А.Н.Тихонов, А.А.Самарский УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В книге рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения простейших задач и физической интерпретации результатов. В каждой главе помещены задачи и примеры. В основу книги положены лекции, читавшиеся на физическом факультете МГУ. Содержание Предисловие к пятому изданию 9 Предисловие к четвертому изданию 9 Предисловие к третьему изданию 9 Из предисловия ко второму изданию 9 Из предисловия к первому изданию 9 Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка 11 1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными 11 2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми 18 переменными 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными 20 коэффициентами Задачи к главе I 22 Глава II. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического 23 типа. Постановка краевых задач 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны 23 2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн 27 3. Энергия колебания струны 28 4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах 30 5. Поперечные колебания мембраны 31 6. Уравнения гидродинамики и акустики 34 7. Граничные и начальные условия 39 8. Редукция общей задачи 44 9. Постановка краевых задач для случая многих переменных 45 10. Теорема единственности 46 Задачи 49 § 2. Метод распространяющихся волн 50 1. Формула Даламбера 50 2. Физическая интерпретация 52 3. Примеры 4. Неоднородное уравнение 5. Устойчивость решений 6. Полуограниченная прямая и метод продолжений 7. Задачи для ограниченного отрезка 8. Дисперсия волн 9. Интегральное уравнение колебаний 10. Распространение разрывов вдоль характеристик Задачи § 3. Метод разделения переменных 1. Уравнение свободных колебаний струны 2. Интерпретация решения 3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн 4. Неоднородные уравнения 5. Общая первая краевая задача 6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями 7. Задачи без начальных условий 8. Сосредоточенная Сила 9. Общая схема метода разделения переменных Задачи § 4. Задачи с данными на характеристиках 1. Постановка задачи 2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса Задачи § 5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа 1. Сопряженные дифференциальные операторы 2. Интегральная форма решения 3. физическая интерпретация функции Римана 4. Уравнения с постоянными коэффициентами Задачи к главе II Приложения к главе II I. О колебании струн музыкальных инструментов II. О колебании стержней III. Колебания нагруженной струны 1. Постановка задачи 2. Собственные колебания нагруженной струны 3. Струна с грузом на конце 4. Поправки для собственных значений IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн 1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии 2. Ударные волны. Условия динамической совместности 3. Слабые разрывы V. Динамика сорбции газов 50 58 60 64 70 73 75 79 80 82 82 88 92 96 103 104 106 110 113 120 121 121 123 128 128 128 129 132 135 139 140 140 143 147 147 148 152 153 154 154 156 161 165 1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа 2. Асимптотическое решение VI. Физические аналогии Глава III. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач 1. Линейная задача о распространении тепла 2. Уравнение диффузии 3. Распространение тепла в пространстве 4. Постановка краевых задач 5. Принцип максимального значения 6. Теорема единственности 7. Теорема единственности для бесконечной прямой § 2. Метод разделения переменных 1. Однородная краевая задача 2. Функция источника 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями 4. Неоднородное уравнение теплопроводности 5. Общая первая краевая задача Задачи § 3. Задачи на бесконечной прямой 1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области 2. Краевые задачи для полуограниченной прямой § 4. Задачи без начальных условий Задачи к главе III Приложения к главе III I. Температурные волны II. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры III. Метод подобия в теории теплопроводности 1. Функция источника для бесконечной прямой 2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности IV. Задача о фазовом переходе V. Уравнение Эйнштейна-Колмогорова VI. δ-функция 1. Определение δ -функции 2. Разложение δ -функции в ряд Фурье 3. Применение δ -функции к построению функции источника Глава IV. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа 1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач 2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля 165 169 176 180 180 184 185 188 194 196 199 200 200 205 207 214 217 219 220 220 233 241 245 246 246 250 255 255 257 259 264 267 267 270 272 276 276 277 3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат 4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа 5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного 6. Преобразование обратных радиусов-векторов § 2. Общие свойства гармонических функции 1. Формулы Грина. Интегральное представление решения 2. Некоторые основные свойства гармонических функций 3. Единственность и устойчивость первой краевой задачи 4. Задачи с разрывными граничными условиями 5. Изолированные особые точки 6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности 7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач 8. Вторая краевая задача. Теорема единственности § 3. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных 1. Первая краевая задача для круга 2. Интеграл Пуассона 3. Случай разрывных граничных значений § 4. Функция источника 1. функция источника для уравнения \Delta u=0 и ее основные свойства 2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы 3. Функция источника для круга 4. Функция источника для полупространства § 5. Теория потенциала 1. Объемный потенциал 2. Плоская задача. Логарифмический потенциал 3. Несобственные интегралы 4. Первые производные объемного потенциала 5. Вторые производные объемного потенциала 6. Поверхностные потенциалы 7. Поверхности и кривые Ляпунова 8. Разрыв потенциала двойного слоя 9. Свойства потенциала простого слоя 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач 11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам Задачи к главе IV Приложения к главе IV I. Асимптотическое выражение объемного потенциала 279 282 283 286 287 287 293 297 298 299 301 303 305 309 339 314 316 318 319 323 326 327 329 329 331 333 340 343 346 350 352 356 359 364 369 371 371 II. Задачи электростатики III. Основная задача электроразведки IV. Определение векторных полей V. Применение метода конформного преобразования в электростатике VI. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике VII. Бигармоническое уравнение 1. Единственность решения 2. Представление бигармонических функций через гармонические функции 3. Решение бнгармонического уравнения для круга Глава V. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Задача с начальными условиями 1. Уравнение колебаний в пространстве 2. Метод усреднения 3. Формула Пуассона 4. Метод спуска 5. Физическая интерпретация 6. Метод отражения § 2. Интегральная формула 1. Вывод интегральной формулы 2. Следствия из интегральной формулы § 3. Колебания ограниченных объемов 1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны 2. Колебания прямоугольной мембраны 3. Колебания круглой мембраны Задачи к главе V Приложения к главе V I. Приведение уравнении теории упругости к уравнениям колебаний II. Уравнения электромагнитного поля 1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия 2. Потенциалы электромагнитного поля 3. Электромагнитное поле осциллятора Глава VI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве 1. Функция температурного влияния 2. Распространение тепла в неограниченном пространстве § 2. Распространение тепла в ограниченных телах 1. Схема метода разделения переменных 2. Остывание круглого цилиндра 3. Определение критических размеров § 3. Краевые задачи для областей с подвижными границами 1. Формула Грина для уравнения теплопроводности и функция источника 2. Решение краевой задачи 373 379 385 389 392 398 399 400 402 403 403 405 406 408 410 412 414 414 417 420 420 426 430 436 437 437 440 440 444 446 462 482 456 460 460 464 466 468 468 472 3. функция источника для отрезка § 4. Тепловые потенциалы 1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя 2. Решение краевых задач Задачи к главе VI Приложения к главе VI I. Диффузия облака II. О размагничивании цилиндра с обмоткой Глава VII. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА(ПРОДОЛЖЕНИЕ) § 1. Основные задачи, приводящие к уравнению ∆v + cv=0 1. Установившиеся колебания 2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях 3. Диффузия в движущейся среде 4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения ∆v + cv=0 § 2. Функции влияния точечных источников 1. Функции влияния точечных источников 2. Интегральное представление решения 3. Потенциалы § 3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучения 1. Уравнение ∆v + cv=0=-f в неограниченном пространстве 2. Принцип предельного поглощения 3. Принцип предельной амплитуды 4. Условия излучения § 4. Задачи математической теории дифракции 1. Постановка задачи 2. Единственность решения задачи дифракции 3. Дифракция на сфере Задачи к главе VII Приложения к главе VII I. Волны в цилиндрических трубах II. Электромагнитные колебания в полых резонаторах 1. Собственные колебания цилиндрического эндовибратора 2. Электромагнитная энергия собственных колебаний 3. Возбуждение колебаний в эндовибраторе III. Скин-эффект IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли Дополнение I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ § 1. Основные понятия 1. Сетки и сеточные функции 2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов 3. Разностная задача 4. Устойчивость 474 476 476 479 480 481 481 484 489 489 490 490 491 493 493 495 498 501 501 502 504 505 510 510 511 515 521 523 523 534 534 538 540 542 547 552 553 554 560 561 § 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами 2. Погрешность аппроксимации 3. Энергетическое тождество 4. Устойчивость 5. Сходимость и точность 6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами 7. Метод баланса. Консервативные схемы 8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами 9. Трехслойные схемы 10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки 11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений § 3. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле 1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа 2. Принцип максимума 3. Оценка решения неоднородного уравнения 4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле 5. Решение разностных уравнений методом простой итерации § 4. Разностные методы решения задач с несколькими пространственными переменными 1. Многомерные схемы 2. Экономичные схемы 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле Дополнение II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Введение 2. Общее уравнение теории специальных функций 3. Поведение решений в окрестности x=a, если k(a)=0 4. Постановка краевых задач Часть I. Цилиндрические функции § 1. Цилиндрические функции 1. Степенные ряды 2. Рекуррентные формулы 3. Функции полуцелого порядка 4. Асимптотический порядок цилиндрических функций § 2. Краевые задачи для уравнения Бесселя § 3. Различные типы цилиндрических функций 1. Функции Ханкеля 2. Функции Ханкеля и Неймана 3. Функции мнимого аргумента 4. Функция K0(х) § 4. Представление цилиндрических функций в виде контурных 563 565 566 568 572 576 577 578 582 588 590 592 596 596 601 603 604 606 608 608 610 619 624 626 627 629 632 632 633 637 638 639 642 645 645 647 649 651 655 интегралов 1. Контурные интегралы 2. функции Ханкеля 3. Некоторые свойства гамма-функции 4. Интегральное представление функции Бесселя 5. Интегральное представление Кν(х) 6. Асимптотические формулы для цилиндрических функций § 5. Интеграл Фурье-Бесселя и некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя 1. Интеграл Фурье-Бесселя 2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя Часть II. Сферические функции § 1. Полиномы Лежандра 1. Производящая функция и полиномы Лежандра 2. Рекуррентные формулы 3. Уравнение Лежандра 4. Ортогональность полиномов Лежандра 5. Норма полиномов Лежандра 6. Нули полиномов Лежандра 7. Ограниченность полиномов Лежандра § 2. Присоединенные функции Лежандра 1. Присоединенные функции 2. Норма присоединенных функций 3. Замкнутость системы присоединенных функций § 3. Гармонические полиномы и сферические функции 1. Гармонические полиномы 2. Сферические функции 3. Ортогональность системы сферических функций 4. Полнота системы сферических функций 5. Разложение по сферическим функциям § 4. Некоторые примеры применения сферических функций 1. Задача Дирихле для сферы 2. Проводящая сфера в поле точечного заряда 3. Поляризация шара в однородном поле 4. Собственные колебания сферы 5. Внешняя краевая задача для сферы Часть III. Полиномы Чебышева-Эрмита и Чебышева-Лагерра § 1. Полиномы Чебышева-Эрмита 1. Дифференциальная формула 2. Рекуррентные формулы 3. Уравнение Чебышева-Эрмита 4. Норма полиномов H_n(x) 5. функции Чебышева-Эрмита § 2. Полиномы Чебышева-Лагерра 655 657 658 660 662 663 666 666 668 671 672 672 673 674 675 676 677 677 678 678 679 680 682 682 683 687 689 690 694 695 695 696 698 701 703 703 704 704 705 706 706 1. Дифференциальная формула 3. Уравнение Чебышева-Лагерра 4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева-Лагерра 5. Обобщенные полиномы Чебышева-Лагерра § 3. Простейшие задачи для уравнения Шредингера 1. Уравнение Шредингера 2. Гармонический осциллятор 3. Ротатор 4. Движение электрона в кулоновом поле Часть IV. Формулы, таблицы и графики I. Основные свойства специальных функции II. Таблицы III. Графики специальных функций IV. Различные ортогональные системы координат 706 707 708 709 710 710 712 713 714 718 718 723 726 728
