AnalitGeometry

Министерство образования и науки Российской Федерации
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
НЕФТИ И ГАЗА имени И.М. ГУБКИНА
И.Н. Мельникова, Т.С. Соболева, Н.О. Фастовец
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Часть 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
(Для факультета АиВТ)
Москва 2014
Оглавление
1. Векторы. Действия над векторами
4
2. Скалярное произведение векторов
14
3. Векторное произведение векторов
19
4. Смешанное произведение векторов
24
5. Прямая на плоскости
28
6. Плоскость
39
7. Прямая в пространстве
48
8. Прямая и плоскость
58
9. Кривые второго порядка
65
Типовые варианты контрольных работ
72
Ответы
75
Список рекомендуемой литературы
77
3
1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
Основные понятия
Если для отрезка АВ указано, что точка А ‒ начало, а точка В ‒
конец, то получается направленный отрезок, который называют
вектором и обозначают AB или a . Вектор, противоположный
вектору AB , обозначается BA или a .
Длиной (модулем) вектора AB называется длина отрезка AB.
Обозначение: AB или a .
Если A  B, то вектор называется нулевым и обозначается 0 .
Нулевой вектор не имеет направления, и 0  0 .
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением
вектора a , называется ортом вектора a и обозначается a 0 .
Векторы a и b , лежащие на одной прямой или на параллельных
прямых,
называются
коллинеарными.
Обозначение:
Коллинеарные векторы направлены либо одинаково,
противоположно.
a b.
либо
Два коллинеарных вектора a и b называют равными, если они
одинаково направлены и имеют равные длины.
Заметим, что от любой точки пространства можно отложить
вектор, равный данному вектору a . Таким образом, можно ввести
понятие свободного вектора, который с помощью параллельного
переноса можно перемещать в любую точку пространства.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если
они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
4
Линейные операции над векторами
1. Суммой двух векторов a и b называется вектор, начало
которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора
b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a (правило
треугольника). Обозначение: a  b .
Векторы можно складывать по правилу параллелограмма: если
на векторах a и b , приведенных к общему началу, построить
параллелограмм, то a  b совпадает с диагональю параллелограмма,
выходящей из общего начала векторов a и b .
2. Разность векторов a и b определяется так: a  b  a  (b ) ,
где b – вектор, противоположный вектору b . Разность a  b
совпадет со второй диагональю указанного выше параллелограмма,
выходящей из конца вектора b .
b
a
a
a
a b
a b
a b
b
b
3. Произведением вектора a на число   0 называется вектор,
модуль которого равен  a ; его направление совпадает с
направлением вектора a , если   0 , направление противоположно
направлению вектора a , если   0 . Обозначение:  a .
Заметим, что:
1. Для любого вектора a справедливо: a  a  a 0 .
2. a b  a  b (признак коллинеарности векторов).
5
Замечание. Множество всех векторов с введенными
операциями сложения и умножения на число является линейным
пространством. В частности, все векторы, лежащие на плоскости,
образуют линейное пространство размерности 2, базисом которого
является любая пара неколлинеарных векторов. Все векторы,
находящиеся в пространстве, образуют линейное пространство
размерности 3, а базисом является любая тройка некомпланарных
векторов (определения линейного пространства и базиса см. [1]).
Координаты вектора
Пусть М – произвольная точка, l –
некоторая
ось
(направленная
прямая).
Основание М 1 перпендикуляра, опущенного из
М
l
М1
точки М на ось, называется проекцией точки
М на ось l .
В
Пусть AB ‒ произвольный вектор, а
точки A1 и B1 ‒ проекции точек A и В на ось l .
Проекцией вектора AB на ось l называется
А
l
B1
A1
число, равное длине вектора A1B1 , взятой со знаком «+», если
направление вектора A1B1 совпадает с направлением оси l , и со
знаком «‒» в противном случае. Обозначение: пр l AB или пр l a .
Если  ‒ угол между вектором a и осью l , то пр l a  a cos  .
Рассмотрим в пространстве прямоугольную декартову систему
координат Oxyz. Векторы i , j , k ‒ орты координатных осей Ox, Oy,
Oz. Пусть числа a1 , a2 , a3 ‒ проекции произвольного вектора a на
координатные оси, то есть
a1  прi a, a2  пр j a , a3  прk a ,
6
тогда для вектора a справедливо представление
a  a1i  a2 j  a3 k .
Эта
формула
называется
ортонормированному
базису
единичных,
попарно
ортонормированными).
единственно.
Числа
a1 , a2 , a3
разложением
i , j, k
вектора
(базисы,
a
по
состоящие
из
ортогональных
векторов,
называют
a
Разложение вектора
по базису
называются
координатами
вектора
a.
Обозначение a  {a1, a2 , a3}.
Длина вектора a определяется по формуле
a  a12  a22  a32 .
Пусть  ,  ,  – углы, которые вектор a образует с осями Ox, Oy,
Oz соответственно, тогда для координат вектора a имеем
a1  a cos  , a2  a cos  , a3  a cos  ,
откуда
cos  
Числа
a
a1
a
, cos   2 , cos   3 .
a
a
a
cos  , cos  , cos 
называются
направляющими
косинусами вектора a и удовлетворяют условию
cos2   cos2   cos2   1.
ПРИМЕР 1. Может ли вектор составлять с осями координат
следующие углы:   60 ,   135 ,   45 ?
Решение. Так как
2
2
2
5
1  1   1 
cos   cos   cos       


 1,
 

4
2  2
2 
то вектор не может составлять указанные углы с осями координат.■
2
2
2
7
Замечание. Все изложенное выше можно применить к
векторам на плоскости. В этом случае ортонормированный базис
состоит из двух векторов i , j , а разложение любого вектора,
принадлежащего плоскости, имеет вид a  а1i  а2 j .
Действия над векторами, заданными координатами
Пусть векторы a и b заданы своими координатами, то есть
a  {a1, a2 , a3}, b  {b1, b2 , b3} , тогда
1. a  b  {a1  b1, a2  b2 , a3  b3}.
2.  a  { a1,  a2 ,  a3}.
3. a  b
 a1  b1,

 a2  b2 ,
a  b .
 3 3
4. a b

а1 a2 a3

 .
b1 b2 b3
a  a1 a2 a3 
5. a 
  , ,   {cos  , cos  , cos  }
a  a a a 
0
(координаты орта a 0 ‒ это направляющие косинусы вектора a ).
Напомним, что вектор, соединяющий начало координат O(0;0;0)
с произвольной точкой М(x,y,z) пространства, называется радиусвектором точки М и обозначается r , причем координаты точки М
являются координатами ее радиус-вектора, то есть
r  OM  xi  yj  zk .
Если
A( x1, y1, z1 )
и
B( x2 , y2 , z2 )
–
произвольные
пространства, то справедливо:
AB  {x2  x1, y2  y1, z2  z1},
АВ  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 .
8
точки
ПРИМЕР 2. Найти координаты конца вектора AB  {2; 3; 4} ,
если известны координаты начала A(‒1;0;2).
Решение. Пусть
точка
–
B(x,y,z)
конец
вектора,
тогда
AB  {x  (1); y  0; z  2} . Так как по условию AB  {2; 3; 4} , то
приравнивая соответствующие координаты, получаем
x  1  2, y  3, z  2  4 .
Следовательно, x  1, y  3, z  6 . Итак, B(1;‒3;6).■
ПРИМЕР 3. Найти проекции вектора 2a  3b на координатные
оси, если a  {2; 1;0}, b  {1;3;1} .
Решение. Так как 2a  {4; 2;0}, 3b  {3;9;3}, то
2a  3b  {4  (3); 2  9;0  3}  {7; 11; 3} .
Поскольку координаты вектора являются проекциями этого
вектора на координатные оси, то имеем






прi 2a  3b  7, пр j 2a  3b  11, прk 2a  3b  3 .■
ПРИМЕР 4. Даны векторы: a  {2;3}, b  {1; 3}, c  {0;3}. При
каком значении  векторы p  a   b , q  a  2c коллинеарны?
Решение. Найдем р и q :
p  {2   ;3  3 }, q  {2;9} .
Поскольку векторы р и q коллинеарны, то их координаты
должны быть пропорциональны, то есть
2   3  3
.

2
9
Это равенство справедливо при   0,8 , то есть векторы р и q
коллинеарны при   0,8 .■
9
ПРИМЕР 5. Разложить вектор с по векторам a и b , если
a  {1;2}, b  {2; 3}, с  {9;4} .
Решение. Так как векторы a и b не коллинеарны, то вектор с
может быть единственным образом разложен по векторам a и b , то
есть представлен в виде с  1a  2b .
Так как с  9i  4 j , a  i  2 j , b  2i  3 j , то
9i  4 j  1 (i  2 j )  2 (2i  3 j )  (1  22 )i  (21  32 ) j .
Векторы равны тогда и только
соответствующие координаты, то есть
тогда,
когда
равны
 9  1  22 ,

4  21  32 .
Решая полученную систему (например, методом Крамера),
находим 1  5, 2  2 . Итак, с  1a  2b  5a  2b .■
ПРИМЕР 6. Найти орт и направляющие косинусы вектора
a  {1;5;3} .
Решение. Так как a  (1)2  52  32  35 , то
a0 
a  1
5
3 
 
;
;
.
a  35 35 35 
Поскольку координаты
косинусами вектора a , то
cos   
1
35
, cos  
орта
5
35
являются
, cos  
3
35
направляющими
.
Заметим, что cos   0, cos   0, cos   0 . Это означает то, что
вектор a образует тупой угол с осью Ox и острые углы с осями Oy и
Oz.■
10
ПРИМЕР 7.
Найти
вектор
a,
коллинеарный
вектору
b  {1; 2; 4} и составляющий тупой угол с осью Oz, если a  5 .
Решение. Найдем орт вектора b :
b0 
2
4 
 1

;
;
.
21 21 
b  21
b
Этот вектор коллинеарен искомому, имеет единичную длину и
образует острый угол с осью Oz (третья координата положительна).
2
4 
 1
Вектор b 0  
;
;
 тоже коллинеарен искомому,
21
21
21


имеет единичную длину, но составляет тупой угол с осью Oz.
Легко видеть, что всем условиям задачи удовлетворяет вектор
 
20 
 5 10
a  5  b 0  
;
;
 .■
21 
 21 21
Деление отрезка в данном отношении
Координаты точки M, которая делит отрезок AВ в отношении
AM
, где А( x1, y1, z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) , находятся по формулам:

MB
x   x2
y   y2
z   z2
.
xМ  1
, yМ  1
, zМ  1
1 
1 
1 
В частности, для координат точки С, которая является
серединой отрезка АВ (   1), имеем:
x x
y  y2
z z
xС  1 2 , yС  1
, zС  1 2 .
2
2
2
ПРИМЕР 8. Даны точки A(2;‒1;0) и B(3;1;2). Определить
координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В.
Решение. Так как точки A(2;‒1;0) и
M(x,y,z) симметричны относительно точки В, то
точка В является серединой отрезка АМ.
11
А
В
М
Тогда для координат точки В имеем
2 x
1  y
0 z
.
3
, 1
, 2
2
2
2
Следовательно, x  4, y  3, z  4 . Итак, имеем М(4;3;4).■
Задачи
1. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1;‒2;3),
B(3;2;1), C(6;4;4). Найти четвертую вершину D.
2. При каких  ,  векторы a  {2; ; 1}, b  {4;3;  } коллинеарны?
3. Дано: a  2i  j  3k , b  2 j  k , c  i  j  2k . Найти
а) координаты орта a 0 ;
б) координаты вектора a  b  2с ;
в) разложение вектора 3a  2b  с по базису i , j , k ;
г) пр k (4a  b ) .
4. Найти направляющие косинусы вектора с  {2;5; 1}.
5. Вектор составляет с осями Oy и Oz углы 135° и 60° соответственно.
Какой угол он составляет с осью Ox?
6. Найти вектор с , коллинеарный вектору b  {0;3; 2} и образующий
тупой угол с осью Oy, если с  4 .
7. Точки A(1;2), B(5;‒3), C(3;4) являются вершинами треугольника.
Найти точку пересечения медиан.
8. Разложить вектор с  {3;5} по базису a  {2;1}, b  {1;3} .
Ответы: 1. D(4;0;6). 2.   3 / 2;   2 .
4. cos   
2
30
, cos  
5
30
, cos   
1
30
.
12 8 

5. 60° или 120°. 6. с  0; 
;
 . 7. (3;1). 8. с  2a  b .
13 13 

12
Задания для самостоятельной работы
1.1. Доказать, что точки А(1;2;‒3), В(2;2;0), С(0;3;‒4), D(‒2;3;‒10)
являются вершинами трапеции.
1.2. Даны точки А(1;0;3), В(2;‒1;0), С(3;‒2;‒3). Существует ли
треугольник с вершинами в этих точках?
1.3. Заданы векторы a  3i  j , b  2i  3 j  k , c  2 j  k . Найти
а) координаты орта a 0 ;
б) координаты вектора d  a  2b  с ;
в) разложение вектора f  2a  b  3с по базису i , j , k ;
г) пр j (a  3b ) .
1.4. Вектор a составляет с осями Ox и Oy углы 60° и 120°
соответственно. Найти его координаты, если a  4 .
1.5. Найти координаты вектора a , составляющего равные углы с
осями координат, если a  7 .
1.6. На оси Oy найти точку М, равноудаленную от точек A(1;‒4;7) и
B(5;6;‒5).
1.7. Найти
вектор
a,
параллельный
вектору
b  {1;3; 5}
и
противоположного с ним направления, если a  3 .
1.8. Даны вершины треугольника A(3;‒1;5), B(4;2;‒5), C(‒4;0;3).
Найти длину медианы, проведенной из вершины A, и координаты
точки пересечения медиан треугольника.
1.9. Найти вектор x , направленный по биссектрисе угла между
векторами a  7i  4 j  4k и b  2i  j  2k , если x  5 6 .
1.10. Разложить вектор c  {8;6} по векторам a  {2; 1}, b  {3; 2} .
1.11. Разложить
вектор
d  {9;7; 5}
b  {1;0; 2}, с  {2;1; 3}.
13
по
векторам
a  {1; 2;3},
2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b
 
называется число, которое обозначается a, b или ab и находится
следующим образом
 a, b   ab  a  b cos ,
где  – угол между векторами a и b .
Так как прb a  a cos  и прa b  b cos  , то для скалярного
произведения справедливо
 a, b   b прb a  a прab .
Свойства скалярного произведения
   
2 .  a, b  с    a, b    a, с  .
3 .   a , b    a , b     a , b  .
1 . a, b  b , a .
4 .  a, a   a

2

5 . a  b a  0, b  0
a 


 a, a  .
 a, b   0.
ПРИМЕР 1. Дано: a  2, b  3 , угол  между векторами a и


b равен 2 3 . Вычислить a  2b ,3a  b , a  b .
Решение. Используя
произведения, имеем
свойства
и
определение
скалярного
 a  2b ,3a  b    a  2b ,3a    a  2b , b   3a, a  2b    b , a  2b  
2
1
14
2

 
 

   
3
  3a , a   3a , 2b  b , a  b , 2b  3  a , a   6 a , b  b , a 
 
     
1
   
2 b , b  3  a , a   6 a , b  a , b  2 b , b  3  a , a   5 a , b  2 b , b 
2
2
 1
 2 b  3  4  5  2  3      2  9  21.
3
 2
Найдем длину вектора a  b . Из свойства 4° скалярного
произведения следует, что
2
 3 a  5 a b cos
a b 
a  b, a  b  
 a, a   2  a, b   b , b  
4  6  9  7 .■
Скалярное произведение в координатах
Если векторы
и
a
b
заданы своими координатами в
ортонормированном базисе i , j , k : a  {a1, a2 , a3}, b  {b1, b2 , b3} , то
 a, b   a1b1  a2b2  a3b3 .
В частности,
 a, a   a 2  a12  a22  a32

a  (a, a )  a12  a22  a32 .
С помощью скалярного произведения можно найти угол 
между векторами a и b :
a, b 

cos  

a1b1  a2b2  a3b3
a12
a b
 a22
 a32

b12
 b22
 b32
,
а также проекцию вектора a на направление, заданное вектором b :
a, b 

пр a 

b
b


a, b 0 
a1b1  a2b2  a3b3
b12
15
 b22
 b32
.


ПРИМЕР 2. Найти 3a  2b , a  b , где a  {2;3; 2}, b  {1;2;0}.
Решение. Первый
способ.
Найдем
координаты
векторов
3a  2b и a  b :
3a  2b  {8;13; 6}, a  b  {1;1; 2}.
Тогда
3a  2b , a  b   8 1  13 1  (6)  (2)  33 .
Второй способ. Можно сначала применить свойства скалярного
произведения, а затем выражение скалярного произведения через
координаты:
3a  2b , a  b   3 a, a   3 a, b   2 b , a   2 b , b  
 3  a, a    a, b   2  b , b   3  (4  9  4)  (2  6  0)  2(1  4  0)  33 .■
ПРИМЕР 3. Найти угол между диагоналями четырехугольника
с вершинами в точках А(1;2;‒3), В(2;2;0), С(0;3;‒4), D(‒2;3;‒10).
Решение. Угол между диагоналями четырехугольника есть
угол между векторами
AС  {1;1; 1}, ВD  {4;1; 10}. Найдем
косинус этого угла:
AC , BD 

cos  

(1)  (4)  1 1  (1)  (10)

5
(1)  1  (1)  (4)  1  (10)
Итак, острый угол (так как cos   0 ) между диагоналями равен
5
.■
  arccos
39
2
AC BD
2
2
2
2
2
39
ПРИМЕР 4. Найти пр АВ АС , где А(2;‒1;0), В(3;1;2), С(‒4;1;3).
Решение. Так как AB  {1;2;2}, AC  {6;2;3}, AB  3 , то
пр АВ
AC , AB  1  (6)  2  2  2  3 4

АС 

 .■
3
AB
16
3
.
ПРИМЕР 5.
Найти
вектор
b,
коллинеарный
вектору
 
a  i  2 j  3k и удовлетворяющий условию a, b  28 .
Решение. Так как векторы a и b коллинеарны, то b   a .
Тогда
 a, b    a, a     a, a     (1  4  9)   14  28 ,
то
есть
  2. Итак, b  2a  2i  4 j  6k .■
Задачи
1. Векторы a и b образуют угол    4 . Зная, что a  4, b  2 ,


вычислить a  2b ,3a  b .
2. Дано: a  2, b  1,   (a, b )   6 . Найти 2a  3b .
3. Даны вершины треугольника А(2;3;‒1), В(4;1;‒2), С(1;0;2). Найти
внутренний угол при вершине С и прСА СВ .
4. При каком

векторы
a   i  5 j  3k
b  i  2 j   k
и
ортогональны?
Ответы: 1. 40  20 2 .2. 25  12 3 .3. arccos
18
19 26
;
18
19
.4.   2,5.
Задания для самостоятельной работы
Теоретические упражнения
1. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения
векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.
2. Изменится ли скалярное произведение векторов, если к одному из
них добавить вектор, перпендикулярный к другому сомножителю?
 
3. Следует ли из равенства  a , е   b , е , где е – единичный вектор,
равенство векторов a и b ?
4. Доказать теорему косинусов.
17
Задачи

2.1. Дано: a  5, b  2,   (a , b )   3 . Вычислить a  4b , 2a  b

и a  2b .
2.2. Дано: a  {2; 4;1}, b  {1;3; 1}. Найти угол между векторами
a  b и 2a  b .
2.3. Показать, что четырехугольник с вершинами в точках А(‒5;3;4),
В(‒1;‒7;5), С(6;‒5;‒3) и D(2;5;‒4) есть квадрат.
2.4. Дан треугольник с вершинами A(1;2;‒3), B(2;3;1), C(3;2;1).
Найти внешний угол при вершине А и острый угол между медианой
BD и стороной АС.
2.5. Найти проекцию вектора a  { 2; 3; 5} на ось, составляющую
с координатными осями Ox и Oz углы 45° и 60° соответственно, а с
осью Oy – острый угол.
2.6. Даны векторы a  {1;2; 3}, b  {1;0;2}, с  {3; 1;0}. Найти
прb  с a .
2.7. Какой угол образуют единичные векторы a и b , если векторы
m  a  2b и n  5a  4b взаимно перпендикулярны?
2.8. Дано: a  3, b  2 . При каком значении  векторы a  b и
a  b ортогональны?
2.9. Ортогональны ли векторы
p  2a  4b
и
q  3b  a , если
a  {1; 2;3}, b  {3;0; 1}?
2.10. Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен оси Oz, и
удовлетворяет условиям:
 x, a   9,
 x, b   4 ,
где
a  {3; 1;5} ,
b  {1; 2; 3} .
2.11. Единичные
векторы
е1, е2 , е3
удовлетворяют
е1  е2  е3  0 . Найти  е1, е2    е2 , е3    е3 , е1  .
18
условию
3. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Векторным произведением двух ненулевых векторов a и b
называется вектор, который обозначается  a , b  или a  b
удовлетворяет следующим условиям:
a, b 
1. a, b   a  b sin 


b
( – угол между векторами a и b );
a
2.  a, b   a,  a, b   b ;
и
3. векторы a , b ,  a , b  образуют правую тройку (если векторы
a, b ,  a, b  приведены к общему началу, то вектор  a , b  должен
быть направлен так, как направлен средний палец правой руки,
большой палец которой направлен по первому сомножителю (вектор
a ), а указательный палец – по второму (вектор b )).
Замечание. Результатом векторного произведения является
вектор. Условие 1 из определения векторного произведения задает
длину этого вектора, а условия 2 и 3 указывают его направление.
Замечание. Модуль векторного произведения равен площади
параллелограмма, построенного на векторах a и b (геометрический
смысл векторного произведения).
Свойства векторного произведения
1 .  a , b    b , a  .
2 .  a , b  с    a , b    a , с .
3 .  a , b    a , b     a , b  .
4 . a b a  0, b  0   a , b   0. В частности,  a , a   0.


19
ПРИМЕР 1. Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах p  2a  b и q  a  3b , где a  2, b  1,   (a, b )  5 6 .
Решение. Площадь
параллелограмма,
построенного
на
векторах p и q , равна модулю векторного произведения векторов p
и q . Используя свойства векторного произведения, найдем  p, q  :
1
 p, q    2a  b , a  3b   2  a , a   6 a , b   b , a   3 b , b  
 0  6  a , b    a , b   0  7  a , b  .
Следовательно,
1
S   p, q   7 a , b   7 a b sin   7  2 1   7 .■
2
Векторное произведение в координатах
Если векторы
a
и
b
заданы своими координатами в
ортонормированном базисе i , j , k : a  {a1, a2 , a3}, b  {b1, b2 , b3} , то
i
j
 a , b   a1 a2


b1 b2
k
a
a3  2
b2
b3
a3
a a
a a
i  1 3 j 1 2 k.
b3
b1 b3
b1 b2
ПРИМЕР 2. Найти площадь треугольника, построенного на
векторах a  i  2 j  3k и b  2i  j  2k .
Решение. Найдем векторное произведение  a , b  :
i
j k
2 3
1 3
1 2
 a , b   1 2 3 
i

j

k  i  8 j  5k .


1 2
2 2
2 1
2 1 2
1
1 2
90
1  (8)2  (5)2 
Тогда S    a, b  
.■
2
2
2
20
ПРИМЕР 3. Найти вектор с длины 3, перпендикулярный
каждому из векторов a  {2; 1;1} и b  {1; 3;1} и образующий острый
угол с осью Oz.
Решение. Найдем  a , b  и его орт:
i
j k
0  2
1
5 
 a , b   2 1 1  2i  j  5k ,  a , b   
;

;

.




30
30 
 30
1 3 1
0
Вектор  a , b  перпендикулярен векторам a и b , имеет
единичную длину и составляет тупой угол с осью Oz. Легко видеть,
что вектор
0 
6
3
15 
с  3  a, b   
;
;

 30 30 30 
удовлетворяет всем условиям задачи.■
ПРИМЕР 4. Даны вершины треугольника A(1;‒1;2), B(3;1;‒1),
C(‒1;0;2). Найти длину высоты, опущенной из вершины В на сторону
АС.
Решение. Найдем площадь треугольника АВС. Для этого
рассмотрим векторы АВ  {2; 2; 3} и АС  {2;1;0} и найдем их
векторное произведение:
i
j k
 AB, АС   2 2 3  3i  6 j  6k .


2 1 0
Следовательно,
1
1
1
S   AB, АС  
9  36  36 
81  4,5 .
2
2
2
1
2S
9
С другой стороны, S  hВ  AC , откуда hВ 
.■

2
AC
5
21
Задачи
1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a  3 p  2q и b  2 p  q , где p  4, q  3,   ( p, q )   4 .
2. Даны векторы a  {1; 2;1}, b  {4;3;2}. Найти  a , b  и площадь
параллелограмма, построенного на векторах a и b .
3. Найти единичный вектор е , перпендикулярный вектору a  {1; 4;3}
и оси абсцисс.
4. Найти площадь треугольника АВС и длину высоты, опущенной из
вершины А на сторону ВС, если A(1;‒2;3), B(0;‒1;2), C(3;4;5).
Ответы: 1. 42 2 . 2. {7;6;5}, S  110 .


3
5
3. 0;  ;
4
8 2
S

4
2,
h

.
4.
.

A
5
43
Задания для самостоятельной работы
Теоретические упражнения
1. Изменится ли векторное произведение, если к одному из
сомножителей
прибавить
вектор,
коллинеарный
другому
сомножителю?
2. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы
векторы a  b и 2a  b были коллинеарны?
3. Дано:  a, с   b , с  , с  0 . Следует ли отсюда, что a  b ?
4. Вывести формулу для вычисления векторного произведения
векторов, заданных своими координатами в ортонормированном
базисе.
5. Дано:  a, b   с , d  ,  a, с   b , d  . Доказать коллинеарность
векторов a  d и b  с .
22
6. Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на
диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади этого
параллелограмма.
Задачи
3.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a  3b и 2a  b , если a  2, b  1,   (a, b )   6 .
3.2. Найти a  b , 2a  b  , если a  {1;2; 3}, b  {1;0;2}.
3.3. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
a  {1; 4; 2} и b  {1;3; 2} .
3.4. Даны вершины треугольника A(‒1;0;1), B(2;1;‒1), C(3;‒1;0).
Найти площадь треугольника АВС и длину высоты, опущенной из
вершины С на строну АВ.
3.5. Найти вектор x , перпендикулярный вектору a  {1; 3; 4} и оси
ординат, если он образует острый угол с осью Ox и x  13 .
3.6. Найти координаты вектора x , перпендикулярного векторам
a  {2; 3;1}, b  {1; 2;3}, и удовлетворяющего условию
 x, с   10 ,
где с  i  2 j  7k .
3.7. Найти прс  a, b  , где a  {0;2; 1}, b  {2; 3;1}, с  {1;2; 2}.
3.8. Найти a, b , с   , где a, b , с – векторы из задачи 3.7.


3.9. С помощью векторного произведения найти синус угла между
векторами a  {1; 1;4}, b  {2;0;1}.
23
4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Смешанным произведением трех векторов a, b , с называется
число, которое обозначается
a, b , с
или
abс
и находится
следующим образом:


a, b , с  abс  a, b  , с .
Свойства смешанного произведения
1 . a, b , с  b , с , a  с , a, b ,
то есть смешанное произведение не меняется при циклической
перестановке векторов.

 

2 . a, b  , с  a, b , с  .
3 . a, b , с   b , a, с   с , b , a   a , с , b ,
то есть смешанное произведение меняет знак на противоположный
при перестановке любых двух векторов.
4 . a, b , с  0  a, b , с – компланарны.
Замечание. Модуль смешанного произведения трех векторов
равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
(геометрический смысл смешанного произведения).
Смешанное произведение в координатах
Пусть
векторы
ортонормированном
a, b , с
базисе
заданы
i , j, k :
с  {с1, с2 , с3} , тогда
а1 а2
a , b , с  b1 b2
c1 c2
а3
b3 .
c3
24
своими
координатами
в
a  {a1, a2 , a3}, b  {b1, b2 , b3} ,
Применение смешанного произведения
1. Установление компланарности векторов:
если a, b , с  0 , то векторы a, b , с компланарны.
2. Определение взаимной ориентации векторов a, b , с :
если a, b , с  0 , то векторы a, b , с образуют правую тройку;
если a, b , с  0 , то векторы a, b , с образуют левую тройку.
3. Определение объемов параллелепипеда и тетраэдра, построенных
на векторах a, b , с :
Vпар.  a , b , с , Vтетр. 
1
a, b , с .
6
ПРИМЕР 1. Принадлежат ли одной плоскости точки А(1;2;3),
В(0;‒1;1), С(2;0;1), D(‒1;3;0)?
Решение. Рассмотрим векторы с общим началом
AB  {1; 3; 2}, AC  {1; 2; 2}, AD  {2;1; 3} .
Если эти векторы окажутся компланарными, то это будет
означать, что точки A, B, C, D лежат в одной плоскости. Найдем
смешанное произведение векторов AB, AC, AD :
1 3 2 1 3 2
AB, AC , AD  1 2 2  0 5 4  23  0 .
2 1 3
0 3 7
Так как смешанное произведение не равно нулю, то векторы
AB, AC, AD не являются компланарными, следовательно, точки A, B,
C, D не лежат в одной плоскости.■
Замечание. В последнем примере
AB, AC, AD  0 . Это
означает, что векторы AB, AC, AD образуют левую тройку.
25
ПРИМЕР 2. При каком значении параметра

векторы
a  {2; 1; }, b  {3, 1,1}, с  {1;2; 3} компланарны?
Решение. Найдем смешанное произведение векторов a, b , с :
2 1 
a , b , с  3 1 1  2 1  (1)  (10)    7  7  8 .
1 2 3
Векторы компланарны, если
a, b , с  0 , то есть 7  8  0 .
Следовательно, векторы a, b , с компланарны при   8 7 .■
ПРИМЕР 3. Дан тетраэдр с вершинами А(1;1;0), В(2;3;‒1),
С(2;0;1), D(‒1;2;3). Найти длину высоты, опущенной из точки D на
грань АВС.
Решение. Так как для объема тетраэдра справедлива формула
1
V  Sосн.  h , то для нахождения высоты необходимо вычислить
3
объем тетраэдра и площадь основания, то есть площадь треугольника
АВС.
Найдем смешанное произведение векторов AB, AC, AD и объем
тетраэдра ABCD:
1 2 1 1 2 1
13
AB, AC , AD  1 1 1  0 3 2  13  Vтетр  .
6
2 1 3
0 5 1
Вычислим площадь основания:
i
j k
 AB, AC 
14

 AB, AC   1 2 1  i  2 j  3k  Sосн.  
.



2
2
1 1 1
Следовательно, h 
3V
3 13  2 13


.■
Sосн. 6  14
14
26
Задачи
1. Компланарны ли векторы a  {1; 3;4}, b  {3; 2;1}, с  {2;4; 3} ?
2. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках А(5;1;‒4), В(1;2;‒1),
С(3;3;‒4), D(2;2;2). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из
вершины D на грань АВС.
3. Какую тройку (правую или левую) образуют векторы a  i  4 j ,
b  6i  3 j  2k , с  i  2 j  2k ?
Ответы: 1. нет. 2. 4; h 
4
3
. 3. правая.
Задания для самостоятельной работы
4.1. Вектор с перпендикулярен векторам a и b , a  6 , b  2 ,
с  3, (a, b )   6 . Найти a , b , с .
4.2. Векторы a , b и с взаимно перпендикулярны, образуют левую
тройку. Найти a , b , с , если a  2, b  3, с  1.
4.3. Дан тетраэдр с вершинами в точках А(1;2;3), В(‒2;4;1), С(7;6;3),
S(4;‒3;‒1). Найти его объем и длину высоты, опущенной из вершины
S на грань АВС.
4.4. Объем пирамиды равен 5, три его вершины находятся в точках
А(2;1;‒1), В(3;0;1), С(2;‒1;3). Найти координаты четвертой вершины,
если известно, что она лежит на оси ординат.
4.5. При каком  векторы a  {1; 3;0}, b  {3; ;1}, с  {2; 4;3}
компланарны?
4.6. Показать, что точки А(5;7;‒2), В(3;1;‒1), С(9;4;‒4), D(1;5;0)
лежат в одной плоскости.
4.7. Вычислить произведение a  b , b  с , с  a .
27
5. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе
координат Oxy задается следующими уравнениями:
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y  kx  b, k  tg  ,
y
где  (   2) – угол наклона прямой к оси
b
Ox, b – ордината точки пересечения прямой с

осью Oy.
O
x
Частные случаи:
b  0  y  kx  прямая проходит через начало координат;
  0  y  b  прямая параллельна оси Ox;
   2  x  a  прямая параллельна оси Oy, а – абсцисса
точки пересечения прямой с осью Ox.
Если известна точка М 0 ( x0 , y0 ) , принадлежащая прямой, то
уравнение этой прямой удобно записывать в виде
y  y0  k ( x  x0 ) .
2. Общее уравнение прямой на плоскости
Ax  By  C  0 .
Частные случаи:
С  0  Ax  By  0  прямая проходит через точку О;
A  0  y   C B  прямая параллельна оси Ox;
В  0  x   C A  прямая параллельна оси Oy.
3. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
М 0 ( x0 , y0 ) параллельно вектору q  l , m
M
М0
x  x0 y  y0
q
.

l
m
28
Это уравнение представляет собой условие коллинеарности
векторов q и M 0 M , где М(x,y) ‒ произвольная точка прямой.
Любой ненулевой вектор q , параллельный прямой, будем
называть направляющим вектором этой прямой.
4.
Уравнение
прямой,
проходящей
через
точку
М 0 ( x0 , y0 )
перпендикулярно вектору n   A, B , имеет вид
А( x  x0 )  B( y  y0 )  0 .
Это
уравнение
является
n
условием
ортогональности векторов n и M 0 M , где
М
М0
М(x,y) ‒ произвольная точка прямой.
Любой ненулевой вектор n , перпендикулярный прямой, будем
называть нормальным вектором этой прямой.
Если в последнем уравнении раскрыть скобки, то получится
общее уравнение Ax  By  C  0 , то есть коэффициенты А и В из
общего уравнения прямой являются координатами ее нормального
вектора.
5. Уравнение прямой в отрезках
x y
  1.
a b
y
Числа а и b указывают, какие отрезки отсекает
прямая на осях координат.
b
a
O
x
6. Нормальное уравнение прямой
x cos   y cos   p  0 ,
где
p0
–
длина
y
перпендикуляра,
опущенного из начала координат на прямую,
 и  – углы, который этот перпендикуляр
образует с осями Ox и Oy соответственно.
29

O
p

x
Замечание. Общее уравнение прямой Ax  By  C  0 можно
преобразовать в нормальное, умножив
множитель
 " ", если C  0;
1


A2  B 2  " ", если C  0
его на нормирующий

.

ПРИМЕР 1. Даны точки P(1;‒2) и Q(4;0). Составить все
возможные уравнения прямой PQ.
Решение. Так как вектор PQ  {3; 2} является направляющим
вектором прямой (он лежит на прямой), а точка Р принадлежит
прямой (можно взять точку Q), то каноническое уравнение прямой
PQ имеет вид:
x 1 y  2
.

3
2
Получим общее уравнение этой прямой:
2  ( x  1)  3  ( y  2)  2 x  3 y  8  0 .
Уравнение в отрезках:
2x 3y
x
y

1 

 1.
8
8
4 8 / 3
Уравнение прямой с угловым коэффициентом может быть
получено, если из общего уравнения выразить y:
2
8
y  x .
3
3
И, наконец, преобразуем общее уравнение в нормальное. Из
1
1

общего уравнения находим: A  2, B  3,   
.
2
2
13
A B
Так как С  8  0 , то  берется со знаком «+». Следовательно,
2x  3 y  8 
нормальное уравнение прямой имеет вид
2
3
8
x
y
 0 .■
13
13
13
30
ПРИМЕР 2. Составить каноническое и общее уравнения оси Ox.
Решение. Для того чтобы написать каноническое уравнение
любой прямой, достаточно иметь какую-нибудь точку, лежащую на
этой прямой, и какой-нибудь направляющий вектор.
Точка М 0 (0; 0) принадлежит оси Ox, а в качестве
i  {1;0} . Тогда
направляющего вектора можно взять вектор
каноническое уравнение оси Ox имеет вид
x y
 .
1 0
А общее уравнение оси Ox:
y  0 .■
ПРИМЕР 3. Составить уравнение прямой L2 , проходящей через
точку P(4;‒2) параллельно прямой L1 : x  4 y  7  0 .
Решение. Так как прямые L1 и
L2
L1
n1
параллельны,
то
нормальный
вектор
n1  1; 4 прямой L1 является нормальным
L2
P
вектором прямой L2 , то есть n2  n1 . Тогда для
L2 имеем
1 ( x  4)  (4)  ( y  (2))  0  x  4 y  12  0 .■
ПРИМЕР 4. Составить уравнение прямой L2 , проходящей через
точку N(4;‒2) перпендикулярно прямой L1 : 4 x  3 y  5  0 .
Решение. Так как прямые
L1 и L2
перпендикулярны, то нормальный вектор
n1  4; 3 прямой L1 является направляющим
для L2 , то есть q2  n1 . Тогда для L2 имеем
x4 y2

 3x  4 y  4  0 .■
4
3
31
L2
N
n1
L1
ПРИМЕР 5. Составить уравнение серединного перпендикуляра
к отрезку PQ, где P(2;5), Q(‒4;3).
Решение. Точка
K(‒1;4),
которая
является серединой отрезка PQ, принадлежит
прямой, а в качестве нормального вектора
можно
взять
вектор
PQ  {6; 2}
Q
K
P
или
коллинеарный ему вектор n  {3;1} . Тогда уравнение прямой имеет
вид
3  ( x  1)  1 ( y  4)  0  3x  y  1  0 .■
ПРИМЕР 6.
L : 2x  y  1  0 .
Найти
проекцию
точки
Решение. Составим уравнение прямой
L1 ,
проходящей
через
точку
Р
перпендикулярно прямой L. Нормальный
n  {2; 1} прямой L является
вектор
направляющим
вектором
прямой
Р(2;3)
на
L1
Р
прямую
n
L
Р
L1 ,
следовательно, для прямой L1 имеем
x 2 y 3

 x  2 y  8  0.
2
1
Проекцией точки Р на прямую L является точка Р , точка
пересечения прямых L и L1 . Чтобы найти ее, нужно решить систему
уравнений
2 x  y  1,

 x  2 y  8.
6
17
Решение этой системы: x  , y  . Окончательно, имеем
5
5
 6 17 
Р  ;  .■
5 5 
32
Взаимное расположение прямых на плоскости
Пусть на плоскости даны две прямые:
L1 : A1x  B1 y  C1  0, n1   A1, B1 ;
L2 : A2 x  B2 y  C2  0, n2   A2 , B2  .
Уравнения прямых можно рассматривать как уравнения
системы линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
 A1x  B1 y  C1 ,

 A2 x  B2 y  C2 .
Пусть А – матрица этой системы, А – расширенная матрица
системы, тогда возможны три случая:
1.
2.
A1 B1

A2 B2

A1 B1 С1


A2 B2 С2

 n1
3.
 rang A  rang A  2 
система несовместна
и решений не имеет

L1 и L2
параллельны
 rang A  rang A 
n2 
A1 B1 С1


A2 B2 С2
 n1
L и L2
система имеет
 1
единственное решение
пересекаются

у системы бесконечно

много решений
L1 и L2
совпадают
 rang A  rang A  1
n2 
Угол  между прямыми L1 и L2 – это угол между их
нормальными векторами, то есть
cos  
 n1, n2  
n1 n2
А1 А2  В1В2
А12  В12  А22  В22
(чтобы найти острый угол между прямыми, нужно правую часть
равенства взять по модулю).
33
Условие перпендикулярности прямых имеет вид
L1  L2  A1 A2  B1B2  0 .
Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
L1 : y  k1x  b1, L2 : y  k2 x  b2 ,
то для острого угла  между этими прямыми справедлива формула
tg  
k2  k1
.
1  k1k2
В частности,
L1 L2  k1  k2 ,
L1  L2
 k1k2  1 .
ПРИМЕР 7. Найти острый угол  между прямыми: x  y  2  0
и 2 x  3 y  37  0 .
Решение. Так как n1  {1; 1}, n2  {2;3}, то
cos  
 n1, n2 
n1 n2

1
2 13

1
26
   arccos
1
26
.■
ПРИМЕР 8. Написать уравнение прямой L2 , проходящей через
точку Р(0;2) под углом  4 к прямой L1 : x  2 y  3  0 .
Решение. Угловой коэффициент прямой L1 равен k1  0,5 .
Подставляя известные величины в формулу tg  
tg

4
1
k2  0,5
1  0,5  k2
k2  k1
, имеем
1  k1k2
1
 k2  3 или k2   .
3
Для каждого случая напишем уравнение прямой, проходящей
через точку Р:
y  2  3( x  0)  3x  y  2  0,
1
y  2   ( x  0)  x  3 y  6  0 .■
3
34
Расстояние от точки до прямой
Пусть
x cos   y cos   p  0
‒
нормальное
уравнение
некоторой прямой, а М  ( x , y ) ‒ произвольная точка. Величина
  x  cos   y  cos   p
называется отклонением точки М  от прямой, причем, если   0 ,
то данная точка М  и начало координат лежат по разные стороны от
прямой, если   0 , то точка М  и начало координат лежат по одну
сторону от прямой. Для точек, лежащих на прямой,   0 .
Расстояние от точки М  до прямой L можно найти с помощью
любой из формул:
d    x cos   y cos   p ;
d
Аx  By  C
A B
2
2
;
М
d
n
d  прn M 0 M  .
M0
где М 0 ‒ произвольная точка, принадлежащая прямой, а n ‒
нормальный вектор этой прямой.
ПРИМЕР 9. Найти расстояние между двумя параллельными
прямыми: L1 : x  2 y  1  0 и L2 : 2 x  4 y  3  0 .
Решение. Возьмем
на
прямой
L1
произвольную
точку,
например, М(1;0), и найдем расстояние от этой точки до прямой L2 .
Очевидно, мы получим искомое расстояние. Итак,
d
2 1  4  0  3
2 4
2
2

5
20
.■
35
ПРИМЕР 10. Доказать, что прямая 2 x  y  3  0 пересекает
отрезок AB, если А(1;‒2), В(‒4;0).
Решение. Нормальное уравнение данной прямой имеет вид
2
1
3

x
y
 0.
5
5
5
Найдем отклонения точек А и В от прямой:
2
1
3
7
A  
1 
 (2) 

,
5
5
5
5
2
1
3
5
B  
 (4) 
0 

.
5
5
5
5
Так как  A  0 , то точка А и начало координат лежат по одну
сторону от прямой, так как  В  0 , то точка В и начало координат
лежат по разные стороны от прямой. Таким образом, точки А и В
лежат по разные стороны от прямой, то есть прямая пересекает
отрезок АВ.■
Задачи
1. Дан треугольник с вершинами P(2;2), Q(‒2;0), R(1;‒1). Составить
а). уравнение стороны PQ;
б). уравнение прямой проходящей через точку Р, параллельно
стороне QR;
в). уравнение медианы, проведенной из вершины R;
г). уравнение высоты, опущенной из вершины Q на сторону PR.
2. Найти точку Q, симметричную точке P(1;1) относительно прямой
2x  y  1  0 .
3. Выяснить взаимное расположение прямых. Если они параллельны,
найти расстояние между ними. Если прямые пересекаются, найти
угол между ними.
а). 3x  4 y  13  0, 2 x  y  7  0 ;
б). 2 x  y  1  0, 4 x  2 y  3  0 .
36
4. Точка А(2;‒5) является вершиной квадрата, одна из сторон
которого лежит на прямой x  2 y  7  0 . Найти площадь этого
квадрата.
5. Написать уравнение прямой L2 , проходящей через точку Р(‒4;5)
под углом  4 к прямой L1 : 7 x  y  8  0 .
Ответы: 1. а) x  2 y  2  0 ; б). x  3 y  8  0 ; в). 2 x  y  1  0 ;
г). x  3 y  2  0 . 2. (‒0,6;1,8). 3. а).   arccos
2
5 5
; б). d 
1
2 5
. 4. 5.
5. 4 x  3 y  1  0; 3x  4 y  32  0 .
Задания для самостоятельной работы
5.1. Дан треугольник с вершинами К(2;0), М(‒2;6), N(4;‒2). Написать
а). уравнение стороны КN;
б). уравнение средней линии, пересекающей стороны КМ и КN;
в). уравнение медианы, проведенной из вершины К;
г). уравнение высоты, опущенной из вершины К на строну МN.
5.2. Уравнение 4 x  3 y  5  0 привести к нормальному виду.
5.3. Найти точку симметричную точке Р(‒1;0) относительно прямой
3x  5 y  1  0 .
5.4. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из
точки А(‒1;2) на прямую 3x  5 y  21  0 .
5.5. Составить уравнение прямой, если известно, что точка М(4;2)
является серединой ее отрезка, заключенного между осями
координат.
5.6. Выяснить взаимное расположение прямых. Если они
параллельны, найти расстояние между ними. Если прямые
пересекаются, найти угол между ними.
а). 2 x  3 y  4  0, 4 x  y  12  0 ;
б). x  3 y  14  0, 2 x  6 y  7  0 .
37
5.7. Составить
уравнение
геометрического
места
точек,
равноудаленных от двух параллельных прямых x  2 y  3  0 ,
2x  4 y 1  0.
5.8. Две стороны квадрата лежат на прямых 5x  12 y  65  0 и
5 x  12 y  26  0 . Найти площадь квадрата.
5.9. Найти геометрическое место точек, расстояние от которых до
прямой 5x  12 y  13  0 равно 4.
5.10. Составить
уравнение
прямой,
x  2 y  6  0 относительно точки А(4;2).
симметричной
прямой
5.11. Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны
треугольника, зная уравнения двух его высот: 7 x  2 y  1  0 ,
2 x  7 y  6  0 и вершину А(3;‒4).
5.12. Точка Р(1;‒1) является центром квадрата, одна сторона которого
лежит на прямой x  2 y  12  0 . Составить уравнения прямых, на
которых лежат остальные стороны этого квадрата.
5.13. Найти координаты центра окружности, описанной около
треугольника КМN из задачи 5.1.
5.14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
x  2 y  3  0, 2 x  3 y  1  0 параллельно
пересечения прямых
(перпендикулярно) прямой 4 x  5 y  8  0 .
5.15. Доказать, что прямая x  3 y  4  0 не пересекает отрезок AB, где
А(1;4), В(‒2;3).
5.16. Даны координаты середин сторон треугольника: N(1;2), M(7;4),
L(3;‒4). Найти уравнения прямых, на которых лежат стороны
треугольника.
38
6. ПЛОСКОСТЬ
Рассмотрим различные уравнения плоскости в декартовой
прямоугольной системе координат Oxyz.
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку М ( x0 , y0 , z0 )
перпендикулярно вектору n  { A, B, C}
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 .
Это
уравнение
представляет
собой
условие ортогональности векторов n и М 0 М ,
n
M0
M
где М(x,y,z) ‒ произвольная точка плоскости.
Любой ненулевой вектор n , перпендикулярный плоскости,
будем называть нормальным вектором этой плоскости.
2. Общее уравнение плоскости
Ax  By  Cz  D  0 .
Из общего уравнения плоскости можно найти координаты ее
нормального вектора: n  { A, B, C} .
Частные случаи:
D  0  плоскость (П) проходит через начало координат;
А  0  n  {0, B, C}  n  Ox  П Ox ;
В  0  n  { А, 0, C}  n  Oy  П Oy ;
C  0  n  { A, B, 0}  n  Oz  П Oz ;
А  0, B  0  n  {0, 0, C}  n  Oxy  П Oxy ;
B  0, C  0  n  { A, 0, 0}  n  Oyz  П Oyz ;
А  0, C  0  n  {0, B, 0}  n  Oxz  П Oxz .
39
3. Уравнение плоскости в отрезках
z
x y z
   1.
a b c
c
Числа а, b и с указывают, какие отрезки
отсекает плоскость на осях координат.
a
x
O
b
y
4. Уравнение плоскости, проходящей через
три точки М1 ( x1, y1, z1 ) , М 2 ( x2 , y2 , z2 ) ,
М 3 ( x3 , y3 , z3 ) ,
x  x1
x2  x1
x3  x1
y  y1
y2  y1
y3  y1
z  z1
z2  z1  0 .
z3  z1
М1
М2 М
3
М
Это уравнение является условием компланарности векторов
М1М , М1М 2 , М1М 3 , где М(x,y,z) ‒ произвольная точка плоскости.
После разложения определителя по первой строке и простейших
преобразований получается общее уравнение плоскости.
5. Нормальное уравнение плоскости
x cos   y cos   z cos   p  0 ,
где p  0 – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат
на плоскость,  ,  и  – углы, который этот перпендикуляр образует
с осями Ox, Oy и Oz соответственно.
Замечание. Общее уравнение плоскости Ax  By  Cz  D  0
можно преобразовать в нормальное, умножив его на нормирующий
множитель
 " ", если D  0; 
1

 " ", если D  0  .
2
2
2


A  B C
40
ПРИМЕР 1. Составить уравнение плоскости П 2 , проходящей
через точку М(1;2;3) параллельно плоскости П1 : 3x  y  4 z  2  0 .
Решение. Так как плоскости П1 и П2
параллельны,
то
нормальный
вектор
n1  {3; 1; 4} плоскости П1 можно взять в
качестве нормального вектора плоскости П2 ,
n1
П1
П2
М
то есть n2  {3; 1; 4}.
Таким образом, уравнение плоскости П2 имеет вид
3  ( x  1)  (1)  ( y  2)  4  ( z  3)  0 .
Раскрывая скобки, получаем общее уравнение плоскости
3x  y  4 z  13  0 .■
ПРИМЕР 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку М(3;‒1;4) перпендикулярно оси Oy.
Решение. Искомая плоскость перпендикулярна оси Oy,
следовательно, перпендикулярна вектору j  {0;1;0} , который можно
взять в качестве ее нормального вектора. Тогда уравнение искомой
плоскости имеет вид
0  ( x  3)  1 ( y  (1))  0  ( z  4)  0 
y  1  0 .■
ПРИМЕР 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку N(1;‒2;2) перпендикулярно ее радиус-вектору.
Решение. Радиус-вектор
вектором плоскости, то есть
точки
N
является
нормальным
n  ON  {1; 2; 2} . Следовательно,
уравнение плоскости имеет вид
1 ( x  1)  2  ( y  (2))  2  ( z  2)  0  x  2 y  2 z  9  0 .■
41
ПРИМЕР 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку М 0 (1;0; 2) параллельно векторам a  {2;1; 1} и b  {0;3;1}.
Решение. Первый способ. Так как векторы a и b параллельны
плоскости (можно считать, что они лежат в плоскости), то в качестве
нормального вектора плоскости можно взять вектор  a , b  , то есть
i
j k
n   a , b   2 1 1  4i  2 j  6k .
0 3 1
b
a
М0
Запишем уравнение плоскости:
4  ( x  1)  2  ( y  0)  6  ( z  2)  0  2 x  y  3z  8  0 .
Второй способ. Пусть М(x,y,z) – произвольная точка плоскости,
тогда вектор М 0 М   x  1; y; z  2 лежит в этой плоскости. Векторы
a,
b
и
М0М
компланарны,
следовательно,
их
смешанное
произведение равно нулю, то есть
x 1 y
2 1
0
3
z2
1  0 .
1
Разложив определитель по первой строке и упростив полученное
выражение, получим
2 x  y  3z  8  0 .■
ПРИМЕР 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки N(1;2;0), L(‒1;1;1), K(‒2;3;1).
Решение. Векторы
NL  {2; 1;1}, NK  {3;1;1}
лежат
в
искомой плоскости, тогда вектор  NL, NK  ей перпендикулярен и,
следовательно, является нормальным вектором, то есть
42
i
j k
n   NL, NK   2 1 1  2i  j  5k .
3 1 1
Уравнение плоскости имеет вид
2  ( x  1)  ( y  2)  5  ( z  0)  0  2 x  y  5z  4  0 .
Это же уравнение можно получить, если приравнять нулю
смешанное произведение компланарных векторов NL, NK , NМ , где
М(x,y,z) – произвольная точка плоскости.■
ПРИМЕР 6. Составить уравнение плоскости П2 , проходящей
через точки P(1;‒1;2),
П1 : 3x  4 y  z  5  0 .
Q(‒3;0;1)
перпендикулярно
Решение. Так как плоскости П1 и П2
перпендикулярны, то нормальный вектор
П1 параллелен
n1  3; 4;1
плоскости
плоскости П2 , а вектор PQ  {4;1; 1} лежит
П1
P
плоскости
n1
Q
П2
в плоскости П2 . Тогда вектор  n1, PQ  перпендикулярен плоскости
П2 и является ее нормальным вектором, то есть
i
j k
n2   n1, PQ   3 4 1  3i  j  13k .
4 1 1
Уравнение плоскости П2 :
3  ( x  1)  ( y  1)  13  ( z  2)  0  3x  y  13z  22  0 .■
43
Взаимное расположение плоскостей
Пусть даны две плоскости:
П1 : A1x  B1 y  C1z  D1  0, n1  {A1, B1, C1};
П2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0, n2  {A2 , B2 , C2 }.
Тогда возможны три случая:
1.
A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2
 плоскости П1 и П2 параллельны.
2.
A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2
 плоскости П1 и П2 совпадают.
3. n1 и n2 не коллинеарны  плоскости П1 и П2 пересекаются.
Угол  между плоскостями П1 и П2 – это угол между их
нормальными векторами, то есть
n , n 
A1 A2  B1B2  C1C2
cos   1 2 
n1 n2
A12  B12  C12  A22  B22  C22
(для определения острого угла между плоскостями нужно правую
часть равенства взять по модулю).
Условие перпендикулярности плоскостей имеет вид
П1  П2

A1 A2  B1B2  С1С2  0 .
ПРИМЕР 7. Найти острый угол

между плоскостями
x  2 y  5 z  12  0 и 3x  y  z  7  0 .
Решение. Так как n1  {1; 2; 5} и n2  {3; 1;1} , то
cos  
 n1, n2 
n1 n2
Следовательно,   arccos

1  3  2  (1)  5 1
1  4  25 9  1  1
4
.■
330
44

4
330
.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть
дано
нормальное
уравнение
некоторой
плоскости
x cos   y cos   z cos   p  0 и точка М  ( x , y , z ) , тогда величина
  x  cos   y  cos   z  cos   p
называется отклонением точки М  от плоскости, причем, если
  0 , то данная точка М  и начало координат лежат по разные
стороны от плоскости, если   0 , то точка М  и начало координат
лежат по одну сторону от плоскости. Для точек, лежащих на
плоскости,   0 .
Расстояние от точки М  до плоскости можно найти, используя
любую из формул:
d    x  cos   y  cos   z   cos   p ;
d
Аx  By  Cz   D
A  B C
2
2
2
;
d  прn M 0 M  ,
где М 0 ‒ произвольная точка, принадлежащая плоскости, а n ‒
нормальный вектор этой плоскости.
ПРИМЕР 8. Найти высоту тетраэдра АBCD, опущенную из
вершины D на грань АВС, если А(2;1;3), В(‒1;0;2), С(1;1;0), D(4;1;‒3).
Решение. Искомая высота h равна расстоянию от точки D до
плоскости, проходящей через точки А, В, С. Составим уравнение этой
плоскости. Так как
i
j k
n   AB, AC   3 1 1  3i  8 j  k ,
1 0 3
45
то уравнение плоскости имеет вид
3  ( x  2)  8  ( y  1)  ( z  3)  0  3x  8 y  z  5  0 .
Найдем расстояние d от точки D до плоскости:
d
3  4  8 1  1  (3)  5

9  64  1
12
74
 h
12
.■
74
Задачи
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P(2;1;0)
параллельно плоскости x  3z  100  0 .
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М
перпендикулярно вектору MN , если М(3;‒1;1), N(1;2;‒4).
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1;4;7)
параллельно векторам a  {3; 1; 2} и b  {2;1; 4}.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(2;0;5),
N(‒1;2;0), K(3;‒1;4).
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(‒2;3;0)
перпендикулярно плоскостям 2 x  3z  2  0 и x  2 y  z  3  0 .
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;1;‒4)
параллельно вектору a  {0;1; 2} и оси Оz.
7. Найти острый угол между плоскостями
2 x  y  z  0 и 3x  2 y  5 z  2  0 .
8. Найти расстояние между параллельными плоскостями
x  2 y  z  2  0 и 2x  4 y  2z  7  0 .
Ответы: 1. x  3z  2  0 . 2. 2 x  3 y  5 z  14  0 .
3. 6 x  16 y  z  63  0. 4. 7 x  8 y  z  9  0 . 5. 6 x  y  4 z  15  0 .
6. x  2  0 . 7. arccos
13
228
. 8.
3
24
.
46
Задания для самостоятельной работы
6.1. Составить уравнение плоскости проходящей через точку
К(1;0;3) перпендикулярно вектору с  {2;5; 4} .
6.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало
координат параллельно плоскости 4 x  6 y  3z  15  0 .
6.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
К(0;2;‒3) параллельно плоскости Оху.
6.4. Составить уравнение плоскости проходящей через точку
К(1;2;0) параллельно вектору a  {3;1;6} и оси Oy.
6.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
М(0;3;4) и N(‒2;1;3) параллельно вектору b  {2;1; 4}.
6.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
M(‒2;1;2), N(2;4;‒1), K(0;1;3).
6.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и
точку N(‒2;1;3).
6.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
N(2;0;1) перпендикулярно плоскостям x  2 y  3z  2  0 и 2x  z  0 .
6.9. Найти расстояние от точки M(5;4;‒1) до плоскости, проходящей
через точки K(0;4;0), L(0;4;‒3), N(3;0;3).
6.10. Найти острый угол между плоскостями
2 x  4 y  3z  7  0 и x  2 y  0 .
6.11. При
каком
значении

плоскости
3x   y  z  1  0
и
 x  y  2 z  0 перпендикулярны?
6.12 Две грани куба лежат на плоскостях 2 x  y  3z  4  0 и
2 x  y  3z  1  0 . Найти объем этого куба.
6.13 На оси Оу найти точку, находящуюся на расстоянии d  4 от
плоскости x  2 y  2 z  2  0 .
6.14. Доказать, что три плоскости x  2 y  z  1  0, 2 x  y  z  0 и
x  3 y  2 z  2  0 имеют одну общую точку.
47
7. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим различные способы задания прямой в пространстве
в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz.
1. Общие уравнения прямой
 A1x  B1 y  C1z  D1  0,

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
задают прямую в пространстве как линию пересечения двух
плоскостей (векторы n1  { A1, B1, C1} и n2  { A2 , B2 , C2 } должны быть
не коллинеарны).
2. Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку
М 0 ( x0 , y0 , z0 ) параллельно данному вектору q  {l , m, n}, имеют вид
x  x0 y  y0 z  z0
.


l
m
n
M
Эти уравнения представляют собой условие
M0
q
коллинеарности векторов q и М 0 М , где
М(x,y,z) – произвольная точка прямой.
Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называется
направляющим вектором этой прямой.
От канонических уравнений можно
уравнениям, например, следующим образом:
перейти
к
общим
 x  x0 y  y0
 l  m ,

 y  y0  z  z0 .
 m
n
Если одна или две координаты вектора q равны нулю, то это
означает, что числители соответствующих дробей тоже равны нулю.
48
3. Параметрические уравнения прямой
 x  x0  lt ,

 y  y0  mt , t  ,
 z  z  nt ,
0

x  x0 y  y0 z  z0


t.
l
m
n
Любому значению параметра t (t  ) соответствует единственная
можно получить, если ввести параметр:
точка на прямой, и, наоборот, любой точке на прямой соответствует
единственное значение параметра t.
ПРИМЕР 1. Составить канонические, общие и параметрические
уравнения оси Oy.
Решение. Для того чтобы составить канонические уравнения
прямой, нужно иметь какую-нибудь точку, принадлежащую прямой,
и какой-нибудь направляющий вектор. Точка О(0;0;0) лежит на оси
Oy, а вектор j  {0;1;0} можно взять в качестве направляющего.
Тогда канонические уравнения оси Oy:
x y z
  .
0 1 0
Поскольку знаменатели первой и третьей дробей равны нулю, то
и числители этих дробей также равны нулю. Таким образом, общие
уравнения оси Oy имеют вид
 x  0,

 z  0.
Получим параметрические уравнения оси Oy:
 x  0,
x y z

   t   y  t, ■
0 1 0
 z  0.

49
ПРИМЕР 2. Составить канонические, общие и параметрические
уравнения прямой, проходящей через точки Р(1;2;‒5) и Q(‒2;2;0).
Решение. Вектор
PQ  {3;0;5}
является
направляющим
вектором прямой, точка Р (можно взять точку Q) принадлежит этой
прямой, тогда канонические уравнения прямой имеют вид
x 1 y  2 z  5
.


3
0
5
Общие уравнения прямой можно записать, например, так
 x 1 z  5

,
5 x  3z  10  0,

 
5
 3
y  2.


y2
И, наконец, выпишем параметрические уравнения
 x  3t  1,
x 1 y  2 z  5



 t   y  2, ■
3
0
5
 z  5t  5.

ПРИМЕР 3. Привести к каноническому виду прямую, заданную
2 x  y  3 z  1  0,
общими уравнениями 
 x  4 z  2  0.
n1
Решение. Первый способ. Так как
n2
прямая лежит одновременно в обеих
q
плоскостях, то любой ее направляющий вектор
ортогонален нормальным векторам n1  {2; 1;3} и n2  {1;0; 4} обеих
плоскостей, тогда вектор
i
j k
q   n1, n2   2 1 3  4i  5 j  k
1 0 4
можно взять в качестве направляющего.
Найдем какую-нибудь точку, принадлежащую прямой.
Координаты этой точки являются частным решением системы
уравнений
50
2 x  y  3 z  1  0,

 x  4 z  2  0,
состоящей из двух уравнений с тремя неизвестными. Одна из
переменных является свободной. Пусть, например, z  0 , тогда
2 x  y  1,
 x  2,
 

 x  2
 y  5.
Точка
М 0 (2; 5;0)
принадлежит
прямой,
следовательно,
канонические уравнения прямой имеют вид
x2 y5 z

 .
4
5
1
Второй способ. Канонические уравнения прямой можно
получить, имея любые две точки, принадлежащие этой прямой. Точка
М 0 найдена выше, найдем вторую точку М 1 . Пусть z  1, тогда
2 x  y  2  0,
 x  6,

 М1 (6; 10;1) .


x

6

0
y


10.


В качестве направляющего возьмем вектор М 0 М1  {4; 5;1} ,
тогда имеем
x2 y5 z

 .■
4
5
1
ПРИМЕР 4.
Составить
канонические
уравнения прямой,
x 1 y
z
проходящей через точку Р(2;4;0) параллельно прямой
  .
2
1 3
Решение. Поскольку прямые параллельны, то вектор
q  {2;1; 3} является направляющим вектором обеих прямых. Тогда
канонические уравнения искомой прямой:
x2 y4 z

 .■
2
1
3
51
Взаимное расположение прямых в пространстве
Пусть даны две прямые в пространстве:
L1 :
x  x1 y  y1 z  z1


,
l1
m1
n1
q1  {l1, m1, n1}, M1 ( x1, y1, z1 );
L2 :
x  x2 y  y2 z  z2


,
l2
m2
n2
q2  {l2 , m2 , n2 }, M 2 ( x2 , y2 , z2 ).
Здесь прямые заданы каноническими уравнениями, но они могут
быть заданы общими или параметрическими уравнениями, при этом
всегда можно найти направляющие векторы прямых и точки,
принадлежащие этим прямым.
1. Прямые L1 и L2 параллельны тогда и только тогда, когда
q1 q2 . В частности, прямые могут совпадать. Чтобы проверить,
совпадают прямые или нет, достаточно координаты точки,
принадлежащей одной прямой, подставить в уравнения другой
прямой. Если получатся истинные равенства, то прямые совпадают.
ПРИМЕР 5. Определить взаимное расположение прямых в
x 1 y 1 z
x
y 1 z  3
пространстве, если L1 :
.

 ; L2 : 

2
1
1
2
1
1
Решение. Так как q1  {2;1; 1} и q2  {2; 1;1} коллинеарны, то
прямые параллельны. Точка М1 (1; 1;0) принадлежит прямой L1 .
Подставив ее координаты в канонические уравнения прямой L2 ,
имеем
1 1  1 0  3


.
2
1
1
Следовательно, точка М 1 не принадлежит второй прямой, то есть
прямые не совпадают.■
52
2. Прямые L1 и L2 пересекаются, если они лежат в одной
плоскости и не параллельны.
Прямые L1 и L2 пересекаются тогда и
и
q1
M1M 2  {x2  x1, y2  y1, z2  z1} компланарны,
q2
только
тогда,
когда
векторы
q1, q2
M2
M1
то есть
М1М 2 , q1, q2
x2  x1
 l1
l2
y2  y1
m1
m2
z2  z1
n1  0 ,
n2
причем векторы q1 и q2 должны быть не коллинеарны.
3. Прямые L1 и L2 скрещиваются, то есть принадлежат
разным плоскостям, если М1М 2 , q1, q2  0 .
ПРИМЕР 6. Определить взаимное расположение прямых
 x  y  z  1  0,
x 1 y z  3
L1 : 
L2 :
 
.
x

2
y

z

0,
0
1
2

Решение. Найдем направляющий вектор прямой L1 :
i
j k
q  1 1 1  3i  3k .
1 2 1
Удобно взять в качестве направляющего вектор q1  {1;0;1} , который
коллинеарен найденному. Так как векторы q1  {1;0;1} и q2  {0;1; 2}
не коллинеарны, то прямые не параллельны.
Точка M 2 (1;0;3) принадлежит прямой L2 . Найдем точку M 1 ,
принадлежащую прямой L1 . Пусть z  0 , тогда
 x  y  1,
2
1
 2 1 
 x ,y
 M1   ;  ;0  .

3
3
 3 3 
 x  2y  0
53
Так как
М1М 2 , q1, q2
1/ 3 1/ 3 3
 1
0 1  0,
0
1 2
то прямые L1 и L2 скрещиваются.■
Угол между прямыми
Угол  между прямыми – это угол между направляющими
векторами этих прямых, то есть
q ,q 
l1l2  m1m2  n1n2
cos  1 2 
q1 q2
l12  m12  n12  l22  m22  n22
(для определения острого угла между прямыми нужно правую часть
равенства взять по модулю).
В частности, условие перпендикулярности прямых имеет вид
l1  l2  m1  m2  n1  n2  0 .
ПРИМЕР 7. Найти острый угол  между прямыми
 x  3  t,
2 x  y  3z  10  0,

L1 : 
L2 :  y  2t , .
 x  3 y  z  0,
 z  1

Решение. Найдем направляющие векторы прямых L1 и L2 :
i
j k
q1   n1, n2   2 1 3  8i  j  5k , q2  {1; 2;0} ,
1 3 1
Тогда
cos  
 q1, q2 
q1 q2

8 1  1  2  (5)  0
64  1  25 1  4
54

2
18
   arccos
2
18
.■
Расстояние от точки до прямой
Пусть даны канонические уравнения некоторой прямой
x  x0 y  y0 z  z0
и точка М1 ( x1, y1, z1 ) , не принадлежащая этой


l
m
n
прямой.
Расстояние от точки М 1 до прямой – это длина высоты
параллелограмма, построенного на векторах q
и М 0 М1 , где
q  {l , m, n} ‒ направляющий вектор прямой, а М 0 ( x0 , y0 , z0 ) ‒ точка,
принадлежащая прямой, то есть
М1
 q, M 0 M1 


d
.
q
d
М0
q
ПРИМЕР 8. Найти расстояние от точки М1 (3;0;5) до прямой
x  2 y 1 z  4
.


1
3
0
Решение. Из канонических уравнений прямой находим
M 0 (2; 1; 4) ,
q  {1;3;0}
направляющий
вектор
и точку
принадлежащую прямой, тогда M 0 M1  {1;1;1} и
i
j k
 q , M 0 M1   1 3 0  3i  j  4k .


1 1 1
Следовательно, расстояние от точки М 1 до прямой равно
 q , M 0 M1 
9  1  16
13


d


.■
q
5
1 9  0
55
Задачи
1. Составить канонические, общие, параметрические уравнения
а). прямой, проходящей через точку M(5;2;4) параллельно
вектору a  {2; 3;6};
б). оси Oz;
в). прямой, проходящей через точки M(2;‒2;1) и N(3;1;‒2);
г). прямой, проходящей через точку М(2;‒11;17) параллельно
 x  y  133  0,
прямой 
2 x  3 y  z  22  0.
 x  3 y  2 z  3  0,
2. Привести прямую 
к каноническому виду.
 2x  y  z  2  0
3. Найти величину острого угла между прямыми:
 x  y  z  11  0,
x 1 y  3 z  2
и 


2
1
4
 x  2 y  3 z  2  0.
4. Выяснить взаимное расположение прямых:
x 1 y 1 z
x  3 y 1 z  2
.

 ,


1
1 2
3
0
2
5. Найти расстояние между параллельными прямыми:
x y  2 z 1 x 1 y z 1
.


,
 
1
0
2
1
0
2
6. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
точку М(1;2;‒4) и образующей с осями Ox, Oy, Oz углы 120°, 60°, 45°
соответственно.
Ответы: 1. г).
3. arccos
x  2 y  11 z  17
x  0,2 y z  1,6
. 2.
.




1
1
5
1
5
7
6
x 1 y  2 z  4


. 4. скрещиваются. 5. d  2 . 6.
.

1
1
98
2
56
Задания для самостоятельной работы
7.1. Составить канонические, общие, параметрические уравнения
а). прямой, проходящей через точки M(5;‒3;4) и N(3;‒4;5);
б). оси Ox;
в). прямой, проходящей через точку М(4;‒7;10) параллельно
 2 x  y  z  3  0,
прямой 
3 x  y  2 z  12  0.
 x  2 y  z  3  0,
7.2. Привести прямую 
к каноническому виду.
3
x

2
y

z

1

0

7.3. Найти величину острого угла между прямыми:
 x  y  2  0,
 x  y  z  1  0,
и


2 x  y  z  6  0
 x  y  3z  1  0.
7.4. Выяснить взаимное расположение прямых:
x  4 y  2 z 1
x2 y 3 z



 .
и
1
2
2
3
4
1
7.5. Найти расстояние между параллельными прямыми:
x  2 y  3 z 1
x 1 y z  4




и
1
3
2
1
3 2
7.6. Составить уравнения прямой, проходящей через точку N(1;‒2;3)
x  5 y  4 z  3 x  2 y  4 z 1


,


перпендикулярно прямым
.
3
1
2
2
5
4
7.7. Даны вершины треугольника А(1;2;3), В(‒3;0;2), С(2;‒1;4).
Составить канонические уравнения медианы, проведенной из
вершины А.
7.8. Проверить, лежат ли в одной плоскости прямые:
 x  2 y  8  0;
3x  2 z  3  0;
и


 y z60
 x  5 y  9  0.
57
8. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
Пусть даны уравнения прямой и плоскости в пространстве:
x  x0 y  y0 z  z0


, q  {l , m, n}, M 0 ( x0 , y0 , z0 );
l
m
n
П:
Ax  By  Cz  D  0,
n  { A, B, C}.
L:
1. Прямая L и плоскость П параллельны, если
Al  Bm  Cn  0 .
2. Прямая L и плоскость П перпендикулярны, если
A B C
  .
l m n
3. Прямая L лежит в плоскости П, если
Al  Bm  Cn  0 и М 0  П .
4. Для угла  между прямой L и плоскостью П справедливо:
sin  
 n, q 
n q

Al  B  m  C  n
A  B C  l m n
2
2
2
2
2
2
.
ПРИМЕР 1. Найти координаты точки пересечения прямой
x 1 y  2 z 1
и плоскости 2 x  3 y  5 z  11  0 .


1
0
2
Решение. Составим параметрические уравнения прямой:
 x  t  1,
x 1 y  2 z 1



 t   y  2,
1
0
2
 z  2t  1.

Подставляя выражения для x, y и z в уравнение плоскости,
найдем значение параметра t, при котором происходит пересечение
прямой и плоскости:
2  (t  1)  3  (2)  5  (2t  1)  11  0  t  1 .
58
Подставляя найденное значение t  1 в параметрические
уравнения прямой, получаем x  0, y  2, z  1. Следовательно,
точка пересечения прямой и плоскости: Р(0;‒2;1).■
ПРИМЕР 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
x 1 y  2 z
точку М(1;2;4) перпендикулярно прямой

 .
2
3
4
Решение. Так как заданная прямая
перпендикулярна искомой плоскости, то
направляющий вектор q  {2; 3; 4} прямой
q
M
перпендикулярен
этой
плоскости
и,
следовательно, является ее нормальным вектором. Тогда уравнение
плоскости имеет вид
2  ( x  1)  3  ( y  2)  4  ( z  4)  0  2 x  3 y  4 z  12  0 .■
ПРИМЕР 3. Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через точку Т(‒2;3;0) перпендикулярно плоскости
x  5 y  4 z  13  0 .
Решение. Так как плоскость и искомая
прямая перпендикулярны, то нормальный
вектор n  {1;5; 4} плоскости параллелен
Т
n
прямой, и является ее направляющим вектором. Следовательно,
канонические уравнения прямой имеют вид
x  2 y 3 z

 .■
1
5
4
ПРИМЕР 4. Найти координаты проекции точки Р(1;2;‒1) на
плоскость 3x  y  2 z  27  0 .
Р
Решение. Проекция Рʹ точки Р на
n
плоскость – это основание перпендикуляра,
Р
опущенного из точки Р на эту плоскость.
59
Чтобы найти координаты точки Рʹ, нужно составить уравнения
прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно плоскости и
найти точку пересечения этой прямой и плоскости.
В качестве направляющего вектора искомой прямой возьмем
нормальный вектор плоскости n  {3; 1; 2} . Тогда канонические
уравнения прямой имеют вид
x 1 y  2 z 1
.


3
1
2
Перейдем к параметрическим уравнениям:
 x  3t  1,
x 1 y  2 z 1



 t   y  t  2,
3
1
2
 z  2t  1.

Подставляя выражения для x, y и z в уравнение плоскости,
найдем t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:
3  (3t  1)  (t  2)  2  (2t  1)  27  0  t  2  Р(7;0;3) .■
ПРИМЕР 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через
x 1 y  2 z  2
прямую
и точку N(2;3;5).


N
1
1
3
M0
q
Решение. Так как векторы q  {1; 1;3} и
М 0 N  {1;1;7} ( М 0 (1; 2; 2) ‒ точка прямой) лежат в плоскости и не
коллинеарны, то вектор
i
j k
n   q , M 0 N   1 1 3  10i  4 j  2k
1 1 7
является нормальным вектором плоскости. Вектор n1  5i  2 j  k ,
коллинеарный вектору n , также является нормальным вектором.
Следовательно, уравнение плоскости имеет вид
5( x  1)  2( y  2)  ( z  2)  0  5x  2 y  z  11  0 .■
60
ПРИМЕР 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через
x 1 y z  2 x y 1 z
точку М(2;3;4) параллельно прямым
 
, 
 .
1
2
0
3
0
1
Решение. Так как прямые параллельны плоскости, то их
направляющие векторы q1  {1; 2;0} и q2  {3;0; 1} также
параллельны плоскости. Тогда вектор
i j k
n   q1, q2   1 2 0  2i  j  6k
3 0 1
является нормальным вектором плоскости. Следовательно, уравнение
плоскости имеет вид:
2( x  2)  ( y  3)  6( z  4)  0  2 x  y  6 z  25  0 .■
ПРИМЕР 7. Найти точку Q, симметричную точке Р(2;‒2;1)
x 1 y  2 z
относительно прямой

 .
q
1
1
1
Q
Решение. Составим уравнение плоскости,
Р P
проходящей через точку Р перпендикулярно
заданной прямой. В качестве нормального вектора плоскости возьмем
направляющий вектор прямой, то есть n  {1;1; 1} , тогда уравнение
плоскости
1 ( x  2)  1 ( y  2)  1 ( z  1)  0  x  y  z  1  0 .
Найдем точку Рʹ пересечения прямой и плоскости, она же
является проекцией точки Р на прямую, и она же, очевидно, является
серединой отрезка PQ.
Составим параметрические уравнения прямой:
 x  t  1,
x 1 y  2 z



 t   y  t  2,
1
1
1
 z  t.

61
Подставляя выражения для x, y и z в уравнение плоскости,
найдем значение параметра t, при котором происходит пересечение
прямой и плоскости:
4
 1 2 4
(t  1)  (t  2)  (t )  1  0  t  
 Р   , ,  .
3
 3 3 3
 1 2 4
Так как точка Р   , ,  ‒ середина отрезка PQ, то имеем:
 3 3 3
2  xQ
1
8

 xQ   ;
2
3
3
2  yQ 2
10

 yQ  ;
2
3
3
1  zQ 4
5

 zQ  .
2
3
3
 8 10 5 
Следовательно, Q   , ,  ‒ искомая точка.■
 3 3 3
ПРИМЕР 8. Найти угол между прямой
x 1 y  2 z


и
2
2
1
плоскостью 2 x  y  4 z  5  0 .
Решение. Угол 
между прямой и
n
q
 
плоскостью – это угол между прямой и ее
проекцией на плоскость. Пусть  ‒ это острый угол между векторами
n  {2; 1; 4} и q  {2; 2; 1} , тогда, очевидно,      2 , и для угла 
имеем
 n, q  2  2  1 2  4  (1)
2


,
sin   sin      cos  


n q
4  1  16 4  4  1 3 21
2

следовательно,   arcsin
2
3 21
.■
62
Задачи
1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
точку M(‒1;2;4) перпендикулярно плоскости 3x  4 y  z  11  0 .
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1;0;‒4)
x 3 y  2 z 5
перпендикулярно прямой
.


1
3
5
x 1 y z  2
3. Найти точку пересечения прямой
и плоскости


2
1
1
x  3y  2z 1  0 .
x 1 y 1 z  2
.


0
1
2
5. Найти точку Q, симметричную точке Р(0;2;‒1) относительно
плоскости x  2 y  2 z  1  0 .
4. Найти проекцию точки Р(1;0;‒1) на прямую
6. При каких значениях параметров С и l прямая
x 3 y 6 z 5


l
1
2
и плоскость 5 x  2 y  Сz  1  0 перпендикулярны?
7. Найти угол между прямой
x 1 y 1 z  7
и плоскостью


3
1
2
x  2y  z 1  0 .
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые
x y 1 z  4
x  2 y 1 z  2
и
.




2
1
3
2
1
3
x  2 y 1 z 1
9. Проверить, принадлежит ли прямая
плоскости


2
0
3
3x  4 y  2 z  0 .
 11 4 2 
Ответы: 3.  ;  ;   . 4.
 3 3 3
6. l  2,5; C  4 . 7. arcsin
 2 4
 10 2 11 
1;

;

.
5.


 ; ; .
 5 5
9 9 9
3
. 8. 3 y  z  1  0 . 9. да.
84
63
Задания для самостоятельной работы
8.1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
точку N(2;3;‒5) перпендикулярно плоскости 5x  2 z  31  0 .
8.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(6;2;‒
x4 y2 z 3
1) перпендикулярно прямой
.


5
2
4
x 1 y 1 z  2
8.3. Найти точку пересечения прямой
и


0
2
1
плоскости 2 x  2 y  3z  3  0 .
8.4. Найти проекцию точки Р(2;1;‒3) на плоскость 2 x  y  2 z  2  0 .
8.5. Найти точку Q, симметричную точке Р(1;2;0) относительно
x y 1 z 1
прямой 
.

2
1
0
x 1 y  4 z  2
8.6. При каких значениях А и m прямая
и


1
m
6
плоскость Аx  3 y  4 z  5  0 перпендикулярны?
8.7. При каком значении параметра l прямая
x 1 y  2 z  5
и


l
3
1
плоскость 4 x  2 y  3z  6  0 параллельны?
8.8. Найти угол между прямой
x 1 y 1 z
и плоскостью


2
3
1
4 x  y  2 z  11  0 .
8.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
x  2 y 1 z  2
М(4;5;‒2) и прямую
.


2
1
4
x  2 y  3 z 1
8.10. Принадлежит ли прямая
плоскости


7
2
1
x  4 y  z  13  0 ?
64
9. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Кривой второго порядка называется линия, которая в
некоторой декартовой прямоугольной системе координат Oxy
определяется уравнением второй степени
Ax2  2Bxy  Cy 2  2Dx  2Ey  F  0 ,
где A2  B 2  C 2  0 .
Это уравнение может задавать окружность, эллипс, гиперболу,
параболу (невырожденные случаи), а также пустое множество, точку,
прямую, пару прямых (вырожденные случаи).
Рассмотрим невырожденные случаи.
Окружность
Окружностью называется геометрическое место всех точек
плоскости, удаленных от заданной точки, называемой центром, на
одно и то же расстояние R, которое называется радиусом
y
окружности.
M
R
Существует система координат Оxy,
в которой уравнение окружности имеет вид
О
x
x2  y 2  R2 .
Это уравнение называется каноническим уравнением
окружности, а система координат, в которой окружность задается
каноническим уравнением, называется канонической. Центр
окружности находится в начале координат.
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке С ( x0 , y0 )
имеет вид
( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R 2 .
65
ПРИМЕР 1. Найти координаты центра и радиус окружности,
уравнение которой x2  y 2  2 x  4 y  20  0 .
Решение. Выделим полные квадраты в левой части заданного
уравнения
x2  2 x  1  y 2  4 y  4  25  0  ( x  1)2  ( y  2)2  52 .
Центр окружности находится в точке С(1;‒2), а радиус равен 5.■
ПРИМЕР 2. Какую линию определяет уравнение x   9  y 2 ?
Решение. Из условия следует, что x  0 . Возведем обе части
заданного уравнения в квадрат:
x2  9  y 2  x2  y 2  9 .
Полученное уравнение определяет окружность радиуса 3 с
центром в начале координат. Искомая линия является частью этой
окружности, а именно, это полуокружность, расположенная слева от
прямой x  0 .■
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,
сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных
точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
y
Каноническое уравнение эллипса имеет
M
b
вид
x2

y2
 1.
F1
F2 a x
a 2 b2
При a  b (а ‒ большая полуось, b ‒
малая полуось), уравнение определяет эллипс, фокусы которого
находятся на оси Ox в точках F1 (c,0), F2 (c,0) , где c 2  a 2  b 2 .
66
При a  b (b ‒ большая полуось, a ‒ малая
полуось) фокусы эллипса находятся на оси Oy в
b
F2
точках F1 (0, c), F2 (0, c) , где c  b  a .
2
2
y
2
O
При a  b получается окружность
a
F1
x
x2  y 2  а2 .
Уравнение
( x  x0 )2

( y  y0 )2
y
1
a2
b2
задает эллипс с центром в точке С ( x0 , y0 ) , оси
симметрии
координат.
эллипса
параллельны
осям
С
O
x
ПРИМЕР 3. Найти координаты центра и длины полуосей
эллипса, уравнение которого 4 x2  3 y 2  8x  12 y  32  0 .
Решение. Выделим полные квадраты в левой части уравнения:
( x  1)2 ( y  2)2
4( x  2 x  1)  3( y  4 y  4)  48  0 

 1.
12
16
Центр эллипса находится в точке C(1;‒2), а полуоси: a  2 3, b  4 .
2
2
ПРИМЕР 4. Установить, какую линию определяет уравнение
4
y  2
 x2  6 x .
3
Решение. Из условия следует, что y  2 . Перенесем двойку в
левую часть уравнения, возведем обе части полученного уравнения в
квадрат и выделим полный квадрат по переменной x, тогда
16
( x  3)2 ( y  2)2
2
( y  2)  ( x  6 x) 

 1.
9
9
16
Полученное уравнение задет эллипс с центром в точке С(‒3;2) и
полуосями a  3, b  4 . Искомая кривая ‒ половина этого эллипса,
2
расположенная под прямой y  2 .■
67
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости,
модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных
точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
y
Каноническое уравнение гиперболы
x2

y2
 1,
(*)
b
а F x
a 2 b2
F1
2
где а ‒ действительная полуось, b ‒ мнимая
полуось гиперболы.
Фокусы гиперболы находятся в точках F1 (c,0), F2 (c,0) , где
c 2  a 2  b2 . Прямые y  
Уравнение
x2
2

y2
2
 1
b
x являются асимптотами гиперболы.
a
y
F
b 2
a
b
задает
гиперболу,
которая
называется
сопряженной гиперболе (*). Ее фокусы
находятся в точках F1 (0, c) , F2 (0, c) .
а
x
F1
Гипербола с центром в точке С ( x0 , y0 ) и осями симметрии,
параллельными координатным осям, задается одним из уравнений
( x  x0 )2
a2

( y  y0 )2
b2
 1.
ПРИМЕР 5. Выяснить, какую линию на плоскости описывает
уравнение 9 x2  16 y 2  36 x  32 y  124  0 .
Решение. Выделим полные квадраты в левой части уравнения:
( x  2)2 ( y  1)2
9( x  4 x  4)  16( y  2 y  1)  144  0 

 1.
16
9
Полученное уравнение задает гиперболу, центр которой
находится в точке C(2;‒1), а полуоси: a  4, b  3 .■
2
2
68
ПРИМЕР 6. Выяснить, какую линию на плоскости описывает
3 2
уравнение y  1 
x  2 x  26 .
5
Решение. Перенесем ‒1 в левую часть, возведем обе части
уравнения в квадрат и, выделяя полный квадрат по переменной x,
получим:
( x  1)2 ( y  1)

 1.
25
9
Это уравнение описывает гиперболу с центром в точке C(1;‒1),
фокусами на оси Oy и полуосями a  5, b  3 . Искомая кривая ‒ часть
гиперболы, расположенная ниже прямой y  1.■
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости,
каждая из которых равноудалена от данной точки этой плоскости,
называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы:
y
y 2  2 px ,
M
где p ( p  0) ‒ параметр параболы, равный
расстоянию от фокуса F  p 2, 0  до директрисы l
l
O F
x
(уравнение директрисы x   p 2 ). Точка О(0;0)
‒ вершина параболы, а ось Ox ‒ ось симметрии.
Ветви параболы направлены вправо.
x  2 py задает параболу,
симметричную относительно оси Oy, с вершиной
в точке О(0;0) и фокусом в точке F  0, p 2  .
Уравнение
y
2
F
x
y
Ветви параболы направлены вверх.
y 2  2 px задает параболу,
симметричную относительно оси Ox, с вершиной
Уравнение
69
F
O
x
в начале координат и фокусом в точке F   p 2, 0  . Ветви параболы
направлены влево.
x2  2 py задает параболу,
симметричную относительно оси Oy, с вершиной в
начале координат и фокусом в точке F  0,  p 2  .
Уравнение
O
y
x
F
Ветви параболы направлены вниз.
Если вершина параболы находится в точке С ( x0 , y0 ) , а ось
симметрии параллельна одной из координатных осей, то парабола
задается одним из следующих уравнений
( y  y0 )2  2 p( x  x0 ),
( x  x0 )2  2 p( y  y0 ),
( y  y0 )2  2 p( x  x0 ), ( x  x0 )2  2 p( y  y0 ).
ПРИМЕР 7. Выяснить, какую линию на плоскости описывает
уравнение 2 x  y 2  6 y  13  0 .
Решение. Выделяя полный квадрат по переменной y, имеем
2 x  y 2  6 y  13  0  ( y  3)2  2( x  2) .
Полученное уравнение описывает параболу с вершиной в точке
C(‒2;3), p  1 (ветви параболы направлены влево).■
ПРИМЕР 8. Выяснить, какую линию на плоскости описывает
уравнение x  3  6 y  12 .
Решение. Перенесем ‒3 в левую часть, возведем обе части
уравнения в квадрат, тогда получим:
x  3  6 y  12  ( x  3)2  6( y  2) .
Это уравнение описывает параболу с вершиной в точке C(‒3;2),
p  3 , ветви направлены вниз. Искомая кривая ‒ часть параболы,
расположенная справа от прямой x  3 .■
70
Задачи
1. Выяснить какую линию на плоскости описывает уравнение,
указать центр (вершину), полуоси (радиус, параметр):
2
а). 3x2  6 x  2 y 2  8 y  5  0 ; б). x  1 
 y2  4 y  5 ;
3
1
в). 4 x2  16 x  5 y 2  10 y  31  0 ; г). x  3 
4  y2 ;
2
д). x2  4 x  4 y  16  0 ; е). y  3  x  2 .
Ответы: 1. а). эллипс, С(1;‒2), a  2, b  3 ; б). часть эллипса
(С(‒1;2), a  2, b  3 ), находящаяся правее прямой x  1;
в). гипербола (сопряженная), С(‒2;‒1), a  5, b  2 ; г). часть
гиперболы (С(‒3;0), a  1, b  2 ), находящаяся левее прямой x  3 ;
д). парабола С(‒2;‒5), p  2 ; e). часть параболы (С(2;‒3), p  0,5 ),
находящаяся ниже прямой y  3 .
Задания для самостоятельной работы
9.1. Выяснить какую линию на плоскости описывает уравнение,
указать центр (вершину), полуоси (радиус, параметр):
а). x2  2 x  2 y 2  8 y  11  0 ; б). 25x2  100 x  4 y 2  24 y  36  0 ;
в). x2  2 x  8 y  25  0 ; г). x2  4 x  y 2  6 y  12  0 ;
д). y  2  3  x 2  2 x ; е). x  4  6 y  18 ;
ж). y  3 
2
2
x2  4 x  1 .
6 x  x 2 ; з). y  1 
3
3
71
ТИПОВЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Тема: Векторы
Вариант 1
1. Дан треугольник с вершинами в точках А(2;‒3;1), В(0;2;‒4),
С(1;2;0). Найти площадь этого треугольника.


2. Дано: a  2, b  3, (a, b )  5 6 . Найти 2a  b , a  3b .
3. Найти вектор
x , коллинеарный вектору
b  2i  j  3k
и
 
удовлетворяющий условию x , b  3 .
4. Лежат ли точки А(2;3;‒1), В(‒1;0;3), С(4;2;‒2), D(1;0;4) в одной
плоскости?
5. Найти координаты вектора a , если известно, что он образует угол
60° с осью Oy, угол 135° с осью Oz и a  4 .
Вариант 2
1. Найти вектор x , если известно, что он перпендикулярен вектору
с  {1; 3;5} и оси Oy, составляет острый угол с осью Oz, и x  5 .
2. Дано: a  3, b  1, (a, b )  3 4 . Найти 3a  b .
3. Дано: А(2;2;‒1), В(‒3;1;0), С(‒1;2;3), D(1;1;2). Найти пр AC DB .
4. При значении  векторы a  {1; 3;0} , b  {2;  ; 3} и с  {2;1;0}
компланарны?
5. Найти вектор a , образующий одинаковые острые углы с осями
координат, если a  2 .
72
Вариант 3
1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах p  a  2b
и q  3a  b , если a  3, b  2, (a , b )   6 .
2. Найти проекцию вектора a  {2;3;1} на направление вектора b ,
составляющего углы 60°, 135° c осями Ox, Oy соответственно и
острый угол с осью Oz.
3. Дан треугольник с вершинами в точках А(2;‒3;1), В(‒2;0;2),
С(1;2;3). Найти величину внешнего угла при вершине А.
4. Существует ли тетраэдр с вершинами в точках А(2;0;‒3), В(1;3;‒3),
С(1;2;‒2), D(1;‒2;4)?
5. Найти единичный вектор a , ортогональный векторам b  {2; 1;3}
и с  {2; 4;1} .
Тема: Аналитическая геометрия
Вариант 1
1. Дан треугольник с вершинами в точках А(2;‒3), В(0;2), С(1;2).
Составить уравнение прямой, содержащей медиану, проведенную из
вершины В. Найти точку пересечения медиан.
x2 y4 z
2. При каком значении параметра С прямая


2
3
3
параллельна плоскости 3x  y  Cz  2  0 ? Найти расстояние между
прямой и плоскостью.
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Т(2;0;3)
x2 y4 z
и прямую
.


2
1
3
 x  2 y  z  1  0;
4. Привести прямую 
к каноническому виду.
2
x

3
y

z

2

0

5. Какую кривую задает уравнение 3x2  12 x  4 y 2  8 y  4  0 ?
73
Вариант 2
1. Дан треугольник с вершинами в точках А(2;‒3), В(0;2), С(1;2).
Составить уравнение прямой, содержащей высоту, опущенную из
вершины С на сторону АВ. Найти длину указанной высоты.
x 1 y  4 z
2. Найти угол между прямой
и плоскостью


2
1
3
2 x  3 y  z  0 . Найти точку пересечения прямой и плоскости.
2 x  y  z  1  0;
3. Выяснить взаимное расположение прямой 
и
3
x

y

2
z

0

плоскости x  2 y  4 z  3  0 .
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2;3;1),
В(‒1;3;0), С(3;1;2).
5. Определить, какую кривую задает уравнение y  2  24  6 x .
Вариант 3
1. Дан треугольник с вершинами в точках А(2;‒3), В(0;2), С(1;2).
Найти центр описанной окружности.
2. При каком значении  пересекаются прямые
x 1 y  4 z
x y  2 z 1
и 
?



2
1
3 1

3
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1;2;‒4)
перпендикулярно плоскостям 2 x  y  2 z  1  0 и Oxz.
4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через
2 x  2 y  3z  1  0;
точку А(2;3;1) параллельно прямой 
 x  3 y  4 z  11  0.
5. Какую кривую определяет уравнение x  1 
74
2
8  y2  2 y ?
3
Ответы
1
 3

;
;0 ; d  {7;9; 3}; f  4i  7 j  4k ;
1.2. нет. 1.3. a 0  
 10 10 
7
7 
 7
;
; .
пр j a  3b  10 . 1.4. {2; 2; 2 2}. 1.5. 
3
3
 3


9
15 
 3
;
;
1.6. М(0;1;0). 1.7. 
 .1.8. 7; (1;1/3;1).
35 35 
 35
5
3
1.9.  ; 
35 10 
;  . 1.10. с  2a  4b . 1.11. d  2a  b  3с .
3 3
 3 
. 2.4. arccos  
 , arccos0,8 . 2.5. ‒3.
1390
 10 
2.6. ‒2. 2.7.  /3. 2.8. ± 3/2. 2.9. нет. 2.10. {2; 3;0} . 2.11. ‒3/2.
2.1. ‒1;
20
61 . 2.2. arccos
83 83
13 
245
 52
;
;0; 
. 3.4.
. 3.5. 
.
2
14
2
17 
 17
3.1. 7. 3.2. {12;3; 6}. 3.3.
3.6. {7;5;1} . 3.7. 1. 3.8. {19; 4; 8} . 3.9.
0, 6 .
4.1. ±18. 4.2. ‒6. 4.3. 30; 45/7.4.4. (0;8;0); (0;‒7;0). 4.5. ‒25/3. 4.7. 0.
5.1. а). x  y  2  0 ; б). 4 x  3 y  9  0 ; в). 2 x  y  4  0 ;
3
 11 10 
y  1  0 . 5.3.   ;   . 5.4. (2;‒3).
5
 17 17 
35
5
5.5. x  2 y  8  0 . 5.6. а). arccos
; б).
. 5.7. 4 x  8 y  5  0 .
221
40
4
5
г). 3x  4 y  6  0 . 5.2.  x 
5.8. 49. 5.9. 5 x  12 y  65  0; 5 x  12 y  39  0 . 5.10. x  2 y  10  0 .
5.11. 2 x  7 y  22  0; 7 x  2 y  13  0; x  5 y  14  0 .
5.12. 2 x  y  16  0; 2 x  y  14  0; x  2 y  18  0 . 5.13. (21;17).
5.14. 4 x  5 y  9  0; 5 x  4 y  1  0 .
5.16. y  2 x; x  3 y  15  0; 3 x  y  25  0 .
6.1. 2 x  5 y  4 z  10  0 . 6.2. 4 x  6 y  3z  0 . 6.3. z  3  0 .
6.4. 2 x  z  2  0 . 6.5. 7 x  10 y  6 z  6  0 .
75
6.6. 3x  10 y  6 z  28  0 . 6.7. 3x  2 z  0 . 6.8. 2 x  7 y  4 z  0 . 6.9. 4.
6.10.
6
145
. 6.11. ‒1. 6.12.
125
14 14
. 6.13. (0;7;0), (0;‒5;0).

x  5 y  3 z  4  x  2 y  11  0;


; 
7.1. а).
2
1
1
 y  z  1  0;


x y z  y  0;
б).   ; 
1 0 0  z  0;

 x  2t  5;

 y  t  3;

 z  t  4.
 x  t;

 y  0;
 z  0.


 x  t  4;
x  4 y  7 z  10  7 x  y  35  0; 


; 
в).
 y  7t  7;
5
y

7
z

105

0;
1
7
5

 z  5t  10.


x 1 y 1 z
2

 . 7.3. arccos
7.2.
. 7.4. скрещиваются. 7.5. 27 .
0
1
2
66
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3




7.6.
. 7.7.
. 7.8. нет.
6
16
17
3
5
0
x 2 y 3 z 5
 25 5 


8.1.
. 8.2. 5 x  2 y  4 z  38  0 . 8.3.  1; ;  .
5
0
2
7 7

8.4. (0;0;‒1). 8.5. (1,4;1,2;‒2). 8.6. A  2 3; m  4,5 . 8.7. 2,25.
8.8. arcsin(3
294) . 8.9. 8 x  12 y  z  30  0 . 8.10. да.
9.1. а). гипербола, С(‒1;2), a  2, b  2 ; б). эллипс, С(2;‒3),
a  2, b  5 ; в). парабола, С(‒1;‒3), p  4 ; г). окружность, С(‒2;3),
R  5 ; д). часть окружности (С(‒1;‒2), R  2 ), расположенная ниже
прямой y  2 ; е). часть параболы (С(‒4;3), p  3 ), расположенная
правее прямой x  4 ; ж). часть эллипса (С(3;3), a  3, b  2 ),
расположенная выше прямой y  3 ; з). часть гиперболы (С(‒2;1),
a  3, b  2 ), расположенная выше прямой y  1 .
76
Список рекомендуемой литературы
1. Мельникова И.Н., Соболева Т.С., Фастовец Н.О. Методические
рекомендации к практическим занятиям по высшей математике.
Часть 1. Элементы линейной алгебры. ‒ М.: Издательский центр
РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2013. ‒ 66с.
2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Т.1.
– М.: Айрис-пресс, 2004. – 253с.
3. Краснов М.Л., Киселев А.И. и др. Вся высшая математика. Т.1. –
М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 328с.
4. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике.
Типовые расчеты. – СПб.: Лань, 2006. – 240с.
5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др. Сборник задач по высшей
математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 576с.
6. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Под
редакцией Ефимова А.В. Ч.1. – М.: Физико-математическая
литература, 2001. – 288с.
7. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая
математика. (Решебник). – М.: Физико-математическая
литература, 2001. – 368с.
8. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. ‒
СПб.: «Профессия», 2006. ‒ 200с.
77
УДК 514
М27
Мельникова И.Н., Соболева Т.С., Фастовец Н.О.
М27 Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей
математике. Часть 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия (Для
факультета АиВТ) – М.: РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2014. – 77с.
Пособие предназначено для студентов, изучающих векторную алгебру и
аналитическую геометрию в курсе высшей математики. В пособии содержится
необходимый теоретический материал, примеры и задачи по темам: векторы,
операции над векторами, прямая на плоскости, плоскость, прямая в
пространстве, кривые второго порядка.
Пособие может использоваться студентами всех специальностей,
изучающими векторную алгебру и аналитическую геометрию, а также
магистрантами и аспирантами, которые занимаются исследованиями,
связанными с применением математических методов. Издание подготовлено на
кафедре высшей математики РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина.
Рецензенты:
Профессор военной академии РВСН имени Петра Великого,
д.ф.-м.н. А.В. Чечкин
Доцент кафедры высшей математики РГУ нефти и газа
имени И.М. Губкина, к.ф.-м.н. А.К. Тюлина
©
Мельникова И.Н.,
Соболева Т.С.,
Фастовец Н.О., 2014
©
Издательский центр РГУ нефти и газа
им. И.М. Губкина, 2014