МАСТЕР-КЛАСС ПО ТЕМЕ: «Методика обучения решению

МАСТЕР-КЛАСС
ПО ТЕМЕ:
«Методика обучения решению
разноуровневых линейных и
квадратных уравнений с модулями.»
Понятие абсолютной величины является одним из основных
понятий элементарной математики. Осмысленное владение
модулем позволяет учащимся воспринимать алгебру и геометрию
как единое целое. Поэтому, цель своей работы я вижу в разработке
методик преподавания данной темы таким образом, чтобы
учащиеся, в наибольшей степени усваивая материал, могли плавно
переходить к восприятию более сложных заданий, развивающих
творческий потенциал.
Существенной характеристикой числа является понятие его
абсолютной величины (модуля). Федеральной программой в
обязательный курс 6 класса включена тема «Модуль числа».
Поурочное планирование предусматривает на изложение данной
темы 2 часа, не смотря на то, что данный объект в программе 8
класса встречается довольно часто.
Задачи, связанные с абсолютной величиной, часто встречаются
на математических олимпиадах. Проверяется умение решать
уравнения и неравенства с модулем и на Едином Государственном
Экзамене.
Это понятие широко применяется не только в различных
разделах школьного курса, но и в курсе высшей математики. В
теории приближенных вычислений используется понятие
абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучаются
понятия вектора, одной из характеристик которого служит его
длина (модуль вектора), т.е. абсолютная величина.
Учебники алгебры средней школы содержат небольшое
количество заданий с модулем. Но мы знаем, что подобные задания
включаются в краевые диагностические работы. Например. В
первой диагностической работе 10 класса задание С1 имело вид
В демонстрационном варианте КИМов ЕГЭ по математике 2010
года есть задание С5 с модулем и параметром.
Наша задача – научить детей основным приемам решения задач
с модулем.
Я предлагаю Вашему вниманию свою последовательность
изучения модуля в средней школе по учебникам Виленкина Н.Я. и
Макарычева Ю.Н.
Итак. Понятие модуля вводится в 6 классе. Прежде чем
познакомиться с модулем, мои учащиеся знают
положительные и отрицательные числа;
умеют отмечать эти числа на координатной прямой;
умеют находить числа, противоположные данным.
Дети решают задания вида:
Найти:
- число, противоположное 7
-7
- число, противоположное противоположному -7,5
7,5
-
- значение выражения – х, если х=2,5
2,5
-
- значение выражения –х, если х= -3,7
3,7
- число, противоположное самому себе
- число 100 противоположно числу…
- ( -100)
0
100=
Понятие «модуль» водится как расстояние от начала координат
до данной точки (геометрический смысл модуля).
Модулем числа a называется расстояние в единичных
отрезках от начала координат до точки А(а).
Расстояние от точки А(5) до начала отсчета равно 5 единичным
отрезкам. Модуль числа 5 равен 5.
Пишут |5|=5.
Расстояние от точки В(-6) до начала отсчета 0 равно 6
единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6.
Пишут |-6|=6.
Модуль числа 0 равен 0, т.к. точка с координатой 0 совпадает с
началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков.
Пишут |0|=0.
Модуль числа не может быть отрицательным (расстояние не
может быть отрицательным). Для положительного числа и нуля он
равен самому числу, а для отрицательного – противоположному
числу.
Противоположные числа имеют равные модули: | -а | = а.
Например,
=1.5 ,
,
,
,
=1.5
Определение модуля как расстояние позволяет сформулировать
следующее правило нахождения модуля действительного числа:
модуль положительного числа равен самому этому числу,
модуль нуля равен 0;
модуль отрицательного числа равен числу, противоположному
данному, т.е.
Это правило является классическим определением модуля
действительного числа. Фигурная скобка не является знаком
системы условий.
Дальше я отрабатываю нахождение значений выражений,
содержащие модули:
Уделяю внимание заданиям типа:
1) Известно, что |а| =7. Чему равен |-а|?
2) При каких значениях а верно и при каких неверно равенство
а+|а|=0.
3)При каких значениях m верно равенство:
Такие задания я включаю в устный счет.
Выполняемые регулярно, они помогают детям глубже осознать
определение модуля. В 6 классе модуль используется при
сравнении и сложении отрицательных чисел. При сложении чисел с
разными знаками, при умножении и делении чисел с разными
знаками.
А сейчас я хочу отвлечься от 6 класса и показать, как на основе
геометрического определения модуля можно научить детей решать
простейшие уравнения и неравенства.
Для этого дети должны уже изучить темы «Числовые
неравенства», «Числовые промежутки».
Решение уравнений и неравенств с модулем – тема, требующая
отдельного рассмотрения и общего подхода, но сейчас я хочу
обратить Ваше внимание на особый вид уравнений и неравенств.
Назовем их простейшими, не потому, что они простые, а за их
особенный вид. Слева – модуль какого-то выражения, названного
f(х), а справа – число: положительное, отрицательное или 0.
.
Все эти задания поддаются общей схеме решения. Если Вы
хотите, чтобы дети не просто вызубрили саму схему, а разобрались
в самом понятии модуля, чтобы легко решать каждое задание,
необходимо отработать понимание того, с чем они имеют дело.
Даже если этот подход на первом этапе будет непривычен, скоро
дети будут легко справляться с поставленными задачами.
Итак, первое уравнение.
|f(х)|=5
Геометрический смысл модуля заключается в том, что расстояние
от f(х) до 0 должно быть равно 5. А это значит, что на оси
мы должны найти точки, расстояние от которых до 0 ровно 5.
Таких точек две.
Это 5 и -5. Таким образом, чтобы равенство было верным, вместо
f(х) под знак модуля мы можем поставить либо 5, либо -5.
Записывается это так: либо f(х)=5, либо f(х)= -5. Слово «либо» в
математике записывается как знак «совокупности» - или так, или
так .
Между исходным уравнением и совокупностью обязательно
ставится знак равносильности .
|f(х)|=5
Этот знак означает, что у левого уравнения и у правой
совокупности одно и то же множество решений.
Переходим к неравенству
|f(х)
.
На этот раз на оси нам надо найти такие точки, расстояние от
которых до 0 больше 3.
Посмотрим на точки, которые расположены правее 3 на луче
.
Ведь их расстояние до 0 больше 3, а это значит, что нас
устраивает такое неравенство: f(х)
, т.е. вместо подмодульного
выражения f(х) мы можем подставить 4, 5, 8 и каждый раз модуль
этого числа будет уж точно больше 3. Но этого мало. Есть ещё
точки на оси, расстояние от которых до 0 больше 3, это точки,
расположенные левее -3, т.е. на луче
.
Это значит, что неравенство f(х)
нас устраивает тоже.
Вместо подмодульного выражения можно смело ставить числа -5, 6, -8 и модуль этих чисел тоже будет больше 3. Ну и, конечно, само
число 3 или -3 тоже всегда можно подставить под знак модуля.
Как и в решении первого уравнения, оба эти неравенства
объединяются значком совокупности, а между исходным
неравенством и совокупностью ставится знак равносильности.
|f(х)
Переходим к неравенству |f(х)
и делаем точно так же. На
оси на этот раз мы должны найти такие значения f(х), расстояние от
которых до 0 меньше 7.
Они находятся на отрезке
.
Если дано неравенство строгое, то речь пойдет, конечно, об
открытом промежутке.
Теперь запишем решение.
Учтем, что два неравенства должны выполняться одновременно:
f(х)
и f(х) -7.
«Одновременно» на языке математики означает знак «система».
Между исходным неравенством и системой ставим знак
равносильности.
|f(х)
Запись и решении двух последних неравенств отличается, что часто
сбивает с толку и приводит к ошибкам.
Дети должны уяснить эту разницу.
В первом случае нас устраивают два луча, взятых по отдельности,
мы их объединяем,
|f(х)
во втором случае лучи пересекаются и в результате получится
обязательно промежуток или отрезок - оба неравенства
выполняются одновременно.
|f(х)
Но вернемся в 6 класс. Дети знакомятся с линейными
уравнениями с одной переменной, а значит, вполне доступны для
понимания и решения окажутся задания вида:
Решите уравнение
.
Конечно, запись решения не будет содержать специальных
символов.
х-2=6
или х-2=-6,
х=8,
х=-4.
Ответ: -4;8.
В учебнике 6 класса есть задание:
Найдите наименьшее целое положительное и наибольшее целое
отрицательное решение неравенств
а)
х=5
б)
х= - 5
в)
х=4
3
х= - 4
Итак, по окончании 6 класса мои дети знают геометрический смысл
модуля, его классическое определение, умеют находить значения
числовых выражений с модулями.
В учебнике 7 класса задания с использование абсолютной
величины встречаются нечасто, в основном, это задания
повышенной сложности.
Верно ли что для любых чисел a и b
Известно, что
, верно ли, что х = у ?
Известно, что
, верно ли, что а
Известно, что
. Возможно ли, чтобы было
а
Объясните, почему равенство является тождеством:
Мне такие задания позволяют углубить понимание абсолютной
величины, а также дают возможность познакомить детей с
некоторыми свойствами модуля:
Модуль суммы двух чисел не больше суммы модулей этих чисел
Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих
чисел