Геометрия, 8 класс К учебнику Л.С.Атанасяна СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА точка ТЕОРЕМА. Каждая неразвернутого угла от его сторон. Дано : ВАС , В АР биссектриса, М АР, К А МК АВ, МТ АС Доказать : МК МТ М 1 2 Р Т биссектрисы равноудалена КАМ ТАМ (Почему ?) С МК = МТ СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. В К Дано : ВАС , М ВАС , М А Т МК АВ, МТ АС , МК МТ Доказать : АМ биссектриса С КАМ ТАМ (Почему ?) ∠ КАМ = ∠ ТАМ АМ - биссектриса Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. СЛЕДСТВИЕ. О – точка пересечения биссектрис АА1 и ВВ1 ОМ⏊АВ, ОН⏊АС, ОК⏊ВС В О АА1 ОМ ОН О ВВ1 ОМ ОК М О А В1 Н А1 К ОМ ОН ОК Так как ОН = ОК, то точка О равноудалена от сторон угла С, значит точка О лежит на биссектрисе угла С. С ВЫВОД: СО – биссектриса, следовательно, все три биссектрисы пересекаются в одной точке О. Серединный перпендикуляр к отрезку Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. ОПРЕДЕЛЕНИЕ К АС = СВ КС ⏊ АВ А С В КС – серединный перпендикуляр к отрезку АВ Серединный перпендикуляр к отрезку ТЕОРЕМА Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка К М Дано : АС СВ, КС АВ, М КС Доказать : МА МВ АМС ВМС (Почему ?) А С В МА = МВ Серединный перпендикуляр к отрезку ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА Каждая точка, равноудаленая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. К Дано : АС СВ, КС АВ, МА МВ М Доказать : М КС Δ АМВ – равнобедренный. Проведем отрезок МС. А С ВЫВОД: В МС АВ КС АВ МС – медиана, а значит … МС и КС совпадают, значит точка М лежит на прямой КС Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. СЛЕДСТВИЕ m - серединный перпендикуляр к АВ n - серединный перпендикуляр к АC m∩n=O В О m ОА ОВ ОА ОВ ОС О n ОА ОС p m Так как ОВ = ОС, то точка О равноудалена от концов отрезка ВС, значит точка О лежит на серединном перпендикуляре p к ВС О А n С ВЫВОД: все три серединных перпендикуляра m, n, p пересекаются в точке О. Теорема о пересечении высот треугольника В С2 А2 С В1 А2В2 ǁ АВ АВ СА2 СА2 СВ2 АВ СВ 2 С – середина отрезка А2В2 Аналогично: А – середина отрезка В2С2 В – середина отрезка А2С2 А1 С1 А Высоты их АА1 треугольника ВС , ВВ1 АС, СС(или АВ 1 продолжения) пересекаются в одной Доказать точке. : АА1 , ВВ1 , СС1 пересекаются в одной точке СС1 АВ СС1 А2 В2 АВ || A B 2 2 СС1 – серединный перпендикуляр к А2В2 А2С2 ǁ АС В2С2 ǁ ВС В2 Аналогично: АА1 – серединный перпендикуляр к В2С2 ВВ1 – серединный перпендикуляр к А2С2 ВЫВОД: Высоты АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке Свойство медиан треугольника Задача. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 :1, считая от вершины. МN АС В M 1 2, 3 4 АОС NOM 4 2 N АО : ОN 2 : 1 О AO CO AC 2 NO MO NM 1 CО : ОM 2 : 1 Аналогично, точка пересечения медиан СМ и ВК делит каждую из них в А С К отношении 2 : 1. считая от вершины, и следовательно, совпадает с точкой О. Вывод: Все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины. 1 3 АО : ОN 2 : 1 CО : ОM 2 : 1 ВО : ОК 2 : 1 ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА 1 точка – точка пересечения биссектрис 2 точка – точка пересечения медиан 3 точка – точка пересечения высот 4 точка – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
