Математическая статистика. Основы теории вероятностей. В.Д. Петелина, Н.М. Чиганова, Е.М. Гусакова НИУ МГСУ
реклама
Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной математики Математическая статистика. Основы теории вероятностей Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе Составители: В.Д. Петелина, Н.М. Чиганова, Е.М. Гусакова © Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, 2019 Москва 2019 УДК 519.2 ББК 22.17 М 34 Рецензент Зав. кафедрой прикладной математики, д. ф.-м. наук. Т.А. Мацеевич Предлагаемые методические указания полностью, соответствуют действующей рабочей программе по математике для бакалавров направления 08.03.01 Строительство и отражают опыт проведения практических занятий по разделам «Теория вероятностей и математическая статистика» в МГСУ. Также методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов над практической частью курса, для выполнения расчетного задания и подготовке к зачету. Для облегчения самостоятельной работы студентов в методических указаниях в краткой форме приведены основные теоретические положения и подборка типовых задач с подробными решениями. Большое внимание уделено связи разделов «Теория вероятностей и математическая статистика» с приложениями в дисциплинах инженерностроительного цикла. 2 3 Оглавление Оглавление ........................................................................................................... 4 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ................................................................................. 5 Основные понятия и определения ................................................................. 5 Определение вероятности .............................................................................. 8 Некоторые теоремы и формулы .................................................................. 12 Последовательность независимых однородных испытаний. Формула Бернулли. Формулы Муавра - Лапласа....................................................... 15 Закон редких событий (формула Пуассона) и простейший, стационарный (Пуассоновский) поток событий ........................................ 17 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ............................................................................ 19 Основные понятия и определения ............................................................... 19 Нормальное распределение .......................................................................... 25 Функция одного случайного аргумента...................................................... 26 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА .......................................................... 29 Основные понятия и определения ............................................................... 29 Точечные и интервальные оценки неизвестных параметров. .................. 30 Точечные и интервальные оценки параметров нормального распределения. ............................................................................................... 30 Применение метода наименьших квадратов к сглаживанию экспериментальных зависимостей. ............................................................. 32 Контрольные вопросы....................................................................................... 35 Библиографический список ............................................................................. 37 Таблицы .............................................................................................................. 38 4 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Основные понятия и определения Стохастическим называется эксперимент (опыт, испытание) результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя. Случайным событием называется любое явление, которое может произойти или не произойти в результате стохастического эксперимента. Пример 1. Проводится опыт с бросанием двух игральных костей (кубики, каждая грань которых имеет метки - очки, соответствующие цифрам 1 , 2 , 3 , 4 , 5 и 6). Результатом этого опыта - событием может быть появление одной из пар чисел - (1 , 1) , (1 , 2) , ... , (6 , 5) , (6 , 6), где первые и вторые числа равны числу очков, выпавших соответственно на первой и второй костях. Можно рассматривать и другие события, заключающиеся, например, в том, что сумма выпавших очков равна пяти, чётна, делится на три, и так далее. Система событий называется совокупностью элементарных событий, если: в результате опыта происходит одно и только одно элементарное событие; каково бы ни было случайное событие А , по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло А . Элементарные события обозначают греческой , снабжённой при необходимости индексом (i), а их совокупность - называют пространством элементарных событий. В примере 1 в качестве элементарных событий можно рассматривать появление любой из пар чисел (a, b), где числа а и b равны числу очков, выпавших соответственно на первой и второй костях, причём могут принимать значения от 1 до 6 . Всего в этом опыте имеется 36 элементарных событий. 5 Выбор элементарных событий определяется неоднозначно, что можно использовать при решении задач. Если - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта и А - возможное событие, то совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление А, называют благоприятствующими этому событию и обозначают тем же символом А. Событие называется достоверным () , если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Событие называется невозможным () , если оно не наступает ни при каком элементарном событии. Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие А+В или (АВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Произведением (пересечением) двух событий А и В называется событие АВ или (АВ) , происходящее тогда и только тогда, когда происходит и А , и В. Два события называются несовместными, если их одновременное появление в опыте не возможно. В этом случае АВ = . Событие называется противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Справедливы следующие свойства: , , Для лучшего восприятия введенных понятий и операций полезна геометрическая интерпретация диаграммы - Венна: пространство элементарных событий изображается в виде квадрата, каждой точке которого соответствует элементарное событие. Тогда случайные события изображаются в виде некоторых фигур, лежащих в этом квадрате. 6 Пример 2. Случайные события А и В - некоторые фигуры на квадрате. Указать (заштриховать соответствующую область) события А + В, АВ, , (рис.1) А+В АВ A A B A A B B Рис. 1. Пример 3. Производятся два выстрела по цели. Пусть событие А попадание в цель при первом выстреле, В - при втором, тогда A и B промах соответственно при первом и втором выстрелах. Пусть событие С поражение цели, при условии, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Выразить С через А и В. Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором, промах при первом и попадание при втором, попадание при первом и втором выстрелах. Интересующие нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного). Используя введённые выше операции, получим: . С другой стороны событие противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть отсюда искомое событие С можно запасать в виде , , . Возможность различного выражения искомого события часто оказывается полезной при решении задач. Пусть - пространство элементарных событий, соответствующих стохастическому эксперименту и пусть F - некоторая система случайных событий. Система событий F - называется алгеброй событий, если выполняются условия: F ; из того, что А и В F следует, что: 7 A F , А + В F и АВ F. Следовательно, применяя любые из введенных операций к произвольной системе событий из F , получим событие также принадлежащее F. Определение вероятности Если при многократном проведении одного и того же стохастического эксперимента событие А произошло m(A) раз, то относительной частотой называется отношение , где n - число проведенных опытов. Если при увеличении числа опытов относительная частота события (А) стремиться к некоторому фиксированному числу р(А), то событие А стохастически устойчиво, а это число называют вероятностью события А. Если пространство элементарных событий стохастического эксперимента состоит из конечного или бесконечного (но счётного) множества элементарных событий и для каждого из них известна вероятность называется , то вероятностью случайного события А сумма вероятностей элементарных событий, благоприятствующих А: Если множество элементарных событий стохастического эксперимента конечно и они равновозможны (в этом случае их принято называть исходами) приходим к классическому определению: вероятностью случайного события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих А к общему числу исходов. . При подсчёте числа исходов часто используют некоторые правила и формулы комбинаторики. 8 Правило произведения: если из некоторого множества А элемент ai можно выбрать kА способами, а элемент bj из множества В - kВ способами, то совокупность (ai , bj) можно образовать kА kВ способами. Правило верно и для совокупностей, состоящих из большего числа элементов. Пример 4. Сколькими способами можно набрать семизначный номер телефона, если все его цифры различны. Решение. Очевидно, первую цифру можно набрать 10 способами, вторую - 9, так как одна цифра уже использована, ... , седьмую - 4. Согласно правилу произведения общее число возможных номеров равно 10987654=604800 . Если из некоторого множества, состоящего из n различимых элементов, отбираются в определённом порядке m элементов, то возможные варианты называют размещениями из n элементов по m и их число равно При n = m говорят о перестановках из n элементов, их число равно Если порядок отбираемых m элементов из n элементов не играет роли, то говорят о сочетаниях из n элементов по m и их число равно Пример 5. Сколькими способами можно из 20 присяжных заседателей отобрать трёх для участия в судебном процессе. Решение. Поскольку не существенно в каком порядке отобраны кандидатуры, число вариантов равно . Пример 6. Сколькими способами можно из 20 членов правления фирмы отобрать трёх для замещения вакансий вице-президентов, отвечающих за производство, финансы, реализацию продукции. 9 Решение. Поскольку порядок при таком выборе играет существенную роль, то число вариантов равно . При большом n подсчёт числа вариантов по этим формулам требует громоздких вычислений формулой Стирлинга , в этом случае пользуются асимптотической . Пример 7. К экзамену подготовлены 30 теоретических вопросов и 50 задач. Определить вероятность того, что студент получит отлично, для этого надо правильно ответить на два вопроса и решить три задачи, выбранные случайным образом, если студент выучил 20 вопросов и умеет решать 30 задач. Решение. В качестве пространства элементарных событий этого опыта возьём множество всех наборов из двух вопросов и трёх задач. Поскольку выбор случаен, то все исходы равновозможны и применимо классическое определение вероятности. Для подсчёта n - числа исходов заметим, что два теоретических вопроса можно выбрать , а три задачи способами (порядок следования здесь не важен). По правилу произведения общее число таких наборов будет равно . Событие А - отличная оценка реализуется тогда, когда оба вопроса будут из 20 выученных и все три задачи из 30 ему известных. Число таких наборов - благоприятствующих А исходов находится аналогично. Поэтому искомая вероятность равна Пример 8. Среди K поставленных единиц данного товара L не удовлетворяют предъявляемым условиям. Найти вероятность того, что среди k K , отобранных для выборочного контроля качества ровно l L не будут удовлетворять этим требованиям. Решение. Опыт заключается в случайном отборе k образцов. Следовательно, исходы этого испытания равновозможны и их общее число 10 равно будут . Событие А состоит в том, что из k отобранных ровно l не удовлетворять благоприятствующих этим А, требованиям. согласно правилу Число произведения исходов, равно , здесь первый множитель даёт число вариантов отбора хороших, а второй - плохих образцов. Отсюда искомая вероятность равна Аксиоматическое определение вероятности. Пусть - пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и в выделена система F событий, являющаяся алгеброй событий. Это означает, что выполняются условия : F ; из того, что А и В F следует, чт : F, А+В F и АВ F . Пусть каждому событию А F поставлено в соответствие число Р(А) - и верны свойства:P(A)≥0 для любого А F совместны ( ; P()=1; если А и В не ) , то P(A+B)=P(A)+P(B), Р(А) называется вероятностью случайного события А. Геометрическое определение вероятности события. Рассматривается стохастический эксперимент, заключающийся в бросании случайным образом точки на некоторую фигуру (отрезок прямой или линии, плоскую область, трёхмерное тело, временной интервал, и т. д.) - достоверное событие , причём любое положение точки на фигуре равновозможно. В этом случае вероятностью случайного события А, попадания точки в область, соответствующую А, называется отношение мер области А и фигуры : . Пример 9. Два лица - M и D договорились встретиться в определённом месте между 19 и 20 часами, причём появление любого из них равновозможно в любой момент этого часа. Найти вероятность того, что встреча состоится, если: первым на место встречи приходит M , то ждёт не более 20 минут; первой приходит D , то ждёт не более 10 минут. 11 Решение. Пусть моменты прихода (отсчёт времени будем проводить в минутах от начала часа) M и D на место встречи будут x и y. Интересующее нас событие А произойдёт, если будет выполнена система неравенств: y 60 где x и y определяют координаты точки в A квадрате со стороной 60. По условию любое положение этой точки в квадрате равновозможно, поэтому вероятность 10 события А - попадания точки в область 0 60 x 20 Рис. 2 А (рис.2) согласно геометрической схеме равна Некоторые теоремы и формулы Вероятность противоположного Следствие события . . Вероятность суммы двух событий P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). Следствие: если события несовместны, то P(A+B)=P(A)+P(B), формула справедлива для любого конечного числа несовместных событий. Условная вероятность события В при условии, что событие А произошло равна . Пример 10. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (который он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым. Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента «плохой», а В – «хороший». 12 Поскольку после наступления события А один из «плохих» уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность, предполагая, что появление любого билета равновозможно и они обратно не возвращаются, равна . Вероятность произведения Следствие: формула сомножителей . обобщается (для трёх на любое конечное она имеет число вид ). Пример 11. По условиям примера 10 найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй. Решение. Пусть события А и В заключаются в том, что соответственно первый и второй билеты «хорошие». Тогда - появление «плохого» билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие А, или одновременно и В. То есть искомое событие С - успешная сдача экзамена выражается следующим образом: . Отсюда Здесь мы воспользовались несовместностью А и несовместностью А и , а, следовательно, , формулами вероятностей суммы, произведения и классическим определением вероятности. Эту задачу можно решить и проще, если воспользоваться вероятностью противоположного события Независимость событий. Два события называются независимыми, если P(AB)=P(A)·P(B). Следствие: и - наступление одного события не изменяет вероятности появления другого, 13 то есть условная вероятность равна безусловной. На практике пользуются правилом, согласно которому из физической независимости событий следует их независимость в теоретико-вероятностном смысле. Пример 12. Абонент забыл последние три цифры нужного ему телефонного номера, но помнит, что все они нечётные. Найти вероятность того, что ему удастся дозвониться с первого раза. Решение. Пусть события А, В и С заключаются в том, что соответственно первая, вторая и третья забытые цифры будут набраны верно, тогда вероятность успеха - события D = АВС (должны произойти и А и В и С) будет равна Здесь мы воспользовались независимостью событий, классическим определением и тем, что из пяти нечётных цифр подходит в каждом случае только одна. Система событий А1, А2, ... , Аn называется независимой в совокупности, если вероятность произведения равна произведению вероятностей для любой комбинации сомножителей из этой системы. Формулы полной вероятности и Байеса. Пусть события Н1 , Н2 , ... , Нn попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие (в этом случае их называют гипотезами).Эти события образуют полную группу событий. Пусть теперь интересующее нас событие А наступает после реализации одной из гипотез Нi и известны вероятности , . В этом случае вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности Если дополнительно стало известно, что событие А произошло, то по формуле Байеса можно определить вероятность того, что при этом была 14 реализована Нk гипотеза (эту вероятность гипотезы, полученную после проведения опыта, называют апостериорной) Пример 13. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат к первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителей этих групп соответственно равны 0,02 , 0,03 и 0,01. Определить вероятность того, что поступивший больной болен туберкулёзом. Проведенные анализы у поступившего больного показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы. Решение. Пусть Н1 , Н2 , Н3 - гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, они образуют полную группу событий, причём P(H1)=0,3, P(H2)=0,2, P(H3)=0,5. Вероятность того, что пациент болен определяем по формуле полной вероятности Вероятность того, что поступивший и оказавшийся больным пациент принадлежит третьей группе определяется формулой Байеса Последовательность независимых однородных испытаний. Формула Бернулли. Формулы Муавра - Лапласа Стохастический эксперимент заключается в проведении n независимых, однородных испытаний в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью p=P(A) и не появиться с вероятностью . Вероятность того, что событие А появится ровно m раз при n испытаниях определяется по формуле Бернулли , а вероятность того, что событие А появится не 15 менее m1 и не более m2 раз при n испытаниях определяется по формуле . Пример 14. Вероятность того, что образец бетона выдержит нормативную нагрузку равна 0,9, Найти вероятность того, что из 7 образцов испытания выдержат: ровно пять, не менее пяти. Решение. Очевидно, имеет место схема Бернулли, поэтому , При достаточно большом n и не слишком малых p и q формулой Бернулли пользоваться практически невозможно и применяются асимптотические формулы Муавра - Лапласа, которые дают хорошее приближение при npq > 10 . Локальная: , где и , , где . Интегральная: , Обе функции , и , табулированы (приложения 1 и 2 [1]). Пример 15. При установившемся технологическом процессе ЖБК выпускает 80% всех изделий первым сортом. Найти вероятность, что : из 100 поставленных изделий первосортных будет ровно 75, не менее 75. Решение. Поскольку n = 100 велико, p = 0,8 и q = 0,2 не малы, применяем локальную и затем интегральную формулы Муавра-Лапласа 16 Пример 16. Известно, что 30% призывников имеют 45 размер обуви. Сколько пар обуви надо иметь на складе воинской части, чтобы с вероятностью ро = 0,9 были обеспечены все такие призывники, если в часть прибыло 200 новобранцев? Решение. Очевидно, имеет место схема Бернулли: подбор пары обуви каждому призывнику - одно из 200 испытаний, причём вероятность того, что ему потребуется обувь 45 размера равна p = 0,3 (q = 0,7). Пусть на складе имеется k пар обуви, где k пока не известно. Требуется подобрать такое k, чтобы . Поскольку n = 200 велико, а p и q не малы, применяем интегральную формул Муавра-Лапласа Отсюда То есть на складе достаточно иметь 69 пар обуви такого размера, чтобы с вероятностью 0,9 обеспечить спрос. Закон редких событий (формула Пуассона) и простейший, стационарный (Пуассоновский) поток событий Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, а вероятность появления события А при одном испытании р(А) мала (или мало q), то применяется формула Пуассона (в этом случае говорят о законе редких событий) 17 Если на некоторой прямой расположены точки так, что в среднем на единицу длины приходится точек и вероятность того, что одна точка окажется на отрезке длины l, зависит только от его длины и не зависит от его расположения на прямой. В этом случае вероятность того, что на искомом отрезке окажется ровно m точек (не более k) определяется формулой Пуассона Обе формулы табулированы (таблицы 1 и 2). Пример 17. На факультете учатся 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днём рождения: трёх студентов, не менее трёх. Решение. Пусть событие А - случайно выбранный студент родился первого сентября, тогда . В результате пришли к схеме Бернулли, где число испытаний n = 500 велико, а p мало (события редкие) и при np = 1,37 < 10, поэтому применяем формулы Пуассона Здесь мы воспользовались таблицами 1 и 2 и во втором случае для этого перешли к противоположному событию. Пример 18. Известно, что в среднем за месяц (30 суток) в районной сети водоснабжения возникает 90 ситуаций, требующих оперативного вмешательства аварийной службы. На сколько вызовов в сутки должна быть рассчитана эта служба, чтобы с вероятностью ро = 0,9 она могла удовлетворить все поступающие за эти сутки заявки? Решение. Предположим, что аварийная служба рассчитана на k заявок в сутки, где k пока не известно. Пусть m - число поступивших за сутки . Тогда k найдём из условия . Поскольку поток заявок 18 представляет собой простейший, стационарный (Пуассоновский) поток событий, то можно применить формулу Пуассона где - среднее число заявок за сутки. Для определения k воспользуемся таблицей 2 при a = 3 , подбирая k таким образом, чтобы искомая вероятность была не меньше, чем ро = 0,9. В результате получим k= 5, то есть аварийная служба должна быть рассчитана на 5 заявок в сутки. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Основные понятия и определения Величина называется случайной, если её численное значение может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Дискретной называется случайная величина, множество возможных значений которой конечно или счётно. Законом называется значению распределения правило, ставится согласно в дискретной которому соответствие случайной каждому величины возможному вероятность, с которой случайная величина может принять это значение. Обычно закон распределения дискретной случайной величины задаётся в виде таблицы или некоторой формулой , где ξ x1 x2 … xn p p1 p2 … pn Функция распределения дискретной случайной величины и её числовые характеристики - математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение определяются по формулам 19 где (xi < x) означает, что суммирование распространяется на все значения pi , для которых это условие выполняется. Пример 19. Прибор состоит из 4 одинаковых узлов, один из которых вышел из строя. Для устранения неисправности случайно выбранный узел заменяется на имеющийся в запасе заведомо исправный и прибор опробывается. Если неисправность не устранена, то заменяется на исправный один из оставшихся, и так до тех пор, пока прибор не заработает. Составить закон распределения случайной величины - числа заменённых узлов, найти функцию распределения, построить её график и найти числовые характеристики. Решение. Очевидно, случайная величина - дискретная и может принимать значения 1 , 2 , 3 и 4. Пусть А1 , А2 , А3 , А4 - события, состоящие в том, что неисправный узел обнаружен соответственно с первой, второй, третьей, четвертой попыток. Найдём вероятности, соответствующие возможным значениям: Аналогично находим . Закон распределения случайной величины запишем в виде таблицы: ξ 1 2 3 4 p 0,25 0,25 0,25 0,25 20 По полученным данным находим выражение для функции распределения, строим её график (рис.3) и определяем числовые характеристики: F(x) 1 0,75 0,5 0,25 0 1 2 3 Рис. 3 4 x Случайная величина называется непрерывной, если её значения целиком заполняют некоторый интервал и её функцию распределения можно представить в виде: где f(x) - плотность вероятности является непрерывной или кусочно непрерывной на всей числовой оси функцией. Функция распределения и плотность вероятности обладают следующими свойствами: 21 Числовые характеристики непрерывной случайной величины определяются по формулам : Свойства математического ожидания: Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей. Свойства дисперсии: Дисперсия постоянной равна нулю. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат. Дисперсия суммы (и разности) конечного числа независимых случайных величин равна сумме дисперсией слагаемых. Пример 20. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: Определить параметры A , B , C , D , найти выражение для плотности вероятности, числовые характеристики и вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале f(x). 22 . Построить графики F(x) и Решение. Для определения параметров воспользуемся предельными значениями функции распределения и её непрерывностью: Теперь находим плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания в заданный интервал: Строим графики: F(x) f(x) 1 1,5 x 0 x 0 Рис. 5 Рис. 4 23 При вычислении интегралов мы разбили интервал интегрирования на три, учли, что на двух из них плотность вероятности равна нулю, и воспользовались таблицей интегралов. Пример 21. Плотность вероятности непрерывной случайной величины задана следующим образом: Определить величину параметра А, найти функцию распределения, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал [0, 2]. Построить графики функции распределения и плотности вероятности. Решение. Определяем величину параметра из условия: Здесь мы разбили интервал интегрирования на два, учтя значение плотности вероятности на каждом из них, и воспользовались правилом вычисления несобственного интеграла. Аналогично находим: 24 Строим графики: f(x) F(x) 3 1 0 x 1 0 x 1 Рис. 7 Рис. 6 Нормальное распределение Случайная величина называется нормально распределённой, если её плотность вероятности и функция распределения имеют вид: где Ф(x) - функция Лапласа, значения которой даны в приложении 2 [1]. Параметрами нормального распределения являются a = M() - математическое ожидание и =() - среднеквадратическое отклонение. Нормальное распределение обладает свойством устойчивости: сумма конечного числа независимых нормально распределённых величин распределена также нормально с математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно сумме математических ожиданий и дисперсий слагаемых. Вероятность попадания нормально распределённой величины в заданный интервал определяется по фоpмуле: Пример 22. Вес цемента, упакованного автоматом в бумажный мешок есть случайная нормально распределённая величина с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением a = 50 кг и = 2 кг. Найти вероятность того, что: случайно выбранный мешок будет содержать не менее 48 кг цемента; партия из 100 мешков будет содержать не более 5040 кг. 25 Решение. Поскольку вес цемента в мешке - нормально распределённая величина, то искомая вероятность равна: Во втором случае вес всей партии (сумма 100 независимых нормально распределённых величин) является нормально распределённой случайной величиной с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением соответственно равными 100a= 5000 и 10 = 20, поэтому: Функция одного случайного аргумента Пусть случайная величина есть функция случайной величины , то есть = (), причём закон распределения известен. В случае дискретной случайной величины каждому значению =xi соответствует = yi = (xi), причём в силу функциональной зависимости вероятности событий = xi и = yi равны. Если значения случайной величины не упорядочены и среди них встречаются одинаковые, то их надо расположить в порядке возрастания, а одинаковые значения объединить, сложив соответствующие вероятности. Пример 23. Случайная величина - отклонение сопротивления резистора от номинала задана таблично. Составить закон распределения время (в минутах) необходимое на наладку прибора, если оно (в минутах) , пропорционально квадрату отклонения ( = k2 ). -2 -1 0 1 2 3 p 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 26 Решение. Учитывая, что (-2) = (2) = 4 k, (-1) = (1) = k , (0) = 0 и (3) = 9 k, объединяя равные значения и складывая соответствующие вероятности, получим закон распределения в виде таблицы. 0 4·k 9·k k p 0,3 0,4 0,2 0,1 В случае непрерывной случайной величины по известной плотности вероятности случайной величины можно найти плотность вероятности = (). Если функция y = (x) монотонна, то существует x = функция обратная к По и известному закону распределения – . дискретной случайной величины и известной плотности вероятности непрерывной случайной величины можно по известным формулам найти их числовые характеристики. Если эта зависимость линейная: = A + B, то закон распределения сохраняется, а числовые характеристики случайной величины будут равны: М() = АМ() + B и () = |A|(). Пример 24. Определить необходимый момент сопротивления балки, закреплённой и нагруженной как указано на рисунке 8, если нагрузка q является случайной математическим нормально ожиданием и распределённой величиной среднеквадратическим с отклонением соответственно равными M(q) = 400 кг/м и (q) =50 кг/м. Предельное напряжение для материала балки принять равным [] = 1800 кг/см2 , а вероятность, с которой максимальное напряжение не должно превышать предельное, равной рo = 0,9. Решение. Как известно из курса сопротивления материалов, необходимый момент сопротивления можно найти из условия: max [] , где , Mmax - максимальный изгибающий момент , W - момент сопротивления. Очевидно, max зависит от размеров, характера закрепления и случайной нагрузки q и, следовательно, также является случайной 27 NA NB q A B 3L L=1м qL Q Mизг Рис. 8 величиной - функцией от q. Найдём эту функцию, решив соответствующую задачу сопротивления материалов. Определённый таким образом максимальный изгибающий момент и соответствующее ему max равны: . Поскольку полученная зависимость линейная, то max также как и q распределена нормально с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением соответственно равными: ; . Необходимый момент сопротивления балки найдём из условия Используя функцию Лапласа, приходим к неравенству: Учитывая данные условия и свойства функции Лапласа, получим 28 Преобразовав последнее неравенство и подставив числовые данные (переведённые в одну систему единиц), получим искомый момент сопротивления : МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Основные понятия и определения Основными задачами математической статистики является разработка методов сбора, регистрации и анализа экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений массовых явлений. Выборочным называется метод, при котором из множества всех изучаемых объектов (их называют генеральной совокупностью, а их число N - её объёмом) выделяют ограниченное число объектов и их подвергают изучению (их называют выборочной совокупностью - кратко выборкой, а их число n - объёмом выборки). Выборка должна правильно представлять генеральную совокупность более кратко быть репрезентативной. Пусть в выборке объёма n значения количественного признака X=х1 наблюдалось n1 раз , … , X=хk - nk - раз. Наблюдаемые значения количественного признака хi называются вариантами, а последовательность вариант, записанная в порядке возрастания, вариационным рядом. Число наблюдений значения количественного признака X=хi , то есть ni называется частотой, а отношение ni к объёму выборки n - относительной частотой - i: Соответствие между вариантами, записанными в порядке возрастания, и относительными частотами называется эмпирическим распределением выборки. 29 статистическим или Если обозначить n(х) число вариант, меньших х, то относительную частоту события < х называется эмпирической функцией распределения Точечные и интервальные оценки неизвестных параметров. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом n. Требуется построить формулы, зависящие от выборочных значений x1 , . . . , xn для определения неизвестных параметров распределения (их принято называть статистиками). Полученные таким образом точечные оценки должны быть несмещёнными (их математическое ожидание по всевозможным выборкам объёма n должно равняться истинному значению определяемого параметра) и состоятельными (при увеличении объёма выборки оценка должна сходиться по вероятности к истинному значению). Точечные и интервальные оценки параметров нормального распределения. Точечные оценки параметров нормального распределения - математического ожидания и дисперсии определяются по формулам : Здесь - выборочная средняя, s2 - исправленная дисперсия, s - исправленное среднеквадратическое отклонение. Интервальные оценки (доверительные интервалы), накрывающие неизвестные параметры распределения с заданной надёжностью (доверительной вероятностью) определяются по формулам: 30 для a : где t определяется по доверительной вероятности из приложения 3 [1] распределения Стьюдента с (n - 1) степенями свободы из условия . для : где и определяются из приложения 5 [1]распределения 2 с (n - 1) степенями свободы так, чтобы выполнялись соотношения: Пример 25. Для проверки фасовочной установки были отобраны и взвешены 20 упаковок. Были получены следующие результаты (в граммах) 246 247 247,3 247,4 251,7 252,5 252,6 252,8 252,8 252,9 253 253,6 254,6 254,7 254,8 256,1 256,3 256,8 257,4 259,2 Найти доверительные интервалы для математического ожидания с надёжностью 0,95 и среднеквадратического отклонения с надёжностью 0,9, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально. Решение. Находим точечные оценки a и : 31 Определяем из приложения 3 [1] распределения Стьюдента для доверительной вероятности = 0,95 и числу степеней свободы n - 1 = 19 соответствующее значение t = 2,093 и находим искомый интервал: Для построения доверительного интервала для с надёжностью = 0,9 находим из приложения 5 [1] распределения 2 с n - 1 = 19 степенями свободы числа и из условий: В результате получим и . Отсюда искомый доверительный интервал, накрывающий с надёжностью , равен 2,9 5,0. Применение метода наименьших квадратов к сглаживанию экспериментальных зависимостей. Пусть имеются результаты n независимых измерений - опытные точки (xi , yi) , где i = 1, ... , n . Из теоретических или иных соображений с точностью до неизвестных параметров (для простоты мы ограничимся двумя) a и b известна функциональная зависимость y от x, то есть . Экспериментальные точки уклоняются от этой зависимости вследствие неизбежных ошибок измерений. Теперь для определения параметров a и b воспользуемся методом наименьших квадратов, согласно которому неизвестные параметры находятся из условий минимума выражения: 32 (*) которые сводится к решению двух уравнений: (**) Если функциональная зависимость линейна относительно параметров a и b, то система уравнений также будет линейной и её решение можно найти обычным способом. Пример 26. Проведена серия опытов по определению влияния дозы внесённых удобрений на повышение урожайности пшеницы. Соответствующие данные приведены в первых трёх столбцах таблицы (x - внесённая доза удобрений в центнерах на гектар, y - прирост урожайности в центнерах с гектара). i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 xi yi xi2 yi2 xi · yi 0,342 0,417 0,675 0,867 1,000 1,158 1,283 1,500 1,733 2,008 2,083 2,242 2,508 2,10 4,70 6,05 8,65 10,00 12,60 12,08 14,68 16,65 19,25 19,98 23,20 23,93 0,1170 0,1739 0,4556 0,7517 1,0000 1,3410 1,6461 2,2500 3,0033 4,0321 4,3389 5,0266 6,2901 4,41 22,09 36,60 74,82 100,00 158,76 145,93 215,50 277,22 370,56 399,20 538,24 572,64 0,718 1,960 4,084 7,500 10,000 14,591 15,499 22,020 28,854 38,654 41,618 52,014 60,016 1,370 13,37 2,3405 224,31 22,887 33 Требуется по методу наименьших квадратов подобрать линейную функцию, выражающую y через x. Решение. Искомые величины связаны линейной зависимостью: y = ax + b , коэффициенты которой и требуется определить. Соотношение (*) в этом случае принимает вид: а система уравнений (**) записывается в виде: Раскрывая скобки и группируя, в результате получим следующую систему двух линейных уравнений для определения a и b: Решая эту систему методом Гаусса (исключения), в итоге получим : a=9,86; b=-0,14 y=9,86x-0,14. Во многих приложениях часто используются зависимости вида , линейные относительно параметров a и b. В этом случае задача легко может быть сведена к предыдущей заменой переменной: . В случае квадратичной зависимости y = ax +bx + c система 2 уравнений для определения неизвестных коэффициентов принимает вид: 34 Эту, линейную относительно неизвестных a, b и c, систему уравнений также можно решать методом Гаусса. Замечание: использование современных инженерных калькуляторов значительно облегчает вычисления, а в научных калькуляторах даже имеются встроенные программы определения коэффициентов рассмотренных зависимостей и требуется только ввести данные условия задачи. Контрольные вопросы Случайное, достоверное и невозможное события. Сумма и произведение событий, противоположное событие. Относительная частота. Определение вероятности для дискретного (счётного) пространства элементарных событий. Классическое определение вероятности. Аксиоматическое определение вероятности. Геометрическая схема теории вероятностей. Совместность и несовместность событий. Вероятность противоположного события; суммы событий. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Последовательность независимых, однородных испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли. 35 Асимптотические формулы: закон редких событий - формула Пуассона ; локальная и интегральная теоремы и формулы Муавра-Лапласа, функция Лапласа и её свойства; использование таблиц. Простейший, стационарный (Пуассоновский) поток событий. Дискретные и непрерывные случайные величины, способы их задания. Функция распределения и её свойства. Плотность вероятности непрерывной случайной величины и её свойства. Числовые характеристики - математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины и их свойства. Некоторые распределения и их числовые характеристики: биномиальное, Пуассоновское, равномерное, показательное. Нормальное распределение и его числовые характеристики. Вероятностный смысл параметров нормального распределения и их влияние нa график плотности вероятности. Функция распределения нормально распределённой случайной величины и её связь с функцией Лапласа. Вероятность попадания в заданный интервал, применение таблиц, правило трёх сигм. Функция одного случайного аргумента, закон её распределения и числовые характеристики. Предельные теоремы: теоремы Чебышева и Ляпунова, следствия из них. Генеральная и выборочная совокупности и их описание. Точечные оценки неизвестных параметров и их построение по данным выборки методами наибольшего правдоподобия и моментов. Проверка несмещённости и состоятельности оценки. Интервальные оценки неизвестных параметров, доверительная вероятность, построение доверительных интервалов по данным выборки. 36 Метод наименьших квадратов и его применение к сглаживанию экспериментальных зависимостей. Библиографический список 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров 12-е изд. - Москва: Юрайт, 2013. 479 с. 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособия для бакалавров. 11-е изд., перераб. и доп. - Москва: Юрайт, 2013. - 404 с. 37 Таблицы Таблица 1. Значения функции a\m 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0,90484 09048 81873 16375 74082 22225 67032 26813 69653 30327 54881 32929 49659 34761 44933 35946 40657 36591 36788 36788 13534 27067 04979 14936 01832 07326 00674 03369 00248 01487 00091 00638 2 00452 01638 03334 05363 07582 09879 12166 14379 16466 18394 27067 22404 14653 08422 04462 02234 3 00015 00109 00333 00715 01264 01976 02839 03834 04940 06131 18045 22404 19537 14037 08924 05213 4 00000 00006 00025 00072 00158 00296 00497 00767 01112 01533 09022 16803 19537 17547 13385 09123 5 00000 00000 00002 00006 00016 00036 00070 00123 00200 00307 03609 10082 15629 17547 16062 12772 6 00000 00000 00000 00000 00001 00004 00008 00016 00030 00051 01203 05041 10420 14622 16062 14900 7 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00001 00002 00004 00007 00344 02160 05954 10445 13768 14900 3 1,0000 99994 99973 99922 99825 99664 99425 99092 98654 98101 85712 64723 43347 26503 15120 08177 4 1,0000 1,0000 99998 99994 99983 99961 99921 99859 99766 99634 94735 81526 62792 44049 28506 17299 5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 99999 99996 99991 99982 99966 99941 98344 91608 81548 61596 44568 30071 6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 99999 99998 99996 99992 99547 96649 88876 76218 60630 44971 7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 99999 99890 98810 94778 86663 74398 59871 Таблица 2. Значения функции a\k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0,90484 99532 81873 93248 74082 96306 67032 93845 60653 90980 54881 87810 49659 84420 44933 80879 40657 77248 36788 73576 13534 40601 04979 19915 01832 09158 00674 04043 00248 01735 00091 00730 2 99985 99885 99640 99207 98561 97689 96586 95258 93714 91970 67668 42319 23810 12465 06197 02964 38
