ 3x5 + 2 x 4 + 7 x + 2 4 x 2 + 5x − 4 a) lim x → ∞ 3x 2 − 7 x + 8 a) lim x →∞ 11 − 3 x + 7 x 2 − x 3 5 x3 + 2 x − 3 7 x2 − x − 6 b) lim x →1 x 2 + x − 2 4 − x2 b) lim x → 2 x 2 + 3 x − 10 b) xlim → −5 x 2 + 10 x + 25 x 2 + 3 x − 10 c) lim x →0 cos10 x − 1 cos 3 x − 1 c) lim x →0 15 x 2 tg 2 4 x (x 2ctg 2 3x ) c) lim x →0 V Найти производные первого порядка, используя правила вычисления производных. ln x 1. a) y = 3x 2 − sin x b) y = x ⋅ tgx c) y = 4 − 3 cos x 3 x c) y = ctgx ctgx c) y = 4 x 2. a) y = 4 x + e 3. a) y = 33 x − ln x b) y = e x arcsin x 4. a) y = 5 x 2 − arcsin x b) y = 3 x 2 ⋅ ln x 5. a) y = 44 x + arctgx b) y = x 2e x 6. a) y = 55 x − 7arcctgx b) y = cos x ⋅ (3x − 1) 7. a) y = 10 x3 + 2 cos x b) y = sin x ⋅ 4 x c) y = 8. a) y = 63 x 2 − 7tgx b) y = e x arccos x c) y = 9. a) y = + 3ctgx b) y = ln x − arctgx 10. a) y = 7 x 6 + 2 arccos x b) y = e xctgx 4 x 2 x b) y = sin x ⋅ ln x 3 c) y = c) y = c) y = c) y = c) y = x4 ex tgx ln x 3x5 ex ln x arcsin x ctgx 2 x4 ex arcsin x 5 ln x 3 x2 VI Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график. 1. y = 4x 4 + x2 x2 + 1 x2 − 1 x3 5. y = 1 + x2 x2 − 5 7. y = x −3 4 x3 9. y = 3 x −1 3. y = x2 − 1 1 + x2 x2 4. y = x −1 4 x2 + 5 6. y = x 4 x 8. y = 3 x −1 2 − 4 x2 10. y = 1 − 4 x2 2. y = 57 r VII Дана функция z = f ( x, y ) , точка A( x0 , y0 ) и вектор a = (a1 , a2 ) . Найти: 1) grad z в точке А; r 2) производную в точке А по направлению вектора а . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. r A(1,1), a = (2,−1) r A(2,1), a = (3,−4) r A(1,1), a = (3,2) r A(1,1), a = (2,−1) r A(2,1), a = (1,2) r A(2,3), a = (4,−3) r A(1,2), a = (5,−12) r A(1,3), a = (2,−1) r A(−1,2), a = (4,−3) r A(1,1), a = (2,1) Z=x2+xy+y2 Z=2x2+3xy+y2 Z=ln(5x2+3y2) Z=ln(5x2+4y) Z=5x2+6xy Z=arctg(xy2) Z=arcsin(x2/y) Z=ln(3x2+4y2) Z=3x4+2x2y3 Z=3x2y3+5xy2 58 МАТЕМАТИКА I ЧАСТЬ Составители: Арутюнян Ашот Страевич Горшкова Светлана Николаевна Данович Лариса Михайловна Наумова Наталья Александровна Петрушина Ирина Игоревна Редактор Л.В. Троицкая Компьютерная верстка Н.А.Наумовой Подписано в печать Бумага оберточная Печ.л. 2,25 Усл.печ.л. 2,0 Уч.-изд.л. 1,5 Формат Офсетная печать Изд.№ 136 Тираж Заказ №
