Умножение. Законы умножения Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: - умножение и его компоненты; - переместительный и сочетательный законы умножения; - умножение на нуль. Тезаурус Умножить число а на натуральное число b – значит, найти сумму а одинаковых слагаемых, каждое из которых равно b. Умножение – это арифметическое действие второй ступени. Переместительный закон умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется. Сочетательный закон умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Теоретический материал для самостоятельного изучения Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 – значит, найти сумму трёх слагаемых, каждое из которых 4. 3 4 = 4 + 4 + 4 = 12 Числа 3 и 4 называют множителями, 12 – произведением. Умножить число а на натуральное число b – значит, найти сумму а одинаковых слагаемых, каждое из которых равно b. a и b называют множителями, а результат умножения – произведением. Умножение – это арифметическое действие второй ступени. Понятно, что, если один из множителей равен 1, то произведение равно второму множителю: а 1 = а, 1 а = а. Если один из множителей равен 0, то произведение равно 0: а 0 = 0, 0 а = 0. Запишем произведение в виде суммы и найдём значение: 1) 5 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 (записали сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 3); 2) 3 5 = 5 + 5 + 5 = 15 (записали сумму трёх слагаемых, каждое из которых равно 5); 3) 3 1 = 1 + 1 + 1 = 3 (записали сумму трёх слагаемых, каждое из которых равно 1); 4) 1 7 = 7 (записали сумму одного слагаемого, которое равно 7). Переместительный закон умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется: а b = b а В этом легко убедиться. Перемножим 5 на 3, получим 15. При перемножении 3 на 5 опять получаем 15. 5 ∙ 3 = 3 ∙ 5 = 15 Вы уже знаете, что результат умножения нескольких множителей не зависит от порядка выполнения умножения. Например, чтобы найти произведение чисел 10, 2 и 15, можно сначала перемножить числа 10 и 2, а затем их произведение умножить на число 15. Но удобнее сначала перемножить числа 2 и 15, а затем на их произведение умножить число 10. Порядок умножения чисел указывают при помощи скобок. Для рассматриваемого примера получим: (10 ∙ 2) ∙ 15 = 10 ∙ (2 ∙ 15). Такое свойство справедливо для любых чисел а, b и с. Это – сочетательный закон умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего: (а b) с = а (b с) Опираясь на переместительный и сочетательный законы, можно применять и такой способ группировки множителей: второе число умножить на произведение первого и третьего. Например, для нахождения произведения чисел 10, 2 и 15, кроме уже рассмотренных способов, существует третий способ: (10 15) 2. Переместительный и сочетательный законы умножения справедливы для любого количества множителей. Применяя эти законы, можно значительно упростить вычисления. Например, найдём произведение. 1) 4 37 25 = (4 25) 37 = 100 37 = 3 700; 2) (25 5) (4 20) = (25 4) (5 20) = 100 100 = 10 000. С помощью умножения решают задачи, в которых требуется найти число, большее данного в несколько раз. Решения таких задач можно оформить с помощью вопросов и ответов на них, а можно использовать более короткую запись – после действия пояснить, что найдено этим действием. Задача. Мальчик купил две игрушечные машинки. Первая стоила 120 рублей, а вторая – в 4 раза больше. Сколько денег он истратил на обе машинки? Решение: 1. 120 ∙ 4 = 480 (руб.) – мальчик истратил на вторую машинку; 2. 120 + 480 = 600 (руб.) – мальчик истратил на обе машинки. Ответ: 600 рублей мальчик истратил на обе машинки. Разбор решения заданий тренировочного модуля № 1. Вычислите выражение 2 ∙ 345 ∙ 5, выбрав удобный порядок действий. Выберите правильный ответ. Варианты ответа: 3000; 3450; 2450; 5000. Решение: воспользуемся переместительным законом умножения, поменяем местами множители 345 и 5. Получим: 2 ∙ 5 ∙ 345 = 10 ∙ 345 = 3450 Ответ: 3450. № 2. Марина решает задачи. На одну задачу у неё уходит 4 минуты и 30 секунд. Сколько времени ей понадобится на решение 8 задач? Ответ запишите в минутах. Решение: 1. Переведём минуты в секунды: 4 мин. 30 с = 4 · 60 + 30 = 270 (с) – уходит на одну задачу. 2. 270 ∙ 8 = 2160 (с) = 36 (мин). Ответ: 36 минут. Д/з 98, 99.
