Домашнее задание к занятию 27.04.2022 Задача 1. (1 балл) Тело надо сместить на расстояние 𝑥0 вдоль оси 𝑋 при наличии встречной скорости 𝑣𝑥 = −𝛼𝑡𝑥, тело начинает двигаться в момент 𝑡 = 0 из точки 𝑥 = 0. Найти оптимальную скорость 𝑢(𝑡), исходя из уравнения (︂ )︂ 𝑑 𝑑 𝑟 − 𝑣 = 0. 𝑑𝑡 𝑑𝑡 . Сравнить ответ с полученным для пробной функции 𝑥 = 𝑥0 𝑡/𝜏 . Задача 2. (1 балл)«Задача управления». Тело совершает одномерное движение, удовлетворяющее уравнению 𝑑𝑥(𝑡) = −𝛾𝑥(𝑡) + 𝑢(𝑡), 𝑑𝑡 где 𝑢(𝑡) — результат нашего воздействия на тело (мы таким образом управляем движением тела). Мы хотим, чтобы за время 𝑇 тело переместилось из точки 𝑥(0) = 0 в точку 𝑥(𝑇 ) = 𝑥0 . Наше воздействие имеет для нас «цену» (т.е. это мера наших затрат), которая определяется ценовым функционалом ∫︁𝑇 𝐶[𝑢(𝑡)] = 𝑢2 (𝑡)𝑑𝑡. 0 Найдите закон движения 𝑥(𝑡), при котором цена будет минимальной. Задача 3. (1 балл) Нерастяжимую веревку длины 𝑙 закрепили в точке (0, 0). Найти форму веревки, которая будет максимизировать площадь между веревкой и осью Х, так что не закрепленный конец веревки будет тоже лежать на оси Х. Задача4. (1 балла) Форма изгиба жестко-закрепленного стержня в поле тяжести определяется минимизацией функционала ∫︁ 𝑙 𝑆= 𝑑𝑥 [︁ κ 2 ′′ (𝑦 )2 + 𝜌𝑔𝑦 −𝑙 1 ]︁ и граничными условиями 𝑦(𝑙) = 𝑦 ′ (𝑙) = 𝑦(−𝑙) = 𝑦 ′ (−𝑙) = 0. Найти форму профиля 𝑦(𝑥). ˜ соединённых пружинками Задача5. (1 балла) Пусть имеется цепочка из 𝑁 точечных масс 𝑚, ˜ жёсткостью 𝑘; пружинки в нерастянутом состоянии имеют длину 𝑎. Первый шарик закрепляют в точке (0; 0), а последний - в точке (𝐿; 0) (ось 𝑦 направлена вертикально вверх). Под действием силы тяжести, цепочка провисает. Исследуем это провисание в пределе 𝑁 → ∞.
