то решением второй системы совокупности является число

Уравнения, содержащие неизвестное под
знаком абсолютной величины.
В базовых учебниках «Математика 6» мало внимания уделено решению
уравнений со знаком модуля. На трех-четырех уроках после изучения
понятия модуля я рассматриваю с учащимися уравнения с модулем, переход
от самых простых к более сложным:
1) ⌈𝑥⌉ = 𝑥 + 3
6) |2𝑥 − 5| = 2 − 𝑥
2) |𝑥| = −3𝑥 + 5
7) |𝑥 + 2| = 2 ∙ (3 − 𝑥)
3) |𝑥 − 3| = 2
8) |3𝑥 − 5| = |5 − 2𝑥|
(1)
4) |2𝑥 − 5| = 𝑥 − 1
9) |𝑥 − 2| = 3|3 − 𝑥|
5
5) |𝑥2 − | = 𝑥 − 1
10) ||𝑥 − 1| − 1| = 2
4
При решении данных уравнений школьники учатся применять определение
модуля: получают навыки элементарных операций с модулем: привыкают о
мысли о том, что знаком модуля могут быть как положительные, так и
отрицательные выражения, но сам модуль может быть только
неотрицательным числом. Тренируются в применении свойств уравнений.
При изучении темы мы руководствовались определением
𝑎, если 𝑎 ≥ 0
|𝑎| = {
. Это определение дает учащимся более четкое
−𝑎, если 𝑎 < 0
представление о том, что им надо делать в каждом конкретном случае:
сменить ли знак у числа или оставить его без изменения. При решении
уравнений из списка (1) обычно составляют систему, содержащую
собственно уравнение, требующее решения, и неравенство учитывающее
определение модуля. Но в «6» классе учащиеся еще не изучают решение
числовых неравенств, поэтому мы вынуждены решать не систему, а лишь
уравнение, опираясь на определение модуля, и в конце делать проверку,
чтобы удалить значения переменной, не являющейся корнями уравнения.
Пример 1. Решение уравнения: |𝟐𝒙 − 𝟓| = 𝟐 − 𝒙
2𝑥 − 5 = 2 − 𝑥
и 2𝑥 − 5 = −(2 − 𝑥)
Проверка:
1
1
2𝑥 + 𝑥 = 2 + 5
2𝑥 − 5 = −2 + 𝑥
|2 ∙ 2 − 5| = 2 − 2
𝑥=
7
3
2𝑥 − 𝑥 = −2 + 5
1
3
1
1
3
3
|2 ∙ 2 − 5| = −
и
3
|2 ∙ 3 − 5| = 2 − 3
|2 ∙ 3 − 5| = −1
В обоих случаях значение модуля оказались меньше нуля, что противоречит
1
определению модуля. Значит , 𝑥 = 2 и 𝑥 = 3 не являются корнями
3
исходного уравнения.
Ответ: уравнение не имеет решения.
𝑥=2
3
𝑥=3
Пример 2. |𝟑𝒙 − 𝟓| = |𝟓 − 𝟐𝒙|
3𝑥 − 5 = 5 − 2𝑥
и
3𝑥 − 5 = −(5 − 2𝑥)
(−(3𝑥 − 5) = −(5 − 2𝑥)
(−(3𝑥 − 5) = 5 − 2𝑥)
3𝑥 − 2𝑥 = 5 + 5
3𝑥 − 5 = −5 + 2𝑥
10
𝑥=
𝑥=0
5
𝑥=2
Ответ: 0; 2.
Проверка:
|3 ∙ 2 − 5| = |5 − 2 ∙ 2|
|6 − 5| = |5 − 4|
1 = 1 верно.
|3 ∙ 0 − 5| = |5 − 20|
|−5| = 5
5 = 5 верно.
Пример 3. ||𝒙 − 𝟏| − 𝟏| = 𝟐
|𝑥 − 1| − 1 = 2
и |𝑥 − 1| − 1 = −2
|𝑥 − 1| = 3
|𝑥 − 1| = −1
𝑥 − 1 = 3 и 𝑥 − 1 = −3
нет решения.
𝑥 = 4;
𝑥 = −2.
т.к.|𝑥 − 1| ≥ 0
Проверка:
||4 − 1| − 1| = 2
||3| − 1| = 2
|2| = 2
2 = 2 верно.
||−2 − 1| − 1| = 2
||−3| − 1| = 2
|2| = 2
2 = 2 верно.
Ответ: -2; 4.
Данные уравнения развивают у учащихся умение анализировать полученное
решение. Они позволяют показать, что уравнение может и не иметь корней
или иметь посторонние корни. Эти наблюдения существенно расширяют
представления учащихся об уравнении.
Пример 4.
𝒙𝟐 − 𝟓|𝒙| + 𝟔 = 𝟎 Данное уравнение можно решить,
используя метод замены неизвестного. (Пример для учащихся «8» классов):
Положим 𝑡 = |𝑥| тогда 𝑡 2 − 5𝑡 + 6 = 0 т. к. 𝑥 2 = |𝑥 2 | = |𝑥
|
Решением являются 𝑡 = 2 , 𝑡 = 3 ; поэтому исходное уравнение
равносильно совокупности двух уравнений: |𝑥| = 2 , |𝑥| = 3 .Множество
решения данных уравнений состоит из чисел: -2; 2; -3; 3 .
|𝒙| = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐
Данное уравнение равносильно
2
2
совокупности {𝑥 + 𝑥 − 2
{−𝑥 = 𝑥 + 𝑥 − 2
𝑥≥0
𝑥<0
Уравнение первой системы имеет корни 𝑥 = −√2 ; 𝑥 = √2 . Из двух этих
решений 𝑥 = −√2 посторонний корень.
Уравнений второй системы имеет корни 𝑥 = −1 − √3 ; 𝑥 = −1 + √3 .
Т.к. −1 − √3 < 0 а −1 + √3 > 0 то решением второй системы
совокупности является число (−1 − √3) .
То данное уравнение имеет два корня : √2 ; −1 − √3 .
Пример 5.
Приведу два способа замены уравнения : |𝒇(𝒙)| = 𝒈(𝒙)
Совокупностью систем.
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
{
𝑓(𝑥) ≥ 0
1.способ. |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥) ⇔
−𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)́
{
[ 𝑓(𝑥) < 0.
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
{
𝑔(𝑥) ≥ 0
2.способ. |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥) ⟺
−𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)́
{
[ 𝑔(𝑥) ≥ 0
Если в уравнении |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥) функция 𝑓(𝑥) имеет более простой
вид, чем 𝑔(𝑥) , то целесообразно уравнение (1) заменять первой
совокупностью систем , а если более простой вид имеет функция 𝑔(𝑥) , то
уравнение (1) целесообразно заменять второй совокупностью систем. В
частности уравнение вида: |𝑓(𝑥)| = 𝑏 , 𝑏 ∈ 𝑅 , при 𝑏 > 0 равносильно
𝑓(𝑥) = 𝑏
совокупности уравнений [
𝑓(𝑥) = −𝑏
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится
выражение, также содержащее модуль, следует сначала освободится от
внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся
модули.
4−𝑥 ≥0
|𝑥 − |4 − 𝑥|| − 2𝑥 = 4
Пример 6. |𝑥 − |4 − 𝑥|| − 2𝑥 = 4 ⟺
4−𝑥 <0
[{|𝑥 + |4 − 𝑥|| − 2𝑥 = 4
𝑥≤4
𝑥≤4
2𝑥 − 4 ≥ 4
{
{
|2𝑥 − 4| − 2𝑥 = 4
(2𝑥 − 4) − 2𝑥 = 4
⟺
⟺
𝑥>4
𝑥≤4
{
−2𝑥 = 0 решений нет
{ 2𝑥 − 4 < 0
[
[ −(2𝑥4) − 2𝑥 = 4
𝑥≤4
{𝑥 ≥ 2 решений нет
−4 = 4
𝑥≤4
{
𝑥<2
[ −4𝑥 = 0
𝑥=0
Ответ: 0.
⟺
(2)
Решение уравнений вида |𝑥 − 𝑎| = 𝑐
|𝑥 − 𝑎| + |𝑥 − 𝑏| = 𝑐
(3)
|𝑥 − 𝑎| − |𝑥 − 𝑏| = 𝑐
(4) 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0.
Допускают простую геометрическую интерпретацию. Решить уравнение (2)
значит найти все точки на числовой оси ОX , которые отстоят от точки с
координатой (а) на расстоянии (с) . Таких точек две: точка с координатой
(с + а) и точка с координатой (а + с).
Решить уравнение |𝑥 − 1| + |𝑥 − 3| = 6 значит найти все точки на числовой
оси (о, х ) ,для каждой из которых сумма расстояний от нее до точек с
координатами 1 и 3 равна 6. Ясно, что ни одна точка из отрезка [1: 3] не
удовлетворяет этому условию, т.к. сумма указанных расстояний для любой
из них равна 2(≠ 6). Вне этого отрезка существует только две искомые
точки: точка с координатой (5) и точка с координатой (-1).
Аналогично интерпретуется решение уравнения вида (3).
Пример. |𝑥 − 1| − |𝑥 − 3| = 2 . Нужно на числовой прямой О,Х., найти
все точки , каждой из которых разность расстояний от нее до точки с
координатой (1) и расстояния от нее до точки с координатой (3) равна 2. Т.к.
длина [1: 3] равна 2 , то ясно , что любая точка с координатой 𝑥 ≥ 3
удовлетворяет а, любая точка с координатой 𝑥 < 3 не удовлетворяет ему. То
решением исходного уравнения является множество всех чисел з промежутка
[3: +∞].