Движение в пространстве 11 класс Цели урока: Актуализировать личностное осмысление учащимися учебного материала «Центральная и осевая симметрии» 1. Ребята, начнём урок с проверки домашнего задания. Слайды 4, 5. Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1 Найти угол между прямыми ВD и CD1. 1 способ: 1. Введем систему координат Bxyz 2. Пусть АА1= 2, тогда АВ = ВС = 1. D1 № 467 (а) z C1 A1 B1 В0;0;0 С 1;0;0 D1;1;0 D1 1;1;2 3. Координаты векторов: ВD1;1;0 х CD1 0;1;2 D 4. Находим косинус угла между прямыми: 1 cos 10 у C A B Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1 Найти угол между прямыми ВD и CD1. 2 способ: 1. Т.к. СD1|| ВА1, то углы между ВD и ВА1; ВD и СD1 – равны. № 467 (а) z D1 C1 A1 B1 2. В ΔВDА1: ВА1 = √5, А1D = √5 3. ΔВDА: по теореме Пифагора BD AD AB 2 2 BD 2 4. По теореме косинусов: A1 D A1 B BD 2 A1 B BD cos 1 cos у A 10 2 2 х D C 2 B 2. Теоретический материал по теме урока. Движение. Слайды 7 - 8. Центральная симметрия. Слайды 9 - 12. Осевая симметрия. Слайды 13 - 18. Зеркальная симметрия. Слайды 19 - 22. Фигуры, симметричные относительно плоскости. Слайды 23 - 31. Параллельный перенос. Слайды 32 - 40. Понятие движения Движение – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками Виды движения Центральная симметрия Осевая симметрия Зеркальная симметрия Параллельный перенос Центральная симметрия A’ B’ O D C B A C’ D’ Центральная симметрия — отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра О. Центральная симметрия является движением. Обозначим буквой О центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек М (х; у; z) и М1 (х1, у1; z1), симметричных относительно точки О. Если точка М не совпадает с центром О, то О — середина отрезка ММ1. По формулам координат середины отрезка получаем , откуда х1= - х, у1= -у , z1 = - z. Эти формулы верны и в том случае, когда точки M и О совпадают. О Рассмотрим теперь две точки А(х1; у1; z1) и В(х2; у2; z2)и докажем, что расстояние между симметричными точками А1 и В1 равно АВ. Точки А1 и В1 имеют координаты А1(-х1 ; -у1 ; - z1) и В1(-х2 ;-у2; -z2). По формуле расстояния между двумя точками A’ B’ O D C’ D’ C B A AB = A1B1 Осевая симметрия Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а. a C OC OD C’ D’ D OA A B OB B’ A’ Осевая симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы ось Oz совпала с осью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М(х; у; z) и М1(х1, y1; z1), симметричных относительно оси Oz. Если точка М не лежит на оси Oz , то ось Oz: 1) проходит через середину отрезка ММ1 и 2) перпендикулярна к нему. Из первого условия по формулам для координат середины отрезка получаем , откуда х1= -х и у1 = -у. Второе условие означает, что аппликаты точек М и М1 равны: z1= z2. Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит на оси Oz. Рассмотрим теперь любые две точки A(х1; у1; z1) и В(х2; у2; z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А1 и В1равно АВ. Точки А1 и В1 имеют координаты А1(-х1 ; -у1 ; - z1) и В1(-х2; -у2; z2). По формуле расстояния между двумя точками находим: AB = A1B1 Осевая симметрия Осевая симметрия вокруг нас Зеркальная симметрия α D OC C C D OD OB B A B OA A Зеркальной симметрией (относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости точку М1. Зеркальная симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы плоскость Оху совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М(х; у;z) и М1(х1; у1; z1), симметричных относительно плоскости Оху. Если точка М не лежит в плоскости Оху, то эта плоскость: М К 1) проходит через середину К отрезка ММ1 ; 2) перпендикулярна к нему. К1 М1 МК=М1К1 Из первого условия по формуле координат середины отрезка получаем : , значит z = -z Второе условие означает, что отрезок ММ1 параллелен оси Oz, и, следовательно, х1=х, у1= у. Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит в плоскости Оху. М К К К1 М1 МК=М1К1 Рассмотрим теперь две точки А(x1, у1; z1) и В (х2; у2; z2) и докажем, что расстояние между симмеричными им точками А1 и В1 равно АВ. Точки А1 и В1 имеют координаты А1(х1 ; у1 ; - z1) и В1(х2; у2; -z2). По формуле расстояния между двумя точками находим: AB = A1B1 Фигуры, симметричные относительно плоскости Фигура ( тело) называется симметричной относительно некоторой плоскости, если эта плоскость разбивает фигуру на две равные симметричные части. Сколько плоскостей симметрии имеет куб? Ответы : 2; 4; 5; 6; 9 Зеркальная симметрия в призме 1)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная призма? Ответы: а)2 б)4 в)3 г)5г) д)12 5 2)Сколько плоскостей симметрии имеет прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник? Ответы: б) 3 в)1 г)4 д)8 а)2 б)3 3)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная призма? Ответы: а) 4 б)3 в)1 г)2 д)5 а)4 Симметрия в пирамиде Верно ли высказывание: правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии Задачи 1. Сколько плоскостей симметрии имеет пирамида, в основании которой лежит прямоугольник, ромб? Какое дополнительное условие должно присутствовать в условии задачи, чтобы ваш ответ был верен? Зеркальная симметрия в архитектуре г. Санкт- Петербурга Александринский театр Исаакиевский собор Сколько плоскостей симметрии имеют данные объекты? Улица России имеет плоскость симметрии в общем обзоре, но не все детали в архитектуре зданий симметричны. Зеркальная симметрия Пример зеркальной симметрии Центральный зал станции Зеркально симметричные объекты Центральная симметрия Осевая симметрия Зеркальная симметрия Параллельный перенос Параллельным переносом на вектор р называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М1, что ММ1 =р М1 p М Параллельный перенос C’ C D’ D A’ A B p B’ Параллельный перенос является движением. При параллельном переносе на вектор р любые две точки А и А1 B1 В переходят в точки А1и В1 такие, что АА1 = р и BB1= р. Требуется доказать, что p А1В1=АВ. По правилу треугольника АВ1 = =АА1+А1 В1 В А C другой стороны, АВ1=АВ+ВВ1 (рис. 134, б). Из этих двух равенств получаем АА1+А1В1 = AВ + p, или р+А1В1 =АВ+p, откуда А1B1 =АВ. Следовательно, А1В1=АВ, что и требовалось доказать. Параллельный перенос А1 B1 а А В Наглядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора на его длину. Параллельный перенос различных фигур Параллельный перенос В А Многогранник. Зеркально-осевая симметрия. Куб. Симметрия третьего порядка. Кувшин. Плоская симметричная фигура. Крапива. Винтовая симметрия. Звезда. Симметрия восьмого порядка. Симметрия переноса. Симметрия. Орнамент. 3. Домашнее задание. 1. Движение. Центральная и осевая симметрии. https://edu.skysmart.ru/student/nuxovitohe 2. Зеркальная симметрия. https://edu.skysmart.ru/student/basamehede 3. Параллельный перенос. https://edu.skysmart.ru/student/morisupomi
