Решение уравнений с модулем в 6 классе

Решение уравнений с модулем в 6 классе
В учебнике Н.Я. Виленкина и др. «Математика, 6» очень мало внимания
уделено решению уравнений с модулем. Тогда как в 6 классе, при формировании
понятия «модуль числа», есть возможность уделить больше внимания уравнениям
данного вида. На трёх уроках после изучения понятия модуля я рассматриваю с
учащимися уравнения со знаком модуля, переходя от самых простых к более
сложным:
1)
x  x  3;
6) 2 x  5  2  x;
2)
x  3x  5;
7)
3)
x  3  2;
8) 3x  5  5  2 x;
4) 2 x  7  x  1;
5)
9)
решении
x  2  33  x ;
10) x  1  1  2.
x 5
  x  2;
2 4
При
x  2  23  x ;
данных
уравнений
шестиклассники
учатся
применять
определение модуля; получают навыки элементарных операций с модулем;
привыкают к мысли о том, что под знаком модуля могут быть как
положительные, так и отрицательные выражения, но сам модуль может быть
только неотрицательным числом; тренируются в применении свойств уравнений.
При изучении данной темы мы опираемся на общепринятое определение
модуля числа:
a, если a  0,
a 
 a, если a  0.
Это определение даёт учащимся более чёткое представление о том, что им
надо делать в каждом конкретном случае: сменить ли знак у числа или оставить
его без изменения.
Решение уравнений с модулем требует составления системы, содержащей
уравнение, требующее решения, и неравенство, учитывающее определение
модуля. Но в 6 классе школьники ещё не знакомы с темой «Решение неравенств»,
поэтому мы решаем не систему, а лишь уравнение, опираясь на определение
модуля, и в конце его решения делаем проверку, чтобы исключить значения, не
являющиеся корнями уравнения (посторонние корни).
Приведу несколько примеров решений уравнений такого типа.
1. Решить уравнение 2 x  5  2  x.
2x  5  2  x
2 x  5  2  x
2x  x  2  5
2x  5  2  x
3x  7
2x  x  2  5
x2
x3
1
3
ПРОВЕРКА:
235  2 3
1
1
22 5  2  2
3
3
2  3  5  1
1
1
22 5  
3
3
В обоих случаях значения модуля оказались отрицательными, что
противоречит определению модуля числа. Значит, числа 2
1
и 3 не являются
3
корнями данного уравнения.
ОТВЕТ: нет решений.
2. Решить уравнение 3x  5  5  2x .
3x  5  5  2x
3x  5  5  2x
3x  2x  5  5
3x  5  5  2x
5x  10
3x  2x  5  5
x2
x0
ПРОВЕРКА:
3 2  5  5  2  2
3 0  5  5  2  0
65  54
5  5
1 = 1 - верно
5 = 5 – верно
ОТВЕТ: 0; 2..
3. Решить уравнение x  1  1  2.
x 1 1  2
x  1  1  2
x 1  3
x  1  1
x 1  3
x  1  3
x4
x  2
Нет решений.
ПРОВЕРКА:
4 1 1  2
 2 1 1  2
3 1  2
 3 1  2
3 1  2
3 1  2
2 2
2 2
2 = 2 – верно
2 = 2 – верно
ОТВЕТ: -2; 4.
Рассмотренные уравнения развивают у учащихся умение анализировать
полученное решение. Они позволяют показать, что уравнение может и не иметь
корней или иметь посторонние корни. Эти наблюдения существенно расширяют
представления школьников об уравнении.