MatematikaLappoEGE10kl2017 1

L..
::I:
Л.Д.ЛАППО
М. А. ПОПОВ
_
2017
::I: МАТЕМАТИКА
w
D..
1D..
w
1:::
>­
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
(.)
8
8
8
Структура экзаменационной работы
Тематические блоки заданий
Контрольные тестовые задания
ЕГЭ
СУПЕРТРЕНИНГ
Л. Д. Лаппо, М. А. Попов
МАТЕМАТИКА
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
ТЕМАТИЧЕСКИЕ
ТРЕНИРОВОЧНЬIЕ
ЗАДАНИЯ
Структура экзаменациоиной работы
Тематические блоки заданий
Контрольные тестовые задания
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА, 2017
УДК 372.8:51
ББК 74.262.21
Л24
ЛаппоЛ.Д.
Л24
ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. Тематические тренировочные задания / Л. Д. Лаппо, М. А. Попов. - М. : Издательство «Экзамен», 2017. 55, [1] с. (Серия «ЕГЭ. Супертренинг»)
ISBN 978-5-377-11125-2
Предлагаемое пособие содержит задания, максимально приближенные к реальным экзаменационным
заданиям, но распределенные по тематическим блокам; это даст возможность поэтапно отработать· ту
или иную тему, выявить пробелы и устранить их, обобщить и систематизировать изученное.
В сборнике даны ответы ко всем заданиям. Кроме того, приведены образцы бланков, используемых
на ЕГЭ для записи ответов и решений.
Пособие предназначено учителям для подготовки учащихся к экзамену по математике, а учащимся­
старшеклассникам и выпускникам - для самоподготовки и самоконтроля.
Приказом № 699 Министерства образования и науки Российской Федерации учебные пособия изда­
тельства «Экзамен» допущены к использованию в общеобразовательных организациях.
Удк 372.8:51
ББК 74.262.21
Формат 60х90/8. Гарнитура «Школьная». Бумага газетная.
Уч.-изд. л. 3,33. Усл. печ. л. 7. Тираж 10 ООО экз. Заказ № 2246/16.
ISBN 978-5-377-11125-2
© Лаппо Л. Д., Попов М. А., 2017
© Издательство «ЭКЗАМЕН», 2017
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ .......................................................................................... 5
Задания части 1 ........................................................................................................................................................... 5
Задание 1 ......................................................................................................................................................... 5
Задание 2 ......................................................................................................................................................... 6
Задание
3
.............................................................................................................·12
Задание 4 ....................................................................................................................................................... 16
Задание 5 ....................................................................................................................................................... 17
Задание 6 ....................................................................................................................................................... 18
Задание 7 ....................................................................................................................................................... 21
Задание 8 ...................................................................................................................................................... 25
Задания части 2 ......................................................................................................................................................... 26
Задание 9 ....................................................................................................................................................... 26
Задание 10 ..................................................................................................................................................... 27
Задание 11 ..................................................................................................................................................... 30
Задание 12 ..................................................................................................................................................... 31
Задание 13 ..................................................................................................................................................... 32
Задание 14 ..................................................................................................................................................... 34
Задание 15 ..................................................................................................................................................... 35
Задание 16 ..................................................................................................................................................... 36
Задание 17 ..................................................................................................................................................... 37
Задание 18 ..................................................................................................................................................... 39
Задание 19 ..................................................................................................................................................... 40
КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТОВЬШ ЗАДАНИЯ........................................................................................................... 41
Инструкция по выполнению работы ............................................................................................................. 41
Вариант 1 ....................................................................................................................................................... 42
Вариант 2...................................................................................................................................................... 47
Ответы к тренировочным заданиям .................................................................................................................... 52
Ответы к контрольным тестовым заданиям..................................................................................................... 55
Уважаемые учителя!
Скоро ваши ученики будут сдавать Единый государственный экзамен по математике, и
для того, чтобы они его сдали успешно, нужно заранее к нему подготовиться.
Поможет им в этом наше пособие *Супертренинг>).
Задания в нем максимально приближены к реальным экзаменационным заданиям
2016 года, но распределены по тематическим блокам; это даст возможность поэтапно отрабо­
тать ту или иную тему, выявить пробелы и устранить их, обобщить и систематизировать изу­
ченное.
Кроме того, в пособии представлены общие сведения о Едином государственном экзамене
(структура экзаменационной работы, что должен уметь выпускник средней школы, как оцени­
вается работа) и два варианта контрольного теста с бланками ответов и инструкцией по их за­
полнению. Все это даст возможность лучше подготовиться к предстоящему испытанию.
Желаем вам успехов!
Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1
содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания
повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий высокого уровня сложности с
развёрнутым ответом.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут
(235 минут).
Ответы к заданиям 1-12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дро­
би. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов No 1.
- 1
Ответ: -0,8.
При выполнении заданий 13-19 требуется записать полное решение.и ответ в бланке отве­
тов No 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование
гелевой, капиллярной или перьевой ручек.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учиты­
ваются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выпол­
нить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!
4
ТЕМАТИЧЕСКИЕ
ТРЕНИРОВОЧНЬIЕ ЗАДАНИЯ
Задания части 1
( задание 1
1
Задание 1 проверяет умение использовать
приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни
1.
Пакет сока стоит 48 рублей 50 копеек. Сколько пакетов сока можно
купить на 540 рублей?
■ 1.1
2.
Шариковая ручка стоит 24 рубля. Какое наибольшее число ручек
можно будет купить на 400 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 20% ?
■ 1.2
3.
Цена на набор посуды была понижена на 22% и составила 1716 рублей. Сколько рублей стоил набор посуды до понижения цены?
■ 1.3
4.
В городе N 140 ООО жителей. Среди них 18% детей и подростков
(младше 18 лет). Среди взрослых 40% ходили на выборы мэра города
N. Сколько человек ходили на выборы мэра?
■ 1.4
5.
Таксист за месяц проехал 2300 км. Цена бензина 37 рублей за литр.
Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?
■ 1.5
6.
В летнем лагере 177 детей и 14 воспитателей. В автобус помещается не
более 34 пассажиров. Сколько автобусов потребуется, чтобы перевезти всех детей и воспитателей из лагеря в город?
■ 1.6
7.
Килограмм апельсинов стоит 70 рублей. Андрей купил 1 кг 600 г
апельсинов. Сколько рублей сдачи он должен получить с 200 рублей?
■ 1. 7
8.
Лыжник проехал 5 километров за 24 минуты. Найдите среднюю скорость лыжника на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
■ 1.8
9.
Для приготовления клубничного варенья на 1 кг клубники нужно
1,2 кг сахара. Сколько 500-граммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 31 кг клубники?
■ 1.9
10.
В доме, в котором живет Максим, 9 этажей и несколько подъездов.
Накаждом этаже находится по 4 квартиры. Максим живет в квартире
No 1 77. В каком подъезде живет Максим?
■ 1.10
■ 11. Число сдающих ЕГЭ по математике базового уровня за
10.11
последний год увеличилось втрое. На сколько процентов
увеличилось число сдаю­ щих ЕГЭ по математике базового уровня за
последний год?
■ 12. В одной пачке 500 листов бумаги форматаА4. За неделю в
10.12
офисе рас­ ходуется 1600 листов. Какое наименьшее количество
пачек бумаги требуется купить в офис на 3 недели?
10.13
■
10.14
■ 14. Поезд Москва - Санкт-Петербург отправляется в 22:35, а
13. Брюки стоили 2400 рублей. В ходе сезонной распродажи
эти брюки стали стоить 1800 рублей. На сколько процентов была
снижена цена на брюки?
прибывает в 06:35 на следующий день (время московское). Сколько
часов поезд находится в пути?
■
15.
В летнем лагере на каждого ребенка полагается 40 г
сахара в день. В лагере 120 детей. Какое наименьшее число
килограммовых пачек сахара достаточно для всех детей на неделю?
10.15
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
1
задание 2
1
Задание 2 проверяет умение использовать
приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни
2.1
■ 1.
На графике показано изменение давления в паровой турбине после
запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси орди­
нат - давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут
давление было меньше 5 атмосфер.
)
8
7
6
5
4
Давление пара, атм.
1/ ..........
\
''"""- V
V
3
2
1
Время, мин.
1
2
4
6
8
10
12
!
1
,!
...._
2.
На рисунке показан график изменения температуры воздуха. Скщrько часов температура была ниже 9 градусов?
1
■ 2.2
т, С
0
)
---
14
13
1
12
1
11
1
1о
1
i\.
V
' \\
9
1
81
/
'
7
1
6
- --
........
.,,,,,,,,..
,,,,,,,.
l/
1,,""'
1
5
1
4
2
3.
4
1 ()
R
6
1 ?.
perriя,. чар
.
.
,,,.1R
14
1R
На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в минутах,
на оси ординат - температура в градусах Цельсия. Когда температура достигает определенного значения, кондиционер автоматически
выключается и температура начинает расти. По графику определите,
сколько минут работал кондиционер до первого выключения.
■ 2.3
"т, С
0
1
)
30
1
28
1
26
24
1
22
20
1
18
1
16
14
1
12
i\.
._
1
\.
'"''\
)
""
1
...... 1/
/
/
....
.
1
lo
4.
2
4
6
8
-
мин. ....
•
, ..
1
10
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении
трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 17 мая. Ответ дайте в градусах Цельсия.
.
27 - t С
25
0
23
21
19
,
17
,,
15
13
11
10 с
с
ё
./
сс
,,
f
''
с<?.
(:';!
,-f
16 мая
'
,,
сс
ci,-f ci
с
9.
-
,,1,' "
с
с
(:';!
,-f
ci,-f ci
<?.
17 мая
с
Г"",,,,.
/
f
......
'"'
/
.JII'
с
<?.
с
с
(:';!
,-f
00
с
18мая
9.
,-f
■ 2.4
2.5 ■
5.
На рисунке жирными точками показано суточное количество осад­
ков. выпадавших в Москве с 5 до 18 марта 2016 года. По горизонтали
указываются числа месяца. по вертикали - количество осадков. вы­
павших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности
жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку,
какого числа впервые выпало 3 миллиметра осадков.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
---
\ /
,, /
J-
..
V
1
.........
\
'V
о
5 6 7 8 9 10 1112 1314 15161718
2.6 ■
6.
На диаграмме показано количество посетителей сайта по подготовке к
ЕГЭ во все дни с 10 по 20 сентября 2015 года. По горизонтали указы­
ваются дни месяца. по вертикали - количество посетителей сайта по
подготовке к ЕГЭ за данный день. Определите по диаграмме, во
сколько раз наибольшее количество посетителей данного сайта за
день больше, чем наименьшее количество посетителей за день.
....
,
200 ООО
f-
100 ООО
.
о
10
2.7 ■
7.
n
-- ........
-
,,
-
f. -
111213141516 1718 1920
На диаграмме показано распределение добычи золота в 5 странах ми­
ра (в тысячах тонн) за 2015 год. Какое место занимала Австралия сре­
ди этих стран?
3001--r----.---------250
200
150
100
50
8.
На диаграмме показана среднемесячная температура в Санкт-Петербурге
за все месяцы 2015 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме,
сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала
15 градусов Цельсия.
24,о
20,о
•
16, о
12,о
8,о
4,о
г.:"3;
·•
.
"">
>-:!::·"' -,;]с · •' :с··,
\
-
•.1
;
>:,.. :: :<:: .·, ;_; ,_,..,. . ... .
'• ' ..
0,0
.'
.,.
,,:
.,'' ,, (.,,. ;-
;,
t:.
- - ... .,
т- -4--5--6--7--8--9- 10
\t, /J:,
-4, о
■ 2.8
.,
-
11
fiiJ.
,.-
-8,0
.
-12,о
-16,о
-20,о
-24,..,
9.
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении
трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Определите по
рисунку разницу между наибольшей и наименьшей температурой
воздуха 17 мая. Ответ дайте в градусах Цельсия.
27 t,
■2.9
с
25
23
21
19
,,
17
15
,
13
11
10
с,
-
С>
ё
.....
.../
С)
'?.
(О
-
'-
С)
С)
С)
С)
.С.'.1
.0.0.
16 мая
С)
'?.
С)
,,
,,,,
С)
'?.
(О
f
,,,,
....
С)
'?.
С)
'?.
. .. . .а.с.
С '1
17 мая
'"'
1/
\.
...
......
_,,
.....
С)
'?.
С)
С)
'?.
С)
С)
С)
С>
(О
.С.'.1
.0..0.
С)
'?.
С)
18 мая
1О. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Москве с 5 до 18 марта 2016 года. По горизонтали
указываютсл числа меслца, по нертикади кодичестно осадков,
выпавших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по
рисунку, сколько дней из указанного периода выпадало менее
2 миллиметров осадков.
■2.1 О
9
Осадки, мм
8
7
6
5
4
3
2
J-
/',
j ,,./
/
",
.....--
1
..V
\
\V
МуС.
о
5 6 7 8 9 10 1112 1314 15161718
2.11 ■
,
;•,j,>""x,
r
1
1
1
1
.1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11.
На графике показано изменение давления в паровой турбине после
запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси орди­
нат - давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут
давление было больше 3 атмосфер.
А, Давление пара, атм.
6
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
----- ""'-
1
4
1
3
1
2
1
1
l/
"'
/
1
1
r-,,..,,.
2-
1
1
2.12■
--
-
1
1
,..
Время, мин .
..,,,...
в-
-6-
-4-
1
..........
-10--12
1
1
1
12. На графике показано изменение давления в паровой турбине после
запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси орди­
нат - давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут
давление было меньше 4 атмосфер.
А '
Давление пара, атм.
7
6
-
1
1
5 ----... i'-...
/"
4
1
'з
1
2
1
1
V
"
......_
..---
Время, мин...
.
,,,...
r--4- -6- -81
1
10
-10--12
1
1
1
13.
На рисунке показан график изменения температуры воздуха. Сколькочасов температура была ниже 26 градусов?
Т,
о
с
■ 2.13
.4
1
29
1
28
27
26
25
24
23
22
21
1
-----...
'
1
1
1
-
V
,,,..,-
/
-
-
1
1
1
вrемя, часьс
2
14.
4
8
6
10
12
i
14
,,,.
На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат - температура в градусах Цельсия. Когда тем­
пература
достигает
определенного
значения,
кондиционер
автоматически выключается и температура начинает расти. По графику определите, сколько минут работал кондиционер до первого
выключения.
■ 2.14
т, р
о
1
29
28
26
24
22
2о
1
1
1
1
1
18
16
14
lа
\
'
l/
\
'
_,,.,,,,. V
.......
-......... r--,... .
1
1
о
21
15.
�в--в-
-41
r
1
мин...._
,,,.
10- -12
1
1
На графике показано изменение температуры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат - температура в градусах Цельсия. Когда тем­
пература
достигает
определенного
значения,
кондиционер
автоматически выключается и температура начинает расти. По гра11
■ 2.15
фику определите, сколько минут работал кондиционер до первого
выключения.
Т, С
0
1
.н
1
32
3о
1
1
28
1
26
1
24
'
""'' -'-
""' '
1
22
1
о
r,,.,._
2
1
118
16
14
/
1/
)\
/ \.
1
о
.-
мин . ,.,..
2-
1--4-1-6- ,_g_ '-10-L-12
1
1
1
1
-,
1
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
f
задание
з
1
Задание З проверяет умение выполнять действия
с геометрическими фигурами, координатами и векторами
3.1
■ 1.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге
с размером клетки 1 смх 1 см {см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
3.2
■ 2.
Найдите площадь пятиугольника, изображенного на клетчатой бума­
ге с размером клетки 1 смх 1 см {см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
12
3.
Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты
(2; 2), (7; 2), (6; 4), (4; 4).
■ 3.3
у
о
4.
h
-------М .
:
2
6
4
7 х
■ 3.4
Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 8.
в[Z]с
А
D
5.
айдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 14 и
20, а угол между ними равен 150°.
■ 3.5
6.
Площадь параллелограммаАВСD равна 219, точка Е роныАВ. Найдите площадь трапеции BCDE.
• 3.6
13
середина сто-
3. 7 ■
7.
Найдите площадь сектора круга радиуса
}х, центральный угол ко­
торого равен 36°.
3.8
■
8.
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 8.
-==:]
D
3.9
■
9.
Найдите площадь семиугольника, если его периметр равен 20, а ради­
ус вписанной в этот семиугольник окружности равен 2.
в
3.10
■
-
-
1О. В ромбе АВСD АС= 12; BD = 5. Найдите длину вектора AD - BD .
-==:]
D
3.11 ■ 11. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен па­
раллелограмм (см. рис.). Найдите его площадь в·квадратных санти­
метрах.
14
12.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен ромб
(см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
13.
Найдите площадь прямоугольника, вершины которого заданы
координатами в декартовой системе координат А(-2; О); В(О; -2);
С(-3; -5); D(-5; -3).
■ 3.12
1
■ 3.13
у
А
1
х
1
в
D
с
14.
■ 3.14
Найдите тангенс углаАОВ.
А
о
15.
в
Найдите длину вектора АВ с началом A(l; 2) и концом В(4; 6) .
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
15
■ 3.15
1
задание 4
1
Задание 4 проверяет умение строить и исследовать
простейшие математические модели
4.1 ■ 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите ве­
роятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до
сотых.
4.2
■ 2.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза.
Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы 1 раз.
4.3
■
з.
Завод выпускает холодильники. В среднем на 1000 качественных хо­
лодильников приходится 89 холодильников со скрытыми дефектами.
Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется ка­
чественным. Результат округлите до сотых.
4.4
■ 4.
4.5
■ 5.
Стрелок стреляет в мишень 3 раза. Вероятность попадания при каж­
дом выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что- стрелок про­
махнется все 3 раза.
4.6
■ 6.
В городе N есть три фабрики, выпускающие автомобильные шины.
Первая фабрика выпускает 30% этих шин, вторая 45%, третья 25% . Первая фабрика выпускает 3% бракованных шин, вторая 6%, третья -1 % . Найдите вероятность того, что случайно купленная
в магазине шина не окажется бракованной.
В сборнике билетов по геометрии всего 64 билета, в 16 из них встреча­
ется вопрос по теме «Треугольники». Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
вопрос по теме <<Треугольники».
4.7 ■ 7.
Вероятность того, что новый телевизор прослужит больше 5 лет, рав­
на 0,92. Вероятность того, что он прослужит больше 10 лет, равна
0,39. Найдите вероятность того, что он прослужит больше 5 лет, но не
больше 10.
4.8 ■ 8.
Какова вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число
делится нацело на 195? Ответ округлите до тысячных. -
4.9 ■ 9.
Игральный кубик бросают трижды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию А= {сумма очков не более 6}?
4.10 ■ 10. В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в те­
чение года равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение года хо­
тя бы одна лампа не перегорит.
16
11.
Найдите вероятность того, что при рассадке случайным образом за
круглым столом группы, состоящей из 7 мальчиков и 2 девочек, девочки не будут сидеть рядом.
■ 4.11
12.
Доля брака при производстве часов составляет 0,4%. Найдите вероятность того, что только что купленные часы окажутся исправными.
■ 4.12
13.
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите
до сотых.
■ 4.13
14.
В партии из 500 компьютеров оказалось 8 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?
■ 4.14
15.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найти вероятность того, что орел выпадет два раза.
1
■ 4.15
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
1
Задание 5
1
Задание 5 проверяет умение
решать уравнения и неравенства
1.
Решите уравнение log2(x-4) = 3.
■ 5.1
2.
Решите уравнение log7(1-2x) = log713.
■ 5.2
з.
Решите уравнение 35х-1 =27.
■ 5.3
4.
Решите уравнение
(!(2х -_64.
■ 5.4
4
■ 5.5
= (-1-(
289
.
5.
Решите уравнение 172х+3
6.
1
18
Решите уравнение -24х=-5·
■ 5.6
7.
Решите уравнение2х-3 = 13 .
■ 5.7
8.
Решите уравнение 3-27х =12.
■ 5.8
17
5.9■
----а•
5.1О ■
:...;,:.•;;.;.;.':fB..:;;;;s:a:.:..; ;i;:,
9.
Решите уравнение
1
1
17х-14
16х+32
1 О. Решите уравнение (2х -1)2 = (1- х )2 • Если уравнение имеет более oд­
ного корня, укажите меньший
из
½)
2
l- x
них.
5.11 ■
11.
Найдите корень уравнения {
5.12 ■
12.
Найдите корень уравнения log11 (3-х) = 2log113.
5.13
■ 13.
Решите уравнение 510g25(4х-7) = 11.
5.14
■ 14.
Решите уравнение cos
= О,5 . В ответ запишите наибольший от-
3
рицательный корень.
)1
5.15
тт(х-1)
=1 .
■ 15.
Решите уравнение .Jх + 2 = -х . Если уравнение имеет более одного
корня, в ответ запишите больший из них.
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
l
1
задание 6
Задание б проверяет умение
выполнять действия с геометрическими
фигурами, координатами и векторами
6.1
■ 1.
i
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С АВ =ffi,
sinA =
Ь. Найдите АС.
'174
в
А
6.2
■ 2.
с
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым
углом С sinВ
{[°.Найдите 7cos В.
2
18
в
3.
высота,
■ 6.3
В треугольнике АВС АС = ВС = 1О, АВ = 16. Найдите тангенс внешнего угла при вершине В.
■ 6.4
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С СН sinВ= ,ГБ,АС=4.Найдите 2 5АН.
в
4.
А
5.
В
В параллелограмме АВСD высота, опущенная на сторону АВ, равна
12,AD = 13. Найдите 13 sinВ.
А
6.
■ 6.5
D
Основания равнобедренной трапеции равны 114 и 186. Высота трапеции равна 45. Найдите котангенс острого угла трапеции.
■ 6.6
л, ---\
в
А
7.
с
Н
D
Найдите синус угла АОВ. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 1 72 .
_:
D/
V
-
rO/
/
V
А
19
■ 6.7
6.8■
8.
Один из углов равнобедренного треугольника равен 176°. Найдите
один из двух других его углов. Ответ дайте в градусах.
в
А
6.9 ■
9.
1
С
Найдите меньший угол параллелограмма, если два его угла относятся
как 13: 23. Ответ дайте в градусах.
6.1 О■ 1 О. Центральный угол на 62° больше острого вписанного угла, опираю­
щегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ
дайте в градусах.
6.11 ■
11.
2
В треугольнике АВС угол В равен 90°, sin А =
3.
2 , АВ
3
Найдите АС.
6.12 ■
12.
В треугольнике АВС угол А
равен 90°,
sin С =
f,
АС
5.
НайдитеВС.
6.13 ■
13.
в
треугольнике
угол
с
3
равен
90°,
cosA= '
треугольнике АВС
угол
с равен
Найдите синус внешнего угла при вершине А.
90°,
sinA=0,56.
АВС
34.
Найдите ctg А .
в
6.14 ■
14.
6.15 ■
15. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
со стороной 4 3 .
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
20
l
1
задание 7
Задание 7 проверяет умение
выполнять действия с функциями
1.
Материальная
точка
движется
прямолинейно
по
закону
2
х(t) = 5t -13t +37, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах (измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 5 с.
■ 7 .1
2.
Прямая у = 2х + 1 является касательной к графику функции
х2 - 2х - с. Найдите с.
■ 7 .2
3.
Функция у= f(x) определена на отрезке [-4; 3].Нарисунке изображен
график производной функции у= f'(x). В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение?
■ 7.3
у
1
-4
1
о
3
х
4.
Прямая у= 2х-1 параллельна касательной к графику функции
2
у = х - х - 2 . Найдите абсциссу точки касания-.
■ 7.4
5.
На рисунке изображены график функции у= f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0 • Найдите f'(x0) •
■ 7 .5
ун.
\
'l
;, ----... 1
1
.,,.,.,,
\.L
Хо \
о
х
21
7.6
■ 6.
На рисунке изображен график функции у = f (х). Найдите среди точек
х1, х2, х3 и х4 те, в которых производная функции у= f(x) положи­
тельна. В ответ запишите количество найдеННЬJХ точек.
у
7.7
■ 7.
На рисунке изображен график функции у f(x) и касательная к нему
в точке с абсциссой х0• Найдите значение производной f'(x) в точке х0•
у�,
J
у= f(x) f
/
/
1
о
7.8
■ 8.
'
-- ---,
/
j
-....-
lf
Jfi
,:
1
J
/
1
!
Хо
...,,,,.
х
На рисунке изображен график первообразной у= F(x) некоторой функ­
ции у= f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком,
определите количество нулей функции f(x) на данном интервале.
у
х
22
9.
На рисунке изображен график производной функции у= f(x), определенной на промежутке (-4; 5).Найдите количество точек экстремума функции у = f (х) .
■ 7.9
ун.
.,.v
i--
о
-4 V
.,/
,._
",-... -r
, ,
х
5
--t'--C)
1 О. На рисунке изображен график функции у = f(x) и отмечены точки
-3, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
■ 7 .1 О
у
х
11.
Прямая
параллельна касательной к графику функции
у =1-х
■ 7.11
у= 2х -3х-4. Найдите абсциссу точки касания.
2
12.
На рисунке изображен график функции у= f(x) и касательная к нему
в точке с абсциссой х0• Найдите значение производной f'(x) в точке х0•
у;
1
у=
....,i.,,o
1"
1/
/)уV
V
1
1
f{x) -
V
..
1,,
�V
i,
1-
1
о
171
i,...- i.--
V
1
[/
1/
1
1
1
.
1
J
,
Хо
,._
х
23
■ 7.12
7.13 ■ 13. На рисунке изображен график производной функции у= f(x), опре­
деленной на промежутке (-4; 3). Найдите количество точек экстрему­
ма функции у= f(x).
У
\
'
..._,_,. ./,
-4'
,з
,,.,, ,,о
..
,...
х
,">
7.14 ■ 14. На рисунке изображен график функции у= f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой х0• Найдите значение производной f'(x) в
точке х0•
у.1
'
,r
"
\
\
, ', .. 1'\.
"
...
- ,..... у=
1
о
1
l
.'
' "'
j(x)
l
1
Хо
",.'.
['
х
7.15 ■ 15. На рисунке изображен график производной функции у = f(x) , опре­
деленной на промежутке (-3; 4).Найдите точку максимума функции
у= f(x).
yJ,
Г\
--''\
/
1
-3
\
,
о""""V
х
..
4
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
24
l
задание
а
1
Задание В проверяет умение
выполнять действия с геометрическими фигурами,
координатами и векторами
1.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен 108. Чему будет равен
объем параллелепипеда, если каждое его ребро уменьшить в три раза?
■ 8.1
2.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем
конуса, если объем цилиндра равен 0,6.
■ 8.2
З.
Площадь поверхности куба равна 242. Найдите его ди ональ.
■ 8.3
4.
Уровень жидкости в цилиндрическом сосуде достигает 180 см. На ка­
кой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить в
другой цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза
больше диаметра первого? Ответ выразите в см.
■ 8.4
5.
Во сколько раз увеличится объем шара, если его диаметр увеличить в
5раз?
■ 8.5
6.
В конусе проведено два сечения плоскостями, параллельными плоскости основания конуса. Точками пере­
сечения данных плоскостей с высотой конуса она де­
лится на 3 равных отрезка. Найдите объем средней
части конуса, если объем нижней части равен 38.
■ 8.6
7.
Во сколько раз уменьшится площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 6 раз?
■ 8. 7
8.
Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит
квадрат, равен 16 см3• У второго прямоугольного параллелепипеда, в
основании которого тоже лежит квадрат, высота в четыре раза меньше, а ребро основания в два раза больше, чем у первого. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда (в кубических санти­
метрах).
■ 8.8
9.
Объем прямоугольного параллелепипеда AВCDA1B1C1D1 равен 666.
Найдите объем пирамиды D1ACD.
■ 8.9
10.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания равна 3 , боковое ребро равно 2 3 . Найдите объем пирамиды МАВС,
если точка М - середина ребраАА1•
■ 8.10
11.
Во сколько раз увеличится диагональ куба, если его ребра увеличить в
10 раз?
■ 8.11
25
8.12 ■
..:.:.:.:it·..:.:.:.,;%g..:.:.:./-....:."..:.:.:.'
12.
:,..:.:.:.;iJ == i
Высота конуса равна 12, а длина образующей - 15. Найдите диаметр
основания конуса.
1
8.13 ■
13.
В куб вписан шар, площадь поверхности которого равна 4тт. Найдите
объем куба.
8.14
■
14.
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если стороны ее
основания равны 6, а объем равен 3 3.
8.15
■
15.
Конус вписан в шар. Объем шара равен 14. Найдите объем конуса, ес­
ли известно, что радиус основания конуса равен радиусу шара.
1
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
Задания части 2
· Задание 9
Задание 9 проверяет умение
выполнять вычисления и преобразования
■
1.
Найдите значение выражения log2 76,8-log2 2,4.
9.2 ■
2.
-н аи дите значение выражения 3- 118
оgз6
9.3■
3.
Наидите значение выражения
9.1
1
u
u
•
(3 5}2
25
9.4■
4.
Наи дите значение выражения 23-7· 2 ·sз
9.5■
5.
Найдите значение выражения
9.6■
6.
Найдите значение выраж ния 3
9.7 ■
7.
log3 74
Найдите значение выражения 1og27 74 ·
9.8■
8.
7 2
u
1
21 sin 113°cos113°
sin226o
2+log916
•
3тт
тт
Найдите значение выражения tg8·tg8+ 1 ·
26
30
9.
Найдите значение выражения
1О. Найдите значение
а Е [3; 4].
(
)
■ 9.9
90
выражения
а2 -4а + 4 + а2 -10а + 25
при
■ 9.1 О
11.
Вычислите значение выражения З10g916 -2.
■ 9.11
12.
Найдите значение выражения (3,2-¾):280-1.
■ 9.12
13.
"
1og 375-log517-log5 3
На идите значение выражения 2 17
.
■ 9.13
14.
Найдите значение выражения -4cos(-240°)sin30°.
■ 9.14
15.
Найдите значение выражения
х11-х-4
х8
при х = О, 4 .
■ 9.15
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
l
задание 1о
J
Задание 10 проверяет умение использовать
приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни
1.
Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию некоторого предприятия от цены р (тыс. руб.) задается формулой
q = 100-lOp. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r = q· р. Определите наибольшую цену р, при которой
месячная выручка составит не менее 160 тыс. руб. Ответ приведите в
тыс. руб.
■ 10.1
2.
Камень брошен вниз с высоты 4 м. Высота h (в метрах), на которой
находится камень во время падения, зависит от времени t (в секундах): h(t) =4-3t-t2• Сколько секунд камень будет падать?
■ 10.2
27
10.3 ■
з.
Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой
находится камень (пока он не упал на землю), от времени описывает­
ся формулой h(t) = -t2 + 6t (h - высота в метрах, t - время в секун­
дах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень
находился на высоте выше 8 метров.
10.4 ■
4.
При температуре О 0С рельс имеет длину l 0 = 8 м. При возрастании
температуры прьисходит тепловое расширение рельса и его длина,
выраженная в метрах, меняется по закону l( t0) ="lo (1+а· t0) , где
коэффициент теплового расширения, t0 темпе­
ратура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится
на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
а= 1,2.10-5
10.5
■ 5.
(0С)- 1
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью
и0 = 30 м/с, начал торможение с пос оянным ускорением а= 6 м/с2• За t
·
at2
секунд после начала торможения он проходит путь S = u0t(м). Оп-
2
ределите время, прошедшее от начала торможения, если известно, что за
это время автомобиль проехал 48 метров. Ответ выразите в секундах.
10.6 ■
6.
Сила тока в цепи J (в амперах) определяется по закону Ома: J = ,
где И - напряжение в цепи вольтах, R - сопротивление электро­
прибора в омах. В электросеть включен предохранитель, который
плавится, если сила тока превышает 8А. Определите, какое наи­
меньшее сопротивление должно быть у электроприбора, подключае­
мого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ
выразите в омах.
10.7 ■
10.8
7.
Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию неко­
торого предприятия от цены р (тыс. руб.) задается формулой
q = 150 - l0p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычис­
ляется по формуле r = q · р. Определите наибольшую цену р, при ко­
торой месячная выручка составит не менее 560 тыс. руб. Ответ при­
ведите в тыс. руб.
■ 8.
При температуре О 0С рельс имеет длину l0 = 10 м. При возрастании
температуры происходит тепловое расширение рельса и его длина,
0
выраженная в метрах, меняется по закону l(t0 =
) "lo(l +а· t
),
где а= 1,2·10-5 (0С)-1 - коэффициент теплового расширения, t0 температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс уд­
линится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
10.9 ■
9.
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоро­
стью и0 = 20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением
а= 4 м/с2• За t секунд после начала торможения он проходит путь
28
2
(м). Определите время, прошедшее от начала торможе2
ния, если известно, что за это время автомобиль проехал 32 метра.
Ответ выразите в секундах.
S
= v t- at
0
и
1 О. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется по закону Ома: I =R ,
■ 10.1О
где И - напряжение в цепи в вольтах, R - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который
плавится, если сила тока превышает 16А. Определите, какое наименьшее сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ
выразите в омах.
11. Камень брошен вниз с высоты 21 м. Высота h (в метрах), на которой ■ 10.11
находится камень во время падения, зависит от времени t (в секундах): h(t) = 21- 4t - t2• Сколько секунд камень будет падать?
12. Камень брошен вниз с высоты 10 м. Высота h (в метрах), на которой ■ 10.12
находится камень во время падения, зависит от времени t (в секундах): h(t) = 10-9t-t2• Сколько секунд камень будет падать?
13. Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой ■ 10.13
находится камень (пока он не упал на землю), от времени описывается формулой h(t) = -t2 + 3t (h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень
находился на высоте выше 2 метров.
■ 10.14
14.
Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой
находится камень (пока он не упал на землю), от времени описывается формулой h(t) = -t2 + 9t (h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень
находился на высоте выше 18 метров.
15.
Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой ■ 10.15
находится камень (пока он не упал на землю), от времени описывается формулой h(t) = -t2 + llt (h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее от момента броска). Найдите, сколько секунд камень
находился на высоте выше 30 метров.
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
29
1 задание 11 1
Задание 11 проверяет умение строить и исследовать
простейшие математические модели
11.1 ■
1.
Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из В в А
выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через 2 часа после
встречи, а автомобилист в А через 30 минут после встречи. Сколько
часов был в пути мотоциклист?
11.2 ■ 2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 120 км/ч, проезжает мимо
платформы, длина которой 300 м, за 15 с. Найдите длину поезда
(в метрах).
11.3 ■ 3.
Заказ в 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем
второй рабочий. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если
известно, что он за час делает на 3 детали меньше?
11.4 ■ 4. В сосуд, содержащий 8 литров 10-процентного водного раствора неко­
торого вещества, добавили 2 литра воды. Какова концентрация полу­
чившегося раствора? Ответ дайте в процентах.
11.5 ■
5. ,
Автомобиль двигался половину времени со скоростью 80 км/ч, а вто­
рую половину времени - со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на всем пути. Ответ дайте в км/ч.
6.
3 килограмма яблок стоят столько же, сколько 4 килограмма бананов.
На сколько процентов 1О килограммов бананов дешевле 1О кило­
граммов яблок?
7.
Из двух поселков, расстояние между которыми равно 20 км, навстре­
чу друг другу вышли два пешехода. Через сколько часов они встре­
тятся, если их скорости равны 3,5 км/ч и 4,5 км/ч?
11.8 ■
8.
Моторная лодка прошла против течения 24 км и вернулась обратно,
затратив на обратный путь на 1 час меньше, чем при движении против
течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде, если
скорость течения равна 2 км/ч.
11.9 ■
9.
Автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 40 км/ч, авто­
рую половину пути - со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю ско­
рость движения автомобиля на всем пути. Ответ дайте в километрах
в час.
11.6 ■
11.7 ■
t
11
j
11.1О■ 1О. Андрей при подготовке к ЕГЭ поставил себе задачу - решать каждый
день на 5 задач больше, чем в предыдущий. За первый день он решил
7 задач, а за последний - 37 задач. Сколько задач он решил всего?
30
11.
Моторная лодка прошла против течения 48 км и вернулась обратно,
затратив на обратный путь на 8 часов меньше, чем при движении про­
тив течения. Найдите скорость (в км/ч) лодки в неподвижной воде,
если скорость течения равна 4 км/ч.
■ 11.11
1
12.
Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист и одновременно из В в А
выехал автомобилист. Мотоциклист прибыл в В через 3 часа после
встречи, а автомобилист в А через 45 минут после встречи. Сколько
часов был в пути мотоциклист?
■ 11.12
13.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо
платформы, длина которой 200 м, за 30 с. Найдите длину поезда
(в метрах).
■ 11.13
14.
Заказ в 130 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем
второй рабочий. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если
известно, что он за час делает на 3 детали больше?
■ 11.14
15.
Бригада рабочих должна изготовить 300 деталей. Изготавливая ежедневно на 10 деталей больше, чем предполагалось по плану, бригада
выполнила задание на пять дней раньше срока. Сколько дней бригада
затратила на выполнение задания?
■ 11.15
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
l
задание 12
1
Задание 12 проверяет умение
выполнять действия с функциями
1.
Найдите наименьшее значение функции е4х -5е2х +11 на отрезке
[О; 2].
■ 12.1
2.
Найдите наибольшее значение функции х5 -3х3 + 4х на отрезке
[-3; -1].
■ 12.2
3.
Найдите наименьшее значение функции у=(х -1 l)ex-lO на отрезке
[9; 14].
■ 12.3
= 27х -13 sin х +11 на отрез-
■ 12.4
Найдите наименьшее значение функции у= 7x-7ln(x+5)+3,8 на отрезке [-4,9; О].
■ 12.5
4.
5.
Найдите наибольшее значение функции у
· ке [-4п; О].
31
12.6 ■
6.
Найдите точку максимума функции у
12.7 ■
7.
Найдите точку минимума функции у = 2х3 -бх +194 .
12.8
■ 8.
12.9 ■
12.10 ■
1
12.11 ■
...-,:./_i
---, ч-
f
5
= х2 - х +11 .
х2 +576
х
Найдите точку максимума функции у
10.
Найдите наибольшее значение функции log9(2-x2 +2х)+4.
11.
Найдите точку максимума функции у = 2t3 -15t2 + 24t -1 .
12.
н;
-,4,7f-1!!!!!!!!!!11!!!
12.13■
Найдите точку минимума функции у
+ 4)2 е2-х•
9.
1
12.12 ■
=(х
=
Найдите наименьшее значение функции
у
tg х +1 на отрезке
= 4х -4
оJ-
13.
Найдите точку минимума функции
12.14■
14.
Найдите точку максимума функции у= (2х +1)е1-х
12.15■
15.
Найдите точку максимума функции у= ln(x + 3)-2х + 43 .
1
! !ltl
11
у
= (х +б)ех-5
•
•
Если вы успешно выполнили двенадцать из пятнадцати заданий, то
такой результат является удовлетворительным.
Задание 13
Задание 13 проверяет умение
решать уравнения и неравенства
13.1 ■
1.
а) Решите уравнение 2log:(2sinx)-7log2 (2sinx)+3 = О.
7
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 21t; ;].
13.2 ■ _ 2.
а) Решите уравнение sin 2х
= cos(
i"-х)
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[-п; о].
32
3.
а) Решите уравнение tg х +ctg х = 2 .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[ п; 3п].
■ 13.3
4.
а) Решите уравнение sin 2 х -3 sin х cos х + 2cos2 х = О.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
■ 13.4
[О; 2п].
5.
а) Решите уравнение sin2
х = 5cos( 5 1-t
х).
2
r::::=:::JIIII
■ 13.5
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[О; 5п].
6.
1
а) Решите уравнение -.- - -1- ctgх = О.
s1n2 х
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[-f;
■ 13.6
н
7.
а) Решите уравнение 3х + 2·3-х-2 =1.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[-5,5;-1].
■ 13. 7
8.
а) Решите уравнение 7sin3x .32sin3x =63cos3x.
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежут-
■ 13.8
ку
9.
[-f; f J
а) Решите уравнение 2sin 2
х =../3сов( 5 12+t х).
■ 13.9
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку
10.
(-1t; f
J
а) Решите уравнение log2016(sinx +3 cosx + 2016) =1.
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие промежутку (- 431t ; 231t] .
Если вы успешно выполнили семь из десяти заданий, то такой резуль­
тат является удовлетворительным.
33
■ 13.10
1
задание 14
1
Задание 14 проверяет умение выполнять действия
с геометрическими фигурами, координатами и векторами
14.1 ■
1.
В кубе АВСDА1ВС1D1 сторона основания равна 5.
а) Постройте линейный угол двугранного угла между плоскостями
АВD и CAD1•
б) Найдите тангенс этого угла.
14.2■
2.
В единичном кубе АВСDА1ВС1D1
а) Опустите перпендикуляр из точки D на плоскость CAD1•
б) Найдите его длину.
14.3■
3.
В единичном кубе АВСDА1ВС1D1 найдите расстояние между прямы­
ми АD и СА1.
14.4■
4.
В правильной треугольной призме АВСА1ВС1 , все ребра которой рав­
ны 1
а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1•
б) Найдите косинус этого угла.
14.5 ■
14.6■
i
5.
1
6.
В правильной треугольной призме АВСА1ВС1 , стороны основания
которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между пря­
мыми АА1 и ВС1 •
Сторона основания правильной треугольной призмыАВСА1В1С1 равна
2-.Jiз, а диагональ боковой грани равна 13.
а) Постройте линейный угол двугранного угла
С1АВ и плоскостью основания призмы.
б) Найдите величину этого угла.
между плоскостью
14.7 ■
7.
Высота прямой призмыАВСА1В1С1равна 4. Основание призмы - тре­
угольникАВС, в которомАВ = ВС, АС= 6, tgA = 0,5. Найдите тангенс
угла между прямойА1В и плоскостьюАСС1•
14.8 ■
8.
В шаре проведено два сечения параллельными плоскостями, причем
одно из них проходит через центр шара. Расстояние между плоско­
стями равно 3, а площадь меньшего сечения равна 16n. Найдите
площадь поверхности шара.
14.9 ■
9.
В правильной шестиугольной пирамиде SAВCDEF со стороной основа­
ния 2 и боковым ребром 3 точка М делит ребро SD в отношении 1 : 2
(считая от вершины S).
а) Постройте угол между прямой ВМ и плоскостьюАЕС.
б) Найдите величину этого угла.
34
10.
В правильной шестиугольной призме АВ•.•Е1F1 со стороной основания
4 ибоковым ребром 2
■ 14.10
а) Опустите перпендикуляр из точки С на прямую E1F1•
6) Найдите его длину.
Если вы успешно выполнили семь из десяти заданий, то такой резуль­
тат является удовлетворительным.
1 Задание 15 1
Задание 15 проверяет умение
решать уравнения и неравенства
gx _5.3х +3
3x+log35 -27
1.
Решите неравенство:
2.
1-log2{2x2-9x+9)
Решите неравенство:
- >О.
log ( х+В)
3х_4
+
3х_6
3х +4.
■ 15.1
■
15.2
3
logx(x-3)
з.
Решите неравенство:
4.
Решите неравенство: 3х-
5.
Решите неравенство:
6.
Решите неравенство: log 2 ( х - 3)2 + log 0, 5 { х2 - 9) <1.
■ 15.6
7.
Решите неравенство2
: 5-x2 logx+5 2 О.
■ 15.7
8.
Решите неравенство: log .
■ 15.8
■ 15.3
logx 2( 5-х ) -1- >О.
2
,J4-
2
+3х- 2 +3х -3 < 12{ xJ2
х
-121 х .
■ 15.4
х2 {4+5х + х2)
■ 15.5
2l
3(
х-1)
36
О.
( 1 )-24
< 12.
+ log! х _1
3
9.
2
Решите неравенство: х -1 ' 5х-1 < О
log
1 О. Решите неравенство: log{х2
2
-
lxl
■ 15.9
·
■ 15.10
24) > О.
35
1
Задание 16
1
Задание 16 проверяет умение выполнять действия
с геометрическими фигурами, координатами и векторами
16.1 ■
1.
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами
АВ = 2;АС = 6 вписан квадратАDЕF.
а) Докажите, что треугольники BDE и EFC подобны.
б) Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадра­
таАDЕF.
16.2 ■
2.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС (с осно­
ванием АС), касается его боковых сторон в точках М и N. Точка М де­
лит боковую сторону на отрезки 18 и 12, считая от основания тре­
угольника АВС.
а) Докажите, что треугольники MBN иАВС подобны.
б) Найдите отношение площадей треугольника М BN и трапеции
АМNС.
16. З ■
З.
Вневписанная в треугольник АВС окружность касается его боковой
стороны и продолжения основания АС.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте ВН треуголь­
никаАВС.
б) Найдите площадь ЛАВС, если радиус окружности равен 4, а
АС-АВ =30.
16.4 ■
4.
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами
АВ = 3; АС= 5 вписан квадрат ADEF.
а) Докажите, что треугольники BDE и EFC подобны.
б) Найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадра­
та АDЕF.
16.5 ■
5.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС (с осно­
ванием АС), касается его боковых сторон в точках М и N. Точка М де­
лит боковую сторону на отрезки 1О и 7, считая от основания треуголь­
ника АБС.
а) Докажите, что треугольники МBN и АВС подобны.
б) Найдите отношение площадей треугольника М BN и трапеции
АМNС.
16.6 ■
6.
Вневписанная в треугольник АВС окружность касаетс_я его боковой
стороны и продолжения основания АС.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте ВН треуголь­
никаАВС.
б) Найдите площадь ЛАВС, если радиус окружности равен 8, а
АС ·АВ = 120.
36
7.
Две окружности касаются внешним образом в точке L. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй - в точке В. Прямая BL
пересекает первую·окружность в точке D, прямая AL пересекает вторую окружность в точке С.
■ 1 &.7
а) Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника ALB, если известно, что радиусы
окружностей равны 8 и 2.
8.
В треугольник АВС вписана окружность радиуса r, касающаяся сто­
роны АС в точке D, причем AD = r.
■ 16.8
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон АВ и ВС в точках М и N. Най­
дите площадь треугольника BMN, если известно, что r = 1 и CD = 3.
9.
Две окружности касаются внешним образом в точке L. ПрямаяАВ касается первой окружности в точке А, а второй - в точке В. Прямая BL
пересекает первую окружность в точке D, прямая AL пересекает вторую окружность в точке С.
■ 16.9
а) Докажите, что прямые AD и ВС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника ALB, если известно, что радиусы
окружностей равны 1,25 и 5.
1О. В треугольник АВС вписана окружность радиуса r, касающаяся стороныАС в точке D, причем AD = r.
■ 16.1О
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон АВ и ВС в точках М и N.
Найдите площадь четырехугодьника АМNС, если известно, что
r=2иCD=6.
f
задание 17
1
Задание 17 проверяет умение использовать
приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни
1.
15 декабря 2015 года Андрей взял в банке 108 500 рублей в кредит под
17% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 15 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Андрей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма
Х, чтобы Андрей выплатил долг целиком двумя равными платежами?
■ 17.1
2.
12 ноября 2015 года Дмитрий взял в банке 1 803 050 рублей в кредит
под 19% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 12 ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся
сумму долга, затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг целиком тремя равными платежами?
■ 17.2
37
17. З■
З.
17 декабря 2015 года Анна взяла в банке 232 050 рублей в кредит под
10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 17 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга,
затем Анна переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х,
чтобы Анна выплатила долг целиком четырьмя равными платежами?
17.4 ■
4.
1 февраля 2016 года Андрей Петрович взял в банке 1,6 млн рублей в
кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого сле­
дующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга, за­
тем Андрей Петрович переводит в банк платеж. На какое минималь­
ное количество ме яцев Андрей Петрович должен взять кредит, чтобы
ежемесячные выплаты не превышали 350 тыс. рублей?
17.5 ■
5.
Иван хочет взять в кредит 1 млн рублей. Погашение кредита проис­
ходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) по­
сле начисления процентов. Процентная ставка 10% годовых. На ка­
кое минимальное количество лет Иван может взять кредит, чтобы
ежегодные выплаты не превышали 250 тысяч рублей?
17.6 ■
6.
18 декабря 2015 года Андрей взял в банке 85 400 рублей в кредит под
13,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 18 декабря каждо­
го следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму дол­
га, затем Андрей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма
Х, чтобы Андрей выплатил долг целиком двумя равными платежами?
17.7 ■
7.
Лев взял кредит в банке на срок 40 месяцев. По договору Лев должен
вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к
оставшейся сумме долга добавляется р% этой суммы, затем следует
платеж Льва. Ежемесячные платежи подбираются таким образом,
чтобы долг уменьшался равномерно. Известно, что наибольший пла­
теж Льва был в 25 раз меньше первоначальной суммы долга. Найдите р.
17.8
■ 8.
На первый курс на специальность tОборудование и машины)) посту­
пило 46 человек: 34 мальчика и 12 девочек. Их распределяют по двум
группам численностью 22 и 24 человека, причем в каждой группе
должна учиться по крайней мере одна девочка. Каким должно быть
распределение по группам, чтобы сумма чисел, равных процентам де­
вочек в первой и второй группах, была наибольшей?
17.9
■
В мае 2017 года планируется взять кредит в банке на шесть лет в раз­
мере S млн рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый декабрь каждого года долг возрастает на 10%;
- с января по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в мае 2018, 2019 и 2020 годов долг остается равным S млн рублей;
- выплаты в 2021, 2022 и 2023 годах равны между собой;
- к маю 2023 года долг будет выплачен полностью.
Найдите наименьшее целое S, при котором общая сумма выплат не
превысит 13 млн рублей.
9.
38
10.
■ 17.10
По вкладу «Классика банк в конце каждого года планирует начислять 12% годовых, а по вкладу <<Бонус - увеличивать сумму вклада
на 7% в первый год и на одинаковое целое число п процентов в последующие годы. Найдите наименьшее значение п, при котором за 4 года
хранения вклад <<Бонус окажется выгоднее вклада «Классика>> при
равных суммах первоначальных взносов.
1 Задание
18
1
Задание 18 проверяет умение
решать уравнения и неравенства
1.
■ 18.1
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
ах+ .J-15- 8х- х2 = 4а + 1 имеет единственный корень.
2.
1: - 31 = 2ах
з.
- 2 имеет на промежутке (О; +оо) единственный корень.
■ 18.3
Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств
х +у+2 г О
{ х2 + 4х + у2 + 4у
4.
■ 18.2
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
а2 - 8
имеет бесконечное множество решений.
При каких значениях параметра а система уравнений
1
■ 18.4
1
loga(2х+у+ 1) = -х - 4у - 6
{ х-3у = 5
1
1
1
имеет единственное решение?
1
1
1
1
5.
6.
При каких положительных значениях параметра а система уравнеа2х-у-4 = х - 4у + 1
ний
имеет ровно два различных решения?
{ х+3у-5 = О
Найдите наибольшее целое значение параметра k, при котором реше­
ние неравенства \lll31x - 14 71 + 1571- 1671 + 177\ - 187
ряет условию х Е [-190; 200].
7.
4
18.5
1
1
1 [2•
1
!!!!!1!!!!
■ 18.6
удовлетво­
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
.Jх
8.
93k4
1 •
■ 18.7
+ х = х -а имеет ровно два различных корня.
2
2
J
Найдите все значения параметра а, при которых область определения
функции у = (
. X5logа, + (
1 . ½ _ ½ .( ) 16 _
log а,
Х½+х
rayx+
1
содержит ровно два целых числа.
39
■ 18.8
!!::::
18.9 ■
9.
Найдите все значения параметра а, при которых областью определения функции у =
18.1О■
22х
1 .
-2х -а
является вся числовая прямая.
1 О. Найдите все значения параметра а, при которых область определения
функции у= log2(log2(a - x))·log2x содержит ровно пять целых чисел.
l
задание 19
1
Задание 19 проверяет умение строить и исследовать
простейшие математические модели
19.1 ■
1.
Ско_лько решений (т.е. различных пар (х; у)) в натуральных числах
имеет уравнение log4 5ху = 3log64 52013?
19.2 ■
2.
Докажите, что уравнение х2 + 2 = 5у не имеет решений в целых числах.
19.3 ■
з.
Решите уравнение
19.4 ■
4.
Найдите наименьшее натуральное число п, при котором число
1
i
4ху
= 22014 в целых числах.
2
2014! = 1-2·3 ... 2013-2014 не делится на пп .
19.5 ■
5.
Решите уравнение х2 +3 = 7у в целых числах.
19.6 ■
6.
Решите уравнение тп2 +46 = 11m в натуральных числах.
19.7 ■
7.
Докажите, чт.о уравнение 3х2 + 3 = 7у не имеет решений в целых
числах.
19.8 ■
8.
Найдите
19.10 ■
натуральное
п,
при
5
2014! = 1·2·3 ... 2013-2014 не делится на пп .
1
19.9 ■
наименьшее
9.
Решите уравнение х2 + 2 = 3у в целых числах.
10.
Решите уравнение 3m +4п
40
73 в натуральных числах.
котором
число
КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1
содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 4 задания
повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий высокого уровня сложности с
развёрнутым ответом.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут
(235 минут).
Ответы к заданиям 1-12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дро­
би. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов No 1.
Ответ: -0,8.
1u-·o\ в1
При выполнении заданий 13....19 требуется записать полное решение и ответ в бланке отве­
тов No 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование
гелевой, капиллярной или перьевой ручек.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учиты­
ваются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выпол­
нить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!
41
ВАРИАНТ 1
Часть 1
Ответом на задания 1-12 должно быть целое число или конечная
десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1
справа от номера выполняемого задания, начиная с первой
клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке
образцами. Единицы измерений писать не нужно.
1.
Билет на поезд стоит 200 рублей. Какое максимальное число билетов
можно будет купить на 1000 рублей после повышения цены билета на
20%?
2.
На графике показано изменение давления в паровой турбине после
запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси орди­
нат - давление в атмосферах. Определите по графику, сколько минут
давление было меньше 5 атмосфер.
А
Давление пара, атм.
8
7
6
5
4
""
\
/
V
--
/
3
2
1
Вре я, 1 м11н,:
,,,,.
2
3.
4
6
8
10
12
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен па­
раллелограмм (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных санти­
метрах.
42
4.
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орел выпадет четное количество раз.
5.
Найдите корень уравнения
6.
В треугольнике BCD угол С равен 90°, sinB =
7.
На рисунке изображены график функции у= f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой х0• Найдите значение производной f'(x) в
точке х0•
.J2х +1 =1
.
ун
1
/
J
,-1
8.
1
1
у= f(x)-
.....
о
J},ВС = 3. Найдите BD.
/
1
/
//
/'
V
/ "'
-
V
Jv
7,
--/
1
1.
1
1
.....
1
io
,,,,.
х
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 32.
Чему будет равна площадь поверхности параллелепипеда, если каж­
дое его ребро уменьшить в два раза?
Часть 2
9.
Найдите значение выражения log3112,5-log312,5.
10.
Камень брошен вниз с высоты 18 м. Высота h, на которой находится
камень во время падения, зависит от времени t: h(t) =18-3t-t2•
Сколько секунд камень будет падать?
11.
Автомобиль ехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, авто­
рую половину пути - со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю ско­
рость движения автомобиля на всем пути. Ответ дайте в километрах
в час.
12.
Найдите наибольшее значение функции у= х3 +6х2 -4 на отрезке
[-3; 2].
43
Для записи решений и ответов на задания 1 19 используйте
бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого
задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и
ответ.
13.
а) Решите уравнение tg х +ctg х = -2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[-31t;-1t].
14.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна Jз , а
двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.
2
15.
2
{4х+7) > ----------------56х+49+16х
Решите неравенство: --'--------'---.
х ---3 21-10х+х2
16.
Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и углом
при ·основании, равным 75°, описана окружность с центром О. Пло­
щадь треугольника ВОС равна 16. Найдите радиус окружности.
17.
12 августа планируется взять кредит в банке на 4 месяца в размере 3
млн. рублей. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на р процентов по
сравнению с концом предыдущего месяца, где р - натуральное чис­
ло;
- со 2-го по 11-е число каждого месяца необходимо выплатить часть
долга;
- 12-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую
сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата
12.08
12.09
12.10
12.11
12.12
Долг
(в млн рублей)
3
2,2
1,7
1
о
Найдите наибольшее значение р, при котором общая сумма выплат не
превысит 3,8 млн рублей.
18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
9х -а
= 3х -2а не имеет корней.
19. На доске написаны числа 1; 2; 3; ..., 33.
За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма ко­
торых меньше 36 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых
на предыдущих ходах.
а) Приведите пример пяти последовательных ходов.
б) Можно ли сделать 11 ходов?
в) Какое наибольшее число последовательных ходов можно сделать?
44
■ -=
=
ВНИМАНИЕ!
Единый
государственный экзамен
иии;m-DппьВ
No 1
■
II
II I III I IIIIJl 11111111111111
Данный бланк использовать только совместно с двумя другими бланками из данного пакета
оошоошооооооооо оошоошоооошооо
□□
шоошоооошооо оошоошооооооооо
ш
оошоошоооошооо оошоошооооооооо
ш□□шоошоооошооо оошоошооооооооо
шооо оошоошооооооооо
шоошоошоооошооо оошоошоооошооо
шоошоошоооошооо оошоошоооошооо
ш□□
шоошоооошооо оошоошоооошооо
оошоошоооошооо
оооошооо ооошоошошошооо
ошоош
оошоошоооошооо оошшшоооошооо
@D□шоошоооошооо оошоошошошооо
оошоошоооошооо оошоошоооошооо
оооошооо оошоошошошооо
оошоошо
ошооооооошшооооо оооошшоооошшошошооо
оошоошоооошооо оошоошоооошооо
оошоошоооошоо оошоошошошооо
ш-□шоооош□СIIIIШ ш-□сшооошошошш
ш-□шо□□□ШСIIIIШ
ОСIППIJ ш-ошоо
ш-□ШОООШООСIППIJ
□ш□ОСIППIJ
шо
ш
о
о
о
о
ш
□
CIIIIШ ш-□шоо□ш□ОСIППIJ
ш-□шo□o□o□□
Реэупьтаты выполнениs::: заданий с ответом в краткой форме
0
■
■
45
_
■ -------=--=...
..- =-====--
■ --
.1.= ..-,..
ВНИМАНИЕ!
■
Единый государственный экзамен
q;�
Ре114Он
мn:lkm.o-fi.
Код
Предмета
..._
№2
11111111111111111111111111111
Наэеанме предмета
Номер варианта
Перепишите значения указаннь1х выше попей из БПАНКА РЕГИСТРАЦИИ.
Отвечая на задания теста, пишите аккуратно и разборчиво, соблюдая разметку страницы.
Не забудьте указать номер задания, на которое Вы отвечаете.
Условия заnания пеоеписывать не нvжно.
1 Данный бланк использоuтъ только совместно с деумя другими бланками из данного пакета
-
■
При недостатке места для ответа используйте оборотную сторону бланка
46
■
ВАРИАНТ2
Часть 1
Ответом на задания 1-12 должно быть целое число или конечная
десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1
справа от номера выполняемого задания, начиная с первой
клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в
отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке
образцами. Единицы измерений писать не нужно.
1.
Тетрадь стоит 6 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей
можно будет купить на 200 рублей при условии, что при покупке бо­
лее чем двадцати тетрадей покупатель получает скидку 10% настои­
мость всей покупки?
2.
На графике показано изменение температуры в классе после вклю­
чения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в мину­
тах, на оси ординат - температура в градусах Цельсия. Когда тем­
пература
достигает
определенного
значения,
кондиционер
автоматически выключается и температура начинает расти. По гра­
фику определите, сколько минут работал кондиционер до первого
выключения.
1
j
38
1
36
1
34
1
32
1
\
30
1
28
1
26
1
24
1
22
1
20
т, С
0
\,
\
\
/
[\..
---.... ........ """"----r---,. r--
/
мин.
1
lo
4
8
12
16
20
.....
,,,.,
24
3.
Найдите длину вектора АВ, еслиА(l; О), B(l 7; 2 17).
4.
Вурне лежит 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероят­
ность того, что извлеченный наугад шар будет желтого цвета.
5.
Найдите корень уравнения -1= 2.
5х-3
47
6.
В треугольнике АВС угол С равен 90°, cosA = О,88.
внешнего угла при вершине В.
Найдите синус
7.
На рисунке изображен график производной функции у= f(x), опреде­
ленной на промежутке (-2; 5). Найдите точку максимума функции
у= f(x).
у
,
',
\ о
-2
8.
.... 1:)
v
.,,.,.,..,
./,.,
5
х
Объем прямоугольного параллелепипеда, в основании которого ле­
жит квадрат, равен 48 см3• У второго прямоугольного параллелепи­
педа, в основании которого тоже лежит квадрат, высота в три раза
меньше, а ребро основания в два раза меньше, чем у первого. Найди­
те объем второго прямоугольного параллелепипеда (в кубических
сантиметрах).
Часть 2
9.
Вычислите значение выражения 410g16 9 + 2 .
10.
Камень брошен вертикально вверх. Зависимость высоты, на которой
находится камень (пока он не упал на землю), описывается формулой
h(t) = -t2 + 8t (h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее
от момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на
высоте выше 15 метров.
11.
Бригада рабочих должна изготовить 360 деталей. Изготавливая еже­
дневно на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, бригада вы­
полнила задание на два дня раньше срока. Сколько дней бригада за­
тратила на выполнение задания?
12.
Найдите наибольшее значение функции у= х3 -6х2 +2 на отрезке
[-4; 4].
48
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используйте бланк
ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания
(13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.
13.
а) Решите уравнение 34sinx +'4-32sinx -21=0.
б) Укажите
корни этого уравнения,
принадлежащие
отрезку
[-31t; - 321t].
14.
Сторона основания правильной треугольной призмыАВСА 1В1С1 равна
2, а диагональ боковой грани равна 7 .Найдите угол между плоско­
стью А1ВС и плоскостью основания призмы.
15.
Решите неравенство: logо_
х
: х
24 2
2•
16.
В треугольнике АВС LB = 30° . Около треугольника описана окруж­
ность радиусом 12. Хорда ВК проходит через середину М стороны АС,
МК=2. НайдитеВМ.
17.
Иван хочет взять в кредит 1 млн рублей. Погашение кредита проис­
ходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) по­
сле начисления процентов. Процентная ставка 20% годовых. На ка­
кое минимальное количество лет Иван может взять кредит, чтобы
ежегодные выплаты не превышали 300 тысяч рублей?
18.
Найдите наибольшее целое значение параметра k, при котором реше­
ние неравенства llll29x-11+1211-171
вию Х Е [-,-102; 117].
19.
+вl-222
Решите уравнение в целых числах т2 +п2 = 5.
49
58k2 удовлетворяет усло­
■
Единый государотвенный экзамен
Ъ.JLan,:,
-
oпifkmьl,_
-
-=
-=-==== ----
-=
■-
ВНИМАНИЕ'
-
No 1
11111111111111111111111111111
Запоnнять rемвой иnм капиллярной ручкой ЧЕРНЫМИ чернилами ЗАГЛАВНЫМИ ПЕЧАТНЫМИ &УКВАМИ по сnедующмм обра м:
lfilвIOд1Elilэt,9 lll il l l H HRWif ·
Реrион
Код
предмета
Название предмета
С правиламм 31С18МеНа ознаюмлен и cornaceн
- 00 00 000000000
Совnгденме номеров вариантов в эаданми
М бланJе реострацм11 ПОДТ&ер)l(Дi!Ю
flolPICI> ка
ЕГЭ строю енутрм OКOUJCa
,!
ОО О
Ном ерsарм сюа
0оошоошоо
оошоошоооошо
шо оооошоошоооооо
оошо ошо шошооо
-шоошоошоооошооо
оошоошошошооо
ш
оошооо оошоошоооошооо
оошоошоооошооо оошоошооооооооо
шоошоошоооошооо
ш
оошоошоооошооо оошоошоооошооо
оошоошоооошооо
оошоошоооошооо
шоооошооо оошоошоооошооо
оошоош
оошоошоооошооо оошоошоооошооо
оошоошоооошооо оошоошоооошооо
о□шоошоооошооо оошоошошошооо
оошоошоооошооо оошоошоооошооо
оошоошоооошооо оошоошоооошооо
iоошоошоооошоооiоошоошоооошооо
ш-□ШJO□D□□ШllIJШ ш-□ШJООШОШПШJ
Ш-□ШJО □
ШОШllIJШ Ш-ОШJООШОШПШJ
Ш-□
ШJО □
ОШОШПJШ Ш-ОШJООШОШОСПШ
Результаты выполнения
заданий с ответом в краткой ф ор v,е
Ш-ОШJJОШJШПШJ Ш-ОШJJОСОJШПШJ
■
■
50
■ . ... . ===i
(7;.JlLLILlf:,
t--=... 1---==,-,==о======■t-=-
tиn-fknu,_-6. NR 2
iii/iiiiiiiiiii
1 ,о-
-=--- -
ВНИМАНИЕ!
-■
Единый государственный экзамен
-
Реrмон
Код
предмета
Наэеанме
11111111111111111111111111111
Номер варманта
Перепишите значения указаннь,х выше попей из ЕПАНКА РЕГИСТРАЦИИ.
Отвечая на задания теста, пишите аккуратно и разборчиво, соблюдая разметку страницы.
Не забудьте указать номер задания, на которое Вы отвечаете.
Условия эа.аания пеоеписывать не нvжно.
1 Данный бланк испопыоеатъ
толыо cOfJllecmнo с деумя другими бланками из данного пакета
51
■
При недостатке места для ответа используйте оборотную сторону бланка
52
■
Ответы к тренировочным заданиям
.№
Задания 1-12
задав.
3ад.1
3ад.2
3ад.3
3ад.4
3ад.5
1
11
4
10,5
0,08
12
7
37
4
2
20
10
14
0,9375
-6
3
-5
3
2200
6
7
0,92
0,8
8
4
45920
12
4
0,75
2
5
7659
9
140
0,001
6
6
3,5
164,25
7
88
4
8
12,5
9
3ад.6 3ад.7 3ад.8 3ад.9
3ад.10
3ад.11
3ад.12
5
8
3
4,75
0,2
3
1
200
-2
3
11
1,8
2
12
-1
-0,75
1,5
45
8
62,5
8
11
-0,75
12
-3
125
10,5
2
90
-24,2
0,9615
1,6
0,8
2
14
36
27,5
25
-2
0,9
0,53
86
17
4
36
3
8
2,5
1
3
56
0,006
-3
2
4
16
2
75
10
1
75
7
20
20
46
65
2
111
0,1
2
48
24
10
5
4
6,5
0,488
о
62
-3
0,75
3
13,75
154
4,5
11
200
6
24
0,75
0,5
9
0,5
10
2
3
8
1
12
10
6
12
0,996
о
6
1
18
-0,99
1
4,5
1
13
25
5
12
0,05
32
0,6
3
8
8
1
550
-6
14
8
1
1
0,984
-4
0,56
-1
1
1
3
13
0,5
15
34
7
5
0,375
-1
2
-2
3,5
2,5
1
10
-2,5
53
.№
задан.
Задания 13-15
Задание
14
Задание 15
4
2
(-оо; l]u(log34; log36)
2
а) ттп;±i + 2ттп; п Е Z; б) - тт;-i;О
3
3
3
1t + ттп. ,пЕ Z·, б) 5тт,. 9тт
а)
4
4 4
2
Задание 13
1
) 1t
. 3 тт
.
. 9т т. llтт
а 4 +2ттп, т + 2ттп , nEZ, б) 4 '
а) ¾+ ттп; arctg2 + ттп; п Е Z
4
5
7
8
а) пп;п Е Z
б)0;1t;21t;3n;4n;51t
б)
+ ттп; ; + ттп; п Е Z
тт. тт . тт
-2, 4 ' 2
а)-1; log32-1
б)-1
а) 1t+ ттп. п Z· б) тт. 1t •5тт
12 3'
Е
'
-4'12'12
7t+21tn., nEZ;
а) тт.4п,7тt + 21tn.5,3
9
10
10
б) ¾; 5 тт; arctg2;arctg2+ тт
4
а)
6
2
б)-2тт._ -О
3 ' 3'
а) - +ттп· nEZ· б) - - 27t
3
'
'
3' 3
4
(-8; -7)u[l; l,5)u(3; 3,5]
(3
4
;]
(О; 1]
3
{-2} u[-1; 2]
60°
(-oo;-9)u(3;+oo)
0,3
(-5;-4) u{5}
1001t
(-2;1)u(1;4)
arctg fj5
13
(-l;-0,5)u(1;2)
2Jiз
54
(-оо; -5)u(-5;-2
6)u(2 6;5)u(5;+oo)
.№
задан.
Задания 16-19
Задание 16
Задание 17
Задание 18
Задание 19
1
б) 1,5
68445
аЕ[-½:-½)u{O}
8
2
4
б) 21
842579,5
aфJ)u{i;+oo)
3
б) 12
4
б)
73205
О.
5
6
ае
(-00;- 2) u(2;-tФ)
_!
аЕ(
5
6
6
6)48
51529
k=2
7
б) 12,4
1,5
а+½; о)
б)l,6
В одной группе 11 девочек и 11
мальчиков; в другой - одна девочка
и 23 мальчика
а e(l,5; 2]u(3; 3,5)
9
б) 5
13
а=е е или a>l
49
б) 240
8
(1; 1007); (19; 53); (53; 19);
(1007; 1); (-1; -1007);
(-19; -53); (-53; -19);
(-1007; -1)
1;
е¼J
8
а Е (-оо;-0,25)
14
а Е (6; 7]
2
7k+2;7k +4k+1);
7k+5;7k2 +10k+4 ), k eZ
(23; 3)
4
(3k +1;3k2 + 2k +1);
(3k+2;3k2 +4k+2),ke Z
..
10
б) 17,6
55
(2; 3)
Ответы к контрольным тестовым заданиям
Часть 1
.№
Задания 1-12
варианта
1
2
1
2
3
4
5
4
4
24
0,5
о
37
6
18
0,2
0,7
6
7
8
9
10
11
12
4
1
8
2
3
72
28
4
5
2
18
2
о
0,88
Часть2
Задания 13-17
.№
варианта
1
2
13
а)--7+t ттп; п EZ
4
б) _ 9тт. _ 5тт
4 ' 4
а) -тт+2ттп;5-т+т 2ттп; п EZ
6
6
б) _llтт
6
2
15
16
17
3
8
{- }u(3; 7)u[8; +оо)
8
10
45°
(О; 3) U [4; 12)
18
7
Задания 18-19
.№
варианта
1
14
19
18
-<»;-:]
а Е(
U (:;
а) Например: (1; 2; 20); (3; 4; 19);
(5; 6; 18); (7; 8; 17); (9; 10; 16)
б)нет
в) 6
+00)
(1; 2), (1; -2),
(-1; 2),(-1; -2), (2;1),(2;-1),
(-2; 1),(-2; -1)
k=7
56
Учебное издание
Лаппо Лев Дмитриевич
Попов Максим Александрович
ЕГЭ
МАТЕМАТИКА
ПРОФИЛЬНЬIЙ УРОВЕНЬ
ТЕМАТИЧЕСКИЕ
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ
Издательство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат
№ РОСС RU.ПЩО1.НОО199 от 19.05.2016 г.
Редактор И М Бокова
Технический редактор Л. В. Павлова
Корректоры Т. И Шитикова, О. Ю. Казанаева
Дизайн обложки Л. В. Демьянова
Компьютерная верстка О. И Голубинская
107045, Москва, Луков пер., д. 8.
www.examen.Ьiz
E-mail: по общим вопросам: info@examen.Ьiz;
по вопросам реализации: sale@examen.Ьiz
тел./факс 8(495)641-00-30 (многоканальный)
Общероссийский классификатор продукции
ОКОО5-93, том 2; 953005 - книги, брошюры, литература учебная
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами
в ООО «ИПК Парето-Принт», 170546, Тверская область, Промышленна
зона Боровлево-1, комплекс №ЗА, www.pareto-print.ru
По вопросам реализации обращаться по тел.:
8(495)641-00-30 (многоканальный).