Предел последовательности Основные понятия Гл.5 п.24 стр.137 Определение 1: Функцию вида y = f (x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f (n) или y1 , y2 , y3 ,..., yn ,... или , yn Последовательность можно задать: 1. Словесно, когда правило задания последовательности описано словами. Например: Последовательность простых чисел (2,3,5,7,11,13,) Последовательность натуральных чисел(1,2,3,4,…) 2. Аналитически, если указана формула её n-го члена. 2 n Например: yn n , yn C , yn 2 1, 4, 9, 16, 25…., С, С, С, С,…. , 2, 4, 8, 16, 32, 64, …. Задачник стр.67 №№24.1 № 24.5 – 24.6 (по вариантам 1в а; б 2 в в; г с проверкой) 24.1 а) 1, -1, -3, -5, -7….. б) 1, 6, 15, 28, 45… в) 0, 7, 26, 63, 124.. г) 1, 5/4, 8/6, 11/8, 14/10…. 24.5 а)n – 1; б) – n; в) n+4; 24.6 а)5n; б) 6n; г) 11 - n в) 4n; г ) 3n Определение 2: Последовательность yn называют ограниченной сверху, если все её члены не больше некоторого числа. Для ограниченной сверху последовательности yn , существует такое число М, что для любого n выполняется неравенство y M n Число М называют верхней границей последовательности. - 1, -4; -9; -16; - 25;…. 25; 22; 19; 16;….. 0,5; 0,4; 0,3; 0,2; …… Определение 3: Последовательность (у n ) называют ограниченной снизу, если все её члены не меньше некоторого числа. Для ограниченной снизу последовательности существует такое число m, что для любого n выполняется неравенство у n ≥ m. m называют нижней границей последовательности. 1, 4, 9, 16, 25…. Если последовательность ограничена сверху и снизу, то её называют ограниченной последовательностью. У n = 1 /n Учебник стр.139 рис.112 Определение 4: Последовательность (y n )называют возрастающей, если каждый её член больше предыдущего: y 1 < y 2 < y 3<….< y n < y n+1 … Определение 5: Последовательность (y n )называют убывающей, если её каждый следующий член меньше предыдущего: y 1 > y 2 > y 3>….> y n > y n+1 … Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности. 1,3,5,7…, 2n + 1,… ; 1,4,9,16,…; последовательности возрастающие 1 1 1 1 ; ; ; .... 2 3 4 5 0; -1; -2; -3; …убывающие последовательности 1 1 1 1) 1, , , ,... 2 3 4 n y 2 2) n 3) 1 n yn ( ) 3 4) у n = C Немонотонная последовательность Возрастающая последовательность 2, 4, 8, 16… Убывающая последовательность 1 1 1 1 ; ; ; ;... 3 9 27 81 Постоянная или стационарная последовательность С, С, С, С… 5) yn a n 1) Если а > 1, эта последовательность возрастает. а = 3; 3 , 9, 27, 81… 2) Если 0 < a < 1, эта последовательность убывает. 1 1 1 1 1 a ; ; ; ; ;... 3 3 9 27 81 Определение 6: Число b называют пределом последовательности ( у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. lim yn b n 1 0 lim n n Читают: «Предел последовательности (у n ) при стремлении n к бесконечности равен b.» lim C C n Если | a | < 1, то lim a n 0 n Если | а | > 1, последовательность расходится, предела нет. Свойства сходящихся последовательностей Свойство1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство2. Если последовательность сходится, то она ограничена. Свойство3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится ( теорема Вейерштрасса) Пример: Если в окружность вписывать правильные многоугольники, то их периметры будут стремиться к длине окружности, а площади – к площади круга. Для вычисления пределов последовательностей в более сложных случаях используют следующую теорему: lim x b lim y n c Теорема. Если n и n , то 1. Предел суммы равен сумме пределов: lim ( x n 2. n n yn ) b c Предел произведения равен произведению пределов: lim ( x n n yn ) bc 3. Предел частного равен частному пределов: lim n xn b ( c 0) yn c 4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела: n n lim kx kb. Учебник стр.143 пример 1 Задачник стр. 68 №№ 24.12 – 24.14 ( устно) №№ 24.18 и 24.19; №№ 24.20 и 24.22.( письменно)
