Формула Карлемана для уравнения Гельмгольца

Сибирский математический журнал
Май—июнь, 2006. Том 47, № 3
УДК 517.55
ФОРМУЛА КАРЛЕМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ГЕЛЬМГОЛЬЦА НА ПЛОСКОСТИ
Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
Аннотация: Рассматривается задача Коши для уравнения Гельмгольца в произвольной ограниченной плоской области с данными Коши, известными только на
участке границы области. Для решения этой задачи выводится формула типа Карлемана и приводится оценка условной устойчивости.
Ключевые слова: задача Коши, уравнение Гельмгольца, формула Карлемана.
1. Постановка задачи и основные результаты. Пусть Š — ограниченная односвязная область в C с границей класса C ∞ , M ⊂ ∂Š — объединение
конечного числа замкнутых дуг.
Для функции u(x, y) ∈ C 2 (Š) ∩ C 1 (Š) рассмотрим задачу Коши для уравнения Гельмгольца в Š:
u(x, y) + ω 2 n(x, y)u(x, y) = 0,
u(x, y)|M = u0 (x, y),
(x, y) ∈ Š,
∂
u(x, y) = u1 (x, y),
∂ν
M
(1)
где ω = const, а функция n(x, y) класса Cα (Š), 0 < α < 1.
Формулы, позволяющие находить решение эллиптического уравнения в случае, когда данные Коши известны лишь на части границы области, получили
название формул типа Карлемана. В [1] Карлеман установил формулу, дающую
решение уравнений Коши — Римана в области специального вида. Развивая его
идею, Г. М. Голузин и В. И. Крылов [2] вывели формулу для определения значений аналитических функций по данным, известным лишь на участке границы,
уже для произвольных областей.
Формула типа Карлемана, в которой используется фундаментальное решение дифференциального оператора со специальными свойствами (функция
Карлемана), была получена М. М. Лаврентьевым [3]. Применяя этот метод,
Ш. Я. Ярмухамедов [4] построил функции Карлемана для операторов Лапласа
и Гельмгольца с n(x, y) ≡ 1 для пространственных областей специального вида, когда часть границы области, где данные неизвестны, является конической
поверхностью либо гиперповерхностью {x3 = 0}.
Используя экспоненциально растущие решения, Икехата [5] получил формулу для решения уравнения Гельмгольца с переменным коэффициентом n(x, y)
Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05–01–00250a) и Совета по грантам президента РФ
и государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ–7157.2006.1), второго
автора — при частичной поддержке NSF Grant DMS-0505470.
c 2006 Арбузов Э. В., Бухгейм А. Л.
Формула Карлемана для уравнения Гельмгольца на плоскости
519
для областей в пространстве, где неизвестные данные расположены на участке
гиперповерхности {x · s = t}.
Формулы типа Карлемана для различных эллиптических уравнений и систем получены также в работах [6–11].
В данной работе методом гасящей функции, предложенным Г. М. Голузиным и В. И. Крыловым, находится решение задачи (1) с переменным коэффициентом в произвольных ограниченных областях на плоскости. Доказываются
формула типа Карлемана и оценка условной устойчивости.
Введем обозначения:
¯ 1 (z),
z = x + iy, u1 (z) = u(z) = u(x, y), u2 (z) = 2∂u
0
−1
2∂¯ 0
D=
, Q=
, 2∂¯ = ∂x + i∂y , 2∂ = ∂x − i∂y .
ω 2 n(z) 0
0 2∂
Тогда
¯ 1 (z) = u(z) = −ω 2 n(z)u(z)
2∂u2 (z) = 2∂2∂u
и уравнение u + ω 2 n(z)u = 0 можно записать в виде системы для векторфункции u(z) = (u1 (z), u2 (z)):
(D + Q)u = 0.
Для оператора P = D + Q cправедлива весовая формула Грина
Z
Z
Z
τˆ
τˆ
]
he Pu, vi dζ1 dζ2 = he u, P vi dζ1 dζ2 + heτ ˆ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds,
Š
Š
(2)
∂Š
где h·, ·i — скалярное произведение в C2 , τ — некоторое вещественное число,
∗
∗
ˆ = ˆ(ζ) — матрица в C2 , P] = e−τ ˆ P∗ eτ ˆ , ν =
(ν1 , ν2 )— вектор единичной
1 0
внешней нормали, I — единичная матрица и J =
.
0 −1
В качестве ˆ возьмем матрицу
ϕ(ζ)
0
ˆ=
,
0
ϕ̄(ζ)
где ϕ(z) = ψ(z)+iχ(z) — аналитическая в Š функция, обладающая следующими
свойствами на границе области:
ψ(z)|M 0 = 1,
ψ(z)|∂Š\M = 0,
ψ(z) ∈ C ∞ (∂Š),
(3)
здесь M 0 — замкнутое подмножество int M ненулевой меры. Тогда P] = −D∗ +
Q] , где
ω̄ 2 n̄(z)eτ (ϕ−ϕ̄)
2∂ 0
0
]
D∗ =
,
Q
=
.
0 2∂¯
−eτ (ϕ̄−ϕ)
0
Для каждой фиксированной точки z ∈ Š определим множество Šz,ε0 =
Š \ B(z, ε0 ) и рассмотрим вектор-функцию
−2∂Eω (ζ − z)
¯
¯
,
v = E − F , F = (f1 , f2 ), E =
eτ (ϕ̄(ζ)−ϕ(ζ)) Eω (ζ − z)
где Eω — фундаментальное решение оператора Гельмгольца  + ω 2 . При этом
для матрицы
ω̄ 2 eτ (ϕ−ϕ̄)
0
Q]1 =
−eτ (ϕ̄−ϕ)
0
520
Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
справедлива формула
−2∂
−D∗ + Q]1 E =
−eτ (ϕ̄−ϕ)
ω̄ 2 eτ (ϕ−ϕ̄)
−2∂¯
¯ ω
−2∂E
τ (ϕ̄−ϕ)
e
Eω
Обозначим
∗
G= D −
Q]1 E
+
Q]1
]
−Q E=
=
( + ω 2 )Eω
−τ 2∂¯ϕ̄eτ (ϕ̄−ϕ) Eω
ω̄ 2 (1 − n̄(ζ))Eω
τ 2∂¯ϕ̄eτ (ϕ̄−ϕ) Eω
.
,
тогда для решения в Šz,ε0 системы
(D∗ − Q] )F = G
(4)
получим
(−D∗ + Q] )v = −D∗ + Q]1 E + Q] − Q]1 E − (−D∗ + Q] )F = 0.
При этом из формулы (2) следует, что
Z
heτ ˆ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds =
Z
heτ ˆ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds.
(5)
∂B(z,ε0 )
∂Š
Условия существования решения системы (4) даны в следующем утверждении, доказательство которого приводится в п. 2.
2
. Тогда можно указать число τ0
Лемма 1. Пусть G(ζ) ∈ Lp (Š), p = 1−α
такое, что при τ > τ0 решение системы (4) существует в Cα (Š) и для него
выполняется оценка
kF kCα (Š) ≤ CkGkLp (Š) ,
где константа C зависит от α, Š, w2 n(ζ).
Используя асимптотические свойства фундаментального решения оператора Гельмгольца Eω (ζ) при ρ = |ζ| 1:
Eω (ζ) = −
1
ln(ωρ) + O(1),
2π
∂
1
Eω (ρ) = −
+ O(ρ ln ρ),
∂ν
2πρ
в силу того, что функции ϕ(ζ), F (ζ) ограничены в Š, а решение u(ζ) принадлежит C 2 (Š), получим, что при ε0 → 0 интеграл по ∂B(z, ε0 ) в (5) стремится к
eτ ϕ(z) u(z).
Следовательно, из равенства (5) приходим к формуле, выражающей значение решения задачи (1) в точке z по данным на всей границе области:
Z
u(z) = e−τ ϕ(z) heτ ˆ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds.
(6)
∂Š
Ввиду условий (3) при ζ ∈ ∂Š \ M , z ∈ Š будет
eτ (ϕ(ζ)−ϕ(z)) → 0,
τ → ∞,
поэтому так как для правой части системы (4) в нашем случае имеем оценку
kGkLp (Š) ≤ τ C1 kEω kLp (Š) ,
где константа C1 не зависит от τ , переходя к пределу при τ → ∞, получаем
формулу для определения решения поставленной задачи.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Формула Карлемана для уравнения Гельмгольца на плоскости
521
Теорема 1. Пусть E (z) = 4i H01 (ω|z|) — фундаментальное решение уравнения Гельмгольца с постоянным коэффициентом u(x, y)+ω 2 u(x, y) = 0, определяемое через функцию Ханкеля первого рода. Пусть функция F = (f1 (ζ), f2 (ζ))
при некотором τ0 является решением системы (4),
−2∂Eω (ζ − z)
v = E − F, E =
.
eτ (ϕ̄(ζ)−ϕ(ζ)) Eω (ζ − z)
Тогда для любого z ∈ Š имеет место равенство
Z
e−τ ϕ(z) heτ ˆ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds.
u(z) = lim
τ →∞
M
Заметим, что значение u(z) не зависит от выбора функции F . Действиf также является решением системы (4). Тогда
тельно, пусть F
Z
−τ ϕ(z)
heτ ˆ u, (ν1 I − iν2 J)vi ds,
u(z) = e
∂Š
Z
ũ(z) = e−τ ϕ(z)
heτ ˆ u, (ν1 I − iν2 J)e
vi ds.
∂Š
Для разности u(z) − ũ(z) получим
Z
f− F )i ds
u(z) − ũ(z) = e−τ ϕ(z) heτ ˆ u, (ν1 I − iν2 J)(F
∂Š
Z
f− F )i dζ1 dζ2 = 0,
heτ ˆ u, (−D∗ + Q] )(F
−τ ϕ(z)
= −e
Š
f являются решениями системы (4).
так как F , F
2. Доказательство леммы 1. Переходя к компонентам соответствующих
вектор-функций, систему (4) запишем в виде
¯ 1 (ζ) − ω 2 n(ζ)e−iτ 2χ(ζ) f2 (ζ) = g1 (ζ),
2∂f
2∂f2 (ζ) + eiτ 2χ(ζ) f1 (ζ) = g2 (ζ).
(40 )
Согласно [12] в качестве решения этой системы можно взять решение системы
интегральных уравнений
Z −iτ 2χ(η)
Z
1
e
1
g1 (η)
2
f1 (ζ) +
ω n(η)f2 (η)dη = −
dη,
2π
η−ζ
2π
η−ζ
Š
f2 (ζ) −
Š
1
2π
Z
Š
eiτ 2χ(η)
1
f1 (η)dη = −
2π
η̄ − ζ̄
Z
g2 (η)
dη,
η̄ − ζ̄
Š
где введено обозначение dη = dη1 dη2 . Следовательно,
Z −iτ 2χ(η)
Z
1
e
1
g1 (η)
2
f1 (ζ) = −
ω n(η)f2 (η)dη −
dη,
2π
η−ζ
2π
η−ζ
Š
Š
522
Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
а функция f2 (ζ) является решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода
Z iτ 2χ(η)
Z −iτ 2χ(η0 )
1
1
e
e
f2 (ζ) +
ω 2 n(η 0 )f2 (η 0 ) dη 0 dη
2π
η0 − η
η̄ − ζ̄ 2π
Š
Š
=−
1
2π
Z
eiτ 2χ(η) 1
η̄ − ζ̄ 2π
Š
Z
1
g1 (η 0 ) 0
dη dη −
η0 − η
2π
Š
Z
g2 (η)
dη,
η̄ − ζ̄
Š
которое можно записать в виде
1
1
f2 + S(f2 ) = − T [eiτ 2χ(η) T [g1 ]] + T (g2 ) = G0 ,
4
2
(7)
где
0
1
T [eiτ 2χ(η) T [e−iτ 2χ(η ) ω 2 n(η 0 )f (η 0 )]],
4
Z
Z
g(η)
g(η)
1
1
dη.
dη, T (g) = −
T (g) = −
π
η−ζ
π
η̄ − ζ̄
S(f ) =
Š
Š
При p = 2/(1 − α) оператор T вполне непрерывен в Lp (Š) и отображает это
пространство на Cα (Š), причем выполняется оценка
kT (f )kCα (Š) ≤ M1,α kf kLp (Š) .
(8)
Если ∂Š ∈ Cαm+1 , m ≥ 0, то T вполне непрерывен в Cαm (Š) и отображает
это пространство в Cαm+1 (Š), при этом
∂x T (f ) = f + …(f ),
где
1
…(f ) = − V.p.
π
Z
∂y T (f ) = −if + i…(f ),
f (ζ)
dŠ ∈ Cαm (Š),
(ζ − z)2
Š
и
k…(f )kC m (Š) ≤ kT (f )kCαm+1 (Š) ≤ M2,α kf kC m (Š) .
α
α
(9)
Указанные свойства доказаны в [12].
Таким образом, правая часть интегрального уравнения (7) принадлежит
классу Cα (Š), и
kG0 kCα (Š) ≤
1 2
1
M1,α (|Š|)1/p kg1 kLp (Š) + M1,α kg2 kLp (Š) .
4
2
Оператор S : Cα (Š) → Cα (Š) является вполне непрерывным. Здесь через |Š|
обозначена площадь области Š.
В силу аналитичности функция ϕ(ζ) в Š имеет не более чем счетное множество стационарных точек ηi , в которых
ϕ0 (ηi ) = 0 и
∇χ(ηi ) = 0.
Возьмем число δ > 0 и рассмотрим область
Šδ = {ζ ∈ Š : dist(ζ, ∂Š) > δ}.
Формула Карлемана для уравнения Гельмгольца на плоскости
523
В ней содержится уже конечное число стационарных точек ηj , j = 1, . . . , N (δ).
Выберем число 0 < δ1 < 1 так, что δ1 N (δ) < δ. Тогда сумма площадей всех
кругов B(ηj , δ1 ), j = 1, . . . , N (δ), будет меньше πδ.
Рассмотрим области
!
!
N (δ)
N (δ)
[
[
Š(δ, δ1 ) = Šδ+δ1 \
B(ηj , δ1 ) , Š(δ, 2δ1 ) = Šδ+2δ1 \
B(ηj , 2δ1 ) .
j=1
j=1
В этом случае dist(ζ, ηi ) > δ1 для любого ζ ∈ Š(δ, δ1 ) и любой стационарной
точки ηi .
Далее, по известному свойству разбиения единицы найдется такая функция
h ∈ C0∞ (Š), что 0 ≤ h ≤ 1, h ≡ 1 в замыкании Š(δ, 2δ1 ) и h ≡ 0 в замыкании
Š \ Š(δ, δ1 ).
Обозначим
Z −iτ 2χ(η0 ) 2
e
ω n(η 0 )f2 (η 0 ) 0
1
dη = T (e−iτ 2χ ω 2 nf2 )(η).
T1 (f2 )(η) = −
π
η0 − η
Š
Тогда в силу неравенства (9) имеем
kT1 (f2 )kC 1 (Š) ≤ ω 2 nα τ α χα M2,α kf2 kCα (Š) ,
α
где
nα = kn(ζ)kCα (Š) ,
τ α χα = ke−iτ 2χ(ζ) kCα (Š) ,
кроме того,
kT1 (f2 )kC(Š) ≤ 2 diamŠ ω 2 nα kf2 kCα (Š) .
В этом случае для любого ζ ∈ Š
Z iτ 2χ(η)
e
T1 (f2 )(η)
1
dη
S(f2 )(ζ) = −
4π
η̄ − ζ̄
Š
Z iτ 2χ(η)
Z iτ 2χ(η)
1
e
T1 (f2 )(η)
1
e
T1 (f2 )(η)
=−
(1 − h(η)) dη −
h(η) dη.
4π
4π
η̄ − ζ̄
η̄ − ζ̄
Š
Š
Для первого слагаемого справедлива оценка
Z iτ 2χ(η)
1
e
T1 (f2 )(η)
(1 − h(η)) dη 4π
η̄ − ζ̄
Cα (Š)
Š
M1,α iτ 2χ(η)
ke
T1 (f2 )(η)(1 − h(η))kLp (Š)
4
M1,α
M1,α
(|Š1 |)1/p kT1 f2 kC(Š) ≤
(|Š1 |)1/p diamŠ ω 2 nα kf2 kCα (Š) ,
≤
4
2
где Š1 = Š \ Š(δ, 2δ1 ), поэтому за счет выбора δ оно может быть сделано сколь
угодно малым.
Для оценки второго слагаемого рассмотрим такую функцию hζ ∈ C0∞ (Š),
что 0 ≤ hζ ≤ 1 и hζ ≡ 1 в замыкании Š(δ, δ1 ) \ B(ζ, 2δ1 ) и hζ ≡ 0 в замыкании
B(ζ, δ1 ). Тогда
Z iτ 2χ(η)
Z iτ 2χ(η)
e
T1 (f2 )(η)
1
e
T1 (f2 )(η)
1
h(η) dη =
h(η)(1 − hζ (η)) dη
4π
4π
η̄ − ζ̄
η̄ − ζ̄
Š
Š
Z iτ 2χ(η)
1
e
T1 (f2 )(η)
+
h(η)hζ (η) dη.
4π
η̄ − ζ̄
≤
Š
524
Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
При этом первое выражение оценивается величиной
Z iτ 2χ(η)
1
e
T1 (f2 )(η)
h(η)(1
−
h
(η))
dη
ζ
4π
η̄ − ζ̄
Cα (Š)
Š
M1,α
(|Š2 |)1/p diamŠ ω 2 nα kf2 kCα (Š) ,
2
где Š2 = Š(δ, δ1 ) ∩ B(ζ, 2δ1 ), и поэтому за счет выбора δ оно также может быть
сделано сколь угодно малым.
Оставшийся интеграл берется по области Š3 = Š(δ, δ1 ) \ B(ζ, δ1 ), в которой
отсутствуют стационарные точки функции χ(η). Следовательно, во всех точках
Š3 справедливо представление
iτ 2χ(η)
¯
2∂χ(η)2∂e
.
eiτ 2χ(η) =
2
¯
i2τ |2∂χ(η)|
≤
Так как hhζ = 0 на ∂Š3 , то, интегрируя по частям и учитывая равенства
χ(η) = 0,
2∂
1
= 0,
η̄ − ζ̄
приводим интеграл к виду
¯
Z
2∂χ(η) iτ 2χ(η)
h(η)hζ (η)
1
T1 (f2 )(η)
2∂
e
dη.
2
¯
8τ πi
η̄ − ζ̄
|2∂χ(η)|
Š3
Норма в Cα (Š) этого интеграла оценивается следующей величиной:
¯ 1
2
1/p 2∂χ C (h, hζ )kf2 kCα (Š) .
ω nα χα M1,α M2,α (|Š3 |) ¯ 2 C 1 (Š ) 1
8τ 1−α
|2∂χ|
3
Следовательно, существует τ0 такое, что для любого τ > τ0 оператор S является
сжимающим, и f2 находится методом последовательных приближений, а
1
1
f1 = T (e−iτ 2χ ω 2 nf2 ) + T (g1 ).
2
2
При этом для некоторого c0 > 1 выполняются оценки
1 2
1
0
1/p
kf2 kCα (Š) ≤ c
M (|Š|) kg1 kLp (Š) + M1,α kg2 kLp (Š) ,
4 1,α
2
kf1 kCα (Š) ≤
откуда
1
(M1,α ω 2 nα |Š|1/p kf2 kCα (Š) + M1,α kg1 kLp (Š) ),
2
kF kCα(Š) ≤ CkGkLp (Š) ,
где константа C не зависит от τ .
Заметим, что если
ω 2 nα <
1
,
diam(Š)2
то, оценивая норму оператора S : C(Š) → C(Š), получим
Z
Z
ω 2 kn(ζ)kC(Š)
1
1
kSk ≤
dη 0 dη ≤ ω 2 nα (diamŠ )2 < 1.
4π
|η 0 − η|
|η̄ − ζ̄|
Š
Š
Следовательно, в этом случае функция f2 (ζ) находится методом последовательных приближений для любого значения τ .
Формула Карлемана для уравнения Гельмгольца на плоскости
525
3. Оценка условной устойчивости. Из полученной в теореме 1 формулы
типа Карлемана следует оценка решения исходной задачи.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда при любом z ∈ Š
для решения задачи (1) справедлива оценка
∀ε > 0 |u(z)| ≤ εl(u) + C(ε)kukC 1 (M ) ,
где
C(ε) = ε1−2/ψ(z) (ψ(z)/C0 )−2/ψ(z) ,
l(u) = kukC 1 (∂Š\M ) ,
ψ(z) = Re ϕ(z),
а C0 — константа, зависящая от kEω (ζ − z)kC 1 (∂Š) , |∂Š|, kEω kLp (Š) , C.
Действительно, оценивая решение задачи, найденное по формуле Карлемана, получим
|u(z)| ≤ C0 τ e−τ ψ(z) kukC 1 (∂Š\M ) + τ C0 e−τ ψ(z) eτ kukC 1 (M ) .
Так как при
τ =−
2
ln
ψ(z)
ε
ψ(z)
C0
выполняется неравенство
C0 τ e−τ ψ(z) ≤ ε,
имеем
−τ ψ(z) τ
τ C0 e
e ≤ε
2
− ψ(z)
ε
= C(ε).
ψ(z)
C0
Замечание. Взяв изначально в качестве Eω фундаментальное решение
уравнения Лапласа E0 , можно также получить формулу типа Карлемана для
уравнения Гельмгольца, но уже через эту более простую функцию. Кроме того, при ω = 0 полученная формула дает решение задачи Коши для уравнения
Лапласа. В этом случае функции f1 (ζ), f2 (ζ) являются решениями уравнений
Коши — Римана
¯ 1 (ζ) = 0,
2∂f
2∂f2 (ζ) + eiτ 2χ(ζ) f1 (ζ) = τ 2∂ϕeτ (ϕ−ϕ̄) E0 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Carleman Т. Les fonctions quasi analytiques. Paris: Gautier-Villars et Cie., 1926.
2. Голузин Г. М., Крылов В. И. Обобщенная формула Carleman’a и ее приложение к аналитическому продолжению функций // Мат. сб.. 1933. Т. 40, № 2. С. 144–149.
3. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1962.
4. Ярмухамедов Ш. Я. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР. 1977.
Т. 235, № 2. С. 281–283.
5. Ikehata M. The enclosure method and its applications. Analytic extension formulas and their
applications. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 2001.
6. Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1990.
7. Айзенберг Л. А., Тарханов Н. Н. Абстрактная формула Карлемана // Докл. АН СССР.
1988. Т. 298, № 6. С. 1292–1296.
8. Махмудов О. И., Ниезов И. Э. Регуляризация решений задачи Коши для системы теории
упругости в бесконечной области // Мат. заметки. 2000. Т. 68, № 4. С. 548–553.
9. Махмудов О. И. О задаче Коши для эллиптических систем в пространстве Rm // Мат.
заметки. 2004. Т. 75, № 6. С. 849–860.
10. Arbuzov E. V., Bukhgeim A. L. Carleman’s formulas for A-analytic functions in a half-plane //
J. Inv. Ill-Posed Problems. 1997. V. 5, N 6. P. 491–505.
526
Э. В. Арбузов, А. Л. Бухгейм
11. Арбузов Э. В. Задача Коши для эллиптических систем второго порядка на плоскости //
Сиб. мат. журн.. 2003. Т. 44, № 1. С. 3–20.
12. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988.
Статья поступила 28 декабря 2004 г.
Арбузов Эдуард Витальевич
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
arbuzov@math.nsc.ru,
Бухгейм Александр Львович
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,
пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090
Current address: Wichita State University
bukhgeim@math.nsc.ru,
boukhgueim@math.wichita.edu