Введение Данный курс предназначен для студентов всех специальностей первого курса МТУСИ (впрочем, он может читаться и в любом техническом ВУЗе). Курс состоит из следующих глав (разделов): 1. Определители 2. Матрицы и системы линейных уравнений 3. Векторная алгебра (в этот раздел входят также общая теория линейных пространств и исследование систем линейных уравнений) 4. Аналитическая геометрия – линии и поверхности второго порядка 5. Евклидовы пространства, линейные операторы и квадратичные формы Вышеперечисленные главы курса взаимосвязаны; каждая последующая глава использует некоторые выводы из предыдущих разделов. Поэтому изучать курс надо в строго указанной последовательности. Для усвоения данного курса, в основном нужно обладать лишь знаниями из программы средней школы. Однако, для краткости записи, вводятся также следующие обозначения (первые два из них в дискретной математике (см.[1, гл.1, §4]) называются кванторами): - существует, имеется, есть; - произвольный, любой, всякий; ! - существует и единственный; - такой, что. Кроме того, нужно обладать хотя бы элементарными сведениями из теории множеств (см., например, [1, введение]). Тогда, например, следующие записи будут означать: L M - прямая L проходит через точку M ; M L - точка M находится на прямой L ; L - прямая L лежит в плоскости ; M L1 L2 - точка M является точкой пересечения прямых L1 и L2 ; L1 L2 - прямые L1 и L2 не пересекаются. При составлении курса я, в основном придерживался [2], [3], [4] и [5]. Однако данный курс отнюдь не повторяет вышеуказанные учебники. Некоторые элементы курса взяты из одного учебника, некоторые – из другого, некоторые из третьего, и они «соединены» так, чтобы получился полный взаимосвязанный курс. Если читатель захочет изучать курс по этим (или каким-либо другим) учебникам, то ему придется эти соединения делать самостоятельно. Кроме того, при составлении данного курса я пользовался лекциями, читаемыми в МГУ д.ф.м.н. проф. Л.А.Скорняковым (где я, например, взял доказательство теорем об ассоциативности произведения матриц и об инвариантности ранга матриц) и д.ф.м.н. проф. Ю.М. Смирновым (где я взял доказательство теоремы о корректности определения размерности линейного пространства). Некоторые теоремы данного курса (например, расстояние от точки до плоскости и от точки до прямой на плоскости) я доказывал самостоятельно. Кстати, о размерности линейного пространства. Здесь я отошел от данного в [6] определения, которое, хотя корректно, легко и просто для запоминания, однако его строгое математическое использование трудно осуществить (с полными выводами) при исследовании систем линейных уравнений, а также при решении линейных однородных дифференциальных уравнений. 6 Практически все теоремы данного курса (в том числе и упоминаемые ранее теорема об инвариантности ранга матрицы (при её элементарных преобразованиях) и свойство ассоциативности произведения матриц) снабжены полными доказательствами, и доказательства всех теорем непременно нужно усвоить, если слушатель захочет получить хотя бы хорошую оценку. Исключение составляют лишь индуктивное определение определителей n–го порядка (их можно, например, найти в [7]), а также теорема об определителе произведения матриц – эти доказательства достаточно громоздки. Все остальные утверждения снабжены полными доказательствами, и для хорошего усвоения курса их нужно знать. Могу порекомендовать также достаточно подробный учебник [8], охватывающий весь данный курс. Однако, в нем много «лишнего» - всё же это учебник для механикоматематического факультета МГУ, т.е. для лиц, посвятивших себя глубокому и полному изучению математики. Данный курс составлен из конспектов моих лекций у студентов, которые слушали меня в 2003, 2004,2005,2006 годах. Со своих конспектов данный курс набрали: В.Ю. Федосеенков, А.К. Чичкан, В.Э. Журавлёв, И.Е. Власов (все из группы ОС0301); С.В. Захаров, Д.Д. Васильев, А.С. Бабий (группа ПС0402), И.Ю. Карташов, А.А.Макаров, А.В.Дорофеев, П.И. Пухов (группа СС0505),Н.Г.Сергеев, П.В.Осипов (группа КТ0601) . Всем вышеперечисленным студентам я (да наверное и ВЫ, дорогой читатель) выношу благодарность; без их помощи данный курс вряд ли бы увидел свет. О нумерации формул, теорем, лемм и определений. Нумерация формул (теорем, лемм и определений)- двойная, цифры слева от «.» означает номер параграфа, где эта формула впервые встретилась, а справа от «.»-порядковый номер самой формулы. Следует также иметь в виду, что данный курс набирался из студенческих конспектов моих лекций. А при чтении лекций была обычная нумерация (при этом если в данных лекциях были ссылки на формулы из предыдущих лекций, то эти формулы ( с соответствующими номерами) выписывались на доске в начале лекций. И чтобы избежать трудностей и ошибок, вышеперечисленные студенты, набиравшие данный курс из своих конспектов, просто приписывали ко всем номерам формул (слева) номер параграфа, где она встретилась, не заботясь о том, была или нет в данном параграфе предыдущая формула (на некоторых лекциях я читал и по 2,3 и по 4 параграфа). Поэтому бесполезно, например, искать формулу (22.3) – она была в предыдущем параграфе(под номером (21.3), ибо параграфы 21, 22, 23, 24 читались на одной лекции. Теперь я Вам, читатель, советую набраться сил и терпения для изучения данного курса. А лучше, всё же, ходить на лекции, ибо живое слово ни одна книга не заменит. В.И. Щербаков Глава 1. Определители §1. Определители 2-го и 3-го порядка 1.1 Определители 2-го порядка Определителем 2-го порядка является выражение вида: 7 a1 b1 a2 b2 a1b2 b1a 2 , (1.1) где a1 , a2 , b1 и b2 - некоторые числа. 1.2 Определители 3-го порядка. Правило Саррюса Правило Саррюса действует для вычисления определителей 3-го порядка (но не выше!). Работает оно так: складываются произведение элементов на главной диагонали (той, что следует из верхнего левого угла в правый нижний) и произведение элементов по «треугольникам», основания которых параллельны главной диагонали, а вычитаются, соответственно, произведение элементов побочной диагонали (той второй, что не главная) и произведения по «треугольникам» относительно её. Иным языком: a1 b1 c1 a2 a3 b2 b3 c 2 a1b2 c3 b1c 2 a3 c1a 2 b3 c1b2 a3 b1a 2 c3 a1b3c 2 c3 (1.2) 1.3 Первые 10 свойств определителя 1) При транспонировании (замене строк на столбцы и наоборот) определитель не меняется. Для доказательства нужно найти символическую формулу определителя хотя бы 3-го прорядка и, транспонировав, убедиться, что свойство верно: a1 a2 a3 a1 b1 c1 b1 c1 b2 c2 b3 a 2 c3 a3 b2 b3 c2 a1b2 c3 b1c2 a3 c1a 2 b3 c1b2 a3 b1 a 2 c3 a1b3 c2 c3 2) При замене строк или столбцов местами определитель меняет знак: a1 b1 c1 a1 b1 c1 a3 b3 c3 (1.3) a2 b2 c2 a3 b3 c3 a1 b1 c1 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Попробуйте сами получить равенства (1.3). 3) Если определитель имеет 2 одинаковые строки или 2 одинаковых столбца (или более), то он равен нулю. Доказательство: используя свойство 2) (меняем одинаковые строки/столбцы местами), получим, что , где есть обозначение определителя. Тогда, перенеся все слагаемые в левую часть, получим: 2 0 0 . 4) Постоянный множитель элементов строки/столбца можно вынести за знак определителя: ka1 kb1 kc1 a1 b1 c1 a 2 b2 c2 ka1b2 c3 kb1c2 a3 kc1a 2 b3 kc1b2 a3 kb1a 2 c3 ka1b3 c2 k a 2 b2 c2 (1.4) a3 b3 c3 a3 b3 c3 5) Если определитель имеет пропорциональные строки/столбцы, то он равен нулю. Доказательство основывается на предыдущих двух свойствах. 6) Если определитель имеет нулевую строку/столбец, то он также равен нулю, учитывая, что нулевая строка/столбец есть произведение любой строки/столбца из определителя и нуля. Получим пропорциональность. 8 7) Если всякий элемент k-той строки/столбца определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме 2-х определителей: 1-й имеет в упомянутом k-той строке/столбце 1-ые слагаемое, а второй - вторые. Остальные элементы в определителях не меняются: a1 a'1 b1 c1 a1 b1 c1 a'1 b1 c1 (1.5) a 2 a' 2 b2 c2 a 2 b2 c2 a' 2 b2 c2 a3 a'3 b3 c3 a3 b3 c3 a'3 b3 c3 Для доказательства (1.5) нужно расписать определитель левой части равенства (1.5) по правилу Саррюса, сгруппировать соответственные суммы и записать получившееся группирование в виде суммы 2-х определителей. Другими словами, доказывается (1.5) «в лоб». 8) Если к любой строке/столбцу определителя прибавить другую строку/столбец, умноженную на произвольное k, то определитель не изменится. Доказательство: (i ) (i ) (i ) (i ) (1.6) ( j ) (i ) ( j ) (i ) 0 ( j ) где (i) и (j) – строки определителя. 9) Если одна из строк/столбцов определителя является суммой 2-х других строк/столбцов, то определитель равен нулю. Три строки/столбца линейно зависимы, если для некоторых и верно равенство: (k ) (i ) ( j ) , где (k), (i) и (j) – строки/столбцы определителя. Это вытекает из следующего свойство. 10) Если определитель имеет линейно зависимые строки/столбцы, то он равен нулю. Доказательство: см 5 ) см 5 ) (i ) (i ) (i ) ( j) ( j) ( j) 0 (1.7) (i ) ( j ) (i ) ( j) Примечание: степень (см. 5)) определителей вовсе не степень, а указание на использование 5-го свойства при доказательстве. В дальнейшем будем именно так указывать подобные ссылки в формулах и выражениях. §2. Миноры и дополнения Определение: минором M ij является определитель, полученный из данного в результате "вычёркивания" i-той строки и j-того столбца. Например, для определителя 3-го порядка : a11 a12 a13 a 21 a31 a 22 a32 a 23 a33 M 11 a 22 a33 a32 a 23 A11 M 13 a 21a32 a31a 22 A13 где А11 – алгебраическое дополнение, вычисляемое по общей формуле из минора: Aij (1) i j M ij (2.1) 9 Для удобства определения знака алгебраического дополнения (далее АД) можно пользоваться правилом шахматной доски: , где знаки «+» и «–» есть элементы символического «шахматного» определителя, индексы которых соответствуют индексам миноров данного в задаче определителя. Причём знак «+» «шахматного» определителя означает, что знаки у соответствующих миноров и АД совпадают, а знак «–» - различаются. 11) Теорема (11-е свойство): определитель равен сумме произведений элементов некоторой его строки/столбца на их алгебраические дополнения. Например, для определителя (см.выше): a11 A11 a12 A12 a13 A13 Докажем теорему для определителя , для чего найдём его по правилу Саррюса, вынесем у соответствующей пары слагаемых a11 , a12 , a13 . a11 (a22 a33 a32 a23 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22a31 ) a11M11 a12 M12 a13 M 13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 Ч.т.д. 12) Теорема (12-е свойство): сумма произведений элементов некоторой строки/столбца определителя на алгебраические дополнения другой строки/столбца равна нулю. Доказательство: в заданном определителе на месте j-той строки напишем его i-тую строку. Он станет нулевым (свойство 3). Но АД полученного определителя не изменятся (jтая строка при нахождении АД «вычёркивалась»). Разложив новый определитель по его новой строке (или столбцу), получим утверждение теоремы, а значит она доказана. §3. Определитель n-го порядка 3.1 Метод математической индукции Обозначим через P(n) некоторое высказывание (например, «в Лондоне опять идёт дождь»). Тогда Теорема: пусть про некоторые свойства высказывания, действующие на некотором промежутке, известно, что 1.P(1) И 2.P(k) И P(k 1) И, тогда P(n) И, n N где пункт 1 называют базой индукции (И=Истина), а пункт 2 шагом индукции. Вообще, метод математической индукции основан на истинности некоторого свойства в общем случае, двигаясь к нему от частных случаев. Допустим, что n | P(n) Л (Ложь). Пусть m – самое малое натуральное число, для которого P(m) Л .(3.1) Если m 0 ,то (m 1) N ; P(m 1) И . k m 1 : P(k ) И P(k 1) И P(m 1 1) P(m) P(m) И ,что противоречит (3.1) 10 3.2 Вычисление определителя n-го порядка по минорам и АД Вычисление определителя n-го порядка по минорам или АД такое же, как и определителя 3-го порядка. Нужно просто учитывать, что при больших порядках определителя, его миноры и дополнения также представляют собой определители, но уже (n-1)-го порядка со своими минорами и АД. Таким образом, вычисление сводится к последовательному понижению порядка исходного определителя с помощью его миноров и АД. 3.3 Верхне треугольный определитель Определение: верхний треугольный определитель (ВТО) - определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны нулю: a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 0 0 0 ann Теорема: ВТО равен произведению элементов его главной диагонали. Все остальные слагаемые, например для определителя 3-го порядка, по правилу Саррюса будут равны нулю. В дальнейшем будет доказана теорема Гаусса, позволяющая нам привести любой определитель к форме ВТО. Доказательство: методом математической индукции по порядку определителя: a a 1. n 2 : 11 12 a11a22 - верно 0 a22 2. Пусть п.1 справедлив для определителя k-того порядка (n=k). Тогда рассмотрим определитель k+1 - го порядка и разложим его по последней строке по минорам: a11 a12 a1,k a1,k 1 a11 a12 a1,k 0 a22 a2,k a2,k 1 0 a22 a2,k ak 1,k 1M k 1,k 1 ak 1,k 1 ak 1,k 1ak ,k a11 0 0 ak ,k ak ,k 1 0 0 ak ,k 0 0 0 ak 1,k 1 Теорема доказана. Глава 2. Матрицы и системы линейных уравнений §4. Определение матрицы, равенство, операции над матрицами 4.1 Определение матрицы Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящих из m строк и n столбцов. 11 2 2 1 3 матрица 2 3; Пример 2: Пример 1: матрица 2 2. 2 3 4 2 6 2 a11 a12 ..... a1n a 21 a 22 ..... a 2 n Общий вид записи: А= = aij im1 nj 1 ..... ...... ..... ...... a a ..... a m2 mn m1 Матрица m n (m строк и n столбцов). Если m=n, то матрица называется квадратной. Матрицы называются равными, если они одного порядка и все элементы, стоящие на одних местах, совпадают. 1 0.5 0 0 ; А=В. Пример 3: А= 2 ; В= 1 2 1 2 1 1 1 2 3 ; А В. Пример 4: А= 2 2 ; В= 1 2 3 3 3 Определение: Замена строк столбцами, а столбцов – строками называется транспонированием матрицы. m Запись: А T — матрица, транспонированная к матрице А, если А= aij i 1 nj 1 , то А T = a n m ji j 1 i 1 . В примере 4: В= А T (соответственно А= В T ). Очевидно, что AT T =А. 4.2 Сложение матриц a Сложение матриц производится с матрицами одного порядка. m m Определение: Если А= aij i 1 nj 1 , В= bij i 1 nj 1 , то матрицей А+В будет матрица ij bij m n i 1 j 1 , а матрицей A – матрица a ij mi1 nj1 . 3 1 4 2 1 3 ; В= . Пример 5: А= 2 2 1 5 1 0 5 0 1 6 2 8 . ; 2А= Тогда А+В= 4 2 10 3 1 7 Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число: 1. А+В=В+А; 2.(А+В)+С=А+(В+С); 3.Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой матрицей, тогда А+0=А A ; 4. А (–А) | А+(–А)=0; Матрица «–А» называется матрицей, противоположной матрице А. Она получается из матрицы А заменой знаков во всех её элементах на противоположные. 12 По определению, разностью матриц А и В является матрица А–В=А+(–В). 5. (А+В)= А+ В; 6. ( ) A A A ; 7. ( ) A ( A) ; 8. 1 A A ; 9.Транспонирование суммы равно сумме транспонирований: (А+В) T =А T +В T ; 10. (A)T AT ; §5. Произведение матриц 5.1 Свойства операции суммы По определению, обозначим n a за k 1 n a k 1;k j k a1 a 2 a 3 ... a n и a1 a2 a 3 ... a j 1 a j 1 ... an . Справедливы следующие три свойства: m 1) k n n m a kl a kl k 1 l 1 (5.1) l 1 k 1 Доказательство: n m n akl (a1l a2l ... aml ) (a11 a21 ... am1 ) (a12 a22 ... am 2 ) ... l 1 k 1 l 1 (a1n a 2 n ... a mn ) (a11 a12 ... a1n ) (a 21 a 22 ... a 2 n ) ... (a m1 a m 2 ... a mn ) n n l 1 l 1 n m n a1l a 2l ... a ml a kl n 2) (a k 1 k l 1 k 1 l 1 n n k 1 k 1 bk ) a k bk (5.2) Доказательство: n (a k 1 k n 3) a k 1 n n k 1 k 1 bk ) a1 b1 a 2 b2 ... a n bn (a1 a 2 ... a n ) (b1 b2 ... bn ) a k bk n k ak (5.3) k 1 Доказательство: n n k 1 k 1 ak a1 a2 ... an (a1 a2 ... an ) ak 5.2 Определение произведения матриц и его некоммутативность Положим: Amk a11 a 21 ... a m1 a12 a 22 ... am2 a1k ... a 2 k ; А: m k ... ... ... a mk ... 13 Bkn b11 b21 ... b k1 b12 b22 ... bk 2 ... b1n ... b2 n . B:kn ... ... ... bkn Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение А В не определено). Тогда произведением матриц А и В является матрица С, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя (матрицы А), а число столбцов – с числом c11 c12 ... c1n c c22 ... c2 n столбцов второго множителя (матрицы В): С=А В; С: m n; C 21 ,и ... ... ... ... cm1 cm 2 ... cmn k элементы которой c ij определяются по формуле: c ij a il blj l 1 1 2 2 1 ; B , Пример: Пусть A 3 1 4 2 11 2 (2) 10 3 1 2 2 4 . тогда: A B 3 2 (1) 4 3 1 (1) (2) 2 5 2 2 1 (1) 5 3 2 1 1 3 A B . Мы показали, Заметим, что B A 4 1 (2) 3 4 2 (2) (1) 2 10 что, вообще говоря, A B B A , т.е. произведение матриц не коммутативно. 5.3 Ассоциативность произведения матриц Пусть матрица А= air i 1 kr 1 имеет размер n k ; n пусть матрица В= brs r 1 ls 1 имеет размер k l . k k Тогда произведением матриц A B D d is i 1 ls 1 , где d is air brs n (5.4) r 1 — матрица размера n l . Чтобы произведение ( A B) C D C F f ij было определено, матрица С= c sj s 1 mj1 должна быть размером l m , при этом матрица F имеет размер n m , и l l f ij d is c sj . (5.5) s 1 Тогда определено и произведение B C G g rj , и матрица G имеет размер k m , и l g rj brs csj . (5.6) s 1 Поэтому определена и матрица A ( B C ) A G H = h n m ij i 1 j 1 , которая имеет k размер n m , т.е. F и H – матрицы одного порядка и hij air g rj (5.7) r 1 (5.5) (5.4) (5.3),(5.1) l l k s 1 s 1 r 1 k (5.3) l (5.6) (5.7) k l k r 1 s 1 r 1 i, j : f ij d is c sj ( air brs ) c sj air bis c sj air brs c sj air g rj hij G H r 1 s 1 Итак, произведение матриц ассоциативно: ( A B) C A ( B C ) . 14 5.4 Правая и Левая дистрибутивность умножения матриц относительно сложения Пусть А= ail i 1 lk1 – матрица размерности m k ; В= bil im1 lk1 – матрица размерности m (5.8) m k . Тогда А+В=D= dil i 1 lk1 – матрица размерами m k и d il ail bil . m Чтобы произведение D C ( A B) C было определено, матрица должна быть размерности k n и ( A B) C D C G = g ij i 1 nj 1 m – С= clj l 1 nj 1 k матрица размера k m n и g ij d il clj . (5.9) l 1 В этом случае определены и произведения A C H = hij i 1 m n j 1 – матрица размерности k m n и hij ail clj . (5.10) l 1 B C F = f ij i 1 nj 1 m – матрица размера k m n и f ij bil clj . (5.11) l 1 Из (5.10) и (5.11) следует, что матрицы F и H одного размера, и тогда определена m матрица Q H F A C B C = qij i 1 nj 1 , являющаяся матрицей размера m n и qij hij f ij . Тогда qij hij f ij (5.10),(5.11) (5.10),(5.11) k a l 1 k ( 5.2 ) k il clj bil clj l 1 (a l 1 k ( 5.8 ) k il clj bil clj ) ( ail bil ) clj l 1 d l 1 ( 5.9 ) il clj g ij , т.е. Q=G, или ( A B) C A C B C , т.е. справедлива левая дистрибутивность умножения матриц относительно сложения. Равенство A ( B C ) A B A C (правая дистрибутивность) будет показана в п. 5.5. 5.5 Транспонирование произведения Справедлива следующая теорема: транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, т.е. (5.12) ( A B) T B T AT . Доказательство формулы (5.12): Пусть A a jl – матрица размерами m k . Чтобы A B было определено, матрица B bli должна быть размером k n , и их произведение C A B c ji является матрицей k размером m n , и c ji a jl bli . l 1 (5.13) Тогда B T bliT bil – матрица размерами n k ; AT aTjl alj – матрица размерами k m ; Тогда определена матрица D BT AT dij , являющаяся матрицей размером n m (т.е. число столбцов матрицы D равно числу строк матрицы С и равно числу столбцов матрицы C T , а число строк матрицы D равно числу столбцов матрицы С и равно числу строк матрицы k C T , т.е. матрицы D и C T – одного размера), и d ij bilT a ljT . l 1 15 (5.14) k k k l 1 l 1 l 1 (5.13) Тогда из (5.14) имеем: d ij bilT aljT bli a jl a jl bli c ji , для любых i и j, т.е. D= C . Теорема доказана. Докажем теперь правую дистрибутивность: A ( B C ) (( A ( B C )) T ) T (( B C ) T AT ) T ( B T AT C T AT ) T ( B T AT ) T (C T AT ) T T ( AT ) T ( B T ) T ( AT ) T (C T ) T A B A C A (B C) A B A C т.е. правая дистрибутивность доказана. 5.6 Определитель произведения Справедлива следующая (дающаяся без доказательства) теорема: определитель произведения матриц равен произведению определителей: det(A B)=detA detB. (5.15) 5.7 Вырожденная и невырожденная квадратная матрица Определение: квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю, и невырожденной, если её определитель не равен нулю. 5.8 Единичная матрица и её свойства Определение: квадратная матрица, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны единицы, а остальные – нулю, т.е. матрица вида: 1 0 ... 0 0 1 ... 0 E (5.16) ... ... ... ... 0 0 ... 1 называется единичной матрицей. Элементы единичной матрицы обозначаются символом Кронекера: 1, если i j ij (5.17) 0, если i j Справедлива теорема: матрицы А будет: A × E = E× A = A . (5.18) Доказательство n n n Пусть: А= aij i 1 j 1 и A E B bij i 1 nj 1 . Покажем, что A E A . n В самом деле, bij aik kj aij jj k 1 n a k 1,k i ik 0 kj aij , т.е. В=А. 0 Для доказательства равенства E A A используем очевидную формулу E T E и равенство (5.12). Получим: E A (( E A) T ) T ( AT E T ) T ( AT ) T A Покажем, всякая матрица E л со свойством Е л А А для любой матрицы А (соответственно, и всякая матрица Eп со свойством A Еп А для любой матрицы А), должна совпадать с определенной в (5.16) матрицей Е. В самом деле, E л Е л Е Е и 16 Eп Е Еп Е , т.е. матрица, удовлетворяющая свойству (5.18), единственна и задаётся формулой (5.16) 5.9.Определение обратной матрицы; отсутствие обратной матрицы у вырожденной Пусть А= aij i 1 n k j 1 – квадратная матрица. Определение: матрица A 1 называется обратной к матрице А, если выполнено равенство A1 A A A1 E . (5.19) Отметим, что вырожденная матрица обратной иметь не может, ибо если detA=0, то из (5.19) и (5.15) имеем: 1 det E det( A1 A) det A1 det A 0 (противоречие). 5.10 Теорема о существовании обратной матрицы и алгоритм её нахождения Имеет место следующая теорема: Всякая невырожденная матрица А= aij i 1 n k j 1 k j 1 имеет обратную матрицу A1 = = aij1 , элементы которой находят по формуле: aij1 A ji , где det A , а Aij – её алгебраические дополнения. n i 1 (5.20) Доказательство теоремы: n Пусть A A1 B bij i 1 nj 1 . Тогда: (5.20) n (5.3) n Ajk 1 n (5.21) aik Ajk k 1 k 1 k 1 Используем далее 11-е и 12-е свойства определителей (см. §2.2 и §2.3). Если i=j, то 1 n 1 bij aik Aik 1 , (5.22) k 1 ибо последняя сумма является разложением определителя Δ по его i-й строке. bij aik akj1 aik В случае i j будет n a k 1 ik A jk 0 (5.23) (сумма произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения другой j-й строки см. 12-е св-во), и тогда bij 0 , если i j . 1, если i j ij , т.е. В=Е, и теорема Сопоставляя (5.22) и (5.23), имеем: bij 0 , если i j доказана. Равенство A1 A E читателю предлагается доказать самостоятельно (в этом случае определитель Δ в равенстве (5.22) будет разлагаться по j-му столбцу). Отметим, что определенная формулой (5.20) обратная матрица единственна, ибо если 1 Aл1 A E A Aп1 , Aл Aп1 и – такие матрицы, что то Aл1 Aл1 E Aл1 ( A A1 ) ( Aл1 A) A1 E A1 A1 , и 17 Aп1 Е Aп1 ( A1 А) Aп1 A1 ( A Aп1 ) A1 Е A1 , т.е. Aл1 = Aп1 = A1 . Покажем также, что ( A B) 1 B 1 A 1 (5.24) В самом деле: ( B 1 A1 ) ( A B) ( B 1 ( A1 A)) B ( B 1 E ) B B 1 B E , и (5.24) доказано. Итак, мы показали справедливость следующих свойств произведений матриц: 1) ( A B) C A ( B C ) ; 2) ( A B) C A C B C и A ( B C ) A B A C ; 3) ( A B) T B T AT ; 4) det(A B)=detA detB; 5) A E E A A ; 6) ( A B) 1 B 1 A 1 ; 7) A 0 0 A 0 ; 8) (A) B ( A B) A (B) . Свойства 1) ÷ 6) были доказаны ранее. Свойство 7) очевидно, ибо если 0=В = blj произведения C A B cij k k l 1 l 1 m n i 1 j 1 k n l 1 j 1 с blj 0 для любых l и j, то для имеем: cij ail blj ail 0 0 для любых i и j, т.е. С=0. Покажем свойство 8): Пусть А = ail i 1 lk1 ; В = blj m k m l 1 j 1 . Тогда произведение A B C cij Также: A D d il i 1 m k c cij ail blj . m n i 1 j 1 с d il ail ; k l 1 (5.26) B F f lj l 1 kj 1 с f lj blj m (A) B D B H h и C ( A B) G g ij m n i 1 j 1 m n ij i 1 j 1 A (B) A F P pij m (5.27) c g ij cij . (5.28) k c hij d il blj ; k n i 1 j 1 (5.27) c pij ail f lj . l 1 (5.3) k (5.25) (5.28) k pij ail f lj ail blj ail blj cij g ij , l 1 (5.28) l 1 (5.25) l 1 (5.3) (5.29) l 1 Из равенства (5.30) имеем: k (5.25) l 1 (5.26) (5.29) k k k l 1 l 1 l 1 и g ij cij ail blj (ail ) blj d il blj hij , т.е. P=G=H, или A (B) ( A B) (A) B , и свойство 8) доказано. 18 (5.30) Алгоритм нахождения обратной матрицы Из формулы (5.20), чтобы найти обратную матрицу A1 , нужно: 1) найти детерминант матрицы А; если он равен нулю, то обратной нет. Если detA 0, то находим 2) матрицу A Aij из алгебраических дополнений; ~ ~ ~ 3) транспонируем эту матрицу A AT ; ~ AT 4) всякий элемент матрицы A делим на detA, получим матрицу A . 1 2 . Найдем обратную матрицу A1 : Рассмотрим пример: Пусть A 3 4 1) detA = –2 0; 2) дополнения: A11 M11 4 ; A12 M12 3 ; A21 M 21 2 ; A22 M 22 1 и ~ 4 3 ; A 2 1 ~ 4 2 ; 3) AT 3 1 ~ T 4 2 1 4) A 3 2 1 2 2 2 1 1.5 0.5 . 1 2 §6. Системы линейных уравнений 6.1 Определенность системы линейных уравнений. Совместность, несовместность a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 ............................................. am 1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm (6.1) Определение 1) Система (6.1) линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения. Определение 2) Система (6.1) называется несовместной, если она не имеет решений. Определение 3) Система (6.1) называется определенной, если она имеет единственное решение. Определение 4) Система (6.1) называется неопределенной, если она имеет бесконечно много решений. 19 a11 a Пусть A 21 ... a m1 a12 a 22 ... am2 ... a1n ... a 2 n ; ... ... ... a mn a11 a12 a22 a B 21 ... ... a m1 am 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... amn b1 b2 . ... bm Если к матрице А добавить столбец свободных неизвестных, то получим матрицу В, которая называется расширенной матрицей системы, а сама матрица А называется матрицей системы. 6.2 Матричная форма записи m линейных уравнений с n неизвестными x1 b1 x2 b Положим: x ; b 2 ; ... ... x b n m Тогда система (6.1) переходит в матричное уравнение: (6.2) A x b . (Система линейных уравнений (6.1) эквивалентна одному матричному уравнению (6.2)) §7. Системы n линейных уравнений с n неизвестными их решение с помощью обратной матрицы a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 (7.1) ............................................. an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn (Система (7.1): n-уравнений с n неизвестными) Соответствующее матричное уравнение имеет вид: A x b (7.2) 1 Если матрица системы А не вырождена, то у нее существует обратная матрица A . Умножая обе части уравнения (7.2) слева на матрицу получим: A1 , 1 1 1 A ( A x) ( A A) x A b , т.е. x A1 b (7.3) Мы показали, что справедлива теорема 7.1. Если матрица системы невырожденная, то система определена и её решение можно найти по формуле (7.3). Формула (7.3) даёт решение системы (7.1) с помощью обратной матрицы. x 2 y 2 Рассмотрим пример: . 3x 4 y 4 20 1 2 ; тогда обратная матрица (см. пример в §5, п. 5.10): A 3 4 1 2 x 2 8 . Тогда из (7.3) имеем: A1 , т.е. x = –8; y =5 A 1 1.5 0.5 y 4 5 2 (умножение матрицы A1 на столбец предлагаем читателю провести самостоятельно). 4 Матрица системы: §8. Формула Крамера Рассмотрим систему: a11 x1 a12 x 2 ... a1k 1 x k 1 a1k x k a1k 1 x k 1 ... a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 k 1 x k 1 a 2 k x k a 2 k 1 x k 1 ... a 2 n x n b2 ............................................................................................... a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nk 1 x k 1 a nk x k a nk 1 x k 1 ... a nn x n bn (8.1) a11 a12 ... a1k 1 a1k a1k 1 ... a1n a21 a22 ... a2 k 1 a2k a 2 k 1 ... a2 n ... ... ... ... ... ank ank 1 a n1 a n 2 (8.2) ... ... ank 1 ... ... ... ann b1 b Заменим k-й столбец на столбец 2 свободных коэффициентов; ... b n a11 a12 ... a1k 1 b1 a1k 1 ... a1n получим определитель k a21 a22 ... a2 k 1 b2 a 2 k 1 ... ... ... ... ... a n1 an 2 ... ank 1 (8.3) bn ank 1 ... ... a2 n ... ... (k = 1, 2, …, n); ... ann умножим далее первое уравнение (8.1) на A1k ; 2-е уравнение (8.1) на A2 k ; 3-е уравнение (8.1) на A3k ; …; n-ое уравнение (8.1) на Ank и затем, суммируя уравнения системы (складываем по столбцам), получим: ( A1k a11 A2 k a 21 ... Ank a n1 ) x1 ( A1k a12 A2 k a 22 ... Ank a n 2 ) x 2 ... ( A1k a1k 1 A2 k a 2 k 1 ... Ank a nk 1 ) x k 1 ( A1k a1k A2 k a 2 k ... Ank a nk ) x k ( A1k a1k 1 A2 k a 2 k 1 ... Ank a nk 1 ) x k 1 ... ( A1k a1n A2 k a 2 n ... Ank a nn ) x n b1 A1k b2 A2 k ... bn Ank 21 (8.4) Коэффициентом при x j в левой части уравнения (8.4) является сумма произведений элементов j-го столбца определителя Δ (j = 1, 2, …, n) на алгебраические дополнения k-го столбца, которые равны нулю, если j≠k (см. 12-е свойство определителя; §2) и самому определителю Δ, если j=k (см. 11-е свойство определителя; §2). Правая же часть равенства (8.4) — разложение по k-му столбцу определителя k . Получим равенства: (8.5) xk k (k = 1, 2, …, n) Если Δ≠0, то поделив все равенства (8.5) на Δ, получим: xk k (8.6) Определение: Равенства (8.6), где k = 1, 2, …, n, называются формулами Крамера. Отметим, что если Δ=0, а хотя бы одно из k ≠0, (8.7) то тогда k-е равенство в (8.5) будет противоречивым, и поэтому в этом случае система (8.1) несовместна. x y z 1 На примере системы: 2 x 2 y 2 z 2 читателю предлагается самостоятельно доказать, что 3x 3 y 3z 0 условие (8.7) достаточно для несовместности системы (8.1), но для n ≥ 3 не является необходимым. §9. Элементарное преобразование матриц 9.1 Понятие элементарного преобразования Определение 9.1: Элементарным преобразованием строк 1-го типа называется: либо 1) замена строк местами; либо 2) умножение строки на число 0 ; либо 3) сложение строк. Определение 9.2: Элементарным преобразованием строк 2-го типа называется 1 из 2-х действий: либо 1) замена строк местами; либо 2) прибавление к одной строке другой, умноженной на некоторое число. Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов 1-го и 2-го типа. 9.2 Эквивалентные матрицы и системы Определение 9.3: Матрицы А и В называются эквивалентными, если одну из них можно получить из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований строк. Соответственно различают эквивалентности первого и второго типа. Определение 9.4: Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если эквивалентны их расширенные матрицы. Читателю предлагается доказать самостоятельно, что эквивалентные системы линейных уравнений имеют одно и то же множество решений. Свойства: (предлагаем читателю вывести их самостоятельно) 1) А~А /рефлексивность/ 2) А~В В~А /симметричность/ 3) А~В, В~С А~С /транзитивность/ 22 9.3 Ступенчатые матрицы; сведение матрицы к ступенчатой Определение 9.5: Ступенчатой называется матрица такого вида: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 этого столбца (столбцов) могло и не быть /при переходе к следующей строке «вниз» идем не более, чем на один ненулевой элемент; слева направо последующая строка может увеличиться и на несколько нулевых элементов/ Нулевая матрица, по определению, также является ступенчатой. Справедлива следующая теорема Гаусса: Всякая матрица эквивалентна некоторой ступенчатой матрице. Эту теорему доказываем методом математической индукции по числу строк матрицы А: a12 ... a1m a ; 1. n=2, т.е. A 11 a 21 a 22 ... a 2 m Не ограничивая общности, можно считать, что a11 0 , ибо если a11 0 , а a21 0 , то меняем местами первую и вторую строки. a Из второй строки матрицы А вычтем первую, умноженную на 21 . Получим: a11 a12 ... a1m a11 a21 a21 — ступенчатая матрица. A~ ... a 2m a1m 0 a 22 a12 a a 11 11 a12 ... a1m a11 a22 ... a2 m a21 ... ... ... . 2. Шаг индукции. Пусть A ... ak 2 ... akm ak 1 a ( k 1)1 a( k 1) 2 ... a( k 1) m Можно считать, что первый столбец матрицы А ненулевой, т.е. a j1 0 при некотором j. Тогда, меняя, в случае необходимости первую и j-ую строки местами, получим, что a11 0 (для новой матрицы). Вычитая из j-й строки (j=2,3,...,k,k+1) первую, умноженную a j1 на , получим: a11 b jl a j 1 e1 a1l 1 23 a j 1;1 a11 a12 ... a1m a11 a12 ... a1m a11 a11 a12 ... a1m a 22 ... a 2 m 0 b11 ... b1( m1) 0 a 21 ... ... ... ... ... ... A ... ~ ... ~ ... ступенчатая ak 2 ... a km 0 b( k 1)1 ... b( k 1)( m1) 0 a k1 матрица a bk1 ... bk ( m1) 0 ( k 1)1 a( k 1) 2 ... a( k 1) m 0 –– ступенчатая матрица. Матрица, получившаяся в правом нижнем углу матрицы А, состоит из k строк, и поэтому она сводится к ступенчатой по индуктивному предположению. Теорема Гаусса доказана. 9.4 Диагональные матрицы Определение 9.6: Матрица называется диагональной, если все её элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. Имеет место следующая теорема: Всякая невырожденная матрица эквивалентна некоторой диагональной и единичной. Теорему доказываем методом математической индукции по порядку матрицы. 1. База индукции: пусть n=2. a a ' a12 ' a a11'a22 ' det A 0 , т.е. a22 ' 0 A 11 12 ~ 11 a21 a22 0 a22 ' Из 1-ой строки вычитаем 2-ую, умноженную на a ' 0 a12 ' – диагональная матрица. A ~ 11 a22 ' 0 a22 ' 2. Шаг индукции: a12 ' ... a1k ' a1( k 1) ' a11 a12 ... a1k a1( k 1) a11 ' a22 ' ... a2 k ' a2( k 1) ' 0 a22 ... a2 k a2( k 1) a21 ' ... ... ... ... ~ ... ... ... ... ... A ... ak 2 ' ... akk ' ak ( k 1) ' 0 0 ... akk ak ( k 1) ak 1 ' a 0 ... 0 a( k 1)( k 1) ( k 1)1 ' a( k 1) 2 ' ... a( k 1) k ' a( k 1)( k 1) ' 0 Заметим, что a ( k 1)( k 1) 0 (более того, a jj 0 для любого j=1,2,…,k,k+1), ибо (см параграф 3 , п.3.3) det A a11, a22 ,..., akk , a( k 1)( k 1) 0 . Тогда, вычитая из j-ой строки (k+1)-ю (j=1,2,…,k), умноженную на a11 a12 0 a22 A ... ... 0 0 0 0 a j ( k 1) a( k 1)( k 1) ... a1k ... a2 k ... ... ... akk ... 0 , получим, что: a11 0 0 0 a22 ... ~ ... ... 0 0 0 a( k 1)( k 1) 0 0 0 ... 0 ... 0 ... ... ... akk ... 0 0 ... 0 a( k 1)( k 1) 0 (9.1) матрица k-го порядка, которая, по индуктивному предположению, сводится к диагональной. А поделив j-ю строку (j=1,2,…,k,k+1) на a jj (как уже отмечалось ранее, a jj 0 для любого j), получим единичную матрицу. Теорема доказана. 24 §10. (Метод Гаусса) Решение произвольной системы линейных уравнений Напомним определение 9.4 в §9: Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если эквивалентны их расширенные матрицы. Метод Гаусса заключен к сведению расширенной матрицы к ступенчатой. x1 2 x2 x3 4 Рассмотрим его на примере, решая следующую систему: 3x1 5 x2 3x3 1 2 x 7 x x 8 2 3 1 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1) 2) 3) A 3 5 3 1 ~ 0 11 0 11 ~ 0 1 0 1 ~ 0 1 0 1 2 7 1 8 0 3 3 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1) Из второй строки вычтем утроенную первую, а из третьей – удвоенную первую; 2) вторую строку поделим на «-11», а третью – на «-3»; 3) к третьей строке прибавим вторую. Обратный ход: 1 2 1 4 Матрица 0 1 0 1 задает следующую систему уравнений 0 0 1 1 x1 2 x2 x3 4 x2 1 x 1 3 Тогда: x2 1 ; x3 1 и x1 4 2 x2 x3 1 . §11. Определение ранга матрицы 11.1 Понятие ранга матрицы Определение 11.1: Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличного от нуля минора матрицы. При этом под минором матрицы А k-го порядка (обозначение: M k (A) ) будем понимать определитель k-го порядка, получаемый из матрицы А в результате вычеркивания некоторых её строк и столбцов. 4 1 2 1 5 1 5 6 1 2 4 3 0 2 1 4 1 ; Пример: A 0 4 1 ; B C 2 1 1 4 ; 0 0 1 2 1 0 0 2 3 3 3 1 0 0 0 8 1 2 4 1 1 D 2 4 8 2 ; 1 2 4 1 0 0 ; F 0 0 1. Для матрицы А её единственный минор 3-го порядка – det A 0 . Поэтому r(A)=3. 25 4 1 2 2. Для матрицы В существует M 4 ( B) 0 2 0 0 1 1 4 64 0 (Получается из В 1 2 0 0 0 8 удалением её последнего столбца); поэтому r(В)=4. 3. Для матрицы С её третья строка равна сумме первых двух (проверить), и поэтому для всякого её минора третьего порядка третья строка будет равна сумме первых двух, и поэтому он будет равен нулю (см. §1, 9-е свойство определителя третьего порядка). Тем не менее, есть M 2 (C ) 1 2 3 0 (получаемый из матрицы С удалением её 2 1 третьей строки и третьего и четвертого столбцов), и поэтому r(С)=2. 4. Все строки матрицы D пропорциональны (вторая строка равна удвоенной первой, а третья – первой, взятой с противоположным знаком), и поэтому все миноры второго и третьего порядков содержат пропорциональные строки и равны нулю. Есть лишь M1 ( D) 1 0 (получается из матрицы D удалением второй и третьей строки, а также второго, третьего и четвертого столбцов), и поэтому r(D)=1. В качестве задачи предложим читателю доказать, что имеет место следующая теорема 11.1: r(A)=1 все строки (и столбцы) матрицы А пропорциональны и А≠0. 5. В матрице F=0 вообще нет ни одного ненулевого минора; её ранг равен нулю. 11.2 Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях Теорема 11.2: Ранг матрицы при элементарных преобразованиях не меняется. Для её доказательства рассмотрим следующие леммы: Лемма №1: Пусть r(A)=k, тогда все миноры (k+1)-го порядка M k 1 ( A) 0 , либо не существуют и M k ( A) 0 (непосредственно следует из определения ранга). Лемма №2: Если M k 1 ( A) 0 для любого минора, то r(A)≤k. Доказательство: Разлагая минор (k+2)-го порядка матрицы А по какой-либо его строке, мы получим, что он представляется как сумма произведений элементов этой строки на их алгебраические дополнения, каждое из которых, с точностью до знака, совпадает с соответствующим минором (k+1)-го порядка матрицы А, и поэтому равны нулю. Поэтому всякий M k 2 ( A) 0 . Разлагая далее любой минор (k+3)-го порядка по некоторой его строке, получим, что он равен сумме произведений элементов его строки на их алгебраические дополнения, которые являются (с точностью до знака) минорами (k+2)-го порядка матрицы А, и поэтому равен нулю. Итак, все M k 3 ( A) 0 . По аналогии получим, что все M k j ( A) 0 (если они существуют), и лемма №2 доказана. Лемма №3: Если r(A)=k, то определитель, состоящий из (k+1)-й строки матрицы А, равен нулю (его получают из минора (k+1)-го порядка с использованием замены строк местами). /она легко следует из леммы №1/ Лемма №4: Любое элементарное преобразование не увеличивает ранга матрицы. Доказательство: Пусть r(A)=k, а матрица В получается из матрицы А в результате какого-либо одного из элементарных преобразований строк первого типа (см. §9; лемма для элементарного преобразования строк второго типа будет следовать из её справедливости для элементарных 26 преобразований первого типа, ибо всякое элементарное преобразование строк второго типа можно представить в виде последовательного действия одного или трёх преобразований первого типа). Рассмотрим каждое из элементарных преобразований строк первого типа последовательно: 1) Замена строк местами: тогда любой M k 1 ( B) состоит из (k+1)-й строки матрицы А (взятых, возможно, в другом порядке), и поэтому, по лемме №3, он равен нулю. 2) Умножение строки на число 0 (обозначение: ( j) A – j-я строка матрицы А; ( j )B : ( j ) A – j-ю строку матрицы А умножаем на ). Рассмотрим следующие случаи: а) ( j ) A M k 1 ( A) . Тогда в M k 1 ( A) ничего не изменилось, и поэтому, по лемме №1, M k 1 ( B) M k 1 ( A) 0 . строки ( A) б) ( j ) A M k 1 ( A) . Тогда M k 1 ( B) ( j) A строки ( A) строки ( A) ( j) A M k 1 ( A) 0 0 . (см. строки ( A) лемму №1) 3) Сложение строк (обозначение: ( j) B : ( j) A (i) A – j-я строка матрицы В получается сложением (j)-й и (i)-й строк матрицы А). Рассмотрим следующие случаи: а) ( j ) A M k 1 ( A) , тогда в M k 1 ( A) ничего не изменилось, и поэтому, по лемме №1, M k 1 ( B) M k 1 ( A) 0 . строки ( А) строки ( А) строки ( А) ( j ) A M k 1 ( A) б) . Последние 2 слагаемые ( j) A (i) A M k 1 ( B) ( j ) A (i) A (i) A M k 1 ( A) строки ( А) строки ( А) строки ( А) являются минорами (k+1)-го порядка матрицы А, которые равны нулю по лемме №1 (во втором слагаемом может быть изменен порядок строк). Поэтому и в этом случае их сумма M k 1 ( B) 0 . строки ( А) строки ( А) строки ( А) (i ) A (i ) A (i ) A ( j ) A M k 1 ( A) в) M k 1 ( B) строки ( А) строки ( А) строки ( А) M k 1 ( A) 0 0 0 0 , (i ) A M k 1 ( A) ( j ) i ( A) ( j) (i ) A A A строки ( А) строки ( А) строки ( А) ибо первое слагаемое в предпоследней сумме является минором (k+1)-го порядка матрицы А, который равен нулю по лемме №1 (r(A)= k), а второй определитель обращается в ноль, так как он имеет одинаковые строки (на месте его i-й и j-й строк находится одна и та же i-я строка матрицы А). Мы показали, что для любого из элементарных преобразований любой M k 1 ( B) 0 , и поэтому, по лемме №2, r(B)≤k=r(A). (11.1) Из леммы №4 легко следует Лемма №5: Пусть из матрицы В получается матрица А конечным числом элементарных преобразований. Тогда r(B)≤r(A) (11.2) Проведя обратные элементарные преобразования (от В к А), из леммы №5 получим, что r(А)≤r(В) (11.3) Сопоставляя неравенства (11.2) и (11.3), имеем, что r(А)=r(В), и теорема 11.2 (об инвариантности ранга матрицы) доказана. 27 §12. Ступенчатые матрицы и их ранг 12.1 Определение ступенчатой матрицы Как было упомянуто раньше (см. п.9.3;определение 9.5), ступенчатой называется матрица такого вида: 0 0 S 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12.2 Ранг ступенчатой матрицы Имеет место теорема: ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк. Теорема достаточно очевидна (в M k (S ) надо удалить выделенные столбцы и строки), и предоставим читателю доказать её самостоятельно. §13. Теорема Кронеккер-Капелли 13.1 Формулировка теоремы Кронеккер-Капелли Теорема Кронеккер-Капелли: Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг её основной матрицы был равен рангу её расширенной матрицы. a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 (13.1) .......... .......... .......... .......... ..... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n b1 a 21 a 22 ... a 2 n a21 a22 ... a2 n b2 ; A B ... ... ... ... ... ... ... ... ... a a a ... a a ... a b m2 mn m2 mn m m1 m1 13.2 Формулировка критерия определенности Теорема (будет доказана в конце §19): Система линейных уравнений (13.1) определена (имеет единственное решение) тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу её расширенной матрицы и равен числу неизвестных. 28 13.3 Доказательство необходимости теоремы Кронеккер-Капелли (её достаточность будет доказана в конце §19) Отметим, что r(B)≥r(A), ибо если r(B)=k, то всякий M k 1 ( B) 0 . Но всякий M k 1 ( A) является минором матрицы В (ибо матрица А является частью матрицы В), и поэтому M k 1 ( A) M k 1 ( B) 0 . Поэтому по лемме №2 из §11 r(А)≤k=r(В). Итак, пусть r(А) r(В)=k (тогда r(А)<r(B)). Приведя матрицу В к ступенчатому виду, получим: ... a1n ' b1 ' a11 ' a12 ' a2 n ' b2 ' 0 a22 ' ... ... ... ... ... ... (под a ij ' будем обозначать преобразованные элементы 0 ... 0 b( k 1) ' 0 нули 0 матрицы А, а под b j ' – преобразованные элементы последнего столбца матрицы В). При этом (k+1)-я строка матрицы В соответствует уравнению: 0 x1 0 x2 ... 0 xn b( k 1) ' 0 , которое противоречиво, и, следовательно, система (13.1) несовместна. Итак, если r(A) r(B), то, система (13.1) несовместна, и поэтому для совместности системы линейных уравнений (13.1) должно быть выполнено r(А)=r(В). Необходимость теоремы Кронеккер-Капелли доказана. Глава 3. Векторная алгебра 29 §14.Векторы, равенство векторов , коллиниарность и компланарность векторов, разность , умножение векторов. Свойства этих операций. Длина отрезка |АВ| - длина вектора AB Под вектором обычно понимается величины , для задания которых необходимо знать не только их численное значение, но и направленное действие (Например, перемещение точки, скорость, ускорение, сила). Величины для задания которых достаточно знать лишь их численное значение (например температура), называются скалярными величинами или скалярами. Обычно вектор обозначают как направленный отрезок. А В Определение: Система векторов a1 , , a n называется коллинеарной, а эти векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. 1) 2) В первом случае векторы коллинеарны, во втором – сонаправлены. Определение: Система компланарная, а векторы – компланарные, если векторы находятся в одной плоскости или на параллельных плоскостях. (Два вектора всегда компланарны.) Определение: AA - нуль-вектор: AA 0 (Вектор, у которого конец и начало совпадают – нуль-вектор) Этот вектор не имеет направления и коллинеарен любому вектору. Свойства: 1. a a || a 2. Если a || b , то b || a 3. a || b , a || с , a ≠0 → b || c Определение: Векторы равные, если: 1. они коллинеарные 2. равны по длине 3. направлены в одну сторону Определение: Если векторы коллинеарны, равны по длине, направлены в разные стороны, то они противоположные. Определение: Множество всех векторов, равных заданному, называется свободным векторам. 14.1 Сложение векторов 1) Правило параллелограмма. 30 A c =a + b (Векторы а и b не коллинеарные.) a O C c b Рис 14.1 B 2) Правило треугольника С c =a + b (Векторы а и b могут быть коллинеарные.) c b О a Рис 14.2 В 14.2 Умножение вектора на число Правила(Определения): 1) a || a ; 2) a = |λ| | a |; 3)Эти векторы сонаправленны, если λ > 0, и противоположно направлены, если λ < 0. Свойства: 1) 0 a = 0 ; 2) | a + b | ≤ | a | + | b | и | a + b | = | a | + | b | ↔ a ↑↑ b – a и b параллельны и сонаправленны; 3) | a - b | ≥ || a | -| b || и | a + b | =| | a | - | b || ↔ a ↑↓ b – a и b параллельны и противоположно направлены.При этом вектор a + b направлен в сторону того из векторов a или b , который имеет большую длину. 14.3 Свойства линейного пространства 1) a + b = b + a (очевидно, если сложить по правилу параллелограмма) 2) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) 3) a + 0 = a 4) a + (- a ) = 0 5) λ( a + b ) = λ a + λ b 6) (λ + μ) a = λ a + μ a 7) (λμ) a = λ(μ a ) 8) 1× a = a Докажем свойства 2) ÷ 8): 31 2) Ассоциативность С b + c = AC a + b = OB a + ( b + c ) = OA + AC = OC (14.1) ( a + b ) + c = OB + BC = OC (14.2) (14.1) = (14.2) c В b О Рис 14.3 a А 3) AB + BB = AB 4) По определению: a – b = a + (- b ). b = AB , тогда - b = BA : b – b = b + (- b ) = AB + BA = AA = 0 5) Пусть a 0 , b 0, λ 0 (иначе 5-е свойство становится тривиальным: 0 = 0 , или ( при b = 0); λ a = a λ), предположим: a и b неколлинеарные.(случай a || b будет доказан в §16 п.16.2) Пусть точка О – начальная точка вектора a .(см. рисунок 14.4) В’ В λ a = OA' λ b = AB' a = OA b = AB Также: AB || A`B` (т.к. λ b || b ) и OAB = OA`B`. Также: a a OA` OA b b A`B` О А А’ AB Рис 14.4 Поэтому ΔOA`B` ~ ΔOAB, B`OA` = BOA , т.е точка B лежит на прямой OB’. Но OB ` = OA ` + A`B` = λ a + λ b (14.3); OB = OA + AB = a + b (14.4) OB ` OA` , OB `|| OB , т.к. ∆OAB ~ ∆OA’B’ OB' OB т.е. (14.5) OB OA Подставляем (14.3) и (14.4) в (14.5) получаем λ a + λ b = λ( a + b ). 6) Можно полагать, что λ 0, μ 0, a 0, иначе свойство (6) становится тривиальным: 0 = 0. (или при μ = 0, λ a = λ a )по определению (см.14.2 , правило 1)считаем, что λ a ║ a , μ a ║ a → (λa + μ a ) ║ a (14.7) и (λ + μ) a || a (14.8). Из (14.7) и (14.8) следует, что (λ+ μ) a || λ a + μ a . Далее надо рассматривать следующие случаи: а) λ > 0 , μ > 0 б) λ > 0 , μ < 0 , λ + μ > 0 в) λ > 0 , μ < 0 , λ + μ < 0 32 г) λ < 0 , μ < 0 Рассмотрим, например, случай (б): т.к. λ + μ > 0, то (λ + μ) a ↑↑ a , λ a ↑↑ a , μ a ↑↓ a , т.е. μ a ↑↓λ a . Поэтому вектор a a коллинеарен как a , так и a , и направлен в сторону более длинного вектора, т.е. a . a a a a (14.10) Из случая (б) имеем: , т.е. из (14.10) следует ( )a a a a a a (14.11) т.е. векторы ( )a и a a имеют одинаковую длину. Заметим, что a a a a , ибо a имеет большую длину, чем a Поэтому (( ) 0) ( )a a ( a a ) и случай б) доказан (Остальные случаи читателю предоставим рассмотреть самостоятельно.) 7) Заметим, что ( )a a a (14.12) | ( )a || | a a т.е. (см 14.12)); | ( )a || ( a ) | (14.13) Покажем, что ( a ) ( )a (14.14) Для чего рассмотрим следующие случаи: а) 0, 0 б) 0, 0 в) 0, 0 г) 0, 0 Рассмотрим, например, случай (в) (остальные случаи просим читателя рассмотреть самостоятельно): 0 и потому ( )a a (14.15) также a a , ( a ) a , т.е. ( a ) a (14.16) сопоставляя (14.15) и (14.16), получим (14.14). 8) 1 a a и 1 a a , т.е. 1 a a §15. Линейно – зависимые векторы и их свойства Определение: Система векторов a1 , a 2 , an называется линейно-зависимой (л.з.), если 1 , 2 , n , не все из которых = 0 и a1 2 a 2 n an 0 . Определение: линейно выражается через a1 , , an , если 1 , , n , что 1a1 ... n a n Свойства: 1) Если система содержит нуль-вектор, то она линейно зависима: 10 0a1 0a2 . 2) Если система имеет линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима. f k 1 f k 2 ... f n 0 0an = 0 ( f1 a1 f 2 a 2 ... f k a k ) f k 1 a k 1 ... f n a n 0 , т.к. f12 f 22 ... f n2 f12 ... f k2 3) Система векторов линейно зависима, тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные векторы. 33 f f f f1a1 f 2 a2 f n an 0 , если f1 0 , то a1 2 a2 3 a3 ... n an f1 f1 f1 Если же a1 2 a 2 n an , то - 1a1 1a2 n an 0 и система a1 , a 2 , a3 линейно зависима. §16. Линейная зависимость колениарных и компланарных векторов.Линейная зависимость четырех векторов. 16.1 Фармулировки теорем о линейной зависемости коллениарных и компланарных векторов 1 1 Теорема 16.0: a – л.з. a o (если a 0 , 0 то вектор a 1a ( )a (a ) 0 ). Теорема 16.1: 2 вектора линейно зависимы, тогда и только тогда, когда они коллинеарные. Теорема 16.2: 3 вектора линейно зависимы, тогда и только тогда, когда они компланарные. 16.2. Формулировка теоремs о линейной зависимости четырех векторов. Теорема 16.3: 4 вектора всегда линейно зависимы. 16.3. Доказательство теорем Доказательство теоремы 16.1: b a b || a (Смотри п14.2(§14) правило 1) определение) Если a 0 , то b b ( )a ( “+”, если сонаправленны; “–“, если противоположно направлены). a b (читателю предлагаем самостоятельно доказать, что если c a («+», если a b и «-» a b то a b ), то с b и с b ) т.е b c a ) a a || b , Причём, если то и b a , (a b ) (a a ) (1 )a ( )a a (a ) a b и, таким образом, свойство (5) суммы и умножения векторов на число (см.31.4) полностью доказано. Доказательство теоремы 16.2: a, b, c – л.з. c a b и они компланарны, ибо c является диагональю параллелограмма, на сторонах которого лежат векторы a и b .(см. рис 16.1) 34 Пусть a , b, c – компланарны;а a не || b (иначе a, b , c содержит линейно зависимую подсистему a, b В b c c OA OB , OA a ; , OB b . b Тогда c a b O a a Рис 16.1 A Мы показали так же что справедлива Лемма 16.1: если a , b неколлинеарные, a , b, c компланарные, то , , что c a b . Доказательство теоремы 16.3: Пусть a , b, c, d выходят из общего начала (точки О). Можно считать, что среди векторов a , b, c, d нет компланарных троек (иначе существует л.з. подсистема). Из конца вектора d (т.D) проводим прямую до её пересечения с плоскостью, на которой расположены векторы a и b . Пусть М – искомая точка пересечения. (см. рис 16.2) Тогда MD || c и, следовательно, MD c (16.1) По правилу треугольника, d OM MD OM c (16.2) Векторы a и b не коллинеарные, и тогда OM a b (16.3) Подставляя вместо OM в (16.2) его выражение по формуле (16.3), получаем d a b c , т.е. d линейно выражается через векторы a , b, c , и система a , b, c, d – л.з. D C B O M A Рис 16.2 §17. Базис, координаты вектора, разложение вектора по базису Определение: система векторов зависима и a a, e1 , e , 1 , en называется базисом, если она линейно не , en – л.з. Система линейно не зависима, если: f 1 e1 ... f n e n 0 f 1 f 2 ... f n 0 . На плоскости базисом является любая пара неколлинеарных векторов, в пространстве – тройка не компланарных векторов. Теорема 17.1: e1 , , en – базис только тогда, когда: 1) эта система линейно независима; 2) любой вектор можно выразить через e1 , , en , причём это выражение единственно. 35 Доказательство: Т.к. a, e1 , , en – линейно зависима, то a e11 ... en n 0 при 2 21 ... n 2 0 (17.1) Если 0 , то из (17.1) получим, что e11 ... en n 0 и 21 ... n2 0 , т.е. система e , 1 , en – линейно зависима, чего не может быть, т.к. она является базисом. Поэтому 0 , и, поделив обе части (17.1) на и перенося слагаемые e1 , часть, получим, что a e11 ... en n с a1 1 ;…; an n . Получим единственность: a = eα 1 1 +...+ enαn (17.2) , en в правую Если существует другое разложение (17.2): a e1 '1 ... en 'n , (17.3) то, вычитая из (17.2) равенство (17.3), получим: 0 ( 1 1 )e1 ... ( n n )e n Но, так как система e1 , , en – л.нез., то мы получаем, что 1 1, ... n n, 0 . т.е 1 1 ' n n ' Единственность доказана. Доказана также следующая лемма. Лемма 17.1: если система e1 , , en – л.нез., а a, e1 , , en – л.з., то элемент “ a ” единственным образом линейно выражается через элементы e1 , , en . Определение: a1 ...an называются координатами вектора a при его разложении по базису e1e2 ...en 1 ,..., n в (17.2) Теорема 17.2: При сложении векторов их координаты складываются, а при умножение вектора на число – координаты умножаются на это число. a a1 , , an ; b b1 , , bn a b a1 b1 , , an bn f a fa1 , , fan Доказательство: a a1e1 ... an en и b b1e1 ... bn en , тогда a b (a1 b1 )e1 ... (an bn )en и a ( a1 )e1 ... ( an )en §18. Линейное пространство и линейные операторы Определение: Линейное пространство над множеством вещественных чисел – некоторое множество объектов, где заданы операции сложения и умножения на действительное число, со следующими свойствами: 1) a b b a ( a b ) c a (b c ) 2) 3) 0 a a 0 a 4) a a a ( a ) 0 , тогда a a b a ( b ) f ( a b ) fa fb 5) ( f g )a fa ga 6) f ( ga ) ( gf )a 7) 36 8) 1a a В линейном пространстве действуют все определения и теоремы §15 и §17. Теорема 18.1: Система линейно зависима, когда хотя бы один из её элементов можно выразить через остальные. Доказательство такое же, как и у векторов. Система линейно независима, если из того f1a1 ... f n an 0 , что f1 f 2 ... f n 0 .(т.е содержит ненулевой элемент) Определение18.1 Если в нетривиальном пространство называется конечномерным. пространстве существует базис, то Определение18.2: Число элементов базиса – размерность линейного пространства. Теорема 18.2: Все базисы одного и того же пространства состоят из одинакового количества элементов. Теорема 18.2 будет доказана ниже (как следствие теоремы о замене элементов базиса). Из неё, в частности, следует корректность определения размерности линейного пространства и её независимость от выбора базиса. Определение 18.3: Линейной оболочкой z e1 , , en называется множество всех элементов линейного пространства, которые линейно выражаются через e1 , , en . Определение18.4: Систему e1 , e2 ...en назовем полной ,если все линейное пространство является ее линейной оболочкой т.о. Базис - полная линейно не зависимая система элементов. Теорема 18.3: Координаты суммы равны сумме координат.(доказывается аналогично теореме 17.2) Теорема о замене элементов базиса: e1 ,..., en - базис (18.1) f 1 ,..., f m - линейно независимая система m n (18.2) Тогда некоторые m элементы (18.1) заменяются на элементы (18.2) f1 , , fm , em1 , , en (18.3) (причём система (18.3) будет базисом) Согласно определениям §17, базис дополнить нельзя, ибо, любые его дополнения делают его линейно зависимой системой. т.е из теоремы 18.2 получается из теорема о замене элементов базиса. Следствие18.1: Любую линейно независимую систему в конечномерном линейном пространстве можно дополнить до базиса. Лемма 18.1: b za, e1 , e 2 ...e n c z b,e1 ,e2 ...en c z(a,e1e2 ...en ) Доказательство леммы 18.1: b a b1e1 ... bn en (18.4) c b 1e1 ... n en (18.5) 37 Подставляя в (18.5) вместо b его выражение из формулы (18.4), получим с ( b1 1 )e1 ... ( bn n )en (18.6) Лемма 18.2: a z (e1 ,...e n ) b z (e1 ,...e n ) (18.7) b z (a, e1 ,...e n ) Доказательство: a a1e1 ... an en (18.8) b a b1e1 ... bn en (18.9) Поместив вместо a в (18.9) его выражение по формуле (18.8), получим: b ( a1 b1 )e1 ... ( an bn )en Следствие: Всякую полную систему можно уменьшить до базиса. Доказательство теоремы о замене элементов базиса методом математической индукции: m=1 (база индукции) Тогда можно считать, что 1e1 0 1 0 f1 1e1 2 e2 ... n en 0 1e1 f1 2 e2 ... n en 1 e1 f1 2 e2 ... n en 1 1 1 e1 z( f1 , e2 ,..., en ) т.к. (18.1) – базис, то a z(e1 ,..., en ) . Тогда, по лемме 18.1 a z( f1 , e2 ,..., en ) , т.е. система f1 , e2 ,..., en – полная. Допустим, что f1 , e2 ,..., en линейно зависима. Тогда по лемме 17.1 f1 z (e2 ,..., en ) Но т.к. e1 z( f1 , e2 ,..., en ) , то по лемме 18.2: e1 z(e2 ,..., en ) , и система e1 ,...en – л.з. Следовательно, предположение о линейной зависимости системы f1 , e2 ,..., en неверно. Шаг индукции f1 , , f k , ek 1 , , en – базис (18.11) По индуктивному предположению имеем, что f1 , , f k , ek 1 , , en – базис; т.е. f k 1 1 f1 ... k f k k 1ek 1 k 2 ek 2 ... n en (18.12) k 1ek 1 1 f1 ... k f k f k 1 ... k 2 ek 2 ... n en (18.13), но 2 k 1 2 k 2 ... 2 n 0 , т.к. если k 1 k 2 ... n 0 , то f k 1 1 f1 ... k f k , т.е. система f1 ,..., f k , f k 1 – л.з. k 1 0 f e e f 1 ek 1 1 1 ... k k k 2 k 2 ... n n f k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 ek 1 z( f1 , , f k 1 , ek 2 , , en ) (18.10), т.к. система (18.11) – базис, то a z(f 1 ,... f k , ek 1 , ek 2 ..., en ) , из леммы 18.1 имеем a z(f 1 ,..., f k , f k 1 , ek 2 ..., en ) , т.е. система f1 , , f k , f k 1 , ek 2 , , en полная (18.14). Пусть (18.10) – л.з. (18.10) без f k 1 линейно не зависима, т.к. является частью базиса.(18.11) По лемме 17.1 следует: f k 1 z( f1 , , f k , ek 2 , , en ) . 38 Но ek 1 z(f 1 ,..., f k , f k 1 , ek 2 ..., en ) , и тогда по лемме 18.2: ek 1 z( f1 , , f k , ek 2 , , en ) Из этого следует, что (18.11) линейно зависима, чего не может быть. Следовательно, предположение о л.з. (18.10) неверно, т.е. система ( f1 , , f k , f k 1 , ek 2 , , en ) – базис. Линейное подпространство Определение: Подмножество L линейного пространства С называется линейным подпространством, если x , y L и вещественного : x yL и x L . Линейный оператор Пусть X и Y – линейные пространства и A:X Y Определение: А называется линейным оператором, если 1) A( x y ) A( x ) A( y ) ; 2) xA( x ) A( x ) . Определение: Ядром линейного оператора (обозначается – ker ) называется множество всех таких точек x линейного пространства, для которых ( x ) 0 . Теорема 18.4: ядро линейного оператора является подпространство линейного пространства. x, y ker A A( x ) A( y ) 0 A( x y ) A( x ) A( y ) 0 x y КerA A( x ) A( x ) 0 x КerA Следовательно, ядро любого оператора – линейное подпространство. §19. Исследование систем линейных уравнений 19.1. Однородные системы a11 x1 a12 x2 ...a1n xn b1 a x a x ...a x b 21 1 22 2 2n n 2 (19.1) am1 x1 am2 x2 ...amn xn bm b1 x1 b 2 x B ; x 2 ..... ..... b n xn Ее матричная форма записи есть: Ax b (19.2) b1 x1 a11a12 ...a1n a21a22 ...a2 n b 2 x2 b ; x A ..... ............. ..... a a ...a b n xn n1 n 2 nn 39 x1 x Аx – линейный оператор, переводящий множество столбцов x 2 в множество ..... xn b1 b столбцов B 2 по формуле B Ax . ..... b m Теорема 19.1: Пусть x 1, 0 – решение Ax B 1 , а x 2, 0 – решение Ax B 2 , тогда x 1,0 x 2,0 - решения. Ax B 1 B 2 , а x 1, 0 решение системы Ax B 1 . A( x1,0 x2,0 ) Ax1,0 Ax2,0 B1 B2 A( x1,0 ) A ( x1,0 ) B1 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n ..................................... am 1 x1 am 2 x2 amn xn 0 (19.7) Её матричная форма записи: Ax = 0 (19.8) Определения: Система (19.7) - однородная система линейных уравнений. Система (19.1) - неоднородная система линейных уравнений. (при b 0 , т.е. b12 b22 .... b32 ... bm2 0 ) Т.е. всякое решение однородной системы (19.8) является ядром линейного оператора. Поэтому множество решений однородной системы (19.8) является линейным пространством. Теорема 19.2: Множество решений системы (19.7) – линейное пространство размерностью n-r, где r – ранг матрицы А. Определение: Базисным называется не равный нулю минор матрицы А, порядок которого равняется рангу матрицы. Определение: Базис во множестве решений однородной системы (19.8) называется фундаментальной системой решений. Пусть базисный минор содержит столбцы i1 , , ir . Тогда xi1 , xi 2 , , xir – базисные неизвестные, а остальные – свободные неизвестные. Будем считать далее, что неизвестные x1 , , xr – базисные, а xr 1 , , xn – свободные неизвестные. Положим Ab – матрица, соответствующая базисному минору у матрицы системы (19.7), а Acb – остальные столбцы матрицы этой системы с противоположным знаком. Тогда, перенеся члены со свободными неизвестными в правые части всех уравнений системы (19.7), получим уравнение: 40 xr 1 x1 (19.9) Aб Acв x x r n А так как матрица в левой части (19.9) - невырожденная, то система (19.9) имеет единственное решение, т.е. каждому набору свободных неизвестных соответствует единственный набор базисных неизвестных. Доказательство теоремы 19.2: Рассмотрим наборы: xr 1 1 x r 1 0 xr 1 0 xr 2 0 x r 2 1 xr 2 0 (19.10) ; f1 ; f 2 ..... ;f n-r ..... ..... xn 0 x n 0 xn 1 x11 x12 x1nr 1 2 nr x2 x2 x Пусть e1 – решение Aб хб Aсв f1 , e2 – решение Aб хб Aсв f 2 , …, en r 2 – x1 x2 x nr r r r решение системы Aб хб Aсв f nr enr e1 e2 Пусть g1 g 2 … gnr (19.12) f1 f2 f nr Покажем, что g1 , , gnr – базис в пространстве решений (19.7). 1) Линейная независимость g1 , , g n r : enr e1 Пусть 1g1 ... nr g n-r 0 , т.е. 1 nr 0 f1 f nr x12 x1n2 ax1 0 . . . .. .. .. . . . 2 n2 xr xr axr 0 или 0 0 1 1 ... nr 0 1 (19.13) 0 0 2 0. . .. . . . . . .. . 0 1 0 nr Сравнивая в левых и правых частях столбцов равенство (19.7) их нижних n-r чисел, получаем, что 1 2 nr 0 , т.е. система g1 , , gnr – линейно независима. 2) Полнота g1 , , g n r 41 Пусть x1 xr x xr 1 xr 2 x n – произвольное решение xr 1 x r 2 x f x f ... x f (19.14) n nr r 1 1 r 2 2 xn (докажите равенство (19.14) используя определение f1 , системы (7), тогда имеем , f nr в (19.10)) Но согласно формуле (19.9), базисные неизвестные x1 , , xr однозначно определяются из системы xr 1 x1 x А f x А f ... x А f (19.15) Aб Асв n св n r r 1 св 1 r 2 св 2 x x r n x1 поэтому из теоремы 19.1 и равенства (19.15) имеем: xr 1e1 xr 2 e2 ... xn en r (19.16) x r Соединяя столбцы в равенство (19.14) и (19.1Б) (сверху напишем столбцы из (19.16), снизу x1 из (19.14)) и используя определение (19.12), получим: xr 1 g1 xr 2 g2 ... xn g nr x n (19.17) Равенство (19.17) означает, что всякое решение системы (19.7) выражается через решения g1 , , gnr по формуле (19.17). Поэтому совокупность решений g1 , , gnr – полна, и, сопоставляя с ранее доказанной линейной независимостью g1 , g1 , , gnr , получим, что , gnr – базис, имеющий (n-r) решений. Теорема 19.2 полностью доказана. 19.2 Решение неоднородных систем Теорема 19.3: Общее решение неоднородной системы (19.1) представляется в виде сумм частного решения (19.1) и общего решения соответствующей однородной системы (19.7). xr ,1 xr ,2 Доказательство: Если – некоторое частное решение системы (19.1), то для любого x r , n 42 x0,1 xr ,1 x0,1 x0,2 xr ,2 x0,2 решения системы (19.7) по теореме 19.1 имеем, что является решением x x x 0,n 0,n r ,n x1 x системы (19.1). Наоборот, для любого 2 решения системы (19.1) из теоремы 19.1 имеем, xn x1 xr ,1 x2 xr ,2 что разность является решением соответствующей однородной системы (19.7). x x r ,n n Теорема 19.3 доказана. 19.3 Доказательство достаточности теоремы Кронеккер-Капелли Полагая в системе (19.2): Ax = b все свободные неизвестные нулями, получим систему: Aб x b (19.18), где Aб – матрица базисного минора. А так как это матрица невырожденная, то система (19.18) (и система (19.2)) имеет решение. 19.4 Доказательство критерия определённости системы Если n = r , то по теореме 19.2 множество решений однородной системы (19.7) имеет размерность, равную нулю, то есть решение однородной системы состоит только из одного нулевого решения. Тогда, по теореме 19.3 всякие решения системы (19.1) состоят только из одного частного решения, то есть оно единственно, и поэтому система (19.1) является определённой. §20. Ортонормированный базис Определение: Векторы a и b – ортогональные, если они перпендикулярны друг другу. Определение: Базис является ортогональным, если все его векторы попарно перпендикулярны. Определение: Базис является ортонормированным, если он ортогонален и все векторы в нём имеют единичную длину. Если базис e1 , e2 , e3 ортонормированный, то d Пр е1 d, Пр е2 , d Пр е3 d Где Пpa d - проекция вектора d на вектор a (для вывода этой формулы надо внимательно разобрать доказательства всех теорем из 43 §16.1, когда a e1 , b e 2 , c e3 - ортонормированный базис ) для теорем 16.3, а так же a e1 , b e2 -ортонормированный базис (для теорем 16.2) либо a e1 , c a e1 1 для теорем 16.1 Тогда из §17 получим следующие свойства проекции вектора на вектор: Пр e (a b) Пр e a Пр e b Пр e ( (a)) Пр e (a) e3 e2 e1 Рис 20.1 §21. Прямоугольная декартова система координат. Координаты точки. Определение координат вектора по координатам его начала и конца. Расстояние между двумя точками Координаты точки M ( x, y , z ) – это координаты вектора ОМ (где О – начало координат (см. рис 21.1)) OB OA AB , т.е. AB OB OA (см. рис. 21.2) тогда, если A(x 1 , y 1 , z 1 ) и B(x 2 , y 2 , z 2 ) , z т.е. OA x1 , y1 , z1 и OB x2 , y2 , z2 , то AB (x 2 - x1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) y 0 M ( x, y , z ) x Рис 21.1 В §24 будет показано, что длина вектора a a a12 a22 a32 (21.2) Тогда расстояние между точками A и B: AB (x 2 - x1 ) 2 (y 2 - y 1 ) 2 (z 2 - z 1 ) 2 (21.3) 44 (расстояние между точками А и В – это длина вектора АВ) §22. Деление отрезка в заданном отношении Если A(x 1 , y1 , z1 ) , B(x 2 , y 2 , z 2 ) ,и М (x, y, z) Точка М делит отрезок АВ в отношении , если AM MB AM x x1 , y y1 , z z1 (22.4) MB x2 x, y2 y, z2 z из (22.4) имеем: B( x2 , y2 , z2 ) M ( x, y , z ) x x1 x2 x y y1 y2 y (22.5) A( x1 , y1 , z1 ) z z1 z2 z преобразуем формулы (22.5) до вида Рис 22.1 x x 2 y y 2 z z 2 x 1 y 1 z 1 1 1 1 Если то М - середина отрезка, то ее координаты которой вычисляются по формулам(ибо тогда 1 z z2 x x2 y y2 x 1 y 1 z 1 2 2 2 §23. Скалярное произведение векторов и его свойства Определение: a b (a, b) a Пр ab a b cos(a, b) b Пр b a (23.6) – скалярное произведение a ^ b = arcos a× b a× b ;Пр ab = a× b a Свойства скалярного произведения: 1) a b b a 2) (a1 a 2 ) b a1 b a 2 b 3) (a) b (a b) 4) (a, a) 0; (a, a) 0 a 0 Величина (a, a) называется скалярным квадратом вектора a . По определению: 2 aa a a aa (23.9) 45 Доказательство 2-го свойства: (a 1 a 2 ) b Пр b (a 1 a 2 ) b b Пр b a 1 b Пр b a 2 a 1 b a 2 b Доказательство 3-го свойства: ( a) b b Пр b (a) b Пр b (a) (a b) Условие ортогональности 2-х векторов: Если a b a ^ b cos(a ^ b) 0 a b 0 . Вывод a b a b 0 . 2 §24. Вычисление скалярного произведения векторов через координаты сомножителей 24.1 Вычисление скалярного произведения через координаты сомножителей Пусть a a1 , a2 , a3 a1 i a2 j a3 k b b1 , b2 , b3 b1 i b2 j b3 k ab (a1i a2 j a3k )(b1i b2 j b3k ) a1i (b1i b2 j b3k ) a2 j (b1i b2 j b3k ) a3k (b1i b2 j b3k ) a1b1 (i , i ) a1b2 (i , j ) a1b3 (i , k ) a2b1 ( j , i ) a2b2 ( j , j ) a2b3 ( j , k ) a3b1 (k , i ) a3b2 (k , j ) a3b3 (k , k ) a1b1 a2b2 a3b3 2 2 2 Ибо 1= i i i j j j k k k и i j j k k i 0 так как i j ; j k ; k i ; Тоесть ab a1 b1 a 2 b2 a 3 b3 (24.9) 24.2 Доказательство формулы a a12 a22 a32 Пусть a a1 a 2 a3 , тогда из(24.9) имеем a a a a12 a 22 a32 (24.10) 24.3 Вычисление угла между векторами a 1 b1 a 2 b2 a 3 b3 ab (24.11) a b arccos arccos ab a 12 a 22 a 32 b12 b22 b13 Смотрите формулы (23.6), (24.9), (24.10) 24.4 Проекция вектора a на ось, коллинеарную вектору b Смотрите формулы (23.6), (24.9), (24.10) a b a b a2b2 a3b3 , Прb a 1 1 b1 b2 b3 b a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 =0 далее формула (24.12) (24.13) 46 a b a 1 b1 a 2 b2 a 3 b3 0 (либо в этом случае cos( a b ) 0 ,далее формула 2 (23.6)) a b a1b1 a2b2 a3b3 0 (здесь уже cos( a b ) 0 , затем используем равенство 2 (23.6) §25. Векторное произведение и его свойства 25.1 Определение векторного произведения Обозначение векторного произведения : a b a , b c при этом , по определению. 1) c a , c b 2) c SOABD a b sin a b S-площадь параллелограмма OADB c B b D О А Рис 25.1 Направление вектора a b c определяется по “правилу правой руки”: если большой палец правой руки направлен по вектору a , а указательный по вектору b , то ладонь укажет направление векторного произведения. Его также можно определить по “правилу правого винта” или “Буравчика”: векторное произведение направленно в сторону движения правого винта , если его вращать от вектора a к вектору b . a 25.2 Свойства векторного произведения .(антикоммутативность, линейность и однородность) 1. a b b a (антикоммутативность) 2. a b a (b ) a b (однородность) 3. (a b ) c a c b c и a (b c ) a b a c (адютивность (линейность)) Доказательство свойств: 1) a b b a Доказательство: a× b⊥a и a× b⊥b и b× a⊥a , а так же b× a ⊥b т.е. a× b и b× a ортогональны одним тем же плоскостям. Поэтому b a a b и(это мы определяем по правилу правой руки) b a a b , а a b b a S OABD (см. Рис25.1) следовательно a b b a 2) a b a (b ) a b Доказательство: Рассмотрим следующие случаи 0 ; 1; 0 47 1) 0 , ОА a D/ D 0 Рис 25.2 (a ) (b ) a b sin = a b , а так как a b a b , ибо они ортогональны плоскости параллелограмма OADB (см. рисунок 25.2), а так же они имеют одинаковое направление ,что можно определить направление по правилу правой руки то a b a b при >0 2) 1 D C B O A Рис 25.3 OA OA (см. рис. 25.3) (a ) b a b (25.1), ибо ( a ) b и .a b ортогональны одной и той же плоскости параллелограмма OABD, a b SOACB (25.2) a b SOBDA (25.3) SOACB SOBDA , ибо эти параллелограммы имеют одинаковые стороны OA и OA и общую высоту опущенную из вершины B. Поэтому из (25.2) и (25.3) следует , что: a b (a ) b Читателю рекомендуем самостоятельно по правилу правой руки установить, то, что они направлены в разные стороны. что a b (a ) b и поэтому (a ) b a , b и случай 1 доказан. 3) 0; тогда 0 ,и для можно применить случай 1). Из случаев 1)и 2) имеем: ( a b a b a b a ,b a , b (*)Свойство2)Для второго множителя можно доказать , используя уже доказанную антикоммутативность ( Свойство1)и только что полученное свойство2) для первого множителя: a b b a b a ( ) a b a b 48 3) (a b ) c a c b c , Рассмотрим следующие случаи: А) c a; c b; c 1 , B O A Рис 25.4 Пололожим a c OA , b c OB , OA OA c sin 900 OA c OA ; аналогично OB' OB Тогда сумма a b OC диагональ параллелограмма OACB (25.7) (25.4) (25.5) OC OA OB a c b c Также : OA OA и OB OB по определению векторного произведения , и OA OA и OB OB (см 25.7)тогда параллелограмм OAC B получится из параллелограмма OACB поворотом последнего на угол ( по часовой стрелке). Поэтому и диагональ 2 OC ' OC и OC ' OC = OC c sin( c OC ') (напомним, что C 1 и C OC ' , т.е. OC ' OC c (25.6) Подставляя в (25.6) вместе OC и , OC их значения из формулы (25.4) и (25.6) получим a c b c (a b ) c c a , c b , случай А) доказан Б) c a : c b введем вектор c 1 e c , тогда e c c 1, e c c , т.е.е с удовлетворяет c c условию А) поэтому (a b ) c (a b ) ( c e c ) c (a b ) e c c (a e c b e c ) c a e c c b e c a c ec b ( c ec ) a c b c , и случай Б доказан В дальнейшем случае нам понадобится Лемма25.1: Обозначим за Прa b проекцию вектора b на плоскость , перпендикулярную вектору a (эта проекция сама является вектором, которая на рис 25.5 обозначим за OA ). Тогда имеет равенство: 49 a b a Прa b Прb a b (25.8) Доказательство Леммы 25.1: В D А О Рис 25.5 a b a; a b b ; a Пр ab a, и, a Пр ab b ( см. рис 25.5). Поэтому a b , и, a Прa b ортогональна той же плоскости параллелограмма OACB (см. рис 25.5 где вектор a OA ). Поэтому они коллинеарные и по правилу правой руки определяем ,что a b a Пр ab (25.9) Их длины a b S OACB (25.10) a Прa b SOADA (25.11) Но параллелограмм OACB и прямоугольник OADA имеет одинаковые площади, ибо они имеют общую сторону OA и одинаковую высоту( эта высота равна AD). Поэтому из (25.10) и (25.11) получаем , что a b a Прa b (25.12) Тогда из (25.12) и (25.9) получим , что a b a Прa b Для доказательства правой части (25.8) можно использовать антикоммутативность и только что полученное равенство. Прb a b b Прb a b a a b Лемма 25.1 доказана. Продолжим доказательство свойства 3 В) Так как с Прc a и с Прc b , то вектора Прc a , Прc b и с . удовлетворяют уже доказанному свойству Б. А так как проекция суммы равна сумме проекций( это было доказано в §20), т.е из Леммы 25.1 получим : (a b ) c ( Пр с (a b )) c ( Пр с a Пр сb ) c Пр с a c Пр сb c ac b c Для доказательства равенства a (b c ) a b a c используем антикоммутативность векторного произведения и только что доказанное равенство: a (b c ) (b c ) a (b a ) c a a b a c . Свойство 3 полностью доказано. 50 С 25.3 Условие коллинеарности двух векторов Из условия 2 при определении векторного произведения получаем , что a || b a b 0 (25.13) ( ибо если a || b , параллелограмм OADB (см.рис 25.1) будет иметь нулевую площадь и наоборот) 25.4 Векторное произведение базисных ортов А векторное произведение различных базисных ортов должно быть ортогонально им и иметь единичную длину. ( как площадь квадрата , сторона которого равна длине базисного орта т.е. единице), т.е. такое векторное произведение – это «плюс» или «минус»- третий базисный орт. По правилу правой руки определяем, что i i 0; i j k ; i k j ; j i k ; j j 0; j k i ; (25.14) k i j ; k j i ; k k 0; §26 Вычисление векторного произведения через координаты сомножителей Вектор а а1 а 2 а 3 , а вектор b b1 b2 b3 a a1 i a 2 j a 3 k b b1 i b2 j b3 k Тогда из (25.14) и свойств 2) и 3) векторного произведения следует: a b (a1i a 2 j a 3 k ) (b1i b2 j b3 k ) (a1i a 2 j a 3 k ) b1i (a1i a 2 j a 3 k ) b2 j (a1i a 2 j a 3 k ) b3 k b1 a1 (i i ) b1 a 2 ( j i ) b1 a 3 (k i ) a1b2 (i j ) b2 a 2 ( j j ) b2 a 3 (k j ) b3 a1 (i k ) b3 a 2 ( j k ) b3 a 3 (k k ) a 2 b1 k b1 a 3 j a1b2 k a 3 b2 i a1b3 j a 2 b3 i (a 2 b3 a 3 b2 )i (a1b3 a 3 b1 ) j (a1b2 a 2 b1 )k i j k a a 3 a1 a 3 a1 a 2 a a 3 a1 a 3 a1 a 2 2 i j k a1 a 2 a 3 ; т.е. a b 2 ; ; b2 b3 b1 b3 b2 b3 b1 b3 b1 b2 b1 b2 b1 b2 b 3 i j k a 2 a 3 a1 a 3 a1 a 2 a 2 a 3 a1 a 3 a1 a 2 a b a1 a 2 a 3 ; ; i j k ;. (26.1) b2 b3 b1 b3 b1 b2 b2 b3 b1 b3 b1 b3 b b b 1 2 3 51 §27 Смешанное произведение векторов и его свойство 27.1 Определение смешанного произведения Определение. Смешанным произведением векторов a , b , c называется величина a , b , c a b c (вектор a b -векторное произведение скалярно умножается на третий вектор c 27.2 Геометрический смысл смешанного произведения Если a , b , c > 0, значит векторы a , b , c образуют правую систему (т.е. имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный, и пальцы правой руки и её ладони) Если a , b , c < 0, значит векторы a , b , c образуют левую систему (аналогично для пальцев и ладони левой руки). О Рис. 27.1 Абсолютная величина смешанного произведения a, b , c -это объём паралелепипида OADBCA1 D1 B1 стороны которого составляют вектора a , b , c В самом деле по определению ( см. 23.6) a , b , c a b c a b Пр ab c (27.1) Однако первый множитель в правой части равенства (27.1) это площадь параллелограмма OADB (см условие 2)определения векторного произведения (§25.1, 25.1)т.е. площадь основания паралелелипипеда OADBCA1 D1 B1 . Проекция третьей стороны паралелепипеда на 52 перпендикуляр a b опускаемый на основание OADB (см. условие 1) (определение векторного произведения в начале параграфа 25) – это опущенная на OADB высота данного паралелепипеда. Поэтому их произведение-это объём паралелепипеда 27.3 Свойства смешанного произведения a, b , c b , c , a c , a, b - циклическая замена не меняет знак. 1. a,b,c = - b,a,c -перестановка сомножителей меняет знак. a, b, c a, c , b a, b, c c , b, a 2. (a1 a 2 , b , c ) (a1 , b , c ) (a 2 , b , c ) 3. (a , b , c ) (a , b , c ) Эти свойства доказаны в конце §28 27.4Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов Теорема a , b , c - компланарная тогда и только тогда когда a , b , c 0 Доказательство: Если a , b , c компланарные , то паралелепипед OADBCA1 D1 B1 имеет нулевой объем (см. Рис 27.1)т.е. получим , что a , b , c 0 , Справедливо рассуждение и в обратную сторону, что читателю предлагается провести самостоятельно. §28 Смешанное произведение векторов в координатной форме a a1 , a 2 , a 3 b b1 , b2 , b3 c c1 , c2 , c3 (см. (24.9)и (26.1)) a Рассмотрим (a , b , c ) a b c 2 b2 a3 a c1 1 b3 b1 a3 a c2 1 b3 b1 a1 a2 c3 b1 b3 c1 a2 a3 b2 c2 b3 c3 a1 a2 a3 Последнее равенство получается разложением определителя b1 b2 b 3 по его третей c1 c2 c3 строке. a1 Значит: (a , b , c ) b1 c1 a2 a3 b2 c2 b 3 (28.1) c3 Следствие: Определитель третьего порядка равен нулю, тогда и только тогда, когда его строки линейно зависимы. 53 a1 a2 a3 b1 b3 0 a, b , c 0 a , b , c -коллинеарные и линейно зависимые. b2 c1 c2 c3 Свойства же 1),2),3) смешанного произведения (см. §27 п. 27.3) теперь легко следует из свойств 2),4) и 7) определителя третьего порядка( см. §1, п. 1.3) 54
