ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы Центр развития одаренности школьников

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы
Центр развития одаренности школьников
ЗАДАНИЯ
I тура дистанционной олимпиады по математике
для учащихся 9 класса
Вариант 1
1. Разложить на множители
2. Решить уравнение
+3x+
- 1=0
3. Вычеркнуть 100 цифр из числа 123456789101112…9899100 так, чтобы
полученное число было наибольшим.
4. Стороны одного треугольника равны медианам второго треугольника.
Найти отношение площадей этих треугольников.
5. Найти все целые n, при которых
– целое число.
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия Зубаирова_________________
Имя_Диана_________________________
Отчество_Булатовна_________________
Класс_9_____________________________
Школа _МБОУ СОШ _________________
Город (село)_с.Бала-Четырман_________
Район_Федоровский___________________
Ф.И.О. учителя_Егорова Нина Васильевна
Вариант 1
1. Разложить на множители
Решение:
(x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 2)(x4 + 2x3 +2x2 +2x +2x + 2)
2. Решить уравнение
+3x+
- 1=0
Решение:
+3x+
- 1=0
+3x+
=1
(x + 2/√3)3 - x - √3 + 10/3√3 -1 = 0
3. Вычеркнуть 100 цифр из числа 123456789101112…9899100 так, чтобы
полученное число было наибольшим.
Решение:
Число будет наибольшим, если в старших разрядах будут стоять девятки.
Поэтому вычёркиваем первые восемь цифр, затем цифры чисел от 10 до 18 и
единицу у числа 19 и так далее до цифры 4 у числа 49. Таким образом, было
вычеркнуто 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 цифры. Осталось вычеркнуть ещё 16
цифр, а именно цифры чисел 50, 51, 52,
, 56 (14 цифр) и цифру 5 у чисел
57 и 58. Всего, таким образом, вычеркнули 100 цифр.
Получили число 9999978596061…9899100.
Ответ: 9999978596061…9899100.
4. Стороны одного треугольника равны медианам второго треугольника.
Найти отношение площадей этих треугольников.
Решение:
Пусть АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС, О – точка пересечения
медиан. Проведем прямую АМ, параллельную медиане СС1, и прямую А1К,
параллельную медиане ВВ1. Тогда отрезок СС1 – средняя линия треугольника
АВМ и поэтому АМ = 2СС1.
Пусть прямая ВВ1 пересекает отрезок АМ в точке N. Так как АО : ОА1 = 2, то
AN : NK = 2, т.е. AN = 2NK и, значит, АК = 3МК.
Поскольку ВС = СМ и ВА1 = А1С = ½ ВС, то А1В : ВА1 = 3 и, следовательно,
КМ : NK = 3, т.е. КМ = 3NK.
Таким образом, АК = КМ, а так как АМ = 2СС1, то АК = СС1.
Отрезок В1К – средняя линия треугольника АСМ, поэтому отсюда следует,
что А1К = ВВ1.
Итак, в треугольнике АА1К
А1К = ВВ1, АК = СС1, т.е. стороны треугольника АА1К соответственно равны
медианам
треугольника
АВС
и,
значит,
треугольник
АА1К
треугольнику EFG. Тем самым нужно доказать, что SAA1K/SABC = 3/4.
равен
Так как ВМ = 2ВС, ВА1 = ½ ВС, то SABM = 2S
ABC,
SABA1 = ½SABC и поэтому
SAA1M = AABM – SABA1 = 3/2SABC.
Треугольники АА1М и АА1К имеют общую высоту, проведенную из
вершины А1, и АК - ½ АМ. Поэтому
SАА1К - ½ SАА1М - ¾ SАВС
Отсюда получаем:
SАА1К / SАВС = ¾
5. Найти все целые n, при которых
– целое число.
Решение:
1 способ:
19n+7=k(7n+11)
7nk-19n+11k=7
(7k-19)(n+11/7)=7-209/7
(7k-19)(7n+11)=-160
Hам требуется разложить число (-160) на множители с остатками 2 и (-3) при
делении на 7. Таких разложений три:
1) 2*(-80)=-160; k=3 ;n=-13
2) 16*(-10)=-160; k=5; n=-3
3) (-5)*32=-160 ; k=-2;n=3.
2 способ:
(19n+7)/(7n+11) = (14n+22+5n-15)/(7n+11) = 2+(5n-15)/(7n+11) =
= 2+5(n-3)/(7n+11)