Керефова И.Х. О существовании и единственности решения для

Выпуск 4 - 2014
(499) 755 50 99
http://mir-nauki.com
УДК 517.946
Керефова Ира Хазизовна
ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский Государственный аграрный университет им. В.М. Кокова»
Россия, Нальчик
Доцент
Кандидат физико-математических наук
E-mail: [email protected]
О существовании и единственности решения
для нагруженного уравнения теплопроводности
с разрывными коэффициентами
Аннотация. В статье рассматривается краевая задача для нагруженного уравнения
параболического типа с разрывными коэффициентами. Доказывается существование и
единственность решения задачи в двухслойной среде с условиями сопряжения на границе.
Ключевые слова: нагруженное; теплопроводность; регулярное решение; класс
решений; сопряжения; краевая задача; функция Грина; уравнение Вольтерра; интегральное
представление.
1
03KNMN414
Выпуск 4 - 2014
(499) 755 50 99
http://mir-nauki.com
Рассмотрим нагруженное уравнение теплопроводности
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑡
= 𝑘𝑖
𝜕 2 𝑢𝑖
𝜕𝑥 2
− 𝑞𝑖 (𝑥, 𝑡)𝑢𝑖 (𝑥0𝑖 , 𝑡) + 𝑓𝑖 (𝑥, 𝑡), 𝑖 = 1,2,
(1)
В области
𝛺 = {(𝑥, 𝑡): 0 < 𝑡 < ℎ2 , 0 < 𝑡 < 𝑇}, (𝑥0 𝑖 , 𝑡)𝜖Ω𝑖 , 𝑥01 𝜖 (0, ℎ1 ), 𝑥02 𝜖 (ℎ1 , ℎ2 ).
Для уравнения (1) рассмотрим следующую задачу:
Найти регулярное в Ω𝑖 решение 𝑢𝑖 (𝑥, 𝑡)уравнение
(1) из класса С(Ω⁄{𝑥 = ℎ1 }) ∩ 𝐶 1 (Ω1 ∪ 𝑥 = 0 ∪ 𝑥 = ℎ1 ) ∩ 𝐶 1 (Ω2 ∪ 𝑥 = ℎ1 ∪ 𝑥 = ℎ2 ) и
удовлетворяющее условиям второй краевой задачи:
𝑢𝑖 (𝑥, 0) = 𝑢𝑖0 (𝑥 ), 0 ≤ 𝑥 ≤ ℎ2
𝜕𝑢1
𝜕𝑥
(0, 𝑡) =
𝜕𝑢2 (ℎ2 ,𝑡)
𝜕𝑥
(2)
=0
(3)
и условиям сопряжения
𝑘1
𝜕𝑢1 (−ℎ1,𝑡)
𝜕𝑥
= 𝑘2
𝜕𝑢2 (+ℎ1 ,𝑡)
𝜕𝑥
= 𝑢2 (+ℎ1 , 𝑡) − 𝑢1 (−ℎ1 , 𝑡),
(4)
где 𝑞𝑖 (𝑥, 𝑡), 𝑓𝑖 (𝑥, 𝑡)- заданные достаточно гладкие функции.
Справедлива следующая
Теорема. Решение задачи (1)-(4) в классе функций
С(Ω⁄{𝑥 = ℎ1 }) ∩ 𝐶 1 (Ω1 ∪ 𝑥 = 0 ∪ 𝑥 = ℎ1 ) ∩ 𝐶 1 (Ω2 ∪ 𝑥 = ℎ1 ∪ 𝑥 = ℎ2 )
Существует и единственно.
Действительно, используя функцию Грина 𝐺1 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 𝜂) второй краевой задачи для
уравнения теплопроводности, получим интегральное представление решения 𝑢1 (𝑥, 𝑡) задачи:
𝑢1 (𝑥, 0) = 𝑢10 (𝑥 ),
𝜕𝑢1
𝜕𝑢 (−ℎ1 , 𝑡)
(0, 𝑡) = 0𝑘1 1
= 𝑢2 (+ℎ1 , 𝑡) − 𝑢1 (−ℎ1 , 𝑡)
𝜕𝑥
𝜕𝑥
для уравнения
𝜕𝑢1
𝜕 2 𝑢1
= 𝑘1
− 𝑞1 (𝑥, 𝑡)𝑢1 (𝑥01 , 𝑡) + 𝑓1 (𝑥, 𝑡)
2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
в виде равенства
ℎ1
𝑡
𝑢1 (𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑢10 (𝜉)𝐺1 (𝑥, 𝑡 ; 𝜉, 0)𝑑𝜉 − ∫ 𝑢1𝜉 (−ℎ1 , 𝜂)𝐺1 (𝑥, 𝑡; −ℎ1, 𝜂)𝑑𝜂 +
0
𝑡
0
ℎ1
+ ∫ ∫ [−𝑞1 (𝜉, 𝜂)𝑢1 (𝑥01 , 𝜂) + 𝑓1 (𝜉, 𝜂)] ∙ 𝐺1 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂,
0
0
а в силу условия, заданного на границе x=ℎ1 в области Ω1, находим:
ℎ
𝑡 1
𝑢1 (𝑥, 𝑡) = ∫0 1 𝑢10 (𝜉 ) ∙ 𝐺1 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 0)𝑑𝜉 − ∫0 𝑘 [𝑢2 (+ℎ1 , 𝜂) − 𝑢1 (−ℎ1 , 𝜂)] ∙ ∙
𝑡
ℎ
1
𝑡
ℎ
𝐺1 (𝑥, 𝑡; −ℎ1, 𝜂)𝑑𝜂 + ∫0 𝑢1 (𝑥01 , 𝜂)𝑑𝜂 ∫0 1 𝑞1 (𝜉, 𝜂) ∙ 𝐺1 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 𝜂)𝑑𝜉 + ∫0 ∫0 1 𝑓1 (𝜉, 𝜂) ∙
𝐺1 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂.
(5)
2
03KNMN414
Выпуск 4 - 2014
(499) 755 50 99
http://mir-nauki.com
Решение задачи
𝜕𝑢2
𝜕 2 𝑢2
= 𝑘2
− 𝑞2 (𝑥, 𝑡)𝑢2 (𝑥02 , 𝑡) + 𝑓2 (𝑥, 𝑡)
2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝑢2 (𝑥, 0) = 𝑢20 (𝑥 ),
𝜕𝑢2 (+ℎ1 , 𝑡)
𝜕𝑢2 (ℎ2 , 𝑡)
= 𝑢2 (+ℎ1 𝑡) − 𝑢1 (−ℎ1 , 𝑡),
=0
𝜕𝑥
𝜕𝑥
в области Ω2 = {(𝑥, 𝑡): ℎ1 < 𝑥 < ℎ2 , 0 < 𝑡 < 𝑇} представимо в виде следующего
интегрального равенства
𝑘2 ∙
𝑡
ℎ2
𝑢2 (𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑢2𝜉 (+ℎ1 , 𝑡)𝐺2 (𝑥, 𝑡; +ℎ1 , 𝜂)𝑑𝜂 + ∫ 𝑢20 (𝜉 ) ∙ 𝐺2 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 0)𝑑𝜉 +
0
ℎ1
𝑡
ℎ
+ ∫0 𝑢2 (𝑥02 , 𝜂)𝑑𝜂 ∫ℎ 2 −𝑞2 (𝜉, 𝜂)
1
𝑡
ℎ
∙ 𝐺2 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 𝜂)𝑑𝜉 + ∫0 ∫ℎ 2 𝑓2 (𝜉, 𝜂)𝐺2 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂,
1
где
∞
𝐺2 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 𝜂) = [4𝜋𝑘2 (𝑡 − 𝜂)
+𝑒𝑥𝑝 [−
]−1⁄2
(𝑥 − 𝜉 + 2𝑛(ℎ2 − ℎ1 ))2
]+
∙ ∑ {𝑒𝑥𝑝 [
(
)
4√𝑘
∙
𝑡
−
𝜂
2
ℎ=−∞
(𝑥 − 𝜉 + 2𝑛(ℎ2 − ℎ1 ))2
4√𝑘2 (𝑡 − 𝜂)
]}
Полученное представление решения 𝑈2 (𝑥, 𝑡) в области Ω2 в силу условия на x= ℎ1
можно переписать в виде
𝑡
ℎ2
1
𝑢2 (𝑥, 𝑡) = ∫ [𝑢2 (+ℎ1 , 𝑡) − 𝑢1 (−ℎ1 , 𝑡)] ∙ 𝐺2 (𝑥, 𝑡; ℎ1 , 𝜂)𝑑𝜂 + ∫ 𝑢20 (𝜉 )𝐺2 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 0)𝑑𝜉 +
𝑘2
ℎ1
0
𝑡
ℎ2
∫0 𝑢2 (𝑥02 , 𝜂)𝑑𝜂 ∫ℎ1 −𝑞2 (𝜉, 𝜂)
𝑡
ℎ
∙ 𝐺2 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 𝜂)𝑑𝜉 + ∫0 ∫ℎ 2 𝑓2 (𝜉, 𝜂)𝐺2 (𝑥, 𝑡; 𝜉, 𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂.(6)
1
В представлении (5) перейдем к пределу при 𝑥 → 𝑥01 ∈ (0, ℎ1 ), а в (6) к пределу 𝑥 →
𝑥02 ∈ (ℎ1 , ℎ2 ).Получим в итоге интегральные уравнения Вольтерра, что позволяет получить
единственные представления 𝑢1 (𝑥01 , 𝑡) и 𝑢2 (𝑥01 , 𝑡) через разность 𝑢2 (𝑥, 𝑡) и 𝑢1 (𝑥, 𝑡) на
прямой𝑥 = ℎ1 : 𝑢2 (+ℎ1 , 𝑡) − 𝑢1 (−ℎ1 , 𝑡).
Далее в представлении (6) перейдем к пределу при 𝑥 → ℎ1 + 0, а в представлении (5)
при 𝑥 → ℎ1 − 0, а затем вычитая полученные равенства получается интегральное уравнение
Вольтерра второго рода относительно разности 𝑢2 (+ℎ1, 𝑡) − 𝑢1 (−ℎ1 , 𝑡).
Таким образом разность 𝑢2 (+ℎ1 , 𝑡) − 𝑢1 (−ℎ1 , 𝑡) определяется единственным образом,
что доказывает справедливость теоремы.
3
03KNMN414
Выпуск 4 - 2014
(499) 755 50 99
http://mir-nauki.com
ЛИТЕРАТУРА
1.
Углов А.А., Смуров И.Ю., Лашин А.М. «Моделирование нестационарного
движения фазовых границ при воздействии потоков энергии на материалы».
ТВТ, т.27, №1, «Наука», 1989, с.87-92.
2.
Карташов Э.М. Метод функций Грина при решении краевых задач уравнения
теплопроводности в нецилиндрических областях. – Прикл. Матем. и мех.
(ZAMM, ГДР), 1978, №58, с. 199-208.
3.
Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. «Высшая школа», М.,
1995, с.301.
4.
Керефов А.А., Шхануков М.Х., Керефова И.Х. «Об одной математической
модели нагрева системы «покрытие-основа». Вестник КБГУ, 1996, с.63-67.
5.
Керефова И.Х. Об единственности решения одной задачи для параболического
уравнения с разрывными коэффициентами //Сб. научных трудов. Киев, 2000.
4
03KNMN414
Выпуск 4 - 2014
(499) 755 50 99
http://mir-nauki.com
Kerefova Ira Khazizovna
Kabardino-Balkaria State Agrarian University V.M. Kokova
Russia, Nalchik
E-mail: [email protected]
On the existence and uniqueness of solutions for a loaded
heat equation with discontinuous coefficients
Abstract. The article discusses the boundary value problem for a loaded parabolic equations
with discontinuous coefficients. The existence and uniqueness of the solution of the problem in the
two-layer medium with conjugation conditions at the border.
Keywords: loaded; thermal conductivity; regular solution; class of solutions; interface;
boundary value problem; Green's function; the equation of Volterra integral representation.
REFERENCES
1.
Points AA, Smurov IY, Lachine AM "Modeling of unsteady motion of phase
boundaries when exposed to the energy flows of materials." TVT, t.27, №1,
«Science», 1989, s.87-92.
2.
EM Kartashov Green's function method for solving boundary value problems of the
heat equation in non-cylindrical domains. - J. Appl. Mat. and fur. (ZAMM, GDR),
1978, №58, p. 199-208.
3.
Nahushev AM Equations of mathematical biology. "High School", Moscow, 1995,
p.301.
4.
Kerefov AA, Shkhanukov MH, IH Kerefova "On a mathematical model of the heating
system" coating-base. "Bulletin KBSU, 1996, s.63-67.
5.
Kerefova IH Uniqueness of the solution of a problem for a parabolic equation with
discontinuous coefficients // Proc. scientific papers. Kyiv, 2000.
5
03KNMN414