Задачи заключительного этапа. 8 класс - Интернет

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий,
механики и оптики
«Открытая интернет-олимпиада школьников по математике
по Северо-Западному федеральному округу»
Заключительный этап. 8 класс (апрель 2010)
1. Решите уравнение
. В качестве ответа напишите значение (7x – 4)2.
Ответ:37 Балл: 1.
2. В равностороннем треугольнике с длиной стороны 12 на стороне BC лежит точка M,
такая, что |BM|=3. Из вершины A к точке M направлен луч, который отражается от
этой стороны и падает на сторону AB в точке P. Найти расстояние |AP|.
Ответ:8 Балл: 1.
3. Каждая сторона правильного треугольника разбита 5 точками на 6 равных частей.
Через каждую точку разбиения проведены две прямые, параллельные
противоположным сторонам. На одной из сторон через каждую точку проведены
перпендикуляры к этой стороне. Исходных треугольник оказался разбит на несколько
равносторонних и несколько прямоугольных треугольников. На сколько треугольников
оказался разбит исходный треугольник?
Ответ:54 Балл: 1.
4. Василий обнаружил для своего квадратного трехчлена f(x) два числа a и b такие, что
если подставить их в трехчлен, его значение будет таким же: f(a) = a и f(b) = b. Сумма
чисел a и b оказалась равна 3/2. Вершина квадратного трехчлена находится в точке с
координатами (-1,-2). Найдите квадратный трехчлен, выпишите в ответе все три его
коэффициента через запятую, начиная со старшего.
Ответ:2,4,0 Балл: 2.
5. Из цифр трехзначного числа составили квадратный трехчлен. При этом единицы
оказались младшим коэффициентом, а сотни — старшим. Например, 571
превратилось бы в 5x2+7x+1. Оказалось, что корни трехчлена — это два различных
целых числа, и исходное число делится на каждый из корней.
Найдите исходное число, если известно, что оно больше 300.
Ответ:396 Балл: 2.
6. Часовая и минутная стрелки часов движутся равномерно. Василий посмотрел на часы
и запомнил положение стрелок. Подождав меньше часа, он снова посмотрел на часы и
обнаружил, что стрелки поменялись местами. Найдите угол (в градусах) между двумя
стрелками. В ответе округлите значение угла, например, пишите 40, если получается
39.5 градусов и 11, если получилось 11.3 градуса
Ответ:28 Балл: 2.
7. Известно, что кубические многочлены p(x), p(x + 1) и p(x+3) имеют общий корень.
Также p(x) имеет два общих корня с многочленом x(x + 3)(x — 4). Выпишите все
корни многочлена p(x) через запятую, в порядке возрастания.
Ответ:-3,-2,0 Балл: 3.
8. Про положительную несократимую дробь известно, что если увеличить ее числитель
на 5, а знаменатель уменьшить на 5, то ее значение увеличится в 7 раз.
Найдите наименьшую из таких дробей.
Ответ:1/35 Балл: 3.
9. В системах компьютерной алгебры символы корней – радикалы – часто не пишутся:
Так, например, вместо
пишется «наибольшее решение уравнения x2 = a».
Рассмотрим обобщенное понятие корня из числа, например, назовем квадратным
суперкорнем наибольшее решение уравнения x2 + x = a. Найдите какое-нибудь
натуральное число из диапазона [500; 1300], у которого суперкорень из суперкорня
является целым.
Ответ:930 Балл: 3.