Лекция 6. Электрические цепи переменного тока (1)

Глава третья
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
3.1 Основные понятия и определения
В общем случае любая функция времени называется периодической, если
ее значения повторяются через определенный промежуток времени. Наименьший промежуток времени Т через который наблюдается повтор значений
функции, называется периодом (единица измерения секунда). Для любой периодической функции времени a(t ) выполняется равенство:
a(t )  a(t  nT) ,
(3.1)
где n – любое целое число.
Величина обратная периоду называется частотой f:
f  1 T.
(3.2)
Единица измерения частоты: герц, (Гц).
Электрические цепи, в которых электрические величины (токи, напряжения и ЭДС) изменяются во времени по периодическому закону принято называть цепями переменного тока. На практике (в промышленности и быту) получили распространение переменные токи (напряжения и ЭДС), изменяющиеся
по синусоидальному (гармоническому) закону. Переменные синусоидальные
ЭДС, напряжения и токи в электротехнической литературе обозначаются
строчными буквами:
e(t )  e ; u(t )  u ; i(t )  i .
Выбор синусоидального (гармонического) закона изменения для переменных токов напряжений и ЭДС объясняется следующими причинами:
- синусоидальные токи и напряжения являются простейшими из всех периодических токов и напряжений, и остаются синусоидальными функциями,
при любых возможных процессах в линейных электрических цепях;
- синусоидальные ЭДС сравнительно легко можно получить в электромеханических и электронных генераторах.
- Экономически выгодно электрическую энергию на большие расстояния
передавать при высоких напряжениях (110 - 500 кВ), а производится и потребляется она при низких напряжениях (10 - 0,4 кВ). Это приводит к необходимости многократного изменения уровней напряжения (трансформации напряжения), что осуществляется в простых и высокоэкономичных электротехнических
устройствах – трансформаторах, принцип работы которых основан на использовании переменных магнитных полей, созданных переменными токами.
- Простота трансформации делает возможным передачу электрической
энергии на большие расстояния с малыми потерями энергии, так как при одной
и той же передаваемой мощности ток в линии будет во столько раз меньше, во
сколько раз выше напряжение, что приводит к снижению тепловых потерь в
линиях передач электрической энергии.
- Электрические двигатели переменного тока надежнее и экономичнее
электрических двигателей постоянного тока.
108
Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи аналитически задаются следующими выражениями:
e  E m sin( t   e ) ;
u  U m sin( t   u ) ;
i  I m sin( t   i ) .
(3.3)
В аналитических выражениях для синусоидальных токов и напряжений
приняты следующие обозначения:
e, u, i – мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов – это значения синусоидальных ЭДС, напряжений и токов для любого момента
времени;
Em, Um, Im – амплитуды ЭДС, напряжений и токов – это максимальные значения синусоидальных ЭДС, напряжений и токов;
ωt + ψe; ωt + ψu; ωt + ψi; – фазы синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов – это аргументы соответствующих синусоидальных функций,
единица измерения – радиан (рад) или градус (град). В этих выражениях:
 - угловая частота характеризует скорость изменения фазы синусоидальной функции , единица измерения радиан в секунду (рад/c);
ψe, ψu, ψi, – начальные фазы синусоидальных ЭДС, напряжений и токов
равны соответствующим фазам при t = 0, единица измерения – радиан (рад)
или градус (град).
Начальная фаза является алгебраической величиной, равной углу  , отсчитанному от начала координат до начала ближайшего положительного полупериода. Начальная фаза положительна   0 , если начало ближайшего положительного полупериода смещено влево от начала координат, и отрицательна
  0 – когда оно смещено вправо (рис. 3.1).
На рис. 3.1 приведены временные диаграммы трех токов i 1 (t ) , i 2 (t ) ,
i 3 (t ) с равными амплитудами и частотами, но с разными начальными фазами:
i 1  2  sin( 314  t   4) A ; i 2  2  sin( 314  t   4) A ; i 3  2  sin( 314  t ) A .
i (A)
2
i1 ( t)
1
i2 ( t)
0
i3 ( t)
Im
t (c)
1/ω 2/ω
1
2
3
 510
0
3
510
0.01
0.015
t
Рис. 3.1. Временные диаграммы токов
109
0.02
.
В электротехнике используют синусоидальные токи и напряжения разных
частот f, диапазон которых лежит в пределах 1—1010 Гц. Низкие частоты применяются в производстве и распределении электроэнергии, стандартная промышленная частота в Казахстане - 50 Гц. Высокие частоты применяются в системах связи и в вычислительной технике.
Угловая частота  , напрямую связана с частотой f. За время равное одному периоду t = T, фаза синусоидальной функции изменяется на 2 радиан или
на 360 градусов.
T  2 ;   2 T  2f ;   2f .
(3.4)
Пример 3.1.
Для синусоидального тока:
i  2  sin( 314  t   4) ,
- амплитудное значение тока:
I m  2 А;
- угловая частота:
  314 рад с ;
- начальная фаза:
 i   4 рад  45 0 ;
- частота:
f   2  314 2  3,14  50 Гц ;
- период:
T  1 f  1 50  0.02 c ;
- мгновенное значение тока, для t  0 :
i(t  0)  2  sin( 45 0 )  1,41 A .
Синусоидальные токи, напряжения ЭДС могут быть представлены своими временными диаграммами (графиками зависимостей i(t ) , u(t ) , e(t ) ), или:
i(t ) , u(t ) , e(t ) . Временные диаграммы i(t ) , u(t ) , e(t ) реальных токов, напряжений или ЭДС, могут быть получены с помощью осциллографов различных модификаций.
u (B)
20
u 1 ( t)
u 2 ( t)
Um2
/ω2
10
Um1
0
t (c) .
T2
 10
T1
/ω1
 20
0
0.01
0.02
t
Рис. 3.2. Временные диаграммы напряжений
110
0.03
На рис. 3.2 приведены временные диаграммы двух напряжений u 1 (t ) ,
u 2 (t ) с равными начальными фазами     2 , но с разными частотами и амплитудами:
f 2  2  f 1 ; u 1  20  sin( 314  t   2) B ; u 1  15  sin( 628  t   2) B .
На рис. 3.3 приведены графики зависимостей этих же напряжений от их фаз:
u 1 (1 t )  20  sin( 314  t   2) B ; u 2 ( 2 t )  15  sin( 628  t   2) B .
(B)
20
u 1 (  1t )
u 2 (  2t )
10  u1   u 2
ωt (рад)
.
0
 10
 20
0
5

10
1t   2t
Рис.3.3. Графики зависимостей напряжений u 1 ( 1 t ) и u 2 ( 2 t )
Анализ графиков рис. 3.3 показывает, что при любых значениях частот, за
время равное периоду, фаза синусоидальной функции изменяется на угол равный 2  радиан или 360 0 :
 k Tk  2 рад  360 0 .
3.2. Действующие значения синусоидальных токов, напряжений
и ЭДС
Для характеристики теплового и электродинамического действия синусоидального тока введено понятие действующего значения синусоидального тока.
Действующим значением синусоидального тока является значение
такого постоянного тока, который вырабатывает, эквивалентное переменному току, тепловое или механическое действие.
Тепловое действие постоянного тока за время равное одному периоду
(3.5)
W  I 2 RT .
За это же время в том же сопротивлении переменный ток действующего значения вырабатывает то же количество тепла, т. е.
T
I 2 RT   i 2 Rdt .
(3.6)
0
Преобразуя данное выражение, получим действующее значение переменного
тока
I
1T 2
i dt .
T 0
111
(3.7)
Действующее значение переменного тока равно его среднеквадратичному значению за период.
Для синусоидального тока i  Im sint , его действующее значение:
2
I
1T
1T 2 1


I m 1  cos( 2t  2 i ) dt  m .
I
I m sin( t   i ) dt 


T0
T0 2
2
Действующее значение синусоидального тока в 2 раз меньше его
амплитудного значения.
Это соотношение справедливо и для действующих значений синусоидальных напряжений и ЭДС:
I
Im
U
E
 0,707  I m ; U  m  0,707  U m ; E  m  0,707  E m .
2
2
2
(3.8)
Действующие значения синусоидальных токов, напряжений и ЭДС зависят
только от их амплитуд, и не зависят от их частот и начальных фаз. Для данной
амплитуды, действующее значение постоянно во времени. Временные диаграммы тока i 1  2  sin( 314  t   4) A , и его действующего значения I 1 (t )
приведены на рис. 3.4.
(A)
2
1
Im1
i1 ( t )
I 1 ( t)
I1
t (с)
0
.
 1
 2
0
5  10
 3
0.01
0.015
0.02
0.025
t
Рис. 3.4. Временные диаграммы: i1 (t ) ; I1 (t )
Выражая амплитуду через действующее значение, получим еще одну
форму записи синусоидальных ЭДС, напряжения и тока:
e  2 E sin( t   e ) ;
u  2 U sin( t   u ) ;
(3.9)
i  2 I sin( t   i ) ;
3.3 Среднее и средневыпрямленное значения синусоидальных токов, напряжений и ЭДС
Токи и напряжения, изменяющиеся по синусоидальному или другому периодическому законы, наряду с действующими значениями, характеризуются
средним за период и средневыпрямленным значениями.
112
Среднее значение любой периодической функции за период определяется выражением:
1T
A CP   a(t )dt .
(3.10)
T0
Интеграл, входящий в выражение (3.11), численно равен алгебраической сумме
площадей заключенной между кривой a(t ) и осью времени на промежутке по
оси времени равном периоду T . Причем площади лежащие выше оси времени
берут со знаком плюс, а площади лежащие под осью времени, –со знаком минус.
Среднее значение за период синусоидального тока:
1T
I CP   I m sin( t   i ) dt  0 .
(3.11)
T0
Среднее значение за период синусоидального тока и напряжения
равны нулю, так как площадь ограниченная положительной полуволной тока, всегда равна площади ограниченной отрицательной полуволной.
Средневыпрямленным значением любой периодической функции
называется среднее значение модуля этой функции за период:
1T
A CP . B   a(t ) dt .
(3.12)
T0
Средневыпрямленное значение синусоидального тока:
1T
I CP . B   I m sin( t   i ) dt  2I m   0,637  I m .
T0
Средневыпрямленные значения синусоидальных токов и напряжений?
I CP .B  2I m   0,637  I m ; U CP . B  2U m   0,637  U m ;
(3.13)
i (A)
2
i1 ( t )
1
I 1CP ( t )
0
I 1CP.B
I1CP.B
t (с)
.
( t)
 1
 2
0
5  10
 3
0.01
0.015
0.02
0.025
t
3.5. Временные диаграммы: i 1 (t ) ; I 1СР (t ) ; I 1CP .B (t )
Временные диаграммы тока:
i 1  2  sin( 314  t   4) A ,
его среднего за период I 1СР (t ) и средневыпрямленного I 1СР . В (t ) значений тока
приведены на рис. 3.5.
113
Все расчеты электрических цепей синусоидального тока ведутся для действующих значений напряжений и токов. Электроизмерительные приборы,
электромагнитной, электродинамической, ферродинамической, тепловой систем, включенные в цепь синусоидального тока, показывают действующие значения тока или напряжения.
Приборы магнитоэлектрической системы показывают средние за период
значения измеряемых токов и напряжений. Приборы магнитоэлектрической
системы, включенные через выпрямитель, показывают средневыпрямленные
значения тока и напряжения.
Пример 3.2
По заданным временным диаграммам токов i1(t) и i2(t), приведенным на
рис. 3.6, определить: периоды Т1 , Т2; частоты f1 , f2; угловые частоты ω1 , ω2;
начальные фазы ψi1 и ψi2, амплитудные значения Im1 и Im2; действующие значения I1 и I2 ; средневыпрямленные значения IСВ1 и IСВ2 ; мгновенные значения
токов для момента времени t = 0; записать законы изменения токов во времени.
i (A)
1/ω1
10
i1 ( t)
i2 ( t)
i1(t=0)
0
t1
Im1
Im2
t2
i2(t=0)
t (c)
T2
T1
 10
2/ω2
0
0.01
0.02
t
Рис. 3.6. Временные диаграммы токов, к примеру: 3.2.
Решение
По рис. 3.6 находим значения
периодов:
Т1  0,02 с; Т 2  0,01 с;
амплитуд токов:
I m1  10 A; I m 2  5 A;
моментов времени, в которые начинаются ближайшие к началу координат положительные полупериоды токов:
t 1  0,025 c ; t 2  0,025 c ;
мгновенные значения токов для t = 0:
i 1( t  0 )  7.07 A; i 2( t  0 )  5 A;
114
Определяем величины
частот:
f1  1 T1  1 0,02  50 Гц; f 2  1 T2  1 0,01  100 Гц;
угловых частот:
1  2f1  2  3,14  50  314 рад с ;  2  2f 2  2  3,14  100  628 рад с ;
начальных фаз токов:
 i 1   t 11  0,0025  314  0,785 рад;  i 2   t 2  2  0,0025  628  1,57 рад;
действующих значений токов:
I 1  I m1
2  10
2  7,07 A; I 2  I m 2
25
2  3,54 A;
средневыпрямленных значений токов:
I СВ1  2 I m1   2  10 3,14  6,36 A; I СВ 2  2 I m 2   2  5 3,14  3,18 A.
Законы изменения токов во времени:
i1  Im1 sin(1t  i1 )  10  sin(314  t  0,785) A;
i 2  Im 2 sin(2t   i 2 )  5  sin(628  t  1,57) A.
3.4 Мощности в цепях синусоидального тока
В цепях переменного тока для оценки энергетических процессов введены
понятия мгновенной, активной, реактивной и полной мощностей, которые могут быть отнесены как к участку цепи, так и ко всей цепи.
Мощности приемников электрической энергии
Мгновенной мощностью любого участка пассивной цепи называется произведение мгновенного напряжения на мгновенный ток этого
участка.
p  u i.
(3.14)
В цепях синусоидального тока напряжение на зажимах участка цепи и ток этого участка в общем случае имеют различные начальные фазы.
i  I m sin(  t   i ) , u  U m sin( t   u ) .
Разность начальных фаз напряжения и тока называют фазовым сдвигом
  u  i .
(3.15)
Мгновенная мощность участка цепи синусоидального тока:
p  ui  U m sin( t   u ) I m sin( t   i ) .
С учетом того, что:
U I
1
sin(  ) sin( )  cos(   )  cos(   ) ; m m  U I ;    u   i .
2
2
Мгновенная мощность в цепях синусоидального тока:
p  U I cos   U I cos( 2t   u   i ) .
(3.16)
Мгновенная мощность характеризует интенсивность энергетических процессов данного участка электрической цепи в данный момент времени, единица
ее измерения ватт (Вт).
115
Активная мощность в цепи синусоидального тока равна среднему
значению мгновенной мощности за период, обозначается буквой Р, единица измерения ватт (Вт):
1T
1T
P   pdt   U I cos   cos(2t   u   i ) dt U I cos 
T0
T0
Активная мощность в цепях синусоидального тока:
P  U I cos  .
(3.17)


cos  называется коэффициентом мощности.
Активная мощность характеризует интенсивность необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергий на данном участке цепи.
Реактивная мощность в цепях синусоидального тока
Реактивная мощность характеризует интенсивность взаимного
обмена энергиями между магнитными и электрическими полями, созданными элементами цепи и источниками электрической энергии.
Реактивная мощность обозначается буквой Q, единица измерения вольт
ампер реактивный (ВАр)
Q  U I sin  .
(3.18)
В зависимости от знака угла  , реактивная мощность цепи может быть либо положительной, либо отрицательной, либо равной нулю. По знаку реактивной мощности можно судить о характере запасаемой в цепи энергии.
При Q > 0 энергия запасается в магнитном поле цепи, при Q < 0 – в
электрическом поле. При Q = 0, в цепи отсутствует обмен энергией
электрических и магнитных полей с источником.
Полная мощность в цепях синусоидального тока
Полная характеризует энергетические возможности источников
электрической энергии, обозначается буквой S, единица измерения
вольт ампер (ВА).
S  U I.
(3.19)
Анализ выражений 3.16 - 3.19 показывает, что величины мгновенной, активной и реактивной мощностей определяют действующие значения тока и напряжения I, U и фазовый сдвиг между напряжением и током  . Мгновенная
мощность состоит из двух составляющих: постоянной U I cos  , которая равна
активной мощности Р, и переменной, имеющей удвоенную частоту, по сравнению с частотой напряжения и тока. Амплитуда переменной составляющей
мгновенной мощности равна полной мощности S.
В реальных электрических цепях величина фазового сдвига  между током и напряжением любого участка цепи, находится в пределах:
  2 рад  90 0    90 0   2 рад .
(3.20)
116
Мощности источников электрической энергии
Энергические процессы каждого из источников электрической энергии,
так же характеризуют мгновенная, активная, реактивная и полная мощности.
Если источник электрической энергии в схеме замещения представлен источником ЭДС (напряжения), то в выражениях (3.14) – (3.19), заменив символы
напряжения u, (U) на символы ЭДС е, (Е), получим выражения для мощностей
источника.
Мгновенная мощность источника:
p и  Е I cos   Е I cos( 2t   е   i ) .
(3.21)
Активная мощность источника:
Pи  Е I cos  и .
(3.22)
Реактивная мощность источника:
Q и  Е I sin  и .
(3.23)
Полная мощность источника:
Sи  Е I .
(3.24)
В выражениях (3.21) – (3.24) Е и I – действующие значения ЭДС и тока источника,  и   е   i - фазовый сдвиг ЭДС и тока источника.
Если источник электрической энергии в схеме замещения представлен источником тока, то в выражениях (3.14) – (3.19), заменив символы тока i, (I) на
символы – j, (J), получим выражения для мощностей источника.
Мгновенная мощность источника:
p и  U J cos   U J cos( 2t   u   j ) .
(3.25)
Активная мощность источника:
Pи  U J cos  и .
(3.26)
Реактивная мощность источника:
Q и  U J sin  и .
(3.27)
Полная мощность источника:
Sи  U J .
(3.28)
В выражениях (3.25) – (3.28) U и J – действующие значения напряжения и
тока источника,  и   u   j - фазовый сдвиг напряжения и тока источника.
Уравнение баланса мощностей
Из закона сохранения энергии следует, что алгебраическая сумма мгновенных мощностей всех элементов цепи в каждый момент времени равна нулю.
Для произвольной электрической цепи синусоидального тока схема замещения,
которой содержит n идеальных источников ЭДС (напряжения), m идеальных
источников тока, h пассивных элементов, это условие выполнится в том случае,
если алгебраическая сумма мгновенных значений мощностей источников, будет равна алгебраической сумме мгновенных мощностей пассивных элементов:
117
n
m
h
k 1
k 1
k 1
 e k i k   u k jk   u k i k .
(3.29)
Уравнение (3.29) называют уравнением (условием) баланса мгновенных
мощностей.
Сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками,
равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приемниками энергии.
Из уравнения баланса мгновенных мощностей вытекают условия баланса
активных и реактивных мощностей.
Алгебраическая сумма активных мощностей источников, равна
алгебраической сумме активных мощностей приемников электрической энергии.
Уравнение баланса активных мощностей для цепи синусоидального тока
имеет вид:
nm
h
k 1
k 1
 Pик   Pпк ;
n
m
h
k 1
k 1
k 1
 E k I k cos  ик   U k J k cos  ик   U k I k cos  k .
(3.30)
Алгебраическая сумма реактивных мощностей источников, равна
алгебраической сумме реактивных мощностей приемников электрической энергии.
Уравнение баланса реактивных мощностей для цепи синусоидального тока имеет вид:
nm
Q
k 1
h
ик
  Q пк ;
k 1
n
E
k 1
k
m
h
k 1
k 1
I k sin  ик   U k J k sin  ик   U k I k sin  k .
(3.31)
Пример 3.3
Для заданных значений напряжения и тока:
u  3  2  sin( 314  t ) B ; i  2  2  sin( 314  t   6) A ,
рассчитать мгновенную, активную, реактивную мощности и построить их временные диаграммы.
Решение
Фазовый сдвиг напряжения и тока:
   u   i   6 рад;
Действующие значения напряжения и тока:
U  Um 2  3 B ; I  Im 2  2 A .
Мгновенная мощность:
p  U I cos   U I cos( 2t   u   i )  3  2  cos 6   3  2  cos( 2  314  t   6) 
 5,2  6  cos(628  t   6) Вт .
Активная мощность:
Реактивная мощность:
P  U I cos   3  2  cos 6   5,2 Вт .
Q  U I sin   3  2  sin 6   3 ВAp .
Полная мощность:
118