1-Maqola

Численное решение задачи продолжения решения уравнения
Гельмгольца
Б.Х.Хужаеров, Б.М.Файзиев, З.Э.Эрмаматова
Самаркандский государственный университет
Аннотация
Рассматривается задача продолжения решения уравнения Гельмгольца в
прямоугольной области по ее значениям на части границы этой области, т.е.
задача Коши.
Abstract. We discuss continuation problem for the Helmholtz equation. Numerical algorithm and
regularization method based on singular-value decomposition are presented. Comparative analysis
of Tikhonov regularization method and …. approach are presented.
Key words: continuation problem, regularization problem, comparative analysis, numerical
methods,
1. Введение
Линейные и нелинейные волновые процессы играют важную роль в
различных областях физики и техники. Многие из них описываются
волновыми уравнениями математической физики. Если закон колебаний
физической среды гармонически зависит от времени, то волновое уравнение
можно преобразовать к уравнению Гельмгольца [1].
Уравнение Гельмгольца представляет собой особый вид эллиптического
уравнения и особенно важно в некоторых практических физических
приложениях, связанных с распространением волн и вибрационными
явлениями. Он часто используется для описания вибрации конструкции [2],
задачи акустической полости [3], радиационной волны [4], рассеяния волны
[5], задачи теплопроводности в ребрах [6], теория Дебая–Хюккеля [7],
линеаризация уравнения Пуассона–Больцмана [8] и др. В последнее
десятилетие было проведено много исследований по проблеме Коши для
уравнений Гельмгольца, например, [9-11] относятся к аналитическим
решениям, Ш.Ярмухамедов [12, 13], а [9-11, 14-16] – к численным решениям.
При получения более обширной информации о задаче Коши для уравнений
Гельмгольца можно обратиться к [16].
2. Постановка задачи
2.1. Постановка задачи Дирихле
Рассмотрим уравнение Гельмгольца в прямоугольнике   0,1  0,1 :
 2U  2U
 2  k 2U  0 , ( x, y)  ,
2
x
y
(1)
с условиями
U (0, y )  f 0 ( y ), U (1, y )  f1 ( y ) ,
(2)
U ( x,0)  g 0 ( x), U ( x,1)  g1 ( x) ,
(3)
где f 0 ( y ), f1 ( y), g 0 ( x), g1 ( x) - заданные функции.
Задача (1)-(3) является корректно поставленной и имеет единственное
решение.
2.2. Постановка задачи Коши
Будем рассматривать обратную задачу по определению одной из
граничных функций, например g1 ( x) . Для этого в качестве дополнительной
информации используем решении прямой задачи (1)-(3).
Пусть известны
U ( x, y )   0 ( x),
(4)
U
0  y  1 .
(5)
( x, y )   1 ( x) ,
y
Уравнение (1) рассматриваем с условиями (2), (4), (5), которое является
задачи Коши для уравнение Гельмгольца. Необходимо определить решение в
области *  0,1   y* ,1 , включая граничную функцию g1 ( x) .
3. Численные решение задачи
Сначала рассматриваем исходную задачу в дискретной постановке.
Проводим численное исследование устойчивости задачи в дискретной
постановке.
3.1. Дискретизация исходной задачи
Прямая задача (1)-(3) решается известными численными методами. Здесь
используется метод конечных разностей. В область  вводим равномерную
сетку с шагом h1 , h2

1
1 
, y j  jh2 , j  0, N 2 , h2 
.
N
N

1
2
Аппроксимация уравнения (1) и граничных функций (2), (3) имеет вид
U i 1, j  2U ij  U i 1, j U i , j 1  2U ij  U i , j 1
(6)

 k 2U ij  0 ,
2
2
h1
h2
 h h  ( xi , y j ), xi  ih1 , i  0, N1, h1 
1 2
U 0, j  f0 ( y j ) ,
U N1 , j  f1 ( y j ) ,
(7)
Ui ,0  g0 ( xi ) ,
U i , N2  g1 ( xi ) .
(8)
Для решения СЛАУ (6) с условиями (7), (8) применяется метод простой
итерации или метод Гаусса – Зейделя.
Из формулы (6) находим U ij , т.е.
U
U
U
U
2h12  2h22  k 2h12h22
U ij  i 1, j 2 i 1, j  i , j 1 2 i , j 1 ,
2 2
h1 h2
h1
h2
U ij   (U i1, j  U i1, j )   (U i , j 1  U i , j 1 ),
h22
h12
.
 2
,  2
2h1  2h22  k 2h12h22
2h1  2h22  k 2h12h22
По методу Гаусса – Зейделя
Ui(,nj 1)   (Ui(n1,1)j  Ui(n1,) j )   (Ui(,nj1)1  Ui(,nj)1 ),
i  1, N1  1,
(9)
j  1, N 2  1, где n  номер итерации.
3.2. Численные решение обратной задачи
Сначала рассматриваем исходную задачу в дискретной постановке.
Проводим численное исследование устойчивости задачи в дискретной
постановке.
Исходя из решения (6), (7), (8) определяем решение при y  y , а также
U
y  lh2 . Тогда
производную
y  y . Допустим
y
U ( x, y )  Ui ,l , i  0, N 1 ,
(10)
U  U i , l 1
U
i  0, N1 .
,
(11)
( x, y )  i , l
y
h2
Тогда уравнение (6) рассматривается в области  с условиями (7), (10),
(11), которое является задачей Коши в области  и поэтому является
некорректной. Для ее решения применяем различные методы.
Для этого начиная с j  l  1 осуществляем расчет решения на основе
«крест» шаблона.
(
(
)
)
(
(
(
)
)
)
Рис.1. Шаблон расчета решения обратной задачи (6), (7), (10), (11).
Расчет ведется начиная с i  1 до i  N1  1, а также с j  l  1 до j  N 2 .
Таким образом находится решение U ij в  , в частности, на
y  1,
0  x  1 , которого обозначим через Uijнк  Uij .
Далее будем оценить полученное решение с решением прямой задачи.
 
Для этого используем нормы в C    и L2  , определяемые как
U
C
 max U ij ,
U
0i  N1
0 j  N 2
L2

N1 N 2
U
i 0 j 0
2
ij 1 2
hh .
Разность решений оценим как
U ij  U ijнк
U ij  U
нк
ij L
2
C

 max U ij  U ijнк ,
( xi , y j )h1h2
 U
N1 N 2
i  0 j l
 U ijнк  h1h2 ,
2
ij
(12)
(13)
где l соответствует y  lh2 ,

1
1  y 
 ( xi , yi ), xi  ih1 , y j  jh2 , i  0, N1 , j  l , N 2 , h1  , h2 

N1
N2  l 

- сетечное множество в  . При одинаковых шагах сетки h1 и h2 в  и  ,



h1h2

h1h2
является подмножеством  h1h2 , т.е.  h1h2   h1h2 .
Кроме того отдельно будем оценить
U iNнк2  g1 ( xi )
C
(14)
и
U iNнк2  g1 ( xi )
L2
.
(15)
Из-за некорректности задачи (6), (7), (10), (11) невязки (12), (13), (14),
(15) получаются, наверное, немалыми, что означает расхождение решений в
 и  . Следовательно, необходимо регуляризировать задачу (6), (7), (10),
(11).
4. Результаты численных расчетов
В Рис.2-7 показано результаты решение задачи (1)-(3) при f 0 ( y )  y ,
f1 ( y )  4 y , g 0 ( x)  sin( x), g1 ( x)  1  3x и различных значениях k .
Анализ результатов показывает, что изменения значение параметра k с
0,7 до 1 сильно не влияет на распределение скорости (Рис. 2-5). В обоих случай
решение является достаточный гладкие функции. Здесь согласно принципу
максимума функция U достигает свою наибольший и наименьший значение
на границе области. Однако, когда значение параметра k приближается к
 i    j 
собственному число оператора, т.е. ij     
 , происходит
 l   l 
резонанс и значения решения внутри области становится несколько раз
больше чем значение на границе области (Рис. 6-7).
2
Рис. 2. Поверхность скорости при k  0,7 .
2
Рис. 3. Распределение скоростей на различных сечений в фиксированных y (а)
и x (б) при k  0,7 .
Рис. 4. Поверхность скорости при k  1.
Рис. 5. Распределение скоростей на различных сечений в фиксированных y (а)
и x (б) при k  1.
Рис. 6. Поверхность скорости при k  4 .
Рис. 7. Распределение скоростей на различных сечений в фиксированных y (а)
и x (б) при k  4 .
В Рис.8-11 показано результаты решение задачи (1), (2), (4), (5) и
значение нормы по формулам (12)-(15), при различных значениях k и y * .
Рис. 8. Распределение скоростей на различных сечений в фиксированных y (а)
и x (б) при k  0,7 и y*  0,9 .
Литература
1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский - Уравнения математической физики,
М., Наука, 2004 г.
2. D.E. Beskos, Boundary element method in dynamic analysis: part II (1986–
1996), ASME Appl. Mech. Rev. 50 (1997) 149–197.
3. J.T. Chen, F.C. Wong, Dual formulation of multiple reciprocity method for
the acoustic mode of a cavity with a thin partition, J. Sound. Vib. 217 (1998)
75–95.
4. I. Harari, P.E. Barbone, M. Slavutin, R. Shalom, Boundary infinite elements
for the Helmholtz equation in exterior domains, Int. J. Numer. Meth. Eng. 41
(1998) 1105–1131.
5. W.S. Hall, X.Q. Mao, A boundary element investigation of irregular
frequencies in electromagnetic scattering, Eng. Anal. Bound. Elem. 16 (1995)
245– 252.
6. A.D. Kraus, A. Aziz, J. Welty, Extended Surface Heat Transfer, Wiley, New
York, 2001.
7. P. Debye, E. Hückel, The theory of electrolytes. I. Lowering of freezing point
and related phenomena, Physik. Zeitschrift 24 (1923) 185–206.
8. J. Liang, S. Subramaniam, Computation of molecular electrostatics with
boundary element methods, Biophys. J. 73 (1997) 1830–1841.
9. H.H. Qin, T. Wei, R. Shi, Modified Tikhonov regularization method for the
Cauchy problem of the Helmholtz equation, J. Comput. Appl. Math. 224
(2009) 39–53.
10. H.H. Qin, T. Wei, Two regularization methods for the Cauchy problems of
the Helmholtz equation, Appl. Math. Model. 34 (2010) 947–967.
11.T. Wei, H. H Qin, R. Shi, Numerical solution of an inverse 2D Cauchy
problem connected with the Helmholtz equation, Inverse Probl. 24 (2008) 1–
18.
12. Ярмухамедов Ш. Регуляризация по Лаврентьеву решения задачи Коши
для уравнения Гельмгольца // ДАН РУз. – 2001, – №3, – С. 6-8.
13. Ярмухамедов Ш. О продолжении решения уравнения Гельмгольца //
Докл. РАН. 1997. – Т. 357. – №3. – С. 320-323.
14.L. Marin, D. Lesnic, The method of fundamental solutions for the Cauchy
problem associated with two-dimensional Helmholtz-type equations,
Comput. Struct. 83 (2005) 267–278.
15.L. Marin, Boundary element-minimal error method for the Cauchy problem
associated with Helmholtz-type equations, Comput. Mech. 44 (2009) 205–
219.
16. L. Marin, An alternating iterative MFS algorithm for the Cauchy problem for
the modified Helmholtz equation, Comput. Mech. 45 (2010) 665–677.
[16]. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи.–Новосибирск:
Сибирское научное издательство. 2009. -457 с.
[17] Kabanixin S.I., Shishlenin M.A. Nursetiov D.B. Kasenov S.E. Comparative
analysis of methods for regularizing in initial boundary value problem for the
Helmholtz equation // Journal of Applied Mathematics, Volum 2014, Article ID
786326, 7 pages. Doi. Org /10.1155/2014/786326
[18] Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. –М.: Машина строение,
1988. -280, с.
[19]. Плетнев Н.В., Двуреченский П.Е., Гасников А.В. Применение
градиентных методов оптимизации для решения задачи Коши для уравнения
Гельмгольца // Компьютерные исследования и моделирование. 2022, Т.14, №2.
С.417-444.